2013届高考数学一轮复习精品学案：第34讲 直线与圆锥曲线的位置关系

1．无 一个 两个 (1)①相交 ②相切 ③相离
(2)平行或重合 平行或重合
2．(1)－ba
c a
1＋k2|x1－x2|＝
1＋k2
b2－4ac
|a|
直线 y＝kx－k＋1 与椭圆x92＋y42＝1 的位置关系 是( )
A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定
解：由于直线 y＝kx－k＋1＝k(x－1)＋1 过定点
圆锥曲线________．
(2)注意消元后非二次的情况，即当 a＝0 时，对应圆锥曲线只
可能是双曲线或抛物线．
当圆锥曲线是双曲线时，直线 l 与双曲线的渐近线的位置关 系是________；当圆锥曲线是抛物线时，直线 l 与抛物线的对称
轴的位置关系是________． (3)直线方程涉及斜率 k 要考虑其不存在的情形．
2．直线与圆锥曲线相交的弦长问题
(1)直线 l：y＝kx＋m 与二次曲线 C：f(x，y)＝0 交
于 A，B 两点，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，由fy（＝xk，x＋y）m，＝0
得 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，则 x1＋x2＝________，x1x2＝
________
，
|AB|
由点 P(－12，y0)在线段 BB′上(B′，B 为直线 x＝－12与椭圆的交点，如
图所示)，所以 yB′＜y0＜yB，即－ 3＜y0＜ 3． 所以－3 4 3＜m＜3 4 3，又 k≠0，则 y0＝－2k≠0，从而有 m≠0． 故 m 的取值范围为(－3 4 3，0)∪(0，3 4 3)．
类型二 定点问题
抛物线 C 的顶点为原点，焦点在 x 轴上，直线
x－y＝0 与抛物线 C 交于 A，B 两点，若 P(1，1)为线

的方程为__x_2___y_2___1 _ 25 75
5.双曲线 x2 y2 1的左焦点F,P为双曲线在第
三象限内的任一点,则直线PF的斜率k的取值范围是
__k<__0_或__k>__1
3
6.过抛物线 y 2 4 x 的焦点,且倾斜角为 4 的直线
交抛物线于P,Q两点,则三角形OPQ的面积是
____2___2 ____
直线与双曲线的 渐进线平行
相交（一个交点）
得到一元二次方程 计算判别式
>0 =0 <0 相交 相切 相离
直线与抛物线 把直线方程代入抛物线方程
得到一元一次方程 得到一元二别式大于 0，相交 判别式等于 0，相切 判别式小于 0，相离
判断直线与曲线位置关系的操作程序 把直线方程代入曲线方程
例题一
已知椭圆C的一个顶点为A(0,-1),焦点在x轴 上,且其右焦点到直线x-y+2 2 =0的距离是3.
(1) 求椭圆C的方程.
(2) 试问能否找到一条斜率为k(k≠0)的直线l, 使得l与椭圆交于两个不同点M,N且使AM与AN 的长度相等,并指出k的取值范围.
x2 y2 1 3
-1<k<1(k≠0)时存在 满足条件的直线l
[精]高三第一轮复习全套课件8圆锥曲 线方程：直线与圆锥曲线的位置关系
服从真理，就能征服一切事物
【复习目标】
1.在计算直线与圆锥曲线相交弦长或弦中点等相 关问题时,能够运用一元二次方程根与系数的关 系简化运算,如在计算相交弦长可运用弦长公式
A B 1k2 x1x224x1x2 或
AB 1k12y1y224y1y2
不存在,说明理由.
0k2 或 2k4
6x2 2y2 1

高考数学（理科）一轮复习直线与圆锥曲线的位置关系学案本资料为woRD文档，请点击下载地址下载全文下载地址学案54 直线与圆锥曲线的位置关系导学目标：1.了解圆锥曲线的简单应用.2.理解数形结合的思想．自主梳理．直线与椭圆的位置关系的判定方法将直线方程与椭圆方程联立，消去一个未知数，得到一个一元二次方程，若Δ&gt;0，则直线与椭圆________；若Δ＝0，则直线与椭圆________；若Δ&lt;0，则直线与椭圆________．直线与双曲线的位置关系的判定方法将直线方程与双曲线方程联立消去y，得到一个一元方程ax2＋bx＋c＝0.①若a≠0，当Δ&gt;0时，直线与双曲线________；当Δ＝0时，直线与双曲线________；当Δ&lt;0时，直线与双曲线________．②若a＝0时，直线与渐近线平行，与双曲线有________交点．直线与抛物线位置关系的判定方法将直线方程与抛物线方程联立，消去y，得到一个一元方程ax2＋bx＋c＝0.①当a≠0，用Δ判定，方法同上．②当a＝0时，直线与抛物线的对称轴________，只有________交点．2．已知弦AB的中点，研究AB的斜率和方程AB是椭圆x2a2＋y2b2＝1的一条弦，m是AB的中点，则kAB＝________，kAB&#8226;kom＝__________.点差法求弦的斜率的步骤是：①将端点坐标代入方程：x21a2＋y21b2＝1，x22a2＋y22b2＝1.②两等式对应相减：x21a2－x22a2＋y21b2－y22b2＝0.③分解因式整理：kAB＝y1－y2x1－x2＝－b2&#61480;x1＋x2&#61481;a2&#61480;y1＋y2&#61481;＝－b2x0a2y0.运用类比的手法可以推出：已知AB是双曲线x2a2－y2b2＝1的弦，中点m，则kAB＝__________________.已知抛物线y2＝2px的弦AB的中点m，则kAB＝____________.3．弦长公式直线l：y＝kx＋b与圆锥曲线c：F＝0交于A，B两点，则|AB|＝1＋k2|x1－x2|＝1＋k2&#61480;x1＋x2&#61481;2－4x1x2或|AB|＝1＋1k2|y1－y2|＝1＋1k2&#8226;&#61480;y1＋y2&#61481;2－4y1y2.自我检测．抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l，经过F且斜率为3的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A，Ak⊥l，垂足为k，则△AkF的面积是A．4B．33c．43D．82．与抛物线x2＝4y关于直线x＋y＝0对称的抛物线的焦点坐标是A．B.116，0c．D.0，－1163．已知曲线x2a＋y2b＝1和直线ax＋by＋1＝0，在同一坐标系中，它们的图形可能是4．过点0，－12的直线l与抛物线y＝－x2交于A、B 两点，o为坐标原点，则oA→&#8226;oB→的值为A．－12B．－14c．－4D．无法确定探究点一直线与圆锥曲线的位置关系例1 k为何值时，直线y＝kx＋2和曲线2x2＋3y2＝6有两个公共点？有一个公共点？没有公共点？变式迁移1 已知抛物线c的方程为x2＝12y，过A，B 两点的直线与抛物线c没有公共点，则实数t的取值范围是A．∪B.－∞，－22∪22，＋∞c．∪D．∪探究点二圆锥曲线中的弦长问题例2 如图所示，直线y＝kx＋b与椭圆x24＋y2＝1交于A、B两点，记△AoB的面积为S.求在k＝0,0&lt;b&lt;1的条件下，S的最大值；当|AB|＝2，S＝1时，求直线AB的方程．变式迁移2 已知椭圆的两焦点为F1，F2，离心率e＝32.求椭圆的标准方程；设直线l：y＝x＋m，若l与椭圆相交于P，Q两点，且|PQ|等于椭圆的短轴长，求m的值．探究点三求参数的范围问题例3 直线m：y＝kx＋1和双曲线x2－y2＝1的左支交于A、B两点，直线l过点P和线段AB的中点m，求l在y 轴上的截距b的取值范围．变式迁移3 在平面直角坐标系xoy中，经过点且斜率为k的直线l与椭圆x22＋y2＝1有两个不同的交点P和Q.求k的取值范围；设椭圆与x轴正半轴、y轴正半轴的交点分别为A、B，是否存在常数k，使得向量oP→＋oQ→与AB→共线？如果存在，求k值；如果不存在，请说明理由．函数思想的应用例已知椭圆c的方程为x2a2＋y2b2＝1，双曲线x2a2－y2b2＝1的两条渐近线为l1，l2，过椭圆c的右焦点F作直线l，使l⊥l1，又l与l2交于P点，设l与椭圆c的两个交点由上至下依次为A，B.当l1与l2夹角为60°，双曲线的焦距为4时，求椭圆c的方程及离心率；求|FA||AP|的最大值．【答题模板】解双曲线的渐近线为y＝±bax，两渐近线夹角为60°，又ba&lt;1，∴∠Pox＝30°，∴ba＝tan30°＝33，∴a＝3b.又a2＋b2＝22，∴3b2＋b2＝4，[2分]∴b2＝1，a2＝3，∴椭圆c的方程为x23＋y2＝1，∴离心率e＝a2－b2a＝63.[4分]由已知，l：y＝ab与y＝bax联立，解方程组得Pa2c，abc.[6分]设|FA||AP|＝λ，则FA→＝λAP→，∵F，设A，则＝λa2c－x0，abc－y0，∴x0＝c＋λ&#8226;a2c1＋λ，y0＝λ&#8226;abc1＋λ.即Ac＋λ&#8226;a2c1＋λ，λ&#8226;abc1＋λ.[8分] 将A点坐标代入椭圆方程，得2＋λ2a4＝2a2c2，等式两边同除以a4，2＋λ2＝e22，e∈，[10分]∴λ2＝e4－e2e2－2＝－&#61480;2－e2&#61481;＋22－e2＋3≤－2&#61480;2－e2&#61481;&#8226;22－e2＋3＝3－22＝2，∴当2－e2＝2，即e2＝2－2时，λ有最大值2－1，即|FA||AP|的最大值为2－1.[12分]【突破思维障碍】最值问题是从动态角度去研究解析几何中数学问题的主要内容，一是在准确把握题意的基础上，建立函数、不等式模型，利用二次函数、三角函数的有界性、基本不等式解决；二是利用数形结合，考虑相切、相交的几何意义解决．【易错点剖析】不能把|FA||AP|转化成向量问题，使得运算繁琐造成错误，由λ2＝e4－e2e2－2不会求最值或忽视e2－2&lt;0这个隐含条件．．直线与圆锥曲线的位置关系是解析几何的重点内容之一，也是高考的热点，这类问题往往与函数、不等式、三角、向量等知识综合、交汇考查，而且对综合能力的考查显见其中．因此解决此类问题需要有较广的知识面及较强的解决问题的能力．2．从题目类型上多见于与弦的中点、弦长、弦所在直线的斜率等有关的最值问题、参数范围问题．基本思路就是直线方程与圆锥曲线方程联立消元得到形如ax2＋bx＋c＝0的方程，由韦达定理得x1＋x2＝－ba，x1x2＝ca.然后再把要研究的问题转化为用x1＋x2和x1x2去表示．最后，用函数、不等式等知识加以解决．需要注意的就是要注意对隐含条件的挖掘，比如判别式Δ≥0，圆锥曲线中有关量的固有范围等．一、选择题．F1、F2是椭圆x2a2＋y2b2＝1的两个焦点，P是椭圆上任一点，从任一焦点引∠F1PF2的外角平分线的垂线，垂足为Q，则点Q的轨迹为A．圆B．椭圆c．双曲线D．抛物线2．若双曲线x29－y24＝1的渐近线上的点A与双曲线的右焦点F的距离最小，抛物线y2＝2px通过点A，则p的值为A.92B．2c.21313D.13133．已知直线l1：4x－3y＋6＝0和直线l2：x＝－1，抛物线y2＝4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是A．2B．3c.115D.37164．已知直线y＝k与抛物线c：y2＝8x相交于A、B两点，F为c的焦点．若|FA|＝2|FB|，则k等于A.13B.23c.23D.2235．斜率为1的直线l与椭圆x24＋y2＝1相交于A、B 两点，则|AB|的最大值为A．2B.455c.4105D.8105二、填空题6．若直线y＝kx＋1与焦点在x轴上的椭圆x25＋y2t ＝1恒有公共点，则t的范围是______________．7．P为双曲线x2－y215＝1右支上一点，m、N分别是圆2＋y2＝4和2＋y2＝1上的点，则|Pm|－|PN|的最大值为________．8．已知抛物线c：y2＝2px的准线为l，过m且斜率为3的直线与l相交于点A，与c的一个交点为B，若Am→＝mB→，则p＝________.三、解答题9．已知抛物线y＝－x2＋3上存在关于直线x＋y＝0对称的相异两点A、B，求|AB|的长．0．已知椭圆x2a2＋y2b2＝1的离心率e＝32，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4.求椭圆的方程；设直线l与椭圆相交于不同的两点A，B，已知点A的坐标为，点Q在线段AB的垂直平分线上，且QA→&#8226;QB →＝4，求y0的值．11．P是双曲线E：x2a2－y2b2＝1上一点，m，N分别是双曲线E的左，右顶点，直线Pm，PN的斜率之积为15.求双曲线的离心率；过双曲线E的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于A，B 两点，o为坐标原点，c为双曲线上一点，满足oc→＝λoA →＋oB→，求λ的值．学案54 直线与圆锥曲线的位置关系自主梳理．相交相切相离①相交相切相离②一个②平行一个 2.－b2x0a2y0－b2a2b2x0a2y0 py0自我检测．c 2.c 3.c 4.B课堂活动区例1 解题导引用直线方程和圆锥曲线方程组成的方程组解的个数，可以研究直线与圆锥曲线的位置关系，也就是用代数的方法研究几何问题，这是解析几何的重要思想方法．方程组消元后要注意所得方程的二次项系数是否含有参数，若含参数，需按二次项系数是否为零进行分类讨论，只有二次项系数不为零时，方程才是一元二次方程，后面才可以用判别式Δ的符号判断方程解的个数，从而说明直线与圆锥曲线的位置关系．解由y＝kx＋2，2x2＋3y2＝6，得2x2＋32＝6，即x2＋12kx＋6＝0，Δ＝144k2－24＝72k2－48.当Δ＝72k2－48&gt;0，即k&gt;63或k&lt;－63时，直线和曲线有两个公共点；当Δ＝72k2－48＝0，即k＝63或k＝－63时，直线和曲线有一个公共点；当Δ＝72k2－48&lt;0，即－63&lt;k&lt;63时，直线和曲线没有公共点．变式迁移1 D [直线AB的方程为y＝4tx－1，与抛物线方程x2＝12y联立得x2－2tx＋12＝0，由于直线AB与抛物线c没有公共点，所以Δ＝4t2－2&lt;0，解得t&gt;2或t&lt;－2.]例2 解题导引本题主要考查椭圆的几何性质、椭圆与直线的位置关系等基础知识，考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力．“设而不求”是解决直线与圆锥曲线交点问题的基本方法．当所求弦为焦点弦时，可结合圆锥曲线的定义求解．解设点A的坐标为，点B的坐标为，由x24＋y2＝1，解得x1,2＝±21－b2，所以S＝12b|x1－x2|＝2b1－b2≤b2＋1－b2＝1.当且仅当b＝22时，S取到最大值1.由y＝kx＋bx24＋y2＝1得x2＋8kbx＋4b2－4＝0，Δ＝16．①|AB|＝1＋k2|x1－x2|＝1＋k2&#8226;16&#61480;4k2－b2＋1&#61481;4k2＋1＝2.②又因为o到AB的距离d＝|b|1＋k2＝2S|AB|＝1，所以b2＝k2＋1.③将③代入②并整理，得4k4－4k2＋1＝0，解得k2＝12，b2＝32，代入①式检查，Δ&gt;0.故直线AB的方程是：y＝22x＋62或y＝22x－62或y＝－22x＋62或y＝－22x－62.变式迁移2 解设椭圆方程为x2a2＋y2b2＝1，则c＝3，ca＝32.∴a＝2，b＝1.∴所求椭圆方程为x24＋y2＝1.由y＝x＋m，x24＋y2＝1，消去y得关于x的方程：5x2＋8mx＋4＝0，则Δ＝64m2－80&gt;0，解得m2&lt;5.设P，Q，则x1＋x2＝－85m，x1x2＝4&#61480;m2－1&#61481;5，y1－y2＝x1－x2，∴|PQ|＝&#61480;x1－x2&#61481;2＋&#61480;y1－y2&#61481;2＝2&#61480;x1－x2&#61481;2＝2－85m2－165&#61480;m2－1&#61481;＝2，解得m2＝158，满足，∴m＝±304.例3 解题导引直线与圆锥曲线的位置关系从代数的角度来看，就是直线方程与圆锥曲线的方程组成的方程组有无解的问题，结合判别式Δ研究，利用设而不求与整体代入等技巧与方法，从而延伸出一些复杂的参数范围的研究．解由y＝kx＋1x2－y2＝1得x2＋2kx＋2＝0.设A，B，则Δ＝4k2＋8&#61480;1－k2&#61481;&gt;0x1＋x2＝2k1－k2&lt;0x1x2＝－21－k2&gt;0，∴1&lt;k&lt;2.设m，由x0＝x1＋x22＝k1－k2y0＝y1＋y22＝11－k2，设l与y轴的交点为Q，则由P，mk1－k2，11－k2，Q三点共线得b＝2－2k2＋k＋2，设f＝－2k2＋k＋2，则f在上单调递减，∴f∈，∴b∈∪．变式迁移3 解由已知条件，直线l的方程为y＝kx ＋2，代入椭圆方程得x22＋2＝1，整理得12＋k2x2＋22kx＋1＝0.①直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q等价于Δ＝8k2－412＋k2＝4k2－2&gt;0，解得k&lt;－22或k&gt;22.即k的取值范围为－∞，－22∪22，＋∞.设P，Q，则oP→＋oQ→＝，由方程①，x1＋x2＝－42k1＋2k2.②又y1＋y2＝k＋22.③而A，B，AB→＝．所以oP→＋oQ→与AB→共线等价于x1＋x2＝－2，将②③代入上式，解得k＝22.由知k&lt;－22或k&gt;22，故没有符合题意的常数k.课后练习区．A 2.c 3.A 4.D 5.c6．[1,5) 7.5 8.29．解设直线AB的方程为y＝x＋b，由y＝－x2＋3，y＝x＋b，消去y得x2＋x＋b－3＝0，∴x1＋x2＝－1.于是AB的中点m，且Δ＝1－4&gt;0，即b&lt;134.又m在直线x＋y＝0上，∴b＝1符合．∴x2＋x－2＝0.由弦长公式可得|AB|＝1＋12&#61480;－1&#61481;2－4×&#61480;－2&#61481;＝32.0．解由e＝ca＝32，得3a2＝4c2.再由c2＝a2－b2，得a＝2b.由题意可知12×2a×2b＝4，即ab＝2.解方程组a＝2b，ab＝2，得a＝2，b＝1.所以椭圆的方程为x24＋y2＝1.由可知A，且直线l的斜率必存在．设B点的坐标为，直线l的斜率为k，则直线l的方程为y＝k．于是A，B两点的坐标满足方程组y＝k&#61480;x＋2&#61481;，x24＋y2＝1.由方程组消去y并整理，得x2＋16k2x＋＝0.由根与系数的关系，得－2x1＝16k2－41＋4k2，所以x1＝2－8k21＋4k2，从而y1＝4k1＋4k2.设线段AB的中点为m，则m的坐标为．以下分两种情况讨论：①当k＝0时，点B的坐标是，线段AB的垂直平分线为y轴，于是QA→＝，QB→＝．由QA→&#8226;QB→＝4，得y0＝±22.②当k≠0时，线段AB的垂直平分线的方程为y－2k1＋4k2＝－1k．令x＝0，解得y0＝－6k1＋4k2.由QA→＝，QB→＝，QA→&#8226;QB→＝－2x1－y0＝－2&#61480;2－8k2&#61481;1＋4k2＋6k1＋4k2＝4&#61480;16k4＋15k2－1&#61481;&#61480;1＋4k2&#61481;2＝4，整理得7k2＝2，故k＝±147.所以y0＝±2145.综上，y0＝±22或y0＝±2145.1．解由点P在双曲线x2a2－y2b2＝1上，有x20a2－y20b2＝1.由题意有y0x0－a&#8226;y0x0＋a＝15，可得a2＝5b2，c2＝a2＋b2＝6b2，e＝ca＝305.联立x2－5y2＝5b2，y＝x－c，得4x2－10cx＋35b2＝0.设A，B，则x1＋x2＝5c2，x1x2＝35b24.①设oc→＝，oc→＝λoA→＋oB→，即x3＝λx1＋x2，y3＝λy1＋y2.又c为双曲线上一点，即x23－5y23＝5b2，有2－52＝5b2.化简得λ2＋＋2λ＝5b2.②又A，B在双曲线上，所以x21－5y21＝5b2，x22－5y22＝5b2.由①式又有x1x2－5y1y2＝x1x2－5＝－4x1x2＋5c－5c2＝10b2，②式可化为λ2＋4λ＝0，解得λ＝0或λ＝－4.。

第九节 圆锥曲线的综合问题 第一课时 直线与圆锥曲线的位置关系1．直线与圆锥曲线的位置关系(1)能解决直线与椭圆、抛物线的位置关系等问题． (2)理解数形结合的思想． (3)了解圆锥曲线的简单应用． 2．定值(定点)与最值问题理解基本几何量，如：斜率、距离、面积等概念，掌握与圆锥曲线有关的定值(定点)、最值问题．3．存在性问题能够合理转化，掌握与圆锥曲线有关的存在性问题．知识点一 直线与圆锥曲线的位置关系判断直线l 与圆锥曲线C 的位置关系时，通常将直线l 的方程Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为0)代入圆锥曲线C 的方程F (x ，y )＝0，消去y (也可以消去x )得到一个关于变量x (或变量y )的一元方程．即⎩⎪⎨⎪⎧Ax ＋By ＋C ＝0，F (x ，y )＝0，消去y ，得ax 2＋bx ＋c ＝0. (1)当a ≠0时，设一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的判别式为Δ，则Δ>0⇔直线与圆锥曲线C 相交；Δ＝0⇔直线与圆锥曲线C 相切； Δ<0⇔直线与圆锥曲线C 相离．(2)当a ＝0，b ≠0时，即得到一个一次方程，则直线l 与圆锥曲线C 相交，且只有一个交点，此时，若C 为双曲线，则直线l 与双曲线的渐近线的位置关系是平行；若C 为抛物线，则直线l 与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合．易误提醒 (1)直线与双曲线交于一点时，易误认为直线与双曲线相切，事实上不一定相切，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交于一点．(2)直线与抛物线交于一点时，除直线与抛物线相切外易忽视直线与对称轴平行时也相交于一点．[自测练习]1．若过点(0,1)作直线，使它与抛物线y 2＝4x 仅有一个公共点，则这样的直线有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条D ．4条解析：结合图形(图略)分析可知，满足题意的直线共有3条：直线x ＝0，过点(0,1)且平行于x 轴的直线以及过点(0,1)且与抛物线相切的直线(非直线x ＝0)，故选C.答案：C2．直线y ＝kx －k ＋1与椭圆x 29＋y 24＝1的位置关系为( )A ．相交B ．相切C ．相离D ．不确定解析：直线y ＝kx －k ＋1＝k (x －1)＋1恒过定点(1,1)，又点(1,1)在椭圆内部，故直线与椭圆相交．答案：A知识点二 弦长问题设斜率为k (k ≠0)的直线l 与圆锥曲线C 相交于A ，B 两点，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 |AB |＝1＋k 2|x 1－x 2| ＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝1＋1k 2·|y 1－y 2| ＝1＋1k2·(y 1＋y 2)2－4y 1y 2. 必备方法 遇到中点弦问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解．在椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1中，以P (x 0，y 0)为中点的弦所在直线的斜率k ＝－b 2x 0a 2y 0；在双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1中，以P (x 0，y 0)为中点的弦所在直线的斜率k ＝b 2x 0a 2y 0；在抛物线y 2＝2px 中，以P (x 0，y 0)为中点的弦所在直线的斜率k ＝py 0.[自测练习]3．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，F (2，0)为其右焦点，过F 且垂直于x 轴的直线与椭圆相交所得的弦长为2.则椭圆C 的方程为________．解析：则由题意得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2，b2a ＝1，a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝2，∴椭圆C 的方程为x 24＋y 22＝1.答案：x 24＋y 22＝14．已知抛物线y ＝ax 2的焦点到准线的距离为2，则直线y ＝x ＋1截抛物线所得的弦长等于________．解析：由题设p ＝12a ＝2，∴a ＝14.抛物线方程为y ＝14x 2，焦点为F (0,1)，准线为y ＝－1.直线过焦点F ，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝14x 2，y ＝x ＋1，消去x ，整理得y 2－6y ＋1＝0，∴y 1＋y 2＝6， ∴所得弦|AB |＝|AF |＋|BF |＝y 1＋1＋y 2＋1＝8. 答案：8考点一 直线与圆锥曲线的位置关系|1．(2016·兰州检测)若直线mx ＋ny ＝4和圆O ：x 2＋y 2＝4没有交点，则过点(m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 24＝1的交点个数为( )A ．至多一个B ．2C ．1D ．0解析：∵直线mx ＋ny ＝4和圆O ：x 2＋y 2＝4没有交点，∴4m 2＋n2>2，∴m 2＋n 2<4.∴m 29＋n 24<m 29＋4－m 24＝1－536m 2<1，∴点(m ，n )在椭圆x 29＋y 24＝1的内部，∴过点(m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 24＝1的交点有2个，故选B.答案：B2．若直线y ＝kx ＋2与双曲线x 2－y 2＝6的右支交于不同的两点，则k 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫－153，153 B.⎝⎛⎭⎫0，153 C.⎝⎛⎭⎫－153，0 D.⎝⎛⎭⎫－153，－1 解析：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2，x 2－y 2＝6，得(1－k 2)x 2－4kx －10＝0.设直线与双曲线右支交于不同的两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧1－k 2≠0，Δ＝16k 2－4(1－k 2)×(－10)>0，x 1＋x 2＝4k1－k2>0，x 1x 2＝－101－k2>0，解得－153<k <－1. 答案：D考点二 弦长问题|已知F 1，F 2是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两个焦点，O 为坐标原点，点P ⎝⎛⎭⎫－1，22在椭圆上，且PF 1→·F 1F 2→＝0，⊙O 是以F 1F 2为直径的圆，直线l ：y ＝kx ＋m 与⊙O 相切，并且与椭圆交于不同的两点A ，B .(1)求椭圆的标准方程；(2)当OA →·OB →＝λ，且满足23≤λ≤34时，求弦长|AB |的取值范围．[解] (1)依题意，可知PF 1⊥F 1F 2，∴c ＝1，1a 2＋12b 2＝1，a 2＝b 2＋c 2，解得a 2＝2，b 2＝1，c 2＝1.∴椭圆的方程为x 22＋y 2＝1.(2)直线l ：y ＝kx ＋m 与⊙O ：x 2＋y 2＝1相切，则|m |k 2＋1＝1，即m 2＝k 2＋1，由⎩⎪⎨⎪⎧x 22＋y 2＝1，y ＝kx ＋m ，得(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2－2＝0， ∵直线l 与椭圆交于不同的两点A ，B . 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． ∴Δ>0⇒k 2>0⇒k ≠0，x 1＋x 2＝－4km1＋2k 2，x 1x 2＝2m 2－21＋2k 2，y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝k 2x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2＝m 2－2k 21＋2k 2＝1－k 21＋2k 2，∴OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝1＋k 21＋2k 2＝λ∴23≤1＋k 21＋2k 2≤34，∴12≤k 2≤1， ∴|AB |＝1＋k 2(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝22(k 4＋k 2)4(k 4＋k 2)＋1设u ＝k 4＋k 2⎝⎛⎭⎫12≤k 2≤1， 则34≤u ≤2，|AB |＝22u4u ＋1＝212－12(4u ＋1)，u ∈⎣⎡⎦⎤34，2， ∵|AB |(u )在⎣⎡⎦⎤34，2上单调递增， ∴62≤|AB |≤43. 解决弦长问题的注意点(1)利用弦长公式求弦长要注意斜率k 不存在的情形，若k 不存在时，可直接求交点坐标再求弦长．(2)涉及焦点弦长时要注意圆锥曲线定义的应用．已知抛物线y 2＝8x 的焦点为F ，直线y ＝k (x －2)与此抛物线相交于P ，Q 两点，则1|FP |＋1|FQ |＝( ) A.12 B ．1 C ．2D ．4解析：设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，由题意可知， |PF |＝x 1＋2，|QF |＝x 2＋2，则1|FP |＋1|FQ |＝1x 1＋2＋1x 2＋2＝x 1＋x 2＋4x 1x 2＋2(x 1＋x 2)＋4，联立直线与抛物线方程消去y 得，k 2x 2－(4k 2＋8)x ＋4k 2＝0，可知x 1x 2＝4，故1|FP |＋1|FQ |＝x 1＋x 2＋4x 1x 2＋2(x 1＋x 2)＋4＝x 1＋x 2＋42(x 1＋x 2)＋8＝12.故选A.答案：A考点三 中点弦问题|弦的中点问题是考查直线与圆锥曲线位置关系的命题热点．归纳起来常见的探究角度有：1．由中点弦确定直线方程． 2．由中点弦确定曲线方程． 3．由中点弦解决对称问题． 探究一 由中点弦确定直线方程1．已知(4,2)是直线l 被椭圆x 236＋y 29＝1所截得的线段的中点，则l 的方程是________________．解析：设直线l 与椭圆相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．则x 2136＋y 219＝1，且x 2236＋y 229＝1， 两式相减得y 1－y 2x 1－x 2＝－x 1＋x 24(y 1＋y 2).又x 1＋x 2＝8，y 1＋y 2＝4，所以y 1－y 2x 1－x 2＝－12，故直线l 的方程为y －2＝－12(x －4)，即x ＋2y －8＝0.答案：x ＋2y －8＝0探究二 由中点弦确定曲线方程2．过点M (2，－2p )作抛物线x 2＝2py (p >0)的两条切线，切点分别为A ，B ，若线段AB 的中点的纵坐标为6，则抛物线方程为________．解析：设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，依题意得，y ′＝x p ，切线MA 的方程是y －y 1＝x 1p (x－x 1)，即y ＝x 1p x －x 212p .又点M (2，－2p )位于直线MA 上，于是有－2p ＝x 1p ×2－x 212p，即x 21－4x 1－4p 2＝0；同理有x 22－4x 2－4p 2＝0，因此x 1，x 2是方程x 2－4x －4p 2＝0的两根，则x 1＋x 2＝4，x 1x 2＝－4p 2.由线段AB 的中点的纵坐标是6得，y 1＋y 2＝12，即x 21＋x 222p ＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 22p＝12，16＋8p 22p＝12，解得p ＝1或p ＝2.答案：x 2＝2y 或x 2＝4y探究三 由中点弦解决对称问题3．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ，b >0)上的一点到双曲线的左、右焦点的距离之差为4，若抛物线y ＝ax 2上的两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)关于直线y ＝x ＋m 对称，且x 1x 2＝－12，则m 的值为( )A.32 B.52 C ．2D ．3解析：由双曲线的定义知2a ＝4，得a ＝2，所以抛物线的方程为y ＝2x 2.因为点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)在抛物线y ＝2x 2上，所以y 1＝2x 21，y 2＝2x 22，两式相减得y 1－y 2＝2(x 1－x 2)(x 1＋x 2)，不妨设x 1<x 2，又A ，B 关于直线y ＝x ＋m 对称，所以y 1－y 2x 1－x 2＝－1，故x 1＋x 2＝－12，而x 1x 2＝－12，解得x 1＝－1，x 2＝12，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)的中点为M (x 0，y 0)，则x 0＝x 1＋x 22＝－14，y 0＝y 1＋y 22＝2x 21＋2x 222＝54，因为中点M 在直线y ＝x ＋m 上，所以54＝－14＋m ，解得m＝32，选A. 答案：A对于中点弦问题，常用的解题方法是平方差法．其解题步骤为 ①设点：即设出弦的两端点坐标． ②代入：即代入圆锥曲线方程．③作差：即两式相减，再用平方差公式把上式展开． ④整理：即转化为斜率与中点坐标的关系式，然后求解．28.设而不求整体变换思想在圆锥曲线结合问题中的应用【典例】 (2016·台州模拟)设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个顶点与抛物线C ：x 2＝43y 的焦点重合，F 1，F 2分别是椭圆的左、右焦点，且离心率e ＝12，过椭圆右焦点F 2的直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点．(1)求椭圆C 的方程；(2)若OM →·ON →＝－2，求直线l 的方程；(3)若AB 是椭圆C 经过原点O 的弦，MN ∥AB ，求证：|AB |2|MN |为定值．[思维点拨](1)待定系数法求a ，b .(2)注意判断l 的斜率是否存在．(3)利用弦长公式表示出|AB |，|MN |后整体变形得结论．[解] (1)椭圆的顶点为(0，3)，即b ＝3，e ＝c a ＝12，∴a ＝2，∴椭圆的标准方程为x 24＋y 23＝1. (2)由题可知，直线l 与椭圆必相交． ①当直线斜率不存在时，经检验不合题意．②当斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)， 且M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，y ＝k (x －1)，得(3＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0，x 1＋x 2＝8k 23＋4k 2，x 1x 2＝4k 2－123＋4k 2，OM →·ON →＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋k 2[x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1]＝4k 2－123＋4k 2＋k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫4k 2－123＋4k 2－8k 23＋4k 2＋1＝－5k 2－123＋4k 2＝－2，解得k ＝±2，故直线l 的方程为y ＝2(x －1)或y ＝－2(x －1)． (3)证明：设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，A (x 3，y 3)，B (x 4，y 4)， 由(2)可得|MN |＝1＋k 2|x 1－x 2| ＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2] ＝(1＋k 2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎫8k 23＋4k 22－4⎝ ⎛⎭⎪⎫4k 2－123＋4k 2＝12(k 2＋1)3＋4k 2，由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，y ＝kx 消去y 并整理得x 2＝123＋4k 2，|AB |＝1＋k 2|x 3－x 4|＝43(1＋k 2)3＋4k 2，∴|AB |2|MN |＝48(1＋k 2)3＋4k 212(k 2＋1)3＋4k 2＝4，为定值． [方法点评] 对题目涉及的变量巧妙的引进参数(如设动点坐标、动直线方程等)，利用题目的条件和圆锥曲线方程组成二元二次方程组，再化为一元二次方程，从而利用根与系数的关系进行整体代换，达到“设而不求，减少计算”的效果，直接得定值.A 组 考点能力演练1．直线y ＝b a x ＋3与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的交点个数是( )A ．1B ．2C ．1或2D ．0解析：因为直线y ＝b a x ＋3与双曲线的渐近线y ＝ba x 平行，所以它与双曲线只有1个交点．答案：A2．(2016·福州质检)抛物线C 的顶点为原点，焦点在x 轴上，直线x －y ＝0与抛物线C 交于A ，B 两点，若P (1,1)为线段AB 的中点，则抛物线C 的方程为( )A ．y ＝2x 2B ．y 2＝2xC ．x 2＝2yD ．y 2＝－2x解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，抛物线方程为y 2＝2px ，则⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝2px 1，y 22＝2px 2，两式相减可得2p ＝y 1－y 2x 1－x 2×(y 1＋y 2)＝k AB ×2＝2，即可得p ＝1，∴抛物线C 的方程为y 2＝2x ，故选B.答案：B3．已知双曲线 x 212－y 24＝1的右焦点为F ，若过点F 的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此直线斜率的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－33，33 B ．(－3，3) C.⎣⎡⎦⎤－33，33 D ．[－3，3]解析：由题意知F (4,0)，双曲线的两条渐近线方程为y ＝±33x .当过点F 的直线与渐近线平行时，满足与右支只有一个交点，画出图象，数形结合可知应选C.答案：C4．已知抛物线C ：y 2＝8x 与点M (－2,2)，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点．若MA →·MB →＝0，则k ＝( )A.12 B.22C. 2D ．2解析：如图所示，设F 为焦点，取AB 的中点P ，过A ，B 分别作准线的垂线，垂足分别为G ，H ，连接MF ，MP ，由MA →·MB →＝0，知MA ⊥MB ，则|MP |＝12|AB |＝12(|AG |＋|BH |)，所以MP 为直角梯形BHGA 的中位线，所以MP ∥AG ∥BH ，所以∠GAM ＝∠AMP ＝∠MAP ，又|AG |＝|AF |，AM 为公共边，所以△AMG ≌△AMF ，所以∠AFM ＝∠AGM＝90°，则MF ⊥AB ，所以k ＝－1k MF＝2. 答案：D5．已知椭圆x 24＋y 2b 2＝1(0<b <2)，左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线l 交椭圆于A ，B 两点，若|BF 2|＋|AF 2|的最大值为5，则b 的值是( )A ．1 B. 2 C.32 D. 3解析：由椭圆的方程，可知长半轴长为a ＝2；由椭圆的定义，可知|AF 2|＋|BF 2|＋|AB |＝4a ＝8，所以|AB |＝8－(|AF 2|＋|BF 2|)≥3.由椭圆的性质，可知过椭圆焦点的弦中，通径最短，即2b 2a＝3，可求得b 2＝3，即b ＝ 3. 答案：D6．抛物线y 2＝－12x 的准线与双曲线x 29－y 23＝1的两条渐近线所围成的三角形的面积等于________．解析：y 2＝－12x 的准线方程为x ＝3，双曲线x 29－y 23＝1的渐近线为y ＝±33x . 设抛物线的准线与双曲线的两条渐近线的交点分别为A ，B ，由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝3，y ＝33x ，求得A (3，3)，同理B (3，－3)，所以|AB |＝23，而O 到直线AB 的距离d ＝3，故所求三角形的面积S ＝12|AB |×d ＝12×23×3＝3 3. 答案：3 3 7．过双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一个焦点作圆x 2＋y 2＝a 2的两条切线，切点分别为A ，B .若∠AOB ＝120°(O 是坐标原点)，则双曲线C 的离心率为________．解析：如图，由题知OA ⊥AF ，OB ⊥BF 且∠AOB ＝120°，∴∠AOF ＝60°.又OA ＝a ，OF ＝c ，∴a c ＝OA OF ＝cos 60°＝12， ∴c a＝2. 答案：28．直线l 过椭圆x 22＋y 2＝1的左焦点F ，且与椭圆相交于P ，Q 两点，M 为PQ 的中点，O 为原点．若△FMO 是以OF 为底边的等腰三角形，则直线l 的方程为________．解析：法一：由椭圆方程得a ＝2，b ＝c ＝1，则F (－1,0)．在△FMO 中，|MF |＝|MO |，所以M 在线段OF 的中垂线上，即x M ＝－12， 设直线l 的斜率为k ，则其方程为y ＝k (x ＋1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋1)，x 22＋y 2＝1，得x 2＋2k 2(x ＋1)2－2＝0， 即(2k 2＋1)x 2＋4k 2x ＋2(k 2－1)＝0，∴x P ＋x Q ＝－4k 22k 2＋1，而M 为PQ 的中点， 故x M ＝12(x P ＋x Q )＝－2k 22k 2＋1＝－12， ∴k 2＝12，解得k ＝±22. 故直线l 的方程为y ＝±22(x ＋1)，即x ±2y ＋1＝0. 法二：设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，M (x 0，y 0)，由题意知k PQ ＝－k OM ，由P 、Q 在椭圆上知⎩⎨⎧ x 212＋y 21＝1，x 222＋y 22＝1，两式相减整理得k PQ ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－x 1＋x 22(y 1＋y 2)＝－x 02y 0，而k OM ＝y 0x 0，故x 02y 0＝y 0x 0， 即x 20＝2y 20，所以k PQ ＝±22，直线PQ 的方程为y ＝±22(x ＋1)，即x ±2y ＋1＝0. 答案：x ±2y ＋1＝09．(2016·洛阳模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点F (3，0)，且椭圆C 经过点P ⎝⎛⎭⎫3，12. (1)求椭圆C 的方程；(2)设过点F 的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，交直线x ＝m (m >a )于M 点，若k P A ，k PM ，k PB 成等差数列，求实数m 的值．解：(1)由题意，⎩⎪⎨⎪⎧ a 2－b 2＝3，3a 2＋14b 2＝1，得a 2＝4，b 2＝1. ∴椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1. (2)设直线l ：y ＝k (x －3)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (m ，y m )．将直线方程代入椭圆方程x 2＋4y 2＝4中，得(1＋4k 2)x 2－83k 2x ＋12k 2－4＝0，则x 1＋x 2＝83k 21＋4k 2，x 1·x 2＝12k 2－41＋4k 2. 此时k P A ＝y 1－12x 1－3＝k －12(x 1－3)，k PB ＝y 2－12x 2－3＝k －12(x 2－3). ∴k P A ＋k PB ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤k －12(x 1－3)＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤k －12(x 2－3) ＝2k －x 1＋x 2－232[x 1x 2－3(x 1＋x 2)＋3]＝2k －83k 21＋4k 2－232⎝ ⎛⎭⎪⎫12k 2－41＋4k 2－3·83k 21＋4k 2＋3＝2k － 3.又M (m ，y m )在直线l 上，∴y m ＝k (m －3)，则k PM ＝y m －12m －3＝k －12(m －3).若k P A ，k PM ，k PB 成等差数列，则2k PM ＝k P A ＋k PB ，则2k －1m －3＝2k －3，解得m ＝433. 10．已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)上一点P (x 0，－2)到该抛物线焦点的距离为2，动直线l 与C 交于两点A ，B (A ，B 异于点P )，与x 轴交于点M ，AB 的中点N ，且直线P A ，PB 的斜率之积为1.(1)求抛物线C 的方程；(2)求|AB ||MN |的最大值． 解：(1)因为点P (x 0，－2)在抛物线上，所以2px 0＝4⇒x 0＝2p. 由抛物线的定义知，2p ＋p 2＝2⇒(p －2)2＝0⇒p ＝2， 故抛物线C 的方程为y 2＝4x .(2)由(1)知，x 0＝1，得P (1，－2)．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，设直线P A ，PB 的斜率分别为k 1，k 2，设直线AB 的方程为x ＝my ＋t ，联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋t ，y 2＝4x ，消去x 得y 2－4my －4t ＝0. Δ＝16m 2＋16t >0⇒m 2＋t >0，①y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4t ，因为k 1＝y 1＋2x 1－1＝y 1＋2y 214－1＝4y 1－2. 同理k 2＝4y 2－2.所以k 1k 2＝4y 1－2·4y 2－2＝1，即y 1y 2－2(y 1＋y 2)－12＝0，即－4t －8m －12＝0⇒t ＝－2m －3.代入①得m 2－2m －3>0⇒m <－1或m >3.因为|AB |＝1＋m 2|y 1－y 2| ＝1＋m 2·(y 1＋y 2)2－4y 1y 2 ＝1＋m 2·16m 2＋16t ＝41＋m 2·m 2－2m －3，又y M ＝0，y N ＝y 1＋y 22＝2m ， 则|MN |＝1＋m 2|y M －y N |＝21＋m 2|m |. 所以|AB ||MN |＝2m 2－2m －3|m |＝21－2m －3m 2 ＝2－3⎝⎛⎭⎫1m ＋132＋43， 故当m ＝－3时，|AB ||MN |取到最大值433. B 组 高考题型专练1．(2015·高考福建卷)已知点F 为抛物线E ：y 2＝2px (p >0)的焦点，点A (2，m )在抛物线E 上，且|AF |＝3.(1)求抛物线E 的方程；(2)已知点G (－1,0)，延长AF 交抛物线E 于点B ，证明：以点F为圆心且与直线GA 相切的圆，必与直线GB 相切．解：(1)由抛物线的定义得|AF |＝2＋p 2. 由已知|AF |＝3，得2＋p 2＝3， 解得p ＝2，所以抛物线E 的方程为y 2＝4x .(2)法一：如图，因为点A (2，m )在抛物线E ：y 2＝4x 上，所以m ＝±22，由抛物线的对称性，不妨设A (2,22)．由A (2,22)，F (1,0)可得直线AF 的方程为y ＝22(x －1)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝22(x －1)，y 2＝4x ，得2x 2－5x ＋2＝0，解得x ＝2或x ＝12，从而B ⎝⎛⎭⎫12，－2.又G (－1,0)，所以k GA ＝22－02－(－1)＝223，k GB ＝－2－012－(－1)＝－223， 所以k GA ＋k GB ＝0，从而∠AGF ＝∠BGF ，这表明点F 到直线GA ，GB 的距离相等， 故以F 为圆心且与直线GA 相切的圆必与直线GB 相切．法二：设以点F 为圆心且与直线GA 相切的圆的半径为r .因为点A (2，m )在抛物线E ：y 2＝4x 上，所以m ＝±22，由抛物线的对称性，不妨设A (2，22)．由A (2,22)，F (1,0)可得直线AF 的方程为y ＝22(x －1)． 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝22(x －1)，y 2＝4x ，得2x 2－5x ＋2＝0， 解得x ＝2或x ＝12，从而B ⎝⎛⎭⎫12，－2. 又G (－1,0)，故直线GA 的方程为22x －3y ＋22＝0，从而r ＝|22＋22|8＋9＝4217. 又直线GB 的方程为22x ＋3y ＋22＝0，所以点F 到直线GB 的距离d ＝|22＋22|8＋9＝4217＝r .这表明以点F 为圆心且与直线GA 相切的圆必与直线GB 相切．2．(2015·高考重庆卷)如图，椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2的直线交椭圆于P ，Q 两点，且PQ ⊥PF 1.(1)若|PF 1|＝2＋2，|PF 2|＝2－2，求椭圆的标准方程；(2)若|PF 1|＝|PQ |，求椭圆的离心率e .解：(1)由椭圆的定义，2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝(2＋2)＋(2－2)＝4，故a ＝2. 设椭圆的半焦距为c ，由已知PF 1⊥PF 2，因此2c ＝|F 1F 2|＝|PF 1|2＋|PF 2|2 ＝(2＋2)2＋(2－2)2＝23，即c ＝3，从而b ＝a 2－c 2＝1. 故所求椭圆的标准方程为x 24＋y 2＝1. (2)法一：连接QF 1，如图，设点P (x 0，y 0)在椭圆上，且PF 1⊥PF 2，则x 20a 2＋y 20b2＝1，x 20＋y 20＝c 2，求得x 0＝±a c a 2－2b 2，y 0＝±b 2c. 由|PF 1|＝|PQ |>|PF 2|得x 0>0，从而|PF 1|2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a a 2－2b 2c ＋c 2＋b 4c 2＝2(a 2－b 2)＋2a a 2－2b 2＝(a ＋a 2－2b 2)2. 由椭圆的定义，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，|QF 1|＋|QF 2|＝2a .从而由|PF 1|＝|PQ |＝|PF 2|＋|QF 2|，有|QF 1|＝4a －2|PF 1|.又由PF 1⊥PF 2，|PF 1|＝|PQ |，知|QF 1|＝2|PF 1|， 因此(2＋2)|PF 1|＝4a ，即(2＋2)(a ＋a 2－2b 2)＝4a ，于是(2＋2)(1＋2e 2－1)＝4，解得e＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋⎝⎛⎭⎪⎫42＋2－12＝6－ 3.法二：连接QF1，如图，由椭圆的定义，|PF1|＋|PF2|＝2a，|QF1|＋|QF2|＝2a.从而由|PF1|＝|PQ|＝|PF2|＋|QF2|，有|QF1|＝4a－2|PF1|.又由PF1⊥PQ，|PF1|＝|PQ|，知|QF1|＝2|PF1|，因此，4a－2|PF1|＝2|PF1|，则|PF1|＝2(2－2)a，从而|PF2|＝2a－|PF1|＝2a－2(2－2)a＝2(2－1)a，由PF1⊥PF2，知|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝(2c)2，因此e＝ca ＝|PF1|2＋|PF2|22a＝(2－2)2＋(2－1)2＝9－62＝6－ 3.。