(完整版)河南中考数学探究题专项训练

中招复习专题-----------几何探究（河南22题）1.ABC中，∠A＝90°，点D在线段BC上，∠EDB＝12∠C，BE⊥DE，垂足为E，DE与AB相交于点F．（1）当AB＝AC时（如图1），①∠EBF＝_______°；②探究线段BE与FD的数量关系，并加以证明；（2）当AB＝kAC时（如图2），求BEFD的值（用含k的式子表示）．图1 图22.图1，在Rt ABC△中，90BAC∠=°，AD BC⊥于点D，点O是AC边上一点，连接BO交AD于点F，OE OB⊥交BC边于点E．（1）求证：ABF COE△∽△；（2）当O为AC边中点，2ACAB=时，如图2，求OFOE的值；（3）当O为AC边中点，ACnAB=时，请直接写出OFOE的值3.（2010wh)B，点C为OB中点，D为线段OA上一点。

连结AC，BD交于点P．(1) 如图1，当OA=OB，且D为OA中点时，求APPC的值(2) 如图2，当OA=OB，且AD1AO4=时，求tan∠BPC的值．(3) 如图3，当AD∶AO∶OB=1∶n∶tan∠BPC的值．图1EFDACB图2FD ECBA4.如图1，梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝2∠BCD＝2α，点E在AD上，点F在DC上，且∠BEF=∠A．（1）∠BEF=__________________（用含α的代数式表示）；（2）当AB＝AD时，猜想线段EB、EF的数量关系，并证明你的猜想；（3）当AB≠AD时，将“点E在AD上”改为“点E在AD的延长线上，且AE＞AB，AB＝mDE，AD＝nDE”，其他条件不变（如图2），求EBEF的值（用含m、n的代数式表示）．5.图1，将三角板放在正方形ABCD上，使三角板的直角顶点E与正方形ABCD的顶点A重合，三角板的一边交CD于点F，另一边交CB的延长线于点G．（1）求证：EF=EG．（2）如图2，移动三角板，使顶点E始终在正方形ABCD的对角线AC上，其他条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．（3）如图3，将（2）中的“正方形ABCD ”改为“矩形ABCD ”，且使三角板的一边经过点B ，其他条件不变，若AB =a ，BC =b ，求EFEG的值．6.图1，一副直角三角板满足AB ＝BC ，AC ＝DE ，∠ABC ＝∠DEF ＝90°，∠EDF ＝30°．【操作】将三角板DEF 的直角顶点E 放置于三角板ABC 的斜边AC 上，再将三角板DEF 绕点E 旋转，并使边DE 与边AB 交于点P ，边EF 与边BC 交于点Q ． 【探究】在旋转过程中，（1）如图2，当1=EA CE时，EP 与EQ 满足怎样的数量关系？并给出证明． （2）如图3，当2=EACE时，EP 与EQ 满足怎样的数量关系？并给出证明． （3）根据你对（1）、（2）的探究结果，试写出当m EACE=时，EP 与EQ 满足的数量关系式为________________________．7.在Rt △ABC 中，AB ＝BC ＝5，∠ABC ＝90°．一块等腰直角三角板的直角顶点放在斜边AC 的中点O 处，将三角板绕点O 旋转，三角板的两直角边分别交AB 、BC 或其延长线于点E 、F ，图1、图2是旋转三角板所得图形的两种情况．（1）三角板绕点O 旋转，△COF 能否成为等腰直角三角形？若能，指出所有情况（即给出△COF 是等腰直角三角形时BF 的长）；若不能，请说明理由．（2）三角板绕点O 旋转，线段OE 和OF 之间有什么数量关系？用图1或图2加以证明．（3）若将三角板的直角顶点放在斜边上的点P 处（如图3），当AP ∶AC ＝1∶4时，PE 和PF 有怎样的数量关系？证明你发现的结论．8. (2011乐山)如图1，在Rt △ABC 中，∠ACB =o90，CD ⊥AB ，垂足为D ，点E 在AC 上，BE 交CD 于点G ，EF ⊥BE 交AB 于点F ，AC =mBC ，CE =nEA (m ，n 为实数).试探究线段EF 与EG 的数量关系．（1）如图2，当m =1，n =1时，求EF 与EG 的数量关系.（2）如图3，当m =1，n 为任意实数时，求EF 与EG 的数量关系． （3）如图1，当m ，n 均为任意实数时，求EF 与EG 的数量关系．图1GBAD FEC9.（1）问题探究如图1，分别以△ABC 的边AC 与边BC 为边，向△ABC 外作正方形ACD 1E 1和正方形BCD 2E 2，过点C 作直线KH 交直线AB 于点H ，使∠AHK =∠ACD 1，作D 1M ⊥KH ，D 2N ⊥KH ，垂足分别为点M ，N ，试探究线段D 1M 与线段D 2N 的数量关系，并加以证明． （2）拓展延伸①如图2，若将“问题探究”中的“正方形”改为“正三角形”，过点C 作直线K 1H 1，K 2H 2，分别交直线AB 于点H 1，H 2，使∠AH 1K 1=∠BH 2K 2=∠ACD 1，作D 1M ⊥K 1H 1，D 2N ⊥K 2H 2，垂足分别为点M ，N ．D 1M =D 2N 是否仍成立？若成立，给出证明；若不成立，说明理由．②如图3，若将①中的“正三角形”改为“正五边形”，其他条件不变，D 1M =D 2N 是否仍成立？（要求：在图3中补全图形，注明字母，直接写出结论，不需证明）10.如图：(1)所示，正方形ABCD 及等腰Rt △AEF 有公共顶点A ，∠EAF =90°，连接BE 、DF ．将Rt △AEF 绕点A 旋转，在旋转过程中，BE 、DF 具有怎样的数量关系和位置关系？结合图1给予证明；(2)将(1)中的正方形ABCD 变为矩形ABCD ，等腰Rt △AEF 变为Rt △AEF ，且AD =kAB ，AF =kAE ，其他条件不变．(1)中的结论是否发生变化？结合图2说明理由；(3)将(2)中的矩形ABCD 变为平行四边形ABCD ，将Rt △AEF 变为△AEF ，且∠BAD =∠EAF =α，其他条件不变.(2)中的结论是否发生变化？结合图3，如果不变，直接写出结论；如果变化，直接用k 表示出线段BE 、DF 的数量关系，用α表示出直线BE 、DF 形成的锐角β．图2G A D FEC图3CGBA DFEA B E 1D 1M KD 2E 2CN H 图1图2K 2H 2A B D 1MK 1D2C NH 1F 1图3A B C F 2E 2D 2D 1E 111.已知：在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠BAC ＝∠D ，点E 、F 分别在BC 、CD 上，且∠AEF ＝∠ACD ． （1）如图1，若AB ＝BC ＝AC ，求证：AE ＝EF ； （2）如图2，若AB ＝BC ，（1）中的结论是否仍然成立？证明你的结论； （3）如图3，若AB ＝kBC ，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出AE 与EF 之间的数量关系，并证明．12.在四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，设锐角∠DOC ＝α，将△DOC 绕点O 按逆时针方向旋转得到△D ′OC ′（0°＜旋转角＜90°），连接AC ′、BD ′，AC ′ 与BD ′ 相交于点M ．（1）当四边形ABCD 是矩形时，如图1，请猜想AC ′ 与BD ′ 的数量关系以及∠AMB 与α的大小关系，并证明你的猜想；（2）当四边形ABCD 是平行四边形时，如图2，已知AC ＝kBD ，请猜想此时AC ′ 与BD ′ 的数量关系以及∠AMB 与α的大小关系，并证明你的猜想；（3）当四边形ABCD 是等腰梯形时，如图3，AD ∥BC ，此时（1）AC ′ 与BD ′ 的数量关系是否成立？∠AMB 与α的大小关系是否成立？不必证明，直接写出结论．13.矩形纸片ABCD 中，AD ＝12cm ，现将这张纸片按下列图示方式折叠，AE 是折痕．（1）如图1，P ，Q 分别为AD ，BC 的中点，点D 的对应点F 在PQ 上，求PF 和AE 的长；（2）如图2，DP ＝ 1 3 AD ，CQ ＝ 13 BC ，点D 的对应点F 在PQ 上，求AE 的长；（3）如图3，DP ＝ 1 n AD ，CQ ＝ 1nBC ，点D 的对应点F 在PQ 上．①直接写出AE 的长（用含n 的代数式表示）；②当n 越来越大时，AE 的长越来越接近于_________．E D C B AF 图1 E D C B A F 图2D CA F 图3 MBC A OD C ′ D ′图1 M B C A O D C ′ D ′ 图2 M B C AO D C ′ D ′ 图3图1C AFBD E P Q 图2C AFBD E P Q 图3CAFBDE PQ。

专题05 中考中与“操作探究型”相关的探索性问题【母题来源一】【2019•陕西】问题提出：（1）如图1，已知△ABC，试确定一点D，使得以A，B，C，D为顶点的四边形为平行四边形，请画出这个平行四边形；问题探究：（2）如图2，在矩形ABCD中，AB=4，BC=10，若要在该矩形中作出一个面积最大的△BPC，且使∠BPC=90°，求满足条件的点P到点A的距离；问题解决：（3）如图3，有一座塔A，按规定，要以塔A为对称中心，建一个面积尽可能大的形状为平行四边形的景区BCDE．根据实际情况，要求顶点B是定点，点B到塔A的距离为50米，∠CBE=120°，那么，是否可以建一个满足要求的面积最大的平行四边形景区BCDE？若可以，求出满足要求的平行四边形BCDE的最大面积；若不可以，请说明理由．（塔A的占地面积忽略不计）【解析】（1）如图1记为点D所在的位置．（2）如图2，∵AB=4，BC=10，∴取BC的中点O，则OB>AB．∴以点O为圆心，OB长为半径作⊙O，⊙O一定于AD相交于P1，P2两点，连接BP1，P1C，P1O，∵∠BPC=90°，点P不能在矩形外，∴△BPC的顶点P1或P2位置时，△BPC的面积最大，作P1E⊥BC，垂足为E，则OE=3，∴AP1=BE=OB-OE=5-3=2，由对称性得AP2=8．（3）可以，如图3，连接BD，∵A为BCDE的对称中心，BA=50，∠CBE=120°，∴BD=100，∠BED=60°，作△BDE的外接圆⊙O，则点E在优弧BD上，取BED的中点E′，连接E′B，E′D，则E′B=E′D，且∠BE′D=60°，∴△BE′D为正三角形．连接E′O并延长，经过点A至C′，使E′A=AC′，连接BC′，DC′，∵E′A⊥BD，∴四边形E′D为菱形，且∠C′BE′=120°，作EF⊥BD，垂足为F，连接EO，则EF≤EO+OA-E′O+OA=E′A，∴S△BDE12=·BD·EF12≤·BD·E′A=S△E′BD，∴S平行四边形BCDE≤S平行四边形BC′DE′=2S△E′BD=1002·sin60°m2），所以符合要求的BCDE的最大面积为2．【名师点睛】本题属于四边形综合题，考查了平行四边形的判定和性质，圆周角定理，三角形的面积等知识，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线，属于中考压轴题．【母题来源二】【2019•沈阳】思维启迪：（1）如图1，A，B两点分别位于一个池塘的两端，小亮想用绳子测量A，B间的距离，但绳子不够长，聪明的小亮想出一个办法：先在地上取一个可以直接到达B点的点C，连接BC，取BC的中点P（点P 可以直接到达A点），利用工具过点C作CD∥AB交AP的延长线于点D，此时测得CD=200米，那么A，B间的距离是__________米．思维探索：（2）在△ABC和△ADE中，AC=BC，AE=DE，且AE<AC，∠ACB=∠AED=90°，将△ADE绕点A顺时针方向旋转，把点E在AC边上时△ADE的位置作为起始位置（此时点B和点D位于AC的两侧），设旋转角为α，连接BD，点P是线段BD的中点，连接PC，PE．①如图2，当△ADE在起始位置时，猜想：PC与PE的数量关系和位置关系分别是__________；②如图3，当α=90°时，点D落在AB边上，请判断PC与PE的数量关系和位置关系，并证明你的结论；③当α=150°时，若BC=3，DE=1，请直接写出PC2的值．【解析】（1）∵CD∥AB，∴∠C=∠B，在△ABP和△DCP中，BP CPAPB DPCB C=⎧⎪∠=∠⎨⎪∠=∠⎩，∴△ABP≌△DCP，∴DC=AB．∵AB=200米．∴CD=200米，故答案为：200．（2）①PC与PE的数量关系和位置关系分别是PC=PE，PC⊥PE．理由如下：如解图1，延长EP交BC于F，同（1）理，可知∴△FBP≌△EDP，∴PF=PE，BF=DE，又∵AC=BC，AE=DE，∴FC=EC，又∵∠ACB=90°，∴△EFC是等腰直角三角形，∵EP=FP，∴PC=PE，PC⊥PE．②PC与PE的数量关系和位置关系分别是PC=PE，PC⊥PE．理由如下：如解图2，作BF∥DE，交EP延长线于点F，连接CE、CF，同①理，可知△FBP≌△EDP，∴BF=DE，PE=PF12EF ，∵DE=AE，∴BF=AE，∵当α=90°时，∠EAC=90°，∴ED∥AC，EA∥BC，∵FB∥AC，∠FBC=90，∴∠CBF=∠CAE，在△FBC 和△EAC 中，BF AE CBE CAE BC AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△FBC ≌△EAC ， ∴CF =CE ，∠FCB =∠ECA ， ∵∠ACB =90°， ∴∠FCE =90°，∴△FCE 是等腰直角三角形， ∵EP =FP ，∴CP ⊥EP ，CP =EP 12EF =． ③如解图3，作BF ∥DE ，交EP 延长线于点F ，连接CE 、CF ，过E 点作EH ⊥AC 交CA 延长线于H 点，当α=150°时，由旋转旋转可知，∠CAE =150°，DE 与BC 所成夹角的锐角为30°， ∴∠FBC =∠EAC =α=150°， 同②可得△FBP ≌△EDP ，同②△FCE 是等腰直角三角形，CP ⊥EP ，CP =EP =， 在Rt △AHE 中，∠EAH =30°，AE =DE =1， ∴HE 12=，AH 2=， 又∵AC =AB =3，∴AH=32+，∴EC 2=AH 2+HE210=+ ∴PC2212EC ==【名师点睛】本题考查几何变换综合题，考查了旋转的性质、全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形性质、勾股定理和30°直角三角形性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于压轴题．【母题来源三】【2019•赤峰】【问题】如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，过点C作直线l平行于A B．∠EDF=90°，点D在直线l 上移动，角的一边DE始终经过点B，另一边DF与AC交于点P，研究DP和DB的数量关系．【探究发现】（1）如图2，某数学兴趣小组运用“从特殊到一般”的数学思想，发现当点D移动到使点P与点C重合时，通过推理就可以得到DP=DB，请写出证明过程；【数学思考】（2）如图3，若点P是AC上的任意一点（不含端点A、C），受（1）的启发，这个小组过点D作DG ⊥CD交BC于点G，就可以证明DP=DB，请完成证明过程；【拓展引申】（3）如图4，在（1）的条件下，M是AB边上任意一点（不含端点A、B），N是射线BD上一点，且AM=BN，连接MN与BC交于点Q，这个数学兴趣小组经过多次取M点反复进行实验，发现点M在某一位置时BQ的值最大．若AC=BC=4，请你直接写出BQ的最大值．【解析】（1）∵∠ACB=90°，AC=BC，∴∠CAB=∠CBA=45°，∵CD∥AB，∴∠CBA=∠DCB=45°，且BD⊥CD，∴∠DCB=∠DBC=45°，∴DB=DC，即DB=DP．（2）∵DG⊥CD，∠DCB=45°，∴∠DCG=∠DGC=45°，∴DC=DG，∠DCP=∠DGB=135°，∵∠BDP=∠CDG=90°，∴∠CDP=∠BDG，且DC=DG，∠DCP=∠DGB=135°，∴△CDP≌△GDB，∴BD=DP．（3）如图4，过点M作MH⊥MN交AC于点H，连接CM，HQ，∵MH⊥MN，∴∠AMH+∠NMB=90°，∵CD∥AB，∠CDB=90°，∴∠DBM=90°，∴∠NMB+∠MNB=90°，∴∠HMA=∠MNB，且AM=BN，∠CAB=∠CBN=45°，∴△AMH≌△BNQ，∴AH=BQ，∵∠ACB=90°，AC=BC=4，∴AB，AC-AH=BC-BQ，∴CH=CQ，∴∠CHQ=∠CQH=45°=∠CAB，∴HQ∥AB，∴∠HQM=∠QMB，∵∠ACB=∠HMQ=90°，∴点H，点M，点Q，点C四点共圆，∴∠HCM=∠HQM，∴∠HCM=∠QMB，且∠A=∠CBA=45°，∴△ACM∽△BMQ，∴AC AMBM BQ=，AMBQ=，∴BQ 2(24AM --=+，∴AM BQ 有最大值为2．【名师点睛】本题是三角形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，二次函数的性质，求出BQ 与AM 的关系是本题的关键． 【母题来源四】【2019•鄂尔多斯】（1）【探究发现】如图1，∠EOF 的顶点O 在正方形ABCD 两条对角线的交点处，∠EOF =90°，将∠EOF 绕点O 旋转，旋转过程中，∠EOF 的两边分别与正方形ABCD 的边BC 和CD 交于点E 和点F （点F 与点C ，D 不重合）．则CE ，CF ，BC 之间满足的数量关系是__________． （2）【类比应用】如图2，若将（1）中的“正方形ABCD ”改为“∠BCD =120°的菱形ABCD ”，其他条件不变，当∠EOF =60°时，上述结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请猜想结论并说明理由． （3）【拓展延伸】如图3，∠BOD =120°，OD 34=，OB =4，OA 平分∠BOD ，AB =，且OB >2OA ，点C 是OB 上一点，∠CAD =60°，求OC 的长．【解析】（1）如图1，结论：CE +CF =BC ．理由如下： ∵四边形ABCD 是正方形，∴AC ⊥BD ，OB =OC ，∠OBE =∠OCF =45°， ∵∠EOF =∠BOC =90°， ∴∠BOE =∠OCF ， ∴△BOE ≌△COF ， ∴BE =CF ，∴CE+CF=CE+BE=BC．故答案为：CE+CF=BC．（2）结论不成立．CE+CF12=BC．理由：如图2，连接EF，在CO上截取CJ=CF，连接FJ．∵四边形ABCD是菱形，∠BCD=120°，∴∠BCO=∠OCF=60°，∵∠EOF+∠ECF=180°，∴O，E，C，F四点共圆，∴∠OFE=∠OCE=60°，∵∠EOF=60°，∴△EOF是等边三角形，∴OF=FE，∠OFE=60°，∵CF=CJ，∠FCJ=60°，∴△CFJ是等边三角形，∴FC=FJ，∠EFC=∠OFE=60°，∴∠OFJ=∠CFE，∴△OFJ≌△EFC，∴OJ=CE，∴CF+CE=CJ+OJ=OC12=BC．（3）如图3中，由OB>2OA可知△BAO是钝角三角形，∠BAO>90°，作AH⊥OB于H，设OH=x．在Rt△ABH中，BH∵OB=4，x=4，解得x32=（舍弃）或12，∴OA=2OH=1，∵∠COD+∠ACD=180°，∴A，C，O，D四点共圆，∵OA平分∠COD，∴∠AOC=∠AOD=60°，∴∠ADC=∠AOC=60°，∵∠CAD=60°，∴△ACD是等边三角形，由（2）可知：OC+OD=OA，∴OC=131 44 -=．【名师点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，菱形的性质，解直角三角形，四点共圆，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．【命题意图】这类试题主要考查三角形或四边形的综合问题，常以压轴题的形式出现．【方法总结】1．类比探究问题类比是指依据两类数学对象的相似性，有可能将已知的一类数学对象的性质迁移到另一类未知的对象上去的一种合情推理．通常先解决比较常见、比较形象具体的问题，然后变换图形或条件，通过比较、联想、化归等方式，触类旁通，用相似的方法解决问题或猜想相似的结论．2．展现思维或解题过程的阅读理解题解答阅读理解题的关键在于阅读，核心在于理解，目的是应用．通过阅读，理解材料中所提供的知识要点、数学思想，进而找到解题的方法，解决实际问题．该类题常常给出试题的解法，从题型上看，有展示全貌，留空补缺的；有说明解题理由的；有要求归纳规律再解决问题的，题目多样，重点考查学生严密的逻辑推理能力，如演绎推理、类比推理．1．【山东省济南市历下区2019届九年级中考第一次模拟数学试题】在数学课堂上，小斐同学和小可同学分别拿着一大一小两个等腰直角三角板，可分别记作ABC △和ADE △，其中90BAC DAE ∠=∠=︒． 问题的产生：两位同学先按照如图摆放，点D E ，在AB AC ，上，发现BD 和CE 在数量和位置关系上分别满足BD CE =，BD CE ⊥．问题的探究：（1）将ADE △绕点A 逆时针旋转一定角度．如图．点D 在ABC △内部，点E 在ABC △外部，连接BD CE ，，上述结论依然成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由．问题的延伸：继续将ADE △绕点A 逆时针旋转．如图．点D E ，都在ABC △外部，连接BD CE ，，CD EB ，，BD 与CE 相交于H 点．（2）若BD =BCDE 的面积；（3）若3AB =，2AD =，设2CD x =，2EB y =，求y 与x 之间的函数关系式．【解析】（1）成立．理由如下：延长BD ，分别交AC 、CE 于F 、G ，∵ABC 和ADE △都是等腰直角三角形，∴AB AC =，AD AE =，90BAC DAE ∠=∠=︒， ∵BAD BAC DAC ∠=∠-∠，CAE DAE DAC ∠=∠-∠，∴BAD CAE ∠=∠，在ABD △和ACE △中，AB AC BAD CAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴ABD ACE △≌△，∴BD CE =，ABD ACE ∠=∠， ∵AFB GFC ∠=∠，∴90CGF BAF ∠=∠=︒，即BD CE ⊥． （2）∵ABC △和ADE △都是等腰直角三角形， ∴AB AC =，AD AE =，90BAC DAE ∠=∠=︒， ∵BAD BAC DAC ∠=∠+∠，CAE DAE DAC ∠=∠+∠， ∴BAD CAE ∠=∠，∴ABD ACE △≌△， ∴BD CE =，ABD ACE ∠=∠， ∵AOB FOC ∠=∠，∴90BFC BAC ∠=∠=︒， ∴BCE DCE BCDE S S S =+△△四边形111192222CE BF CE DF CE BD =⨯⨯+⨯⨯=⨯⨯=． （3）∵90BHC ∠=︒，∴222222CD EB CH HD EH HB +=+++=2222CH BH DH EH +++((2226=+=，∴26y x =-．【名师点睛】此题是四边形综合题，主要考查的是等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质以及函数解析式的确定，掌握相关的判定定理和性质定理是解题的关键．2．【2019年江西省南昌市十校联考中考数学模拟试卷（5月份）】（问题情境）在△ABC 中，AB =AC ，点P 为BC 所在直线上的任一点，过点P 作PD ⊥AB ，PE ⊥AC ，垂足分别为D 、E ，过点C 作CF ⊥AB ，垂足为F ．当P 在BC 边上时（如图1），求证：PD +PE =CF ．证明思路是：如图2，连接AP ，由△ABP 与△ACP 面积之和等于△ABC 的面积可以证得：PD +PE =CF ．（不要证明）（变式探究）（1）当点P 在CB 延长线上时，其余条件不变（如图3），试探索PD 、PE 、CF 之间的数量关系并说明理由；请运用上述解答中所积累的经验和方法完成下列两题：（结论运用）（2）如图4，将长方形ABCD沿EF折叠，使点D落在点B上，点C落在点C′处，点P 为折痕EF上的任一点，过点P作PG⊥BE、PH⊥BC，垂足分别为G、H，若AD=16，CF=6，求PG+PH 的值．（迁移拓展）（3）在直角坐标系中，直线l1：y=–43x+8与直线l2：y=2x+8相交于点A，直线l1、l2与x轴分别交于点B、点C．点P是直线l2上一个动点，若点P到直线l1的距离为2．求点P的坐标．【解析】变式探究：连接AP，如图3，∵PD⊥AB，PE⊥AC，CF⊥AB，且S△ABC=S△ACP-S△ABP，∴12AB·CF=12AC·PE-12AB·PD．∵AB=AC，∴CF=PE-PD．结论运用：过点E作EQ⊥BC，垂足为Q，如图④，∵四边形ABCD是长方形，∴AD=BC，∠C=∠ADC=90°．∵AD=16，CF=6，∴BF=BC-CF=AD-CF=10，由折叠可得：DF=BF，∠BEF=∠DEF，∴DF=10．∵∠C=90°，∴DC=．∵EQ⊥BC，∠C=∠ADC=90°，∴∠EQC=90°=∠C=∠ADC．∴四边形EQCD是长方形．∴EQ=DC=8．∵AD∥BC，∴∠DEF=∠EFB．∵∠BEF=∠DEF，∴∠BEF=∠EFB．∴BE=BF，由问题情境中的结论可得：PG+PH=EQ．∴PG+PH=8．∴PG+PH的值为8．迁移拓展：如图，由题意得：A（0，8），B（6，0），C（-4，0），∴AB，BC=10．∴AB=BC，（1）由结论得：P1D1+P1E1=OA=8，∵P1D1=1=2，∴P1E1=6 即点P1的纵坐标为6，又点P1在直线l2上，∴y=2x+8=6，∴x=-1，即点P1的坐标为（-1，6）．（2）由结论得：P2E2-P2D2=OA=8，∵P2D2=2，∴P2E2=10 即点P2的纵坐标为10，又点P2在直线l2上，∴y=2x+8=10，∴x=1，即点P2的坐标为（1，10）．【名师点睛】本题考查了矩形的性质与判定、等腰三角形的性质与判定及勾股定理等知识点，利用面积法列出等式是解决问题的关键．3．【河南省南阳市唐河县2019届中考一模数学试题】已知点O是△ABC内任意一点，连接OA并延长到点E，使得AE=OA，以OB，OC为邻边作平行四边形OBFC，连接OF，与BC交于点H，连接EF．（1）问题发现如图1，若△ABC为等边三角形，线段EF与BC的位置关系是__________，数量关系为__________；（2）拓展探究如图2，若△ABC为等腰直角三角形（BC为斜边），（1）中的两个结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请写出正确的结论再给予证明；（3）解决问题如图3，若△ABC是等腰三角形，AB=AC=2，BC=3，请你直接写出线段EF的长．【解析】（1）如图1，连接AH，∵四边形OBFC是平行四边形，∴BH=HC=12BC，OH=HF，又∵△ABC是等边三角形，∴AH⊥BC，∠ABC=60°，∴AH BH，∵AE=OA，OH=HF，∴AH∥EF，EF=2AH，∵AH∥EF，AH⊥BC，∴EF⊥BC，∵EF=2AH，AH，BC=2BH，∴EF．故答案为：EF⊥BC，EF BC．（2）如图2，连接AH，∵四边形OBFC是平行四边形，∴BH=HC=12BC，OH=HF，又∵△ABC是等腰直角三角形，∴AH⊥BC，∠ABC=45°，∴AH=BH=HC，∵AE=OA，OH=HF，∴AH∥EF，EF=2AH，∵AH∥EF，AH⊥BC，∴EF⊥BC，∵EF=2AH，AH=BH，BC=2BH，∴EF=BC．（3）如图3，连接AH，∵四边形OBFC是平行四边形，∴BH=HC=12BC=32，OH=HF，又∵AB=AC=2，∴AH⊥BC，∴AH=，∵OH=HF，AE=AO，∴EF=2AH．【名师点睛】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，三角形中位线定理，证明AH∥EF，EF=2AH是本题的关键．。

河南数学中考题型汇总几何探究题题型练习含答案类型 1 实践操作类探究题角度1 折叠类1.[2022河南]综合与实践综合与实践课上,老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动.(1)操作判断操作一:对折矩形纸片ABCD,使AD与BC重合,得到折痕EF,把纸片展平;操作二:在AD上选一点P,沿BP折叠,使点A落在矩形内部点M处,把纸片展平,连接PM,BM.根据以上操作,当点M在EF上时,写出图(1)中一个30°的角:.(2)迁移探究小华将矩形纸片换成正方形纸片,继续探究,过程如下.将正方形纸片ABCD按照(1)中的方式操作,并延长PM交CD于点Q,连接BQ.①如图(2),当点M在EF上时,∠MBQ= °,∠CBQ= °;②改变点P在AD上的位置(点P不与点A,D重合),如图(3),判断∠MBQ与∠CBQ的数量关系,并说明理由.(3)拓展应用在(2)的探究中,已知正方形纸片ABCD的边长为8 cm,当FQ=1 cm时,直接写出AP 的长.图(1)图(2)图(3)2.[2022河南省实验模拟]问题情境数学活动课上,同学们开展了以折叠为主题的探究活动,如图(1),已知矩形纸片ABCD(AD>AB),其中宽AB=8.动手实践(1)如图(1),威威同学将矩形纸片ABCD折叠,点A落在BC边上的点M处,折痕为BN,连接MN,然后将纸片展平,得到四边形ABMN,则折痕BN的长为;探究发现(2)如图(2),胜胜同学将图(1)中的四边形ABMN剪下,取AN边的中点E,将△ABE 沿BE折叠得到△A'BE,延长BA'交MN于点F.点Q为BM边的中点,点P是MN边上一动点,将△MQP沿PQ折叠,当点M的对应点M'落在线段BF上时,求此时tan∠PQM的值;反思提升(3)明明同学改变图(2)中点Q的位置,即点Q为BM边上一动点,点P仍是MN边上一动点,按照(2)中方式折叠△MQP,使点M'落在线段BF上,明明同学不断改变点Q 的位置,发现在某一位置∠QPM与(2)中的∠PQM相等,请直接写出此时BQ的长.图(1)图(2)备用图3.综合与实践——探究平行四边形折叠中的数学问题问题情境已知▱ABCD中,ÐA为锐角,AB<AD,点E,F分别是AB,CD边的中点,点G,H分别是AD,BC边上的点,分别沿EG和FH折叠▱ABCD,点A,C的对应点分别为点A',C'.操作分析(1)如图(1),点A'与点B重合,点C'与点D重合.①四边形BHDG 平行四边形(填“是”或“不是”).②当▱ABCD满足某个条件时,四边形BHDG能成为矩形.这个条件可以是.(2)点A',C'均落在▱ABCD内部(含边界),连接A'H,C'G,若AG=CH,则四边形A'HC'G是平行四边形吗?若是,请就图(2)进行证明;若不是,请说明理由.拓展探究(3)在(2)的条件下,若ÐA=60°,AD=2AB=8,且A'G与▱ABCD的一边平行,则此时四边形A'HC'G的面积为.图(1)图(2)备用图4.综合与实践数学活动课上,张老师找来若干张等宽的矩形纸条,让学生们进行折纸探究. (1)希望小组将如图(1)所示的矩形纸片ABCD沿过点A的直线折叠,使点D落在AB边上的点D'处,折痕为AE.填空:图(1)中四边形ADED'的形状是.(2)智慧小组准备了一张如图(2)所示的长、宽之比为3∶2的矩形纸片ABCD,用希望小组的方法折叠纸片,得到四边形ADED',接着沿过点B的直线折叠纸片,使点C落在ED'上的点M处,折痕为BF.求∠MBC的度数.(3)勤奋小组拿着一张如图(3)所示长为4,宽为2的矩形纸片ABCD,利用希望小组的方法折叠纸片,得到四边形ADED',在CE上取一点F(不与点C,E重合),沿BF 折叠△BCF,点C的对应点为N,射线FN交直线AB于点H.①HF与HB的数量关系为.②当射线FN经过△AED'的直角边的中点时,直接写出FC的长.图(1)图(2)图(3)5.综合与实践问题情境数学活动课上,老师让同学们以“矩形纸片的折叠”为主题,开展数学活动,如图(1),在矩形ABCD中,AB=8,BC=4.观察发现(1)如图(2),智慧小组连接对角线BD,将矩形纸片ABCD沿直线BD折叠,使点A落在点P的位置,PB交CD于点Q,连接AP.直接写出图中所有的等腰三角形:.(不再添加字母)探究证明(2)求实小组在智慧小组的启发下,又对矩形纸片ABCD进行了如下操作,并对其中所产生的问题进行了探究:如图(3),沿过点A的直线折叠,使点B的对应点F 落在CD上,折痕交BC于点E,过点F作FG∥BC交AE于点G,连接BG.①小组成员发现四边形BEFG是特殊四边形.请你判断四边形BEFG的形状,并说明理由.②小组成员通过计算求得四边形BEFG的面积.请你直接写出这个面积:.探索拓广(3)参照上面的探究方式,对图(1)进行一次折叠操作,使点B的对应点B'落在BD 的三等分点上,设折痕与AB交于点N.请直接写出BN的长.图(1)图(2)图(3)角度2 旋转类6.综合与实践——图形变换中的数学问题问题情境数学活动课上,老师出示了一个问题:如图(1),已知正方形ABCD、矩形BCEF,点E,F分别在边CD,AB上,且BF=k(3<k<5),BC=5.将矩形BCEF绕点B顺时针旋转得到矩形BGHK,点G,H,K分别是点C,E,F的对应点,如图(2).图(1)图(2)图(3)图(4)同学们通过小组合作,提出下列数学问题,请你解答.(1)在图(2)中,连接BE,BH,EH,CG,得到图(3),可以发现在旋转过程中存在一个三角形始终与△BCG相似,这个三角形是,它与△BCG的相似比为(用含k的式子表示).(2)如图(4),矩形BGHK的顶点K恰好落在正方形ABCD的对角线AC上,KH交DC 的延长线于点T.求证:BK=KT.(3)在旋转过程中,连接CH,CK.若k=23,则当CH=CK时,直接写出CK的长.备用图(1)备用图(2)角度3 平移类7.综合与实践问题背景如图(1),在矩形ABCD中,AB=10,BC=8,点E为边BC上一点,沿直线DE将矩形折叠,使点C落在AB边上的点C'处.问题解决(1)填空:AC'的长为.(2)如图(2),展开后,将△DC'E沿线段AB向右平移,使点C'的对应点与点B重合,得到△D'BE',D'E'与BC交于点F,D'B与DE交于点G.求EF的长.拓展探究(3)如图(3),在△DC'E沿射线AB向右平移的过程中,设点C'的对应点为C″,则当△D'C″E'在线段BC上截得的线段PQ(D'E',折线D'C″E'分别与BC交于点P,Q)的长度为2时,直接写出平移的距离.图(1)图(2)图(3)角度4 尺规作图类8.[2022南阳宛城区一调]下面是某数学兴趣小组探究用不同方法作线段AB的垂直平分线的讨论片段,请仔细阅读,并完成相应的任务.任务:(1)小明的作图依据是.(2)小军作图得到的直线CP是线段AB的垂直平分线吗?请判断并说明理由.(3)如图(3),已知△ABC中,CA=CB,∠ACB=30°,点D,E分别是射线CA,CB上的动点,且CD=CE,连接BD,AE,交点为P.当AB=6,∠PAB=45°时,请直接写出线段CD 的长.图(3)9.[2022开封二模]中华文明源远流长,图(1)是汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的图形,人们称它为“赵爽弦图”.2002年北京国际数学家大会依据赵爽弦图制作了会标,该图由4个全等的直角三角形围成一个大正方形和中间一个小正方形,巧妙地证明了勾股定理.问题发现如图(1),若直角三角形的直角边BC=3,斜边AB=5,则中间小正方形的边长CD= ,连接BD,△ABD的面积为.知识迁移如图(2),P是正方形ABCD内一点,连接PA,PB,PC,当∠BPC=90°,BP=10时,△PAB的面积为.拓展延伸如图(3),已知∠MBN=90°,以点B为圆心,适当长为半径画弧,分别交射线BM,BN 于点A,C.(1)已知D为线段AB上一动点,连接CD,过点B作BE⊥CD,垂足为点E,在线段CE 上取一点F,使EF=BE,过点F作GF⊥CD交BC于点G,试判断BE,DE,GF这三条线段之间的数量关系,并说明理由.(2)在(1)的条件下,若D为射线BM上一动点,F为射线EC上一点,当AB=10,CF=2时,直接写出线段DE的长.图(1)图(2)图(3)备用图类型 2 阅读理解类探究题10.[2022许昌二模]问题情境数学课上,王老师出示了这样一个问题:如图(1),在矩形ABCD中,AD=2AB,点E是AB延长线上一点,且BE=AB,连接DE,交BC于点M,以DE为一边在DE的左下方作正方形DEFG,连接AM.试判断线段AM与DE的位置关系.探究展示小明发现,AM垂直平分DE,并展示了如下的证明方法:证明:∵BE=AB,∴AE=2AB.又∵AD=2AB,∴AD=AE.∵四边形ABCD是矩形,∴AD∥BC,∴.(平行线分线段成比例)∵BE=AB,∴EM=1,∴EM=DM,DM即AM是△ADE的边DE上的中线.又∵AD=AE,∴.(等腰三角形的“三线合一”)∴AM垂直平分DE.反思交流(1)请将上述证明过程补充完整;(2)小颖受到小明的启发,继续进行探究,如图(2),连接CE,以CE为一边在CE的左下方作正方形CEFG,发现点G在线段BC的垂直平分线上,请你给出证明;图(1)图(2)拓展应用(3)如图(3),连接CE,以CE为一边在CE的右上方作正方形CEFG,分别以点B,C 为圆心,m为半径作弧,两弧交于点M,连接MF.若MF=AB=1,请直接写出m的值.图(3)11.[2022商丘二模]如下是小明复习全等三角形时遇到的一个问题及由此引发的思考,请帮助小明完成以下学习任务.如图(1),OC平分∠AOB,点P在OC上,点M,N分别是OA,OB上的点,且OM=ON.求证:PM=PN.小明的思考:要证明PM=PN,只需证明△MOP≌△NOP即可.证明:如图(1),∵OC平分∠AOB,∴∠AOC=∠BOC.又∵OP=OP,OM=ON,∴△MOP≌△NOP,∴PM=PN.请仔细阅读并完成以下任务.(1)小明得出△MOP≌△NOP的依据是(填序号).①SSS ②SAS ③AAS ④ASA⑤HL(2)如图(2),在四边形ABCD中,AB=AD+BC,∠DAB的平分线和∠ABC的平分线交于CD边上的点P.求证:PC=PD.,当△PBC有一个内角是45°时,△PAD(3)在(2)的条件下,若AB=10,tan∠PAB=12的面积是.图(1)图(2)备用图(1)备用图(2)类型 3 类比、拓展探究题12.[2021湖北仙桃]已知△ABC和△DEC都为等腰三角形,AB=AC,DE=DC,∠BAC=∠EDC=n°.(1)当n=60时:①如图(1),当点D在AC上时,请直接写出BE与AD的数量关系:;②如图(2),当点D不在AC上时,判断线段BE与AD的数量关系,并说明理由.(2)当n=90时:①如图(3),探究线段BE 与AD 的数量关系,并说明理由; ②当BE ∥AC ,AB=3√2,AD=1时,请直接写出DC 的长.图(1) 图(2) 图(3)答案：1.(1)∠ABP ,∠PBM ,∠MBC 或∠BME (注:任意写出一个即可) (2)①15 15②∠MBQ=∠CBQ. 理由如下:∵四边形ABCD 是正方形,∴AB=BC ,∠A=∠C=90°. 由轴对称性质,得BM=AB ,∠BMP=∠A=90°,∴∠BMQ=90°=∠C ,BM=BC.又∵BQ 是公共边,∴Rt △MBQ ≌Rt △CBQ ,∴∠MBQ=∠CBQ.(3)4011 cm 或2413cm. 解法提示:由翻折的性质知AP=PM ,DF=CF=4. 由(2)可知,△MBQ ≌△CBQ ,∴MQ=CQ. 分两种情况讨论.①当点Q 在EF 下方时,如图(1),则MQ=CQ=4-1=3,DQ=4+1=5,PQ=AP+3,PD=8-AP. 由勾股定理,得PD 2+DQ 2=PQ 2,∴(8-AP )2+52=(AP+3)2,∴AP=4011.图(1)②当点Q 在EF 上方时,如图(2),则MQ=CQ=4+1=5,DQ=4-1=3,PQ=AP+5,PD=8-AP. 由勾股定理,得PD 2+DQ 2=PQ 2,∴(8-AP )2+32=(AP+5)2,∴AP=2413.图(2)综上所述,AP 的长为4011 cm 或2413cm. 2.(1)8√2(2)如图(1),连接MM'交PQ 于点O ,连接EF.图(1)由折叠的性质知,点O 为MM'的中点. 又∵点Q 为BM 边的中点,∴QO ∥BM',即QP ∥BF ,∴∠PQM=∠FBM.∵点E 是AN 边的中点,且将△ABE 沿BE 折叠得到△A'BE , ∴EN=EA',∠EA'F=∠N=90°. 又∵EF=EF ,∴Rt △NEF ≌Rt △A'EF. 设NF=x ,则A'F=x ,MF=8-x ,∴BF=BA'+A'F=BA+A'F=8+x.在Rt △BMF 中,由勾股定理,得BM 2+FM 2=BF 2, 即82+(8-x )2=(8+x )2,解得x=2,∴FM=6,∴tan ∠FBM=FM BM =68=34,∴tan ∠PQM=34. (3)BQ 的长为398. 解法提示:如图(2),连接MM'交PQ 于点G.图(2)由折叠的性质知,PQ 垂直平分MM',∴∠QPM+∠PMM'=90°.∵∠PMQ=90°,∴∠PMM'+∠M'MB=90°, ∴∠QPM=∠M'MB.由(2)知,(2)中∠PQM=∠M'BM. 又∵∠QPM 与(2)中的∠PQM 相等,∴∠M'BM=∠M'MB.过点M'作M'H ⊥BM 于点H ,则BH=MH=4,M'H BH =34, ∴M'H=3.设MQ=M'Q=a ,则HQ=4-a.在Rt △M'HQ 中,根据勾股定理,得M'H 2+HQ 2=M'Q 2, 即32+(4-a )2=a 2,解得a=258, ∴BQ=8-258=398. 3.(1)①是解法提示:∵四边形ABCD 是平行四边形,∴∠A=∠C ,∠ABC=∠ADC ,AD ∥BC. 如图(1),由折叠可知,∠A=∠1,∠C=∠2,图(1)∴∠1=∠2,∴∠ABC-∠1=∠ADC-∠2,即∠3=∠4. ∵AD ∥BC ,∴∠4+∠5=180°,∴∠3+∠5=180°, ∴BG ∥DH ,∴四边形BHDG 是平行四边形. ②∠A=45°(答案不唯一,正确即可) 解法提示:∵四边形BHDG 是矩形,∴∠BGD=90°,∴∠AGB=90°, 又由折叠可知,AG=A'G ,∴∠A=45°. (2)四边形A'HC'G 是平行四边形. 证明:如图(2),连接GH.图(2)∵四边形ABCD 是平行四边形, ∴∠A=∠C ,AB=CD ,AD ∥BC. ∵点E ,F 分别是AB ,CD 的中点,∴AE=12AB ,CF=12CD ,∴AE=CF. ∵AG=CH ,∴△AEG ≌△CFH , ∴∠1=∠3.由折叠可知,∠1=∠2,∠3=∠4,AG=A'G ,CH=C'H ,∴∠1=∠2=∠3=∠4,A'G=C'H. ∵AD ∥BC ,∴∠AGH=∠CHG ,∴∠5=∠6, ∴A'G ∥C'H ,∴四边形A'HC'G 是平行四边形. (3)2√3或4√3解法提示:当A'G ∥BC 时,如图(3),点A'落在AD 上,EG ⊥AD ,则A'G=AG=12AE=1,∴S 四边形A'HC'G =A'G ·AB sin 60°=1×4×√32=2√3.图(3)当A'G ∥AB 时,如图(4),则∠AGA'=120°,∴∠AGE=∠A'GE=60°,图(4)从而易得△AEG ,△A'EG ,△CHF ,△C'HF 均是等边三角形,EA'∥BC ,C'F ∥AD ,∴S 四边形A'HC'G =S ▱ABCD -4S △AEG -2S 四边形A'EBH=8×4×√32-4×√34×22-2×12×(2+6)×2×√32=4√3. 综上可知,四边形A'HC'G 的面积为2√3或4√3. 4.(1)正方形(2)由题意可知,AB∶AD=3∶2,∴设AD=2a ,AB=3a , ∴BM=BC=AD'=2a ,∴BD'=a ,∴sin ∠BMD'=a 2a =12,∴∠BMD'=30°.又ED'∥AD ∥BC ,∴∠MBC=∠BMD'=30°. (3)①HF=HB②FC 的长为3-√5或23. 解法提示:①∵DC ∥AB ,∴∠CFB=∠ABF. 由折叠可知∠CFB=∠NFB ,∴∠ABF=∠NFB ,∴HF=HB.②设FC=NF=x ,分两种情况讨论.a.当射线FN 经过AD'的中点时,点H 即为AD'的中点,如图(1),则HF=HB=3,∴HN=3-x.在Rt △HBN 中,由勾股定理,得HN 2+BN 2=HB 2,∴(3-x )2+22=32,解得x=3-√5(不合题意的值已舍去),∴FC=3-√5.图(1)b.当射线FN 经过ED'的中点P 时,如图(2), 易证△HD'P ≌△FEP ,∴HD'=EF=2-x ,∴HF=HB=2-x+2=4-x , ∴HN=4-x-x=4-2x.在Rt △HBN 中,由勾股定理,得BN 2+HN 2=HB 2,∴22+(4-2x )2=(4-x )2,解得x=23(不合题意的值已舍去),∴FC=23.图(2)综上可知,当射线FN 经过△AED'的直角边的中点时,FC 的长为3-√5或23. 5.(1)△ADP ,△ABP ,△BDQ (2)①四边形BEFG 是菱形. 理由如下:由折叠知∠BEG=∠FEG.∵FG ∥BC ,∴∠EGF=∠BEG , ∴∠EGF=∠FEG ,∴FG=FE. 又∵FE=BE ,∴FG=BE ,∴四边形BEFG 是平行四边形. 又∵FE=BE ,∴四边形BEFG 是菱形.②224-128√3解法提示:由折叠的性质知AF=AB=8.在Rt △ADF 中,由勾股定理得DF=√AF 2-AD 2=√82-42=4√3,∴CF=8-4√3. 设BE=y ,则EF=y ,CE=4-y.在Rt △CEF 中,由勾股定理得EF 2=CF 2+CE 2, 即y 2=(8-4√3)2+(4-y )2,解得y=16-8√3,∴S 四边形BEFG =BE ·CF=(16-8√3)×(8-4√3)=128-64√3-64√3+96=224-128√3.(3)BN 的长为103或53. 解法提示:分两种情况讨论.①当点B'落在离点D 较近的三等分点上时,如图(1),过点B'作B'H ⊥AB 于点H ,易知B'H=83,BH=163,B'N=BN ,∴HN=163-BN. 根据勾股定理,得B'H 2+HN 2=B'N 2,即(83)2+(163-BN )2=BN 2,∴BN=103.图(1) 图(2)②当点B'落在离点B 较近的三等分点上时,如图(2),同理可求得BN=53. 综上可知,BN 的长为103或53. 6.(1)△BEH√k 2+255(2)证明:如图(1),过点K 分别作KN ⊥BC 于点N ,KM ⊥CD 于点M , 则KN=KM ,∠MKN=90°=∠BKH ,∴∠TKM=∠BKN.又∠TMK=∠BNK=90°,∴△TMK ≌△BNK ,∴BK=KT.图(1)(3)CK 的长为√7或√67.解法提示:分如图(2)、图(3)所示的两种情况讨论,连接CG ,过点K 作KP ⊥BC ,垂足为点P.图(2)图(3)∵CK=CH ,∴∠CKH=∠CHK ,∴∠CKB=∠CHG. 又KB=HG ,∴△CKB ≌△CHG ,∴CG=CB=BG ,∴△CBG 是等边三角形, ∴∠CBG=60°. 图(2)中∠KBC=30°,∴KP=12KB=√3,BP=√32KB=3, ∴CP=2,∴CK=√(√3)2+22=√7. 图(3)中∠KBP=30°,∴KP=12KB=√3,BP=√32KB=3, ∴CP=8,∴CK=√(√3)2+82=√67. 综上可知,CK 的长为√7或√67. 7.(1)6(2)由(1)得AC'=6,∴BC'=AB -AC'=10-6=4.在Rt △BEC'中,设BE=x ,则EC'=EC=8-x ,根据勾股定理,得(8-x )2=x 2+42, 解得x=3,即BE=3,∴EC'=EC=5.连接EE',由平移可知,EE'=C'B=4,EE'∥AB ∥CD ,DE ∥D'E',∴△FEE'∽△FCD'∽△ECD , ∴EF∶EE'=EC∶DC=5∶10=1∶2, 又EE'=4,∴EF=2.(3)平移的距离为85或385. 解法提示:设平移的距离为x. 分两种情况讨论.①当点C″在BC 左侧时,如图(1),则BC″=4-x ,D'C=10-x ,∴CP=D'C ·tan ∠CD'P=D'C ·tan ∠CDE=510(10-x )=12(10-x ),BQ=BC″·tan ∠QC″B=BC″·tan ∠ADC'=68(4-x )=34(4-x ). 又CP+PQ+BQ=8,PQ=2,∴12(10-x )+2+34(4-x )=8,解得x=85.图(1) 图(2)②当点C″在BC 右侧时,如图(2),则BC″=x -4,D'C=10-x ,∴CP=D'C ·tan ∠CD'P=12(10-x ),BQ=BC″·tan ∠QC″B=BC″·tan ∠AC'D=43(x-4). 又CP+PQ+BQ=8,PQ=2,∴12(10-x )+2+43(x-4)=8,解得x=385.综上可知,平移的距离为85或385. 8.(1)等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合 (2)是. 理由如下:由作图可知,CA=CB ,CD=CE. 又∵∠ACE=∠BCD ,∴△ACE ≌△BCD , ∴∠CAE=∠CBD. ∵CA=CB ,∴∠CAB=∠CBA , ∴∠PAB=∠PBA ,∴AP=BP ,∴直线CP 是线段AB 的垂直平分线. (3)线段CD 的长为√3+1或3√3+3. 解法提示:∵CD=CE ,∠C=∠C ,CA=CB ,∴△CAE ≌△CBD ,∴∠CAE=∠CBD. ∵CA=CB ,∠ACB=30°, ∴∠CAB=∠CBA=75°,∴∠PBA=∠PAB=45°,∴∠APB=90°, ∴PA=PB=√22AB=√3. 分两种情况讨论.①当点P 在AB 上方时,如图(1),图(1)则∠DAP=∠EBP=30°,∠APD=90°,∴DB=DC ,DP=√33AP=1,∴CD=DB=√3+1. ②当点P 在AB 下方时,如图(2), 则∠DAP=∠EBP=60°,∠APD=90°,∴∠ADP=30°,∴BD=BC,DP=√3AP=3,AD=2AP=2√3,∴BC=BD=√3+3,∴CD=CA+AD=CB+AD=√3+3+2√3=3√3+3.综上可知,线段CD的长为√3+1或3√3+3.图(2) 9.问题发现192知识迁移 5拓展延伸(1)BE=DE+GF.理由:如图(1),过点G作GH⊥BE于点H.图(1)∵BE⊥CD,GF⊥CD,∴∠HEF=∠EFG=∠EHG=90°,∴四边形EFGH为矩形,∴EH=GF,EF=GH.∵EF=BE,∴GH=BE.∵∠MBN=90°,∠BHG=90°,∴∠1+∠2=90°,∠2+∠3=90°,∴∠1=∠3.又∵∠BED=∠GHB=90°,BE=GH,∴△BDE≌△GBH(ASA),∴DE=BH,∴BE=BH+EH=DE+GF.(2)92或323. 解法提示:分两种情况讨论.①当点F 在线段EC 上时,如图(2).图(2)由(1)可得BE=DE+GF. 设BE=EF=m ,则EC=m+2.在Rt △BEC 中,根据勾股定理,得BE 2+CE 2=BC 2, 即m 2+(m+2)2=102,解得m=6(负值已舍),∴BE=EF=6.易证△CFG ∽△CEB ,∴CF CE =GF BE ,即22+6=GF 6, ∴GF=32,∴DE=BE -GF=6-32=92. ②当点F 在线段EC 的延长线上时,如图(3).图(3)同(1)中方法可得BE=DE-GF. 设BE=EF=n ,则EC=n-2.在Rt △BEC 中,根据勾股定理,得BE 2+CE 2=BC 2, 即n 2+(n-2)2=102,解得n=8(负值已舍),∴BE=EF=8.易证△CFG ∽△CEB ,∴CF CE =GF BE ,即28−2=GF 8, ∴GF=83,∴DE=BE+GF=8+83=323.10.(1)EM DM =EBAB AM ⊥DE(2)证明:如图(1),过点G 作GH ⊥BC 于点H.图(1)∵四边形ABCD 是矩形,点E 在AB 的延长线上, ∴∠CBE=∠GHC=90°,∴∠BCE+∠BEC=90°. ∵四边形CEFG 为正方形, ∴CG=CE ,∠GCE=90°,∴∠BCE+∠BCG=90°,∴∠BEC=∠BCG , ∴△GHC ≌△CBE ,∴HC=BE. ∵AD=BC=2AB ,BE=AB ,∴BC=2BE=2HC , ∴HC=BH ,∴GH 垂直平分BC , 即点G 在线段BC 的垂直平分线上. (3)√5或√17.解法提示:同(2)中思路可证得点F 在线段BC 的垂直平分线上.如图(2),过点F 作FN ⊥BC 于点N ,连接CF ,则CF=√2CE=√2×√22+12=√10,CN=1,∴NF=√(√10)2-12=3.图(2)由作图过程可知,点M 在线段BC 的垂直平分线上,故分两种情况讨论.①当点M 在点F 左侧时,如图(3),连接MC ,图(3)则NM=3-1=2,∴m=CM=√22+12=√5.②当点M在点F右侧时,如图(4),连接MC,图(4)则NM=3+1=4,∴m=CM=√42+12=√17.综上可知,m的值为√5或√17.11.(1)②(2)如图(1),在AB上取点E,使得AE=AD,连接PE.图(1)∵AP平分∠DAE,∴∠DAP=∠EAP.又∵AP=AP,AD=AE,∴△DAP≌△EAP,∴PD=PE.∵AD+BC=AB=AE+BE,AD=AE,∴BC=BE.∵BP平分∠CBE,∴∠CBP=∠EBP.又∵BP=BP,∴△EBP≌△CBP,∴PE=PC,∴PC=PD.(3)8或403解法提示:如图(1),由(2)可得△DAP ≌△EAP ,△EBP ≌△CBP ,∴∠DPA=∠EPA ,∠CPB=∠EPB ,∠D=∠AEP ,∠C=∠BEP. 又∵∠DPA+∠EPA+∠CPB+∠EPB=180°,∠AEP+∠BEP=180°,∴∠APB=∠EPA+∠EPB=90°,∠D+∠C=180°, ∴AD ∥BC.在Rt △PAB 中,tan ∠PAB=12,∠APB=90°, 故可设BP=x ,AP=2x ,∴AB=√x 2+(2x)2=√5x=10, 解得x=2√5,∴AP=4√5,sin ∠PAB=1√5. 易知∠PBC>45°,故分两种情况讨论.①当∠C=45°时,如图(2),图(2)过点P 作PM ⊥AD ,交AD 的延长线于点M ,则∠MDP=∠C=45°,∴MP=MD. 又∵tan ∠MAP=tan ∠PAB=12,∴AM=2MP , ∴AD=MD=MP=AP ·sin ∠MAP=4, ∴S △PAD =12×4×4=8. ②当∠BPC=45°时,如图(3),图(3)过点D 作DN ⊥AP 于点N ,则∠DPN=180°-45°-90°=45°,∴NP=ND.∵tan ∠DAP=tan ∠PAB=12,∴AN=2ND. 又∵AP=AN+NP ,∴4√5=2ND+ND ,∴ND=4√53,∴S △PAD =12×4√5×4√53=403. 综上可知,△PAD 的面积为8或403.12.(1)①BE=AD②BE=AD. 理由如下:当点D 不在AC 上时,∵∠ACB=∠ACD+∠DCB=60°,∠DCE=∠BCE+∠DCB=60°,∴∠ACD=∠BCE. 在△ACD 和△BCE中,{AC =BC,∠ACD =∠BCE,DC =EC,∴△ACD ≌△BCE ,∴AD=BE. (2)①BE=√2AD. 理由如下:当n=90时,在等腰直角三角形DEC 中,DC EC =sin 45°=√22, 在等腰直角三角形ABC 中,AC BC =sin 45°=√22.∵∠ACB=∠ACE+∠ECB=45°,∠DCE=∠ACE+∠DCA=45°,∴∠ECB=∠DCA. 在△DCA 和△ECB中,{DCEC=AC BC=√22,∠DCA =∠ECB,∴△DCA ∽△ECB ,∴AD BE =√22,∴BE=√2AD. ②5或√13.解法提示:当点D 在△ABC 外部时,设EC 与AB 交于点F ,如图(1)所示.图(1)∵AB=3√2,AD=1,由上可知:AC=AB=3√2,BE=√2AD=√2. 又∵BE ∥AC ,∴∠EBF=∠CAF=90°.而∠EFB=∠CFA ,∴△EFB ∽△CFA ,∴EF CF =BF AF =BE AC =√23√2=13,∴AF=3BF ,而AB=BF+AF=3√2,∴BF=14×3√2=3√24. 在Rt △EBF 中,EF=√EB 2+BF 2=(√2)2+(3√24)2=5√24. 又∵CF=3EF=3×5√24=15√24, ∴EC=EF+CF=5√24+15√24=5√2. 在等腰直角三角形DEC 中,DC=EC ·sin 45°=5√2×√22=5.当点D 在△ABC 内部时,设AB 延长线与CE 延长线交于点F ,如图(2),图(2)∵AB=3√2,AD=1,由上可知:AC=AB=3√2,BC=√2AB=6,BE=√2AD=√2. 又∵BE ∥AC ,∴△EFB ∽△CFA ,∴FB FA =BE AC =13, ∴BF=12AB=3√22,AF=AB+BF=3√2+3√22=9√22. 在Rt △ACF 中,CF=√AC 2+AF 2=3√262.CE=23CF=23×3√262=√26. 在等腰直角三角形DEC 中,DC=√22CE=√13. 综上所述,满足条件的CD 的值为5或√13.。

中考数学复习《几何探究型问题》经典题型及测试题（含答案）题型解读1.考查类型：①动点探究题；②平移、旋转、折叠探究题；③图形形状变化探究题.2.考查内容：①多与特殊四边形的性质、三角形全等、相似的判定和性质有关；②涉及平移、旋转或折叠的相关性质；③多与二次函数的性质有关.3.备考指导：在做此类题型时，要观察题中已知条件，并结合题设，联系相关的知识解题，对结果猜想题根据前面问题大胆猜想，往往是解题的突破口．类型一动点探究题1.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5 cm，∠BAC＝60°，动点M从点B出发，在BA边上以每秒2 cm的速度向点A匀速运动，同时动点N从点C出发，在CB边上以每秒3 cm的速度向点B匀速运动，设运动时间为t秒(0≤t≤5)，连接MN.(1)若BM＝BN，求t的值；(2)若△MBN与△ABC相似，求t的值；(3)当t为何值时，四边形ACNM的面积最小？并求出最小值．2.如图①，菱形ABCD中，已知∠BAD＝120°，∠EGF＝60°，∠EGF的顶点G在菱形对角线AC上运动，角的两边分别交边BC、CD于点E、F.(1)如图②，当顶点G运动到与点A重合时，求证：EC＋CF＝BC；(2)知识探究：①如图③，当顶点G运动到AC中点时，探究线段EC、CF与BC的数量关系；②在顶点G 的运动过程中，若ACCG ＝t ，请直接写出线段EC 、CF 与BC 的数量关系(不需要写出证明过程)；(3)问题解决：如图④，已知菱形边长为8，BG ＝7，CF ＝65，当t ＞2时，求EC 的长度．图①3.已知：如图，在矩形ABCD 中，AB ＝6 cm ，BC ＝8 cm .对角线AC ，BD 交于点O ，点P 从点A 出发，沿AD 方向匀速运动，速度为1 cm /s ；同时，点Q 从点D 出发，沿DC 方向匀速运动，速度为1 cm /s ；当一个点停止运动时，另一个点也停止运动．连接PO 并延长，交BC 于点E ，过点Q 作QF∥AC，交BD 于点F.设运动时间为t(s )(0<t<6)，解答下列问题： (1)当t 为何值时，△AOP 是等腰三角形？(2)设五边形OECQF 的面积为S(cm 2)，试确定S 与t 的函数关系式；(3)在运动过程中，是否存在某一时刻t ，使S 五边形OECQF ∶S △ACD ＝9∶16？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由；(4)在运动过程中，是否存在某一时刻t ，使OD 平分∠COP？若存在，求出t 值；若不存在，请说明理由．4.某数学兴趣小组在数学课外活动中，研究三角形和正方形的性质时，做了如下探究：在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，点D 为直线BC 上一动点(点D 不与B ，C 重合)，以AD 为边在AD 右侧作正方形ADEF ，连接CF. (1)观察猜想如图①，当点D 在线段BC 上时，①BC 与CF 的位置关系为：____________． ②BC ，CD ，CF 之间的数量关系为：____________(将结论直接写在横线上)． (2)数学思考如图②，当点D 在线段CB 的延长线上时，结论①，②是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明． (3)拓展延伸如图③，当点D 在线段BC 的延长线上时，延长BA 交CF 于点G ，连接GE.若已知AB ＝22，CD ＝14BC ，请求出GE 的长．类型二 平移、旋转、折叠探究题5.如图①，△ABC 是等腰直角三角形，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，四边形ADEF 是正方形，点B 、C 分别在边AD、AF上，此时BD＝CF，BD⊥CF成立．(1)当△ABC绕点A逆时针旋转θ(0°<θ<90°)时，如图②，BD＝CF成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．(2)当△ABC绕点A逆时针旋转45°时，如图③，延长DB交CF于点H.①求证：BD⊥CF；②当AB＝2，AD＝32时，求线段DH的长．图①图②图③6.在△ABC中，AB＝6，AC＝BC＝5，将△ABC绕点A按顺时针方向旋转，得到△ADE，旋转角为α(0°＜α＜180°)，点B的对应点为点D，点C的对应点为点E，连接BD，BE.(1)如图，当α＝60°时，延长BE交AD于点F.①求证：△ABD是等边三角形；②求证：BF⊥AD，AF＝DF；③请直接．．写出BE的长；(2)在旋转过程中，过点D作DG垂直于直线AB，垂足为点G，连接CE，当∠DAG＝∠ACB，且线段DG与线段AE无公共点时，请直接．．写出BE＋CE的值．温馨提示：考生可以根据题意，在备用图中补充图形，以便作答．7.已知矩形ABCD中AD＝8，将矩形ABCD折叠，使得顶点B落在CD边上的P点处．(1)如图①，已知折痕与边BC交于点O，连接AP、OP、OA，若△OCP与△PDA的面积比为1∶ 4，求边CD 的长；(2)如图②，在(1)的条件下擦去AO、OP，连接BP，动点M在线段AP上(点M不与点P、A重合)，动点N 在线段AB的延长线上，且BN＝PM，连接MN交PB于点F，作ME⊥BP于点E，试问当点M、N在移动过程中，线段EF的长度是否发生变化？若变化，说明变化规律，若不变，求出线段EF的长度．图①图②8.问题情境在综合与实践课上，老师让同学们以“菱形纸片的剪拼”为主题开展数学活动．如图①，将一张菱形纸片ABCD(∠BAD>90°)沿对角线AC剪开，得到△ABC和△ACD.操作发现(1)将图①中的△ACD以A为旋转中心，按逆时针方向旋转角α，使α＝∠BAC，得到如图②所示的△AC′D，分别延长BC和DC′交于点E，则四边形ACEC′的形状是________；(2)创新小组将图①中的△ACD以A为旋转中心，按逆时针方向旋转角α，使α＝2∠BAC，得到如图③所示的△AC′D，连接DB、C′C，得到四边形BCC′D，发现它是矩形．请你证明这个结论；实践探究(3)缜密小组在创新小组发现结论的基础上，量得图③中BC＝13 cm，AC＝10 cm，然后提出一个问题：将△AC′D沿着射线DB方向平移a cm，得到△A′C″D′，连接BD′，CC″，使四边形BCC″D′恰好为正方形，求a的值．请你解答此问题；(4)请你参照以上操作，将图①中的△ACD在同一平面内进行一次平移，得到△A′C′D，在图④中画出平移后构造出的新图形，标明字母，说明平移及构图方法，写出你发现的结论，不必证明．9.如图，已知一个直角三角形纸片ACB，其中∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，E、F分别是AC、AB边上的点，连接EF.(1)如图①，若将纸片ACB的一角沿EF折叠，折叠后点A落在AB边上的点D处，且使S四边形ECBF＝3S△EDF，求AE的长；(2)如图②，若将纸片ACB的一角沿EF折叠，折叠后点A落在BC边上的点M处，且使MF∥CA.①试判断四边形AEMF的形状，并证明你的结论；②求EF的长；(3)如图③，若FE 的延长线与BC 的延长线交于点N ，CN ＝1，CE ＝47，求AFBF的值．10.如图①，矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝5，BP ＝1，∠MPN ＝90°，将∠MPN 绕点P 从PB 处开始按顺时针方向旋转，PM 交边AB(或AD)于点E ，PN 交边AD(或CD)于点F ，当PN 旋转至PC 处时，∠MPN 的旋转随即停止．(1)特殊情形：如图②，发现当PM 过点A 时，PN 也恰好过点D ， 此时，△ABP________△PCD(填“≌”或“∽”)；(2)类比探究：如图③，在旋转过程中，PEPF 的值是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由；(3)拓展延伸：设AE ＝t ，△EPF 的面积为S ，试确定S 关于t 的函数关系式；当S ＝4.2时，求所对应的t 值．11.如图①，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝1，D为AB的中点，EF为△ACD的中位线，四边形EFGH为△ACD的内接矩形(矩形的四个顶点均在△ACD的边上)．(1)计算矩形EFGH的面积；(2)将矩形EFGH沿AB向右平移，F落在BC上时停止移动．在平移过程中，当矩形与△CBD重叠部分的面积为316时，求矩形平移的距离；(3)如图③，将(2)中矩形平移停止时所得的矩形记为矩形E1F1G1H1，将矩形E1F1G1H1绕G1点按顺时针方向旋转，当H1落在CD上时停止转动，旋转后的矩形记为矩形E2F2G1H2，设旋转角为α，求cosα的值．类型三图形形状变化探究题12.如图①，②，③分别以△ABC的AB和AC为边向△ABC外作正三角形(等边三角形)、正四边形(正方形)、正五边形，BE和CD相交于点O.(1)在图①中，求证：△ABE≌△ADC.图①(2)由(1)证得△ABE≌△ADC，由此可推得在图①中∠BOC＝120°，请你探索在图②中∠BOC的度数，并说明理由或写出证明过程．图②(3)填空：在上述(1)(2)的基础上可得在图③中∠BOC＝________(填写度数)．图③图④(4)由此推广到一般情形(如图④)，分别以△ABC的AB和AC为边向△ABC外作正n边形，BE和CD仍相交于点O，猜想∠BOC的度数为____________________(用含n的式子表示)．13.阅读理解：我们知道，四边形具有不稳定性，容易变形．如图①，一个矩形发生变形后成为一个平行四边形，设这个平行四边形相邻两个内角中较小的一个内角为α，我们把1sinα的值叫做这个平行四边形的变形度．(1)若矩形发生形变后的平行四边形有一个内角是120°，则这个平行四边形的变形度是________；猜想证明：(2)设矩形的面积为S1，其变形后的平行四边形面积为S2，试猜想S1，S2，1sinα之间的数量关系，并说明理由；拓展探究：(3)如图②，在矩形ABCD中，E是AD边上的一点，且AB2＝AE·AD，这个矩形发生变形后为平行四边形A1B1C1D1，E1为E的对应点，连接B1E1，B1D1，若矩形ABCD的面积为4m(m>0)，平行四边形A1B1C1D1的面积为2m(m>0)，试求∠A1E1B1＋∠A1D1B1的度数．14.已知AC ，EC 分别为四边形ABCD 和EFCG 的对角线，点E 在△ABC 内，∠CAE ＋∠CBE＝90°. (1)如图①，当四边形ABCD 和EFCG 均为正方形时，连接BF. ①求证：△CAE∽△CBF； ②若BE ＝1，AE ＝2，求CE 的长；(2)如图②，当四边形ABCD 和EFCG 均为矩形，且AB BC ＝EFFC ＝k 时，若BE ＝1，AE ＝2，CE ＝3，求k 的值；(3)如图③，当四边形ABCD 和EFCG 均为菱形，且∠DAB ＝∠GEF＝45°时，设BE ＝m ，AE ＝n ，CE ＝p ，试探究m ，n ，p 三者之间满足的等量关系(直接写出结果，不必写出解答过程)．15.已知点O 是△ABC 内任意一点，连接OA 并延长到E ，使得AE ＝OA ，以OB ，OC 为邻边作▱OBFC ，连接OF ，与BC 交于点H ，再连接EF.(1)如图①，若△ABC 为等边三角形，求证：①EF⊥BC； ②EF ＝3BC ；(2)如图②，若△ABC 为等腰直角三角形(BC 为斜边)，猜想(1)中的两个结论是否成立？若成立，直接写出结论即可；若不成立，请你直接写出你的猜想结果；(3)如图③，若△ABC 是等腰三角形，且AB ＝AC ＝kBC ，请你直接写出EF 与BC 之间的数量关系．类型一 动点探究题1. 解：(1)根据题意BM ＝2t ，BN ＝BC －3t ，而BC ＝5×tan 60°＝5 3.∴当BM ＝BN 时，2t ＝53－3t ，解得t ＝103－15. (2)分类讨论：①当∠BMN ＝∠ACB ＝90°时，如解图①， △NBM ∽△ABC ，cos B ＝cos 30°＝BM BN ，∴2t 53－3t ＝32，解得t ＝157.②当∠BNM ＝∠ACB ＝90°时，如解图②， △MBN ∽△ABC ，cos B ＝cos 30°＝BNBM， ∴53－3t 2t ＝32，解得t ＝52. 因此当运动时间是157秒或52秒时，△MBN 与△ABC 相似．第1题解图(3)由于△ABC 面积是定值，∴当四边形ACNM 面积最小时，△MBN 面积最大， 而△MBN 的面积是S ＝12BM ×BN ×sin B＝12×2t ×(53－3t)×12＝－32t 2＋532t ， 由于a ＝－32＜0， ∴当t ＝－5322×（－32）＝52时，△MBN 面积最大，最大值是－32×(52)2＋532×52＝2538， 因此四边形ACNM 面积最小值是12×5×53－2538＝7538.2. (1)证明：∵四边形ABCD 是菱形，∠BAD ＝120°，∴∠BAC ＝60°，∠B ＝∠ACF ＝60°，AB ＝BC ， ∴AB ＝AC ，∵∠BAE ＋∠EAC ＝∠EAC ＋∠CAF ＝60°， ∴∠BAE ＝∠CAF ， 在△BAE 和△CAF 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠BAE ＝∠CAF AB ＝AC ∠B ＝∠ACF， ∴△BAE ≌△CAF(ASA )， ∴BE ＝CF ，∴EC ＋CF ＝EC ＋BE ＝BC ，即EC ＋CF ＝BC ；(2)解：①线段EC ，CF 与BC 的数量关系为： EC ＋CF ＝12BC.理由如下：如解图①，过点A 作AE′∥EG ，AF ′∥GF ，分别交BC 、CD 于E′、F′.第2题解图①类比(1)可得：E′C ＋CF′＝BC ， ∵G 为AC 中点，AE ′∥EG ， ∴CE CE′＝CG AC ＝12， ∴CE ＝12CE′，同理可得：CF ＝12CF′，∴CE ＋CF ＝12CE′＋12CF′＝12(CE′＋CF′)＝12BC ，即CE ＋CF ＝12BC ；②CE ＋CF ＝1tBC ；【解法提示】类比(1)可得：E′C ＋CF′＝BC ， ∵AE ′∥EG ，ACCG ＝t ，∴CE CE′＝CG AC ＝1t，∴CE ＝1tCE′，同理可得：CF ＝1tCF′，∴CE ＋CF ＝1t CE′＋1t CF′＝1t (CE′＋CF′)＝1t BC ，即CE ＋CF ＝1tBC.(3)解：如解图②，连接BD 与AC 交于点H.第2题解图②在Rt △ABH 中，∵AB ＝8，∠BAC ＝60°， ∴BH ＝AB·sin 60°＝8×32＝43， AH ＝CH ＝AB·cos 60°＝8×12＝4，∴GH ＝BG 2－BH 2＝72－（43）2＝1， ∴CG ＝4－1＝3， ∴CG AC ＝38， ∴t ＝83(t ＞2)，由(2)②得：CE ＋CF ＝1t BC ，∴CE ＝1t BC －CF ＝38×8－65＝95.∴EC 的长度为95.3. 解：(1)分三种情况： ①若AP ＝AO ，在矩形ABCD 中，∵AB ＝6，BC ＝8， ∴AC ＝10，第3题解图①∴AO ＝CO ＝5，∴AP ＝5， ∴t ＝5，②若AP ＝PO ＝t ， 在矩形ABCD 中， ∵AD ∥BC ，∴∠PAO ＝∠OCE ，∠APO ＝∠OEC ， 又∵OA ＝OC ，∴△APO ≌△CEO ，∴PO ＝OE ＝t.如解图①，作AG ∥PE 交BC 于点G ，则四边形APEG 是平行四边形， ∴AG ＝PE ＝2t ，GE ＝AP ＝t. 又∵EC ＝AP ＝t ，∴BG ＝8－2t.在Rt △ABG 中，根据勾股定理知62＋(8－2t)2＝(2t)2， 解得t ＝258.第3题解图②③若OP ＝AO ＝5，则t ＝0或t ＝8，不合题意，舍去． 综上可知，当t ＝5或t ＝258时，△AOP 是等腰三角形．(2)如解图②，作OM ⊥BC ，垂足是M ，作ON ⊥CD ，垂足是N. 则OM ＝12AB ＝3，ON ＝12BC ＝4，∴S △OEC ＝12·CE·OM ＝12·t·3＝32t ，S △OCD ＝12·CD·ON ＝12·6·4＝12.∵QF ∥AC ，∴△DFQ ∽△DOC ， ∴S △DFQ S △DOC ＝(DQ DC)2，即S △DFQ 12＝(t 6)2，∴S △DFQ ＝13t 2，∴S 四边形OFQC ＝12－13t 2，∴S 五边形OECQF ＝S 四边形OFQC ＋S △OEC ＝12－13t 2＋32t ，即S ＝－13t 2＋32t ＋12(0＜t ＜6)．(3)存在．理由如下：要使S 五边形OECQF ：S △ACD ＝9∶16，即(－13t 2＋32t ＋12)∶(12×6×8)＝9∶16，解得t 1＝3，t 2＝1.5，两个解都符合题意，∴存在两个t 值，使S 五边形OECQF ∶S △ACD ＝9∶16，此时t 1＝3，t 2＝1.5； (4)存在．理由如下：如解图③，作DI ⊥OP ，垂足是I ，DJ ⊥OC ，垂足是J ，第3题解图③作AG ∥PE 交BC 于点G.∵S △OCD ＝12·OC·DJ ＝12·5·DJ ，且由(2)知，S △OCD ＝12，∴DJ ＝245.∵OD 平分∠POC ，DI ⊥OP ，DJ ⊥OC ， ∴DI ＝DJ ＝245＝4.8.∵AG ∥PE ，∴∠DPI ＝∠DAG .∵AD ∥BC ，∴∠DAG ＝∠AGB ，∴∠DPI ＝∠AGB ， ∴Rt △ABG ∽Rt △DIP.由(1)知，在Rt △ABG 中，BG ＝8－2t ， ∴AB DI ＝BG IP ，∴64.8＝8－2t IP， ∴IP ＝45(8－2t)．在Rt △DPI 中，根据勾股定理得 (245)2＋[45(8－2t)]2＝(8－t)2， 解得t ＝11239.(t ＝0不合题意，舍去)4. (1)解：①BC ⊥CF ；②BC ＝CD ＋CF. 【解法提示】①∵∠BAC ＝∠DAF ＝90°， ∴∠BAD ＝∠CAF ， 又∵AB ＝AC ，AD ＝AF ， ∴△ABD ≌△ACF ， ∴∠ACF ＝∠ABC ＝45°， ∵∠ACB ＝45°，∴∠BCF ＝90°，即BC ⊥CF ； ②∵△ABD ≌△ACF ， ∴BD ＝CF ， ∵BC ＝CD ＋BD ， ∴BC ＝CD ＋CF.(2)解：结论①仍然成立，②不成立． ①证明：∵∠BAC ＝∠DAF ＝90°， ∴∠BAD ＝∠CAF ，又∵AB ＝AC ，AD ＝AF ， ∴△ABD ≌△ACF ，∴∠ACF ＝∠ABD ＝180°－45°＝135°， ∵∠ACB ＝45°， ∴∠BCF ＝90°，即BC ⊥CF ； ②结论为：BC ＝CD －CF. 证明：∵△ABD ≌△ACF ， ∴BD ＝CF ，∵BC ＝CD －BD ，∴BC ＝CD －CF.(3)解：如解图，过点E 作EM ⊥CF 于M ，作EN ⊥BD 于点N ，过点A 作AH ⊥BD 于点H. ∵AB ＝AC ＝22，第4题解图∴BC ＝4，AH ＝12BC ＝2，∵CD ＝14BC ，∴CD ＝1，∵∠BAC ＝∠DAF ＝90°， ∴∠BAD ＝∠CAF ，又∵AB ＝AC ，AD ＝AF ， ∴△ABD ≌△ACF ， ∴∠ACF ＝∠ABC ＝45°， ∵∠ACB ＝45°， ∴∠BCF ＝90°，∴CN ＝ME ，CM ＝EN ， ∴∠AGC ＝∠ABC ＝45°， ∴CG ＝BC ＝4，∵∠ADE ＝90°，∴∠ADH ＋∠EDN ＝∠EDN ＋∠DEN ＝90°， ∴∠ADH ＝∠DEN ，又∵∠AHC ＝∠DNE ＝90°，AD ＝DE ， ∴△AHD ≌△DNE ，∴DN ＝AH ＝2，EN ＝DH ＝3， ∴CM ＝EN ＝3，ME ＝CN ＝3， 则GM ＝CG －CM ＝4－3＝1， ∴EG ＝EM 2＋GM 2＝10.类型二 平移、旋转、折叠探究题5. (1)解：BD ＝CF 成立．理由如下：∵AC ＝AB ，∠CAF ＝∠BAD ＝θ，AF ＝AD ， ∴△ACF ≌△ABD ，∴CF ＝BD.(2)①证明：由(1)得，△ACF ≌△ABD ， ∴∠HFN ＝∠ADN ， 在△HFN 与△ADN 中，∵∠HFN ＝∠ADN ，∠HNF ＝∠AND ， ∴∠NHF ＝∠NAD ＝90°，第5题解图∴HD ⊥HF ，即BD ⊥CF.②解：如解图，连接DF ，延长AB ，与DF 交于点M ， 在△MAD 中，∵∠MAD ＝∠MDA ＝45°， ∴∠BMD ＝90°.在Rt △BMD 与Rt △FHD 中， ∵∠MDB ＝∠HDF ，∴△BMD ∽△FHD.∵AB ＝2，AD ＝32，四边形ADEF 是正方形， ∴MA ＝MD ＝322＝3，∴MB ＝MA －AB ＝3－2＝1，BD ＝MB 2＋MD 2＝12＋32＝10， 又∵MD HD ＝BD FD ，即3HD ＝106，∴DH ＝9105.6. (1)①证明：∵△ABC 绕点A 顺时针方向旋转60°得到△ADE ， ∴AB ＝AD ，∠BAD ＝60°， ∴△ABD 是等边三角形；②证明：由①得△ABD 是等边三角形， ∴AB ＝BD ，∵△ABC绕点A顺时针方向旋转60°得到△ADE，∴AC＝AE，BC＝DE，又∵AC＝BC，∴EA＝ED，∴点B，E在AD的中垂线上，∴BE是AD的中垂线，∵点F在BE的延长线上，∴BF⊥AD，AF＝DF；③解：BE的长为33－4；【解法提示】由②知AF＝12AD＝12AB＝3，AE＝AC＝5，BF⊥AD，由勾股定理得EF＝AE2－AF2＝4.在等边△ABD中，AB＝6，BF⊥AD，∴BF＝32AB＝33，∴BE＝33－4.(2)解：BE＋CE的值为13；第6题解图【解法提示】如解图，∵∠DAG＝∠ACB，∴∠DAB＝2∠CAB.∵∠DAE＝∠CAB，∴∠BAE＝∠CAB，∴∠BAE＝∠CBA，∴AE∥BC，∵AE＝AC＝BC，∴四边形ACBE是菱形，∴CE 垂直平分AB ，BE ＝AC ＝5.设CE 交AB 于M ，则CM ⊥AB ，CM ＝EM ，AM ＝BM ， ∴在Rt △ACM 中，AC ＝5，AM ＝3， 由勾股定理得CM ＝4， ∴CE ＝8， ∴CE ＋BE ＝13.7. 解：(1)由矩形性质与折叠可知，∠APO ＝∠B ＝∠C ＝∠D ＝90°， ∴∠CPO ＋∠DPA ＝∠DPA ＋∠DAP ＝90°， ∴∠DAP ＝∠CPO ， ∴△OCP ∽△PDA ， ∴S △OCP S △PDA ＝(CP DA)2，即14＝(CP8)2，∴CP ＝4，设CD ＝x ，则DP ＝x －4，AP ＝AB ＝CD ＝x ， ∵AP 2－DP 2＝AD 2， ∴x 2－(x －4)2＝82， 解得x ＝10， 故CD ＝10. (2)第7题解图线段EF 的长度始终不发生变化，为2 5.证明：如解图，过点N 作NG ⊥PB ，与PB 的延长线相交于点G ， ∵AB ＝AP ，∴∠APB ＝∠ABP ＝∠GBN ， 在△PME 和△BNG 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠MEP ＝∠NGB ＝90°∠MPE ＝∠NBG MP ＝NB， ∴△PME ≌△BNG(AAS )， ∴ME ＝NG ，PE ＝BG ， 在△FME 和△FNG 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠MEF ＝∠NGF ∠MFE ＝∠NFG ME ＝NG，∴△FME ≌△FNG(AAS )， ∴EF ＝GF ， ∴EF ＝12EG ，∵BP ＝BE ＋EP ＝BE ＋GB ＝EG ， ∴EF ＝12BP ，∵BP ＝BC 2＋CP 2＝82＋42＝45， ∴EF ＝12BP ＝2 5.8. (1)解：菱形．(2)证明：如解图①，作AE ⊥CC′于点E ， 由旋转得AC′＝AC ，∴∠CAE ＝∠C′AE ＝12α＝∠BAC ，第8题解图①∵四边形ABCD 是菱形， ∴BA ＝BC ，BC ＝DC′， ∴∠BCA ＝∠BAC ， ∴∠CAE ＝∠BCA ， ∴AE ∥BC ， 同理AE ∥DC′， ∴BC ∥DC ′，∴四边形BCC′D 是平行四边形， 又∵AE ∥BC ，∠CEA ＝90°， ∴∠BCC ′＝180°－∠CEA ＝90°，∴四边形BCC′D 是矩形．(3)解：如解图①，过点B 作BF ⊥AC 于点F ， ∵BA ＝BC ，∴CF ＝AF ＝12AC ＝12×10＝5.在Rt △BCF 中，BF ＝BC 2－CF 2＝132－52＝12. 在△ACE 和△CBF 中，∵∠CAE ＝∠BCF ，∠CEA ＝∠BFC ＝90°， ∴△ACE ∽△CBF ， ∴CE BF ＝AC BC ，即CE 12＝1013， 解得CE ＝12013.∵AC ＝AC′，AE ⊥CC ′， ∴CC ′＝2CE ＝2×12013＝24013.当四边形BCC″D′恰好为正方形时，分两种情况： ①点C″在边CC′上，a ＝CC′－13＝24013－13＝7113，②点C″在边C′C 的延长线上，a ＝CC′＋13＝24013＋13＝40913.综上所述，a 的值为7113或40913.第8题解图②(4)解：答案不唯一，例：画出正确图形如解图②所示．平移及构图方法：将△ACD 沿着射线CA 方向平移，平移距离为12AC 的长度，得到△A ′C ′D ，连接A′B ，DC.结论：四边形A′BCD 是平行四边形．9. 解：(1)∵折叠后点A 落在AB 边上的点D 处， ∴EF ⊥AB ，△AEF ≌△DEF ， ∴S △AEF ＝S △DEF .∵S 四边形ECBF ＝3S △EDF ，∴S 四边形ECBF ＝3S △AEF .∵S △ACB ＝S △AEF ＋S 四边形ECBF ，∴S △ACB ＝S △AEF ＋3S △AEF ＝4S △AEF ， ∴S △AEF S △ACB ＝14. ∵∠EAF ＝∠BAC ，∠AFE ＝∠ACB ＝90°， ∴△AEF ∽△ABC ， ∴S △AEF S △ABC ＝(AE AB )2， ∴(AE AB )2＝14. 在Rt △ACB 中，∵∠ACB ＝90°，AC ＝4，BC ＝3， ∴AB ＝42＋32＝5， ∴(AE 5)2＝14，∴AE ＝52.(2)第9题解图①①四边形AEMF 是菱形．证明：如解图①，∵折叠后点A 落在BC 边上的点M 处， ∴∠CAB ＝∠EMF ，AE ＝ME ， 又∵MF ∥CA ，∴∠CEM ＝∠EMF ， ∴∠CAB ＝∠CEM ， ∴EM ∥AF ，∴四边形AEMF 是平行四边形． 又∵AE ＝ME ，∴四边形AEMF 是菱形．②如解图①，连接AM ，AM 与EF 交于点O ，设AE ＝x ，则ME ＝AE ＝x ，EC ＝4－x. ∵∠CEM ＝∠CAB ，∠ECM ＝∠ACB ＝90°， ∴△ECM ∽△ACB. ∴EC AC ＝EMAB ， ∵AB ＝5，AC ＝4， ∴4－x 4＝x5， 解得x ＝209，∴AE ＝ME ＝209，EC ＝169.在Rt △ECM 中，∵∠ECM ＝90°，∴CM 2＝EM 2－EC 2， 即CM ＝EM 2－EC 2＝（209）2－（169）2＝43. ∵四边形AEMF 是菱形，∴OE ＝OF ，OA ＝OM ，AM ⊥EF ， ∴S 菱形AEMF ＝4S △AOE ＝2OE·AO. 在Rt △AOE 和Rt △ACM 中， ∵tan ∠EAO ＝tan ∠MAC ， ∴OE AO ＝CM AC. ∵CM ＝43，AC ＝4，∴AO ＝3OE ，∴S 菱形AEMF ＝6OE 2. 又∵S 菱形AEMF ＝AE·CM ，∴6OE 2＝209×43，∴OE ＝2109，∴EF ＝4109. (3)如解图②，第9题解图②过点F 作FH ⊥CB 于点H ，在Rt △NCE 和Rt △NHF 中， ∵tan ∠ENC ＝tan ∠FNH ， ∴EC NC ＝FH NH， ∵NC ＝1，EC ＝47，∴FH NH ＝47， 设FH ＝x ，则NH ＝74x ，∴CH ＝NH －NC ＝74x －1.∵BC ＝3，∴BH ＝BC －CH ＝3－(74x －1)＝4－74x.在Rt △BHF 和Rt △BCA 中，∵tan ∠FBH ＝tan ∠ABC ， ∴HF BH ＝CA BC ， ∴x4－74x ＝43， 解得x ＝85，∴HF ＝85.∵∠B ＝∠B ，∠BHF ＝∠BCA ＝90°， ∴△BHF ∽△BCA ， ∴HF CA ＝BFBA，即HF·BA ＝CA·BF ， ∴85×5＝4BF ，∴BF ＝2，∴AF ＝AB －BF ＝3， ∴AF BF ＝32. 10. 解：(1)△ABP ∽△PCD. 【解法提示】∵∠MPN ＝90°， ∴∠APB ＋∠DPC ＝90°， ∵∠B ＝90°，∴∠APB ＋∠BAP ＝90°， ∴∠DPC ＝∠BAP ， 又∵∠B ＝∠C ＝90°， ∴△ABP ∽△PCD.(2)在旋转过程中，PEPF 的值为定值．如解图，过点F 作FG ⊥BC ，垂足为G.第10题解图类比(1)可得：△EBP ∽△PGF ， ∴EP PF ＝PB FG， ∵∠A ＝∠B ＝∠FGB ＝90°， ∴四边形ABGF 是矩形， ∴FG ＝AB ＝2， ∵BP ＝1， ∴PE PF ＝12， 即在旋转过程中，PE PF 的值为定值12.(3)由(2)知△EBP ∽△PGF ， ∴EB PG ＝BP GF ＝12， 又∵AE ＝t ， ∴BE ＝2－t ，∴PG ＝2(2－t)＝4－2t ，∴AF ＝BG ＝BP ＋PG ＝1＋(4－2t)＝5－2t ，∴S ＝S 矩形ABGF －S △AEF －S △BEP －S △PFG＝2(5－2t)－12t(5－2t)－12×1×(2－t)－12×2×(4－2t)＝t 2－4t ＋5,即S ＝t 2－4t ＋5(0≤t ≤2)， 当S ＝4.2时，4.2＝t 2－4t ＋5，解得：t 1＝2－455，t 2＝2＋455(不合题意，舍去)．∴t 的值是2－455.11. 解：(1)如解图①，在△ABC 中， ∵∠ACB ＝90°，∠B ＝30°，AC ＝1， ∴AB ＝2，又∵D 是AB 的中点，第11题解图①∴AD ＝1，CD ＝12AB ＝1，又∵EF 是△ACD 的中位线，∴EF ＝DF ＝12，在△ACD 中，AD ＝CD ，∠A ＝60°，∴△ACD 为等边三角形， ∴∠ADC ＝60°， 在△FGD 中，GF ＝DF·sin 60°＝34， ∴矩形EFGH 的面积S ＝EF·GF ＝12×34＝38.(2)如解图②，设矩形移动的距离为x ，则0＜x ≤12，①当矩形与△CBD 重叠部分为三角形时，则0＜x ≤14，重叠部分的面积S ＝12x·3x ＝316，第11题解图②∴x ＝24＞14(舍去)， ②当矩形与△CBD 重叠部分为直角梯形时，则14＜x ≤12，重叠部分的面积S ＝34x －12×14×34＝316， ∴x ＝38，即矩形移动的距离为38时，矩形与△CBD 重叠部分的面积是316.第11题解图③(3)如解图③，作H 2Q ⊥AB 于Q ， 设DQ ＝m ，则H 2Q ＝3m ， 又DG 1＝14，H 2G 1＝12，在Rt △H 2QG 1中， (3m)2＋(m ＋14)2＝(12)2，解得m 1＝－1＋1316，m 2＝－1－1316＜0(舍去)，∴cos α＝QG 1F 1G 1＝－1＋1316＋1412＝3＋138.类型三 图形形状变化探究题12. (1)证明：∵△ABD 、△ACE 是等边三角形， ∴AB ＝AD ，AC ＝AE ，∠CAE ＝∠DAB ＝60°，∴∠CAE ＋∠BAC ＝∠DAB ＋∠BAC ，即∠BAE ＝∠DAC ， 在△ABE 和△ADC 中， ⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AD ∠BAE ＝∠DAC AE ＝AC， ∴△ABE ≌△ADC(SAS )． (2)解：∠BOC ＝90°.理由如下： 由(1)得△ABE ≌△ADC ，∴∠EBA ＝∠CDA.∵∠FBA ＋∠FDA ＝180°，∴∠FBA －∠EBA ＋∠FDA ＋∠CDA ＝180°， 即∠FBO ＋∠FDO ＝180°.在四边形FBOD 中，∠F ＝90°， ∴∠DOB ＝360°－∠F －(∠FBO ＋∠FDO)＝90°， ∴∠BOC ＝90°. (3)解：72°.【解法提示】∠BOC ＝180°－108°＝72°.(4)解：180°－180°·（n －2）n.【解法提示】由(3)可知，∠BOC 度数应为180°减去正多边形内角度数． 13. 解：(1)233.【解法提示】sin 120°＝32，故这个平行四边形的变形度是233. (2)1sin α＝S 1S 2，理由如下： 如解图，设矩形的长和宽分别为a ，b ，其变形后的平行四边形的高为h ，第13题解图则S 1＝ab ，S 2＝ah ，sin α＝hb ，∴S 1S 2＝ab ah ＝b h ， 又∵1sin α＝b h ，∴1sin α＝S 1S 2. (3)由AB 2＝AE·AD ，可得A 1B 21＝A 1E 1·A 1D 1，即A 1B 1A 1D 1＝A 1E 1A 1B 1. 又∵∠B 1A 1E 1＝∠D 1A 1B 1， ∴△B 1A 1E 1∽△D 1A 1B 1， ∴∠A 1B 1E 1＝∠A 1D 1B 1， ∵A 1D 1∥B 1C 1，∴∠A 1E 1B 1＝∠C 1B 1E 1，∴∠A 1E 1B 1＋∠A 1D 1B 1＝∠C 1B 1E 1＋∠A 1B 1E 1＝∠A 1B 1C 1. 由(2)结论1sin α＝S 1S 2，可得1sin ∠A 1B 1C 1＝4m2m ＝2，∴sin ∠A 1B 1C 1＝12，∴∠A 1B 1C 1＝30°，∴∠A 1E 1B 1＋∠A 1D 1B 1＝30°. 14. (1)①证明：如解图①， ∵∠ACE ＋∠ECB ＝45°，∠BCF ＋∠ECB ＝45°，第14题解图①∴∠ACE ＝∠BCF ，又∵四边形ABCD 和EFCG 是正方形， ∴AC BC ＝CECF＝2， ∴△CAE ∽△CBF.②解：∵AE BF ＝ACBC ＝2，AE ＝2，∴BF ＝AE2＝2， 由△CAE ∽△CBF 可得∠CAE ＝∠CBF ， 又∵∠CAE ＋∠CBE ＝90°， ∴∠CBF ＋∠CBE ＝90°，即∠EBF ＝90°，第14题解图②由CE 2＝2EF 2＝2(BE 2＋BF 2)＝6， 解得CE ＝ 6.(2)解：连接BF ，如解图②，同(1)证△CAE ∽△CBF ，可得∠EBF ＝90°，AC BC ＝AE BF， 由AB BC ＝EFFC＝k ，可得BC ∶AB ∶AC ＝1∶k ∶k 2＋1， CF ∶EF ∶EC ＝1∶k ∶k 2＋1，∴CE EF ＝ACAB ＝k 2＋1k ，AE BF ＝AC BC＝k 2＋1， ∴EF ＝kCE k 2＋1，EF 2＝k 2CE 2k 2＋1，BF ＝AE k 2＋1，BF 2＝AE 2k 2＋1，∴CE 2＝k 2＋1k 2×EF 2＝k 2＋1k2(BE 2＋BF 2)， ∴32＝k 2＋1k 2(12＋22k 2＋1)， 解得k ＝104. (3)解：p 2－n 2＝(2＋2)m 2.【解法提示】如解图③，连接BF ，同(1)证△CAE ∽△CBF ，可得∠EBF ＝90°， 过点C 作CH ⊥AB 交AB 延长线于点H ， 类比第(2)问得AB 2∶BC 2∶AC 2＝1∶1∶(2＋2)，第14题解图③EF 2∶FC 2∶EC 2＝1∶1∶(2＋2)， ∴p 2＝(2＋2)EF 2＝(2＋2)(BE 2＋BF 2)＝(2＋2)(m 2＋n 22＋2)＝(2＋2)m 2＋n 2，∴p 2－n 2＝(2＋2)m 2.15. 证明：(1)①连接AH ，如解图①. 第15题解图①∵四边形OBFC 是平行四边形， ∴BH ＝HC ＝12BC ，OH ＝HF ，∵△ABC 是等边三角形， ∴AB ＝BC ，AH ⊥BC ，在Rt △ABH 中，AH 2＝AB 2－BH 2， ∴AH ＝BC 2－（12BC ）2＝32BC ，∵OA ＝AE ，OH ＝HF ，∴AH 是△OEF 的中位线， ∴AH ＝12EF ，AH ∥EF ，∴EF ⊥BC.②由①得AH ＝32BC ，∵AH ＝12EF∴32BC ＝12EF ，∴EF ＝3BC.(2)EF ⊥AB 仍然成立，EF ＝BC.第15题解图②【解法提示】如解图②，连接AH，∵四边形OBFC是平行四边形，∴BH＝HC＝12BC，OH＝HF，∵△ABC是等腰直角三角形，∴AH⊥BC，在Rt△ABH中，AH2＝AB2－BH2＝(2BH)2－BH2＝BH2，∴AH＝BH＝12BC，∵OA＝AE，OH＝HF，∴AH是△OEF的中位线，∴AH＝12EF，AH∥EF，∴EF⊥BC，EF＝2AH＝BC.第15题解图③(3)EF＝4k2－1 BC.【解法提示】如解图③，连接AH，∵四边形OBFC是平行四边形，∴BH＝HC＝12BC，OH＝HF，∵△ABC是等腰三角形，AB＝kBC，∴AH⊥BC，在Rt△ABH中，AH2＝AB2－BH2＝(kBC)2－(12＝(k2－14)BC2，2BC)∴AH＝12－1 BC，24k∵OA＝AE，OH＝HF，∴AH是△OEF的中位线，∴AH＝12EF，AH∥EF，∴EF⊥BC，12－1 BC＝12EF，24k∴EF＝4k2－1 BC.。

2024年河南省中考数学试卷一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的）1．如图，数轴上点P表示的数是（）A．﹣1B．0C．1D．22．据统计，2023年我国人工智能核心产业规模达5784亿元．数据“5784亿”用科学记数法表示为（）A．5784×108B．5.784×1010C．5.784×1011D．0.5784×10123．如图，乙地在甲地的北偏东50°方向上，则∠1的度数为（）A．60°B．50°C．40°D．30°4．信阳毛尖是中国十大名茶之一．如图是信阳毛尖茶叶的包装盒，它的主视图为（）A．B．C．D．5．下列不等式中，与﹣x＞1组成的不等式组无解的是（）A．x＞2B．x＜0C．x＜﹣2D．x＞﹣36．如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E为OC的中点，EF∥AB交BC于点F．若AB＝4，则EF的长为（）A．B．1C．D．27．计算（）3的结果是（）A．a5B．a6C．a a+3D．a3a8．豫剧是国家级非物质文化遗产，因其雅俗共赏，深受大众喜爱．正面印有豫剧经典剧目人物的三张卡片如图所示，它们除正面外完全相同．把这三张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取一张，放回洗匀后，再从中随机抽取一张，两次抽取的卡片正面相同的概率为（）A．B．C．D．9．如图，⊙O是边长为的等边三角形ABC的外接圆，点D是的中点，连接BD，CD．以点D为圆心，BD的长为半径在⊙O内画弧，则阴影部分的面积为（）A．B．4πC．D．16π10．把多个用电器连接在同一个插线板上，同时使用一段时间后，插线板的电源线会明显发热，存在安全隐患．数学兴趣小组对这种现象进行研究，得到时长一定时，插线板电源线中的电流I与使用电器的总功率P的函数图象（如图1），插线板电源线产生的热量Q与I的函数图象（如图2）．下列结论中错误的是（）A．当P＝440W时，I＝2AB．Q随I的增大而增大C．I每增加1A，Q的增加量相同D．P越大，插线板电源线产生的热量Q越多二、填空题（每小题3分，共15分）11．请写出2m的一个同类项：．12．2024年3月是第8个全国近视防控宣传教育月，其主题是“有效减少近视发生，共同守护光明未来”．某校组织各班围绕这个主题开展板报宣传活动，并对各班的宣传板报进行评分，得分情况如图，则得分的众数为分．13．若关于x的方程有两个相等的实数根，则c的值为．14．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的边AB在x轴上，点A的坐标为（﹣2，0），点E在边CD上．将△BCE沿BE折叠，点C落在点F处．若点F的坐标为（0，6），则点E的坐标为．15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB＝3，线段CD绕点C在平面内旋转，过点B作AD的垂线，交射线AD于点E．若CD＝1，则AE的最大值为，最小值为．三、解答题（本大题共8个小题，共75分）16．（1）计算：；（2）化简：．17．为提升学生体质健康水平，促进学生全面发展，学校开展了丰富多彩的课外体育活动．在八年级组织的篮球联赛中，甲、乙两名队员表现优异，他们在近六场比赛中关于得分、篮板和失误三个方面的统计结果如下．技术统计表队员平均每场得分平均每场篮板平均每场失误甲26.582乙26103根据以上信息，回答下列问题．（1）这六场比赛中，得分更稳定的队员是（填“甲”或“乙”）；甲队员得分的中位数为27.5分，乙队员得分的中位数为分．（2）请从得分方面分析：这六场比赛中，甲、乙两名队员谁的表现更好．（3）规定“综合得分”为：平均每场得分×1+平均每场篮板×1.5+平均每场失误×（﹣1），且综合得分越高表现越好．请利用这种评价方法，比较这六场比赛中甲、乙两名队员谁的表现更好．18．如图，矩形ABCD的四个顶点都在格点（网格线的交点）上，对角线AC，BD相交于点E，反比例函数的图象经过点A．（1）求这个反比例函数的表达式．（2）请先描出这个反比例函数图象上不同于点A的三个格点，再画出反比例函数的图象．（3）将矩形ABCD向左平移，当点E落在这个反比例函数的图象上时，平移的距离为．19．如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，BE∥DC交AC的延长线于点E．（1）请用无刻度的直尺和圆规作∠ECM，使∠ECM＝∠A，且射线CM交BE于点F（保留作图痕迹，不写作法）．（2）证明（1）中得到的四边形CDBF是菱形．20．如图1，塑像AB在底座BC上，点D是人眼所在的位置．当点B高于人的水平视线DE时，由远及近看塑像，会在某处感觉看到的塑像最大，此时视角最大．数学家研究发现：当经过A，B两点的圆与水平视线DE相切时（如图2），在切点P处感觉看到的塑像最大，此时∠APB为最大视角．（1）请仅就图2的情形证明∠APB＞∠ADB．（2）经测量，最大视角∠APB为30°，在点P处看塑像顶部点A的仰角∠APE为60°，点P到塑像的水平距离PH为6m．求塑像AB的高（结果精确到0.1m．参考数据：≈1.73）．21．为响应“全民植树增绿，共建美丽中国”的号召，学校组织学生到郊外参加义务植树活动，并准备了A，B两种食品作为午餐．这两种食品每包质量均为50g，营养成分表如下．（1）若要从这两种食品中摄入4600kJ热量和70g蛋白质，应选用A，B两种食品各多少包？（2）运动量大的人或青少年对蛋白质的摄入量应更多．若每份午餐选用这两种食品共7包，要使每份午餐中的蛋白质含量不低于90g，且热量最低，应如何选用这两种食品？22．从地面竖直向上发射的物体离地面的高度h（m）满足关系式h＝﹣5t2+v0t，其中t（s）是物体运动的时间，v0（m/s）是物体被发射时的速度．社团活动时，科学小组在实验楼前从地面竖直向上发射小球．（1）小球被发射后s时离地面的高度最大（用含v0的式子表示）．（2）若小球离地面的最大高度为20m，求小球被发射时的速度．（3）按（2）中的速度发射小球，小球离地面的高度有两次与实验楼的高度相同．小明说：“这两次间隔的时间为3s．”已知实验楼高15m，请判断他的说法是否正确，并说明理由．23．综合与实践在学习特殊四边形的过程中，我们积累了一定的研究经验．请运用已有经验，对“邻等对补四边形”进行研究．定义：至少有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做邻等对补四边形．（1）操作判断用分别含有30°和45°角的直角三角形纸板拼出如图1所示的4个四边形，其中是邻等对补四边形的有（填序号）．（2）性质探究根据定义可得出邻等对补四边形的边、角的性质．下面研究与对角线相关的性质．如图2，四边形ABCD是邻等对补四边形，AB＝AD，AC是它的一条对角线．①写出图中相等的角，并说明理由；②若BC＝m，DC＝n，∠BCD＝2θ，求AC的长（用含m，n，θ的式子表示）．（3）拓展应用如图3，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，分别在边BC，AC上取点M，N，使四边形ABMN 是邻等对补四边形．当该邻等对补四边形仅有一组邻边相等时，请直接写出BN的长．。

中考数学探索题 新题型训练1、我们平常用的数是十进制数，如2639=2×103+6×102+3×101+9×100，表示十进制的数要用10个数码（又叫数字）：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9。

在电子数字计算机中用的是二进制，只要两个数码：0和1。

如二进制中101=1×22+0×21+1×20等于十进制的数5，10111=1×24+0×23＋1×22＋1×21＋1×20等于十进制中的数23，那么二进制中的1101等于十进制的数 。

2、从1开始，将连续的奇数相加，和的情况有如下规律：1=1=12；1+3=4=22；1+3+5=9=32；1+3+5+7=16=42；1+3+5+7+9=25=52；…按此规律请你猜想从1开始，将前10个奇数（即当最后一个奇数是19时），它们的和是 。

3、小王利用计算机设计了一个计算程序，输入和输出的数据如下表：A 、618 B 、638 C 、658 D 、6784、如下左图所示，摆第一个“小屋子”要5枚棋子，摆第二个要11枚棋子，摆第三个要17枚棋子，则摆第30个“小屋子”要 枚棋子.5、如下右图是某同学在沙滩上用石子摆成的小房子，观察图形的变化规律，写出第n 个小房子用了 块石子。

6、如下图是用棋子摆成的“上”字：(1)(2)(3)第4题第一个“上”字第二个“上”字第三个“上”字如果按照以上规律继续摆下去，那么通过观察，可以发现：（1）第四、第五个“上”字分别需用和枚棋子；（2）第n个“上”字需用枚棋子。

7、如图一串有黑有白，其排列有一定规律的珠子，被盒子遮住一部分，则这串珠子被盒子遮住的部分有_______颗.8、根据下列5个图形及相应点的个数的变化规律：猜想第6个图形有个点，第n个图形中有个点。

9、下面是按照一定规律画出的一列“树型”图：经观察可以发现：图（2）比图（1）多出2个“树枝”，图（3）比图（2）多出5个“树枝”，图（4）比图（3）多出10个“树枝”，照此规律，图（7）比图（6）多出个“树枝”。

中考数学真题《规律探究题》专项测试卷(附答案)学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________（26题）一 、单选题1．（2023·重庆·统考中考真题）用长度相同的木棍按如图所示的规律拼图案 其中第①个图案用了9根木棍 第①个图案用了14根木棍 第①个图案用了19根木棍 第①个图案用了24根木棍 …… 按此规律排列下去，则第①个图案用的木棍根数是（ ）A ．39B ．44C ．49D ．542．（2023·重庆·统考中考真题）用圆圈按如图所示的规律拼图案 其中第①个图案中有2个圆圈 第①个图案中有5个圆圈 第①个图案中有8个圆圈 第①个图案中有11个圆圈 … 按此规律排列下去，则第①个图案中圆圈的个数为（ ）A ．14B ．20C ．23D ．263．（2023·云南·统考中考真题）按一定规律排列的单项式：23452345,a a a a a 第n 个单项式是（ ）A nB 11n n a --C n naD 1n na -4．（2023·山东烟台·统考中考真题）如图，在直角坐标系中 每个网格小正方形的边长均为1个单位长度 以点P 为位似中心作正方形123PA A A 正方形456,PA A A ⋯ 按此规律作下去 所作正方形的顶点均在格点上 其中正方形123PA A A 的顶点坐标分别为()()()123,0,2,1,1,0P A A --- ()32,1A --，则顶点100A 的坐标为（ ）A ．()31.34B ．()31,34-C ．()32,35D ．()32,05．（2023·山东·统考中考真题）已知一列均不为1的数123n a a a a ，，，，满足如下关系：1223121111a a a a a a ++==--， 34131111nn na a a a a a +++==--，， 若12a =，则2023a 的值是（ ） A ．12-B ．13C ．3-D ．26．（2023·四川达州·统考中考真题）如图，四边形ABCD 是边长为12的正方形 曲线11112DA B C D A 是由多段90︒的圆心角的圆心为C 半径为1CB 11C D 的圆心为D 半径为11111111,DC DA A B B C C D 、、、的圆心依次为A B C D 、、、循环，则20232023A B 的长是（ ）A ．40452πB ．2023πC ．20234πD ．2022π7．（2023·湖南常德·统考中考真题）观察下边的数表（横排为行 竖排为列） 按数表中的规律 分数202023若排在第a 行b 列，则a b -的值为( ) 11122113 22 31 1423 32 41…… A ．2003 B ．2004C ．2022D ．20238．（2023·四川内江·统考中考真题）对于正数x 规定2()1x f x x =+ 例如：224(2)213f ⨯==+ 1212212312f ⨯⎛⎫== ⎪⎝⎭+ 233(3)312f ⨯==+ 1211313213f ⨯⎛⎫== ⎪⎝⎭+ 计算：11111(1)1011009932f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++++⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭(2)(3)(99)(100)(101)f f f f f +++++=（ ）A ．199B ．200C ．201D ．2029．（2023·山东日照·统考中考真题）数学家高斯推动了数学科学的发展 被数学界誉为“数学王子” 据传 他在计算1234100+++++时 用到了一种方法 将首尾两个数相加 进而得到100(1100)12341002⨯++++++=．人们借助于这样的方法 得到(1)12342n n n ++++++=（n 是正整数）．有下列问题 如图，在平面直角坐标系中的一系列格点(),i i i A x y 其中1,2,3,,,i n = 且,i i x y 是整数．记n n n a x y =+ 如1(0,0)A 即120,(1,0)a A = 即231,(1,1)a A =- 即30,a =以此类推．则下列结论正确的是（ ）A ．202340a =B ．202443a =C ．2(21)26n a n -=-D ．2(21)24n a n -=-二 填空题10．（2023·四川成都·统考中考真题）定义：如果一个正整数能表示为两个正整数m n 的平方差 且1m n ->，则称这个正整数为“智慧优数”．例如 221653=- 16就是一个智慧优数 可以利用22()()m n m n m n -=+-进行研究．若将智慧优数从小到大排列，则第3个智慧优数是 第23个智慧优数是 ．11．（2023·四川遂宁·统考中考真题）烷烃是一类由碳 氢元素组成的有机化合物 在生产生活中可作为燃料 润滑剂等原料 也可用于动 植物的养护．通常用碳原子的个数命名为甲烷 乙烷 丙烷 …… 癸烷（当碳原子数目超过10个时即用汉文数字表示 如十一烷 十二烷……）等 甲烷的化学式为4CH 乙烷的化学式为26C H 丙烷的化学式为38C H …… 其分子结构模型如图所示 按照此规律 十二烷的化学式为 ．12．（2023·湖南岳阳·统考中考真题）观察下列式子：21110-=⨯ 22221-=⨯ 23332-=⨯ 24443-=⨯ 25554-=⨯ …依此规律，则第n （n 为正整数）个等式是 ．13．（2023·湖北随州·统考中考真题）某天老师给同学们出了一道趣味数学题：设有编号为1-100的100盏灯 分别对应着编号为1-100的100个开关 灯分为“亮”和“不亮”两种状态 每按一次开关改变一次相对应编号的灯的状态 所有灯的初始状态为“不亮”．现有100个人 第1个人把所有编号是1的整数倍的开关按一次 第2个人把所有编号是2的整数倍的开关按一次 第3个人把所有编号是3的整数倍的开关按一次 …… 第100个人把所有编号是100的整数倍的开关按一次．问最终状态为“亮”的灯共有多少盏？几位同学对该问题展开了讨论：甲：应分析每个开关被按的次数找出规律：乙：1号开关只被第1个人按了1次 2号开关被第1个人和第2个人共按了2次 3号开关被第1个人和第3个人共按了2次 ……丙：只有按了奇数次的开关所对应的灯最终是“亮”的状态．根据以上同学的思维过程 可以得出最终状态为“亮”的灯共有 盏．14．（2023·湖北十堰·统考中考真题）用火柴棍拼成如下图案 其中第①个图案由4个小等边三角形围成1个小菱形 第①个图案由6个小等边三角形围成2个小菱形 …… 若按此规律拼下去，则第n 个图案需要火柴棍的根数为 （用含n 的式子表示）．15．（2023·山西·统考中考真题）如图是一组有规律的图案 它由若干个大小相同的圆片组成．第1个图案中有4个白色圆片 第2个图案中有6个白色圆片 第3个图案中有8个白色圆片 第4个图案中有10个白色圆片 …依此规律 第n 个图案中有 个白色圆片（用含n 的代数式表示）16．（2023·黑龙江绥化·统考中考真题）在求123100++++的值时 发现：1100101+= 299101+=从而得到123100++++=101505050⨯=．按此方法可解决下面问题．图（1）有1个三角形 记作11a =分别连接这个三角形三边中点得到图（2） 有5个三角形 记作25a = 再分别连接图（2）中间的小三角形三边中点得到图（3） 有9个三角形 记作39a = 按此方法继续下去，则123n a a a a ++++= ．（结果用含n 的代数式表示）17．（2023·湖南怀化·统考中考真题）在平面直角坐标系中 AOB 为等边三角形 点A 的坐标为()1,0．把AOB 按如图所示的方式放置 并将AOB 进行变换：第一次变换将AOB 绕着原点O 顺时针旋转60︒ 同时边长扩大为AOB 边长的2倍 得到11A OB △ 第二次旋转将11A OB △绕着原点O 顺时针旋转60︒ 同时边长扩大为11A OB △ 边长的2倍 得到22A OB △ …．依次类推 得到20332033A OB ，则20232033A OB △的边长为点2023A 的坐标为 ．18．（2023·山东临沂·统考中考真题）观察下列式子 21312⨯+=22413⨯+= 23514⨯+=……按照上述规律 2n =．19．（2023·山东枣庄·统考中考真题）如图，在反比例函数8(0)y x x=>的图象上有1232024,,,P P P P 等点 它们的横坐标依次为1 2 3 … 2024 分别过这些点作x 轴与y 轴的垂线 图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为1232023,,,,S S S S ，则1232023S S S S ++++= ．20．（2023·山东聊城·统考中考真题）如图，图中数字是从1开始按箭头方向排列的有序数阵．从3开始 把位于同一列且在拐角处的两个数字提取出来组成有序数对：()3,5 ()7,10 ()13,17 ()21,26 ()31,37…如果单把每个数对中的第一个或第二个数字按顺序排列起来研究 就会发现其中的规律．请写出第n 个数对： ．21．（2023·湖南张家界·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中 四边形ABOC 是正方形 点A 的坐标为(1,1) 1AA 是以点B 为圆心 BA 为半径的圆弧 12A A 是以点O 为圆心 1OA 为半径的圆弧 23A A 是以点C 为圆心 2CA 为半径的圆弧 34A A 是以点A 为圆心 3AA 为半径的圆弧 继续以点B O C A 为圆心按上述作法得到的曲线12345AA A A A A 称为正方形的“渐开线”，则点2023A 的坐标是 ．22．（2023·山东东营·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中 直线l ：33y x =x 轴交于点1A 以1OA 为边作正方形111A B C O 点1C 在y 轴上 延长11C B 交直线l 于点2A 以12C A 为边作正方形2221A B C C 点2C 在y 轴上 以同样的方式依次作正方形3332A B C C … 正方形2023202320232022A B C C ，则点2023B 的横坐标是 ．23．（2023·湖北恩施·统考中考真题）观察下列两行数 探究第①行数与第①行数的关系：2- 4 8- 16 32- 64 ……①0 7 4- 21 26- 71 ……①根据你的发现 完成填空：第①行数的第10个数为 取每行数的第2023个数，则这两个数的和为 ．24．（2023·山东泰安·统考中考真题）已知 12345678,,,OA A A A A A A A △△△都是边长为2的等边三角形 按下图所示摆放．点235,,,A A A 都在x 轴正半轴上 且2356891A A A A A A ====，则点2023A 的坐标是 ．25．（2023·四川广安·统考中考真题）在平面直角坐标系中 点1234A A A A 、、、在x 轴的正半轴上 点123B B B 、、在直线()0y x =≥上 若点1A 的坐标为()2,0 且112223334A B A A B A A B A △、△、△均为等边三角形．则点2023B 的纵坐标为 ．26．（2023·黑龙江·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中 ABC 的顶点A 在直线13:l y x =上 顶点B 在x 轴上 AB 垂直x 轴 且22OB = 顶点C 在直线2:3l y x 上 2BC l ⊥ 过点A 作直线2l 的垂线 垂足为1C 交x 轴于1B 过点1B 作11A B 垂直x 轴 交1l 于点1A 连接11A C 得到第一个111A B C △ 过点1A 作直线2l 的垂线 垂足为2C 交x 轴于2B 过点2B 作22A B 垂直x 轴 交1l 于点2A 连接22A C 得到第二个222A B C △ 如此下去 ……，则202320232023A B C 的面积是 ．参考答案一 单选题1．（2023·重庆·统考中考真题）用长度相同的木棍按如图所示的规律拼图案 其中第①个图案用了9根木棍 第①个图案用了14根木棍 第①个图案用了19根木棍 第①个图案用了24根木棍 …… 按此规律排列下去，则第①个图案用的木棍根数是（ ）A ．39B ．44C ．49D ．54【答案】B【分析】根据各图形中木棍的根数发现计算的规律 由此即可得到答案． 【详解】解：第①个图案用了459+=根木棍 第①个图案用了45214+⨯=根木棍 第①个图案用了45319+⨯=根木棍 第①个图案用了45424+⨯=根木棍 ……第①个图案用的木棍根数是45844+⨯=根 故选：B ．【点睛】此题考查了图形类规律的探究正确理解图形中木棍根数的变化规律由此得到计算的规律是解题的关键．2．（2023·重庆·统考中考真题）用圆圈按如图所示的规律拼图案其中第①个图案中有2个圆圈第①个图案中有5个圆圈第①个图案中有8个圆圈第①个图案中有11个圆圈… 按此规律排列下去，则第①个图案中圆圈的个数为（）A．14B．20C．23D．26【答案】B【分析】根据前四个图案圆圈的个数找到规律即可求解.=⨯-【详解】解：因为第①个图案中有2个圆圈2311=⨯-第①个图案中有5个圆圈5321=⨯-第①个图案中有8个圆圈8331=⨯-第①个图案中有11个圆圈11341…⨯-=所以第①个图案中圆圈的个数为37120故选：B.n-是解题的【点睛】本题考查了图形类规律探究根据前四个图案圆圈的个数找到第n个图案的规律为31关键.3．（2023·云南·统考中考真题）按一定规律排列的单项式：2345,a第n个单项式是（）B1n-C n D1n-A【答案】C字母为a指数为1开始的自然数据此即可求解．【分析】根据单项式的规律可得【详解】解：按一定规律排列的单项式：2345,a第n n故选：C．【点睛】本题考查了单项式规律题找到单项式的变化规律是解题的关键．4．（2023·山东烟台·统考中考真题）如图，在直角坐标系中每个网格小正方形的边长均为1个单位长度以点P 为位似中心作正方形123PA A A 正方形456,PA A A ⋯ 按此规律作下去 所作正方形的顶点均在格点上 其中正方形123PA A A 的顶点坐标分别为()()()123,0,2,1,1,0P A A --- ()32,1A --，则顶点100A 的坐标为（ ）A ．()31.34B ．()31,34-C ．()32,35D ．()32,0【答案】A【分析】根据图象可得移动3次完成一个循环 从而可得出点坐标的规律()323n A n n --，．【详解】解：①()121A -， ()412A -， ()703A ， ()1014A ，①()323n A n n --，①1003342=⨯-，则34n =①()1003134A ， 故选：A ．【点睛】本题考查了点的规律变化 解答本题的关键是仔细观察图象 得到点的变化规律． 5．（2023·山东·统考中考真题）已知一列均不为1的数123n a a a a ，，，，满足如下关系：1223121111a a a a a a ++==--， 34131111nn na a a a a a +++==--，， 若12a =，则2023a 的值是（ ） A ．12-B ．13C ．3-D ．2【答案】A【分析】根据题意可把12a =代入求解23a =-，则可得312a =- 413a = 52a =…… 由此可得规律求解．【详解】解：①12a =①212312a +==-- 3131132a -==-+ 411121312a -==+51132113a +==- ……. 由此可得规律为按2 3- 12- 13四个数字一循环①20234505.....3÷= ①2023312a a ==- 故选A ．【点睛】本题主要考查数字规律 解题的关键是得到数字的一般规律．6．（2023·四川达州·统考中考真题）如图，四边形ABCD 是边长为12的正方形 曲线11112DA B C D A 是由多段90︒的圆心角的圆心为C 半径为1CB 11C D 的圆心为D 半径为11111111,DC DA A B B C C D 、、、的圆心依次为A B C D 、、、循环，则20232023A B 的长是（ ）A ．40452πB ．2023πC ．20234πD ．2022π【答案】A【分析】曲线11112DA B C D A …是由一段段90度的弧组成的 半径每次比前一段弧半径12+ 得到1114(1)22n n AD AA n -==⨯-+ 14(1)12n n BA BB n ==⨯-+ 得出半径 再计算弧长即可．【详解】解：由图可知 曲线11112DA B C D A …是由一段段90度的弧组成的 半径每次比前一段弧半径12+∴112AD AA ==111BA BB == 1132CB CC == 112DC DD ==12122AD AA ==+2221BA BB ==+ 22322CB CC ==+ 2222DC DD ==+ ⋯⋯1114(1)22n n AD AA n -==⨯-+ 14(1)12n n BA BB n ==⨯-+故20232023A B 的半径为()202320231420231140452BA BB ==⨯⨯-+=∴20232023A B 的弧长90404540451802ππ=⨯=． 故选A【点睛】此题主要考查了弧长的计算 弧长的计算公式：180n rl π= 找到每段弧的半径变化规律是解题关键． 7．（2023·湖南常德·统考中考真题）观察下边的数表（横排为行 竖排为列） 按数表中的规律 分数202023若排在第a 行b 列，则a b -的值为( ) 11122113 22 31 1423 32 41…… A ．2003 B ．2004 C ．2022 D ．2023【答案】C【分析】观察表中的规律发现 分数的分子是几，则必在第几列 只有第一列的分数 分母与其所在行数一致．【详解】观察表中的规律发现 分数的分子是几，则必在第几列 只有第一列的分数 分母与其所在行数一致 故202023在第20列 即20b = 向前递推到第1列时 分数为201912023192042-=+ 故分数202023与分数12042在同一行．即在第2042行，则2042a =． ①2042202022.a b -=-= 故选：C ．【点睛】本题考查了数字类规律探索的知识点 解题的关键善于发现数字递变的周期性和趋向性．8．（2023·四川内江·统考中考真题）对于正数x 规定2()1x f x x =+ 例如：224(2)213f ⨯==+ 1212212312f ⨯⎛⎫== ⎪⎝⎭+ 233(3)312f ⨯==+ 1211313213f ⨯⎛⎫== ⎪⎝⎭+ 计算：11111(1)1011009932f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++++⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭(2)(3)(99)(100)(101)f f f f f +++++=（ ）A ．199B ．200C ．201D ．202【答案】C【分析】通过计算11(1)1,(2)2,(3)223f f f f f ⎛⎫⎛⎫=+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⋯可以推出11111(1)(2)(3)(99)(100)(101)1011009932f f f f f f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭结果． 【详解】解：2(1)1,11f ==+ 12441212(2),,(2)2,112323212f f f f ⨯⎛⎫⎛⎫====+= ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭+ 122331113(3),,(3)2,113232313f f f f ⨯⨯⎛⎫⎛⎫====+= ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭+ …2100200(100)1100101f ⨯==+ 1212100()11001011100f ⨯==+1(100)()2100f f += 11111(1)(2)(3)(99)(100)(101)1011009932f f f f f f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭21001=⨯+ 201=故选：C ．【点睛】此题考查了有理数的混合运算 熟练掌握运算法则 找到数字变化规律是解本题的关键． 9．（2023·山东日照·统考中考真题）数学家高斯推动了数学科学的发展 被数学界誉为“数学王子” 据传 他在计算1234100+++++时 用到了一种方法 将首尾两个数相加 进而得到100(1100)12341002⨯++++++=．人们借助于这样的方法 得到(1)12342n n n ++++++=（n 是正整数）．有下列问题 如图，在平面直角坐标系中的一系列格点(),i i i A x y 其中1,2,3,,,i n = 且,i i x y 是整数．记n n n a x y =+ 如1(0,0)A 即120,(1,0)a A = 即231,(1,1)a A =- 即30,a = 以此类推．则下列结论正确的是（ ）A ．202340a =B ．202443a =C ．2(21)26n a n -=-D ．2(21)24n a n -=-【答案】B【分析】利用图形寻找规律()211,1n A n n --- 再利用规律解题即可． 【详解】解：第1圈有1个点 即1(0,0)A 这时10a = 第2圈有8个点 即2A 到()91,1A 第3圈有16个点 即10A 到()252,2A 依次类推 第n 圈 ()211,1n A n n ---由规律可知：2023A 是在第23圈上 且()202522,22A ，则()202320,22A 即2023202242a =+= 故A 选项不正确 2024A 是在第23圈上 且()202421,22A 即2024212243a =+= 故B 选项正确第n 圈 ()211,1n A n n --- 所以2122n a n -=- 故C D 选项不正确 故选B ．【点睛】本题考查图形与规律 利用所给的图形找到规律是解题的关键．二 填空题10．（2023·四川成都·统考中考真题）定义：如果一个正整数能表示为两个正整数m n 的平方差 且1m n ->，则称这个正整数为“智慧优数”．例如 221653=- 16就是一个智慧优数 可以利用22()()m n m n m n -=+-进行研究．若将智慧优数从小到大排列，则第3个智慧优数是 第23个智慧优数是 ． 【答案】 15 45【分析】根据新定义 列举出前几个智慧优数 找到规律 进而即可求解．【详解】解：依题意 当3m = 1n =，则第1个一个智慧优数为22318-= 当4m = 2n =，则第2个智慧优数为224214-= 当4m = 1n =，则第3个智慧优数为224115-= 当5m = 3n =，则第5个智慧优数为225316-= 当5m = 2n =，则第6个智慧优数为225221-= 当5m = 1n =，则第7个智慧优数为225324-= ……6m =时有4个智慧优数 同理7m =时有5个 8m =时有6个12345621+++++=第22个智慧优数 当9m =时 7n = 第22个智慧优数为2297814932-=-= 第23个智慧优数为9,6m n ==时 2296813645-=-= 故答案为：15 45．【点睛】本题考查了新定义 平方差公式的应用 找到规律是解题的关键．11．（2023·四川遂宁·统考中考真题）烷烃是一类由碳 氢元素组成的有机化合物 在生产生活中可作为燃料 润滑剂等原料 也可用于动 植物的养护．通常用碳原子的个数命名为甲烷 乙烷 丙烷 …… 癸烷（当碳原子数目超过10个时即用汉文数字表示 如十一烷 十二烷……）等 甲烷的化学式为4CH 乙烷的化学式为26C H 丙烷的化学式为38C H …… 其分子结构模型如图所示 按照此规律 十二烷的化学式为 ．【答案】1226C H【分析】根据碳原子的个数 氢原子的个数 找到规律 即可求解． 【详解】解：甲烷的化学式为4CH 乙烷的化学式为26C H 丙烷的化学式为38C H ……碳原子的个数为序数 氢原子的个数为碳原子个数的2倍多2个十二烷的化学式为1226C H 故答案为：1226C H ．【点睛】本题考查了规律题 找到规律是解题的关键． 12．（2023·湖南岳阳·统考中考真题）观察下列式子：21110-=⨯ 22221-=⨯ 23332-=⨯ 24443-=⨯ 25554-=⨯ …依此规律，则第n （n 为正整数）个等式是 ．【答案】()21n n n n -=-【分析】根据等式的左边为正整数的平方减去这个数 等式的右边为这个数乘以这个数减1 即可求解． 【详解】解：①21110-=⨯ 22221-=⨯ 23332-=⨯ 24443-=⨯ 25554-=⨯ …①第n （n 为正整数）个等式是()21n n n n -=-故答案为：()21n n n n -=-．【点睛】本题考查了数字类规律 找到规律是解题的关键．13．（2023·湖北随州·统考中考真题）某天老师给同学们出了一道趣味数学题：设有编号为1-100的100盏灯 分别对应着编号为1-100的100个开关 灯分为“亮”和“不亮”两种状态 每按一次开关改变一次相对应编号的灯的状态 所有灯的初始状态为“不亮”．现有100个人 第1个人把所有编号是1的整数倍的开关按一次 第2个人把所有编号是2的整数倍的开关按一次 第3个人把所有编号是3的整数倍的开关按一次 …… 第100个人把所有编号是100的整数倍的开关按一次．问最终状态为“亮”的灯共有多少盏？几位同学对该问题展开了讨论：甲：应分析每个开关被按的次数找出规律：乙：1号开关只被第1个人按了1次 2号开关被第1个人和第2个人共按了2次 3号开关被第1个人和第3个人共按了2次 ……丙：只有按了奇数次的开关所对应的灯最终是“亮”的状态．根据以上同学的思维过程 可以得出最终状态为“亮”的灯共有 盏． 【答案】10【分析】灯的初始状态为“不亮” 按奇数次，则状态为“亮” 按偶数次，则状态为“不亮” 确定1-100中 各个数因数的个数 完全平方数的因数为奇数个 从而求解．【详解】所有灯的初始状态为“不亮” 按奇数次，则状态为“亮” 按偶数次，则状态为“不亮”因数的个数为奇数的自然数只有完全平方数 1-100中 完全平方数为1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 有10个数 故有10盏灯被按奇数次 为“亮”的状态 故答案为：10．【点睛】本题考查因数分解 完全平方数 理解因数的意义 完全平方数的概念是解题的关键． 14．（2023·湖北十堰·统考中考真题）用火柴棍拼成如下图案 其中第①个图案由4个小等边三角形围成1个小菱形 第①个图案由6个小等边三角形围成2个小菱形 …… 若按此规律拼下去，则第n 个图案需要火柴棍的根数为 （用含n 的式子表示）．【答案】66n +/66n +【分析】当1n =时 有()2114+=个三角形 当2n =时 有()2216+=个三角形 当3n =时 有()2318+=个三角形 第n 个图案有()2122n n +=+个三角形 每个三角形用三根计算即可．【详解】解：当1n =时 有()2114+=个三角形 当2n =时 有()2216+=个三角形 当3n =时 有()2318+=个三角形 第n 个图案有()2122n n +=+个三角形 每个三角形用三根故第n 个图案需要火柴棍的根数为66n +． 故答案为：66n +．【点睛】本题考查了整式的加减的数字规律问题 熟练掌握规律的探索方法是解题的关键．15．（2023·山西·统考中考真题）如图是一组有规律的图案 它由若干个大小相同的圆片组成．第1个图案中有4个白色圆片 第2个图案中有6个白色圆片 第3个图案中有8个白色圆片 第4个图案中有10个白色圆片 …依此规律 第n 个图案中有 个白色圆片（用含n 的代数式表示）【答案】()22n +【分析】由于第1个图案中有4个白色圆片4221=+⨯ 第2个图案中有6个白色圆片6222=+⨯ 第3个图案中有8个白色圆片8223=+⨯ 第4个图案中有10个白色圆片10224=+⨯ ⋯ 可得第(1)n n >个图案中有白色圆片的总数为22n +．【详解】解：第1个图案中有4个白色圆片4221=+⨯ 第2个图案中有6个白色圆片6222=+⨯ 第3个图案中有8个白色圆片8223=+⨯ 第4个图案中有10个白色圆片10224=+⨯⋯①第(1)n n >个图案中有()22n +个白色圆片． 故答案为：()22n +．【点睛】此题考查图形的变化规律 通过从一些特殊的数字变化中发现不变的因素或按规律变化的因素 然后推广到一般情况．解题关键是总结归纳出图形的变化规律． 16．（2023·黑龙江绥化·统考中考真题）在求123100++++的值时 发现：1100101+= 299101+=从而得到123100++++=101505050⨯=．按此方法可解决下面问题．图（1）有1个三角形 记作11a =分别连接这个三角形三边中点得到图（2） 有5个三角形 记作25a = 再分别连接图（2）中间的小三角形三边中点得到图（3） 有9个三角形 记作39a = 按此方法继续下去，则123n a a a a ++++= ．（结果用含n 的代数式表示）【答案】22n n -/22n n -+【分析】根据题意得出()14143n a n n =+-=- 进而即可求解． 【详解】解：依题意 ()1231,5,9,14143n a a a a n n ===⋅⋅⋅=+-=-， ①123n a a a a ++++=()21432122n n n n n n +-==-=- 故答案为：22n n -．【点睛】本题考查了图形类规律 找到规律是解题的关键．17．（2023·湖南怀化·统考中考真题）在平面直角坐标系中 AOB 为等边三角形 点A 的坐标为()1,0．把AOB 按如图所示的方式放置 并将AOB 进行变换：第一次变换将AOB 绕着原点O 顺时针旋转60︒ 同时边长扩大为AOB 边长的2倍 得到11A OB △ 第二次旋转将11A OB △绕着原点O 顺时针旋转60︒ 同时边长扩大为11A OB △ 边长的2倍 得到22A OB △ …．依次类推 得到20332033A OB ，则20232033A OB △的边长为 点2023A 的坐标为 ．【答案】 20232 ()202220222,2【分析】根据旋转角度为60︒ 可知每旋转6次后点A 又回到x 轴的正半轴上 故点2023A 在第四象限 且202320232OA = 即可求解．【详解】解：①AOB 为等边三角形 点A 的坐标为()1,0 ①1OA =①每次旋转角度为60︒ ①6次旋转360︒第一次旋转后 1A 在第四象限 12OA =第二次旋转后 2A 在第三象限 222OA =第三次旋转后 3A 在x 轴负半轴 332OA =第四次旋转后 4A 在第二象限 442OA =第五次旋转后 5A 在第一象限 552OA =第六次旋转后 6A 在x 轴正半轴 662OA =……如此循环 每旋转6次 点A 的对应点又回到x 轴正半轴①202363371÷=点2023A 在第四象限 且202320232OA =如图，过点2023A 作2023A H x ⊥轴于H在2023Rt OHA 中 202360HOA ∠=︒①202320232022202320231cos 2cos60222OH OA HOA =⋅∠=⨯︒=⨯=202320222023202320233sin 232A H OA HOA =⋅∠= ①点2023A 的坐标为()202220222,32．故答案为：20232 ()202220222,32．【点睛】本题考查图形的旋转 解直角三角形的应用．熟练掌握图形旋转的性质 根据旋转角度找到点的坐标规律是解题的关键．18．（2023·山东临沂·统考中考真题）观察下列式子 21312⨯+=22413⨯+= 23514⨯+=……按照上述规律 2n =． 【答案】()()111n n -++【分析】根据已有的式子 抽象出相应的数字规律 进行作答即可． 【详解】解：①21312⨯+= 22413⨯+=23514⨯+=……①()()2211n n n ++=+①()()2111n n n -++=．故答案为：()()111n n -++【点睛】本题考查数字类规律探究．解题的关键是从已有的式子中抽象出相应的数字规律． 19．（2023·山东枣庄·统考中考真题）如图，在反比例函数8(0)y x x=>的图象上有1232024,,,P P P P 等点 它们的横坐标依次为1 2 3 … 2024 分别过这些点作x 轴与y 轴的垂线 图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为1232023,,,,S S S S ，则1232023S S S S ++++= ．【答案】2023253【分析】求出1234,,,P P P P …的纵坐标 从而可计算出1234,,,S S S S …的高 进而求出1234,,,S S S S … 从而得出123n S S S S +++⋯+的值．【详解】当1x =时 1P 的纵坐标为8 当2x =时 2P 的纵坐标为4 当3x =时 3P 的纵坐标为83当4x =时 4P 的纵坐标为2当5x =时 5P 的纵坐标为85…则11(84)84S =⨯-=- 2881(4)433S =⨯-=-3881(2)233S =⨯-=-481(2)2558S =⨯-=- (881)n S n n =-+ 1238888888844228335111n n S S S S n n n n +++⋯+=-+-+-+-++-=-=+++ ①12320238202320242532023S S S S ⨯+++⋯+==． 故答案为：2023253． 【点睛】本题考查了反比例函数与几何的综合应用 解题的关键是求出881n S n n =-+． 20．（2023·山东聊城·统考中考真题）如图，图中数字是从1开始按箭头方向排列的有序数阵．从3开始 把位于同一列且在拐角处的两个数字提取出来组成有序数对：()3,5 ()7,10 ()13,17 ()21,26 ()31,37…如果单把每个数对中的第一个或第二个数字按顺序排列起来研究 就会发现其中的规律．请写出第n 个数对： ．【答案】()221,22n n n n ++++【分析】根据题意单另把每个数对中的第一个或第二个数字按顺序排列起来研究 可发现第n 个数对的第一个数为：()11n n ++ 第n 个数对的第二个位：()211n ++ 即可求解．【详解】解：每个数对的第一个数分别为3 7 13 21 31 … 即：121⨯+ 231⨯+ 341⨯+ 451⨯+ 561⨯+ … 则第n 个数对的第一个数为：()2111n n n n ++=++ 每个数对的第二个数分别为5 10 17 26 37 … 即：221+ 231+ 241+ 251+ 261+… 则第n 个数对的第二个位：()221122n n n ++=++①第n 个数对为：()221,22n n n n ++++ 故答案为：()221,22n n n n ++++．【点睛】此题考查数字的变化规律 找出数字之间的排列规律 利用拐弯出数字的差的规律解决问题． 21．（2023·湖南张家界·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中 四边形ABOC 是正方形 点A 的坐标为(1,1) 1AA 是以点B 为圆心 BA 为半径的圆弧 12A A 是以点O 为圆心 1OA 为半径的圆弧 23A A 是以点C 为圆心 2CA 为半径的圆弧 34A A 是以点A 为圆心 3AA 为半径的圆弧 继续以点B O C A 为圆心按上述作法得到的曲线12345AA A A A A 称为正方形的“渐开线”，则点2023A 的坐标是 ．【答案】()2023,1-【分析】将四分之一圆弧对应的A 点坐标看作顺时针旋转90︒ 再根据A 1A 2A 3A 4A 的坐标找到规律即可．【详解】①A 点坐标为()1,1 且1A 为A 点绕B 点顺时针旋转90︒所得 ①1A 点坐标为()2,0又①2A 为1A 点绕O 点顺时针旋转90︒所得 ①2A 点坐标为()0.2-又①3A 为2A 点绕C 点顺时针旋转90︒所得 ①3A 点坐标为()3,1-又①4A 为3A 点绕A 点顺时针旋转90︒所得 ①4A 点坐标为()1,5由此可得出规律：n A 为绕B O C A 四点作为圆心依次循环顺时针旋转90︒ 且半径为1 2 3 n每次增加1． ①202355053÷=故2023A 为以点C 为圆心 半径为2022的2022A 顺时针旋转90︒所得 故2023A 点坐标为()2023,1-． 故答案为：()2023,1-．【点睛】本题考查了点坐标规律探索 通过点的变化探索出坐标变化的规律是解题的关键．22．（2023·山东东营·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中 直线l ：33y x =x 轴交于点1A 以1OA 为边作正方形111A B C O 点1C 在y 轴上 延长11C B 交直线l 于点2A 以12C A 为边作正方形2221A B C C 点2C 在y 轴上 以同样的方式依次作正方形3332A B C C … 正方形2023202320232022A B C C ，则点2023B 的横坐标是 ．【答案】20221⎛ ⎝⎭【分析】分别求出点点1B 的横坐标是1 点2B 的横坐标是1 点3B 2413⎛+= ⎝⎭找到规律 得到答案见即可．【详解】解：当0y = 0= 解得1x = ①点()11,0A ,①111A B C O 是正方形 ①11111OA A B OC === ①点()11,1B ①点1B 的横坐标是1当1y =时 1 解得1x =+①点21A ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭①2221A B C C 是正方形①2212211A B C C A C ===①点212B ⎛ ⎝⎭即点2B 的横坐标是1当2y =时 2= 解得)223x =①点34,23A ⎝⎭①3332A B C C 是正方形①33233243A B C C A C ===①点3B 2413⎛= ⎝⎭……以此类推，则点2023B 的横坐标是202231⎛ ⎝⎭故答案为：202231⎛ ⎝⎭【点睛】此题是点的坐标规律题 考查了二次函数的图象和性质 正方形的性质等知识 数形结合是是解题的关键．23．（2023·湖北恩施·统考中考真题）观察下列两行数 探究第①行数与第①行数的关系：2- 4 8- 16 32- 64 ……①0 7 4- 21 26- 71 ……①根据你的发现 完成填空：第①行数的第10个数为 取每行数的第2023个数，则这两个数的和为 ．【答案】 1024 202422024-+【分析】通过观察第一行数的规律为(2)n - 第二行数的规律为(2)1n n -++ 代入数据即可. 【详解】第一行数的规律为(2)n - ①第①行数的第10个数为10(2)1024-= 第二行数的规律为(2)1n n -++①第①行数的第2023个数为2023(2)- 第①行数的第2023个数为2023(2)2024-+ ①202422024-+故答案为：1024 202422024-+．【点睛】本题主要考查数字的变化 找其中的规律 是今年考试中常见的题型. 24．（2023·山东泰安·统考中考真题）已知 12345678,,,OA A A A A A A A △△△都是边长为2的等边三角形 按下图所示摆放．点235,,,A A A 都在x 轴正半轴上 且2356891A A A A A A ====，则点2023A 的坐标是 ．。

专题09 几何探究题1.（2020牡丹江）如图,四边形ABCD是正方形,点E在直线BC上,连接AE．将△ABE沿AE所在直线折叠,点B地对应点是点B′,连接AB′并延长交直线DC于点F．（1）当点F与点C重合时如图（1）,易证：DF+BE=AF（不需证明）。

（2）当点F在DC地延长线上时如图（2）,当点F在CD地延长线上时如图（3）,线段DF，BE，AF有怎样地数量关系？请直接写出你地猜想,并选择一种情况给予证明．2．（2020•金华）如图,在△ABC中,AB＝42,∠B＝45°,∠C＝60°．（1）求BC边上地高线长．（2）点E为线段AB地中点,点F在边AC上,连结EF,沿EF将△AEF折叠得到△PEF．①如图2,当点P落在BC上时,求∠AEP地度数．②如图3,连结AP,当PF⊥AC时,求AP地长．3.（2020重庆）如图,在Rt△ABC中,∠BAC＝90°,AB＝AC,点D是BC边上一动点,连接AD,把AD绕点A 逆时针旋转90°,得到AE,连接CE,DE．点F是DE地中点,连接CF．AD。

（1）求证：CF=22（2）如图2所示,在点D运动地过程中,当BD＝2CD时,分别延长CF,BA,相交于点G,猜想AG与BC存在地数量关系,并证明你猜想地结论。

（3）在点D运动地过程中,在线段AD上存在一点P,使PA+PB+PC地值最小．当PA+PB+PC地值得到最小值时,AP 地长为m,请直接用含m地式子表示CE地长．4.（2020牡丹江）如图,四边形ABCD是正方形,点E在直线BC上,连接AE．将△ABE沿AE所在直线折叠,点B地对应点是点B′,连接AB′并延长交直线DC于点F．（1）当点F与点C重合时如图（1）,易证：DF+BE=AF（不需证明）。

（2）当点F在DC地延长线上时如图（2）,当点F在CD地延长线上时如图（3）,线段DF，BE，AF有怎样地数量关系？请直接写出你地猜想,并选择一种情况给予证明．5．（2020枣庄）在△ABC中,∠ACB＝90°,CD是中线,AC＝BC,一个以点D为顶点地45°角绕点D旋转,使角地两边分别与AC，BC地延长线相交,交点分别为点E，F,DF与AC交于点M,DE与BC交于点N．（1）如图1,若CE＝CF,求证：DE＝DF。

中考数学专题训练第3课时开放探究题(含答案)第3课时开放探究题开放探究题是一种新的题型,关于开放题的概念，主要有下列几种描述：（1）答案不固定或者条件不完备的习题成为开放题；（2）具有多种不同的解法或有多种可能的解答的问题称为开放题.开放探究题的特点是：（1）条件多余需选择,条件不足需补充；（2）答案不固定；（3）问题一般没有明确的结论，没有固定的形式和方法，需要自己通过观察、分析、比较、概括、推理、判断等探索活动来确定所需求的结论或条件或方法.开放探究题常见的类型有：（1）条件开放型：即问题的条件不完备或满足结论的条件不唯一；（2）结论开放型：即在给定的条件下，结论不唯一；（3）策略开放型：即思维策略与解题方法不唯一；（4）综合型：即条件、结论、策略中至少有两项均是开放的.在解决开放探究题的时候，需解题者经过探索确定结论或补全条件，将开放性问题转化为封闭性问题，然后选择合适的解题途径完成最后的解答.这类题主要考查我们分析问题和解决问题的能力和创新意识.类型之一条件开放型问题解这种类型的开放性问题的一般思路是：由已知的结论反思题目应具备怎样的条件，即从题目的结论出发，结合图形挖掘条件，逆向追索，逐步探寻，是一种分析型思维方式.它要求解题者善于从问题的结论出发，逆向追索，多途寻因。

1.（郴州市）已知四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90°，若添加一个条件即可判定该四边形是正方形，那么这个条件可以是_________．2.（庆阳市）如下左图，D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点，则使△AED∽△ABC的条件是类型之二结论开放型问题解决这种类型的问题的时候要充分利用已知条件或图形特征，进行猜想、归纳、类比，透彻分析出给定条件下可能存在的结论现象，然后经过论证作出取舍，这是一种归纳类比型思维.它要求解题者充分利用条件进行大胆而合理的猜想，发现规律，得出结论，这类题主要考查解题者的发散性思维和所学基本知识的应用能力。

专题七类比探究题类型一线段数量关系问题1 (2018 -河南)(1)问题发现如图①，在△ OAB 和厶OCD 中，OA= OB OC= OD / AOB=Z COD= 40°,连接 AC, BD 交于点 M.填空: AC① 击的值为 ：BD② / AMB 的度数为 _______ ; (2) 类比探究如图②，在△ OAB 和厶OCD 中，/ AOB=Z COD= 90°,/ OAB=Z OCD= 30°,连接 AC 交BD 的延长线于点 ACM.请判断乔的值及/ AMB 的度数，并说明理由；BD(3) 拓展延伸 在⑵ 的条件下，将△ OCD 绕点O 在平面内旋转，AC , BD 所在直线交于点 M 若OD= 1, OB=Q7，请直接写出当点C 与点M 重合时AC 的长.图① 图② 备用图例1题图②由△ COA^A DOB,得/CAO=/ DBQ 根据三角形的内角和定理 =180°— 140°= 40°;一AC OC 厂一(2)根据两边的比相等且夹角相等可得△ AO &A BOD 则 BD = OD = 3,由全等三角形的性质得/ AMB 的度 数； ⑶ 正确画出图形，当点 C 与点M 重合时，有两种情况：如解图①和②，同理可得厶 AO &A BOD 则/ AMB AC 厂=90° , BD = 3 ,可得 AC 的长. 【自主解答】【分析】 (1)①证明△ COA^A DOB(SAS,)得AC= BD,比值为1;,得/ AMB= 180°— ( / DBO-/ OABH / ABD)解：⑴问题发现①1【解法提示】•••/ AOB=Z CO 空40•••/ COA F Z DOB .•/ OC= OD OA= OB ，•••△ COA^ DOB(SAS,)• AC= BD, AC 二一=1 BD②40°【解法提示】•/△ COA^A DOB•••/ CAO / DBO. •••/ AO = 40°, •••/ OABH / ABO= 140°,在厶 AMB 中，/ AM = 180°— ( / CAO- / OABH / ABD = 180°— ( / DBO- / OABH / ABD = 180°— 140° =(2)类比探究ACBD = ,3,/ AM = 90°，理由如下:在 Rt △ OCD 中,/ DC(= 30°,/ DO = 90°,同理，得OB = tan 30•••/ AO =/ CO = 90°,• / AO(= BOD • △ AOC^ BOD• AC = …BD =• / AM = 180°—/ CAO- / OA — MBA 180°— ( / DA —/ MB —/ OBD^180°— 90° = 90° (3)拓展延伸①点C 与点M 重合时，如解图①， 同理得△ AO &A BOD AC 厂 • / AM = 90°,侖,3,BD 设 BD= x ，贝U AC = • 3x ,OD• OC = tan 303OD = . 3, / CAO / DBO.在Rt△ COD中,•••/ 0C空30°, OD= 1, ••• CD= 2,BC= x —2.在Rt△ AOB中，/ OA= 30°, OB= '7.•AB= 2OB= 2 ：7 ,在Rt△ AMB中，由勾股定理，得AC+ BC= Ah,即（：3 x）2+ （x —2）2= （2 ：7）2,解得x i= 3, X2=—2（舍去），•AC= 3=：.f3;AC②点C与点M重合时，如解图②，同理得：/ AM= 90°,BD= ；'3,设BD= x，贝U AC= _：3x,在Rt△ AMB中，由勾股定理，得AC+ BC = AB",即（:'3x）2+ （x + 2）2= （2 ；7）2解得x i=—3,解得x2 = 2（舍去）.• AC= 2\ 3.综上所述，AC的长为3 '3或2 ：'3.图①图②例1题解图1 . （2016 -河南）（1）发现如图①，点A为线段BC外一动点，且BC= a, AB= b.填空：当点A位于___________________ 时，线段AC的长取得最大值，且最大值为_____________ (用含a, b 的式子表示)•(2) 应用点A 为线段BC 外一动点，且BC= 3, AB= 1，如图②所示，分别以 AB AC 为边，作等边三角形 ABD 和等边 三角形ACE 连接CD BE.① 请找出图中与BE 相等的线段，并说明理由； ② 直接写出线段BE 长的最大值. ⑶拓展如图③，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(2 ,且PA = 2, Pg PB,Z BP 昨90°,请直接写出线段备用图2. (2015 -河南)如图①，在 Rt △ ABC 中，/ B = 90°, BC = 2AB= 8，点D, E 分别是边 BC, AC 的中点，连 接DE.将厶EDC 绕点C 按顺时针方向旋转，记旋转角为 ⑴问题发现(2)拓展探究0)，点B 的坐标为(5 , 0)，点P 为线段AB 外一动点, AM 长的最大值及此时点 P 的坐标.图③ (X .①当a= 0°时,B D = —"F —；②当a = 180°时,AE = _5 ；BD — 2 一'AE的大小有无变化？请仅就图②的情形给出证明.BD (3)解决问题当厶EDC 旋转至A, D, E 三点共线时，直接写出线段 BD 的长.3. (2014・河南) ⑴问题发现如图①，△ ACB 和厶DCE 均为等边三角形，点 A, D, E 在同一直线上，连接 BE. 填空：① / AEB 的度数为 __________ ;② 线段AD BE 之间的数量关系为 _______________ . (2)拓展探究如图②，△ ACB^n ^ DCE 均为等腰直角三角形， / ACB=Z DCE= 90°,点A, D E 在同一直线上，DCE 中DE 边上的高，连接 BE,请判断/ AEB 的度数及线段 CM AE, BE 之间的数量关系，并说明理由. (3) 解决问题如图③，在正方形 ABCD 中, CD=〔 2,若点P 满足PD= 1,且/ BPD= 90°,请直接写出点 A 到BP 的距离.试判断：当O °Wa <360°时, 图①图① 图② 图③4. （2018 •南阳二模）在厶ABC中，/ ACB是锐角，点D在射线BC上运动，连接AD将线段AD绕点A逆时针旋转90°，得到AE,连接EC.（1）操作发现若AB= AC / BAC= 90°，当D在线段BC上时（不与点B重合），如图①所示，请你直接写出线段CE和BD 的位置关系和数量关系是（2）猜想论证在（1）的条件下，当D在线段BC的延长线上时，如图②所示，请你判断（1）中结论是否成立，并证明你的判断.（3）拓展延伸如图③，若AB^AC / BAO90°，点D在线段BC上运动，试探究：当锐角/ ACB等于 _______________ 度时，线段CE和BD之间的位置关系仍成立（点C, E重合除外）？此时若作DF丄AD交线段CE于点F,且当AC= 3匹时，请直接写出线段CF的长的最大值是_______ .D C 图③图①图②5. 已知，如图①，△ ABC △ AED是两个全等的等腰直角三角形（其顶点B E重合），/ BAC=Z AED= 90°,O为BC的中点，F为AD的中点，连接OF.⑴问题发现类型二图形面积关系问题W^.-(2017 •河南)如图①，在 Rt △ ABC 中，/ A = 90°, AB = AC 点 D, E 分别在边 AB, AC 上, A» AE , 连接DC 点M, P, N 分别为DE, DC BC 的中点. (1) 观察猜想图①中，线段PM 与 PN 的数量关系是 ________ ,位置关系是 _________ ; ⑵探究证明把厶ADE 绕点A 逆时针方向旋转到图②的位置，连接 MN BD CE,判断△ PMN 的形状，并说明理由； (3) 拓展延伸把厶ADE 绕A 在平面内自由旋转，若 AD= 4 , AB= 10，请直接写出△ PMN 面积的最大值.①如图①,OF EC②将△ AED 绕点A 逆时针旋转45°,如图②, OF EC =⑵类比延伸将图①中厶AED 绕点A 逆时针旋转到如图③所示的位置，请计算出 OC 勺值，并说明理由.(3)拓展探究将图①中厶AED 绕点A 逆时针旋转，旋转角为a, 0°WaW 90°, AD= ：2, △ AED 在旋转过程中，存在△ ACD 为直角三角形，请直接写出线段 CD 的长.Ca N例2题图1 1【分析】⑴ 利用三角形的中位线定理得出pg2°E PN^尹D,进而判断出BD= CE即可得出结论，再利用三角形的中位线定理得出PM/CE继而得出/ DPM^Z DCA最后用互余即可得出结论；1 1⑵先判断出厶ABD^A ACE得出BD= CE同⑴的方法得出PMk qBD PN^ qBD即可得出PMk PN,同⑴的方法即可得出结论；⑶ 先判断出MN最大时，△ PMN的面积最大，进而求出AN, AM,即可得出MN最大=A腑AN,最后用面积公式即可得出结论.【自主解答】解：（1）•••点P , N是BC, CD的中点,1••• PN// BD PN=-BD.〜2•••点P , M是CD DE的中点，1•PM/ CE PMI= qCE.•/ AB= AC, AD= AE,•BD= CE•PM= PN.•/ PN// BD•/ DPN=Z ADC•/ PM/ CE• / DP=/ DCA.•••/ BAC= 90° ,• / ADCF Z ACD= 90° , • / MPN=Z DPMM DPN=Z DCAb Z ADC= 90° ,••• PML PN⑵由旋转知，/ BAD=Z CAE•/ AB= AC, A» AE,•△ABD^A ACE(SAS)•••/ ABD=Z ACE BD= CE.1同⑴ 的方法，利用三角形的中位线定理，得PN=尹D,1pg 2CE•PM k PN•••△PMN是等腰三角形，同⑴的方法得，PM/ CE•••/ DPM=/ DCE同⑴的方法得，PN// BD•••/ PNC=Z DBC.•••/ DPN=Z DCBF Z PNC=Z DCBH Z DBC•••/ MPN=Z DPMk Z DPN=Z DCEb Z DCBF Z DBC=Z BCEF Z DBC=Z ACBF Z ACEF Z DBC=Z ACBF Z ABD + Z DBC=Z ACBF Z ABC.•••/ BAC= 90° ,•••/ ACBF Z ABC= 90° ,•••/ MPN= 90° ,•△ PMN是等腰直角三角形，8 N Cl例2题解图(3)如解图，同(2)的方法得，△ PMN是等腰直角三角形,•••当MN最大时，△ PMN的面积最大，• DE// BC且DE在顶点A上面，MN最大=AW AN连接AM AN在厶ADE 中，AD= AE= 4, / DAE= 90° ,••• AMk 2 2在Rt△ ABC中，AB= AC= 10, AN k 5 -'2,• MN最大=2 :'2 + 5 ,：2 = 7 :'2,1 2 1 1 2 1 - 2 49△PMN最大=2^ gMNh 4 X （7、；2）=—.1. (2013 -河南)如图①，将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置，其中/ C= 90°,/ B=/E =30(1) 操作发现如图②，固定△ ABC使厶DEC绕点C旋转，当点D恰好落在AB边上时，填空：①线段DE与AC的位置关系是______________ ;②设△ BDC的面积为$,△ AEC的面积为S2,则S1与S2的数量关系是__________________ .(2) 猜想论证当厶DEC绕点C旋转到如图③所示的位置时，小明猜想(1)中S与S2的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了△ BDC和厶AEC中BC, CE边上的高，请你证明小明的猜想.(3) 拓展探究已知/ABC= 60°，点D是角平分线上一点，BD= CD= 4, DE// AB交BC于点E(如图④).若在射线BA上存在点F,使S^DCF= S^BDE, 请直接写出相应的BF的长.图①图②D为AB边的中点，/ ED「90°,将/ EDF 绕点D旋转，它的两边分2 .已知Rt△ ABC中，BC= AC, / C= 90°,别交AC CB(或它们的延长线)于E, F.当/EDF绕点D旋转到DEL AC 于E时，如图①所示，试证明1S^DEF+ &CEF= •S A ABC・(1)当/EDF绕点D旋转到DE和AC 不垂直时，如图②所示，上述结论是否成立？若成立，请说明理由；若不成立，试说明理由.⑵直接写出图③中，&DEF, & CEF与SU BC之间的数量关系.图①图②图③3. (2018 -郑州模拟)如图①所示，将两个正方形ABCD^正方形CGFE如图所示放置，连接DE, BG.(1)图中/ DC曰/ BCG= _________ ° ;设厶DCE的面积为S i,A BCG的面积为S,则S与S的数量关系为猜想论证：⑵如图②所示，将矩形ABCD绕点C按顺时针方向旋转后得到矩形FECG连接DE BG设厶DCE的面积为S,A BCG的面积为S，猜想S i和S2的数量关系，并加以证明；⑶如图③所示，在△ ABC中，AB= AC= 10 cm,/ B= 30°，把△ ABC沿AC翻折得到厶AEC过点A作AD 平行CE交BC于点D,在线段CE上存在点巳使厶ABP的面积等于△ ACD的面积，请写出CP的长.RG4. (2018 •驻马店一模)如图①，△ ABC与厶CDE都是等腰直角三角形，直角边AC, CD在同一条直线上，点M, N分别是斜边AB, DE的中点，点P为AD的中点，连接AE，BD, PM，PN, MN.(1)观察猜想图①中，PM与PN的数量关系是_______________ ，位置关系是 ______________ ；⑵探究证明将图①中的△ CDE绕着点C顺时针旋转a (0 ° <a< 90° )，得到图②，AE与MP BD分别交于点G H判断A PM”的形状，并说明理由；(3)拓展延伸把厶CDE绕点C任意旋转，若AC= 4, CD= 2,请直接写出△ PMN面积的最大值.图①参考答案类型一针对训练1解：⑴•••点A为线段BC外一动点，且BO a, AB= b,•••当点A位于CB的延长线上时，线段AC的长取得最大值，且最大值为BC+ AB= a + b.⑵①CD= BE理由：•••△ ABD与厶ACE是等边三角形，•AD= AB, AC= AE,Z BAD=Z CAE= 60°,•••/ BADb Z BAC=Z CABF Z BAC 即/ CAD=Z EAB.AD= AB在^。