分数拆分(奥数)

对于运用定律和性质以及数的特点进行巧算和简算，其实大家并不陌生。

今天我们主要是来学习另一种巧算，运用拆分法进行分数的简便运算。

运用拆分法解题主要是拆开后的一些分数相抵消，达到简化运算的目的。

裂项
裂项——实质上是将数列中的每项分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的。

裂差
裂差——就是把一个分数写成两个单位之差的形式。

分数裂差的两种形式
①当分子为1时；如：
②分数不一定是1哦！只要能写成差的形式，都可以进行裂差。

如：
我们来总结一下，可以进行裂差的分数特点：
①分母可以写成两个数的乘积 ②分子恰好是这两个数的差
裂差的标准模式：
需要变形的分数裂差
如果原题没有给你差的裂项符合模式，可以通过构造标准模式得到两个分数差的形式，例如：
①有积的形式，但是没有差的形式：
②通过拆数，来得到裂差模式：
牛刀小试。

分数的拆分专题分析：在英国伦敦的博物馆中，陈列着十九世纪苏格兰考古学家兰特在埃及发现的纸草书，后人称之为兰特纸草书。

在兰特纸草书上，人们发现了独特的埃及分数，这些分子为1的分数用不同的象形文字记载着很多历史古题。

比如7／8＝1／2＋1／4＋1／8，有人按兰特纸草书的记载这样解释：把7个面包平均分给8个人，不但每个人分的数量一样多，而且每人分的块数也一样多。

可以这样分，把其中四个面包每个切成两等份，把另两个面包每个切成四等份，最后一个切成八等份，每人拿大、中、小面包各一份。

这有多妙啊！下面我们就研究一些类似的问题。

例1：把11根糖棒平均分给12个人，每根糖棒同样长，分时一次只能切一根，且要平均分。

问：最少要切几刀？例2：在1/6=1/（）＋1/（）的括号中填入不同的整数使等式成立。

例3：将2/3拆分成两个不同单位分数之和的形式。

例4：在1/（）＋1/（）＋1/（）＋1/（）＋1/（）＋1/（）=1的括号中填入互不相同的自然数，使等式成立。

例5：计算111111... 1223344519202021 ++++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯。

例6：计算11111 144771********* ++++⨯⨯⨯⨯⨯。

例7：计算234100...1(12)(12)(123)(123)(1234)(12...99)(12...100)++++⨯++⨯++++⨯++++++⨯+++例8：计算：1111...12123123 (10)+++++++++++。

练习：1、求出下列各分数所有形如11a b+的表达式，其中a 、b 为不等的整数： 15111 141162、求出17、110、112所有形如11a b -的表达式，其中a 、b 为不等的整数。

3、计算3276912920730341754942870130208304418550+++++++。

4、计算2×4＋4×6＋6×8＋…＋18×20＋20×22＋22×24。

1.7 数的拆分1.7.1 整数的拆分整数的拆分，就是把一个自然数表示成为若干个自然数的和的形式，每一种表示方法，就是自然数的一个分拆。

整数的分拆是古老而又风趣的问题，此中最有名的是哥德巴赫猜想。

在国内外数学比赛中，整数分拆的问题经常以各样形式出现，如，存在性问题、计数问题、最优化问题等。

例 1 电视台要播放一部 30 集电视连续剧，若要求每日安排播出的集数互不相等，则该电视连续剧最多能够播几日？剖析与解：因为希望播出的天数尽可能地多，所以，在每日播出的集数互不相等的条件下，每日播放的集数应尽可能地少。

我们知道， 1+2+3+4+5+6+7=28 。

假如各天播出的集数分别为1，2，3，4，5，6，7 时，那么七天共可播出28 集，还剩 2 集未播出。

因为已有过一天播出 2 集的情况，所以，这余下的 2 集不可以再独自于一天播出，而只能把它们分到从前的日子，经过变动某一天或某二天播出的集数，来解决这个问题。

比如，各天播出的集数安排为1， 2，3， 4，5， 7， 8 或 1，2， 3， 4， 5， 6， 9 都能够。

所以最多能够播7 天。

例 2 有面值为 1 分、 2 分、 5 分的硬币各 4 枚，用它们去支付 2 角 3 分。

问：有多少种不一样支付方法？剖析与解：要付 2 角 3 分钱，最多只能使用 4 枚 5 分币。

因为所有 1 分和 2 分币都用上时，共值12 分，所以最少要用 3 枚 5 分币。

当使用 3 枚 5 分币时， 5× 3=15，23-15=8 ，所以使用 2 分币最多 4 枚，最少 2 枚，可有23=15+（ 2+2+2+2 ），23=15+（ 2+2+2+1+1 ），23=15+（ 2+2+1+1+1+1 ），共 3 种支付方法。

当使用 4 枚 5 分币时， 5× 4=20，23-20=3 ，所以最多使用 1 枚 2 分币，或不使用，进而可有23=20+（ 2+1 ），23=20+（ 1+1+1 ），共 2 种支付方法。

解析：原式
答案
变式训练2计算：
解析：原式＝ ＋ ＋…+ + +…+
＝ ( － )＋ ( － )
＝ ＋ ＝ ＋
＝
答案
变式训练3
解析：原式
答案
变式训练4
解析： ＝ ＝ － ＝ －
＝ ＝ － ＝ －
＝ ＝ － ＝ － ……
＝ ＝ －
＝ －
原式
答案
例9
解析：原式
答案
变式训练1
解析：原式
答案
例10计算： ．
解析：如果式子中每一项的分子都相同，那么就是一道很常见的分数裂项的题目．但是本题中分子不相同，而是成等差数列，且等差数列的公差为2．相比较于2，4，6，……这一公差为2的等差数列(该数列的第 个数恰好为 的2倍)，原式中分子所成的等差数列每一项都比其大3，所以可以先把原式中每一项的分子都分成3与另一个的和再进行计算．
观察可知 ， ，……即每一项的分子都等于分母中前两个乘数的和，所以
所以原式 ．
（法二）
上面的方法是最直观的转化方法，但不是唯一的转化方法．由于分子成等差数列，而等差数列的通项公式为 ，其中 为公差．如果能把分子变成这样的形式，再将 与 分开，每一项都变成两个分数，接下来就可以裂项了．
，
所以原式 ．
（法三）
解析：原式
答案
例19 计算：
解析：
所以原式
答案
（2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接”
（3）分母上几个因数间的差是一个定值。
2、“裂和”型运算：
常见的裂和型运算主要有以下两种形式：
（1） （2）
裂和型运算与裂差型运算的对比：