专题1.6 解析几何(讲)-(理)二轮复习讲练测

专题1.6 解析几何1.练高考1.【2017课标3，理5】已知双曲线C：22221x ya b-= (a＞0,b＞0)的一条渐近线方程为52y x=,且与椭圆221123x y+=有公共焦点，则C的方程为（）A．221810x y-=B．22145x y-=C．22154x y-=D．22143x y-=【答案】B故选B.2.【2017天津，文12】设抛物线24y x=的焦点为F，准线为l.已知点C在l上，以C为圆心的圆与y轴的正半轴相切于点A.若120FAC∠=︒，则圆的方程为 .【答案】22(1)(3)1x y++=【解析】3. 【2017山东，理14】在平面直角坐标系xOy 中，双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的右支与焦点为F 的抛物线()220x px p =>交于,A B 两点，若4AF BF OF +=，则该双曲线的渐近线方程为 .【答案】22y x =±4.【2017课标1，理】已知双曲线C ：22221x y a b-=（a>0，b>0）的右顶点为A ，以A 为圆心，b 为半径作圆A ，圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M 、N 两点.若∠MAN=60°，则C 的离心率为________.【答案】233【解析】试题分析：5.【2017天津，理19】设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左焦点为F ，右顶点为A ，离心率为12.已知A 是抛物线22(0)y px p =>的焦点，F 到抛物线的准线l 的距离为12. （I ）求椭圆的方程和抛物线的方程；（II ）设l 上两点P ，Q 关于x 轴对称，直线AP 与椭圆相交于点B （B 异于点A ），直线BQ 与x 轴相交于点D .若APD △6AP 的方程. 【答案】 （1）22413y x +=， 24y x =.（2）3630x -=，或3630x -=. 【解析】（Ⅱ）解：设直线AP 的方程为1(0)x my m =+≠，与直线l 的方程1x =-联立，可得点2(1,)P m --，故2(1,)Q m-.将1x my =+与22413y x +=联立，消去x ，整理得22(34)60m y my ++=，解得0y =，或2634my m -=+.由点B 异于点A ，可得点222346(,)3434m m B m m -+-++.由2(1,)Q m-，可得直线BQ 的方程为22262342()(1)(1)()03434m m x y m m m m --+-+-+-=++，令0y =，解得222332m x m -=+，故2223(,0)32m D m -+.所以2222236||13232m m AD m m -=-=++.又因为APD△6221626232||2m m m ⨯⨯=+，整理得2326|20m m -+=，解得6||m =，所以6m =.所以，直线AP 的方程为3630x +-=，或3630x --=.6.【2017山东，理21】在平面直角坐标系xOy 中，椭圆E ：22221x y a b +=()0a b >>2，焦距为2.（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）如图，动直线l ：13y k x =交椭圆E 于,A B 两点，C 是椭圆E 上一点，直线OC 的斜率为2k ，且122k k ，M 是线段OC 延长线上一点，且:2:3MC AB =，M 的半径为MC ，,OS OT 是M 的两条切线，切点分别为,S T .求SOT ∠的最大值，并求取得最大值时直线l 的斜率.【答案】（I ）2212x y +=.（Ⅱ）SOT ∠的最大值为3π，取得最大值时直线l 的斜率为12k =±.（Ⅱ）设()()1122,,,A x y B x y ，联立方程2211,23x y y k x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩得()2211424310k x k x +--=，由题意知0∆>，且()112122211231,21221k x x x x k k +==-++，所以22112112211181221k k AB kx x k ++=+-=+.由题意可知圆M 的半径r 为22112111822321k k r k ++=+ 由题设知1224k k =，所以2124k k =因此直线OC 的方程为124y x k =.联立方程2211,22,4x y y x k ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩得2221221181,1414k x y k k ==++，因此 2221211814k OC x y k +=+=+.2.练模拟1.直线3y kx =+被圆()()22234x y -+-=截得的弦长为23，则直线的倾斜角为（ ） A ．566ππ或B ．33ππ-或C ．66ππ-或D ．6π【答案】A【解析】圆()()22234x y -+-=的圆心()3,2，半径2=r ，圆心()3,2到直线3y kx =+的距离122+=k k d ，∵直线3y kx =+被圆()()22234x y -+-=截得的弦长为32，∴由勾股定理得222232⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=d r ，即314422++=k k ，解得33±=k ，故直线的倾斜角为6π或65π，故选A ．2.【2018届湖北省稳派教育高三上第二次联考】 已知椭圆()222210x y a b a b +=>>的半焦距为c ，且满足220c b ac -+<，则该椭圆的离心率e 的取值范围是__________．【答案】10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】∵220c b ac -+<，∴()2220c a c ac --+<，即2220c a ac -+<，∴22210c c a a -+<，即2210e e +-<，解得112e -<<。

高三二轮复习讲练测之测案【新课标版理科数学】专题六 解析几何总分 _______ 时间 _______ 班级 _______ 学号 _______ 得分_______一、选择题（12*5=60分）1．“直线1y kx =+与圆相切”是“43k =-”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C【解析】当43k =-时，圆心到直线的距离为 ，直线与圆相切，必要性成立；若直线1y kx =+与圆相切，斜率不存在（1x =与圆也相切），或43k =-，充分性不成立，所以“直线1y kx =+与圆相切”是“43k =-” 必要不充分条件，故选C.2．【吉林省辽源市田家炳高级中学（第六十六届友好学校)2019届高三上期末】以为准线的抛物线的标准方程为（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】 易知以为准线的抛物线焦点在x 轴的负半轴上，且，开口向右，所以.故选D.3．【2018年上海卷】设是椭圆上的动点，则到该椭圆的两个焦点的距离之和为（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】C4．已知双曲线的一条渐近线为y =，则该双曲线的离心率等于【答案】C【解析】∵双曲线的渐近线方程为b y x a==±∴由题意得ba=b = ∵∴c∴离心率ce a== 故选C.5．【2018年天津卷文】已知双曲线的离心率为2，过右焦点且垂直于轴的直线与双曲线交于两点.设到双曲线的同一条渐近线的距离分别为和，且则双曲线的方程为A ．B ．C． D．【答案】A【解析】设双曲线的右焦点坐标为（c>0），则，由可得：，不妨设：，双曲线的一条渐近线方程为，据此可得：，，则，则，双曲线的离心率：，据此可得：，则双曲线的方程为.本题选择A选项.∴存在以、为邻边的矩形，使得点在上，且．18．【广东省广州市2019届高三第一学期调研考试（一模) 】已知动圆过定点，且与定直线相切．（1）求动圆圆心的轨迹的方程；（2）过点的任一条直线与轨迹交于不同的两点，试探究在轴上是否存在定点（异于点），使得？若存在，求点的坐标；若不存在，说明理由．【答案】(1) ，（2）见解析【解析】（1）解法1：依题意动圆圆心到定点的距离与到定直线的距离相等，由抛物线的定义，可得动圆圆心的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线，其中．动圆圆心的轨迹的方程为．解法2：设动圆圆心，依题意：.化简得：，即为动圆圆心的轨迹的方程（2）解：假设存在点满足题设条件．由可知，直线与的斜率互为相反数，即①直线的斜率必存在且不为，设,由得．由,得或．设，则．由①式得,,即．消去，得,,,存在点使得．19．【陕西省彬州市2019届高三年级第一次监测】已知椭圆经过点，离心率为.（1）求椭圆的标准方程；（2）若椭圆的右焦点为，右顶点为，经过点的动直线与椭圆交于两点，记和的面积分别为和，求的最大值.【答案】（1）（2）【解析】解：（1）由题意得：，解得：，所以椭圆的标准方程为（2）由（1）得，可设直线的方程为联立得 ，得，设当时，显然当时，当且仅当，即时取等号 综合得：时，的最大值为.20．【2018届吉林省普通中学高三第二次调研】设椭圆的左焦点为F ，右顶点为A ，离心率为2A 是抛物线的焦点.（1）求椭圆1C 的方程和抛物线2C 的方程;（2）若抛物线2C 的准线l 上两点,P Q 关于x 轴对称，直线AP 与椭圆相交于点B （B 异于点A ），直线BQ与x 轴相交于点D ，若APD ∆的面积为3，求直线AP 的方程. 【答案】（1）2221x y += ， 24y x =（2）见解析 【解析】（1），所以椭圆方程为2221x y +=所以抛物线方程为24y x =（2）设直线AP 方程为，与直线l 的方程1x =-联立可得点，联立AP 跟椭圆方程消去x ，整理得，解得，可得∵21,Q m ⎛⎫- ⎪⎝⎭∴，则直线BQ 方程，令0y =，解得2211m x m -=+，即∴有，整理得, 解得∴直线AP 的方程为： .21．【2018届江苏省泰州中学高三12月月考】已知椭圆的中心为坐标原点O ，椭圆短轴长为2，动点()2M t ，（0t >）在椭圆的准线上. （1）求椭圆的标准方程； （2）求以OM 为直径且被直线截得的弦长为2的圆的方程；（3）设F 是椭圆的右焦点，过点F 作OM 的垂线与以OM 为直径的圆交于点N ，求证：线段ON 的长为定值，并求出这个定值.【答案】(1) 2212x y += (2) 圆的方程为【解析】（1）由22b =，得1b =又由点M 在准线上，得22a c =，故212c c +=，∴1c =从而a =所以椭圆方程为2212x y += （2）以OM 为直径的圆的方程为其圆心为12t ⎛⎫⎪⎝⎭，，半径r =因为以OM 为直径的圆被直线截得的弦长为2所以圆心到直线的距离所以，解得4t =所以圆的方程为（3）由平几知：直线OM ： 2ty x =，直线FN ：由得244K x t =+∴所以线段ON 22．已知椭圆C ： 22221x y a b+= (a>b>0)过点(1， 32)，且离心率e ＝12.(Ⅰ)求椭圆C 的标准方程；学-科网(Ⅱ)若直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆C 相交于A ，B 两点(A ，B 不是左右顶点)，椭圆的右顶点为D ，且满足DA ·DB ＝0，试判断直线l 是否过定点，若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由．【答案】(1)22143x y += (2) 直线过定点(27，0) 【解析】(Ⅰ)由题意椭圆的离心率e ＝12. ∴12c a = ∴a ＝2c∴b 2＝a 2－c 2＝3c 2∴椭圆方程为又∵点(1，32)在椭圆上 ∴∴c 2＝1∴椭圆的方程为22143x y +=(Ⅱ)设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，由得(3＋4k 2)x 2＋8mkx ＋4(m 2－3)＝0，Δ＝64m 2k 2－16(3＋4k 2)(m 2－3)>0,3＋4k 2－m 2>0，则x 1＋x 2＝2834mk k -+，x 1·x 2＝()224334m k -+∴y 1·y 2＝(kx 1＋m)·(kx 2＋m)＝k 2x 1x 2＋mk(x 1＋x 2)＋m 2＝∵0DA DB ⋅= ∴k AD ·k BD ＝－1又∵椭圆的右顶点D(2,0)，∴，则y 1y 2＋x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4＝0，7m 2＋16mk ＋4k 2＝0，解得m 1＝－2k ，m 2＝27k -，且满足3＋4k 2－m 2>0 当m ＝－2k 时，l ：y ＝k(x －2)，直线过定点(2,0)与已知矛盾；当m ＝27k -时，l ：y ＝k(x 27-)，直线过定点(27，0)． 综上可知，直线l 过定点，定点坐标为(27，0).。

第一部分 专题六 第一讲A 组1．若直线l 1：x ＋ay ＋6＝0与l 2：(a －2)x ＋3y ＋2a ＝0平行，则l 1与l 2间的距离为( B ) A ．2 B ．823C ．3D ．833[解析] 由l 1∥l 2知3＝a (a －2)且2a ≠6(a －2)， 2a 2≠18，求得a ＝－1，∴l 1：x －y ＋6＝0，l 2：x －y ＋23＝0，两条平行直线l 1与l 2间的距离为d ＝|6－23|12＋(－1)2＝823.故选B ．2．(文)直线x ＋y ＋2＝0截圆x 2＋y 2＝4所得劣弧所对圆心角为( D ) A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π6[解析] 弦心距d ＝|2|2＝1，半径r ＝2，∴劣弧所对的圆心角为2π3.(理)⊙C 1：(x －1)2＋y 2＝4与⊙C 2：(x ＋1)2＋(y －3)2＝9相交弦所在直线为l ，则l 被⊙O ：x 2＋y 2＝4截得弦长为( D )A ．13B ．4C ．43913D ．83913[解析] 由⊙C 1与⊙C 2的方程相减得l ：2x －3y ＋2＝0. 圆心O (0,0)到l 的距离d ＝21313，⊙O 的半径R ＝2，∴截得弦长为2R 2－d 2＝24－413＝83913. 3．已知圆C ：x 2＋(y －3)2＝4，过A (－1,0)的直线l 与圆C 相交于P ，Q 两点．若|PQ |＝23，则直线l 的方程为( B )A ．x ＝－1或4x ＋3y －4＝0B ．x ＝－1或4x －3y ＋4＝0C ．x ＝1或4x －3y ＋4＝0D ．x ＝1或4x ＋3y －4＝0[解析] 当直线l 与x 轴垂直时，易知x ＝－1符合题意；当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)，由|PQ |＝23，则圆心C 到直线l 的距离d ＝|－k ＋3|k 2＋1＝1，解得k ＝43，此时直线l 的方程为y ＝43(x ＋1)，故所求直线l 的方程为x ＝－1或4x －3y ＋4＝0. 4．过三点A (1,3)，B (4,2)，C (1，－7)的圆交y 轴于M ，N 两点，则|MN |＝( C ) A ．2 6 B ．8 C ．4 6D ．10[解析] 由已知得k AB ＝3－21－4＝－13，k CB ＝2＋74－1＝3，所以k AB ·k CB ＝－1，所以AB ⊥CB ，即△ABC 为直角三角形，其外接圆圆心为(1，－2)，半径为5，所以外接圆方程为(x －1)2＋(y ＋2)2＝25，令x ＝0，得y ＝±26－2，所以|MN |＝46，故选C ．5．直线l 与圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋a ＝0(a <3)相交于A 、B 两点，若弦AB 的中点为(－2,3)，则直线l 的方程为( A )A ．x －y ＋5＝0B ．x ＋y －1＝0C ．x －y －5＝0D ．x ＋y －3＝0[解析] 设圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋a ＝0(a <3)的圆心为C ，弦AB 的中点为D ，易知C (－1,2)，又D (－2,3)，故直线CD 的斜率k CD ＝3－2－2－(－1)＝－1，则由CD ⊥l 知直线l 的斜率k l ＝－1k CD ＝1，故直线l 的方程为y －3＝x ＋2，即x －y ＋5＝0.6．一条光线从点(－2，－3)射出，经y 轴反射后与圆(x ＋3)2＋(y －2)2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为( D )A ．－53或－35B ．－32或－23C ．－54或－45D ．－43或－34[解析] 由光的反射原理知，反射光线的反向延长线必过点(2，－3)，设反射光线所在直线的斜率为k ，则其直线方程为y ＋3＝k (x －2)，即kx －y －2k －3＝0.∵光线与圆(x ＋3)2＋(y －2)2＝1相切，∴|－3k －2－2k －3|k 2＋1＝1，解得k ＝－43或k ＝－34.故选D ．7．若直线3x －4y ＋5＝0与圆x 2＋y 2＝r 2(r >0)相交于A ，B 两点，且∠AOB ＝120°(O 为坐标原点)，则r ＝2.[解析] 直线3x －4y ＋5＝0与圆x 2＋y 2＝r 2(r ＞0)交于A ，B 两点，O 为坐标原点，且∠AOB ＝120°，则圆心(0,0)到直线3x －4y ＋5＝0的距离为12r ，即532＋42＝12r ，∴r ＝2.8．一个圆经过椭圆x 216＋y 24＝1的三个顶点，且圆心在x 轴的正半轴上，则该圆的标准方程为⎝⎛⎭⎫x －322＋y 2＝254. [解析] 设圆心为(a,0)，则圆的方程为(x －a )2＋y 2＝r 2，依题意得a 2＋22＝(4－a )2，解得a ＝32， r 2＝254，所以圆的方程为⎝⎛⎭⎫x －322＋y 2＝254. 9．已知定点M (0,2)，N (－2,0)，直线l ：kx －y －2k ＋2＝0(k 为常数)． (1)若点M ，N 到直线l 的距离相等，求实数k 的值；(2)对于l 上任意一点P ，∠MPN 恒为锐角，求实数k 的取值范围． [解析] (1)∵点M ，N 到直线l 的距离相等， ∴l ∥MN 或l 过MN 的中点． ∵M (0,2)，N (－2,0)， ∴直线MN 的斜率k MN ＝1， MN 的中点坐标为C (－1,1)．又∵直线l ：kx －y －2k ＋2＝0过定点D (2,2)， ∴当l ∥MN 时，k ＝k MN ＝1； 当l 过MN 的中点时，k ＝k CD ＝13.综上可知，k 的值为1或13.(2)∵对于l 上任意一点P ，∠MPN 恒为锐角，∴l 与以MN 为直径的圆相离，即圆心到直线l 的距离大于半径， ∴d ＝|－k －1－2k ＋2|k 2＋1>2，解得k <－17或k >1. 10．已知点P (0,5)及圆C ：x 2＋y 2＋4x －12y ＋24＝0.(1)若直线l 过点P 且被圆C 截得的线段为43，求l 的方程； (2)求过P 点的圆C 的弦的中点的轨迹方程．[解析] (1)如图所示，|AB |＝43，将圆C 方程化为标准方程为(x ＋2)2＋(y －6)2＝16，所以圆C 的圆心坐标为(－2,6)，半径r ＝4，设D 是线段AB 的中点，则CD ⊥AB ，所以|AD |＝23，|AC |＝4. C 点坐标为(－2,6)．在Rt △ACD 中，可得|CD |＝2.若直线l 的斜率存在，设为k ，则直线l 的方程为y －5＝kx ，即kx －y ＋5＝0. 由点C 到直线AB 的距离公式：|－2k －6＋5|k 2＋(－1)2＝2，得k ＝34.故直线l 的方程为3x －4y ＋20＝0.直线l 的斜率不存在时，也满足题意，此时方程为x ＝0. 所以所求直线l 的方程为x ＝0或3x －4y ＋20＝0.B 组1．(2018·南宁一模)直线y ＝kx ＋3被圆(x －2)2＋(y －3)2＝4截得的弦长为23，则直线的倾斜角为( A )A ．π6或5π6B ．－π3或π3C ．－π6或π6D ．π6[解析] 圆(x －2)2＋(y －3)2＝4的圆心为(2,3)，半径r ＝2，圆心(2,3)到直线y ＝kx ＋3的距离d ＝|2k |k 2＋1，因为直线y ＝kx ＋3被圆(x －2)2＋(y －3)2＝4截得的弦长为23，所以由勾股定理得r 2＝d 2＋(232)2，即4＝4k 2k 2＋1＋3，解得k ＝±33，故直线的倾斜角为π6或5π6.2．设直线x －y －a ＝0与圆x 2＋y 2＝4相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，若△AOB 为等边三角形，则实数a 的值为( B )A ．±3B ．±6C ．±3D ．±9[解析] 由题意知：圆心坐标为(0,0)，半径为2，则△AOB 的边长为2，所以△AOB 的高为3，即圆心到直线x －y －a ＝0的距离为3，所以|－a |12＋(－1)2＝3，解得a ＝±6.3．已知点A (－2,0)，B (0,2)，若点C 是圆x 2－2ax ＋y 2＋a 2－1＝0上的动点，△ABC 面积的最小值为3－2，则a 的值为( C )A ．1B ．－5C ．1或－5D ．5[解析] 解法一：圆的标准方程为(x －a )2＋y 2＝1，圆心M (a,0)到直线AB ：x －y ＋2＝0的距离为d ＝|a ＋2|2，可知圆上的点到直线AB 的最短距离为d －1＝|a ＋2|2－1，(S △ABC )min ＝12×22×|a ＋2|－22＝3－2，解得a ＝1或－5.解法二：圆的标准方程为(x －a )2＋y 2＝1，设C 的坐标为(a ＋cos θ，sin θ)，C 点到直线AB ：x －y ＋2＝0的距离为d ＝|a ＋cos θ－sin θ＋2|2＝|2sin (θ－π4)＋a ＋2|2.△ABC 的面积为S △ABC ＝12×22×|2sin (θ－π4)＋a ＋2|2＝|2sin(θ－π4)＋a ＋2|，当a ≥0时，a ＋2－2＝3－2，解得a ＝1； 当－2≤a <0时，|a ＋2－2|＝3－2，无解； 当a <－2时，|a ＋2＋2|＝3－2，解得a ＝－5.解法三：设与AB 平行且与圆相切的直线l ′的方程为x －y ＋m ＝0(m ≠2)，圆心M (a,0)到直线l ′的距离d ＝1，即|a ＋m |2＝1，解得m ＝±2－a ， 两平行线l ，l ′之间的距离就是圆上的点到直线AB 的最短距离， 即|m －2|2＝|±2－a －2|2， (S △ABC )min ＝12×22×|±2－a －2|2＝|±2－a －2|.当a ≥0时，|±2－a －2|＝3－2，解得a ＝1. 当a <0时，|±2－a －2|＝3－2，解得a ＝－5. 故a ＝1或－5.4．已知直线x ＋y －k ＝0(k >0)与圆x 2＋y 2＝4交于不同的两点A ，B ，O 是原点，且有|OA →＋OB →|≥33|AB →|，则k 的取值范围是( C )A ．(3，＋∞)B ．[2，＋∞)C ．[2，22)D ．[3，22][解析] 本题考查直线与圆的位置关系、平面向量的运算．设AB 的中点为D ，则OD ⊥AB ，因为|OA →＋OB →|≥33|AB →|，所以|2OD →|≥33|AB →|，|AB →|≤23|OD →|，又因为|OD →|2＋14|AB →|2＝4，所以|OD →|≥1.因为直线x ＋y －k ＝0(k >0)与圆x 2＋y 2＝4交于不同的两点，所以|OD →|<2，所以1≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪－k 2<2，解得2≤k <22，故选C ．5．两条平行直线和圆的位置关系定义为：若两条平行直线和圆有四个不同的公共点，则称两条平行线和圆“相交”；若两平行直线和圆没有公共点，则称两条平行线和圆“相离”；若两平行直线和圆有一个、两个或三个不同的公共点，则称两条平行线和圆“相切”．已知直线l 1：2x －y ＋a ＝0，l 2：2x －y ＋a 2＋1＝0和圆：x 2＋y 2＋2x －4＝0相切，则a 的取值范围是( C )A ．a >7或a <－3B ．a >6或a <－ 6C ．－3≤a ≤－6或6≤a ≤7D ．a ≥7或a ≤－3[解析] 本题主要考查直线和圆的位置关系、补集思想及分析、理解、解决问题的能力．两条平行线与圆都相交时，由⎩⎪⎨⎪⎧ |2(－1)＋a |5<5|2(－1)＋a 2＋1|5<5得－6<a <6，两条直线都和圆相离时， 由⎩⎪⎨⎪⎧|2(－1)＋a |5>5|2(－1)＋a 2＋1|5>5得a <－3，或a >7，所以两条直线和圆“相切”时a 的取值范围－3≤a ≤－6或6≤a ≤7，故选C ．6．过点P (－1,1)作圆C ：(x －t )2＋(y －t ＋2)2＝1(t ∈R )的切线，切点分别为A ，B ，则P A →·PB →的最小值为214.[解析] 圆C ：(x －t )2＋(y －t ＋2)2＝1的圆心坐标为(t ，t －2)，半径为1， 所以PC ＝(t ＋1)2＋(t －3)2 ＝2(t －1)2＋8≥8，P A ＝PB ＝PC 2－1，cos ∠APC ＝APPC ，所以cos ∠APB ＝2⎝⎛⎭⎫AP PC 2－1＝1－2PC 2， 所以P A →·PB →＝(PC 2－1)(1－2PC 2)＝－3＋PC 2＋2PC 2≥－3＋8＋14＝214，所以P A →·PB →的最小值为214.7．过点C (3,4)作圆x 2＋y 2＝5的两条切线，切点分别为A ，B ，则点C 到直线AB 的距离为4.[解析] 以OC 为直径的圆的方程为(x －32)2＋(y －2)2＝(52)2，AB 为圆C 与圆O ：x 2＋y 2＝5的公共弦，所以AB 的方程为x 2＋y 2－[(x －32)2＋(y －2)2]＝5－254，化为3x ＋4y －5＝0，C 到AB 的距离为d ＝|3×3＋4×4－5|32＋42＝4.8．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若sin 2A ＋sin 2B ＝12sin 2C ，则直线ax －by ＋c ＝0被圆x 2＋y 2＝9所截得弦长为[解析] 由正弦定理得a 2＋b 2＝12c 2，∴圆心到直线距离d ＝|c |a 2＋b 2＝c12c 2＝2， ∴弦长l ＝2r 2－d 2＝29－2＝27.9．(2018·全国卷Ⅱ，19)设抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过F 且斜率为k (k >0)的直线l 与C 交于A ，B 两点，|AB |＝8.(1)求l 的方程．(2)求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程．[解析] (1)由题意得F (1,0)，l 的方程为y ＝k (x －1)(k ＞0)．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，y 2＝4x ，得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0.Δ＝16k 2＋16＞0，故x 1＋x 2＝2k 2＋4k2.所以|AB |＝|AF |＋|BF |＝(x 1＋1)＋(x 2＋1)＝4k 2＋4k 2.由题设知4k 2＋4k 2＝8，解得k ＝－1(舍去)，k ＝1.因此l 的方程为y ＝x －1.(2)由(1)得AB 的中点坐标为(3,2)，所以AB 的垂直平分线方程为y －2＝－(x －3)，即y ＝－x ＋5. 设所求圆的圆心坐标为(x 0，y 0)， 则⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝－x 0＋5，(x 0＋1)2＝(y 0－x 0＋1)22＋16. 解得⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝3，y 0＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝11，y 0＝－6.因此所求圆的方程为(x －3)2＋(y －2)2＝16或(x －11)2＋(y ＋6)2＝144.10．(2017·全国卷Ⅲ，20)在直角坐标系xOy 中，曲线y ＝x 2＋mx －2与x 轴交于A ，B 两点，点C 的坐标为(0,1)．当m 变化时，解答下列问题：(1)能否出现AC ⊥BC 的情况？说明理由．(2)证明过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值． [解析] (1)不能出现AC ⊥BC 的情况．理由如下： 设A (x 1,0)，B (x 2,0)，则x 1，x 2满足x 2＋mx －2＝0， 所以x 1x 2＝－2. 又点C 的坐标为(0,1)，故AC 的斜率与BC 的斜率之积为－1x 1·－1x 2＝－12，所以不能出现AC ⊥BC 的情况．(2)证明：BC 的中点坐标为(x 22，12)，可得BC 的中垂线方程为y －12＝x 2(x 2－x 22)．由(1)可得x 1＋x 2＝－m ， 所以AB 的中垂线方程为x ＝－m2.联立⎩⎨⎧x ＝－m 2，y －12＝x 2(x －x22)，又x 22＋mx 2－2＝0，可得⎩⎨⎧x ＝－m 2，y ＝－12.所以过A ，B ，C 三点的圆的圆心坐标为(－m 2，－12)，半径r ＝m 2＋92.故圆在y 轴上截得的弦长为2r 2－(m2)2＝3，即过A，B，C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值．。

第二轮解析几何解答题专项训练理科简化
1.已知椭圆 ：
x2 a2
y2 b2
1（a
b
0 ）的焦距为 4 ，且椭圆 过点
A(2
,
2) ．
（1）求椭圆 的方程；
（2）设 P 、 Q 为椭圆 上关于 y 轴对称的两个不同的动点，求 AP AQ 的取值范围．
2（. 本题满分 13 分）已知直线 l 与抛物线 x2 4 y 相交于 A ，B 两点，且与圆 ( y 1)2 x2 1
并且 F1P F1Q ，证明：当 a 变化时，点 p 在某定直线上。
8.（本小题满分 13 分）
x2 已知椭圆 C 的方程为 a2
y2 b2
1(a
b
0)
离心率
e=
1 2
，设
A(0, b),
B(a,
0),
F1,
F2
分
别是椭圆的左、右焦点且 SF2AB
3. 2
（I）求椭圆 C 的方程；
（Ⅱ）过 F1 线与以 F2 焦点，顶点在坐标原点的抛物线交于 P、Q 两点，设 F1P F1Q ，
(ⅱ)求线段 MN 的长度的最AO
B
x
N
2
7.（本小题满分 12 分）
设椭圆
E
:
x2 a2
y2 1 a2
1的焦点在 x 轴上
（Ⅰ）若椭圆 E 的焦距为 1，求椭圆 E 的方程；
（Ⅱ）设 F1, F2 分别是椭圆的左、右焦点， P 为椭圆 E 上的第一象限内的点，直线 F2P 交 y 轴与点 Q ，
2
2
PA、PB 的斜率分别为 kPA、kPB ，求 kPA kPB 的数值；
(3)试问：是否存在一个定圆 N ，与以动点 M 为圆心，以 MD 为半径的圆相内切？若存在，