二项式定理1

T10 = T9+1 = C x
9 12
12 9
a
9
=C x a
3 12 3
3
9
9
= 220 x a .
的展开式中的第4项 ） 例4（1）求(1+2x)7的展开式中的第 项 的二项式系数，和第 项的系数 项的系数； 的二项式系数，和第4项的系数；
1 9 系数。 （2）求 ( x ) 的展开式中的x3系数。 ） x 展开式的第4项为 解：（1） (1+2x)7展开式的第 项为 ）
( r = 0,1,2, L , n) 叫做二项式系数. 二项展开式中的 C r a n r b r 叫做二项式系数 二项式系数. n
叫做二项展开式的通项， 叫做二项展开式的通项， Tr +1 来表示 通项 用 来表示. 即通项为展开式的第r+1项 即通项为展开式的第 项 : Tr + 1 = C n a
a 4 , a 3 b, a 2 b 2 , ab 3 , b 4 .
现在来看一看上面各项在展开式中出现的次数， 也就是看展开 现在来看一看上面各项在展开式中出现的次数， 式中各项的系数是什么？ 式中各项的系数是什么？
(a + b )4 = (a + b )(a + b )(a + b )(a + b )
3 T4 = T3+1 = C7 ( 2 x ) 3 = 35 × 8 x 3 = 280x 3
∴ 第4项的二项式系数 C 7 = 35 ， 4项的系数是 280 . 项的二项式系数 3 第 项的系数是
1 9 （2 Q ( x ) 的展开式的通项是 ） x
r 9 9 r
1 r r Tr +1 = C x ( ) = ( 1) r C 9 x 9 2 r x 由题意得 9 2r = 3 r = 3

二 项 式 定 理
回顾：
（a + b) = a + 2ab + b 3 ( a + b) = ( a + b)( a + b)( a + b) 2 2 = ( a + b)( a + ab + ba + b ) 2 2 3 2 = a + a b + aba + ab + ba 2 3 + bab + b a + b 3 2 2 3 = a + 3a b + 3ab + b 100 4 ( a + b) = ？ ( a + b) = ？
2
(a + b) = a + 3 a b + 3a b + b
=C
0 3 3 1 3 2
3
3
2
2
3
a +C a b+C b +C b
1 2 2 2 0 3 1 3 2 3
2 3a
2
3 3
3
项数比左边次数多1； 项数比左边次数多 ；每项次数均为 左边指数， 指数 指数a降 升 左边指数，a,b指数 降b升；系数
2
2
的展开式中,含有 在( x − 1) 的展开式中 含有 x 项的系数为 2 3 的系数为-20 −C6 = −20 所以 x 的系数为
6
( x −1)[1 + ( x −1) 原式 = 1 + ( x −1)
5
( x − 1) + ( x − 1)6 ]= x
3
的展开式中含 式中含x的项 (4)求 (1+ 2x) (1− x) 的展开式中含 的项 求

L
Cnn 3n 1]
1 [(1 3)n 1] 1 (4n 1)
3
3
13
例 求(2a+b)5的展开式的(1)第三项；(2)第三
题
2 项的二项式系数；(3)第三项的系数。
解:
(1)
T3＝T2+1＝C
2 5
(2a)5-2b2
=80a
3b2
(2) C52 =10
∴第三项的二项式系数是10
等号右边的积的展开式的每一项,是从每个 括号里任取一个字母的乘积.
3
寻找 规 律
(a+b)4的展开式中各项的系数是什么?
(a+b)4 = (a+b)(a+b)(a+b)(a+b)
=
c 40a4
+c 14a3b1
+c 42a2b2
+
c 43a1b3
+c
4 4
b4
每个都不取b的情况有1种,即
c
0 4
,所以 a4的系数是
(1 3)10 210 1024
(2).(x 1)5 5(x 1)4 10(x 1)3 10(x 1)2 5(x 1)
(x 11)5 1 x5 1
(3).Cn1 3Cn2 9Cn3 L

3n
C 1 n n
1[1 3
Cn1

3

Cn2

32
8
本节课的课题杨《辉二简项式介定理》就是研究
（• a+南b宋）末的年平钱方塘，人（，a是+当b）时的有三名次的方数…学…家 （和a教+b育）家的，n杨次辉方一的生乘编法写展的开数式学的书规很律多，， 法但国散数佚学严家重帕。斯卡在17世纪发现了它，国外 把这一规律称为帕斯卡三角。其实，我国数学

二项式定理二项式定理是高中数学中与排列组合、多项式的概念性质联系比较紧密的内容。

在高考中，二项式定理的命题主要以选择、填空题的形式考查二项展开式的项、系数及其相关问题。

因此，复时要正确理解二项式定理、二项展开式的概念和性质，牢牢掌握二项展开式的通项公式是解答有关问题的关键。

同时，注意把握二项式与定积分及其它知识的联系。

其中，非标准二项式定理求解特殊项的问题是难点问题。

二项式定理的公式为(a+b)^n=C(n,0)*a^n+C(n,1)*a^(n-1)*b+。

+C(n,k)*a^(n-k)*b^k+。

+C(n,n)*b^n，其中n∈N*。

展开式的第k+1项为C(n,k)*a^(n-k)*b^k。

在求二项展开式的特定项问题时，实质上是考查通项T(k+1)=C(n,k)*b的特点。

一般需要建立方程求k，再将k的值代回通项求解。

注意k的取值范围为k=0,1,2，…，n。

特定项的系数问题及相关参数值的求解等都可依据上述方法求解。

二项式系数是二项展开式中各项的系数，记为C(n,k)。

项的系数是该项中非字母因数部分，包括符号等。

二项式系数具有对称性，在二项展开式中与首末两端等距离的两个二项式系数相等，即C(n,k)=C(n,n-k)。

二项式系数的增减性与最大值是：当k(n+1)/2时，二项式系数逐渐减小。

当n是偶数时，中间一项的二项式系数最大；当n是奇数时，中间两项的二项式系数最大。

各二项式系数的和等于2，即C(n,0)+C(n,1)+…+C(n,n)=2.奇数项的二项式系数之和等于偶数项的二项式系数之和，即C(n,0)+C(n,2)+…=C(n,1)+C(n,3)+…=2^(n-1)。

在高考中，常涉及多项式和二项式问题，主要考查学生的化简能力。

常见的命题角度有：(1)几个多项式和的展开式中的特定项(系数)问题；(2)几个多项式积的展开式中的特定项(系数)问题；(3)三项展开式中的特定项(系数)问题。

赋值法是一种重要的方法，适用于恒等式，用于求形如(ax＋b)、(ax＋bx＋c)(a，b∈R)的式子展开式的各项系数之和。