极限法(特殊值法)在物理高考中的应用Word版

极限法（特殊值法）在物理高考中的应用“极限法”是一种特殊的方法，它的特点是运用题中的隐含条件，或已有的概念，性质，对选项中的干扰项进行逐个排除，最终达到选出正确答案的目的。

极限法在物理解题中有比较广泛的应用,将貌似复杂的问题推到极端状态或极限值条件下进行分析，问题往往变得十分简单。

利用极限法可以将倾角变化的斜面转化成平面或竖直面。

可将复杂电路变成简单电路，可将运动物体视为静止物体，可将变量转化成特殊的恒定值，可将非理想物理模型转化成理想物理模型，从而避免了不必要的详尽的物理过程分析和繁琐的数学推导运算，使问题的隐含条件暴露，陌生结果变得熟悉，难以判断的结论变得一目了然。

1.（12安徽）如图1所示，半径为R 均匀带电圆形平板，单位面积带电量为σ，其轴线上任意一点P （坐标为x ）的电场强度可以由库仑定律和电场强度的叠加原理求出：E =2πκσ()⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+-21221x r x，方向沿x 轴。

现考虑单位面积带电量为0σ的无限大均匀带电平板，从其中间挖去一半径为r 的圆板，如图2所示。

则圆孔轴线上任意一点Q （坐标为x ）的电场强度为 ( ) A. 2πκ0σ()2122x r x+B. 2πκ0σ()2122xrr+C. 2πκ0σr x D. 2πκ0σxr【解析】当→∝R 时，22xR x +=0，则0k 2E δπ=，当挖去半径为r 的圆孔时，应在E中减掉该圆孔对应的场强）（220r xr x -12E +=πκδ，即21220x r x2E ）（+='πκδ。

选项A正确。

2.（11福建）如图，一不可伸长的轻质细绳跨过滑轮后，两端分别悬挂质量为m 1和m 2的物体A 和B 。

若滑轮有一定大小，质量为m且分布均匀，滑图1图2轮转动时与绳之间无相对滑动，不计滑轮与轴之间的磨擦。

设细绳对A 和B 的拉力大小分别为T 1和T 2，已知下列四个关于T 1的表达式中有一个是正确的，请你根据所学的物理知识，通过一定的分析判断正确的表达式是（ ） A.21112(2)2()m m m g T m m m +=++ B. 12112(2)4()m m m gT m m m +=++C. 21112(4)2()m m m g T m m m +=++ D. 12112(4)4()m m m gT m m m +=++【解析】利用极限的思维方式，若滑轮的质量m =0，则细绳对A 和B 的拉力大小T 1和T 2相等为T 。

五、极限法方法简介极限法是把某个物理量推向极端，即极大和微小或极左和极右，并依此做出科学的推理分析，从而给出推断或导出一般结论。

极限法在进行某些物理过程的分析时，具有独特作用，恰当应用极限法能提高解题效率，使问题化难为易，化繁为简，思路敏捷，推断精确。

因此要求解题者，不仅具有严谨的逻辑推理实力，而且具有丰富的想象实力，从而得到事半功倍的效果。

赛题精讲例1：如图5—1所示， 一个质量为m 的小球位于一质量可忽视的直立弹簧上方h 高度处，该小球从静止起先落向弹簧，设弹簧的劲度系数为k ，则物块可能获得的最大动能为 。

解析：球跟弹簧接触后，先做变加速运动，后做变减速运动，据此推理，小球所受合力为零的位置速度、动能最大。

所以速最大时有mg = kx ①由机械能守恒有：mg (h + x) = E k +12kx 2 ②联立①②式解得：E k = mgh －22m g 2k例2：如图5—2所示，倾角为α的斜面上方有一点O ，在O 点放一至斜面的光滑直轨道，要求一质点从O 点沿直轨道到达斜面P 点的时间最短。

求该直轨道与竖直方向的夹角β 。

解析：质点沿OP 做匀加速直线运动，运动的时间t 应当与β角有关，求时间t 对于β角的函数的极值即可。

由牛顿运动定律可知，质点沿光滑轨道下滑的加速度为： a = gcos β该质点沿轨道由静止滑到斜面所用的时间为t ，则：12at 2=OP 所以：t =2OPg cos β① 由图可知，在ΔOPC 中有：oOP sin(90)-α=o OCsin(90)+α-β 所以：OP =OCcos cos()αα-β ②将②式代入①式得：t =2OCcos g cos cos()αβα-β=[]4OCcos cos cos(2)g αα+α-β明显，当cos(α－2β) = 1 ，即β =2α时，上式有最小值。

所以当β =2α时，质点沿直轨道滑到斜面所用的时间最短。

此题也可以用作图法求解。

极限思想在高中物理中应用的思考高中物理课程标准目标明确提出通过物理概念和规律的学习过程，了解物理学的研究方法，认识物理实验、物理模型和数学工具在物理学发展过程中的作用。

考试大纲指出：高考物理在考查知识的同时注重考查能力，并把对能力的考查放在首要位置。

2015年我省高考回归全国卷的怀抱，新的高考给我们带来新思考，也给高考复习带来新要求。

我打开了多年来的全国高考新课程标准理科综合试卷，翻开了新的考试大纲，开始了忙忙碌碌，学习、培训、研讨……一个重要的物理学的研究方法――极限的思想引起了我极大的关注。

极限的思想是指用极限概念分析问题和解决问题的一种数学思想。

对于要确定的未知量，先设法构思一个与它有关的变量，确认这变量通过无限过程的结果就是所求的未知量，最后用极限计算得到结果。

新教材是十分重视极限的思想方法。

在教材必修一第3节《速度和加速度》讲解瞬时速度：当位移足够小（或时间足够短）时，小球的速度变化很小，可以认为小球在这段时间内的运动是匀速的，所得的平均速度就可以用来描述小球经过o点时的运动快慢，即可近似看成经过o点的瞬时速度。

这是高中物理第一次接触到极限的思想；用光电门测速度――用平均速度代表瞬时速度也是渗透极限的思想；在用v-t图像推导图像与轴围成的面积代表着运动的物体的位移，推导出匀变速运动位移公式，明确指出推导中用到了微积分的思想，即无限分割，逐渐逼近真实状况。

在物理学的研究中常常用到这思想，也就是极限思想；在课后习题：从一张照片估算照相机的曝光时间；在教材拓展一步中：利用图像怎样计算变力做功采用了极限的思想。

可以这么说新教材在教学方式上采取多样化的形式，在教学内容上进行系统化的布局充分体现了极限的思想在物理学中的应用。

极限的思想在新课标高考全国卷的出现是一种信号，也给我们带来了新思考和启发。

2013年新课标高考全国Ⅰ卷中第22题：图（a）为测量物块与水平桌面之间动摩擦因数的实验装置示意图。

实验步骤如下：①用天平测量物块和遮光片的总质量M.重物的质量m：用游标卡尺测量遮光片的宽度d；用米尺测最两光电门之间的距离s；②调整轻滑轮，使细线水平：③让物块从光电门A的左侧由静止释放，用数字毫秒计分别测出遮光片经过光电门A和光电门B所用的时间△t和△t，求出加速度a；④多次重复步骤③，求a的平均值；⑤根据上述实验数据求出动擦因数μ。

极值法在物理解题中的应用极值法又称为极端假设法，在数学教学里面是很有效的解题方法，将数学解题思想运用到物理的解题过程中，可以使物理解题变得更加简单快捷，简化了解题过程，使解题思路变得更加清晰，为考试赢得了时间.例1如图1甲所示的电路，电源电压保持不变.闭合开关S，调节滑动变阻器，两电压表的示数随电路中电流变化的图线如图1乙所示.根据图线的信息可知：电源电压为，电阻R1的阻值为Ω.解析首先这是一条串联电路，串联电路中有一个重要的性质就是串联分压U1∶U2=R1∶R2，R2是一只滑动变阻器，运用极值法，当P在最左端的时候，R2接入电路的阻值为0，其两端的电压也就为0，此时电路中的电流最大，从而确定乙图中的乙为R2对应的图线，此时的最大电流为0.6 A，图线甲所对应则代表R1，其对应的电压为6 V，电阻则为10 Ω；同样我们再次运用极值法，当滑片P在最右端的时候，总电阻取得最大值，电路中的电流则取得最小值0.2 A，此时总电阻为30 Ω，R2最大阻值为20 Ω.将极值法与图象巧妙的结合，建立一一对应的关系，让学生很容易找到极值法所对应的极值点，帮助我们确定图象中各个数据点的意义与关系，从而找到我们所需要的信息，使得学生的思维更加清晰明朗，增强了学生解题的信心与勇气，激发了学生学习的热情和兴趣.例2如图2所示，电源电压保持6 V不变.电流表的量程为0～0.6 A.电压表量程0～3 V，定值电阻R1的规格为“10 Ω0.5 A”，滑动变阻器R2的规格为“20 Ω 1 A”.闭合开关，为了保证电路安全，求滑动变阻器接入电路的取值范围？解析首先我们要知道“保证电路安全”的含义，即用电器、仪表、电源等所有的一切都要在允许的范围内工作，不能超过量程或被烧坏.由题意可得，粗看本题中电流的极值是0.5 A，而不是电流表的最大量程0.6 A，很多学生知道取极值，也知道不能取0.6 A，就一下子取了0.5 A，但是在本题中，当电流取0.5 A 时，电压表的电压为5 V，显然超过了电压表的量程3 V，这是不符合保护电路安全的要求的，所以本题中应取电压表的极值3 V，带入计算，此时电流取得的最大值只能是0.3 A，从而求出电路中的最小电阻为20 Ω，得出滑动变阻器的阻值范围为10 Ω～20 Ω.用极值法求解时，会碰到极值的数目可能不止一个，甚至会出现隐含的极值，我们要对照题目要求找全部的极值并进行适当的取舍，最终达到为我所用的目的，顺利完成我们的解题任务.例3如图3甲所示电路中，R0为定值电阻，R1为滑动变阻器.图3乙是该滑动变阻器消耗的电功率与电流关系的图象.则该滑动变阻器的最大值是Ω，电源电压是V.解析对于图象题，首先要弄清图象的变化情况或趋势，找出图像中出现的起点、拐点、终点，这三点的出现，很可能就是题目中隐含的极值点所在，极大值或极小值.在图乙中A点的出现，显示了电路中电流出现了一个极小值点0.2 A，通过甲图可知，当滑片p 在a点的时候，此时电路中电阻最大，则电流最小，根据功率的公式p=I2R，就能求到滑动变阻器的阻值.找到了图象中的极值点，对于解题将会起到很大的帮助，可以拓展我们的思维，从而找到其他我们所需要的物理量，使解题思路更加清晰，起到事半功倍的效果.例4如图4所示，轻质杠杆OA的B点挂着重物G，A端用细绳挂在圆弧EF上，此时OA恰成水平，且A点与圆弧形架EF的圆心重合.当绳AM的M端从E点缓慢滑到F点的过程中，绳对A点拉力的大小将.解析这道题是极值法在杠杆中的典型应用，当M 点在圆弧EF上滑动时，与杠杆OA的角度关系在不断的发生变化，杠杆平衡时：G×OB=F×L ，力臂L 的大小会随着M点的移动而发生相应的变化，在M 点移动的过程中，会出现力臂的最大极值点即为MA 垂直于OA时的位置点，在极值点的左侧和右侧其力臂都会小于极值点时的力臂，所以从E点到F点的过程中，力臂应该先增大后减小，而F则为先减小后增大.在动态过程中找到极值点，对问题进行动态分析，对学生能力的要求要不断提高，可以拓展学生的思维空间，剖析学生的主观想象与臆测，形成正确的知识空间.右图是湖南长沙2014年一道中考试题，凭学生的主观想象，当蹦极运动员通过A时，运动员由于受到绳子拉力的作用，会立即减速，一直减速到最低点C速度为0，其实不然，通过分析，当刚刚通过A点时，此时弹力还比较小，重力比弹力要大，合力方向与运动方向相同都是向下，此时应该表现为继续加速，但随着绳子不断被拉长，其弹力也在不断的增加，当弹力大于重力的时候，合力方向与运动方向相反，合力方向向上，运动方向向下，此时表现为减速向下运行，而决定人加速还是减速的极值点则为弹力和重力相等的瞬间.极值点找到了，也就找到了题目的难点所在.跳出了陷阱，干扰因素、难点被排除，题目迎刃而解.。

极限法在高中物理解题中的应用探究笔者查阅高中阶段的各类物理考试和竞赛试题发现，目前高中物理试题考察的角度已经不是简单的物理定律和理论知识，而是学生的实际应用能力、逻辑思维能力和思变意识。

极限法和极限思维本来是一种数学思维，在物理学上近些年开始广泛地使用。

极限法在高中物理中的应用主要针对物理对象的过程和状态的变化，按照物理过程的变化趋势合理外推到极端的情况。

这种方法的应用为物理难题的解决找到了突破口和切入点，一定程度上简化了解题过程和提高了解题效率。

笔者通过大量的案例来诠释极限法在高中物理试题解答中的具体应用。

案例1如图1中所示，角度数为OP的斜面上方有一点O，在O点放一至斜面的光滑直轨道，并且满足这一质点从O点沿轨道到达斜面P点的时间最短。

试问直轨道与竖直方向的夹角β是多少？图1试题解析从题干中给出的条件知道质点沿OP做的是匀加速直线运动，其运动到P点的时间应该和待求的问题β角有一定的关系，从另外一个角度分析，只要解答t对于β角的函数的极值就可以解决问题。

对于学过的物理知识，需要运用的是牛顿运动定律。

由此可知，这一质点沿光滑轨道下滑的加速度为a=gcosβ，该质点沿轨道由静止滑到斜面所用的时间为t，则112at2=OP，解得t=2OOP1gcosβ①利用数学关系式，在△OPC中有OP1sin（90°-α）=OC1sin（90°+α-β）解得OP=OCcosα1cos（α-β）②将②式代入①式得t=2OCcosα1gcosβcos（α-β）=4OC1[cosα+cos （α-2β）]g经分析得知，当cos（α-2β）=1，即β=α12时，求得t的最小值，即β=α12时，t最短。

案例2如图2，底角为θ的斜面顶端，以初速度为v0水平抛出一小球，忽略阻力，则小球被抛出后，求离开斜面的最大距离H？图2解析解决此题的关键是分析什么时间小球距离斜面的距离最大。

从图形可以看出只有当所抛物体的速度方向与斜面平行时，二者的距离最大。

高中物理解题方法之极值法江苏省特级教师 戴儒京高中物理中的极值问题，是物理教学研究中的活跃话题。

本文通过例题归纳综合出极值问题的四种主要解法。

一、 二次函数求极值二次函数aacb a b x ac bx ax y 44)2(222--+=++=，当a b x 2-=时，y 有极值ab ac y m 442-=，若a>0，为极小值，若a<0，为极大值。

例1试证明在非弹性碰撞中，完全非弹性碰撞(碰撞后两物体粘合在一起)动能损失最大。

设第一个物体的质量为1m ，速度为1V 。

第二个物体的质量为2m ，速度为2V 。

碰撞以后的速度分别为'1V 和'2V 。

假使这四个速度都在一条直线上。

根据动量守恒定律有：'+'=+22112211V m V m V m V m （1）如果是完全非弹性碰撞，两物体粘合在一起，（1）则变为V m m V m V m '+=+)(212211，即212211m m V m V m V ++=' （2）现在就是要证明，在满足（1）式的碰撞中，动能损失最大的情况是（2）式。

碰撞中动能损失为ΔE k =()22()22222211222211'+'-+v m vm v m v m （3） 转变为数学问题：ΔE k 为v 的二次函数:由（1）得：v 2ˊ=2112211)(m v m v m v m '-+ （4）将（4）代入（3）得：k =++++-'12221112'1211)(2)(v m v m v m m v m m m m [2222112222112)(22m v m v m v m v m +-+] 二次函数求极值,当v 1ˊ=)()(212211m m v m v m ++ （5） 时∆E k 有极大值。

回到物理问题,将（5）代入（4）得v 2ˊ=)()(212211m m v m v m ++此两式表明,m 1和m 2碰后速度相等,即粘合在一起,此时动能损失(ΔE k )最大。

高三物理巧用极限法分析临界问题临界问题的分析是中学物理中较为常见：也是很多同学感到困难的问题之一：这就要求我们在教学中能不断探索这类问题的分析方法。

极限法分析临界问题：是通过分析把关键物理量同时推向极大和极小时的物理现象：从而找出解决问题的突破口的一种方法。

下面通过几种情况的分析来体会：一、关键物理量“力F ”【例1】如图1所示：物体A 的质量为2kg ：两轻绳AB 和AC(L AB =2L AC )的一端连接在竖直墙上：另一端系在物体A 上：今在物体A 上另施加一个与水平方向成α=600角的拉力F 。

要使两绳都能伸直：试求拉力F 的大小范围。

(g=10m/s 2)分析与解 如果F 很小：由竖直方向平衡知轻绳AB中必有张力：当AC 中张力恰为零时：F 最小：如果F 很大：由竖直方向平衡知轻绳AC 中必有张力：当AB 中张 力恰好为零时：F 最大。

设物体的质量为m ：轻绳AB 中的张力为T AB ：AC 中的张力为T AC ：F 的最小值为F 1：最大值为F 2 L AB =2L AC ：有∠CAB=600由平衡条件有：F 1sin600+T AB sin600=mg , F 1cos600=T AB cos600F 2sin600=mg以上各式代入数据得：F 1=20√3/3N ：F 2=40√3/3N因此：拉力F 的大小范围：20√3/3N ＜F ＜40√3/3N此题也可由平衡条件直接列方程：结合不等式关系T AB ＞0：T AC ＞0求解。

二、关键物理量“加速度a ”【例2】质量为0.2kg 的小球用细绳吊在倾角θ=600的斜面体的顶端：斜面体静止时：小球紧靠在斜面上：线与斜面平行：如图2所示：不计摩擦：求当斜面体分别以（1）2√3m/s 2：（2）4√3m/s 2的加速度向右加速时：线对小球的拉力。

分析与解 很多同学看到题目就会不加分析的列方程 求解：从而出现解出的结果不符合实际。

其实：如果我们仔细审题就会发现题目设问的着眼点是加速度。

数学极限法在物理解题中的应用作者：黄丽艳来源：《新课程·中旬》2014年第10期极限法是把某个物理量或某个物体的位置推向极端，即极大和极小或极左和极右，并依此做出科学的推理分析，从而给出判断或导出一般结论。

极限法在进行某些物理过程的分析时，具有独特作用，恰当应用极限法能提高解题效率，使问题化难为易，化繁为简，思路灵活，判断准确。

因此要求解题者不仅具有严谨的逻辑推理能力，而且要具有丰富的想象能力，从而得到事半功倍的效果。

例1.如图1所示，甲、乙两物体在同一直线上同时沿同方向运动。

甲以速度v0做匀速运动，乙从静止开始以加速度a做匀加速直线运动，开始时乙在甲前，且距离甲s远，求当s满足什么条件时：■（1）甲、乙只能相遇一次;（2）甲、乙能相遇两次。

解析：甲、乙相遇时，它们的位移之差为s，可推测相遇时间t必与s有关，t是否有实数解取决于s是否满足判别式大于等于零。

设甲、乙两物体运动t时间相遇，则s甲-s=s乙，即v0=■at2，整理得t2-■t+■=0这是一个关于t的二次方程，判别式？驻=（■）2-■（1）若？驻>0，即s<■时，方程有两个解，甲、乙能相遇两次;（2）若？驻=0，即s=■时，有一个解，表明甲、乙只能相遇一次。

例2.设地球的质量为m1，人造卫星的质量为m，地球的半径为R0，人造卫星环绕地球做圆周运动的半径为r。

试证明：从地面上将卫星发射至运行轨道，发射速度v=■，并用该式求出这个发射速度的最小值和最大值。

（取R0=6.4×106 m，设大气层对卫星的阻力忽略不计，地面的重力加速度为g）解析：由能量守恒定律可知卫星发射后在地球的引力场中运动时总机械能为一常量。

设卫星从地面发射的速度为v发，卫星发射后具有的机械能为E1=■mv2发-G■①进入轨道后卫星的机械能为E2=■mv2轨-G■②由E1=E2，并代入v轨=■，解得发射速度为v发=■③又因为在地面上可以认为万有引力等于重力，即G■=mg所以■=R0g④把④式代入③式解得v发=■（1）如果r=R0，即当卫星贴近地球表面做匀速圆周运动时，所需发射速度最小为v min=■=7.9×103 m/s（2）如果r→∞，所需发射速度最大（称为第二宇宙速度或脱离速度）为vmax=■=11.2×103 m/s例3.一物体一速度v0=10m/s沿光滑地面滑行，然后沿光滑曲面滑行，然后沿光滑曲面上升到顶部水平的高台上飞出，如图2所示，当高台的高度h多大时，小物体飞行的水平距离s 最大？这个距离是多少？（g取10 m/s2）解析：依题意，小物体经历两个过程。

“数学极值法”在物理问题中的妙用应用数学知识处理物理问题的能力，是物理教学培养学生五个方面能力中的重要一个.其中，数学求极值的方法在解决物理问题时被广泛应用.现就高中物理解题过程中常遇到的几种数学求极值的方法归纳如下，以期同广大同仁进行交流. 1.关于 θθcos sin b a Y += 的应用 )sin(cos sin 22ϕθθθ++=+=b a b a Y 且ϕtg =ab.要使Y 有最大值， 需1)sin(=+ϕθ, 即︒=+90ϕθ.例1.如图1所示，质量为m 的物块放置在水平地面上，物块与地面的动摩擦因数为μ，要使小物块沿水平面匀速运动，θ为何值时，F 有最小值？是多少？解：以m 为研究对象， 受力分析如右图： m 匀速运动时：mgF F F F N N =+=θμθsin cos)sin(1mgsin cos mg 2ϕθμμθμθμ++=+=F ,μϕ1=tg . 当 2min 1mg F 1arctan 22μμμπϕπθ+=-=-=时，. 2.关于c bx axY ++=2的应用根据二次函数的特点：0>a 时， 图象开口向上，Y 有最小值; 0<a 时，图象开口向下，Y 有最大值.且当abx 2-=时，Y 有最值. 例2．一辆汽车在十字路口等候绿灯，当绿灯亮时汽车汽车以2/3s m 的速度开始行驶，恰在这时一辆自行车以s m /6的速度匀速驶来，从后面赶过汽车.试求：汽车从路口开动后，在追上自行车之前经过多长时间两车相距最远？此距离是多少？解析：设汽车在追上自行车之前经t 秒两车相距最远，则有：6)2(2323621222+--=-=-=∆t t t at t v s 自由二次函数的极值条件知：s t 2=时，s ∆最大，最大值为m 6图 1F NF3．关于判别式0≥∆的应用要使方程02=++c bx ax 有解，须满足0≥∆.例3 质点从A 点由静止出发沿直线运动到B 点停止，在这段时间内，物体可以做匀速运动，也可以做加速度为a 的匀变速运动，要使质点从A 到B 运动的时间最短，质点应如何运动已知？最短时间是多少？已知A 、B 间的距离为s .解析：质点从A 到B 最简单的运动形式为：先做匀加速，再做匀速，最后做匀减速. 设质点从A 到B 运动的总时间为t ，做匀加速的时间为1t ，做匀减速运动的时间为3t ，则做匀速直线运动的时间为31t t t --根据题意有：31t t = ①)(21213112321t t t at at at s --++=② 由①②两式得： 0121=+-s att at ③ 要使③式有解，须满足0≥∆ 即 04)(2≥-as at 得ast 2≥ 即t 的最小值为：a st 2= 带入③得ast t ==31 即物体先做匀加速直线运动后做匀 减速直线运动.4．关于定和求积原理的应用两数和为常数，当两数相等时其乘积最大.由)0,0(,2)(2>>+≤y x y x xy ，若P y x =+（定值），则当y x =时：x 、y 的乘积有极大值.例5．已知Ω=21R ，Ω=32R ，Ω=53R 电源电动势V 6=ε，电源内阻 Ω=5.0γ.问：变阻器滑动片在何处时，电源发热功率最小？解析：设电源发热功率为P ，干路电流为I 据γ⋅=2I P ， 可知：I 最小时，P 最小.外R I +=γε ①32132x 1)()R R R R R R R R R x ++-+⋅+=（外 ② 根据定和求积原理可知：当x x R R R R R -+=+321时，I 有最小值. 即Ω=-+=32132R R R R x 时，I 的最小值为A I 2min =得：W P 2min = 5．关于定积求和原理的应用两数乘积为常数时，两数相等时，其和值最小. 由xy y x 2≥+， 若常数）(k xy =， 则x y =时，x 与y 的和最小.例6：一个连同装备总质量为M 的宇航员，在距离飞船S 处与飞船处于相对静止状态，他准备对太空中的哈勃望远镜进行维修.宇航员背着装有质量为0m 的2O 贮气筒，筒内有一个可以使2O 以速度v 喷出的喷嘴，宇航员维修完毕后，必须向反方向释放2O ，才能回到飞船，同时又必须保留一部分2O 供途中呼吸之用，宇航员的耗氧率为Q (kg/s).若不考虑喷出2O 对质量的影响，求：为了使总耗氧量最低，应该一次喷出多少氧气？解析：以飞船为参照物，设喷出质量m 的氧气时，宇航员获得'v 的速度，则由动量守 恒可知：0)('=--mv v m M因不考虑喷出2O 对质量的影响，所以有：Mmvv ='宇航员返回时间： mv Ms vs t =='宇航员返回过程中呼吸用氧mvQMsQt m =='故总耗氧量为mvQMsm m m +=+'因： 定值）(v QMs mv QMs m=，故当mvQMsm =时耗氧量最少 则总耗氧量最少为vQMs26.关于求导法求函数极限的应用一般地，当函数)(x f y =在0x 连续时，判别)(0x f 是极大（小）值的方法是：（1）如果在0x 附近的左侧0)('>x f ，右侧0)('<x f ，那么，)(0x f 是极大值. （2）如果在0x 附近的左侧0)('<x f ，右侧0)('>x f ，那么，)(0x f 是极小值. 例7 如图所示．一根不可伸长的轻绳两端各系一个小球a 和b ，跨在两根固定在同一高度的光滑水平细杆上，质量为3m 的a 球置于地面上，质量为m 的b 球从水平位置静止释放．当a 球对地面压力刚好为零时，b 球摆过的角度为θ．下列结论正确的是 ( ) A ．θ＝90° B ．θ＝45°C ．b 球摆动到最低点的过程中，重力对小球做功的功率先增大后减小D ．b 球摆动到最低点的过程中，重力对小球做功的功率一直增大解析：由机械能守恒以及圆周运动的相关知识可求得：当a 球对地面压力刚好为零时，b 球摆过的角度θ为090.设b 球的摆动半径为R ，当摆过角度θ时的速度为v ，对b 球由动能定理：221mv sin mgR =θ① 此时重力的瞬时功率为： θcos mgv p = ② 由① ②得： θθ2322cossin 2R g m p = ③对于函数θθ2cos sin =y 其一阶导数为： )sin 31(cos cos sin 3cos 22'θθθθθ-=-=y 33arcsin0<<θ 0'>y 原函数单调递增 233arcsinπθ<< 0'<y 原函数单调递减 故当33arcsin =θ y 取极大值.即b 球摆动到最低点的过程中，重力对小球做功的功率先增大后减小.。

解决高中物理问题最常用的极限法极限法在现代数学乃至物理等学科中有广泛的应用。

由有限小到无限小，由有限多到无限多，由有限的差别到无限地接近，就达到事物的本真。

极限法揭示了变量与常量、无限与有限的对立统一关系，借助极限法，人们可以从直线去接近曲线，从有限接近无限，从“不变”认识“变”，从不确定认识确定，从近似认识准确．从量变认识质变。

早在中国东汉时期的中国伟大的数学家刘徽，在几何方面，提出了"割圆术"，即将圆周用内接或外切正多边形穷竭的一种求圆面积和圆周长的方法．他利用割圆术科学地求出了圆周率π=3.14的结果．他用割圆术，从直径为2尺的圆内接正六边形开始割圆，依次得正12边形、正24边形……，割得越细，正多边形面积和园面积之差越小，用他的原话说是“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣。

”他计算了3072边形面积并验证了这个值．刘徽提出的计算圆周率的科学方法，奠定了此后千余年中国圆周率计算在世界上的领先地位。

“割圆术”，是用圆内接正多边形的周长去无限逼近圆周并以此求取圆周率的方法。

体现了微积分的思想。

高一物理教学中关于瞬时速度的分析就采用了这种极限法的思想，从运动学角度看,平均速度的公式是v=△x/△t,当△t足够小的时候所求的v就是瞬时速度。

得的平均速度就越能较精确的描述人经过某点时的快慢程度。

当位移足够小（也就是时间足够短）时，所得到的平均速度就是“一闪而过”的瞬时速度了。

如果两个量在某一空间的变化关系为单调上升或单调下降的函数关系（如因变量与自变量成正比的关系），那么，连续地改变其中一个量总可以使其变化在该区间达到极点或极限。

根据这种假定来考虑具体问题的思维方法我们就把它称为极点思维法或极限思维法。

同样极限思维法在中学物理教学中的作用运用极限思维法来求解某些物理问题时，与常规解法相比较，可大大地缩短解题时间，提高解题效率。

特殊值法在高考试题中的应用近几年来，高考物理试题中出现了一类新题型，命题者所给的问题我们按中学物理的常规方法很难解决，但要求学生对这些问题的解是否合理进行分析和判断。

若在处理这类问题时，采用”特殊值假设法”能对所给的问题较快地作出判断。

现举例说明此法在解这类高考试题中的作用。

例1 （2012安徽.20）如图1所示，半径为r 均匀带电圆形平板，单位面积带电量为，其轴线上任意一点（坐标为x ）p的电场强度可以由库仑定律和电场强度的叠加原理求出： e=2πkα1- ，方向沿x 轴。

现考虑单位面积带电量为α0 的无限大均匀带电平板，从其中间挖去一半径为r 的圆板，如图2所示。

则圆孔轴线上任意一点α（坐标为）的电场强度为（）解析：我们可以这样考虑：x=0坐标和半径r不论取何值，结论式都适用。

不防我们先代以某些特殊值，看看结论如何？例如：（1）当x=0 时，即o点的电场强度由对称性和电场强度的叠加原理可求出，结果为0；将特殊值代入a、b、c、d四个式子中，a、c两个式子的值为0，b式不是0，d式为无穷大。

故ac可能是正确的；（2）当x取无穷大时，q点的电场强度为0；将特殊值无穷大代入ac两式中，c式的值不是0，a式 =0，故a 正确；例2 （2011福建.18）如图，一不可伸长的轻质细绳跨过定滑轮后，两端分别悬挂质量为m1 和m2 的物体a和b。

若滑轮有一定大小，质量m为且分布均匀，滑轮转动时与绳之间无相对滑动，不计滑轮与轴之间的摩擦。

设细绳对a和b的拉力大小分别为t1 和t2 ，已知下列四个关于的表达式中有一个是正确的。

请你根据所学的物理知识，通过一定的分析，判断正确的表达式是a.t1=b.t1=c.t1=d. t1=解析：（1）当m1=m2=m 时，整个系统处于静止状态， t1=mg ；将特殊值m1=m2=m 代入a、b、c、d四个式子中，a式中t1=- m ，b式中t1=- ，d式中mg t1=- mg ，只有c式中t1=mg ，故c选项是正确的。

极限法的应用极端值法：对于所考虑的物理问题，从它所能取的最大值或最小值方面进行分析，将最大值或最小值代入相应的表达式，从而得到所需的结论．1. 如图所示电路中，当可变电阻R的阻值增大时（）A. A、B两点间的电压U增大B. A、B两点间的电压U减小C. 通过R的电流I增大D. 通过R的电流I减小2.如图所示，电源内阻不能忽略，R1＝10Ω，R2＝8Ω，当开关扳到位置1时，电流表的示数为0.2A；当开关扳到位置2时，电流表的示数可能是（）A．0.27A B．0.24AC．0.21A D．0.18A3.物理学中有些问题的结论不一定必须通过计算才能验证，有时只需要通过一定的分析就可以判断结论是否正确。

如图所示为两个彼此平行且共轴的半径分别为R1和R2的圆环，两圆环上的电荷量均为q（q>0），而且电荷均匀分布。

两圆环的圆心O1和O2相距为2a，联线的中点为O，轴线上的A点在O点右侧与O点相距为r（r<a）。

是分析判断下列关于A点处电场强度大小E的表达式（式中k为静电力常量）正确的是A．B．C．D．4.如图，一不可伸长的轻质细绳跨过定滑轮后，两端分别悬挂质量为m1和m2的物体A和B。

若滑轮有一定大小，质量为m且分布均匀，滑轮转动时与绳之间无相对滑动，不计滑轮与轴之间的摩擦。

设细绳对A和B的拉力大小分别为T1和T2。

已知下列四个关于T1的表达式中有一个是正确的。

请你根据所学的物理知识，通过一定的分析，判断正确的表达式是AB P M N v B a b θ A. B.C. D.函数求极值法：高考中对运用数学工具解决物理问题的要求越来越高，其中运用函数知识解决极值问题是常常遇到的．数学上求极值的方法通常有：利用二次函数求极值、利用不等式求极值、利用判别式求极值、利用三角函数求极值等．5.巡航快艇A 从港口P 出发拦截正以速度V B 沿直线MN 航行的船B ，港口P 与B 船航线MN 的垂直距离为a ，A 艇启航时B 船离港口的距离为b (b >a )，如图所示．如果略去A 艇启动时的加速过程，认为它始终做匀速运动，试求A 艇能拦住B 船所需的最小速率．6.如图所示，一辆有四分之一圆弧的小车停在不光滑的水平地面上，质量为m 的小球从静止开始由车的顶端无摩擦滑下，且小车始终保持静止状态.试分析：当小球运动到什么位置时，地面对小车的静摩擦力最大?最大值为多少?7.一小物块以速度s m v /100=沿光滑地面滑行，然后沿光滑 曲面上升到顶部水平的高台上，并由高台上飞出，如图所示， 当高台的高度h 多大时，小物块飞行的水平距离s 最 大？这个距离是多少？（g 取10m/s 2）8.一轻绳一端固定在O 点，另一端拴一小球，拉起小球使轻 绳水平，然后无初速度的释放，如图所示，小球在运动至轻绳 达到竖直位置的过程中，小球所受重力的瞬时功率在何处取得最 大值？9.物体放置在水平地面上，物理与地面之间的动摩擦因数为µ，物体重为G ，欲使物体沿水平地面做匀速直线运动，所用的最小拉力F 为多大？θBO L答案：1. 可变电阻R 的变化范围在零到无穷大之间连续变化。

思想方法6 特殊值法与极限法[方法概述]在中学物理问题中，有一类问题具有这样的特点，如果从题中给出的条件出发，需经过较复杂的计算才能得到结果的一般形式，并且条件似乎不足，使得结果难以确定，这时我们可以尝试采用极限思维的方法，将其变化过程引向极端的情况，就能把比较隐蔽的条件或临界现象暴露出来，从而有助于结论的迅速取得。

对于某些具有复杂运算的题目，还可以通过特殊值验证的方法排除错误选项，提高效率。

[典型例题]典例1 图示为一个内、外半径分别为R 1和R 2的圆环状均匀带电平面，其单位面积带电量为σ。

取环面中心O 为原点，以垂直于环面的轴线为x 轴。

设轴上任意点P 到O 点的距离为x ，P 点电场强度的大小为E 。

下面给出E 的四个表达式(式中k 为静电力常量)，其中只有一个是合理的。

你可能不会求解此处的场强E ，但是你可以通过一定的物理分析，对下列表达式的合理性做出判断。

根据你的判断，E 的合理表达式应为( )A ．E ＝2πkσ(R 1x 2＋R 21－R 2x 2＋R 22)x B ．E ＝2πkσ(1x 2＋R 21－1x 2＋R 22)x C ．E ＝2πkσ(R 1x 2＋R 21＋R 2x 2＋R 22)x D ．E ＝2πkσ(1x 2＋R 21＋1x 2＋R 22)x 解析 当R 1＝0时，带电圆环演变为带电圆面，则中心轴线上任意一点的电场强度的大小E 不可能小于0，而A 项中，E <0，故A 错误；当x →∞时E →0，而C 项中E ＝2πkσ· (R 21x2x 2＋R 21＋R 22x 2x 2＋R 22)＝2πkσ·(11x 2＋1R 21＋11x 2＋1R 22)，x →∞时，E →2πkσ(R 1＋R 2)，同理可知D 项中x →∞时，E →4πkσ，故C 、D 错误；所以正确选项只能为B 。

答案 B名师点评 若题目提示不能用常规方法做，需要另辟蹊径：特殊值法验证，单位制检验，根据表达式的形式判断，定性分析。