人教版2018年九年级数学上册24.1与圆有关的性质同步培优卷(含答案)

人教版九年级数学上册《24.1 圆的有关性质》同步练习题-附答案学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________考点1 圆的有关概念（1）圆：平面上到的距离等于的所有点组成的图形．如图所示的圆记做⊙O。

（2）弦与直径：连接任意两点的叫做弦过圆心的叫做直径直径是圆内最长的。

（3）弧：圆上任意两点间的部分叫做小于半圆的弧叫做大于半圆的弧叫做。

（4）圆心角：顶点在的角叫做圆心角。

（5）圆周角：顶点在并且两边都与圆还有一个交点的角叫做圆周角。

（6）弦心距：到弦的距离叫做弦心距。

（7）等圆：能够的两个圆叫做等圆。

（8）等弧：在同圆或等圆中能的弧叫等弧。

考点2垂径定理（1）定理：垂直于弦的直径这条弦并且弦所对的两条弧。

（2）推论：①平分弦（不是直径）的直径于弦并且弦所对的两条弧②弦的垂直平分线经过并且弦所对的两条弧。

（3）延伸：根据圆的对称性如图所示在以下五条结论中：①AC AD=③CE＝DE④AB⊥CD⑤AB是直径。

=②BC BD只要满足其中两个另外三个结论一定成立即推二知三。

考点3 弧弦圆心角之间的关系（1）定理：在同圆或等圆中相等的圆心角所对的相等所对的相等。

（2）推论：在同圆或等圆中如果两个圆心角两条弧两条弦中有一组量相等那么它们所对应的其余各组量都分别相等。

考点4圆周角定理及其推论。

（1）定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的的一半．如图a＝12图a图b图c（ 2 ）推论：①在同圆或等圆中同弧或等弧所对的圆周角相等．如图b ①A＝。

①直径所对的圆周角是直角．如图c＝90°。

①圆内接四边形的对角互补．如图a ①A＋＝180° ①ABC＋＝180°。

关键点:垂径定理及其运用（1）垂径定理及推论一条直线在下列5条中只要具备其中任意两条作为条件就可以推出其他三条结论．称为知二得三（知二推三）。

①平分弦所对的优弧②平分弦所对的劣弧（前两条合起来就是：平分弦所对的两条弧）③平分弦④垂直于弦⑤过圆心（或是直径）（2）常用的辅助线作垂直于弦的直径或只画弦心距。

人教版 九年级数学 24.1 圆的有关性质 同步训练一、选择题（本大题共10道小题） 1. 2018·衢州 如图，点A ，B ，C 在⊙O 上，∠ACB ＝35°，则∠AOB 的度数是( )A ．75°B ．70°C ．65°D ．35°2. 如图，AB是⊙O 的直径，弦CD ⊙AB 于点E ，则下列结论正确的是( )A ．OE ＝BEB.BC ︵＝BD ︵C ．⊙BOC 是等边三角形D ．四边形ODBC 是菱形3. 如图，四边形ABCD 是圆内接四边形，E 是BC 延长线上一点．若∠BAD ＝105°，则∠DCE 的度数为 ( )A ．115°B ．105°C ．100°D ．95°4. 2019·梧州如图，在半径为13的⊙O 中，弦AB 与CD 交于点E ，⊙DEB ＝75°，AB ＝6，AE ＝1，则CD 的长是( )A ．2 6B ．210 C ．211 D ．4 35. (2019•广元)如图，AB ，AC分别是⊙O 的直径和弦，于点D ，连接BD ，BC ，且，，则BD 的长为A ．B ．4C ．D ．4.86.⊙⊙⊙⊙O⊙⊙⊙⊙4⊙⊙ABC⊙⊙O⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙OB⊙OC⊙⊙⊙BAC⊙⊙BOC⊙⊙⊙⊙⊙BC⊙⊙⊙( )A . 3 3B . 4 3C . 5 3D . 637. 如图，⊙ABC的内心为I ，连接AI 并延长交⊙ABC 的外接圆于点D ，则线段DI 与DB 的关系是( )A ．DI ＝DB B ．DI ＞DBC ．DI ＜DBD ．不确定OD AC ⊥10AB =8AC =⊙⊙⊙⊙⊙⊙ABCD⊙⊙⊙⊙O⊙⊙I⊙⊙ABC⊙⊙⊙⊙⊙AIC⊙124°⊙⊙E⊙AD⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙CDE⊙⊙⊙⊙()A⊙56° B⊙62° C⊙68° D⊙78°9. 如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，∠BOC＝110°，AD∥OC，则∠AOD的度数为()A．70° B．60° C．50° D．40°10. 2019·武汉京山期中在圆柱形油槽内装有一些油，油槽直径MN为10分米．截面如图，油面宽AB为6分米，如果再注入一些油后，油面宽变为8分米，则油面AB上升()A．1分米B．4分米C．3分米D．1分米或7分米二、填空题（本大题共7道小题）11. 如图，C，D两点在以AB为直径的圆上，AB＝2，⊙ACD＝30°，则AD＝________．12. 如图所示，动点C在⊙O的弦AB上运动，AB＝23，连接OC，过点C作CD⊥OC交⊙O于点D，则CD的最大值为________．13. 如图，在⊙O中，半径OA垂直于弦BC，点D在圆上，且∠ADC＝30°，则∠AOB的度数为________．14. 如图，以⊙ABC的边BC为直径的⊙O分别交AB，AC于点D，E，连接OD，OE.若⊙A＝65°，则⊙DOE＝________°.15. 如图，在⊙O中，BD为⊙O的直径，弦AD的长为3，AB的长为4，AC平分∠DAB，则弦CD的长为________．16. 将量角器按图所示的方式放置在三角形纸片上，使顶点C在半圆上，点A，B 的读数分别为100°，150°，则∠ACB的大小为________°.17. 如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，AB 为⊙O 的直径，C 为弧BD 的中点．若∠DAB ＝40°，则∠ABC ＝________°.三、解答题（本大题共4道小题）18. 如图，在⊙ABC中，∠C ＝90°，D 是BC 边上一点，以BD 为直径的⊙O 经过AB 的中点E ，交AD 的延长线于点F ，连接EF. (1)求证：∠1＝∠F ；(2)若AC ＝4，EF ＝2 5，求CD 的长．19.如图，已知⊙O 上依次有A ，B ，C ，D 四个点，AD ︵＝BC ︵，连接AB ，AD ，BD ，延长AB 到点E ，使BE ＝AB ，连接EC ，F 是EC 的中点，连接BF.求证：BF ＝12BD.20. 如图，在⊙O 中，AB ︵＝2AC ︵，AD ⊥OC于点D.求证：AB ＝2AD.21. 2018·牡丹江如图，在⊙O 中，AB ︵＝2AC ︵，AD ⊥OC 于点D .求证：AB ＝2AD .人教版 九年级数学 24.1 圆的有关性质 同步训练-答案一、选择题（本大题共10道小题） 1. 【答案】B2. 【答案】B[解析] AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，由垂径定理可以得到CE ＝DE ，BC ︵＝BD ︵，AC ︵＝AD ︵.但并不一定能得到OE ＝BE ，OC ＝BC ，从而A ，C ，D 选项都是错误的．故选B.3. 【答案】B4. 【答案】C5. 【答案】C【解析】∵AB 为直径，∴，∴， ∵，∴， 在中，．故选C ．6.【答案】B⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙CO ⊙⊙O ⊙⊙A ′⊙⊙⊙A ′B .⊙⊙BAC ⊙α⊙⊙⊙BOC ⊙2⊙BAC⊙2α⊙⊙⊙BAC ⊙⊙BOC ⊙180°⊙⊙α⊙2α⊙180°⊙⊙α⊙60°.⊙⊙BA ′C ⊙⊙BAC ⊙60°⊙⊙CA ′⊙⊙⊙⊙⊙⊙A ′BC ⊙90°⊙⊙⊙Rt⊙A ′BC ⊙⊙BC ⊙A ′C ·sin⊙BA ′C ⊙2×4×32⊙4 3.7. 【答案】A[解析] 连接BI ，如图．∵△ABC 的内心为I ， ∴∠1＝∠2，∠5＝∠6. ∵∠3＝∠1， ∴∠3＝∠2.∵∠4＝∠2＋∠6，∠DBI ＝∠3＋∠5， ∴∠4＝∠DBI ，∴DI ＝DB. 故选A.8. 【答案】C[解析] ⊙点I 是⊙ABC 的内心，⊙⊙BAC ＝2⊙IAC ，⊙ACB ＝2⊙ICA . ⊙⊙AIC ＝124°，⊙⊙B ＝180°－(⊙BAC ＋⊙ACB )＝180°－2(⊙IAC ＋⊙ICA )＝180°－2(180°－⊙AIC )90ACB ∠=︒6BC ===OD AC ⊥142CD AD AC ===Rt CBD △BD ==＝68°.又四边形ABCD 内接于⊙O ， ⊙⊙CDE ＝⊙B ＝68°.9. 【答案】D[解析] ∵∠BOC ＝110°，∴∠AOC ＝70°.∵AD ∥OC ，∴∠A ＝∠AOC ＝70°.∵OA ＝OD ，∴∠D ＝∠A ＝70°.在⊙OAD 中，∠AOD ＝180°－(∠A ＋∠D)＝40°.10. 【答案】D二、填空题（本大题共7道小题）11. 【答案】1[解析] ∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ADB ＝90°. ∵∠B ＝∠ACD ＝30°， ∴AD ＝12AB ＝12×2＝1.12. 【答案】3 [解析] 如图，连接OD ，过点O 作OH ⊥AB 于点H ，则AH ＝BH＝12AB ＝ 3.∵CD ⊥OC ，∴CD ＝OD 2－OC 2.∵OD 为⊙O 的半径，∴当OC 最小时，CD 最大．当点C 运动到点H 时，OC 最小，此时CD ＝BH ＝3，即CD 的最大值为 3.13. 【答案】60°[解析] ∵OA ⊥BC ，∴AB ︵＝AC ︵，∴∠AOB ＝2∠ADC.∵∠ADC＝30°，∴∠AOB ＝60°.14. 【答案】50[解析] 由三角形的内角和定理，得∠B ＋∠C ＝180°－∠A .再由OB ＝OD ＝OC ＝OE ，得到∠BDO ＝∠B ，∠CEO ＝∠C .在等腰三角形BOD 和等腰三角形COE 中，∠DOB ＋∠EOC ＝180°－2∠B ＋180°－2∠C ＝360°－2(∠B ＋∠C )＝360°－2(180°－∠A )＝2∠A ，所以∠DOE ＝180°－2∠A ＝50°.15. 【答案】52 2 [解析] ∵BD 为⊙O 的直径，∴∠DAB ＝∠DCB ＝90°. ∵AD ＝3，AB ＝4，∴BD ＝5.又∵AC 平分∠DAB ，∴∠DAC ＝∠BAC ＝45°， ∴∠DBC ＝∠DAC ＝45°，∠CDB ＝∠BAC ＝45°， 从而CD ＝CB ，∴CD ＝52 2.16. 【答案】25[解析] 设量角器的中心为O ，由题意可得∠AOB ＝150°－100°＝50°，所以∠ACB ＝12∠AOB ＝25°.17. 【答案】70[解析] 如图，连接AC.∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°.∵C为弧BD 的中点，∴∠CAB ＝12∠DAB ＝20°， ∴∠ABC ＝70°.三、解答题（本大题共4道小题）18. 【答案】解：(1)证明：如图，连接DE. ∵BD 是⊙O 的直径， ∴∠DEB ＝90°，即DE ⊥AB. 又∵E 是AB 的中点， ∴AD ＝BD ，∴∠1＝∠B.又∵∠B ＝∠F ，∴∠1＝∠F.(2)∵∠1＝∠F ，∴AE ＝EF ＝2 5， ∴AB ＝2AE ＝4 5.在Rt⊙ABC 中，∵AC ＝4，∠C ＝90°， ∴BC ＝AB2－AC2＝8. 设CD ＝x ，则AD ＝BD ＝8－x. 在Rt⊙ACD 中，∵∠C ＝90°，∴AC2＋CD2＝AD2，即42＋x2＝(8－x)2， 解得x ＝3，即CD ＝3.19. 【答案】证明：连接AC.∵AB ＝BE ，F 是EC 的中点， ∴BF 是⊙EAC 的中位线， ∴BF ＝12AC. ∵AD ︵＝BC ︵，∴AD ︵＋AB ︵＝BC ︵＋AB ︵，即BD ︵＝AC ︵， ∴BD ＝AC ，∴BF ＝12BD.20. 【答案】证明：如图，延长AD 交⊙O 于点E.∵OC ⊥AD ，∴AE ︵＝2AC ︵，AE ＝2AD.∵AB ︵＝2AC ︵，∴AE ︵＝AB ︵， ∴AB ＝AE ，∴AB ＝2AD.21. 【答案】证明：如图，延长AD 交⊙O 于点E ， ∵OC ⊥AD ，∴AE ︵＝2AC ︵，AE ＝2AD .∵AB ︵＝2AC ︵，∴AE ︵＝AB ︵，∴AB ＝AE ，∴AB ＝2AD .。

人教版九年级数学上册第24章圆教材同步培优测评卷一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1．下列说法正确的是（）A．三点确定一个圆B．一个三角形只有一个外接圆C．和半径垂直的直线是圆的切线D．三角形的内心到三角形三个顶点距离相等2．如图，⊙O的直径AB与弦CD的延长线交于点E，若DE=OB，∠AOC=84°，则∠E等于（）A．42° B．28° C．21° D．20°3．已知如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，CD=6，AE=1，则⊙O的直径为（）A．6 B．8 C．10 D．124．如图，DC是以AB为直径的半圆上的弦，DM⊥CD交AB于点M，CN⊥CD交AB于点N．AB=10，CD=6．则四边形DMNC的面积（）A．等于24 B．最小为24 C．等于48 D．最大为485．如图，在半径为5的⊙O中，弦AB=6，OP⊥AB，垂足为点P，则OP的长为（）A．3 B．2.5 C．4 D．3.56．如图表示一圆柱形输水管的横截面，阴影部分为有水部分，如果输水管的半径为5cm，水面宽AB 为8cm，则水的最大深度CD为（）A．4cm B．3cm C．2cm D．1cm7．图中的五个半圆，邻近的两半圆相切，两只小虫同时出发，以相同的速度从A点到B点，甲虫沿ADA1、A1EA2、A2FA3、A3GB路线爬行，乙虫沿ACB路线爬行，则下列结论正确的是（）A．甲先到B点B．乙先到B点C．甲、乙同时到B D．无法确定8．在直径为200cm的圆柱形油槽内装入一些油以后，截面如图．若油面的宽AB=160cm，则油的最大深度为（）A．40cm B．60cm C．80cm D．100cm9．如图，AB是⊙O的直径，四边形ABCD内接于⊙O，若BC=CD=DA=4cm，则⊙O的周长为（）A．5πcm B．6πcm C．9πcm D．8πcm10．如图，AB是⊙O的弦，点C在圆上，已知∠OBA=40°，则∠C=（）A．40° B．50° C．60° D．80°二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）11．如图，在⊙O中，弦AB∥CD，若∠ABC=40°，则∠BOD= ．12．如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=3，以顶点D为圆心作半径为r的圆，若要求另外三个顶点A、B、C中至少有一个点在圆内，且至少有一个点在圆外，则r的取值范围是．13．如图，已知∠BOA=30°，M为OB边上一点，以M为圆心、2cm为半径作⊙M．点M在射线OB上运动，当OM=5cm时，⊙M与直线OA的位置关系是．14．如图，正方形ABCD内接于⊙O，其边长为4，则⊙O的内接正三角形EFG的边长为．15．已知扇形的半径为6cm，圆心角的度数为120°，则此扇形的弧长为cm．16．如图，半圆O的直径AB=2，弦CD∥AB，∠COD=90°，则图中阴影部分的面积为．三、解答题（共8题，共72分）17．圆锥底面圆的半径为3m，其侧面展开图是半圆，求圆锥母线长．18．在一个底面直径为5cm，高为18cm的圆柱形瓶内装满水，再将瓶内的水倒入一个底面直径是6cm，高是10cm的圆柱形玻璃杯中，能否完全装下？若未能装满，求杯内水面离杯口的距离．19．如图，AB和CD分别是⊙O上的两条弦，过点O分别作ON⊥CD于点N，OM⊥AB于点M，若ON=AB，证明：OM=CD．20．如图为桥洞的形状，其正视图是由和矩形ABCD构成．O点为所在⊙O的圆心，点O又恰好在AB为水面处．若桥洞跨度CD为8米，拱高（OE⊥弦CD于点F ）EF为2米．求所在⊙O的半径DO．21．△ABC是⊙O的内接三角形，BC=．如图，若AC是⊙O的直径，∠BAC=60°，延长BA到点D，使得DA=BA，过点D作直线l⊥BD，垂足为点D，请将图形补充完整，判断直线l和⊙O的位置关系并说明理由．22．如图直角坐标系中，已知A（﹣8，0），B（0，6），点M在线段AB上．（1）如图1，如果点M是线段AB的中点，且⊙M的半径为4，试判断直线OB与⊙M的位置关系，并说明理由；（2）如图2，⊙M与x轴、y轴都相切，切点分别是点E、F，试求出点M的坐标．23．已知等边三角形ABC，AB=12，以AB为直径的半圆与BC边交于点D，过点D作DF⊥AC，垂足为F，过点F作FG⊥AB，垂足为G，连接GD，（1）求证：DF与⊙O的位置关系并证明；（2）求FG的长．24．如图，等边△ABC的边长为2，E是边BC上的动点，EF∥AC交边AB于点F，在边AC上取一点P，使PE=EB，连接FP．（1）请直接写出图中与线段EF相等的两条线段；（不再另外添加辅助线）（2）探究：当点E在什么位置时，四边形EFPC是平行四边形？并判断四边形EFPC是什么特殊的平行四边形，请说明理由；（3）在（2）的条件下，以点E为圆心，r为半径作圆，根据⊙E与平行四边形EFPC四条边交点的总个数，求相应的r的取值范围．《第24章圆》参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1．下列说法正确的是（）A．三点确定一个圆B．一个三角形只有一个外接圆C．和半径垂直的直线是圆的切线D．三角形的内心到三角形三个顶点距离相等【考点】圆的认识．【分析】根据确定圆的条件对A、B进行判断；根据切线的判定定理对C进行判断；根据三角形内心的性质对D进行判断．【解答】解：A、不共线的三点确定一个圆，所以A选项错误；B、一个三角形只有一个外接圆，所以B选项正确；C、过半径的外端与半径垂直的直线是圆的切线，所以C选项错误；D、三角形的内心到三角形三边的距离相等，所以D选项错误．故选B．【点评】本题考查了圆的认识：掌握与圆有关的概念（弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）．也考查了确定圆的条件和切线的判定．2．如图，⊙O的直径AB与弦CD的延长线交于点E，若DE=OB，∠AOC=84°，则∠E等于（）A．42° B．28° C．21° D．20°【考点】圆的认识；等腰三角形的性质．【专题】计算题．【分析】利用半径相等得到DO=DE，则∠E=∠DOE，根据三角形外角性质得∠1=∠DOE+∠E，所以∠1=2∠E，同理得到∠AOC=∠C+∠E=3∠E，然后利用∠E=∠AOC进行计算即可．【解答】解：连结OD，如图，∵OB=DE，OB=OD，∴DO=DE，∴∠E=∠DOE，∵∠1=∠DOE+∠E，∴∠1=2∠E，而OC=OD，∴∠C=∠1，∴∠C=2∠E，∴∠AOC=∠C+∠E=3∠E，∴∠E=∠AOC=×84°=28°．故选B．【点评】本题考查了圆的认识：掌握与圆有关的概念（弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）．也考查了等腰三角形的性质．3．已知如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，CD=6，AE=1，则⊙O的直径为（）A．6 B．8 C．10 D．12【考点】垂径定理；勾股定理．【分析】连接OC，根据题意OE=OC﹣1，CE=3，结合勾股定理，可求出OC的长度，即可求出直径的长度．【解答】解：连接OC，∵弦CD⊥AB于E，CD=6，AE=1，∴OE=OC﹣1，CE=3，∴OC2=（OC﹣1）2+32，∴OC=5，∴AB=10．故选C．【点评】本题主要考查了垂径定理、勾股定理，解题的关键在于连接OC，构建直角三角形，根据勾股定理求半径OC的长度．4．如图，DC是以AB为直径的半圆上的弦，DM⊥CD交AB于点M，CN⊥CD交AB于点N．AB=10，CD=6．则四边形DMNC的面积（）A．等于24 B．最小为24 C．等于48 D．最大为48【考点】垂径定理；勾股定理；梯形中位线定理．【分析】过圆心O作OE⊥CD于点E，则OE平分CD，在直角△ODE中利用勾股定理即可求得OE的长，即梯形DMNC的中位线，根据梯形的面积等于OE•CD即可求得．【解答】解：过圆心O作OE⊥CD于点E，连接OD．则DE=CD=×6=3．在直角△ODE中，OD=AB=×10=5，OE===4．=OE•CD=4×6=24．则S四边形DMNC故选A．【点评】本题考查了梯形的中位线以及垂径定理，正确作出辅助线是关键．5．如图，在半径为5的⊙O中，弦AB=6，OP⊥AB，垂足为点P，则OP的长为（）A．3 B．2.5 C．4 D．3.5【考点】垂径定理；勾股定理．【分析】连接OA，根据垂径定理得到AP=AB，利用勾股定理得到答案．【解答】解：连接OA，∵AB⊥OP，∴AP==3，∠APO=90°，又OA=5，∴OP===4，故选C．【点评】本题考查的是垂径定理的应用，掌握垂直于弦的直径平分这条弦是解题的关键．6．如图表示一圆柱形输水管的横截面，阴影部分为有水部分，如果输水管的半径为5cm，水面宽AB 为8cm，则水的最大深度CD为（）A ．4cmB ．3cmC ．2cmD ．1cm【考点】垂径定理的应用；勾股定理．【分析】根据题意可得出AO=5cm ，AC=4cm ，进而得出CO 的长，即可得出答案．【解答】解：如图所示：∵输水管的半径为5cm ，水面宽AB 为8cm ，水的最大深度为CD ， ∴DO ⊥AB ，∴AO=5cm ，AC=4cm ，∴CO==3（cm ），∴水的最大深度CD 为：2cm ．故选：C ．【点评】本题考查的是垂径定理的应用及勾股定理，根据构造出直角三角形是解答此题的关键．7．图中的五个半圆，邻近的两半圆相切，两只小虫同时出发，以相同的速度从A 点到B 点，甲虫沿ADA 1、A 1EA 2、A 2FA 3、A 3GB 路线爬行，乙虫沿ACB 路线爬行，则下列结论正确的是（ ）A ．甲先到B 点 B ．乙先到B 点C ．甲、乙同时到BD ．无法确定【考点】圆的认识．【专题】应用题．【分析】甲虫走的路线应该是4段半圆的弧长，那么应该是π（AA 1+A 1A 2+A 2A 3+A 3B ）=π×AB ，因此甲虫走的四段半圆的弧长正好和乙虫走的大半圆的弧长相等，因此两个同时到B 点．【解答】解：π（AA 1+A 1A 2+A 2A 3+A 3B ）=π×AB ，因此甲虫走的四段半圆的弧长正好和乙虫走的大半圆的弧长相等，因此两个同时到B 点．故选C ．【点评】本题考查了圆的认识，主要掌握弧长的计算公式．8．在直径为200cm的圆柱形油槽内装入一些油以后，截面如图．若油面的宽AB=160cm，则油的最大深度为（）A．40cm B．60cm C．80cm D．100cm【考点】垂径定理的应用；勾股定理．【分析】连接OA，过点O作OE⊥AB，交AB于点M，由垂径定理求出AM的长，再根据勾股定理求出OM的长，进而可得出ME的长．【解答】解：连接OA，过点O作OE⊥AB，交AB于点M，∵直径为200cm，AB=160cm，∴OA=OE=100cm，AM=80cm，∴OM===60cm，∴ME=OE﹣OM=100﹣60=40cm．故选：A．【点评】本题考查的是垂径定理的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．9．如图，AB是⊙O的直径，四边形ABCD内接于⊙O，若BC=CD=DA=4cm，则⊙O的周长为（）A．5πcm B．6πcm C．9πcm D．8πcm【考点】圆心角、弧、弦的关系；等边三角形的判定与性质．【分析】如图，连接OD、OC．根据圆心角、弧、弦的关系证得△AOD是等边三角形，则⊙O的半径长为BC=4cm；然后由圆的周长公式进行计算．【解答】解：如图，连接OD、OC．∵AB是⊙O的直径，四边形ABCD内接于⊙O，若BC=CD=DA=4cm，∴==，∴∠AOD=∠DOC=∠BOC=60°．又OA=OD，∴△AOD是等边三角形，∴OA=AD=4cm，∴⊙O的周长=2×4π=8π（cm）．故选：D．【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，等边三角形的判定．该题利用“有一内角是60度的等腰三角形为等边三角形”证得△AOD是等边三角形．10．如图，AB是⊙O的弦，点C在圆上，已知∠OBA=40°，则∠C=（）A．40° B．50° C．60° D．80°【考点】圆周角定理．【分析】首先根据等边对等角即可求得∠OAB的度数，然后根据三角形的内角和定理求得∠AOB的度数，再根据圆周角定理即可求解．【解答】解：∵OA=OB，∴∠OAB=∠OBA=40°，∴∠AOB=180°﹣40°﹣40°=100°．∴∠C=∠AOB=×100°=50°．故选B．【点评】本题考查了等腰三角形的性质定理以及圆周角定理，正确理解定理是关键．二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）11．如图，在⊙O中，弦AB∥CD，若∠ABC=40°，则∠BOD= 80°．【考点】圆周角定理；平行线的性质．【分析】根据平行线的性质由AB∥CD得到∠C=∠ABC=40°，然后根据圆周角定理求解．【解答】解：∵AB∥CD，∴∠C=∠ABC=40°，∴∠BOD=2∠C=80°．故答案为80°．【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，一条弧所对的圆周角的度数等于它所对的圆心角度数的一半．也考查了平行线的性质．12．如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=3，以顶点D为圆心作半径为r的圆，若要求另外三个顶点A、B、C中至少有一个点在圆内，且至少有一个点在圆外，则r的取值范围是3＜r＜5 ．【考点】点与圆的位置关系．【分析】要确定点与圆的位置关系，主要根据点与圆心的距离与半径的大小关系来进行判断．当d ＞r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上；当d＜r时，点在圆内．【解答】解：在直角△ABD中，CD=AB=4，AD=3，则BD==5．由图可知3＜r＜5．故答案为：3＜r＜5．【点评】此题主要考查了点与圆的位置关系，解决本题要注意点与圆的位置关系，要熟悉勾股定理，及点与圆的位置关系．13．如图，已知∠BOA=30°，M为OB边上一点，以M为圆心、2cm为半径作⊙M．点M在射线OB上运动，当OM=5cm时，⊙M与直线OA的位置关系是相离．【考点】直线与圆的位置关系．【专题】常规题型．【分析】作MH⊥OA于H，如图，根据含30度的直角三角形三边的关系得到MH=OM=，则MH大于⊙M的半径，然后根据直线与圆的位置关系的判定方法求解．【解答】解：作MH⊥OA于H，如图，在Rt△OMH中，∵∠HOM=30°，∴MH=OM=，∵⊙M的半径为2，∴MH＞2，∴⊙M与直线OA的位置关系是相离．故答案为相离．【点评】本题考查了直线与圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，直线l 和⊙O相交⇔d＜r；直线l和⊙O相切⇔d=r；直线l和⊙O相离⇔d＞r．14．如图，正方形ABCD内接于⊙O，其边长为4，则⊙O的内接正三角形EFG的边长为2．【考点】正多边形和圆．【分析】连接AC、OE、OF，作OM⊥EF于M，先求出圆的半径，在RT△OEM中利用30度角的性质即可解决问题．【解答】解；连接AC、OE、OF，作OM⊥EF于M，∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC=4，∠ABC=90°，∴AC是直径，AC=4，∴OE=OF=2，∵OM⊥EF，∴EM=MF，∵△EFG是等边三角形，∴∠GEF=60°，在RT△OME中，∵OE=2，∠OEM=∠GEF=30°，∴OM=，EM=OM=，∴EF=2．故答案为2．【点评】本题考查正多边形与圆、等腰直角三角形的性质、等边三角形的性质等知识，解题的关键是熟练应用这些知识解决问题，属于中考常考题型．15．已知扇形的半径为6cm，圆心角的度数为120°，则此扇形的弧长为4πcm．【考点】弧长的计算．【分析】在半径是R 的圆中，因为360°的圆心角所对的弧长就等于圆周长C=2πR，所以n°圆心角所对的弧长为l=nπR÷180．【解答】解：∵扇形的半径为6cm ，圆心角的度数为120°，∴扇形的弧长为：=4πcm；故答案为：4π．【点评】本题考查了弧长的计算．解答该题需熟记弧长的公式l=．16．如图，半圆O 的直径AB=2，弦CD ∥AB ，∠COD=90°，则图中阴影部分的面积为 ．【考点】扇形面积的计算．【分析】由CD ∥AB 可知，点A 、O 到直线CD 的距离相等，结合同底等高的三角形面积相等即可得出S △ACD =S △OCD ，进而得出S 阴影=S 扇形COD ，根据扇形的面积公式即可得出结论．【解答】解：∵弦CD ∥AB ，∴S △ACD =S △OCD ，∴S 阴影=S 扇形COD =•π•=×π×=．故答案为：． 【点评】本题考查了扇形面积的计算以及平行线的性质，解题的关键是找出S 阴影=S 扇形COD ．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，通过分割图形找出面积之间的关系是关键．三、解答题（共8题，共72分）17．圆锥底面圆的半径为3m ，其侧面展开图是半圆，求圆锥母线长．【考点】圆锥的计算．【分析】侧面展开后得到一个半圆就是底面圆的周长．依此列出方程即可．【解答】解：设母线长为x ，根据题意得2πx÷2=2π×3，解得x=6．故圆锥的母线长为6m．【点评】本题考查圆锥的母线长的求法，注意利用圆锥的弧长等于底面周长这个知识点．18．在一个底面直径为5cm，高为18cm的圆柱形瓶内装满水，再将瓶内的水倒入一个底面直径是6cm，高是10cm的圆柱形玻璃杯中，能否完全装下？若未能装满，求杯内水面离杯口的距离．【考点】圆柱的计算．【专题】计算题．【分析】设将瓶内的水倒入一个底面直径是6cm，高是10cm的圆柱形玻璃杯中时，水面高为xcm，根据水的体积不变和圆柱的条件公式得到π•（）2•x=π•（）2•18，解得x=12.5，然后把12.5与10进行大小比较即可判断能否完全装下．【解答】解：设将瓶内的水倒入一个底面直径是6cm，高是10cm的圆柱形玻璃杯中时，水面高为xcm，根据题意得π•（）2•x=π•（）2•18，解得x=12.5，∵12.5＞10，∴不能完全装下．【点评】本题考查了圆柱：圆柱的母线（高）等于展开后所得矩形的宽，圆柱的底面周长等于矩形的长；圆柱的侧面积=底面圆的周长×高；圆柱的表面积=上下底面面积+侧面积；圆柱的体积=底面积×高．19．如图，AB和CD分别是⊙O上的两条弦，过点O分别作ON⊥CD于点N，OM⊥AB于点M，若ON=AB，证明：OM=CD．【考点】垂径定理；全等三角形的判定与性质．【专题】证明题．【分析】设圆的半径是r，ON=x，则AB=2x，在直角△CON中利用勾股定理即可求得CN的长，然后根据垂径定理求得CD的长，然后在直角△OAM中，利用勾股定理求得OM的长，即可证得．【解答】证明：设圆的半径是r，ON=x，则AB=2x，在直角△CON中，CN==，∵ON⊥CD，∴CD=2CN=2，∵OM⊥AB，∴AM=AB=x，在△AOM中，OM==，∴OM=CD．【点评】此题涉及圆中求半径的问题，此类在圆中涉及弦长、半径、圆心角的计算的问题，常把半弦长，半圆心角，圆心到弦距离转换到同一直角三角形中，然后通过直角三角形予以求解．20．如图为桥洞的形状，其正视图是由和矩形ABCD构成．O点为所在⊙O的圆心，点O又恰好在AB为水面处．若桥洞跨度CD为8米，拱高（OE⊥弦CD于点F ）EF为2米．求所在⊙O的半径DO．【考点】垂径定理的应用；矩形的性质．【分析】先根据垂径定理求出DF的长，再由勾股定理即可得出结论．【解答】解：∵OE⊥弦CD于点F，CD为8米，EF为2米，∴EO垂直平分CD，DF=4m，FO=DO﹣2，在Rt△DFO中，DO2=FO2+DF2，则DO2=（DO﹣2）2+42，解得：DO=5；答：所在⊙O的半径DO为5m．【点评】本题考查的是垂径定理的应用，此类题中一般使用列方程的方法，这种用代数方法解决几何问题即几何代数解的数学思想方法一定要掌握．21．△ABC是⊙O的内接三角形，BC=．如图，若AC是⊙O的直径，∠BAC=60°，延长BA到点D，使得DA=BA，过点D作直线l⊥BD，垂足为点D，请将图形补充完整，判断直线l和⊙O的位置关系并说明理由．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】作OF⊥l于F，CE⊥l于E，设AD=a，则AB=2AD=2a，只要证明OF是梯形ADEC的中位线即可解决问题．【解答】解：图形如图所示，直线l与⊙O相切．理由：作OF⊥l于F，CE⊥l于E，∵AC是直径，∴∠ABC=90°，∵l⊥BD，∴∠BDE=90°，∵OF⊥l，CE⊥l，∴AD∥OF∥CE，∵AO=OC，∴DF=FE，∴OF=（AD+CE），设AD=a，则AB=2AD=2a，∵∠ABC=∠BDE=∠CED=90°，∴四边形BDEC是矩形，∴CE=BD=3a，∴OF=2a，∵在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠ACB=30°，AB=2a，∴AC=4a，∴OF=OA=2a，∴直线l是⊙O切线．【点评】本题考查直线与圆的位置关系、图形中位线的性质等知识，解题的关键是添加辅助线，要证明切线的方法有两种，一是连半径，证垂直，二是作垂直，正半径，此题则是运用第二种方法．22．如图直角坐标系中，已知A（﹣8，0），B（0，6），点M在线段AB上．（1）如图1，如果点M是线段AB的中点，且⊙M的半径为4，试判断直线OB与⊙M的位置关系，并说明理由；（2）如图2，⊙M与x轴、y轴都相切，切点分别是点E、F，试求出点M的坐标．【考点】直线与圆的位置关系；坐标与图形性质．【分析】（1）设线段OB的中点为D，连结MD，根据三角形的中位线求出MD，根据直线和圆的位置关系得出即可；（2）求出过点A、B的一次函数关系式是y=x+6，设M（a，﹣a），把x=a，y=﹣a代入y=x+6得出关于a的方程，求出即可．【解答】解：（1）直线OB与⊙M相切，理由：设线段OB的中点为D，连结MD，如图1，∵点M是线段AB的中点，所以MD∥AO，MD=4．∴∠AOB=∠MDB=90°，∴MD⊥OB，点D在⊙M上，又∵点D在直线OB上，∴直线OB与⊙M相切；，（2）解：连接ME，MF，如图2，∵A（﹣8，0），B（0，6），∴设直线AB的解析式是y=kx+b，∴，解得：k=，b=6，即直线AB的函数关系式是y=x+6，∵⊙M与x轴、y轴都相切，∴点M到x轴、y轴的距离都相等，即ME=MF，设M（a，﹣a）（﹣8＜a＜0），把x=a，y=﹣a代入y=x+6，得﹣a=a+6，得a=﹣，∴点M的坐标为（﹣，）．【点评】本题考查了直线和圆的位置关系，用待定系数法求一次函数的解析式的应用，能综合运用知识点进行推理和计算是解此题的关键，注意：直线和圆有三种位置关系：已知⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离是，当d=r时，直线l和⊙O相切．23．已知等边三角形ABC，AB=12，以AB为直径的半圆与BC边交于点D，过点D作DF⊥AC，垂足为F，过点F作FG⊥AB，垂足为G，连接GD，（1）求证：DF与⊙O的位置关系并证明；（2）求FG的长．【考点】直线与圆的位置关系；等边三角形的性质；勾股定理；垂径定理．【分析】（1）连接OD，证∠ODF=90°即可．（2）利用△ADF是30°的直角三角形可求得AF长，同理可利用△FHC中的60°的三角函数值可求得FG长．【解答】（1）证明：连接OD，∵以等边三角形ABC的边AB为直径的半圆与BC边交于点D，∴∠B=∠C=∠ODB=60°，∴OD∥AC，∵DF⊥AC，∴∠CFD=∠ODF=90°，即OD⊥DF，∵OD是以边AB为直径的半圆的半径，∴DF是圆O的切线；（2）∵OB=OD=AB=6，且∠B=60°，∴BD=OB=OD=6，∴CD=BC﹣BD=AB﹣BD=12﹣6=6，∵在Rt△CFD中，∠C=60°，∴∠CDF=30°，∴CF=CD=×6=3，∴AF=AC﹣CF=12﹣3=9，∵FG⊥AB，∴∠FGA=90°，∵∠FAG=60°，∴FG=AFsin60°=．【点评】本题主要考查了直线与圆的位置关系、等边三角形的性质、垂径定理等知识，判断直线和圆的位置关系，一般要猜想是相切，那么证直线和半径的夹角为90°即可；注意利用特殊的三角形和三角函数来求得相应的线段长．24．如图，等边△ABC的边长为2，E是边BC上的动点，EF∥AC交边AB于点F，在边AC上取一点P，使PE=EB，连接FP．（1）请直接写出图中与线段EF相等的两条线段；（不再另外添加辅助线）（2）探究：当点E在什么位置时，四边形EFPC是平行四边形？并判断四边形EFPC是什么特殊的平行四边形，请说明理由；（3）在（2）的条件下，以点E为圆心，r为半径作圆，根据⊙E与平行四边形EFPC四条边交点的总个数，求相应的r的取值范围．【考点】点与圆的位置关系；等边三角形的性质；平行四边形的判定；菱形的判定．【专题】探究型．【分析】（1）由平行易得△BFE是等边三角形，那么各边是相等的；（2）当点E是BC的中点时，△PEC为等边三角形，可得到PC=EC=BE=EF，也就得到了四边形EFPC 是平行四边形，再有EF=EC可证为菱形；（3）根据各点到圆心的距离作答即可．【解答】解：（1）如图，∵△ABC是等边三角形，∴∠B=∠A=∠C=60°．又∵EF∥AC，∴∠BFE=∠A=60°，∠BEF=∠C=60°，∴△BFE是等边三角形，PE=EB，∴EF=BE=PE=BF；（2）当点E是BC的中点时，四边形是菱形；∵E是BC的中点，∴EC=BE，∵PE=BE，∴PE=EC，∵∠C=60°，∴△PEC是等边三角形，∴PC=EC=PE，∵EF=BE，∴EF=PC，又∵EF∥CP，∴四边形EFPC是平行四边形，∵EC=PC=EF，∴平行四边形EFPC是菱形；（3）如图所示：当点E是BC的中点时，EC=1，则NE=ECcos30°=，当0＜r＜时，有两个交点；当r=时，有四个交点；当＜r＜1时，有六个交点；当r=1时，有三个交点；当r＞1时，有0个交点．【点评】本题综合考查了等边三角形的性质和判定，菱形的判定及点和圆的位置关系等知识点．注意圆和线段有交点，应根据半径作答．。

圆24.1 圆的有关性质同步检测题一．选择题（共13 小题）1．已知⊙O 的半径为2，A 为圆内一定点，AO＝1．P 为圆上一动点，以A P 为边作等腰△APG，AP＝PG，∠APG＝120°，OG 的最大值为（）A．1+B．1+2C．2+D． 12．如图，AB，BC 是⊙O 的弦，∠B＝60°，点 O 在∠B 内，点 D 为AC上的动点，点 M，N，P分别是A D，D C，C B 的中点．若⊙O 的半径为2，则P N+MN 的长度的最大值是（）A．1+B．1+2C．2+2D．3．如图，AB 是⊙O 的直径，AB＝10，P 是半径O A 上的一动点，PC⊥AB 交⊙O 于点C，在半径O B 上取点Q，使得O Q＝CP，DQ⊥AB 交⊙O 于点D，点C，D 位于A B 两侧，连接C D 交A B 于点F，点P从点A出发沿A O 向终点O运动，在整个运动过程中，△CFP 与△DFQ 的面积和的变化情况是（）A．一直减小B．一直不变C．先变大后变小D．先变小后变大4．如图，在⊙O 中，弦A B＝6，点C是A B 所对优弧上一点，∠ABC＝120°，BC＝8，点P 为 AB 上方一点，记△PAB 的面积为 S1，△AOB 的面积为 S2，且 S1＝12S2，则 OP+PC的最小值为（）A ．BCD ．105．如图，AB 是⊙O 的直径，点 D ，C 在⊙O 上，∠DOC ＝90°，AD ，BC ＝1，则⊙O的半径为（）A B ．2 C ．2D ．26．如图，在⊙O 中，AB ＝2CD ，那么（）A ． 2CD AB >B ．2CD AB <C ．=2CD ABD ．AB 与2CD 的大小关系无法比较 7．如图，BC 是⊙O 的直径，A ，D 是⊙O 上的两点，连接 A B ，AD ，BD ，若∠ADB ＝70°， 则∠ABC 的度数是（ ）A．20°B．70°C．30°D．90°8．如图，点A、B、C 是⊙O 上的点，OA＝AB，则∠C 的度数为（）A．30°B．45°C．60°D．30°或60°9．如图，AB 是半圆的直径，O 为圆心，C 是半圆上的点，D 是弧AC上的点．若∠BOC ＝500，则∠D 的度数（）A．105°B．115°C．125°D．85°10．如图，四边形A BCD 内接于⊙O，连结O A、OC．若∠AOC＝∠ABC，则∠D 的大小为（）A．50°B．60°C．80°D．120°11．如图，在⊙O 中∠O＝50°，则∠A 的度数为（）A．50°B．20°C．30°D．25°12．如图，AB 为⊙O 的直径，弦CD⊥OB 于E，且点E为半径O B 的中点，连结A C，则∠A 的度数为（）A．20°B．30°C．45°D．60°13．如图，点A、B、C、D 在⊙O 上，OB∥CD．若∠A＝28°，则∠BOD 的大小为（）A．152°B．134°C．124°D．114°二．填空题（共9小题）14．如图，在⊙O 中，弦B C，DE 交于点P，延长B D，EC 交于点A，BC＝10，BP＝2CP，若BDAD＝23，则D P 的长为．15．如图，△ABC 内接于半径为AB 为直径，点 M 是弧AC的中点，连结 BM交AC 于点E，AD 平分∠CAB 交B M 于点D．（1）∠ADB＝°；（2）当点D恰好为B M 的中点时，BC 的长为．16．如图，四边形A BCD 内接于⊙O，∠BOD＝120°，则∠DCE＝．17．如图，点A，B，C，D 是⊙O 上的四个点，已知∠BCD＝110°，格据推断出∠BAD 的度数为70°，则她判断的依据是点．18．如图，⊙O 的半径为2，点A为⊙O 上一点，如果∠BAC＝60°，OD⊥弦B C 于点D，那么O D 的长是．19．如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是⊙O 的弦，点D 是弧AC上的中点，AC＝8，OA＝5，连接AD、BD，则△ABD 的面积是．20．已知：如图，在△ABC 中，AB＝AC，以A B 为直径作圆交B C 于D，交A C 于E．若∠A＝84°，则弧AE的度数为．21．如图，点A，B，C，D 是⊙O 上的四个点，点B是弧A C 的中点，如果∠ABC＝70°，那∠ADB＝．22．如图，MN 为⊙O 的直径，MN＝10，AB 为⊙O 的弦，已知M N⊥AB 于点P，AB＝8，现要作⊙O 的另一条弦C D，使得C D＝6 且C D∥AB，则P C 的长度为．三．解答题（共3小题）23．如图，AB 是⊙O 的直径，点C、D 是⊙O 上的点，且O D∥BC，AC 分别与B D、OD 相交于点E、F．（1）求证：点D为弧AC的中点；（2）若C B＝6，AB＝10，求D F 的长；（3）若⊙O 的半径为5，∠DOA＝80°，点P是线段A B 上任意一点，试求出P C+PD 的最小值．24．如图，以△ABC 的一边AB 为直径的半圆与其它两边AC，BC 的交点分别为D，E，且弧DE=弧BE（1）试判断△ABC 的形状，并说明理由；（2）已知半圆的半径为5，BC＝12，求B D 的长．25．如图，AB 为半圆O的直径，CD 是半圆上两点，AC＝2BC，F 在B D 上且C F⊥CD，求证：AD＝2BF．。

人教版九年级数学上册《24.1圆的有关性质》同步测试题及答案一、选择题1．已知⊙O的半径是2cm，则⊙O中最长的弦长是（）A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm2．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB交于点E．若AE=2，则⊙O的半径为（）A．3 B．4 C．5 D．6⌢=CD⌢，∠COB=40°，则∠A的度数是（）3．如图，AB是⊙O的直径ADA．50°B．55°C．60°D．65°4．如图，∠A是⊙O的圆周角，∠A=40°，则∠BOC=（）A．140°B．40°C．80°D．60°5．明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了“筒车”（一种水利灌溉工具）的工作原理．如图2，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆．已知圆心O在水面上方，且⊙O被水面截得弦AB长为8米，⊙O半径长为6米，若点C为运行轨道的最低点，则点C到弦AB所在直线的距离是（）A．2米B．4米C．(6−2√5)米D．(6+2√5)米6．如图，⊙O的直径AB⊥弦CD于点E，连接BD．若CD=8，OE=3，则BD的长为（）A．√10B．2√3C．√17D．2√57．如图，AB是⊙O的弦，C是⊙O上一点OC⊥AB，垂足为D，若∠A=20°，则∠ABC=（）A．20°B．30°C．35°D．55°8．如图，A，B，C，D是⊙O上的四个点，已知∠ADC=60°，∠BDC=40°，则∠ACB=（）A．60°B．70°C．79°D．80°二、填空题9．如图，在⊙O中，弧AB=弧AC，∠AOB=40°，点D在⊙O上，连接CD，AD，则∠ADC=.10．往直径为52cm的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图，若水面宽AB=48cm，则水的最大深度为cm．11．如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，连接AC，AD．若∠BAC=29°，则∠D=．12．如图，OA，OB，OC都是⊙O的半径，AC，OB交于点D．若AD=CD=8，OD=6，则BD的长为.13．如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，已知∠BCD=130°，则∠BOD=．三、解答题14．如图，AB是⊙O的直径，点C，D均在⊙O上∠ACD=30°，弦AD=4cm，求⊙O的直径．⌢=BC⌢，求∠ABC的度数．15．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，△OAB是等边三角形AB16．石拱桥是我国古代人民勤劳和智慧的结晶（如图①），赵州桥是我国古代石拱桥的代表，图②是根据⌢，桥的跨度（弧所对的弦长）AB=30m，设AB⌢该石拱桥画出的几何图形，桥的主桥拱是圆弧形，表示为AB所在圆的圆心为O，OB，OC为半径，半径OC⊥AB，垂足为D.拱高（弧的中点到弦的距离）CD=5m．（1）直接写出AD与BD的数量关系；（2）求这座石拱桥主桥拱的半径．̂的中点，连结CF交OB于点G，连结BC．17．如图，⊙O的直径AB垂直弦CD于点E，F是圆上一点，D是BF（1）求证：GE＝BE；（2）若AG＝6，BG＝4，求CD的长．参考答案1．D2．C3．B4．C5．C6．D7．C8．D9．20°10．1611．61°12．414．解：∵AB是⊙O的直径∴∠ADB=90°．∵同弧所对的圆周角相等∴∠ABD=∠ACD=30°．∵AD=4∴AB=8．∴⊙O的直径为8cm15．解：∵△OAB是等边三角形∴∠AOB=60°∴∠ADB=12∠AOB=30°∵AB⌢=BC⌢∴∠CDB=∠ADB=30°，∠ADC=60°∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形∴∠ABC=180°−∠ADC=120°．16．（1）AD=BD（2）解：设主桥拱半径为R∵AB=30，CD=5，OC⊥AB∴BD=12AB=12×30=15，OD=OC−CD=R−5在Rt△OBD中，由勾股定理，得OB2=BD2+OD2即R2=152+(R−5)2解得R=25因此，这座石拱桥主桥拱半径约为25m．17．（1）证明：∵D是BF̂的中点∴∠ECG＝∠ECB∵CD⊥AB∴∠CEG＝∠CEB＝90°∴∠CGE＝∠CBE∴CG＝CB∵CE⊥BG（2）解：∵AG＝6，BG＝4 ∴AB＝6+4＝10AB＝5∴OC＝OB＝12∴OG＝OB﹣BG＝5﹣4＝1BG＝2 由（1）知GE＝BE＝12∴OE＝OG+GE＝1+2＝3∴CE＝√OC2−OE2＝4∵直径AB⊥CD∴CD＝2CE＝2×4＝8．。

24.1圆的有关性质同步练习(二)一、单项选择题（本大题共有15小题，每小题3分，共45分）1、下列结论正确的是（）.A. 过圆心的线段是直径B. 半圆是弧C. 弧是半圆D. 弦是直径2、如图，是的外接圆，，则的度数等于（）A.B.C.D.3、给出下列命题：垂直于弦的直线平分弦；平分弦的直径必垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；平分弦的直线必过圆心；弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦，其中正确的命题有个.A.B.C.D.4、如图，是的直径，是垂直于的半径，过上的一点作弦，分别交和与点且，那么与的数量关系是（）A.B.C.D.5、下列命题正确的是（）A. 若两弧的度数相等，则两条弧是等弧B. 若两弧不等，则大弧所对的圆心角较大C. 若弦长等于半径，则弦所对的劣弧的度数为D. 若两弦相等，则它们所对的弧相等6、如图，正方形内接于圆点，在弧上，( ).A.B.C.D.7、图中的五个半圆，邻近的两半圆相切，若两只小虫同时出发，以相同的速度从点到点，甲虫沿、、、路线爬行，乙虫沿路线爬行，则下列结论正确的是（）A. 无法确定B. 甲、乙同时到C. 乙先到点D. 甲先到点8、如图，已知点平面直角坐标系内三点、、，经过点、、，则点的坐标为（）A.B.C.D.9、如图，是的外接圆的直径，为上一点，，垂足为，，，则的长为（）A.B.C.D.10、给定下列图形可以确定一个圆的是（）A. 已知圆心B. 已知半径C. 已知直径D. 三个点11、如图，在中，，，为上的任意一点，、、、是上的四个点，则的角度为（）A.B.C.D.12、如图，是的直径，，则的度数为（）A.B.C.D.13、如图，是的直径，，，则的度数是（）A.B.C.D.14、如图，在中，弦，于点，于点，若，，则的半径的长为（）A.B.C.D.15、已知如图，是的直径，弦于，，，则的直径为（）A.B.C.D.二、填空题（本大题共有5小题，每小题5分，共25分）16、如图，是的直径，点在上，，点在线段上运动，设，则的取值范围是____.17、如图，在四边形中，、、三点在以为圆心的圆周上，延长交于点。

24.1 圆的概念及性质 专题精练备注：安装MathType （数学公式编辑器）软件后，数学符号才能正常显示。

【例1】 已知AD 是O ⊙的直经，AB AC 、是弦，若2AD AB AC =，A B C D ，，，四点构成的四边形的周长．【解析】⑴ 如图1，弦AB AC 、在直径AD 的异侧，连结BD CD 、． ∵AD 是直径，∴90B C ∠=∠=︒， 在Rt ABD ∆中，222BD AD AB =-， 则1BD ==，在Rt ACD ∆中，222CD AD AC =-， 则CD ==∴四边形周长为11AB BD CD AC +++． ⑵ 如图2，弦AB AC 、在直径AD 的同侧，连结CB BD CD 、、，过C 点作CE AB ⊥于E ．∵AD 是直径，∴90ACD ABD ∠=∠=︒在Rt ABD ∆中，222BD AD AB =-， 则1BD ==，在Rt ACD ∆中，222CD AD AC =-，则CD ==∴AC CD =，∴45CAD CDA ∠=∠=︒，∴45ABC ADC ∠=∠=︒， ∵CE AB ⊥，∴90CEB ∠=︒，∴45ECB ∠=︒，∴CE EB =．设CE EB x==，则AE x ， 在Rt ACE ∆中，222AE CE AC +=， 即)222x x+=，整理得2210x -+=，解得x ∵CE AE <，∴CE =，∴BC =，∴四边形周长123AC CB BD AD ++++=． 图1图2【答案】1+3．【巩固】已知：如图，面积为2的四边形ABCD 内接于O ⊙，对角线AC 经过圆心，若45BAD ∠=︒，CD AB 的长等于 ．【例2】 如图，四边形ABCD 为正方形，O 过正方形的顶点A 和对角线的交点P ，分别交AB AD ，于点F E ，． （1）求证：DE AF = （2）若O，1AB ，求AEED的值．【答案】（1）如图，连接PE PF EF ，，．因为90EAF ∠=︒，所以EF 为O 的直径．于是，90FPE ∠=︒．又90APD ∠=︒，所以，EPD APF ∠=∠．显然，PD PA =，45PAF PDE ∠=∠=︒．因此，PDE PAF △≌△．故DE AF =．（2）因为DE AF =，所以1AE AF AD +==．又222AE AF EF +=，即()223AE AF AE AF +-⋅=．故AE AF ⋅=AE AF ，是一元二次方程)210x x -=的两个根．解得AE ，1AF =或1AE =，AF ．所以AEED=2．【例3】 在同圆中，CD 的度数小于180︒，且2A B C D =，那么弦AB 和弦CD 的大小关系为（ ）A ．AB CD > B ．AB CD =C ．AB CD < D ．无法确定【解析】D ．如图当CD 的度数为120︒时，AB CD =；当CD 的度数大于120︒时，AB CD <，当CD 的度数小于120︒时，CD AB <． 【答案】D【巩固】如图所示在O ⊙中，2AB CD =，那么（ ）A.2AB CD >B.2A B C D <C.2AB CD =D.AB 与2CD 的大小关系不能确定【解析】如图所示，作DE CD =，则2CE CD =，∵在CDE ∆中CD DE CE +>，∴2CD CE >， ∵2AB CD =，∴AB CE >，∴AB CE >，即2AB CD >．故选A ．【答案】A【例4】 已知AB AC 、是O ⊙的弦，AD 平分BAC ∠交O ⊙于D ，弦DE AB ∥交AC 于P ，求证：OP 平分APD ∠．【答案】过O 点分别作OF AC OG DE ⊥⊥，，垂足分别为F G 、． ∵DE AB ∥，∴BAD D ∠=∠，∵AD 平分BAC ∠，∴BAD CAD ∠=∠，∴CAD D ∠=∠， ∴AE CD =，∴AE EC CD EC +=+，即AC DE = ∴AC DE =，∵OF AC OG DE ⊥⊥，，∴OF OG =， ∴点O 在APD ∠的平分线上，即OP 平分APD ∠．【巩固】如图，过O ⊙的直径AB 上两点M N ，，分别作弦CD EF ，，若(C)A(C)(C)CD EF AC BF =，∥．求证：⑴ BEC ADF =；⑵AM BN =．【答案】⑴∵AC BF =，∴AC BF =，∵AB 是直径，∴AEB ADB =，∴AEB AC ADB BF -=-，即BEC ADF =． ⑵可知CAM FBN ∠=∠，∵CD EF ∥，∴CMA DMB FNB ∠=∠=∠，又AC BF =，∴ACM BFN ∆∆≌，∴AM BN =．【例5】 已知点A 、B 、C 、D 顺次在O ⊙上，AB BD =，BM AC ⊥于点M ，求证：AM DC CM =+．【解析】证法一：如图a ，作BN DC ⊥交DC 延长线于N ，先证Rt Rt ABM DBN ∆∆≌，得AM DN =，BM BN =．再由Rt Rt BMC BNC ∆∆≌，得CM CN =，故AM MC CD =+ 证法二：如图b ，延长AC 至N ，使MN MA =，而BM AC ⊥，则BN BA BD ==，得BDN BND ∠=∠， 且BAM BNM ∠=∠，而BAC BDC ∠=∠， 故CDN CND ∠=∠，则CD CN =，最后可证得：AM MC CD =+． 证法三：如图c ，利用对称性把条件转移，仍用”接”的办法证明．在AB 上取一点'C ，使'AC CD =．则'AC CD =．过B 作'BN AC ⊥交'AC 延长线于N ，先证明Rt Rt ABM ABN ∆∆≌，则AM AN =，且BM BN =． 再证明Rt Rt 'BMC BNC ∆∆≌，则'C N CM =， 故有AM MC CD =+ 证法四：如图d ，在AM 上截取AE DC =，则易证BAE BDC ∆∆≌，得BC BE =，BEA BCD ∠=∠，而180BEA BEC ∠+∠=︒，180BCD BAD ∠+∠=︒，BAD BDA BCA ∠=∠=∠， 故BEC BCE ∠=∠，得CM EM =，即AM MC CD =+d cb a本题可将条件”BA BD =“改换成”CB 平分ACD ∆的外角，交O ⊙于B “其结论仍成立．【答案】见解析【巩固】在ABC ∆中，AC BC >，M 是它的外接圆上包含点C 的弧AB 的中点，AC 上的点X 使得MX AC ⊥，求证：AX XC CB =+．【解析】解法一：如图，在XA 上取一点D ，使得XD XC =，连接MA MB MC MD 、、、，由XC XD =，XM CD ⊥ ∴MD MC =，又∵M 是圆上包含点C 的弧AB 的中点， ∴MA MB =，又∵MBC MAD ∠=∠， ∴MAD MBC ∆∆≌， ∴AD BC =，∵AX AD DX =+，∴AX XC BC =+．解法二：如图，过M 点作ME BC ⊥交BC 延长线于E ，连结MA MB MC 、、， ∵M 是圆上包含点C 的弧AB 的中点， ∴MA MB =， ∵MX AC ME BC ⊥⊥，， ∴90AXM BEM ∠=∠=︒，又∵MAX MBE ∠=∠，∴AMX BME ∆∆≌， ∴MX ME AX BE ==，．∵MCE MAB MBA MCA ∠=∠=∠=∠， ∴MCX MCE ∆∆≌， ∴CX CE =，∴AX BE BC CE BC CX ==+=+．(类似此方法还可以”延长BC 到E ，使CE CX =，连结ME “) 解法三：如图，延长AC 到F ，使FX AX =，连结MA MB MC MF 、、、， ∵M 是圆上包含点C 的弧AB 的中点， ∴MA MB =，MAB MBA ∠=∠，∵MX AC AX FX ⊥=，， ∴MA MF =，∴MB MF =，M AF M FA ∠=∠，∵MAC MBC ∠=∠，∴MBC MFC ∠=∠，∵MCA MFC CMF ∠=∠+∠，MCA MBA MAB ∠=∠=∠， ∴MAB MFC CMF ∠=∠+∠， ∵BAC BMC CBM CAM ∠=∠∠=∠，，∴MAB BAC CAM BMC CBM ∠=∠+∠=∠+∠， ∴MFC CMF BMC CBM ∠+∠=∠+∠， ∴BMC CMF ∠=∠，∴MBC MFC ∆∆≌，∴CF BC =， ∴AX FX XC CF XC BC ==+=+．【例6】 如图，ABC ∆是O ⊙的内接三角形，AC BC =，D 为O ⊙中AB 上一点，延长DA 至点E ，使CE CD 、是关于x 的方程()22123412904x m x m m --+-+=的两根．⑴ 求证：AE BD =；⑵若AC BC ⊥，求证：AD BD +．【答案】⑴∵AC BC =，∴AC BC =，∴BAC ABC ADC CDB ∠=∠=∠=∠，∵CE CD 、是关于x 的方程()22123412904x m x m m --+-+=的两根，又此方程()()221234412904m m m ∆=--⨯-+=，∴CE CD =，∴E CDE ∠=∠，∴等腰CDE ∆和等腰ABC ∆的底角相等，则它们的顶角DCE ACB ∠=∠， ∴ECA DCB ∠=∠， ∴ACE BCD ∆∆≌，∴AE BD =．⑵∵AC BC ⊥，∴90ACB ∠=︒， 由⑴可知90ECD ∠=︒，又由⑴AE BD =可知：DE AD BD =+，在CDE ∆中，90DCE CE CD ∠=︒=，，∴DE =，即AD BD +．【巩固】如图，四边形ABCD 内接于圆，AB AD =，且其对角线交于点E ，点F 在线段AC上，使得BFC BAD ∠=∠．若2BAD DFC ∠=∠，求BEDE的值．【解析】由AB AD =，知ABD ADB θ∠=∠=．图 4F EDC BA由等弧对等圆周角知ACD ACB θ∠=∠=． 令DFC ϕ∠=．则2BAD BFC ϕ∠=∠=．故ABD ADB BAD ∠+∠+∠2180θθϕ=++=︒． 于是，90θϕ+=︒，90CDF ∠=︒．另一方面，由1802FBC FCB θϕθ∠=︒--==∠． FB FC ⇒=设边BC 的中点为M ，联结FM ．易知FCD BCM ∆∆≌，由角平分线定理得2BE BCDE CD==．【答案】2。

24．1.1圆知识点1圆的定义1．圆的形成定义：在一个平面内，线段绕它固定的一个端点旋转________，另一个端点所形成的图形叫做圆．圆的集合定义：圆心为O、半径为r的圆可以看成是所有到定点O 的距离等于________的点的集合．2．下列条件中，能确定圆的是()A．以已知点O为圆心B．以1 cm长为半径C．经过已知点A，且半径为2 cmD．以点O为圆心，1 cm长为半径3．如图24－1－1所示，以坐标原点O为圆心的圆与y轴交于点A，B，且OA＝1，则点B的坐标是()图24－1－1A．(0，1) B．(0，－1)C．(1，0) D．(－1，0)4．如图24－1－2所示，若BD，CE都是△ABC的高．求证：B，C，D，E四点在同一个圆上．图24－1－2知识点2与圆有关的概念5．如图24－1－3所示，在⊙O中，________是直径，________是弦，劣弧有________，优弧有________．图24－1－36．如图24－1－4，在⊙O中，点A，O，D以及点B，O，C分别在一条直线上，图中弦的条数是()图24－1－4A．2 B．3 C．4 D．57．下列命题中是真命题的有()①两个端点能够重合的弧是等弧；②圆的任意一条弦把圆分成优弧和劣弧两部分；③长度相等的弧是等弧；④半径相等的两个圆是等圆；⑤直径是圆中最长的弦．A．2个B．3个C．4个D．5个8．若圆的半径为3，则弦AB的长度的取值范围是__________．9．已知：如图24－1－5，OA，OB为⊙O的半径，C，D分别为OA，OB的中点．求证：AD＝BC.图24－1－510．已知：如图24－1－6，在⊙O中，AB为弦，C，D两点在弦AB上，且AC＝BD.求证：△OAC≌△OBD.图24－1－611．如图24－1－7，AB 是⊙O 的直径，点D ，C 在⊙O 上，AD ∥OC ，∠DAB ＝60°，连接AC ，则∠DAC 等于( )图24－1－7A ．15°B ．30°C ．45°D ．60°12．如图24－1－8所示，AB ，MN 是⊙O 中两条互相垂直的直径，点P 在AM ︵上，且不与点A ，M 重合，过点P 作AB ，MN 的垂线，垂足分别是D ，C.当点P 在AM ︵上移动时，矩形PCOD 的形状、大小随之变化，则PC 2＋PD 2的值( )图24－1－8A ．逐渐变大B ．逐渐变小C ．不变D ．不能确定13．如图24－1－9，已知P 是⊙O 外一点，Q 是⊙O 上的动点，线段PQ 的中点为M ，连接OP ，OM.若⊙O 的半径为2，OP ＝4，则线段OM 的最小值是( )图24－1－9A ．0B ．1C ．2D ．314．如图24－1－10，在Rt △ABC 中，以点C 为圆心，BC 长为半径的圆交AB 于点D ，交AC 于点E ，∠BCD ＝40°，则∠A ＝________°.图24－1－1015．如图24－1－11，C 是以点O 为圆心，AB 为直径的半圆上一点，且CO ⊥AB ，在OC 两侧分别作矩形OGHI 和正方形ODEF ，且点I ，F 在OC 上，点H ，E 在半圆上，可证：IG ＝FD.小云发现连接图中已知点得到两条线段，便可证明IG ＝FD.请回答：小云所作的两条线段分别是________和________．图24－1－1116．⊙O 1与⊙O 2的半径分别是r 1，r 2，且r 1和r 2是关于x 的方程x 2－ax ＋14＝0的两个根．若⊙O 1与⊙O 2是等圆，则a 2019的值为________．17．如图24－1－12所示，AB 是⊙O 的弦，半径OC ，OD 分别交AB 于点E ，F ，且AE ＝BF ，请你指出线段OE 与OF 的数量关系，并给予证明．图24－1－1218．在⊙O中，直径AB＝6，BC是弦，∠ABC＝30°，点P在BC上，点Q在⊙O上，且OP⊥PQ.(1)如图24－1－13①，当PQ∥AB时，求PQ的长；(2)如图24－1－13②，当点P在BC上移动时，求PQ长的最大值．图24－1－13教师详解详析1．一周 定长r2．D [解析]∵圆心和半径都确定后才可以确定圆，只有D 选项中具备这两个条件， ∴D 选项正确．3．B [解析]∵圆的半径都相等，∴OB ＝OA ＝1， ∴点B 的坐标是(0，－1)．故选B .4．证明：如图，取BC 的中点F ，连接DF ，EF.∵BD ，CE 都是△ABC 的高， ∴△BCD 和△BCE 都是直角三角形，∴DF ，EF 分别是Rt △BCD 和Rt △BCE 斜边上的中线， ∴DF ＝EF ＝BF ＝CF ，∴B ，C ，D ，E 四点在以点F 为圆心，BF 的长为半径的圆上． 5．AD AD ，AC AC ︵，CD ︵ ADC ︵，CAD ︵6．B [解析] 图中的弦有AB ，BC ，CE ，共3条．7．A [解析] 等弧是完全重合的弧，故①③错误；直径把圆分成两条相等的弧，即两个半圆，故②错误；半径相等的圆可以完全重合，是等圆，故④正确；直径是圆中最长的弦，故⑤正确．故选A .8．0＜AB ≤69．证明：∵OA ，OB 为⊙O 的半径，∴OA ＝OB. ∵C ，D 分别为OA ，OB 的中点， ∴OC ＝OD.在△AOD 和△BOC 中，∵⎩⎨⎧OA ＝OB ，∠O ＝∠O ，OD ＝OC ，∴△AOD ≌△BOC(SAS )， ∴AD ＝BC.10．证明：∵OA ＝OB ， ∴∠A ＝∠B.在△OAC 和△OBD 中，∵⎩⎨⎧OA ＝OB ，∠A ＝∠B ，AC ＝BD ，∴△OAC ≌△OBD(SAS )． 11．B [解析]∵OA ＝OC ， ∴∠CAO ＝∠ACO.∵AD ∥OC ，∴∠DAC ＝∠ACO ， ∴∠DAC ＝∠CAO.∵∠DAB ＝60°，∴∠DAC ＝12∠DAB ＝30°.12．C [解析] 连接OP.∵四边形PCOD 是矩形，∴PC ＝OD ，∴PC 2＋PD 2＝OD 2＋PD 2＝OP 2，为一定值．故选C .13．B [解析] 设OP 与⊙O 交于点N ，连接MN ，OQ ，如图．∵OP ＝4，ON ＝2，∴N 是OP 的中点． 又∵M 是PQ 的中点， ∴MN 为△POQ 的中位线， ∴MN ＝12OQ ＝12×2＝1，∴点M 在以点N 为圆心，1为半径的圆上， ∴当点M 在ON 上时，OM 的值最小，最小值为1. 故选B .14．20 [解析]∵CB ＝CD ，∴∠B ＝∠CDB. ∵∠B ＋∠CDB ＋∠BCD ＝180°，∴∠B ＝12(180°－∠BCD)＝12(180°－40°)＝70°.又∵∠ACB ＝90°，∴∠A ＝90°－∠B ＝20°.15．OH OE [解析] 连接OH ，OE ，如图所示．∵在矩形OGHI 和正方形ODEF 中，IG ＝OH ，OE ＝FD ， 又∵OH ＝OE ， ∴IG ＝FD.16．1 [解析]∵⊙O 1与⊙O 2是等圆，∴r 1＝r 2，即方程x 2－ax ＋14＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝b 2－4ac ＝a 2－4×14＝0，即a 2＝1，∴a ＝±1.又∵r 1＝r 2>0，a ＝r 1＋r 2，∴a ＝1， ∴a 2019＝12019＝1.17．解：OE ＝OF.证明：连接OA ，OB. ∵OA ＝OB ，∴∠A ＝∠B. 又∵AE ＝BF ， ∴△OAE ≌△OBF ， ∴OE ＝OF.18．解：(1)连接OQ.∵PQ ∥AB ，PQ ⊥OP ，∴OP ⊥AB. ∵AB ＝6，∴OB ＝3. ∵∠ABC ＝30°， ∴PB ＝2OP.在Rt △PBO 中，由勾股定理，得PB 2＝OP 2＋OB 2. 设OP ＝x ，则PB ＝2x ，则(2x)2＝x 2＋32， 解得x ＝3(负值已舍去)，∴OP ＝ 3.在Rt △OPQ 中，由勾股定理，得PQ ＝OQ 2－OP 2＝32－（3）2＝ 6. (2)连接OQ ，由勾股定理得 PQ ＝OQ 2－OP 2＝9－OP 2.要使PQ 取最大值，需OP 取最小值，此时OP ⊥BC. ∵∠ABC ＝30°， ∴OP ＝12OB ＝32，此时PQ 最大值＝9－94＝323.24.1.2 垂直于弦的直径知识点 1 圆的对称性1．下列说法中，不正确的是( ) A ．圆既是轴对称图形，又是中心对称图形 B ．圆绕着它的圆心旋转任意角度，都会与自身重合 C ．圆的对称轴有无数条，对称中心只有一个 D ．圆的每一条直径都是它的对称轴 知识点 2 垂径定理2．如图24－1－14，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为M ，下列结论不成立的是( )图24－1－14A ．CM ＝DM B.CB ︵＝DB ︵C ．∠ACD ＝∠ADC D ．OM ＝MB3．如图24－1－15所示，⊙O 的半径为13，弦AB 的长度是24，ON ⊥AB ，垂足为N ，则ON 的长度为( )图24－1－15A ．5B ．7C ．9D ．114．2017·泸州如图24－1－16，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，若AB ＝8，AE＝1，则弦CD的长是()图24－1－16A.7B．27C．6 D．85．2017·金华如图24－1－17，在半径为13 cm的圆形铁片上切下一块高为8 cm的弓形铁片，则弓形弦AB的长为()图24－1－17A．10 cm B．16 cm C．24 cm D．26 cm6．2017·长沙如图24－1－18，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，已知CD＝6，EB＝1，则⊙O的半径为________．图24－1－187．2016·宿迁如图24－1－19，在△ABC中，已知∠ACB＝130°，∠BAC＝20°，BC ＝2，以点C为圆心，CB为半径的圆交AB于点D，则BD的长为________．图24－1－198．如图24－1－20，两个圆都以点O为圆心，大圆的弦AB交小圆于C，D两点．求证：AC＝BD.图24－1－209．如图24－1－21，已知AB，CD是⊙O的两条弦，OE⊥AB于点E，OF⊥CD于点F，OE＝OF.求证：AB＝CD.图24－1－21知识点3垂径定理的推论10．下列说法正确的是()A．垂直于弦的直线平分弦所对的两条弧B．平分弦的直径垂直于弦C．垂直于直径的弦平分这条直径D．弦的垂直平分线经过圆心11．如图24－1－22所示，⊙O的直径CD＝10 cm，AB是⊙O的弦，AM＝BM，OM∶OC＝3∶5，则AB的长为()图24－1－22A．8 cm B.91cmC．6 cm D．2 cm12．如图24－1－23所示，AB是⊙O的直径，∠BAC＝42°，D是弦AC的中点，则∠DOC＝________°.图24－1－2313．2017·西宁如图24－1－24，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点P，AP＝2，BP ＝6，∠APC＝30°，则CD的长为()图24－1－24A.15B．2 5C．2 15D．814．已知⊙O的半径为13 cm，弦AB∥CD，AB＝24 cm，CD＝10 cm，则AB与CD之间的距离为()A．17 cm B．7 cmC．12 cm D．17 cm或7 cm15．如图24－1－25，AB是⊙O的弦，AB的长为8，P是⊙O上一个动点(不与点A，B重合)，过点O作OC⊥AP于点C，OD⊥PB于点D，则CD的长为________．图24－1－2516．如图24－1－26，⊙O的直径为10 cm，弦AB＝8 cm，P是弦AB上的一个动点，则OP长的取值范围是________________．图24－1－2617．如图24－1－27，点A，B，C，D在⊙O上，AB是⊙O的直径，BE＝CE.(1)请写出四个不同类型的正确结论；(2)若BE＝4，AC＝6，求DE的长．图24－1－2718．如图24－1－28，一条公路的转弯处是一段圆弧AB ︵.(1)用直尺和圆规作出AB ︵所在圆的圆心O (要求保留作图痕迹，不写作法)； (2)若AB ︵的中点C 到弦AB 的距离为20 m ，AB ＝80 m ，求AB ︵所在圆的半径．图24－1－2819．有一石拱桥的桥拱是圆弧形，如图24－1－29所示，正常水位下水面宽AB＝60 m，水面到拱顶距离CD＝18 m，当洪水泛滥，水面到拱顶距离为3.5 m时需要采取紧急措施，当水面宽MN＝32 m时，是否需要采取紧急措施？请说明理由．图24－1－29教师详解详析1．D2．D [解析]∵AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为M ，∴M 为CD 的中点，即CM ＝DM ，选项A 成立．由已知得B 为CD ︵的中点，即CB ︵＝DB ︵，选项B 成立．在△ACM 和△ADM 中，∵AM ＝AM ，∠AMC ＝∠AMD ＝90°，CM ＝DM ，∴△ACM ≌△ADM ，∴∠ACD ＝∠ADC ，选项C 成立．而OM 与MB 不一定相等，选项D 不成立．故选D .3．A [解析] 因为ON ⊥AB ，所以AN ＝12AB ＝12×24＝12，∠ANO ＝90°.在Rt △AON中，由勾股定理，得ON ＝OA 2－AN 2＝132－122＝5.故选A .4．B [解析] 连接OC ，则OC ＝4，OE ＝3，在Rt △OCE 中，CE ＝OC 2－OE 2＝42－32＝7.因为CD ⊥AB ，所以CD ＝2CE ＝2 7.5．C [解析] 如图，过点O 作OD ⊥AB 于点C ，交⊙O 于点D. ∵CD ＝8 cm ，OD ＝13 cm ， ∴OC ＝5 cm . 又∵OB ＝13 cm ， 在Rt △BCO 中，根据勾股定理，得BC ＝OB 2－OC 2＝132－52＝12(cm ) .∵OC ⊥AB ， ∴AB ＝2BC ＝24 cm .6．5 [解析] 如图，连接OC ， ∵AB 为⊙O 的直径，CD ⊥AB ，∴CE ＝DE ＝12CD ＝12×6＝3.设⊙O 的半径为x ，则OC ＝x ，OE ＝OB －BE ＝x －1. 在Rt △OCE 中，OC 2＝OE 2＋CE 2， 即x 2＝(x －1)2＋32， 解得x ＝5， ∴⊙O 的半径为5.7．2 3 [解析] 如图，作CE ⊥AB 于点E.∠B ＝180°－∠BAC －∠ACB ＝180°－20°－130°＝30°.在Rt △BCE 中，∵∠CEB ＝90°，∠B ＝30°，BC ＝2， ∴CE ＝12BC ＝1，BE ＝BC 2－CE 2＝ 3.∵CE ⊥BD ，∴BD ＝2BE ＝2 3.8．证明：过点O 作OH ⊥AB 于点H ，如图，则AH ＝BH ，CH ＝DH ，∴AH －CH ＝BH －DH ，即AC ＝BD.9．证明：∵OE ⊥AB ，OF ⊥CD ， ∴AE ＝BE ，CF ＝DF.在Rt △OBE 与Rt △ODF 中，∵⎩⎨⎧OB ＝OD ，OE ＝OF ，∴Rt △OBE ≌Rt △ODF(HL )，∴BE ＝DF ，∴2BE ＝2DF ，即AB ＝CD. 10．D11．A [解析] 如图所示，连接OA. ∵⊙O 的直径CD ＝10 cm ，∴⊙O 的半径为5 cm ，即OA ＝OC ＝5 cm . ∵OM ∶OC ＝3∶5，∴OM ＝3 cm . ∵AM ＝BM ，∴AB ⊥CD.在Rt △AOM 中，AM ＝52－32＝4(cm )， ∴AB ＝2AM ＝2×4＝8(cm )．故选A .12．48 [解析]∵AD ＝CD ，∴OD ⊥AC. ∴∠CDO ＝90°，∴∠DOC ＋∠ACO ＝90°. ∵OA ＝OC ，∴∠ACO ＝∠A ＝42°， ∴∠DOC ＝90°－∠ACO ＝48°.13．C [解析] 作OH ⊥CD 于点H ，连接OC ，如图， ∵OH ⊥CD ，∴HC ＝HD.∵AP ＝2，BP ＝6，∴AB ＝8，∴OA ＝4， ∴OP ＝OA －AP ＝2.在Rt △OPH 中，∵∠OPH ＝30°， ∴OH ＝12OP ＝1.在Rt △OHC 中，∵OC ＝OA ＝4，OH ＝1， ∴CH ＝OC 2－OH 2＝15， ∴CD ＝2CH ＝2 15.14．D [解析]①当弦AB 和CD 的位置如图①所示时，过点O 作OE ⊥AB 于点E ，延长OE 交CD 于点F ，则OF ⊥CD. ∵AB ＝24 cm ，CD ＝10 cm ， ∴AE ＝12 cm ，CF ＝5 cm . ∵OA ＝OC ＝13 cm ， ∴OE ＝5 cm ，OF ＝12 cm ， ∴EF ＝12－5＝7(cm )．②当弦AB 和CD 的位置如图②所示时，过点O 作OE ⊥AB 于点E ，延长EO 交CD 于点F ，则OF ⊥CD.∵AB ＝24 cm ，CD ＝10 cm ， ∴AE ＝12 cm ，CF ＝5 cm . ∵OA ＝OC ＝13 cm ， ∴OE ＝5 cm ，OF ＝12 cm ， ∴EF ＝OF ＋OE ＝17(cm )．∴AB 与CD 之间的距离为7 cm 或17 cm . 15. 4 [解析]∵OC ⊥AP ，OD ⊥PB ， ∴AC ＝PC ，PD ＝BD ， ∴CD 是△ABP 的中位线． ∵AB 的长为8， ∴CD ＝12AB ＝4.16．3 cm ≤OP ≤5 cm [解析] 作直径MN ⊥弦AB ，垂足为D.由垂径定理，得AD ＝DB ＝12AB ＝4 cm .由⊙O 的直径为10 cm ，连接OA ，可得OA ＝5 cm . 由勾股定理，得OD ＝OA 2－AD 2＝3 cm . ∵垂线段最短，半径最长，∴OP 长的取值范围是3 cm ≤OP ≤5 cm .17．解：(1)不同类型的正确结论有：BE ＝12BC ，BD ︵＝CD ︵，BD ＝CD ，OD ⊥BC ，△BOD是等腰三角形，△BDE ≌△CDE ，OB 2＝OE 2＋BE 2等(答案不唯一，合理即可)．(2)∵AB 是⊙O 的直径，∴OA ＝OB.∵BE ＝CE ，∴OD ⊥BC ，OE 为△ABC 的中位线， ∴OE ＝12AC ＝12×6＝3.在Rt △OBE 中，由勾股定理，得 OB ＝OE 2＋BE 2＝32＋42＝5， ∴OD ＝OB ＝5，∴DE ＝OD －OE ＝5－3＝2.18．解：(1)如图①，连接AC ，BC ，作线段AC ，BC 的垂直平分线交于点O ，点O 即为所求．(2)如图②，连接OA ，AB ，OC ，OC 交AB 于点D.∵C 为AB ︵的中点，∴OC ⊥AB ， ∴AD ＝BD ＝12AB ＝40 m .设⊙O 的半径为r m ，则OA ＝r m ，OD ＝OC －CD ＝(r －20)m . 在Rt △OAD 中，∵OA 2＝OD 2＋AD 2， ∴r 2＝(r －20)2＋402，解得r ＝50. 即AB ︵所在圆的半径是50 m .19．解：不需要采取紧急措施．理由：∵CD 为弓形的高，∴AB ︵所在圆的圆心在直线CD 上．设圆心为O ，连接OA ，OC ，OM.设OA ＝R m ，在Rt △AOC 中，AC ＝12AB ＝30 m ，OC ＝OD －CD ＝(R －18)m ，∴R 2＝302＋(R －18)2，解得R ＝34.设CD 交MN 于点E ，DE ＝x m ，在Rt △MOE 中，ME ＝12MN ＝16 m ，OE ＝OD －DE＝(34－x)m ，∴342＝162＋(34－x)2，即x 2－68x ＋256＝0， 解得x 1＝4，x 2＝64(不合题意，舍去)， ∴DE ＝4 m ．∵4 m ＞3.5 m ， ∴不需要采取紧急措施．24.1.3 弧、弦、圆心角知识点 1 圆心角的概念及其计算1．下面四个图中的角，是圆心角的是( )图24－1－302．如图24－1－31，已知AB 为⊙O 的直径，点D 为半圆周上的一点，且AD ︵所对圆心角的度数是BD ︵所对圆心角度数的2倍，则圆心角∠BOD ＝________°.图24－1－313．在半径为2的⊙O 中，弦AB 的长为2，则弦AB 所对的圆心角的度数为________． 知识点 2 弧、弦、圆心角之间的关系4．如图24－1－32，AB ，CD 是⊙O 的两条弦． (1)∵∠AOB ＝∠COD ，∴________，________． (2)∵AB ︵＝CD ︵，∴____________，____________． (3)∵AB ＝CD ，∴____________，____________．图24－1－325．已知：如图24－1－33，AB 是⊙O 的直径，C ，D 是BE ︵的三等分点，∠AOE ＝60°，则∠COE 等于( )图24－1－33A ．40°B ．60°C ．80°D ．120°6．如图24－1－34，AB 是⊙O 的直径，BC ，CD ，DA 是⊙O 的弦，且BC ＝CD ＝DA ，则∠B 等于( )图24－1－34A ．50°B ．60°C ．70°D ．80°7．如图24－1－35，在⊙O 中，C 是AB ︵的中点，∠A ＝50°，则∠BOC ＝________°.图24－1－358．如图24－1－36所示，在⊙O 中，弦AB 与弦CD 相等．求证：AD ︵＝BC ︵.图24－1－369．已知：如图24－1－37，在⊙O 中，AB ︵＝CD ︵，则下列结论：①AB ＝CD ；②AC ＝BD ；③∠AOC ＝∠BOD ；④AC ︵＝BD ︵.其中正确的有( )图24－1－37A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个10．如图24－1－38所示，在⊙O 中，如果AB ︵＝2AC ︵，那么( )图24－1－38A ．AB ＝AC B ．AB ＝2AC C ．AB <2ACD ．AB >2AC11．如图24－1－39，已知在△ABC 中，∠ACB ＝90°，∠B ＝35°，以点C 为圆心，CA 长为半径的圆交AB 于点D ，则AD ︵所对的圆心角为________度．图24－1－3912．如图24－1－40所示，A ，B 是半径为3的⊙O 上的两点，若∠AOB ＝120°，C 是AB ︵的中点，则四边形AOBC 的周长等于________．图24－1－4013．2017·牡丹江如图24－1－41，在⊙O 中，AC ︵＝CB ︵，CD ⊥OA 于点D ，CE ⊥OB 于点E .求证：AD ＝BE .图24－1－4114．如图24－1－42，AB，CD是⊙O的两条直径，过点A作AE∥CD交⊙O于点E，连接BD，DE.求证：BD＝DE.图24－1－4215．已知：如图24－1－43，在⊙O 中，M ，N 分别是半径OA ，OB 的中点，且CM ⊥OA ，DN ⊥OB .求证：AC ︵＝BD ︵.图24－1－4316．如图24－1－44所示，∠AOB ＝90°，C ，D 是AB ︵的三等分点，AB 与OC ，OD 分别交于点E ，F .求证：AE ＝BF ＝CD .图24－1－44教师详解详析1．D [解析]∵圆心角的顶点必须在圆心， ∴选项A ，B ，C 均不对．故选D . 2．603．60° [解析] 如图，连接OA ，OB.∵OA ＝OB ＝AB ＝2，∴△OAB 是等边三角形，∴∠AOB ＝60°. 故弦AB 所对的圆心角的度数为60°. 4．(1)AB ︵＝CD ︵AB ＝CD (2)∠AOB ＝∠COD AB ＝CD (3)∠AOB ＝∠COD AB ︵＝CD ︵5．C [解析]∵C ，D 是BE ︵的三等分点， ∴BC ︵＝CD ︵＝DE ︵，∴∠BOC ＝∠COD ＝∠DOE.∵∠AOE ＝60°，∴∠BOC ＝∠COD ＝∠DOE ＝13(180°－∠AOE)＝13(180°－60°)＝40°，∴∠COE ＝80°.6．B [解析] 连接OC ，OD.∵BC ＝CD ＝DA ，∴∠BOC ＝∠COD ＝∠AOD ＝13×180°＝60°，∴△OBC ，△OCD ，△AOD 都是等边三角形，∴∠B ＝60°.7．40 [解析]∵在⊙O 中，OA ＝OB ，∠A ＝50°，∴∠B ＝50°， ∴∠AOB ＝180°－∠A －∠B ＝80°.∵C 是AB ︵的中点， ∴∠BOC ＝12∠AOB ＝40°.8．证明：∵AB ＝CD ，∴AB ︵＝CD ︵， ∴AB ︵－DB ︵＝CD ︵－DB ︵，即AD ︵＝BC ︵.9．D [解析]∵AB ︵＝CD ︵，根据同弧所对的弦相等，∴AB ＝CD ，故①正确．∵AB ︵－CB ︵＝CD ︵－CB ︵，∴AC ︵＝BD ︵，故④正确．根据同弧所对的弦、圆心角都相等，得②③正确．10．C [解析] 取AB ︵的中点D ，连接AD ，BD ，则AD ︵＝BD ︵＝AC ︵，∴AD ＝BD ＝AC.又∵在△ABD 中，AB ＜AD ＋BD ，∴AB ＜2AC.11．7012．12 [解析]∵C 是AB ︵的中点，∴∠AOC ＝∠BOC.又∵∠AOB ＝120°，∴∠AOC ＝∠BOC ＝60°，∴△AOC 和△BOC 都是等边三角形，∴OA ＝OB ＝CA ＝CB ＝3，∴四边形AOBC 的周长等于12.13．证明：连接OC ，∵AC ︵＝CB ︵， ∴∠AOC ＝∠BOC.∵CD ⊥OA 于点D ，CE ⊥OB 于点E ， ∴∠CDO ＝∠CEO ＝90°. 在△COD 与△COE 中，∵⎩⎨⎧∠DOC ＝∠EOC ，∠CDO ＝∠CEO ，CO ＝CO ，∴△COD ≌△COE(AAS )， ∴OD ＝OE. ∵AO ＝BO ，∴AO －OD ＝BO －OE ，即AD ＝BE. 14．证明：如图，连接OE.∵OA ＝OE ，∴∠A ＝∠OEA. ∵AE ∥CD ，∴∠BOD ＝∠A ，∠DOE ＝∠OEA ， ∴∠BOD ＝∠DOE ，∴BD ＝DE. 15．证明：连接OC ，OD ，则OC ＝OD.∵M ，N 分别是半径OA ，OB 的中点， ∴OM ＝ON.∵CM ⊥OA ，DN ⊥OB ， ∴∠OMC ＝∠OND ＝90°. 在Rt △OMC 和Rt △OND 中，⎩⎨⎧OM ＝ON ，OC ＝OD ，∴Rt △OMC ≌Rt △OND(HL )， ∴∠MOC ＝∠NOD ，∴AC ︵＝BD ︵. 16．证明：连接AC ，BD. ∵C ，D 是AB ︵的三等分点，∴AC ＝CD ＝BD ，且∠AOC ＝13×90°＝30°.∵OA ＝OC ，∴∠OAC ＝∠OCA ＝75°. ∵∠AOB ＝90°，OA ＝OB ， ∴∠OAE ＝∠OBF ＝45°，∴∠AEC ＝∠OAE ＋∠AOC ＝45°＋30°＝75°， ∴AE ＝AC.同理可证BF ＝BD ，∴AE ＝BF ＝CD.24.1.4 圆周角知识点 1 圆周角的概念1．下列四个图中，∠α是圆周角的是( )图24－1－452．如图24－1－46，图中有多少个圆周角？BC ︵所对的圆周角有几个？CD ︵所对的圆周角有几个？图24－1－46知识点 2 圆周角定理3．2017·徐州如图24－1－47，点A ，B ，C 在⊙O 上，∠AOB ＝72°，则∠ACB 等于( )图24－1－47A ．28°B ．54°C ．18°D ．36°4．如图24－1－48所示，把一个量角器放置在△ABC 的上面，根据量角器的读数可得∠BAC 的度数是( )图24－1－48A ．60°B ．30°C ．20°D ．15°5．如图24－1－49，A ，B ，P 是半径为2的⊙O 上的三点，∠APB ＝45°，则弦AB 的长为( )图24－1－49A.2B ．2 C ．2 2D ．46．2017·义乌如图24－1－50，一块含45°角的三角尺，它的一个锐角顶点A 在⊙O 上，边AB ，AC 分别与⊙O 交于点D ，E ，则∠EOD ＝________°.图24－1－50知识点 3 圆周角定理的推论7．如图24－1－51，在⊙O 中，AB ︵＝AC ︵，∠BAC ＝50°，则∠AEC 的度数为( )图24－1－51A ．50°B ．55°C ．65°D ．75°8．如图24－1－52，已知AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，若∠CAB ＝40°，则∠ABC ＝________°.图24－1－529．2017·湖州如图24－1－53，已知在△ABC 中，AB ＝AC .以AB 为直径作半圆O ，交BC 于点D .若∠BAC ＝40°，则AD ︵的度数是________度．图24－1－5310．如图24－1－54所示，已知四边形ABCD 的四个顶点均在⊙O 上，AB ＝BC ，BD 交AC 于点E .求证：DB 平分∠ADC .图24－1－54知识点4圆内接多边形11．2017·淮安如图24－1－55，在圆内接四边形ABCD中，若∠A，∠B，∠C的度数之比为4∶3∶5，则∠D的度数是________°.图24－1－5512．如图24－1－56所示，四边形ABCD内接于⊙O，∠B＝50°，∠ACD＝25°，∠BAD＝65°.求证：(1)AD＝CD；(2)AB是⊙O的直径．图24－1－5613．2017·云南如图24－1－57，B，C是⊙A上的两点，AB的垂直平分线与⊙A交于E，F两点，与线段AC交于点D.若∠BFC＝20°，则∠DBC＝()图24－1－57A．30°B．29°C．28°D．20°14．2017·西宁如图24－1－58，四边形ABCD内接于⊙O，点E在BC的延长线上，若∠BOD＝120°，则∠DCE＝________°.图24－1－5815．如图24－1－59，一块三角尺ABC的斜边AB与量角器的直径恰好重合，点D对应的刻度是58°，则∠ACD＝________°.图24－1－5916．已知：如图24－1－60，AB为⊙O的直径，AB＝AC，BC交⊙O于点D，AC交⊙O 于点E，∠BAC＝45°.(1)求∠EBC的度数；(2)求证：BD＝CD.图24－1－6017．如图24－1－61，AB 是⊙O 的直径，C 为AE ︵的中点，CD ⊥AB 于点D ，交AE 于点F ，连接AC .求证：AF ＝CF .图24－1－6118．2017·六盘水如图24－1－62，MN 是⊙O 的直径，MN ＝4，点A 在⊙O 上，∠AMN＝30°，B 为AN ︵的中点，P 是直径MN 上一动点．(1)利用尺规作图，确定当P A ＋PB 最小时点P 的位置(不写作法，但要保留作图痕迹)； (2)求P A ＋PB 的最小值．图24－1－62教师详解详析1．C [解析] 根据圆周角的定义，顶点在圆上，可排除选项D .根据两边都与圆相交可排除选项A ，B .故选C .2．解：图中有8个圆周角，BC ︵所对的圆周角有1个，是∠BDC ；CD ︵所对的圆周角有2个，分别是∠CBD ，∠CAD.3．D [解析] 根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，得∠ACB ＝12∠AOB ＝12×72°＝36°.4．D5．C [解析] 如图，连接OA ，OB.因为∠APB 和∠AOB 分别是AB ︵所对的圆周角和圆心角，所以∠AOB ＝2∠APB ＝2×45°＝90°.在Rt △AOB 中，OA ＝OB ＝2，由勾股定理，得AB ＝2 2.故选C .6．90 [解析]∠EOD ＝2∠A ＝2×45°＝90°.7．C [解析]∵AB ︵＝AC ︵，∴AB ＝AC.∵∠BAC ＝50°，∴∠ABC ＝12(180°－50°)＝65°，∴∠AEC ＝∠ABC ＝65°.故选C .8．50 [解析]∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°，∴∠ABC ＝90°－∠CAB ＝90°－40°＝50°.9．140 [解析] 连接AD ，OD.∵AB 为圆的直径，∴∠ADB ＝90°.又∵AB ＝AC ，∠BAC ＝40°，根据“等腰三角形三线合一”得到AD 平分∠BAC ，∴∠OAD ＝20°.又∵OA ＝OD ，∴∠BOD ＝2∠OAD ＝40°，∴∠AOD ＝140°.即AD ︵的度数是140度．10．证明：∵AB ＝BC ，∴AB ︵＝BC ︵，∴∠ADB ＝∠BDC ， 即DB 平分∠ADC.11．120 [解析] 因为四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，所以∠A ＋∠C ＝∠B ＋∠D ＝180°.因为∠A ，∠B ，∠C 的度数之比为4∶3∶5，所以∠A ，∠B ，∠C ，∠D 的度数之比为4∶3∶5∶6，所以∠D ＝63＋6×180°＝120°.12．证明：(1)∵四边形ABCD 内接于⊙O ， ∴∠D ＝180°－∠B ＝130°. 又∵∠ACD ＝25°，∴∠DAC ＝180°－∠D －∠ACD ＝180°－130°－25°＝25°， ∴∠DAC ＝∠ACD ，∴AD ＝CD.(2)∵∠BAC ＝∠BAD －∠DAC ＝65°－25°＝40°，∠B ＝50°， ∴∠ACB ＝180°－∠B －∠BAC ＝180°－50°－40°＝90°， ∴AB 是⊙O 的直径．13．A [解析]∵∠BFC ＝20°， ∴∠BAC ＝2∠BFC ＝40°. ∵AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠ACB ＝180°－40°2＝70°.又∵EF 是线段AB 的垂直平分线， ∴AD ＝BD ，∴∠A ＝∠ABD ＝40°，∴∠DBC ＝∠ABC －∠ABD ＝70°－40°＝30°. 故选A .14．60 [解析]∵∠BOD ＝120°，∴∠BAD ＝60°.又∵∠BAD ＋∠BCD ＝180°，∠DCE ＋∠BCD ＝180°，∴∠DCE ＝∠BAD ＝60°.15．61 [解析] 设AB 的中点为O ，连接OD.∵三角尺ABC 的斜边AB 与量角器的直径恰好重合，∴点C 在以AB 为直径的圆上．∵点D 对应的刻度是58°，∴∠DCB ＝12×58°＝29°，∴∠ACD ＝90°－29°＝61°.16．解：(1)∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠AEB ＝90°.又∵∠BAC ＝45°，∴∠ABE ＝45°. ∵AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠C ＝67.5°，∴∠EBC ＝∠ABC －∠ABE ＝67.5°－45°＝22.5°. (2)证明：连接AD. ∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ADB ＝90°，∴AD ⊥BC. 又∵AB ＝AC ， ∴BD ＝CD.17．证明：如图，连接BC.∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ACB ＝90°， 即∠ACF ＋∠BCD ＝90°.∵CD ⊥AB ，∴∠B ＋∠BCD ＝90°， ∴∠ACF ＝∠B. ∵C 为AE ︵的中点，∴AC ︵＝CE ︵， ∴∠B ＝∠CAE ， ∴∠ACF ＝∠CAE ， ∴AF ＝CF.18．[解析] (1)画出点A 关于MN 的对称点A′，连接A′B ，与MN 的交点即为点P. (2)利用∠AMN ＝30°得∠AON ＝∠A′ON ＝60°，又由B 为AN ︵的中点，可得∠BON ＝30°，∴∠A ′OB ＝90°，再由勾股定理求得PA ＋PB 的最小值为2 2.解：(1)如图，点P 即为所求．(2)如图，连接OA ，OA ′，OB.由(1)可得，PA ＋PB 的最小值即为线段A′B 的长．∵点A′和点A 关于MN 对称且∠AMN ＝30°，∴∠AON ＝∠A′ON ＝2∠AMN ＝60°.又∵B 为AN ︵的中点，∴∠BON ＝12∠AON ＝30°，∴∠A ′OB ＝90°.∵MN ＝4，∴OB ＝OA ′＝2.在Rt △A ′OB 中，由勾股定理得A ′B ＝22＋22＝2 2.∴PA ＋PB 的最小值是2 2.。

初中数学试卷 桑水出品24.1 圆（第三课时 ）--------- 弧、弦、圆心角知识点1、圆心角定义：顶点在的角叫做圆心角2、定理：在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量 ，它们所对应的其余各组量也分别 。

一、选择题1．如果两个圆心角相等，那么（ ）A ．这两个圆心角所对的弦相等;B ．这两个圆心角所对的弧相等C ．这两个圆心角所对的弦的弦心距相等;D ．以上说法都不对2.下列语句中不正确的有（ ）①相等的圆心角所对的弧相等 ②平分弦的直径垂直于弦 ③圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴 ④长度相等的两条弧是等弧A.3个B.2个C.1个D.以上都不对3.已知、是同圆的两段弧，且=2，则弦AB 与CD 之间的关系为（ ）A.AB=2CDB.AB<2CDC.AB>2CDD.不能确定4. 如图，AB 是 ⊙O 的直径，C ，D 是»BE上的三等分点，∠AOE=60°，则∠COE 是（ ） A ． 40° B. 60° C. 80° D. 120 °OED C B A5、如图，半圆O 的直径AB=10cm ，弦AC=6cm ，AD 平分∠BAC ，则AD 的长为（ ）A ． cmB ． cmC ． cmD ． 4cmA.4B.82C.24D.16 二、填空题 1.已知圆O 的半径为5,弦AB 的长为5,则弦AB 所对的圆心角∠AOB = .2. 如图，AB 是 ⊙O 的直径，BC⌒ =BD ⌒ ,∠A=25°， 则∠BOD= . OD CBA3.在⊙O 中，弦AB 所对的劣弧为圆周的41，圆的半径等于12，则圆心角∠AOB ＝ ；弦AB 的长为 . 4.如图，在⊙O 中，»»AB AC ，∠B =70°，则∠A 等于 ．CB AO5．如图，AB 和DE 是⊙O 的直径，弦AC ∥DE ，若弦BE=3，则弦CE=___ _____．O BACE D6. 等腰△ABC 的顶角∠A ＝120°，腰AB ＝AC ＝10，△ABC 的外接圆半径等于 .CO BA三、解答题1、如图，在⊙O 中 ,AB =AC ,∠ACB=60°，求证∠AOB ＝∠BOC ＝∠AOC .2、如图，在⊙O中，AB、CD是两条弦，OE⊥AB，OF⊥CD，垂足分别为EF．（1）如果∠AOB=∠COD，那么OE与OF的大小有什么关系？为什么？（2）如果OE=OF，那么»AB与»CD的大小有什么关系？AB与CD的大小有什么关系？为什么？∠AOB与∠COD呢？D3．如图，在⊙O中，C、D是直径AB上两点，且AC=BD，MC⊥AB，ND⊥AB，M、N•在⊙O上．（1）求证：¼AM=»BN；（2）若C、D分别为OA、OB中点，则¼¼»AM MN NB==成立吗？BA4．如图，∠AOB=90°，C、D是AB三等分点，AB分别交OC、OD于点E、F，求证：AE=BF=CD．OFE DC5、如图，以⊙O的直径BC为一边作等边△ABC,AB、AC交⊙O于D、E,求证：BD=DE=EC24.1 圆（第三课时 ）--------- 弧、弦、圆心角知识点1.圆心2.相等 相等一、选择题1．D2.C 下列语句中不正确的有（ ）①相等的圆心角所对的弧相等 ②平分弦的直径垂直于弦 ③圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴 ④长度相等的两条弧是等弧A.3个B.2个C.1个D.以上都不对3.B 已知、是同圆的两段弧，且=2，则弦AB 与CD 之间的关系为（ ）A.AB=2CDB.AB<2CDC.AB>2CDD.不能确定4. C 如图，AB 是 ⊙O 的直径，C ，D 是»BE上的三等分点，∠AOE=60°，则∠COE 是（ ） A ． 40° B. 60° C. 80° D. 120 °O E D C B A5、A6.B 二、填空题1. 60°2.50°3.90°, 122 .4. 40° ．5．36. 10三、解答题1∠︒∴∴∴∠∠∠Q V 、证明：AB=AC,ACB=60ABC 是等边三角形AB=AC=BCAOB=AOC=BOC2、D解：（1）如果∠AOB=∠COD ，那么OE=OF理由是：∵∠AOB=∠COD∴AB=CD∵OE ⊥AB ，OF ⊥CD∴AE=12AB ，CF=12CD ∴AE=CF又∵OA=OC∴Rt △OAE ≌Rt △OCF∴OE=OF（2）如果OE=OF ，那么AB=CD ，»AB =»CD ，∠AOB=∠COD 理由是：∵OA=OC ，OE=OF∴Rt △OAE ≌Rt △OCF∴AE=CF又∵OE ⊥AB ，OF ⊥CD∴AE=12AB ，CF=12CD ∴AB=2AE ，CD=2CF∴AB=CD∴»AB =»CD ，∠AOB=∠COD3．（1）连结OM 、ON ，在Rt △OCM 和Rt △ODN 中OM=ON ，OA=OB ，∵AC=DB ，∴OC=OD ，∴Rt △OCM ≌Rt △ODN ，∴∠AOM=∠BON ，∴¼»AM NB =（2）¼¼»AM MN NB ==BA4．AOFE DC连结AC 、BD ，∵C 、D 是»AB 三等分点， ∴AC=CD=DB ，且∠AOC=13×90°=30°， ∵OA=OC ，∴∠OAC=∠OCA=75°，又∠AEC=∠OAE+∠AOE=45°+30°=75°， ∴AE=AC ，同理可证BF=BD ，∴AE=BF=CD5,OEC ∴∠∠︒∴∴∠︒∠︒∴∠︒∠∠︒∴∠∠∠∴Q V Q V V 、证明：连接OD 、OEABC 是等边三角形B=C=60OB=OD,OE=OCOBD 是等边三角形是等边三角形BOD=60,EOC=60DOE=180-BOD-EOC=60BOD=DOE=EOCBD=DE=EC。

⼈教版九年级数学上册24.1与圆有关的性质同步训练（含答案）⼈教版九年级数学上册24.1 与圆有关的性质同步训练⼀、选择题（本⼤题共8道⼩题）1. 如图所⽰，⊙O的半径为13，弦AB的长度是24，ON⊥AB，垂⾜为N，则ON＝()A. 5B. 7C. 9D. 112. 如图，以O为圆⼼的两个同⼼圆中，⼩圆的弦AB的延长线交⼤圆于点C.若AB＝4，BC＝1，则下列整数与圆环⾯积最接近的是()A．10 B．13 C．16 D．193. 有下列说法：(1)直径是弦；(2)弦是直径；(3)半圆是弧，但弧不⼀定是半圆；(4)半径相等的两个圆是等圆；(5)长度相等的两条弧是等弧．其中错误的有() A．1个B．2个C．3个D．4个4. 如图，⊙O的半径为8 cm，把劣弧AB沿AB折叠，使劣弧AB经过圆⼼O，再把劣弧CD沿CD折叠，使劣弧CD经过AB的中点E，则折痕CD的长为()A．8 cm B．8 3 cm C．27 cm D．47 cm5. 如图，量⾓器的零刻度线与三⾓尺ABC的斜边AB重合，其中量⾓器的零刻度线的端点N与点A重合，射线CP从CA处出发按顺时针⽅向以每秒2度的速度旋转，CP与量⾓器的半圆弧交于点E，第24秒时，点E在量⾓器上对应的读数是()A ．48°B ．64°C ．96°D ．132°6. 如图，A ，B ，C ，D 是⊙O 上的四个点，B是AC ︵的中点，M 是半径OD 上任意⼀点．若∠BDC ＝40°，则∠AMB 的度数不可能是( )A ．45°B ．60°C ．75°D ．85°7. 如图，有⼀个⽔平放置的透明⽆盖的正⽅体容器，容器⾼8 cm ，将⼀个球放在容器⼝，再向容器内注⽔，当球⾯恰好接触⽔⾯时测得⽔深为6 cm.若不计容器壁厚度，则球的半径为( )A ．5 cmB ．6 cmC ．7 cmD ．8 cm8. 2020·武汉模拟⼩名同学响应学习号召，在实际⽣活中发现问题，并利⽤所学的数学知识解决问题，他将汽车轮胎如图放置在地⾯台阶直⾓处，他测量了台阶⾼a 为160 mm ，直⾓顶点A 到轮胎与地⾯接触点B 的距离AB 为320 mm ，请帮⼩名同学计算轮胎的直径为( )A ．350 mmB ．700 mmC．800 mm D．400 mm⼆、填空题（本⼤题共8道⼩题）9. 如图，AT切⊙O于点A，AB是⊙O的直径．若∠ABT＝40°，则∠ATB＝________.10. 如图所⽰，动点C在⊙O的弦AB上运动，AB＝23，连接OC，过点C作CD⊥OC交⊙O于点D，则CD的最⼤值为________．11. 将量⾓器按图所⽰的⽅式放置在三⾓形纸⽚上，使顶点C在半圆上，点A，B 的读数分别为100°，150°，则∠ACB的⼤⼩为________°.12. 如图，已知等腰三⾓形ABC中，∠ACB＝120°且AC＝BC＝4，在平⾯内任作∠APB＝60°，则BP的最⼤值为________．13. 2018·曲靖如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为BC延长线上⼀点，若∠A＝n°，则∠DCE＝________°.14. 已知⊙O 1与⊙O 2的半径分别是r 1，r 2，且r 1和r 2是⽅程x 2－ax ＋14＝0的两个根．若⊙O 1与⊙O 2是等圆，则a 2021的值为________．15. 如图，以△ABC 的边BC 为直径的⊙O 分别交AB ，AC 于点D ，E ，连接OD ，OE .若∠A ＝65°，则∠DOE ＝________°.16. 只⽤圆规测量∠XOY 的度数，⽅法是：以顶点O 为圆⼼任意画⼀个圆，与⾓的两边分别交于点A ，B(如图)，在这个圆上顺次截取AB ︵＝BC ︵＝CD ︵＝DE ︵＝EF ︵＝…，这样绕着圆⼀周⼀周地截下去，直到绕第n 周时，终于使第m(m ＞n)次截得的弧的末端恰好与点A 重合，那么∠XOY 的度数等于________．三、解答题（本⼤题共5道⼩题）17. 如图所⽰，若BD ，CE 都是△ABC 的⾼，求证：B ，C ，D ，E 四点在同⼀个圆上．18. 我们学习了“弧、弦、圆⼼⾓的关系”，事实上我们还可以得到“圆⼼⾓、弧、弦、弦⼼距之间的关系”．圆⼼⾓、弧、弦、弦⼼距之间的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆⼼⾓、两条弧、两条弦或两条弦的弦⼼距中有⼀组量相等，那么它们对应的其余各组量也相等．[弦⼼距是指从圆⼼到弦的距离(如图①中的OC ，OC ′的长)]请直接运⽤圆⼼⾓、弧、弦、弦⼼距之间的关系解决下列问题：如图②，O 是∠EPF 的平分线上⼀点，以点O 为圆⼼的圆与⾓的两边所在的直线分别交于点A ，B 和C ，D . (1)求证：AB ＝CD .(2)若⾓的顶点P 在圆上或圆内，(1)中的结论还成⽴吗？若不成⽴，请说明理由；若成⽴，请加以证明．19. 如图，直线AB 经过⊙O 的圆⼼，与⊙O 相交于点A ，B ，点C 在⊙O 上，且∠AOC ＝30°，P 是直线AB 上的⼀个动点(与点O 不重合)，直线PC 与⊙O 相交于点Q .在直线AB 上使QP ＝QO 成⽴的点P 共有⼏个？请相应地求出∠OCP 的度数．20. 如图，已知AB 为⊙O 的直径，C 为半圆ACB ︵上的动点(不与点A ，B 重合)，过点C 作弦CD ⊥AB ，∠OCD 的平分线交⊙O 于点P ，则点P 的位置有何规律？请证明你的结论．21. 如图，四边形OBCD中的三个顶点在⊙O上，A是优弧BAD上的⼀个动点(不与点B，D重合)．(1)当圆⼼O在∠BAD的内部时，若∠BOD＝120°，则∠OBA＋∠ODA＝________°.(2)若四边形OBCD为平⾏四边形．①当圆⼼O在∠BAD的内部时，求∠OBA＋∠ODA的度数；②当圆⼼O在∠BAD的外部时，请画出图形并直接写出∠OBA与∠ODA的数量关系．⼈教版九年级数学上册24.1 与圆有关的性质同步训练-答案⼀、选择题（本⼤题共8道⼩题）1. 【答案】A【解析】∵ON⊥AB，AB＝24，∴AN＝AB2＝12，∴在Rt△AON中，ON＝OA2－AN2＝132－122＝5.2. 【答案】C[解析] 如图，连接OA，OC，过点O作OD⊥AB，垂⾜为D，则AD＝BD＝2，∴DC＝2＋1＝3.S圆环＝πOC2－πOA2＝π(OD2＋DC2－OD2－AD2)＝π(32－22)＝5π≈15.7.3. 【答案】B4. 【答案】D[解析] 如图，作CD 关于AB 对称的弦C ′D ′，连接OE 并延长，交CD 于点F ，交C ′D ′于点F ′.由题意可得OF ′⊥C ′D ′，且OF ′＝34×8＝6(cm)，所以C ′F ′＝OC ′2－OF ′2＝ 2 7 cm ，所以CD ＝C ′D ′＝2C ′F ′＝47cm.5. 【答案】C[解析] ∵∠ACB ＝90°，∴点C 在以O 为圆⼼，OA 长为半径的圆上．第24秒时，∠ACE ＝48°，∴∠EOA ＝2∠ACE ＝96°.6. 【答案】D[解析] 连接AD ，OA ，OB .∵B 是AC ︵的中点，∴∠ADB ＝∠BDC ＝40°，∴∠AOB ＝2∠ADB ＝80°.⼜∵M 是OD 上⼀点，∴∠ADB ≤∠AMB ≤∠AOB ，即40°≤∠AMB ≤80°，则不符合条件的只有85°.7. 【答案】A[解析] 作出该球轴截⾯的⽰意图如图所⽰．依题意，得BE ＝2 cm ，AE ＝CE ＝4 cm.设OE ＝x cm ，则OA ＝(2＋x )cm.∵OA 2＝AE 2＋OE 2，∴(2＋x )2＝42＋x 2，解得x ＝3，故该球的半径为5 cm.8. 【答案】C⼆、填空题（本⼤题共8道⼩题） 9. 【答案】50° 【解析】∵AT 是⊙O 的切线，AB 是⊙O 的直径，∴∠BAT ＝90°，在Rt△BAT 中，∵∠ABT ＝40°，∴∠ATB ＝50°.10. 【答案】3 [解析] 如图，连接OD ，过点O 作OH ⊥AB 于点H ，则AH ＝BH ＝12AB ＝ 3.∵CD ⊥OC ，∴CD ＝OD 2－OC 2.∵OD 为⊙O 的半径，∴当OC 最⼩时，CD 最⼤．当点C 运动到点H 时，OC 最⼩，此时CD ＝BH ＝3，即CD 的最⼤值为 3.11. 【答案】25[解析] 设量⾓器的中⼼为O ，由题意可得∠AOB ＝150°－100°＝50°，所以∠ACB ＝12∠AOB ＝25°.12. 【答案】8[解析] 由题意可得A ，P ，B ，C 在同⼀个圆上，所以当BP 为圆的直径时，BP 最⼤，此时∠P AB ＝90°.过点C 作CD ⊥AB 于点D ，可求得AB ＝4 3，进⽽可求得BP 的最⼤值为8.13. 【答案】n14. 【答案】1[解析] ∵⊙O 1与⊙O 2是等圆，∴r 1＝r 2.∵r 1和r 2是⽅程x 2－ax ＋14＝0的两个根，∴r 1r 2＝14，r 1＋r 2＝a ，∴r 1＝r 2＝12，从⽽a ＝1，∴a 2021＝12021＝1.15. 【答案】50[解析] 由三⾓形的内⾓和定理，得∠B ＋∠C ＝180°－∠A .再由OB ＝OD ＝OC ＝OE ，得到∠BDO ＝∠B ，∠CEO ＝∠C .在等腰三⾓形BOD 和等腰三⾓形COE 中，∠DOB ＋∠EOC ＝180°－2∠B ＋180°－2∠C ＝360°－2(∠B ＋∠C )＝360°－2(180°－∠A )＝2∠A ，所以∠DOE ＝180°－2∠A ＝50°.16. 【答案】? ????360n m ° [解析] 设∠XOY 的度数为x ，则mx ＝n ×360°，所以x ＝? ??360n m °.三、解答题（本⼤题共5道⼩题）17. 【答案】证明：取BC 的中点F ，连接DF ，EF . ∵BD ，CE 都是△ABC 的⾼，∴△BCD 和△BCE 都是直⾓三⾓形，∴DF ，EF 分别是Rt △BCD 和Rt △BCE 斜边上的中线，∴DF ＝EF ＝BF ＝CF ，∴B ，C ，D ，E 四点都在以点F 为圆⼼，BF 的长为半径的圆上．18. 【答案】解：(1)证明：如图①，过点O 作OM ⊥AB 于点M ，ON ⊥CD 于点N . ∵PO 平分∠EPF ，∴OM ＝ON ，∴AB ＝CD .(2)(1)中的结论还成⽴．证明：当点P 在⊙O 上时，如图②，同(1)知OM ＝ON ，∴AB ＝CD ；当点P 在⊙O 内时，如图③，同(1)知OM ＝ON ，∴AB ＝CD .19. 【答案】解：在直线AB 上使QP ＝QO 成⽴的点P 共有3个． (1)如图①.在△QOC 中，OC ＝OQ ，∴∠OQC ＝∠OCQ . 在△OPQ 中，QP ＝QO ，∴∠QOP ＝∠QPO .⼜∵∠QPO ＝∠OCQ ＋∠AOC ，且∠AOC ＝30°，∠QOP ＋∠QPO ＋∠OQC ＝180°，∴3∠OCQ ＝120°，∴∠OCQ ＝40°. 即∠OCP ＝40°.(2)如图②. ∵QO ＝QP ，∴∠QPO ＝∠QOP .设∠QPO ＝x ，则∠OQC ＝∠QPO ＋∠QOP ＝2x .⼜∵OC ＝OQ ，∴∠OCQ ＝∠OQC ＝2x ，∴∠AOC ＝∠OPC ＋∠OCP ＝x ＋2x ＝3x . ∵∠AOC ＝30°，∴3x ＝30°，解得x ＝10°，∴∠OCP ＝2x ＝20°. (3)如图③.∵QO ＝QP ，∴∠QOP ＝∠QPO . ∵OC ＝OQ ，∴∠OQC ＝∠OCQ .设∠QPO ＝y ，则∠OQC ＝∠OCQ ＝∠QPO ＋∠AOC ＝y ＋30°，∴在△OPQ 中，有y ＋y ＋y ＋30°＝180°，解得y ＝50°，∴∠OCP ＝180°－50°－30°＝100°.综上所述，在直线AB 上使QP ＝QO 成⽴的点P 共有3个，∠OCP 的度数分别为40°，20°，100°.20. 【答案】360n m 解：P 为半圆ADB ︵的中点．证明：如图，连接OP .∵∠OCD 的平分线交⊙O 于点P ，∴∠PCD ＝∠PCO . ∵OC ＝OP ，∴∠PCO ＝∠OPC ，∴∠PCD ＝∠OPC ，∴OP ∥CD .∵CD ⊥AB ，∴OP ⊥AB ，∴AP ︵＝BP ︵，即P 为半圆ADB ︵的中点．21. 【答案】52解：(1)60 (2)①如图(a)．∵四边形OBCD 为平⾏四边形，∴∠BOD ＝∠BCD ，∠OBC ＝∠ODC .⼜∵∠BAD ＋∠BCD ＝180°，∠BAD ＝12∠BOD ，∴12∠BOD ＋∠BOD ＝180°，解得∠BOD ＝120°，∴∠BAD ＝12∠BOD ＝12×120°＝60°，∠OBC ＝∠ODC ＝180°－∠BOD ＝180°－120°＝60°. ⼜∵∠ABC ＋∠ADC ＝180°，∴∠OBA ＋∠ODA ＝∠ABC ＋∠ADC －(∠OBC ＋∠ODC )＝180°－(60°＋60°)＝60°.②如图(b)所⽰，连接AO . ∵OA ＝OB ，∴∠OBA ＝∠OAB . ∵OA ＝OD ，∴∠OAD ＝∠ODA .∵∠OAB＝∠OAD＋∠BAD，∴∠OBA＝∠ODA＋∠BAD＝∠ODA＋60°. 如图(c)，同理可得∠ODA＝∠OBA＋60°.。

2018-2019人教版数学九年级上册第24章圆 24.1 圆的有关性质同步练习题1. 如图，CD是⊙O的直径，已知∠1＝30°，则∠2＝( )A．30° B．45° C．60° D．70°2. 如图，在平面直角坐标系中，⊙P与x轴相切，与y轴相交于A(0，2)，B(0，8)，则圆心P的坐标是( )A．(5，3) B．(5，4) C．(3，5) D．(4，5)3. 在直径为200 cm的圆柱形油槽内装入一些油以后，截面如图．若油面的宽AB ＝160 cm，则油的最大深度为( )A ．40 cmB ．60 cmC ．80 cmD ．100 cm4. 把一张圆形纸片按如图所示方式折叠两次后展开，图中的虚线表示折痕，则BC ︵的度数是( )A ．120°B ．135°C ．150°D ．165°5. 如图，圆O 通过五边形OABCD 的四个顶点．若ABD ︵＝150°，∠A ＝65°，∠D ＝60°，则BC ︵的度数为何？( )A ．25B ．40C ．50D ．556. 如图，点A ，B ，C ，P 在⊙O 上，CD ⊥OA ，CE ⊥OB ，垂足分别为D ，E ，∠DCE ＝40°，则∠P 的度数为( )A．140° B．70° C．60° D．40°7. 如图，在⊙O中，直径AB⊥CD，垂足为E，∠BOD＝48°，则∠BAC的大小是( )A．60° B．48° C．30° D．24°8. 如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的两点，分别连接AC，BC，CD，OD.若∠DOB＝140°，则∠ACD＝( )A．20°B．30°C．40°D．70°9. 如图，在⊙O中，点A，B在⊙O上，且∠ACB＝110°，则∠α＝_________10. 如图，⊙O的直径AB过弦CD的中点E，若∠C＝25°，则∠D＝_______11. 如图，AB是半圆O的直径，C是半圆O上一点，弦AD平分∠BAC，交BC于点E，若AB＝6，AD＝5，则DE的长为____．12. 如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD⊥AB 于点E ，若AB ＝8，CD ＝6，则BE ＝______．13. 如图，AB 是⊙O 的直径，点C ，D 都在⊙O 上，∠ABC＝50°，则∠BDC 的大小是_______．14. 如图，AB 是⊙O 的直径，C ，G 是⊙O 上两点，且AC ＝CG ，过点C 的直线CD ⊥BG 于点D ，交BA 的延长线于点E ，连接BC ，交OD 于点F.(1) 求证：CD 是⊙O 的切线； (2) 若OF FD ＝23，求∠E 的度数参考答案：1---8 CDACB BDA 9. 140° 10. 65° 11. 11512. 4－7 13. 40°14. 解：(1)连接OC ，AC ，CG ，∵AC ＝CG ，∴AC ︵＝CG ︵，∴∠ABC ＝∠CBG ，∵OC ＝OB ，∴∠OCB ＝∠OBC ，∴∠OCB ＝∠CBG ，∴OC ∥BG ，∵CD ⊥BG ，∴OC ⊥CD ，∴CD是⊙O 的切线(2)∵OC ∥BD ，∴△OCF ∽△DBF ，△EOC ∽△EBD ，∴OC BD ＝OF DF ＝23，∴OC BD ＝OE BE ＝23，∵OA ＝OB ，∴AE ＝OA ＝OB ，∴OC ＝12OE ，∵∠ECO ＝90°，∴∠E ＝30°。

圆 24.1__圆的有关性质__24．1.1 圆 [见B 本P36]1．下列命题正确的有( C )(1)半圆是弧；(2)弦是圆上两点之间的部分；(3)半径是弦；(4)直径是最长的弦；(5)在同一平面内，到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【解析】 (1)弧是圆上任意两点间的部分；任意一条直径的两个端点在圆上把圆分成两条弧，每一条弧叫做半圆，因此(1)是正确的命题．(2)弦是连接圆上任意两点的线段，不是圆上两点之间的部分，因此(2)是错误的命题．(3)半径是连接圆心与圆上任意一点的线段，不是弦．因此(3)是假命题．(4)直径是过圆心的弦，也是最长的弦．如图所示，AB 是⊙O 的直径，CD 是任意一条不过圆心的弦，连接OC ，OD ，在△OCD 中，OC ＋OD >CD ，而AB ＝OC ＋OD ，则AB >CD ，因此直径是最长的弦．(5)圆心为O ，半径为r 的圆可以看成由所有到定点O 的距离等于定长r 的点组成的图形，因此(5)正确．所以(1)，(4)，(5)正确，选C.2．如图24－1－1所示，⊙O 中点A ，O ，D 以及点B ，O ，C 分别在同一直线上，图中弦的条数为( A )A ．2B ．3C ．4D ．5图24－1－1图24－1－2图24－1－33．如图24－1－2，P 是⊙O 内的一点，P 到⊙O 的最小距离为4 cm ，最大距离为9 cm ，则该⊙O 的直径为( C )A ．6.5 cmB ．2.5 cmC ．13 cmD ．不可求【解析】 过O ，P 作直径AB ，则AB ＝P A ＋PB ＝4＋9＝13(cm)，故选C.4．图24－1－3中，__AC __是⊙O 的直径；弦有__AB ，BC ，AC __；劣弧有__AB ︵，BC ︵__；优弧有__BAC ︵，BCA ︵__．5．如图24－1－4所示，已知∠AOB ＝60°，则△AOB 是__等边__三角形．图24－1－4图24－1－56．如图24－1－5，AB 是⊙O 的直径，AC 是弦，若∠ACO ＝22°， 则∠COB 的度数等于__44°__．【解析】 ∵OA ＝OC ，∴∠A ＝∠C ＝22°，∴∠BOC ＝∠A ＋∠C ＝22°×2＝44°.7．如图24－1－6，以O 为圆心的两个同心圆⊙O ，大圆O 的半径OC ，OD 分别交小圆O 于A ，B 两点，求证：AB ∥CD .证明：∵OA ＝OB ，OC ＝OD ，∴∠OAB ＝12(180°－∠O )＝∠C ，∴AB ∥CD .图24－1－6图24－1－78．如图24－1－7，在⊙O 中，D ，E 分别为半径OA ，OB 上的点，且AD ＝BE ，点C 为弧AB 上一点，连接CD ，CE ，CO ，∠AOC ＝∠BOC .求证：CD ＝CE .证明：∵OA ＝OB ，AD ＝BE ，∴OA －AD ＝OB －BE ，即OD ＝OE .在△ODC 和△OEC 中，⎩⎪⎨⎪⎧OD ＝OE ，∠DOC ＝∠EOC ，OC ＝OC ，∴△ODC ≌△OEC ，∴CD ＝CE .9．如图24－1－8所示，已知⊙O 中，直径MN ＝10ABCD 的四个顶点分别在半径OM ，OP 以及⊙O 上，并且∠POM ＝45°，则AB 的长为__5__．【解析】 连接OA ，构造Rt △OAB ，利用勾股定理，求出AB 的长．设正方形ABCD 的边长为x ，则AB ＝BC ＝CD ＝x ，又∠POM ＝45°，∠DCO ＝90°，∴∠ODC ＝∠POM ＝45°，∴DC ＝OC ＝x ，∴OB ＝2x .在Rt △OAB 中，AB 2＋OB 2＝OA 2，OA ＝12MN ＝5，即x 2＋(2x )2＝52，∴x ＝ 5.图24－1－810．如图24－1－9，AB ，AC 为⊙O 的弦，连接CO ，BO 并延长分别交弦AB ，AC 于点E ，F ，∠B ＝∠C .求证：CE ＝BF .证明：∵OB ，OC 是⊙O 的半径，∴OB ＝OC .又∵∠B ＝∠C ，∠BOE ＝∠COF ，∴△EOB ≌△FOC ，∴OE ＝OF ，∴CE ＝BF .11．如图24－1－10，半圆O 的直径AB ＝8，半径OC ⊥AB ，D 为弧AC 上一点，DE ⊥OC ，DF ⊥OA ，垂足分别为E ，F ，求EF 的长．图24－1－10解：连接OD .∵OC ⊥AB ，DE ⊥OC ，DF ⊥OA ，∴∠AOC ＝∠DEO ＝∠DFO ＝90°， ∴四边形DEOF 是矩形，∴EF ＝OD .∵OD ＝OA ，∴EF ＝OA ＝4.12．如图24－1－11，AB ，CD 是⊙O 的直径，DF ，BE 是⊙O 的弦，且弦DF ＝BE .求证：∠B ＝∠D .图24－1－11【解析】 连接OF ，OE ，证明△DOF ≌△BOE .证明：如图，连接OE ，OF .在△DOF 和△BOE 中，⎩⎪⎨⎪⎧OF ＝OE ，OD ＝OB ，DF ＝BE ，∴△DOF ≌△BOE (SSS)．∴∠B ＝∠D .13．如图24－1－12所示，已知CD 是⊙O 的直径，∠EOD ＝51°，AE 交⊙O 于点B ，且AB ＝OC ，求∠A 的度数．图24－1－12【解析】已知∠EOD＝51°，与未知∠A构成了内、外角关系，而∠E也未知，且AB＝OC这一条件不能直接使用，因此想到同圆的半径相等，需连接半径OB，从而得到OB＝AB.解：如图所示，连接OB.∵AB＝OC，OB＝OC，∴AB＝OB，∴∠A＝∠1.又∵OB＝OE，∴∠E＝∠2＝∠1＋∠A＝2∠A，∴∠DOE＝∠E＋∠A＝3∠A.而∠DOE＝51°，∴3∠A＝51°，∴∠A＝17°.。

24.1 圆的有关性质一．选择题（共20小题）1．（•安顺）已知⊙O的直径CD=10cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，且AB=8cm，则AC的长为（）A．2cm B．4cm C．2cm或4cm D．2cm或4cm2．（•张家界）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，OC=5cm，CD=8cm，则AE=（）A．8cm B．5cm C．3cm D．2cm3．（•临安区）如图，⊙O的半径OA=6，以A为圆心，OA为半径的弧交⊙O于B、C点，则BC=（）A．B．C．D．4．（•乐山）《九章算术》是我国古代第一部自成体系的数学专著，代表了东方数学的最高成就．它的算法体系至今仍在推动着计算机的发展和应用．书中记载：“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”译为：“今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯这木材，锯口深1寸（ED=1寸），锯道长1尺（AB=1尺=10寸）”，问这块圆形木材的直径是多少？”如图所示，请根据所学知识计算：圆形木材的直径AC是（）A．13寸B．20寸C．26寸D．28寸5．（•济宁）如图，点B，C，D在⊙O上，若∠BCD=130°，则∠BOD的度数是（）A．50° B．60° C．80° D．100°6．（•聊城）如图，⊙O中，弦BC与半径OA相交于点D，连接AB，OC．若∠A=60°，∠ADC=85°，则∠C的度数是（）A．25° B．27.5°C．30° D．35°7．（•南充）如图，BC是⊙O的直径，A是⊙O上的一点，∠OAC=32°，则∠B的度数是（）A．58° B．60° C．64° D．68°8．（•铜仁市）如图，已知圆心角∠AOB=110°，则圆周角∠ACB=（）A．55° B．110°C．120°D．125°9．（•菏泽）如图，在⊙O中，OC⊥AB，∠ADC=32°，则∠OBA的度数是（）A．64° B．58° C．32° D．26°10．（•张家界）如图，在⊙O中，AB是直径，AC是弦，连接OC，若∠ACO=30°，则∠BOC 的度数是（）A．30° B．45° C．55° D．60°11．（•哈尔滨）如图，⊙O中，弦AB、CD相交于点P，∠A=42°，∠APD=77°，则∠B的大小是（）A．43° B．35° C．34° D．44°12．（•潍坊）点A、C为半径是3的圆周上两点，点B为的中点，以线段BA、BC为邻边作菱形ABCD，顶点D恰在该圆直径的三等分点上，则该菱形的边长为（）A．或2B．或2C．或2D．或213．（•黔西南州）如图，在⊙O中，半径OC与弦AB垂直于点D，且AB=8，OC=5，则CD的长是（）A．3 B．2.5 C．2 D．114．（•乐山）如图是“明清影视城”的一扇圆弧形门，小红到影视城游玩，他了解到这扇门的相关数据：这扇圆弧形门所在的圆与水平地面是相切的，AB=CD=0.25米，BD=1.5米，且AB、CD与水平地面都是垂直的．根据以上数据，请你帮小红计算出这扇圆弧形门的最高点离地面的距离是（）A．2米B．2.5米C．2.4米D．2.1米15．（•金华）如图，在半径为13cm的圆形铁片上切下一块高为8cm的弓形铁片，则弓形弦AB的长为（）A．10cm B．16cm C．24cm D．26cm16．（•泸州）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E．若AB=8，AE=1，则弦CD的长是（）A．B．2C．6 D．817．（•黔南州）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，∠CDB=30°，⊙O的半径为5cm，则圆心O到弦CD的距离为（）A． cm B．3cm C．3cm D．6cm18．（•牡丹江）如图，在半径为5的⊙O中，弦AB=6，OP⊥AB，垂足为点P，则OP的长为（）A．3 B．2.5 C．4 D．3.519．（•赤峰）如图，⊙O的半径为1，分别以⊙O的直径AB上的两个四等分点O1，O2为圆心，为半径作圆，则图中阴影部分的面积为（）A．πB．πC．πD．2π20．（•巴彦淖尔）如图，线段AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∠CAB=40°，则∠ABD与∠AOD 分别等于（）A．40°，80°B．50°，100°C．50°，80°D．40°，100°二．填空题（共10小题）21．（•孝感）已知⊙O的半径为10cm，AB，CD是⊙O的两条弦，AB∥CD，AB=16cm，CD=12cm，则弦AB和CD之间的距离是cm．22．（•曲靖）如图：四边形ABCD内接于⊙O，E为BC延长线上一点，若∠A=n°，则∠DCE= °．23．（•金华）如图1是小明制作的一副弓箭，点A，D分别是弓臂BAC与弓弦BC的中点，弓弦BC=60cm．沿AD方向拉动弓弦的过程中，假设弓臂BAC始终保持圆弧形，弓弦不伸长．如图2，当弓箭从自然状态的点D拉到点D1时，有AD1=30cm，∠B1D1C1=120°．（1）图2中，弓臂两端B1，C1的距离为cm．（2）如图3，将弓箭继续拉到点D2，使弓臂B2AC2为半圆，则D1D2的长为cm．24．（•梧州）如图，已知在⊙O中，半径OA=，弦AB=2，∠BAD=18°，OD与AB交于点C，则∠ACO= 度．25．（•烟台）如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点O，A，B，C在格点（两条网格线的交点叫格点）上，以点O为原点建立直角坐标系，则过A，B，C三点的圆的圆心坐标为．26．（•雅安）⊙O的直径为10，弦AB=6，P是弦AB上一动点，则OP的取值范围是．27．（•湘西州）如图所示，在⊙O中，直径CD⊥弦AB，垂足为E，已知AB=6，OE=4，则直径CD=28．（•常州）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，点C为弧BD的中点，若∠DAB=40°，则∠ABC= ．29．（•湘潭）如图，在⊙O 中，已知∠AOB=120°，则∠ACB= ．30．（•安顺）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若AB=8，CD=6，则BE= ．三．解答题（共5小题）31．（•宜昌）如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的圆交AC于点D，交BC于点E，延长AE至点F，使EF=AE，连接FB，FC．（1）求证：四边形ABFC是菱形；（2）若AD=7，BE=2，求半圆和菱形ABFC的面积．32．（•牡丹江）如图，在⊙O中， =，CD⊥OA于D，CE⊥OB于E，求证：AD=BE．33．（•济南）如图，AB是⊙O的直径，∠ACD=25°，求∠BAD的度数．34．（•福州）如图，正方形ABCD内接于⊙O，M为中点，连接BM，CM．（1）求证：BM=CM；（2）当⊙O的半径为2时，求的长．35．（•宁夏）已知△ABC，以AB为直径的⊙O分别交AC于D，BC于E，连接ED，若ED=EC．（1）求证：AB=AC；（2）若AB=4，BC=2，求CD的长．参考答案一．选择题（共20小题）1．C．2．A．3．A．4．C．5．D．6．D．7．A．8．D．9．D．10．D．11．B．12．D．13．C．14．B．15．C．16．B．17．A．18．C．19．B．20．B．二．填空题（共10小题）21．2或14．22．n23．30，10﹣10，24．81．25．（﹣1，﹣2），26．4≤OP≤5．27．10．28．70°．29．60°30．4﹣．三．解答题（共5小题）31．（1）证明：∵AB是直径，∴∠AEB=90°，∴AE⊥BC，∵AB=AC，∴BE=CE，∵AE=EF，∴四边形ABFC是平行四边形，∵AC=AB，∴四边形ABFC是菱形．（2）设CD=x．连接BD．∵AB是直径，∴∠ADB=∠BDC=90°，∴AB2﹣AD2=CB2﹣CD2，∴（7+x）2﹣72=42﹣x2，解得x=1或﹣8（舍弃）∴AC=8，BD==，∴S菱形ABFC=8．∴S半圆=•π•42=8π．32．证明：连接OC，∵=，∴∠AOC=∠BOC．∵CD⊥OA于D，CE⊥OB于E，∴∠CDO=∠CEO=90°在△COD与△COE中，∵，∴△COD≌△COE（AAS），∴OD=OE，∵AO=BO，∴AD=BE．33．解：∵AB为⊙O直径∴∠ADB=90°∵相同的弧所对应的圆周角相等，且∠ACD=25°∴∠B=25°∴∠BAD=90°﹣∠B=65°．34．（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=CD，∴=，∵M为中点，∴=，∴+=+，即=，∴BM=CM；（2）解：∵⊙O的半径为2，∴⊙O的周长为4π，∵===，∴=+=，∴的长=××4π=×4π=π．35．（1）证明：∵ED=EC，∴∠EDC=∠C，∵∠EDC=∠B，（∵∠EDC+∠ADE=180°，∠B+∠ADE=180°，∴∠EDC=∠B）∴∠B=∠C，∴AB=AC；（2）方法一：解：连接AE，∵AB为直径，∴AE⊥BC，由（1）知AB=AC，∴BE=CE=BC=，∵△CDE∽△CBA，∴，∴CE•CB=CD•CA，AC=AB=4，∴•2=4CD，∴CD=．方法二：解：连接BD，∵AB为直径，∴BD⊥AC，设CD=a，由（1）知AC=AB=4，则AD=4﹣a，在Rt△ABD中，由勾股定理可得：BD2=AB2﹣AD2=42﹣（4﹣a）2在Rt△CBD中，由勾股定理可得：BD2=BC2﹣CD2=（2）2﹣a2∴42﹣（4﹣a）2=（2）2﹣a2整理得：a=，即：CD=．。

圆的有关性质一、选择题（共16小题）1．如图，△ABC内接于⊙O，AB=BC，∠ABC=120°，AD为⊙O的直径，AD=6，那么AB的值为（）A．3 B．2C．3D．22．如图，OA是⊙O的半径，弦BC⊥OA，D是⊙O上一点，若∠ADB=28°，则∠AOC的度数为（）A．14°B．28°C．56°D．84°3．如图，⊙O的直径CD过弦EF的中点G，∠DCF=20°，则∠EOD等于（）A．10°B．20°C．40°D．80°4．如图，已知点C，D是半圆上的三等分点，连接AC，BC，CD，OD，BC和OD相交于点E．则下列结论：①∠CBA=30°，②OD⊥BC，③OE=AC，④四边形AODC是菱形．正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．45．如图，已知圆心角∠BOC=78°，则圆周角∠BAC的度数是（）A．156°B．78°C．39°D．12°6．如图，点A，B，C，在⊙O上，∠ABO=32°，∠ACO=38°，则∠BOC等于（）A．60°B．70°C．120°D．140°7．如图，▱ABCD的顶点A、B、D在⊙O上，顶点C在⊙O的直径BE上，∠ADC=54°，连接AE，则∠AEB的度数为（）A．36°B．46°C．27°D．63°8．如图，A、B、C是⊙O上的三点，且∠ABC=70°，则∠AOC的度数是（）A．35°B．140°C．70°D．70°或140°9．下列四个图中，∠x是圆周角的是（）A．B．C．D．10．（2013•龙岩）如图，A、B、P是半径为2的⊙O上的三点，∠APB=45°，则弦AB的长为（）A．B．2 C．2D．411．如图，在⊙O中，已知∠OAB=22.5°，则∠C的度数为（）A．135°B．122.5°C．115.5°D．112.5°12．如图，已知⊙O是△ABD的外接圆，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD=58°，则∠BCD等于（）A．116°B．32°C．58°D．64°13．如图，在⊙O中，直径CD⊥弦AB，则下列结论中正确的是（）A．AD=AB B．∠BOC=2∠D C．∠D+∠BOC=90°D．∠D=∠B14．如图，在⊙O中，∠CBO=45°，∠CAO=15°，则∠AOB的度数是（）A．75°B．60°C．45°D．30°15．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠OCB=40°，则∠A的度数是（）A．40°B．50°C．60°D．100°16．如图，AB是⊙O的直径，AB垂直于弦CD，∠BOC=70°，则∠ABD=（）A．20°B．46°C．55°D．70°二、填空题（共13小题）17．如图，点A、B、C、D在⊙O上，OB⊥AC，若∠BOC=56°，则∠ADB=______度．18．如图，点A、B、C在⊙O上，若∠C=30°，则∠AOB的度数为______°．19．如图，⊙O的直径AB与弦CD垂直，且∠BAC=40°，则∠BOD=______．20．（2013•盘锦）如图，⊙O直径AB=8，∠CBD=30°，则CD=______．21．在圆中，30°的圆周角所对的弦的长度为2，则这个圆的半径是______．22．如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，若∠BOC=100°，则∠BAC=______．23．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，点P在线段OA上运动．设∠BCP=α，则α的最大值是______．24．如图，P是⊙O外一点，A、B、C是⊙O上的三点，∠AOB=60°，PA、PB分别交于M、N 两点，则∠APB的范围是______．25．如图所示⊙O中，已知∠BAC=∠CDA=20°，则∠ABO的度数为______．26．已知点O是△ABC外接圆的圆心，若∠BOC=110°，则∠A的度数是______．27．如图，点A、B、C、D都在⊙O上，∠ABC=90°，AD=3，CD=2，则⊙O的直径的长是______．28．如图，OC是⊙O的半径，AB是弦，且OC⊥AB，点P在⊙O上，∠APC=26°，则∠BOC=______ 度．29．如图，边长为1的小正方形网格中，⊙O的圆心在格点上，则∠AED的余弦值是______．三、解答题（共1小题）30．（1）甲市共有三个郊县，各郊县的人数及人均耕地面积如表所示：求甲市郊县所有人口的人均耕地面积（精确到0.01公顷）；（2）先化简下式，再求值：，其中，；（3）如图，已知A，B，C，D是⊙O上的四点，延长DC，AB相交于点E，若BC=BE．求证：△ADE是等腰三角形．答案一、选择题（共16小题）1．A；2．C；3．C；4．D；5．C；6．D；7．A；8．B；9．C；10．C；11．D；12．B；13．B；14．B；15．B；16．C；二、填空题（共13小题）17．28；18．60；19．80°；20．4；21．2；22．50°；23．90°；24．0°＜∠APB＜30°；25．50°；26．55°或125°；27．；28．52；29．；三、解答题（共1小题）30．。

人教版 九年级数学 24.1 圆的有关性质 培优训练一、选择题（本大题共8道小题）1. 如图，在⊙O 中，∠ABC ＝50°，则∠AOC 等于( )A. 50°B. 80°C. 90°D. 100°2. 如图，已知直径MN ⊥弦AB ，垂足为C ，有下列结论：①AC ＝BC ；②AN ︵＝BN ︵；③AM ︵＝BM ︵；④AM ＝BM .其中正确的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．43. 2019·葫芦岛如图，在⊙O 中，∠BAC ＝15°，∠ADC ＝20°，则∠ABO 的度数为( )A ．70°B ．55°C ．45°D ．35°4. 如图，AB 是⊙O 的直径，CD 为弦，CD ⊥AB 于点E ，则下列结论中不成立．．．的是( )A ．∠COE ＝∠DOEB ．CE ＝DEC ．OE ＝BED.BD ︵＝BC ︵5. 如图，A、D是⊙O上的两个点，BC是直径，若∠D＝32°，则∠OAC等于()A. 64°B. 58°C. 72°D. 55°6. 如图所示，M是⊙O上的任意一点，则下列结论中正确的有()①以M为端点的弦只有一条；②以M为端点的半径只有一条；③以M为端点的直径只有一条；④以M为端点的弧只有一条．A．1个B．2个C．3个D．4个7. 如图，在平面直角坐标系中，⊙P的圆心是(2，a)(a＞2)，半径为2，函数y＝x的图象被⊙P截得的弦AB的长为2 3，则a的值是()A．2 B．2＋ 2C．2 3 D．2＋ 38. 如图，△ABC的内心为I，连接AI并延长交△ABC的外接圆于点D，则线段DI与DB 的关系是()A．DI＝DB B．DI＞DBC．DI＜DB D．不确定二、填空题（本大题共8道小题）9. 如图所示，OB，OC是⊙O的半径，A是⊙O上一点．若∠B＝20°，∠C＝30°，则∠A ＝________°.10. 如图，在⊙O的内接五边形ABCDE中，∠CAD＝35°，则∠B＋∠E＝________°.11. 如图所示，动点C在⊙O的弦AB上运动，AB＝23，连接OC，过点C作CD⊥OC交⊙O于点D，则CD的最大值为________．12. 2018·曲靖如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为BC延长线上一点，若∠A＝n°，则∠DCE＝________°.13. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，C为弧BD的中点．若∠DAB＝40°，则∠ABC＝________°.14. 如图，⊙O 的直径AB 过弦CD 的中点E ，若∠C ＝25°，则∠D ＝________°.15. 如图，半径为5的⊙P 与y 轴交于点M(0，－4)，N(0，－10)，则圆心P 的坐标为________．16. 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝3，AC ＝4，点P 在以点C 为圆心，5为半径的圆上，连接PA ，PB.若PB ＝4，则PA 的长为________．三、解答题（本大题共4道小题）17. 如图，在⊙O 中，AB 是⊙O 的弦，CD 是⊙O 的直径，且AB ⊥CD ，垂足为G ，点E 在AB ︵上，连接AE ，CE ，BE. (1)求证：EC 平分∠AEB ；(2)连接BC ，若BC ∥AE ，且CG ＝4，AB ＝6，求BE 的长．18. 如图，AB ，CD为⊙O 的两条直径，M ，N 分别为OA ，OB 的中点．(1)求证：四边形CMDN 为平行四边形；(2)四边形CMDN 能是菱形吗？若能，请你直接写出需要添加的条件．19. 如图，AB 是⊙O 的直径，C 为BD ︵的中点，CF 为⊙O 的弦，且CF ⊥AB ，垂足为E ，连接BD 交CF 于点G ，连接CD ，AD ，BF. (1)求证：△BFG ≌△CDG ； (2)若AD ＝BE ＝2，求BF 的长．20. 如图，已知△ABC 内接于⊙O ，点C 在劣弧AB 上(不与点A ，B 重合)，点D为弦BC 的中点，DE ⊥BC ，DE 与AC 的延长线交于点E .射线AO 与射线EB 交于点F ，与⊙O 交于点G .设∠GAB ＝α，∠ACB ＝β，∠EAG ＋∠EBA ＝γ. (1)点点同学通过画图和测量得到以下近似数据猜想：β关于α (2)若γ＝135°，CD ＝3，△ABE 的面积为△ABC 的面积的4倍，求⊙O 半径的长．人教版九年级数学24.1 圆的有关性质培优训练-答案一、选择题（本大题共8道小题）1. 【答案】D【解析】同一条弧所对的圆周角是圆心角的一半，即∠ABC＝1 2∠AOC，∴∠AOC＝2∠ABC＝100°.2. 【答案】D3. 【答案】B4. 【答案】C5. 【答案】B【解析】∵∠D与∠AOC同对弧AC，∴∠AOC＝2∠D＝2×32°＝64°，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，在△OAC中，根据三角形内角和为180°，可得∠OAC＝12(180°－∠AOC)＝12×(180°－64°)＝58°.6. 【答案】B[解析] 从圆上任意选一点，与点M连接，可以得到圆的一条弦，因此以M为端点的弦有无数条，以M为端点的半径为OM，以M为端点的直径只有一条，以M为端点的弧有无数条．故②③正确．7. 【答案】B[解析] 如图，连接PB，过点P作PC⊥AB于点C，过点P作横轴的垂线，垂足为E，交AB于点D，则PB＝2，BC＝ 3.在Rt△PBC中，由勾股定理得PC＝1.∵直线y＝x平分第一象限的夹角，∴△PCD和△DEO都是等腰直角三角形，∴PD＝2，DE＝OE＝2，∴a＝PE＝2＋ 2.故选B.8. 【答案】A [解析] 连接BI ，如图．∵△ABC 的内心为I ， ∴∠1＝∠2，∠5＝∠6. ∵∠3＝∠1， ∴∠3＝∠2.∵∠4＝∠2＋∠6，∠DBI ＝∠3＋∠5， ∴∠4＝∠DBI ，∴DI ＝DB. 故选A.二、填空题（本大题共8道小题）9. 【答案】50 [解析] 连接OA ，则OA ＝OB ，OA ＝OC ，∴∠OAB ＝∠B ，∠OAC ＝∠C ，∴∠BAC ＝∠OAB ＋∠OAC ＝∠B ＋∠C ＝20°＋30°＝50°.10. 【答案】215 [解析] 连接CE ，则∠B ＋∠AEC ＝180°，∠DEC ＝∠CAD ＝35°，∴∠B＋∠AED ＝(∠B ＋∠AEC)＋∠DEC ＝180°＋35°＝215°.11. 【答案】3 [解析] 如图，连接OD ，过点O 作OH ⊥AB 于点H ，则AH ＝BH＝12AB ＝ 3.∵CD ⊥OC ，∴CD ＝OD 2－OC 2.∵OD 为⊙O 的半径，∴当OC 最小时，CD 最大．当点C 运动到点H 时，OC 最小，此时CD ＝BH ＝3，即CD 的最大值为 3.12. 【答案】n13. 【答案】70 [解析] 如图，连接AC.∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°.∵C 为弧BD的中点，∴∠CAB ＝12∠DAB ＝20°，∴∠ABC ＝70°.14. 【答案】65 [解析] ∵∠C ＝25°，∴∠A ＝∠C ＝25°.∵⊙O 的直径AB 过弦CD 的中点E ， ∴AB ⊥CD ，∴∠AED ＝90°， ∴∠D ＝90°－25°＝65°.15. 【答案】(－4，－7) [解析] 过点P 作PH ⊥MN 于点H ，连接PM ，则MH ＝12MN ＝3，OH ＝OM ＋MH ＝7.由勾股定理，得PH ＝4，∴圆心P 的坐标为(－4，－7)．16. 【答案】3或73 [解析] 如图，连接CP ，PB 的延长线交⊙C 于点P′.∵PC ＝5，BC ＝3，PB ＝4， ∴BC2＋PB2＝PC2，∴△CPB 为直角三角形，且∠CBP ＝90°， 即CB ⊥PB ，∴PB ＝P′B ＝4. ∵∠ACB ＝90°，∴PB ∥AC. 又∵PB ＝AC ＝4，∴四边形ACBP 为平行四边形． 又∵∠ACB ＝90°，∴▱ACBP 为矩形，∴PA ＝BC ＝3.在Rt △APP′中，∵PA ＝3，PP′＝8， ∴P′A ＝82＋32＝73. 综上所述，PA 的长为3或73.三、解答题（本大题共4道小题）17. 【答案】解：(1)证明：∵CD ⊥AB ，CD 是⊙O 的直径， ∴AC ︵＝BC ︵， ∴∠AEC ＝∠BEC ， ∴EC 平分∠AEB. (2)∵CD ⊥AB ，∴BG ＝AG ＝12AB ＝3，∠BGC ＝90°.在Rt △BGC 中， ∵CG ＝4，BG ＝3， ∴BC ＝5. ∵BC ∥AE ， ∴∠AEC ＝∠BCE. 又∵∠AEC ＝∠BEC ， ∴∠BCE ＝∠BEC ， ∴BE ＝BC ＝5.18. 【答案】解：(1)证明：∵M ，N 分别为OA ，OB 的中点， ∴OM ＝12OA ，ON ＝12OB . 又∵OA ＝OB ，∴OM ＝ON . 又∵OC ＝OD ，∴四边形CMDN 为平行四边形． (2)四边形CMDN 能是菱形． 需要添加条件：CD ⊥AB .19. 【答案】解：(1)证明：∵C 为BD ︵的中点，∴CD ︵＝BC ︵.∵AB 是⊙O 的直径，且CF ⊥AB ，∴BC ︵＝BF ︵，∴CD ︵＝BF ︵，∴CD ＝BF.在△BFG 和△CDG 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠F ＝∠CDG ，∠FGB ＝∠DGC ，BF ＝CD ，∴△BFG ≌△CDG(AAS)．(2)解法一：如图①，连接OF.设⊙O 的半径为r.∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB ＝90°.在Rt △ADB 中，BD2＝AB2－AD2，即BD2＝(2r)2－22.在Rt △OEF 中，OF2＝OE2＋EF2，即EF2＝r2－(r －2)2.由(1)知CD ︵＝BC ︵＝BF ︵，∴BD ︵＝CF ︵，∴BD ＝CF ，∴BD2＝CF2＝(2EF)2＝4EF2，即(2r)2－22＝4[r2－(r －2)2]，解得r ＝1(不合题意，舍去)或r ＝3，∴BF2＝EF2＋BE2＝32－(3－2)2＋22＝12，∴BF ＝2 3.解法二：如图②，连接OC ，交BD 于点H.∵C 是BD ︵的中点，∴OC ⊥BD ，∴DH ＝BH.∵OA ＝OB ，∴OH ＝12AD ＝1. ∵∠COE ＝∠BOH ，∠OEC ＝∠OHB ＝90°，OC ＝OB ，∴△COE ≌△BOH(AAS)，∴OE ＝OH ＝1，∴OC ＝OB ＝OE ＋BE ＝3.∵CF ⊥AB ，∴CE ＝EF ＝OC2－OE2＝32－12＝2 2，∴BF ＝BE2＋EF2＝22＋（2 2）2＝2 3.20. 【答案】【思维教练】(1)观察表格可猜想β＝90°＋α，γ＝180°－α.连接BG ，由直径所对的圆周角为90°和圆内接四边形的对角和为180°即可得出β＝90°＋α；由题干条件易知△EBD ≌△EGD ，∠EBC ＝∠ECB ，再由三角形的外角和定理和β＝90°＋α，利用角度之间的转化即可得出结论；(2)由(1)的结论可以得出α＝∠BAG ＝45°，β＝∠ACB ＝135°，∴∠ECB ＝45°，∠CEB ＝90°，△ECD 、△BEC 、△ABG 都是等腰直角三角形，由CD 的长，可得出BE 和CE 的长，再由题干条件△ABE 的面积是△ABC 的面积的4倍可得出AC 的长，利用勾股定理在△ABE 中求出AB 的长，再利用勾股定理在△ABG 求出AG 的长，即可求出半径长．①(1)①β＝90°＋α，γ＝180°－α证明：如解图①，连接BG，∵AG是⊙O的直径，∴∠ABG＝90°，∴α＋∠BGA＝90°，(1分)又∵四边形ACBG内接于⊙O，∴β＋∠BGA＝180°，∴β－α＝90°，即β＝90°＋α；(3分)②∵D是BC的中点，且DE⊥BC，∴△EBD≌△ECD，∴∠EBC＝∠ECB，∵∠EAG＋∠EBA＝γ，∴∠EAB＋α＋∠EBC＋∠CBA＝γ，∵∠EAB＋∠CBA＝∠ECB，∴2∠ECB＋α＝γ，(4分)∴2(180°－β )＋α＝γ，由①β＝90°＋α代入后化简得，γ＝180°－α；(6分)(2)如解图②，连接BG，②∵γ＝135°，γ＝180°－α，∴α＝45°，β＝135°，∴∠AGB＝∠ECB＝45°，(8分)∴△ECD和△ABG都是等腰直角三角形，又∵△ABE的面积是△ABC的面积的4倍，∴AE＝4AC，∴EC＝3AC，(9分)∵CD＝3，∴CE＝32，AC＝2，∴AE＝42，(10分)∵∠BEA＝90°，∴由勾股定理得，AB＝BE2＋AE2＝（32）2＋（42）2＝50＝52，(11分)∴AG＝2AB＝2×52＝10，∴r＝5.(12分)。

24.1 圆的有关性质同步练习一、选择题1.如图所示，⊙O的半径为13，弦AB的长度是24，ON⊥AB，垂足为N，则ON=()A.5B. 7C. 9D. 112.如图，AB是⊙O的直径，C，D是圆上两点，连接AC，BC，AD，CD.若∠CAB=55∘，则∠ADC的度数为()A. 55∘B. 45∘C. 35∘D. 25∘3.如图，线段AB是⊙O的直径，弦CD丄AB，∠CAB=20∘，则∠AOD等于()A. 160∘B. 150∘C. 140∘D. 120∘4.如图，△ABC的顶点均在⊙O上，若∠A=36∘，则∠BOC的度数为()A. 18∘B. 36∘C. 60∘D. 72∘5.如图，在直角梯形ABCD中，AB//CD，AB⊥BC，以BC为直径的⊙O与AD相切，点E为AD的中点，下列结论正确的个数是()(1)AB+CD=AD；(2)S△BCE=S△ABE+S△DCE；BC2；(3)AB⋅CD=14(4)∠ABE=∠DCE．A. 1B. 2C. 3D. 46.如图，从一块直径为24cm的圆形纸片上剪出一个圆心角为90∘的扇形ABC，使点A，B，C在圆周上，将剪下的扇形作为一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆的半径是()A.12cmB. 6cmC. 3√2cmD. 2√3cm7.如图，△ABC和△DEF分别是⊙O的外切正三角形和内接正三角形，则它们的面积比为()A. 4B. 2C. √3D. √28.如图，已知AB为⊙O的直径，AD切⊙O于点A，C是弧BE的中点，则下列结论不一定正确的是()A. BA⊥DAB. OC//AEC. ∠COE=2∠CAED. OD⊥AC9.如图，以AB为直径，点O为圆心的半圆经过点C，若AC=BC=√2，则图中阴影部分的面积是()A. π4B. 12+π4C. π2D. 12+π210.如图，AB是⊙O的直径，弦CD与AB相交于点E，AM⊥CD，BN⊥CD，垂足分别为M、N.已知CD=5，MN=73，则线段DN的长为()A. 34B. 43C. 1D. √2二、填空题11.⊙O的半径为1，弦AB=√2，弦AC=√3，则∠BAC度数为______．12.如图，直线l与⊙相切于点D，过圆心O作EF//l交⊙O于E、F两点，点A是⊙O上一点，连接AE，AF，并分别延长交直线于B、C两点；若⊙的半径R=5，BD=12，则∠ACB的正切值为______ ．13.如图，在△ABC中，AB=4cm，BC=2cm，∠ABC=30∘，把△ABC以点B为中心按逆时针方向旋转，使点C旋转到AB边的延长线上的点C′处，那么AC边扫过的图形(图中阴影部分)的面积是______ cm2．14.如图，AB是⊙O的直径，AC、BC是⊙O的弦，直径DE⊥AC于点P.若点D在优弧ABC⏜上，AB=8，BC=3，则DP=______．15.如图，直线AB、CD相交于点O，∠AOC=30∘，半径为1cm的⊙P的圆心在射线OA上，开始时，PO=6cm.如果⊙P以1cm/秒的速度沿由A向B的方向移动，那么当⊙P的运动时间t(秒)满足条件______ 时，⊙P与直线CD相交．三、计算题16.如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O分别与BC，AC相交于点D，E，且BD=CD，过D作DF⊥AC，垂足为F．(1)求证：DF是⊙O的切线；(2)若AD=5√3，∠CDF=30∘，求⊙O的半径．17.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，连接AC、BC，若∠BAC=30∘，CD=6cm．(1)求∠BCD的度数；(2)求⊙O的直径．18.已知如图，以Rt△ABC的AC边为直径作⊙O交斜边AB于点E，连接EO并延长交BC的延长线于点D，作OF//AB交BC于点F，连接EF．(1)求证：OF⊥CE(2)求证：EF是⊙O的切线；(3)若⊙O的半径为3，∠EAC=60∘，求AD的长．【答案】1. A2. C3. C4. D5. D6. C7. A8. D9. A10. B11. 75∘或15∘12. 7513. 5π14. 5.515. 4<t≤616. 解：(1)连接OD，∵BD=CD，OB=OA，∴OD为△ABC的中位线，∴OD//AC，∵DF⊥AC，∴OD⊥DF，则DF为圆O的切线；(2)∵DF⊥AC，∠CDF=30∘，∴∠C=60∘，∵OD//AC，∴∠ODB=∠C=60∘，∵OB=OD，∴∠B=∠ODB=60∘，∵AB为圆的直径，∴∠ADB=90∘，∴∠BAD=30∘，设BD=x，则有AB=2x，根据勾股定理得：x2+75=4x2，解得：x=5，∴AB=2x=10，则圆的半径为5．17. 解：(1)∵直径AB⊥CD，∴B^C=B^D，∴∠DCB=∠CAB=30度；(2)∵直径AB⊥CD，CD=6cm，∴CE=3cm，在Rt△ACE中，∠A=30∘，∴AC=6cm，∵AB是直径，∴∠ACB=90∘，在Rt△ACB中，AB=ACcos∠A =6cos30∘=4√3(cm)．18. 证明：(1)如图，连接CE，∵AC是⊙O的直径，∴CE⊥AE，∵OF//AB，∴OF⊥CE(2)∵OF⊥CE ∴OF所在直线垂直平分CE，∴FC=FE，OE=OC，∴∠FEC=∠FCE，∠OEC=∠0CE，∵∠ACB=90∘，即：∠OCE+∠FCE=90∘，∴∠OEC+∠FEC=90∘，即：∠FEO=90∘，∴FE为⊙O的切线；(3)如图，∵⊙O的半径为3，∴AO=CO=EO=3，∵∠EAC=60∘，OA=OE，∴∠EOA=60∘∴∠COD=∠EOA=60∘，∵在Rt△OCD中，∠COD=60∘，OC=3，∴CD=3√3，∵在Rt△ACD中，∠ACD=90∘，CD=3√3，AC=6，∴AD=3√7．。