第12章 第3节 颗粒在流体中的运动-1

从沉降公式可以看出，沉降速度与颗粒尺 寸及密度有关。应用这一关系，可将同一 种物料按尺寸大小不同进行分级或将同一 粒径的不同物料按密度不同进行分选，以 使固体颗粒中的有用物质同有害物质或者 惰性物质分离。
在流体内以同一沉降速度沉降的不同密度 的颗粒称为等降颗粒。 等降颗粒中密度小（ρPa）的颗粒的直径 （dPa）与密度大（ρPa）的颗粒的直径 （dPb）之比称为等降系数K。等降系数恒 大于1。
du ( p ) u 2 g 1 2 dt p u0
4 gd p ( p )
u2 4 2
du p
( p ) u 2 g 1 2 dt p u0
开始时无论重力和摩擦力平衡与否，经若 干时间后两力始终会达到平衡， ，u=u0。 u u u u up u f 代入 得
b
ห้องสมุดไป่ตู้
p
a
在一般情况下
K d pa d pb (
p
b
p
a
)n
1 n为指数， ≤n≤1，所以等降系数并不是常数。 2 从式中可以看出，当流体密度与较轻的颗粒的密 度相等时，等降系数为无穷大。
此时，无论尺寸多大，密度较轻的颗粒均 不能与较重颗粒有着同一沉降速度，这样 就能使任何粒度范围内的颗粒都能按密度 的不同进行分选。因此分选操作应该在重 悬浮介质中进行离析，而分级操作则要减 小密度的影响，宜用密度较轻的悬浮介质 进行离析。
最后应指出，以上关于沉降速度的分析， 都是假设颗粒粒径大于流体分子的自由行 径，即流体考虑为一连续介质，并且无布 朗运动发生的情况。如果粒径dp小于3µm， 计算结果便不可靠。
颗粒在静止流体中的干扰沉降
在工业生产过程中，常遇到颗粒群在有限 流体空间内的沉降。沉降时，各个颗粒不 但会受到其他颗粒直接摩擦、碰撞的影响， 而且还受到其他颗粒通过流体而产生的间 接影响，这种沉降称为干扰沉降。
上述三种关系式也可以用图解来表示。在图(1214)中，颗粒处于层流和湍流的沉降，分别显示 在图中左下方和右上方的直线系。层流线系向上 延伸至相当于Rep为1的状态，诸状态由不同的 µ/ρ值确定。Rep在1~1000间为过渡区，在图中 过渡区表示为光滑曲线系，它们从每条层流线末 端延伸到相应的湍流线开始处止。用此光滑曲线 比用理论公式(12-17)准确（此式为一条直线）。 运用图12-4，只要知道颗粒直径和流体性质，便 可立即确定颗粒与流体相对运动的流型，并查出 沉降速度u0的数值。
第十二章颗粒流体力学的基本原理
颗粒在静止流体内的沉降 颗粒在流动着的流体中的运动
颗粒在静止流体内的沉降
(一)颗粒在静止流体中的自由沉降
球形颗粒在静止流体中的自由沉降 2.非球形颗粒在静止流体中的自由沉降
1.
(二)颗粒在静止流体中的干扰沉降 (三)等降颗粒
1.球形颗粒在静止流体中的自由沉降
2 2 p f p d
s uft
纵向运动，颗粒在垂直方向上相当于静止 流体中受重力作用而向下沉降。t时间内降 落的高度为 H u0t 因此在水平流动的流体中，颗粒是在横向 流动和重力场的共同作用下，沿着颗粒的 水平运动速度up和沉降速度u0的合速度的 方向运动。
颗粒在旋转流体中的运动
颗粒在旋转流体中运动时，受到离心力场 和重力场的共同作用。 设在半径R处流体的圆周速度为uf，则处在 该半径上的球形颗粒受到的剩余惯性离心 力。由于剩余惯性离心力的作用，颗粒与 流体有相对运动，就产生了反向的流体阻 力Fd。径向运动方程式 du p
m dt Fc 0 Fd
在工业用的设备中，可认为dup 0 ，于是颗 dt 粒在半径方向上的沉降速度： 所得u0r就是惯性离心力作用下颗粒沿径向 的沉降速度。当流体带着颗粒旋转时，颗 粒在惯性离心力作用下沿着切线方向通过 运动中的流体甩出，逐渐离开旋转中心。 因此颗粒实际上是沿着半径逐渐增大的螺 旋形轨道前进的。
设有一表面光滑的球形颗粒，在无限广阔 的静止流体空间内，颗粒不会受到其他颗 粒及容器壁的影响而作自由沉降。 实际上，在有限的流体空间内，当颗粒群 的体积分数较低，各颗粒之间既不直接也 不通过流体间接地影响彼此的沉降时，也 可以当作是自由沉降。
颗粒在静止流体内自由沉降时，不仅受到 重力而且还受到浮力和阻力的作用，在诸 力共同作用下，颗粒的运动方程式为
等降系数： K d p ( p ) a
a b
d pb
( pa ) b
p
b
当颗粒在湍流范围内沉降时ζa=ζb=0.44则
K d pa d pb
p
a
当颗粒在层流范围内沉降时
K d pa d pb
24 Re p则
p
处在水平流动的流体中的颗粒，一方面受 到流体流动影响产生水平的横向运动，另 一方面又受重力的影响发生纵向沉降。 设流体对于固定空间以匀速uf作水平运动。 处在流体中的颗粒对于固定空间在水平方 向上的运动速度为up，则在水平方向上颗 粒对于流体的相对速度为 u p u0 u f
设颗粒呈球形，则在水平方向上流体对颗 粒的作用力为 F d (u u ) 4 2 在颗粒运动中作用力随颗粒运动速度的变 化而变化。经过一段时间颗粒在水平方向 做匀速运动，在t时间内所走路程
2.非球形颗粒在静止流体中的自由沉降
颗粒在流体中运动的阻力，由表面阻力与 体形阻力所组成，它们都与颗粒形状有关。 上述各式是根据光滑的球形颗粒导出。但 是实际上遇到的颗粒，多数为表面粗糙的 非球形颗粒。沉降时流体阻力比光滑球形 颗粒大，故其沉降速度较上述各式的计算 值低。
非球形颗粒的形状与球形颗粒的差异程度， 用形状系数（或称球形度）φs来表征。它 是与非球形颗粒体积相等的圆球表面积S 与非球形颗粒的表面积Sp之比，即φs=S/Sp。 对于球形颗粒φs=1；对于非球形颗粒 0<φs<1。
p u 0 0.104( )g
0.73
p
dp
1.18
( ) 0.45

此式适用于过渡流时球形颗粒的自由沉降，称为阿纶 (Allen)公式
当1000<Rep<2×105时，将式 0.5 (12-15)则得
u 0 1.74(
p
0.44
u0 4 gd p ( p ) 3
当Rep<1，将式
u0

24 Re p
2
代入式(12-15),则得
d p ( p ) g 18
此式适用于层流时球形颗粒的自由沉降，称为托克斯 (Stokes)公式。 30 0.625 式代入式(12-15)，则得 当1<Rep<1000时，将 Re
Fd
d p
u 4 2
2
2
颗粒的运动方程
m du p dt

G0 Fd
3 p p
0

3
d p ( p ) g
3
d p 2
根据 m 6 d 和 u 3 所以有 由于 u u p u 而 uf为常数，故du=dup，于是 f 上式可写成
两个阶段，一个加速一个匀速
如果重力大于浮力，开始沉降瞬间，颗粒将受到其本身 重力作用而加速降落。沉降时由于流体与颗粒表面的摩 擦而产生与运动方向相反的阻力，同时阻力随降落的速 度的增加而增大。经过片刻，当流体阻力增大到等于颗 粒剩余阻力时，颗粒受力处于平衡，加速度为零，以后 颗粒即以此时的瞬时速度作匀速向下降落。可见，颗粒 的沉降过程分为两个阶段，起初为加速阶段，而后为等 速阶段。等速阶段的颗粒相对于流体的运动速度u0称为 沉降速度。他就是加速阶段终了时速度，故又称为末速。 颗粒在静止流体内降落时，它等于颗粒的绝对速度。
按球形颗粒公式求得的沉降速度应乘上校 正系数k加以修正，即非球形颗粒的沉降速 度u0'=ku0。当颗粒的沉降属于层流区时， 非球形颗粒的沉降速度可以不要校正，直 接以球形颗粒沉降速度公式计算，误差不 大。当沉降速度较大时，则需要加以校正。
反之，当已知沉降速度求粒径时，则按球 形颗粒沉降算得的粒径dp比较非球形的当 量粒径de为小，亦需以另一校正系数k'进行 修正，即de=k'dp。
4d p ( p ) u f u0 r 3 R
2
工业上可以通过各种方法是离心加速度远 远超过重力加速度，因此可以利用惯性离 心力来加快颗粒的沉降及分离比较细小的 颗粒而且设备的体积也可以缩小。
u 将u 与 u u 相比，可得离心沉降 速度与重力沉降速度之比：
颗粒在流动着的流体中的运动
(一)颗粒在垂直流动的流体中在重力作用下 的运动 (二)颗粒在水平流动的流体中在重力作用下 的运动 (三)颗粒在旋转流体中的运动
颗粒在垂直流动的流体中在重力作用下的运动
假设流体对于固定空间以匀速度uf向上运 动，处于流体中的颗粒在重力作用下以速 度up对于固定空间向下运动，则颗粒对于 流体的相对运动速度为 u u p u f 设颗粒呈球形流体对颗粒的阻力可表达为
干扰沉降增加了颗粒的沉降阻力，使沉降 速度降低。显然这种影响随着系统中颗粒 体积分数的增大而增大。 实验证明，当悬浮体的体积分数不太大时 （小于3%），可按自由沉降公式计算，误 差不大；当颗粒体积分数超过3%时，干扰 沉降的末速u0t的大小随流体中颗粒的体积 分数之不同而异。
根据实践，干扰沉降时的末速：
u 0t u 0 n
颗粒在有限容器内沉降时，尚须考虑容器器壁对颗粒沉 降的阻滞作用。考虑到器壁效应，沉降速度可乘以壁效 应因子fw加以修正。壁效应因子是实际沉降速度与自由 沉降速度之比，fw的经验关系式如下：
fw 1 (
dp D
)n
显然，当颗粒较小时，误差不大，往往可以不加修正。