最新专题五平面解析几何

高中数学平面解析几何平面解析几何是高中数学中的一门重要的学科，它研究平面上的几何图形和方程的关系。

下面将通过几个小节来详细介绍平面解析几何的相关概念和应用。

第一节：平面直角坐标系在平面解析几何中，我们通常使用平面直角坐标系来表示平面上的点和图形。

平面直角坐标系由两条相互垂直的坐标轴组成，分别称为x 轴和y轴。

我们可以用一个有序数对(x, y)表示平面上的一个点，其中x表示横坐标，y表示纵坐标。

第二节：平面几何图形的方程在平面解析几何中，我们通常通过方程来表示平面上的几何图形。

常见的平面几何图形包括直线、曲线、圆等。

我们以直线为例来介绍平面几何图形的方程。

1. 直线的方程在平面直角坐标系中，一条直线可以通过方程Ax + By + C = 0 来表示，其中A、B、C为实数且A、B不同时为零。

这个方程被称为直线的一般方程。

另外，还有直线的截距式方程、点斜式方程等不同形式的表示方法。

2. 曲线的方程除了直线，平面上的曲线也可以通过方程来表示。

常见的曲线包括抛物线、椭圆、双曲线等。

每种曲线都有其特定的方程形式，并且可以通过改变方程中的参数来实现曲线的平移、旋转和缩放等操作。

3. 圆的方程圆在平面解析几何中也是一个重要的概念。

在平面直角坐标系中，圆可以由圆心的坐标和半径来确定。

一个圆的方程可以写成(x-a)² + (y-b)² = r²的形式，其中(a, b)表示圆心的坐标，r表示半径的长度。

第三节：平面解析几何的应用平面解析几何不仅是一门理论学科，它也有广泛的应用。

以下是几个常见的应用场景。

1. 几何问题的求解平面解析几何提供了一种直观和简单的方法来解决几何问题。

通过使用坐标系和方程，我们可以精确地描述几何图形并进行计算，从而得到几何问题的解答。

2. 图形的变换平面解析几何也可以用来实现平面图形的变换，如平移、旋转、缩放等。

通过对坐标和方程的变化，我们可以方便地实现图形的操作和变换。

专题05平面解析几何（选择题、填空题）考点三年考情（2022-2024）命题趋势考点1：直线方程与圆的方程2022年全国II卷、2022年全国甲卷（文）2022年全国乙卷（理）近三年高考对解析几何小题的考查比较稳定，考查内容、频率、题型难度均变化不大，备考时应熟练以下方向：（1）要重视直线方程的求法、两条直线的位置关系以及点到直线的距离公式这三个考点．（2）要重视直线与圆相交所得弦长及相切所得切线的问题．（3）要重视椭圆、双曲线、抛物线定义的运用、标准方程的求法以及简单几何性质，尤其是对离心率的求解，更是高考的热点问题，因方法多，试题灵活，在各种题型中均有体现．考点2：直线与圆的位置关系2024年北京卷、2022年全国甲卷（理）2022年天津卷、2022年北京卷2023年全国Ⅰ卷、2024年北京卷考点3：圆与圆的位置关系2022年全国I卷考点4：轨迹方程及标准方程2023年北京卷、2023年天津卷2024年全国Ⅱ卷、2022年天津卷2022年全国甲卷（文）考点5：椭圆的几何性质2022年全国I卷2023年全国甲卷（理）2023年全国甲卷（文）考点6：双曲线的几何性质2022年北京卷2023年全国乙卷（理）考点7：抛物线的几何性质2024年北京卷、2024年天津卷2023年全国乙卷（理）2023年天津卷、2023年全国Ⅱ卷2024年全国Ⅱ卷、2022年全国I卷考点8：弦长问题2022年全国乙卷（理）2023年全国甲卷（理）考点9：离心率问题2024年全国Ⅰ卷、2022年全国甲卷（文）2023年全国Ⅰ卷、2022年浙江卷2022年全国乙卷（理）2024年全国甲卷（理）2023年全国Ⅰ卷、2022年全国甲卷（理）考点10：焦半径、焦点弦问题2022年全国II卷、2023年北京卷考点11：范围与最值问题2022年全国II卷2024年全国甲卷（文）2023年全国乙卷（文）考点12：面积问题2024年天津卷、2023年全国Ⅱ卷2023年全国Ⅱ卷考点13：新定义问题2024年全国Ⅰ卷考点1：直线方程与圆的方程1．（2022年新高考全国II 卷数学真题）已知直线l 与椭圆22163x y +=在第一象限交于A ，B 两点，l 与x 轴，y 轴分别交于M ，N 两点，且||||,||23MA NB MN ==l 的方程为．2．（2022年高考全国甲卷数学（文）真题）设点M 在直线210x y +-=上，点(3,0)和(0,1)均在M 上，则M 的方程为．3．（2022年高考全国乙卷数学（理）真题）过四点(0,0),(4,0),(1,1),(4,2)-中的三点的一个圆的方程为．考点2：直线与圆的位置关系4．（2024年北京高考数学真题）若直线()3y k x =-与双曲线2214xy -=只有一个公共点，则k 的一个取值为．5．（2022年高考全国甲卷数学（理）真题）若双曲线2221(0)x y m m-=>的渐近线与圆22430x y y +-+=相切，则m =．6．（2022年新高考天津数学高考真题）若直线()00x y m m -+=>与圆()()22113x y -+-=相交所得的弦长为m ，则m =．7．（2022年新高考北京数学高考真题）若直线210x y +-=是圆22()1x a y -+=的一条对称轴，则=a （）A ．12B ．12-C ．1D ．1-8．（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）过点()0,2-与圆22410x y x +--=相切的两条直线的夹角为α，则sin α=（）A ．1B ．154C ．104D 649．（2024年北京高考数学真题）圆22260x y x y +-+=的圆心到直线20x y -+=的距离为（）A 2B ．2C ．3D ．32考点3：圆与圆的位置关系10．（2022年新高考全国I 卷数学真题）写出与圆221x y +=和22(3)(4)16x y -+-=都相切的一条直线的方程．考点4：轨迹方程及标准方程11．（2023年北京高考数学真题）已知双曲线C 的焦点为(2,0)-和(2,0)，离心率为2，则C 的方程为．12．（2023年天津高考数学真题）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12F F 、．过2F 向一条渐近线作垂线，垂足为P ．若22PF =，直线1PF 的斜率为24，则双曲线的方程为（）A ．22184x y -=B ．22148x y -=C ．22142x y -=D ．22124x y -=13．（2022年新高考天津数学高考真题）已知抛物线21245,,y F F =分别是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，抛物线的准线过双曲线的左焦点1F ，与双曲线的渐近线交于点A ，若124F F A π∠=，则双曲线的标准方程为（）A ．22110x y -=B ．22116y x -=C ．2214y x -=D ．2214x y -=14．（2022年高考全国甲卷数学（文）真题）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为13，12,A A 分别为C 的左、右顶点，B 为C 的上顶点．若121BA BA ⋅=-，则C 的方程为（）A ．2211816x y +=B ．22198x y +=C ．22132x y +=D ．2212x y +=15．（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知曲线C ：2216x y +=（0y >），从C 上任意一点P 向x 轴作垂线段PP '，P '为垂足，则线段PP '的中点M 的轨迹方程为（）A ．221164x y +=（0y >）B ．221168x y +=（0y >）C ．221164y x +=（0y >）D ．221168y x +=（0y >）考点5：椭圆的几何性质16．（2022年新高考全国I 卷数学真题）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，C 的上顶点为A ，两个焦点为1F ，2F ，离心率为12．过1F 且垂直于2AF 的直线与C 交于D ，E 两点，||6DE =，则ADE V 的周长是．17．（2023年高考全国甲卷数学（理）真题）设O 为坐标原点，12,F F 为椭圆22:196x yC +=的两个焦点，点P 在C 上，123cos 5F PF ∠=，则||OP =（）A ．135B ．302C ．145D ．35218．（2023年高考全国甲卷数学（文）真题）设12,F F 为椭圆22:15x C y +=的两个焦点，点P 在C 上，若120PF PF ⋅=，则12PF PF ⋅=（）A ．1B ．2C ．4D ．5考点6：双曲线的几何性质19．（2022年新高考北京数学高考真题）已知双曲线221x y m +=的渐近线方程为3y =，则m =．20．（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）设A ，B 为双曲线2219y x -=上两点，下列四个点中，可为线段AB 中点的是（）A ．()1,1B ．()1,2-C ．()1,3D ．()1,4--考点7：抛物线的几何性质21．（2024年北京高考数学真题）抛物线216y x =的焦点坐标为．22．（2024年天津高考数学真题）圆22(1)25-+=x y 的圆心与抛物线22(0)y px p =>的焦点F 重合，A 为两曲线的交点，则原点到直线AF 的距离为．23．（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）已知点(5A 在抛物线C ：22y px =上，则A 到C 的准线的距离为.24．（2023年天津高考数学真题）已知过原点O 的一条直线l 与圆22:(2)3C x y ++=相切，且l 与抛物线22(0)y px p =>交于点,O P 两点，若8OP =，则p =．25．（多选题）（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）抛物线C ：24y x =的准线为l ，P 为C 上的动点，过P 作22:(4)1A x y +-=⊙的一条切线，Q 为切点，过P 作l 的垂线，垂足为B ，则（）A ．l 与A 相切B ．当P ，A ，B 三点共线时，||15PQ =C ．当||2PB =时，PA AB⊥D ．满足||||PA PB =的点P 有且仅有2个26．（多选题）（2022年新高考全国I 卷数学真题）已知O 为坐标原点，点(1,1)A 在抛物线2:2(0)C x py p =>上，过点(0,1)B -的直线交C 于P ，Q 两点，则（）A ．C 的准线为1y =-B ．直线AB 与C 相切C ．2|OP OQ OA⋅>D ．2||||||BP BQ BA ⋅>27．（多选题）（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）设O 为坐标原点，直线)31y x =--过抛物线()2:20C y px p =>的焦点，且与C 交于M ，N 两点，l 为C 的准线，则（）．A ．2p =B ．83MN =C ．以MN 为直径的圆与l 相切D ．OMN 为等腰三角形考点8：弦长问题28．（2022年高考全国乙卷数学（理）真题）设F 为抛物线2:4C y x =的焦点，点A 在C 上，点(3,0)B ，若AF BF =，则AB =（）A ．2B ．22C ．3D ．3229．（2023年高考全国甲卷数学（理）真题）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>5C 的一条渐近线与圆22(2)(3)1x y -+-=交于A ，B 两点，则||AB =（）A 55B ．255C ．355D ．455考点9：离心率问题30．（2024年新课标全国Ⅰ卷数学真题）设双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左右焦点分别为12F F 、，过2F 作平行于y 轴的直线交C 于A ，B 两点，若1||13,||10F A AB ==，则C 的离心率为．31．（2022年高考全国甲卷数学（文）真题）记双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的离心率为e ，写出满足条件“直线2y x =与C 无公共点”的e 的一个值．32．（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左、右焦点分别为12,F F ．点A 在C 上，点B 在y 轴上，11222,3F A F B F A B ⊥=- ，则C 的离心率为．33．（2022年新高考浙江数学高考真题）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左焦点为F ，过F 且斜率为4b a的直线交双曲线于点()11,A x y ，交双曲线的渐近线于点()22,B x y 且120x x <<．若||3||FB FA =，则双曲线的离心率是．34．（多选题）（2022年高考全国乙卷数学（理）真题）双曲线C 的两个焦点为12,F F ，以C 的实轴为直径的圆记为D ，过1F 作D 的切线与C 交于M ，N 两点，且123cos 5F NF ∠=，则C 的离心率为（）A 52B ．32C ．132D ．17235．（2024年高考全国甲卷数学（理）真题）已知双曲线的两个焦点分别为()()0,4,0,4-，点()6,4-在该双曲线上，则该双曲线的离心率为（）A ．4B ．3C ．2D 236．（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）设椭圆2222122:1(1),:14x x C y a C y a +=>+=的离心率分别为12,e e ．若213e e =，则=a （）A 233B 2C 3D 637．（2022年高考全国甲卷数学（理）真题）椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左顶点为A ，点P ，Q 均在C上，且关于y 轴对称．若直线,AP AQ 的斜率之积为14，则C 的离心率为（）A 32B ．22C ．12D ．13考点10：焦半径、焦点弦问题38．（多选题）（2022年新高考全国II 卷数学真题）已知O 为坐标原点，过抛物线2:2(0)C y px p =>焦点F 的直线与C 交于A ，B 两点，其中A 在第一象限，点(,0)M p ，若||||AF AM =，则（）A ．直线AB 的斜率为26B ．||||OB OF =C ．||4||AB OF >D ．180OAM OBM ∠+∠<︒39．（2023年北京高考数学真题）已知抛物线2:8C y x =的焦点为F ，点M 在C 上．若M 到直线3x =-的距离为5，则||MF =（）A ．7B ．6C ．5D ．4考点11：范围与最值问题40．（2022年新高考全国II 卷数学真题）设点(2,3),(0,)A B a -，若直线AB 关于y a =对称的直线与圆22(3)(2)1x y +++=有公共点，则a 的取值范围是．41．（2024年高考全国甲卷数学（文）真题）已知直线20ax y a ++-=与圆2241=0C x y y ++-：交于,A B 两点，则AB 的最小值为（）A ．2B ．3C ．4D ．642．（2023年高考全国乙卷数学（文）真题）已知实数,x y 满足224240x y x y +---=，则x y -的最大值是（）A ．3212+B ．4C ．132+D ．7考点12：面积问题43．（2024年天津高考数学真题）双曲线22221()00a x y a bb >-=>，的左、右焦点分别为12.F F P 、是双曲线右支上一点，且直线2PF 的斜率为2．12PF F △是面积为8的直角三角形，则双曲线的方程为（）A ．22182y x -=B ．22184x y -=C ．22128x y -=D ．22148x y -=44．（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知直线:10l x my -+=与()22:14C x y -+= 交于A ，B 两点，写出满足“ABC 面积为85”的m 的一个值．45．（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知椭圆22:13x C y +=的左、右焦点分别为1F ，2F ，直线y x m =+与C 交于A ，B 两点，若1F AB △ 面积是2F AB △ 面积的2倍，则m =（）．A ．23B 23C ．23D ．23-考点13：新定义问题46．（多选题）（2024年新课标全国Ⅰ卷数学真题）设计一条美丽的丝带,其造型可以看作图中的曲线C 的一部分.已知C 过坐标原点O .且C 上的点满足:横坐标大于2-，到点(2,0)F 的距离与到定直线(0)x a a =<的距离之积为4，则（）A ．2a =-B ．点(22,0)在C 上C ．C 在第一象限的点的纵坐标的最大值为1D ．当点()00,x y 在C 上时，0042y x ≤+。

平面解析几何----仅供学习者参考。

平面解析几何是运用代数方法，在笛卡尔直角坐标系中（坐标系还有斜坐标系，极坐标系）研究几何图形的性质，它的主要研究对象是直线，二次曲线。

一、直线。

1、有向线段。

定义：规定了方向的直线叫有向直线，规定了起点和终点的线段叫做有向线段。

例如A 、B 分别是线段AB 的起点和终点，则AB 为正，BA 为负。

一条有向线段的长度，连同表示它的方向的正、负号，叫做这条有向线段的数量，例如AB 的数量是+5，则BA 的数量是-5。

记作AB=+5，BA=-5。

∴ＡＢ＝－ＢＡ。

2、两点间的距离。

点()111y x P ，和()222y x P ，是平面上任意两点。

则21P P ，两点的距离是：()()21221221y y x x p p -+-=3、线段定比分点的坐标。

定义：设Ｐ点把有向线段21p p 分成p p 1和2pp 两部分，那么有向线段p p 1和2pp 的数量比。

就是Ｐ点分21p p 所成的比。

通常用“λ”表示，即λ＝21pp pp ，分点Ｐ的坐标为 λλ++=121x x x ，λλ++=121y y y ，（1-≠λ）4、直线的倾斜角。

定义：一条直线向上方向和x 轴的正方向所成的最小正角，叫做这条直线的倾斜角。

上图中角βα，都是倾斜角，（当直线与x 轴平行时，倾斜角为0，当直线与y 轴平行时，倾斜角为90º。

这是斜率不存在。

）倾斜角的范围是0≤α＜π。

5、直线的斜率。

定义：一条直线倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。

即αtan =k （α=2π时k 不存在）。

已知直线上两点()111y x P ，和()222y x P ，，斜率)(211212x x x x y y k ≠--=。

6、两条直线平行的充要条件。

设不重合的两条直线1l 和2l 的斜率分别是1k 和2k ，直线平行1l 和2l 的充要条件是：21k k =。

即1l ∥2l ⇔21k k =。

平面解析几何教案一、教学目标1. 知识与技能：（1）理解平面直角坐标系的概念，掌握坐标轴上的点的坐标特征；（2）掌握两点间的距离公式，了解线段中点坐标公式；（3）掌握直线的斜率公式，能够计算直线的斜率；（4）学会用两点式、截距式、斜截式求直线方程；（5）了解圆的标准方程和一般方程，能够判断点与圆的位置关系。

2. 过程与方法：（1）通过实例感受坐标系在描述几何图形中的作用；（2）利用数形结合的思想，直观理解直线的斜率概念；（3）运用转化思想，将实际问题转化为平面解析几何问题；（4）运用方程思想，解决平面解析几何问题。

3. 情感态度与价值观：（1）培养学生的数学思维能力，提高解决问题的能力；（2）培养学生对数学的兴趣，激发学习数学的积极性；（3）培养学生合作交流的能力，提高团队协作能力。

二、教学内容1. 平面直角坐标系：坐标轴上的点的坐标特征，坐标系的应用。

2. 两点间的距离与线段中点坐标：两点间的距离公式，线段中点坐标公式。

3. 直线的斜率：直线的斜率概念，斜率公式，直线的倾斜角。

4. 直线方程的求法：两点式、截距式、斜截式求直线方程。

5. 点与圆的位置关系：圆的标准方程和一般方程，判断点与圆的位置关系。

三、教学重点与难点1. 教学重点：（1）平面直角坐标系的概念及应用；（2）两点间的距离公式和线段中点坐标公式；（3）直线的斜率公式及直线的倾斜角；（4）直线方程的求法；（5）点与圆的位置关系的判断。

2. 教学难点：（1）直线的斜率公式的推导；（2）直线方程的求法；（3）点与圆的位置关系的判断。

四、教学方法1. 采用启发式教学，引导学生主动探究，发现规律；2. 利用数形结合，直观展示几何图形的性质；3. 通过实例分析，培养学生的实际应用能力；4. 运用合作学习，引导学生积极参与，提高团队协作能力。

五、教学准备1. 教学课件：平面直角坐标系、两点间的距离与线段中点坐标、直线的斜率、直线方程的求法、点与圆的位置关系；2. 教学素材：坐标轴、点、直线、圆的模型或图片；3. 教学设备：投影仪、计算机、黑板、粉笔。

平面解析几何1. 引言平面解析几何是数学中的一个重要分支，研究平面上的点、直线和曲线之间的关系和性质。

它是解析几何的基础，也是许多其他数学学科的基础。

本篇文档将介绍平面解析几何的基本概念、基本性质以及常见的应用。

我们将从平面上的点和直线开始讨论，然后引入曲线的概念，最后介绍椭圆、抛物线和双曲线等特殊曲线。

2. 平面上的点和直线2.1 点的坐标表示在平面上，我们可以使用笛卡尔坐标系来表示一个点的位置。

假设平面上有一个直角坐标系，其中x轴和x轴相交于原点x。

对于任意一个点x，我们可以使用它在x轴上的坐标x x和在x轴上的坐标x x来表示它的位置，记作x(x x,x x)。

2.2 直线的方程直线是平面解析几何中的重要概念，它是由无数个点组成的。

在平面上，一条直线可以由它上面的两个不重合的点确定。

如果我们已知直线上的两个点x1(x1,x1)和x2(x2,x2)，那么直线的方程可以通过以下公式得到：$$\\frac{x-x_1}{x_2-x_1} = \\frac{y-y_1}{y_2-y_1}$$这个公式被称为点斜式方程，其中斜率可以通过两点之间的坐标计算得到。

2.3 直线的性质平面解析几何中，直线有很多重要的性质，包括平行、垂直和相交等。

下面是一些直线的性质：•平行线的性质：如果两条直线的斜率相等，那么它们是平行线。

•垂直线的性质：如果两条直线的斜率的乘积为-1，那么它们是垂直线。

•直线的方程变形：直线的方程也可以写成其他形式，如一般式方程、斜截式方程等。

3. 曲线的方程除了直线，平面上还存在着各种各样的曲线。

在平面解析几何中，我们经常需要研究曲线的方程。

3.1 二次曲线的方程在平面解析几何中，二次曲线是一类非常重要的曲线。

它的方程可以写成二次多项式的形式。

常见的二次曲线有椭圆、抛物线和双曲线等。

•椭圆的方程：椭圆是平面上一类特殊的曲线，其方程可以写成如下的标准方程：$$\\frac{x^2}{a^2} + \\frac{y^2}{b^2} = 1$$其中x和x分别是椭圆的半长轴和半短轴的长度。

平面解析几何解析几何是数学中的一个分支，研究的是在平面或者空间中的点、线、面之间的关系。

平面解析几何主要研究平面内点的位置、线的性质以及二次曲线的方程等问题。

在这篇文章中，我们将深入探讨平面解析几何的相关概念、基本原理以及应用。

一、平面坐标系平面解析几何的基础是平面坐标系。

平面坐标系是通过两个互相垂直的坐标轴来确定平面上任意一点的位置。

通常将水平轴称为x轴，竖直轴称为y轴。

我们可以用有序数对(x, y)来表示一个点在坐标系中的位置，其中x为横坐标，y为纵坐标。

二、点的位置关系在平面坐标系中，点的位置可以通过其坐标值来确定。

对于两个点A(x₁, y₁)和B(x₂, y₂)，可以计算它们之间的距离和斜率来研究它们的位置关系。

1. 距离：两点之间的距离可以通过勾股定理计算。

假设两点A(x₁, y₁)和B(x₂, y₂)，它们之间的距离d可以表示为d = √((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²)。

2. 斜率：对于直线上的两点A(x₁, y₁)和B(x₂, y₂)，它们之间的斜率可以表示为k = (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁)。

根据斜率的正负和大小，我们可以判断直线的倾斜方向和倾斜程度。

三、直线的方程直线是平面解析几何中的重要对象。

直线的方程可以分为一般式、斜截式和点斜式等形式。

1. 一般式：一般式方程表示为Ax + By + C = 0，其中A、B和C为实常数，且A和B不同时为0。

2. 斜截式：斜截式方程表示为y = kx + b，其中k为斜率，b为截距。

3. 点斜式：点斜式方程表示为(y - y₁) = k(x - x₁)，其中(x₁, y₁)为直线上的已知点，k为斜率。

通过这些方程，我们可以根据已知条件推导出直线的方程，或者根据方程求出直线的性质。

四、二次曲线的方程除了直线，二次曲线也是平面解析几何中研究的重点之一。

二次曲线的方程一般形式为Ax² + Bxy + Cy² + Dx + Ey + F = 0，其中A、B、C、D、E和F为实常数。

平面解析几何基础解析几何是几何学的一个重要分支，它通过代数方法来研究几何问题。

平面解析几何是解析几何的基础，它研究平面中的点、直线、圆、椭圆等几何对象，并用代数方法对其进行描述和分析。

本文将介绍平面解析几何的基本概念、性质及应用。

一、平面直角坐标系在平面解析几何中，我们通常使用直角坐标系来描述点的位置。

直角坐标系由两条相互垂直的坐标轴构成，分别称为x轴和y轴。

我们用(x, y)表示直角坐标系中的一个点，其中x表示点在x轴上的坐标，y表示点在y轴上的坐标。

二、平面上的点与向量在平面解析几何中，点是最基本的概念之一。

平面上的点可以通过坐标表示，也可以通过向量表示。

给定平面上两点A(x₁, y₁)和B(x₂,y₂)，可以定义向量AB为从点A指向点B的有向线段。

三、平面直线的方程平面解析几何中，直线是另一个重要的概念。

平面直线可以通过方程来表示，其中最常见的是一般式和点斜式方程。

1. 一般式方程一般式方程表示为Ax + By + C = 0，其中A、B和C是常数，且A和B不同时为0。

一般式方程可以表示平面上的任意直线。

2. 点斜式方程点斜式方程表示为y - y₁ = m(x - x₁)，其中m是直线的斜率，(x₁,y₁)是直线上的一个点。

点斜式方程可以通过直线的斜率和一个点来确定直线的方程。

四、平面圆的方程在平面解析几何中，圆是另一个重要的几何对象。

平面圆可以通过方程来表示，最常见的是标准方程和一般方程。

1. 标准方程标准方程表示为(x - h)² + (y - k)² = r²，其中(h, k)是圆心的坐标，r是半径的长度。

标准方程可以唯一地确定一个圆。

2. 一般方程一般方程表示为x² + y² + Dx + Ey + F = 0，其中D、E和F是常数。

一般方程可以表示一类特殊的圆，或者是退化成直线或点的情况。

五、平面解析几何的应用平面解析几何在实际中有广泛的应用，其中包括几何问题的求解、图形的变换等。

专题05 平面解析几何1．【2021年新高考1卷】已知1F ，2F 是椭圆C ：22194x y+=的两个焦点，点M 在C 上，则12MF MF ⋅的最大值为（ ）A ．13B ．12C ．9D ．6【答案】C【分析】本题通过利用椭圆定义得到1226MF MF a +==，借助基本不等式212122MF MF MF MF ⎛+⎫⋅≤ ⎪⎝⎭即可得到答案．【解析】由题，229,4a b ==，则1226MF MF a +==，所以2121292MF MF MF MF ⎛+⎫⋅≤= ⎪⎝⎭（当且仅当123MF MF ==时，等号成立）． 故选：C ．2．【2021年新高考2卷】抛物线22(0)y px p =>的焦点到直线1y x =+的距离为2，则p =（ ） A ．1 B ．2 C ．22 D ．4【答案】B【分析】首先确定抛物线的焦点坐标，然后结合点到直线距离公式可得p 的值. 【解析】抛物线的焦点坐标为,02p ⎛⎫⎪⎝⎭，其到直线10x y -+=的距离：012211pd -+==+，解得：2p =(6p =-舍去).故选：B. 3．【2022年新高考1卷】已知O 为坐标原点，点在抛物线上，过点的直线交C 于P ，Q 两点，则（ ）A ．C 的准线为B ．直线AB 与C 相切 C ．D ．【答案】BCD【分析】求出抛物线方程可判断A ，联立AB 与抛物线的方程求交点可判断B ，利用距离公式及弦长公式可判断C、D.【解析】将点的代入抛物线方程得，所以抛物线方程为，故准线方程为，A错误；，所以直线的方程为，联立，可得，解得，故B正确；设过的直线为，若直线与轴重合，则直线与抛物线只有一个交点，所以，直线的斜率存在，设其方程为，，联立，得，所以，所以或，，又，，所以，故C正确；因为，，所以，而，故D正确.故选：BCD 4．【2022年新高考2卷】已知O为坐标原点，过抛物线焦点F的直线与C交于A，B两点，其中A在第一象限，点，若，则（）A．直线的斜率为B．C．D．【答案】ACD【分析】由及抛物线方程求得，再由斜率公式即可判断A选项；表示出直线的方程，联立抛物线求得，即可求出判断B选项；由抛物线的定义求出即可判断C选项；由，求得，为钝角即可判断D选项.【解析】对于A，易得，由可得点在的垂直平分线上，则点横坐标为，代入抛物线可得，则，则直线的斜率为，A 正确；对于B ，由斜率为可得直线的方程为，联立抛物线方程得，设，则，则，代入抛物线得，解得，则，则，B 错误；对于C ，由抛物线定义知：，C 正确；对于D ，，则为钝角， 又，则为钝角，又，则，D 正确.故选：ACD.5．【2021年新高考1卷】已知点P 在圆()()225516x y -+-=上，点()4,0A 、()0,2B ，则（ ）A ．点P 到直线AB 的距离小于10 B ．点P 到直线AB 的距离大于2C ．当PBA ∠最小时，32PB =D ．当PBA ∠最大时，32PB =【答案】ACD【分析】计算出圆心到直线AB 的距离，可得出点P 到直线AB 的距离的取值范围，可判断AB 选项的正误；分析可知，当PBA ∠最大或最小时，PB 与圆M 相切，利用勾股定理可判断CD 选项的正误.【解析】圆()()225516x y -+-=的圆心为()5,5M ，半径为4，直线AB 的方程为142x y +=，即240x y +-=，圆心M 到直线AB 的距离为2252541111545512+⨯-==>+，所以，点P 到直线AB 的距离的最小值为115425-<，最大值为1154105+<，A 选项正确，B 选项错误；如下图所示：当PBA ∠最大或最小时，PB 与圆M 相切，连接MP 、BM ，可知PM PB ⊥，()()22052534BM =-+-4MP =，由勾股定理可得2232BP BM MP =-=CD 选项正确.故选：ACD.【点睛】结论点睛：若直线l 与半径为r 的圆C 相离，圆心C 到直线l 的距离为d ，则圆C 上一点P 到直线l 的距离的取值范围是[],d r d r -+.6．【2021年新高考2卷】已知直线2:0l ax by r +-=与圆222:C x y r +=，点(,)A a b ，则下列说法正确的是（ ）A ．若点A 在圆C 上，则直线l 与圆C 相切B ．若点A 在圆C 内，则直线l 与圆C 相离 C ．若点A 在圆C 外，则直线l 与圆C 相离D ．若点A 在直线l 上，则直线l 与圆C 相切 【答案】ABD【分析】转化点与圆、点与直线的位置关系为222,a b r +的大小关系，结合点到直线的距离及直线与圆的位置关系即可得解. 【解析】圆心()0,0C 到直线l的距离2d =若点(),A a b 在圆C 上，则222a b r +=，所以2d r =，则直线l 与圆C 相切，故A 正确；若点(),A a b 在圆C 内，则222a b r +<，所以2d r =，则直线l 与圆C 相离，故B 正确；若点(),A a b 在圆C 外，则222a b r +>，所以2d r =，则直线l 与圆C 相交，故C 错误；若点(),A a b 在直线l 上，则2220a b r +-=即222=a b r +，所以2d r ，直线l 与圆C 相切，故D 正确.故选：ABD.7．【2020年新高考1卷（山东卷）】已知曲线22:1C mx ny +=.（ ） A ．若m >n >0，则C 是椭圆，其焦点在y 轴上 B ．若m =n >0，则CC ．若mn <0，则C是双曲线，其渐近线方程为y = D ．若m =0，n >0，则C 是两条直线 【答案】ACD【分析】结合选项进行逐项分析求解，0m n >>时表示椭圆，0m n =>时表示圆，0mn <时表示双曲线，0,0m n =>时表示两条直线.【解析】对于A ，若0m n >>，则221mx ny +=可化为22111x y m n +=， 因为0m n >>，所以11m n<， 即曲线C 表示焦点在y 轴上的椭圆，故A 正确；对于B ，若0m n =>，则221mx ny +=可化为221x y n+=， 此时曲线C 表示圆心在原点，半径为nn的圆，故B 不正确； 对于C ，若0mn <，则221mx ny +=可化为22111x y m n +=，此时曲线C 表示双曲线， 由220mx ny +=可得my x n=±-，故C 正确； 对于D ，若0,0m n =>，则221mx ny +=可化为21y n=， ny n=±，此时曲线C 表示平行于x 轴的两条直线，故D 正确； 故选：ACD.【点睛】本题主要考查曲线方程的特征，熟知常见曲线方程之间的区别是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养. 8．【2022年新高考1卷】写出与圆和都相切的一条直线的方程________________． 【答案】或或【分析】先判断两圆位置关系，分情况讨论即可. 【解析】圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为，两圆圆心距为，等于两圆半径之和，故两圆外切，如图，当切线为l时，因为，所以，设方程为O到l的距离，解得，所以l的方程为，当切线为m时，设直线方程为，其中，，由题意，解得，当切线为n时，易知切线方程为，故答案为：或或.9．【2022年新高考1卷】已知椭圆，C的上顶点为A，两个焦点为，，离心率为．过且垂直于的直线与C交于D，E两点，，则的周长是________________．【答案】13【分析】利用离心率得到椭圆的方程为，根据离心率得到直线的斜率，进而利用直线的垂直关系得到直线的斜率，写出直线的方程：，代入椭圆方程，整理化简得到：，利用弦长公式求得，得，根据对称性将的周长转化为的周长，利用椭圆的定义得到周长为.【解析】∵椭圆的离心率为，∴，∴，∴椭圆的方程为，不妨设左焦点为，右焦点为，如图所示，∵，∴，∴为正三角形，∵过且垂直于的直线与C交于D，E两点，为线段的垂直平分线，∴直线的斜率为，斜率倒数为，直线的方程：，代入椭圆方程，整理化简得到：，判别式，∴，∴，得，∵为线段的垂直平分线，根据对称性，，∴的周长等于的周长，利用椭圆的定义得到周长为.故答案为：13.10．【2022年新高考2卷】设点，若直线关于对称的直线与圆有公共点，则a的取值范围是________．【答案】【分析】首先求出点关于对称点的坐标，即可得到直线的方程，根据圆心到直线的距离小于等于半径得到不等式，解得即可；【解析】解：关于对称的点的坐标为，在直线上，所以所在直线即为直线，所以直线为，即；圆，圆心，半径，依题意圆心到直线的距离，即，解得，即；故答案为：11．【2022年新高考2卷】已知直线l 与椭圆在第一象限交于A ，B 两点，l 与x轴，y 轴分别交于M ，N 两点，且，则l 的方程为___________．【答案】【分析】令的中点为，设，，利用点差法得到，设直线，，，求出、的坐标，再根据求出、，即可得解； 【解析】解：令的中点为，因为，所以，设，，则，，所以，即所以，即，设直线，，，令得，令得，即，，所以， 即，解得或（舍去），又，即，解得或（舍去），所以直线，即；故答案为：12．【2021年新高考1卷】已知O 为坐标原点，抛物线C ：22y px =(0p >)的焦点为F ，P为C 上一点，PF 与x 轴垂直，Q 为x 轴上一点，且PQ OP ⊥，若6FQ =，则C 的准线方程为______. 【答案】32x =-【分析】先用坐标表示P Q ，，再根据向量垂直坐标表示列方程，解得p ，即得结果. 【解析】抛物线C ：22y px = (0p >)的焦点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭,∵P 为C 上一点，PF 与x 轴垂直， 所以P 的横坐标为2p ，代入抛物线方程求得P 的纵坐标为p ±,不妨设(,)2pP p ,因为Q 为x 轴上一点，且PQ OP ⊥，所以Q 在F 的右侧， 又||6FQ =，(6,0),(6,)2pQ PQ p ∴+∴=- 因为PQ OP ⊥，所以PQ OP ⋅=2602pp ⨯-=, 0,3p p >∴=，所以C 的准线方程为32x =-故答案为：32x =-.【点睛】利用向量数量积处理垂直关系是本题关键.13．【2021年新高考2卷】若双曲线22221x y a b -=的离心率为2，则此双曲线的渐近线方程___________.【答案】y =【分析】根据离心率得出2c a =，结合222+=a b c 得出,a b 关系，即可求出双曲线的渐近线方程.【解析】由题可知，离心率2ce a==，即2c a =，又22224a b c a +==，即223b a =，则ba=故此双曲线的渐近线方程为y =.故答案为：y =.14．【2020年新高考1卷（山东卷）C ：y 2=4x 的焦点，且与C 交于A ，B 两点，则AB =________． 【答案】163【分析】先根据抛物线的方程求得抛物线焦点坐标，利用点斜式得直线方程，与抛物线方程联立消去y 并整理得到关于x 的二次方程，接下来可以利用弦长公式或者利用抛物线定义将焦点弦长转化求得结果.【解析】∵抛物线的方程为24y x =，∴抛物线的焦点F 坐标为(1,0)F ， 又∵直线AB 过焦点F 且斜率为3，∴直线AB 的方程为：3(1)y x =- 代入抛物线方程消去y 并化简得231030x x -+=，解法一：解得121,33x x == ，所以212116||1||13|3|33AB k x x =+-=+⋅-=解法二：10036640∆=-=>，设1122(,),(,)A x y B x y ，则12103x x +=, 过,A B 分别作准线1x =-的垂线，设垂足分别为,C D 如图所示. 12||||||||||11AB AF BF AC BD x x =+=+=+++1216+2=3x x =+故答案为：163【点睛】本题考查抛物线焦点弦长，涉及利用抛物线的定义进行转化，弦长公式，属基础题. 15．【2022年新高考1卷】已知点在双曲线上，直线l 交C 于P ，Q 两点，直线的斜率之和为0．(1)求l 的斜率； (2)若，求的面积．【答案】(1)；(2)．【分析】（1）由点在双曲线上可求出，易知直线l的斜率存在，设，，再根据，即可解出l的斜率；（2）根据直线的斜率之和为0可知直线的倾斜角互补，再根据即可求出直线的斜率，再分别联立直线与双曲线方程求出点的坐标，即可得到直线的方程以及的长，由点到直线的距离公式求出点到直线的距离，即可得出的面积．【解析】(1)因为点在双曲线上，所以，解得，即双曲线易知直线l的斜率存在，设，，联立可得，，所以，，．所以由可得，，即，即，所以，化简得，，即，所以或，当时，直线过点，与题意不符，舍去，故．(2)不妨设直线的倾斜角为，因为，所以，因为，所以，即，即，解得，于是，直线，直线，联立可得，，因为方程有一个根为，所以，，同理可得，，．所以，，点到直线的距离，故的面积为．16．【2022年新高考2卷】已知双曲线的右焦点为，渐近线方程为．(1)求C的方程；(2)过F的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，点在C上，且．过P且斜率为的直线与过Q且斜率为的直线交于点M.从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立：①M在上；②；③．注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.【答案】(1)；(2)见解析【分析】（1）利用焦点坐标求得的值，利用渐近线方程求得的关系，进而利用的平方关系求得的值，得到双曲线的方程；（2）先分析得到直线的斜率存在且不为零，设直线AB的斜率为k,M(x0,y0),由③|AM|=| BM|等价分析得到；由直线和的斜率得到直线方程，结合双曲线的方程，两点间距离公式得到直线PQ的斜率，由②等价转化为，由①在直线上等价于，然后选择两个作为已知条件一个作为结论，进行证明即可.【解析】(1)右焦点为，∴,∵渐近线方程为，∴，∴，∴，∴，∴．∴C的方程为：；(2)由已知得直线的斜率存在且不为零，直线的斜率不为零，若选由①②推③或选由②③推①：由②成立可知直线的斜率存在且不为零；若选①③推②，则为线段的中点，假若直线的斜率不存在，则由双曲线的对称性可知在轴上，即为焦点,此时由对称性可知、关于轴对称，与从而，已知不符；总之，直线的斜率存在且不为零.设直线的斜率为,直线方程为,则条件①在上，等价于；两渐近线的方程合并为,联立消去y并化简整理得：设,线段中点为,则,设,则条件③等价于,移项并利用平方差公式整理得：，,即,即；由题意知直线的斜率为, 直线的斜率为,∴由,∴,所以直线的斜率,直线,即,代入双曲线的方程,即中，得：,解得的横坐标：,同理：，∴∴, ∴条件②等价于，综上所述：条件①在上，等价于；条件②等价于；条件③等价于；选①②推③:由①②解得：,∴③成立；选①③推②：由①③解得：，，∴，∴②成立；选②③推①：由②③解得：，，∴，∴，∴①成立.17．【2021年新高考1卷】在平面直角坐标系xOy 中，已知点()117,0F -、()21217,02F MF MF -=，，点M 的轨迹为C .（1）求C 的方程； （2）设点T 在直线12x =上，过T 的两条直线分别交C 于A 、B 两点和P ，Q 两点，且TA TB TP TQ ⋅=⋅，求直线AB 的斜率与直线PQ 的斜率之和.【答案】（1）()221116y x x -=≥；（2）0. 【分析】(1) 利用双曲线的定义可知轨迹C 是以点1F 、2F 为左、右焦点双曲线的右支，求出a 、b 的值，即可得出轨迹C 的方程；(2)方法一：设出点的坐标和直线方程，联立直线方程与曲线C 的方程，结合韦达定理求得直线的斜率，最后化简计算可得12k k +的值. 【解析】(1) 因为12122217MF MF F F -=<=，所以，轨迹C 是以点1F 、2F 为左、右焦点的双曲线的右支，设轨迹C 的方程为()222210,0x y a b a b -=>>，则22a =，可得1a =，2174b a =-=，所以，轨迹C 的方程为()221116y x x -=≥.（2）[方法一] 【最优解】：直线方程与双曲线方程联立，如图所示，设1(,)2T n ,设直线AB 的方程为112211(),,(2,(),)y n k x A x y B x y -=-．联立1221()2116y n k x y x ⎧-=-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩,化简得22221111211(16)(2)1604k x k k n x k n k n -+---+-=.则22211112122211111624,1616k n k n k k n x x x x k k +-+-+==--．故12,11||)||)22TA x TB x --．则222111221(12)(1)11||||(1)()()2216n k TA TB k x x k ++⋅=+--=-．设PQ 的方程为21()2y n k x -=-，同理22222(12)(1)||||16n k TP TQ k ++⋅=-． 因为TA TB TP TQ ⋅=⋅，所以22122212111616k k k k ++=--，化简得22121717111616k k +=+--，所以22121616k k -=-，即2212k k =．因为11k k ≠，所以120k k +=．[方法二] ：参数方程法设1(,)2T m ．设直线AB 的倾斜角为1θ，则其参数方程为111cos 2sin x t y m t θθ⎧=+⎪⎨⎪=+⎩，联立直线方程与曲线C 的方程2216160(1)x y x --≥=，可得222221111cos 116(cos )(sin 2sin )1604t m t t mt θθθθ+-++-=+，整理得22221111(16cos sin )(16cos 2sin )(12)0t m t m θθθθ-+--+=．设12,TA t TB t ==，由根与系数的关系得2212222111(12)12||||16cos sin 117cos t m m TA TB t θθθ-++⋅===--⋅．设直线PQ 的倾斜角为2θ，34,TP t TQ t ==，同理可得2342212||||117cos m T T t P Q t θ+⋅==-⋅ 由||||||||TA TB TP TQ ⋅=⋅，得2212cos cos θθ=．因为12θθ≠，所以12s o o s c c θθ=-．由题意分析知12θθπ+=．所以12tan tan 0θθ+=， 故直线AB 的斜率与直线PQ 的斜率之和为0． [方法三]：利用圆幂定理因为TA TB TP TQ ⋅=⋅，由圆幂定理知A ，B ，P ，Q 四点共圆．设1(,)2T t ,直线AB 的方程为11()2y t k x -=-，直线PQ 的方程为21()2y t k x -=-,则二次曲线1212()()022k kk x y t k x y t --+--+=． 又由22116y x -=，得过A ，B ，P ，Q 四点的二次曲线系方程为：221212()()(1)0(0)2216k k y k x y t k x y t x λμλ--+--++--=≠，整理可得：[]2212121212()()()()16k x y k k xy t k k k k k x μμλλλλ++--+++-12(2)02y k k t m λ++-+=，其中21212()42k k t m t k k λμ⎡⎤=+-+-⎢⎥⎣⎦． 由于A ，B ，P ，Q 四点共圆，则xy 项的系数为0，即120k k +=.【整体点评】(2)方法一：直线方程与二次曲线的方程联立，结合韦达定理处理圆锥曲线问题是最经典的方法，它体现了解析几何的特征，是该题的通性通法，也是最优解； 方法二：参数方程的使用充分利用了参数的几何意义，要求解题过程中对参数有深刻的理解，并能够灵活的应用到题目中.方法三：圆幂定理的应用更多的提现了几何的思想，二次曲线系的应用使得计算更为简单.18．【2021年新高考2卷】已知椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b +=>>，右焦点为F ，（1）求椭圆C 的方程；（2）设M ，N 是椭圆C 上的两点，直线MN 与曲线222(0)x y b x +=>相切．证明：M ，N ，F 三点共线的充要条件是||MN =【答案】（1）2213x y +=；（2）证明见解析.【分析】（1）由离心率公式可得a =2b ，即可得解；（2）必要性：由三点共线及直线与圆相切可得直线方程，联立直线与椭圆方程可证MN充分性：设直线():,0MN y kx b kb =+<，由直线与圆相切得221b k =+，联立直线与椭圆方=1k =±，即可得解.【解析】（1）由题意，椭圆半焦距c =c e a ==，所以a = 又2221b a c =-=，所以椭圆方程为2213x y +=；（2）由（1）得，曲线为221(0)x y x +=>，当直线MN 的斜率不存在时，直线:1MN x =，不合题意； 当直线MN 的斜率存在时，设()()1122,,,M x y N x y ， 必要性：若M ，N ，F三点共线，可设直线(:MN y k x =即0kx y --=，由直线MN 与曲线221(0)x y x +=>1=，解得1k =±，联立(2213y x x y ⎧=±⎪⎨⎪+=⎩可得2430x -+=，所以1212324x x x x +=⋅=，所以MN 所以必要性成立；充分性：设直线():,0MN y kx b kb =+<即0kx y b -+=， 由直线MN 与曲线221(0)x y x +=>1=，所以221b k =+，联立2213y kx b x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩可得()222136330k x kbx b +++-=， 所以2121222633,1313kb b x x x x k k -+=-⋅=++，所以MN ==()22310k -=，所以1k =±， 所以1k b =⎧⎪⎨=⎪⎩或1k b =-⎧⎪⎨=⎪⎩:MN y x=y x =-，所以直线MN 过点F ，M ，N ，F 三点共线，充分性成立； 所以M ，N ，F 三点共线的充要条件是||MN = 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是直线方程与椭圆方程联立及韦达定理的应用，注意运算的准确性是解题的重中之重.19．【2020年新高考1卷（山东卷）】已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>过点()2,1A ． （1）求C 的方程：（2）点M ，N 在C 上，且AM AN ⊥，AD MN ⊥，D 为垂足．证明：存在定点Q ，使得DQ 为定值．【答案】（1）22163x y +=；（2）详见解析.【分析】（1）由题意得到关于,,a b c 的方程组，求解方程组即可确定椭圆方程.（2）方法一：设出点M ，N 的坐标，在斜率存在时设方程为y kx m =+, 联立直线方程与椭圆方程，根据已知条件，已得到,m k 的关系，进而得直线MN 恒过定点，在直线斜率不存在时要单独验证，然后结合直角三角形的性质即可确定满足题意的点Q 的位置. 【解析】（1）由题意可得：22222411c aa b a b c ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得：2226,3a b c ===，故椭圆方程为：22163x y +=.(2)［方法一］：通性通法 设点()()1122,,,M x y N x y ，若直线MN 斜率存在时，设直线MN 的方程为：y kx m =+， 代入椭圆方程消去y 并整理得：()222124260kxkmx m +++-=，可得122412km x x k +=-+，21222612m x x k -=+，因为AM AN ⊥，所以·0AM AN =，即()()()()121222110x x y y --+--=， 根据1122,kx m y kx m y =+=+,代入整理可得：()()()()22121212140x x km k x x km ++--++-+=，所以()()()22222264121401212m km k km k m k k -⎛⎫++---+-+= ⎪++⎝⎭， 整理化简得()()231210k m k m +++-=，因为(2,1)A 不在直线MN 上，所以210k m +-≠，故23101k m k ++=≠，，于是MN 的方程为2133y k x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭()1k ≠，所以直线过定点直线过定点21,33P ⎛⎫- ⎪⎝⎭.当直线MN 的斜率不存在时，可得()11,N x y -， 由·0AM AN =得：()()()()111122110x x y y --+---=， 得()1221210x y -+-=，结合2211163x y +=可得：2113840x x -+=， 解得：123x =或22x =（舍）.此时直线MN 过点21,33P ⎛⎫- ⎪⎝⎭. 令Q 为AP 的中点，即41,33Q ⎛⎫⎪⎝⎭，若D 与P 不重合，则由题设知AP 是Rt ADP △的斜边，故12DQ AP =， 若D 与P 重合，则12DQ AP =，故存在点41,33Q ⎛⎫⎪⎝⎭，使得DQ 为定值. ［方法二］【最优解】：平移坐标系将原坐标系平移，原来的O 点平移至点A 处，则在新的坐标系下椭圆的方程为22(2)(1)163x y +++=，设直线MN 的方程为4mx ny ．将直线MN 方程与椭圆方程联立得224240x x y y +++=，即22()2()0x mx ny x y mx ny y +++++=，化简得22(2)()(1)0n y m n xy m x +++++=，即2(2)()(1)0y y n m n m x x ⎛⎫⎛⎫+++++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．设()()1122,,,M x y N x y ，因为AM AN ⊥则1212AM AN y y k k x x ⋅=⋅112m n +==-+，即3m n =--． 代入直线MN 方程中得()340n y x x ---=．则在新坐标系下直线MN 过定点44,33⎛⎫-- ⎪⎝⎭，则在原坐标系下直线MN 过定点21,33P ⎛⎫- ⎪⎝⎭．又AD MN ⊥，D 在以AP 为直径的圆上．AP 的中点41,33⎛⎫⎪⎝⎭即为圆心Q ．经检验，直线MN 垂直于x 轴时也成立．故存在41,33Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭，使得1||||2DQ AP =．［方法三］：建立曲线系 A 点处的切线方程为21163x y ⨯⨯+=，即30x y +-=．设直线MA 的方程为11210k x y k --+=，直线MB 的方程为22210k x y k --+=，直线MN 的方程为0kx y m -+=．由题意得121k k ．则过A ，M ，N 三点的二次曲线系方程用椭圆及直线,MA MB 可表示为()()22112212121063x y k x y k k x y k λ⎛⎫+-+--+--+= ⎪⎝⎭（其中λ为系数）． 用直线MN 及点A 处的切线可表示为()(3)0kx y m x y μ-+⋅+-=（其中μ为系数）．即()()22112212121()(3)63x y k x y k k x y k kx y m x y λμ⎛⎫+-+--+--+=-++- ⎪⎝⎭． 对比xy 项、x 项及y 项系数得()()()121212(1),4(3),21(3).k k k k k m k k k m λμλμλμ⎧+=-⎪++=-⎨⎪+-=+⎩①②③将①代入②③，消去,λμ并化简得3210m k ++=，即2133m k =--．故直线MN 的方程为2133y k x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，直线MN 过定点21,33P ⎛⎫- ⎪⎝⎭．又AD MN ⊥，D 在以AP 为直径的圆上．AP 中点41,33⎛⎫⎪⎝⎭即为圆心Q ．经检验，直线MN 垂直于x 轴时也成立．故存在41,33Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭，使得1||||2DQ AP ==．［方法四］：设()()1122,,,M x y N x y ．若直线MN 的斜率不存在，则()()1111,,,M x y N x y -． 因为AM AN ⊥，则0AM AN ⋅=，即()1221210x y -+-=．由2211163x y +=，解得123x =或12x =（舍）．所以直线MN 的方程为23x =．若直线MN 的斜率存在，设直线MN 的方程为y kx m =+，则()()()222122()6120x kx m k x x x x ++-=+--=．令2x =，则()()1222(21)(21)2212k m k m x x k +-++--=+．又()()221221262y m y y y y y k k -⎛⎫⎛⎫+-=+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令1y =，则()()122(21)(21)1112k m k m y y k +--+---=+．因为AM AN ⊥，所以()()()()12122211AM AN x x y y ⋅=--+--2(21)(231)12k m k m k +-++=+0=，即21m k =-+或2133m k =--．当21m k =-+时，直线MN 的方程为21(2)1y kx k k x =-+=-+．所以直线MN 恒过(2,1)A ，不合题意；当2133m k =--时，直线MN 的方程为21213333y kx k k x ⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭，所以直线MN 恒过21,33P ⎛⎫- ⎪⎝⎭．综上，直线MN 恒过21,33P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以||3AP =又因为AD MN ⊥，即AD AP ⊥，所以点D 在以线段AP 为直径的圆上运动．取线段AP 的中点为41,33Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则1||||2DQ AP =．所以存在定点Q ，使得||DQ 为定值．【整体点评】（2）方法一：设出直线MN 方程，然后与椭圆方程联立，通过题目条件可知直线过定点P ，再根据平面几何知识可知定点Q 即为AP 的中点，该法也是本题的通性通法； 方法二：通过坐标系平移，将原来的O 点平移至点A 处，设直线MN 的方程为4mx ny ，再通过与椭圆方程联立，构建齐次式，由韦达定理求出,m n 的关系，从而可知直线过定点P ，从而可知定点Q 即为AP 的中点，该法是本题的最优解；方法三：设直线:MN y kx m =+，再利用过点,,A M N 的曲线系，根据比较对应项系数可求出,m k 的关系，从而求出直线过定点P ，故可知定点Q 即为AP 的中点；方法四：同方法一，只不过中间运算时采用了一元二次方程的零点式赋值，简化了求解()()1222--x x 以及()()1211y y --的计算．20．【2020年新高考2卷（海南卷）】已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>过点M （2，3）,点A 为其左顶点，且AM 的斜率为12 ， （1）求C 的方程；（2）点N 为椭圆上任意一点，求△AMN 的面积的最大值.【答案】（1）2211612x y +=；（2）18.【分析】(1)由题意分别求得a ,b 的值即可确定椭圆方程；(2)首先利用几何关系找到三角形面积最大时点N 的位置，然后联立直线方程与椭圆方程，结合判别式确定点N 到直线AM 的距离即可求得三角形面积的最大值. 【解析】(1)由题意可知直线AM 的方程为：13(2)2y x -=-，即24-=-x y .当y =0时，解得4x =-，所以a =4，椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>过点M (2，3)，可得249116b +=，解得b 2=12.所以C 的方程：2211612x y +=.(2)设与直线AM 平行的直线方程为：2x y m -=，如图所示，当直线与椭圆相切时，与AM 距离比较远的直线与椭圆的切点为N ，此时△AMN 的面积取得最大值.联立直线方程2x y m -=与椭圆方程2211612x y +=，可得：()2232448m y y ++=， 化简可得：2216123480y my m ++-=，所以()221444163480m m ∆=-⨯-=，即m 2=64，解得m =±8，与AM 距离比较远的直线方程：28x y -=， 直线AM 方程为：24-=-x y ，点N 到直线AM 的距离即两平行线之间的距离， 利用平行线之间的距离公式可得：12514d ==+由两点之间距离公式可得||AM =.所以△AMN 的面积的最大值：1182⨯=.【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．【】专题05 平面解析几何1．【2021年新高考1卷】已知1F ，2F 是椭圆C ：22194x y+=的两个焦点，点M 在C 上，则12MF MF ⋅的最大值为（ ）A ．13B ．12C ．9D ．62．【2021年新高考2卷】抛物线22(0)y px p =>的焦点到直线1y x =+的距离为2，则p =（ ） A ．1B ．2C ．22D ．43．【2022年新高考1卷】已知O 为坐标原点，点在抛物线上，过点的直线交C 于P ，Q 两点，则（ ）A ．C 的准线为B ．直线AB 与C 相切 C ．D ．4．【2022年新高考2卷】已知O 为坐标原点，过抛物线焦点F 的直线与C 交于A ，B 两点，其中A 在第一象限，点，若，则（ ） A ．直线的斜率为B ．C ．D ．5．【2021年新高考1卷】已知点P 在圆()()225516x y -+-=上，点()4,0A 、()0,2B ，则（ ）A ．点P 到直线AB 的距离小于10 B ．点P 到直线AB 的距离大于2C ．当PBA ∠最小时，32PB =D ．当PBA ∠最大时，32PB =6．【2021年新高考2卷】已知直线2:0l ax by r +-=与圆222:C x y r +=，点(,)A a b ，则下列说法正确的是（ ）A ．若点A 在圆C 上，则直线l 与圆C 相切B ．若点A 在圆C 内，则直线l 与圆C 相离 C ．若点A 在圆C 外，则直线l 与圆C 相离D ．若点A 在直线l 上，则直线l 与圆C 相切7．【2020年新高考1卷（山东卷）】已知曲线22:1C mx ny +=.（ ） A ．若m >n >0，则C 是椭圆，其焦点在y 轴上 B ．若m =n >0，则C nC ．若mn <0，则C 是双曲线，其渐近线方程为my x n=±- D ．若m =0，n >0，则C 是两条直线 8．【2022年新高考1卷】写出与圆和都相切的一条直线的方程________________． 9．【2022年新高考1卷】已知椭圆，C 的上顶点为A ，两个焦点为，，离心率为．过且垂直于的直线与C 交于D ，E 两点，，则的周长是________________． 10．【2022年新高考2卷】设点，若直线关于对称的直线与圆有公共点，则a 的取值范围是________．11．【2022年新高考2卷】已知直线l 与椭圆在第一象限交于A ，B 两点，l 与x轴，y 轴分别交于M ，N 两点，且，则l 的方程为___________．12．【2021年新高考1卷】已知O 为坐标原点，抛物线C ：22y px =(0p >)的焦点为F ，P 为C 上一点，PF 与x 轴垂直，Q 为x 轴上一点，且PQ OP ⊥，若6FQ =，则C 的准线方程为______.13．【2021年新高考2卷】若双曲线22221x y a b -=的离心率为2，则此双曲线的渐近线方程___________.14．【2020年新高考1卷（山东卷）】斜率为3的直线过抛物线C ：y 2=4x 的焦点，且与C 交于A ，B 两点，则AB =________． 15．【2022年新高考1卷】已知点在双曲线上，直线l 交C 于P ，Q 两点，直线的斜率之和为0．(1)求l 的斜率； (2)若，求的面积．16．【2022年新高考2卷】已知双曲线的右焦点为，渐近线方程为．(1)求C 的方程；(2)过F 的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点，点在C 上，且．过P 且斜率为的直线与过Q 且斜率为的直线交于点M .从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立： ①M 在上；②；③．注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.17．【2021年新高考1卷】在平面直角坐标系xOy 中，已知点()1F 、)2122F MF MF -=，，点M 的轨迹为C .（1）求C 的方程； （2）设点T 在直线12x =上，过T 的两条直线分别交C 于A 、B 两点和P ，Q 两点，且TA TB TP TQ ⋅=⋅，求直线AB 的斜率与直线PQ 的斜率之和.18．【2021年新高考2卷】已知椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b +=>>，右焦点为F ，（1）求椭圆C 的方程；（2）设M ，N 是椭圆C 上的两点，直线MN 与曲线222(0)x y b x +=>相切．证明：M ，N ，F 三点共线的充要条件是||MN =19．【2020年新高考1卷（山东卷）】已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>过点()2,1A ． （1）求C 的方程：（2）点M ，N 在C 上，且AM AN ⊥，AD MN ⊥，D 为垂足．证明：存在定点Q ，使得DQ 为定值．20．【2020年新高考2卷（海南卷）】已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>过点M （2，3）,点A 为其左顶点，且AM 的斜率为12 ， （1）求C 的方程；（2）点N 为椭圆上任意一点，求△AMN 的面积的最大值.【】三年专题05 立体几何（选择题、填空题）（理科专用）1．【2022年新高考1卷】南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔时，相应水面的面积为；水位为海拔时，相应水面的面积为，将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔上升到时，增加的水量约为（）（）A．B．C．D．【答案】C【解析】【分析】根据题意只要求出棱台的高，即可利用棱台的体积公式求出．【详解】依题意可知棱台的高为(m)，所以增加的水量即为棱台的体积．棱台上底面积，下底面积，∴．故选：C．2．【2022年新高考1卷】已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为，且，则该正四棱锥体积的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】【分析】设正四棱锥的高为，由球的截面性质列方程求出正四棱锥的底面边长与高的关系，由此确定正四棱锥体积的取值范围. 【详解】 ∵ 球的体积为，所以球的半径,设正四棱锥的底面边长为，高为，则，,所以，所以正四棱锥的体积，所以，当时，，当时，，所以当时，正四棱锥的体积取最大值，最大值为， 又时，，时，,所以正四棱锥的体积的最小值为， 所以该正四棱锥体积的取值范围是.故选：C.3．【2022年新高考2卷】已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为和，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】 【分析】根据题意可求出正三棱台上下底面所在圆面的半径，再根据球心距，圆面半径，以及球的半径之间的关系，即可解出球的半径，从而得出球的表面积． 【详解】设正三棱台上下底面所在圆面的半径，所以，即，设球心到上下底面的距离分别为，球的半径为，所以，，故或，即或，解得符合题意，所以球的表面积为．故选：A ．4．【2021年甲卷理科】2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86（单位：m ），三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A ，B ，C 三点，且A ，B ，C 在同一水平面上的投影,,A B C '''满足45AC B ∠'''=︒，。

平面解析几何简介平面解析几何是数学中的一个分支，研究的是在平面上进行几何运算和分析的方法。

通过坐标系和代数方法，可以描述和计算平面上的点、直线和曲线等几何对象之间的关系。

平面解析几何在多个学科领域中具有重要的应用，例如物理学、工程学和计算机图形学等。

坐标系在平面解析几何中，首先需要建立一个坐标系用来描述平面上的点。

常见的坐标系有笛卡尔坐标系和极坐标系。

笛卡尔坐标系笛卡尔坐标系是平面上最常用的坐标系。

它由两条相互垂直的坐标轴组成，通常表示为x轴和y轴。

平面上的每个点都可以通过一个有序的数对(x, y)来表示，其中x表示点在x 轴上的投影，y表示点在y轴上的投影。

极坐标系极坐标系是另一种常用的坐标系。

它使用角度和距离来描述平面上的点。

一个点P在极坐标系中可以表示为(r, θ)，其中r是点P到原点的距离，θ是点P与x轴之间的角度。

点和向量在平面解析几何中，点和向量是最基本的概念。

点点是表示平面上一个位置的对象。

在坐标系中，每个点都有一个唯一的坐标表示。

点的坐标可以通过坐标轴上的值来确定，例如A(2,3)表示在笛卡尔坐标系中的点A的横坐标为2，纵坐标为3。

向量向量表示由起点和终点确定的有向线段。

向量可以用箭头来表示，箭头的方向表示向量的方向，箭头的长度表示向量的大小。

在平面解析几何中，向量可以用坐标来表示。

例如，向量AB可以表示为(3,4)，表示从点A到点B的移动方向和大小。

直线和曲线在平面解析几何中，直线和曲线是研究的重点对象。

直线直线是由无限多个点组成的，所有这些点都满足某种特定的条件。

在平面解析几何中，直线可以通过两点之间的连线来确定。

在笛卡尔坐标系中，直线可以用方程y = mx + b来表示，其中m是直线的斜率，b是直线在y轴上的截距。

曲线曲线是由有限或无限多个点组成的，并且没有直线的特点。

在平面解析几何中，曲线可以通过方程来表示。

常见的曲线方程有圆的方程、椭圆的方程和抛物线的方程等。

平面解析几何的应用平面解析几何在多个学科领域中具有广泛的应用。

平面解析几何解析几何是数学中的一个重要分支，它通过使用代数和几何的方法来研究图形在平面上的性质和关系。

本文将介绍平面解析几何的基本概念和原理，并探讨一些相关的应用。

一、平面直角坐标系平面直角坐标系是平面解析几何的基础，它由两条互相垂直的坐标轴组成，通常称为$x$轴和$y$轴，它们的交点称为原点$O$。

平面上的任意一点$P$可以通过它相对于原点的横纵坐标来确定，记作$(x,y)$，其中$x$称为横坐标，$y$称为纵坐标。

二、向量向量是平面解析几何中的另一个重要概念，它表示平面上的一条有方向的线段。

向量$\overrightarrow{AB}$由起点$A$和终点$B$唯一确定，记作$\overrightarrow{AB}$或$\overrightarrow{AB}$。

向量的长度称为模，记作$|\overrightarrow{AB}|$。

向量的方向可以用一个有向角来表示，有向角的起边是$x$轴正半轴，终边是向量$\overrightarrow{AB}$。

如果一个向量的终点与另一个向量的起点重合，这两个向量可以相加，称为向量的加法。

三、直线方程在平面解析几何中，直线方程的表达形式有多种，常见的有一般式、点斜式和截距式。

一般式方程$Ax+By+C=0$表示一条直线的所有点$(x,y)$满足这个方程。

点斜式方程$y-y_1=m(x-x_1)$表示一条直线通过点$(x_1,y_1)$且斜率为$m$。

截距式方程$y=mx+b$表示一条直线在$y$轴和$x$轴上的截距分别为$b$和$m$。

四、圆的方程圆是平面解析几何中的一个重要几何图形，它由到圆心距离相等的所有点构成。

圆的方程有多种形式，常见的有标准方程和一般方程。

标准方程$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$表示圆心坐标为$(a,b)$，半径为$r$的圆。

一般方程$Ax^2+By^2+Cx+Dy+E=0$表示一个圆。

五、距离公式平面解析几何中经常涉及到线段或两点之间的距离，距离公式可以用来计算它们之间的距离。

高中数学中的平面解析几何平面解析几何是高中数学中的重要内容之一，它研究了平面上点的坐标和直线的方程，是帮助我们研究几何图形的一种重要工具。

本文将从基本概念、坐标系、直线的方程和相关定理等方面，介绍高中数学中的平面解析几何。

基本概念在平面上，我们通常使用直角坐标系来描述点的位置。

直角坐标系由x轴和y轴组成，其中x轴和y轴的交点称为原点O。

通过在x轴和y轴上取单位长度，并在平面上描述的点与原点之间的距离，我们可以得到点的坐标。

例如，点A的坐标可以表示为(x,y)。

坐标系在平面解析几何中，我们使用笛卡尔坐标系。

笛卡尔坐标系由两条互相垂直的坐标轴组成，通常表示为x轴和y轴。

x轴水平，y轴垂直于x轴。

原点O位于坐标系的交点处。

在笛卡尔坐标系中，我们可以通过给定点的x坐标和y坐标来唯一描述一个点的位置。

直线的方程在平面解析几何中，我们经常遇到直线。

直线的方程可以使用不同的形式来表示，如一般式、斜截式和点斜式等。

下面将介绍几种常见的直线方程。

1. 一般式：一般式的直线方程可以表示为Ax + By + C = 0，其中A、B、C是常数。

A和B不同时为0。

2. 斜截式：斜截式的直线方程可以表示为y = mx + c，其中m是斜率，c是截距。

3. 点斜式：点斜式的直线方程可以表示为y - y₁ = m(x - x₁)，其中m是斜率，(x₁, y₁)是直线上的一点。

相关定理在平面解析几何中，有一些重要的定理和性质。

下面将介绍其中的一些。

1. 平行和垂直的直线：如果两条直线的斜率相等，则这两条直线平行。

如果两条直线的斜率的乘积为-1，则这两条直线垂直。

2. 距离公式：两点之间的距离可以使用距离公式来计算，即d = √((x₂-x₁)² +(y₂-y₁)²)。

3. 直线的夹角：两条直线的夹角可以使用斜率公式来计算，即tanθ = |(m₁-m₂)/(1+m₁m₂)|，其中θ是两条直线的夹角，m₁和m₂是两条直线的斜率。

平面解析几何一、引言平面解析几何是解析几何的一个重要分支，研究平面上各种几何图形和关系的数学理论。

它通过代数方法来研究平面几何问题，既可以从代数的角度分析几何图形的性质，也可以从几何的角度推导出代数方程式。

平面解析几何的发展既受到古希腊几何学的影响，也得益于近代代数学的发展。

本文将介绍平面解析几何的基本概念、方程与性质，并以一些例题加以说明。

二、坐标系在平面解析几何中，我们引入了坐标系的概念。

坐标系可以通过两个互相垂直的坐标轴来确定平面上的一个点的位置。

我们将水平轴称为x轴，垂直轴称为y轴，它们的交点为原点O，以O为起点，沿着x 轴为正向，沿着y轴为负向。

对于平面上的任意一点P(x, y)，x称为横坐标，y称为纵坐标。

这样，平面上的每个点都可以通过一个有序数对(x, y)来表示。

三、直线的方程在平面解析几何中，直线是最基本的几何图形之一。

一条直线可以用方程来表示。

如果直线与x轴的交点为A(a, 0)，与y轴的交点为B(0, b)。

根据相似三角形的性质，我们可以得到直线的斜率k=b/a。

斜率表示了直线上两个不同点之间的“斜率”，即两个点沿着横轴的变化与纵轴的变化之间的比值。

直线的方程可以表示为y=kx+b，其中b是直线与y轴的交点。

四、直线的性质直线的性质在平面解析几何中是非常重要的。

首先，两条垂直的直线的斜率之积等于-1。

这是因为斜率是两个坐标变量之间的比值，对于两条垂直的直线来说，斜率之积为-1。

其次，两条平行直线的斜率相等。

这是因为两条平行直线的斜率都是沿着横轴的变化与纵轴的变化之间的比值，所以它们相等。

最后，两条直线相交于一点的充分必要条件是它们的方程组有唯一解。

这是因为两条直线相交于一点，意味着它们有且只有一个公共点。

五、圆的方程圆是另一个重要的几何图形，在平面解析几何中也有其特殊的方程。

一个圆可以用(x-a)²+(y-b)²=r²表示，其中(a, b)是圆心的坐标，r是半径的长度。

平面解析几何解析几何是数学中的一个重要分支，它研究的是几何图形在坐标系中的表示和性质。

其中平面解析几何是解析几何的一个重要分支，主要研究平面上的几何图形和相关函数方程。

一、坐标系和向量在平面解析几何中，我们首先需要建立一个坐标系，通常采用笛卡尔坐标系，也可以使用极坐标系等其他坐标系。

在笛卡尔坐标系中，我们可以利用二维平面上的两个坐标轴$x$轴和$y$轴来表示平面上的点$P$的坐标$(x, y)$。

其中$x$轴和$y$轴的交点称为坐标原点$O$。

另外，在平面解析几何中，还引入了向量的概念。

向量由方向和大小组成，可以表示平面上的位移、速度等概念。

向量的表示通常采用箭头标记，例如$\vec{AB}$表示从点$A$到点$B$的向量。

向量的加法和减法可以利用平行四边形法则进行计算。

二、直线和曲线在平面解析几何中，直线是最简单的几何图形之一。

直线可以通过两点确定，也可以通过点斜式、一般式等方程来表示。

例如，点斜式方程$y-y_1=m(x-x_1)$表示通过$(x_1, y_1)$点且斜率为$m$的直线。

除了直线，平面解析几何还研究了曲线的性质。

常见的曲线包括圆、椭圆、双曲线等。

这些曲线可以通过方程进行表示，例如圆的标准方程为$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$，其中$(a,b)$是圆心的坐标，$r$是半径。

三、距离和角度在平面解析几何中，距离和角度是两个重要的概念。

距离可以用来衡量两点之间的远近，而角度可以用来衡量两条直线或向量之间的夹角。

对于两点$A(x_1, y_1)$和$B(x_2, y_2)$之间的距离，可以利用勾股定理进行计算，即$d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$。

而对于两条直线或向量之间的夹角，可以利用向量的内积公式进行计算，即$\cos\theta=\frac{\vec{AB}\cdot\vec{BC}}{|\vec{AB}||\vec{BC}|}$，其中$\theta$为夹角。

高中数学专题复习《平面解析几何三角形、圆相关》单元过关检测经典荟萃，匠心巨制！独家原创，欢迎下载！注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 评卷人得分一、填空题1．如图, △ABC 为圆的内接三角形, BD 为圆的弦, 且BD //AC . 过点A 做圆的切线与DB 的延长线交于点E , AD 与BC 交于点F . 若AB = AC , AE = 6, BD =5, 则线段CF 的长为______.（汇编年普通高等学校招生统一考试天津数学（理）试题（含答案））2．如图3，圆O 的半径为5cm ，点P 是弦AB 的中点，3OP =cm ，弦CD 过点P ，且13CP CD =，则CD 的长为 cm ．（几何证明选讲选做题）评卷人得分二、解答题P OAB C D图3（第21—A 题）A BCDPOEF 3．（本小题满分10分，几何证明选讲） 如图，AB 是O 的一条直径，,C D 是O 上不同于,A B 的两点，过B 作O 的切线与AD 的延长线相交于点M ，AD 与BC 相交于N 点，BN BM =． （1）求证：NBD DBM ∠=∠；（2）求证：AM 是BAC ∠的角平分线．CNMBOAD4．如图，⊙O 的半径为3，两条弦AB ，CD 交于点P ，且1AP =， 3CP =，6OP =．求证：△APC ≌△DPB ． 证明：延长OP交⊙O 与点E ，F ， ………2分由相交弦定理得()()36363CP DP AP BP FP EP ⋅=⋅=⋅=-⨯+=， ………6分 又1AP =，3CP =， 故1DP =，3BP =， (8)分所以AP DP =，BP CP =， 而APC DPB ∠=∠，所以△APC ≌△DPB ． ………10分5．如图，已知圆A ，圆B 都经过点C ，BC 是圆A 的切线，圆B 交AB 于点D ，连结CD 并延长交圆A 于点E ，连结AE .求证2DE DC AD DB ⋅=⋅.6．如图，O 为ABC 的外心，,AD BE 分别为边,BC CA 上的高，求证：OC DE ⊥7．如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，点E ，F 分别在边AB ，CD 上，设ED 与AF 相交于点G ，若B ，C ，F ，E 四点共圆，求证：AG GF DG GE ⋅=⋅．EA BC D（第21—A 题图）8．如图，设△ABC 的外接圆的切线AE 与BC 的延长线交于点E ，∠BAC 的平分线与BC 交于点D ．求证：2ED EB EC ．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除评卷人得分一、填空题1．832．62 评卷人得分二、解答题GFEDCBA （第21—A 题BCEDA3． 证明：（1）∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB =90°而BN =BM ⇒△BNM 为等腰三角形⇒BD 为∠NBM 的角平分线⇒∠DBC =∠DBM. ………………5分（2）BM 是⊙O 的切线，DBM DAB CBD CAD DAB DAC DBC DBM ∠=∠⎫⎪∠=∠⇒∠=∠⎬⎪∠=∠⎭⇒AM 是∠CAB 的角平分线. ………………10分4．5． 由已知，AC BC ⊥，因为90ACD BCD ∠∠=︒+，AC AE =，BC BD =，所以ACD E ∠=∠，BCD BDC ∠=∠，因为ADE BDC ∠=∠，所以90E ADE ∠∠=︒+，所以AE AB ⊥.……………………………………………5分 延长DB 交B 于点F ，连结FC ，则2DF DB =，90DCF ∠=︒，所以ACD F ∠=∠，所以E F ∠=∠，所以Rt ADE △∽Rt CDF △， 所以AD DECD DF=，所以DE DC AD DF⋅=⋅，因为2DF DB =， 所以2D E ⋅=.…………………………………………………………………10分 6．7．证明：连结EF ． ∵B C F E ,,,四点共圆,∴ABC EFD ∠=∠． ………………………………2分 ∵AD ∥BC ，∴BAD ABC ∠+∠=180°．∴BAD EFD ∠+∠=180°． ………………………………6分 ∴A D F E ,,,四点共圆． ………………………………8分 ∵ED 交AF 于点G ，FEA BC D （第21—A 题图）∴AG GF DG GE⋅=⋅．………………………………10分8．。

第1讲 直线与圆【自主学习】第1讲 直线与圆(本讲对应同学用书第43~46页)自主学习 回归教材1. (必修2 P83练习4改编)已知一条直线经过点P(1，2)，且斜率与直线y =-2x +3 的斜率相等，则该直线的方程为 . 【答案】y =-2x +4【解析】设直线方程为y =-2x +b ，代入点P(1，2)，得b =4，所以所求直线的方程为y =-2x +4.2. (必修2 P111练习8改编)若方程x 2+y 2+4mx -2y +4m 2-m =0 表示圆，则实数m 的取值范围为 . 【答案】(-1，+∞)【解析】由方程x 2+y 2+4mx -2y +4m 2-m =0，可得(x +2m )2+(y -1)2=m +1， 所以方程要表示圆，即有m +1>0，所以m >-1.3. (必修2 P114练习2改编)自点A(-1，4)作圆(x -2)2+(y -3)2=1 的切线l ，则切线l 的方程为 .【答案】y =4或3x +4y -13=0【解析】当直线l 垂直于x 轴时，直线l ：x =-1与圆相离，不满足条件.当直线l 不垂直于x 轴时，设直线l 的方程为y -4=k (x +1)，由于直线与圆相切，所以21+k =1，解得k =0，k =-34，因此，所求的方程为y =4或3x +4y -13=0.4. (必修2 P117习题10改编)圆x 2+y 2=9与圆x 2+y 2-4x +2y -3=0的公共弦的长为 .【答案】125【解析】两圆的圆心分别为(0，0)，(2，-1)，公共弦的方程为2x -y -3=0，原点到公共弦的距离d =5，所以公共弦长为2239-5⎛⎫ ⎪⎝⎭=125.5. (必修2 P117习题11改编)已知圆C 的方程为x 2+y 2=r 2，若圆C 上存在一点M(x 0，y 0)，则经过点M(x 0，y 0)的切线方程为 . 【答案】x 0x +y 0y =r 2【解析】当点M(x 0，y 0)不在坐标轴上时，过点M 的切线的斜率存在且不为0.由于圆的切线垂直于过切点的半径，故所求切线的斜率为-00x y ，从而过点M 的切线方程为y -y 0=-00x y (x -x 0)，整理得x 0x +y 0y =20x +20y ，又由于点M(x 0，y 0)在圆上，所以所求的切线方程为x 0x +y 0y =r 2.【要点导学】要点导学 各个击破直线、圆的方程例1 如图，在R t △ABC中，∠A为直角，AB 边所在直线的方程为x -3y -6=0，点T(-1，1)在直线AC 上，斜边中点为M(2，0).(例1)(1) 求BC边所在直线的方程；(2) 若动圆P过点N(-2，0)，且与R t△ABC的外接圆相交所得公共弦长为4，求动圆P中半径最小的圆的方程.【分析】第一小问中先依据直线lAB 表示出直线lAC，再利用直线方程设出B，C两点的坐标，利用中点M，求出B，C两点的坐标，从而确定直线BC的方程.其次问先设出点P的坐标，并用其表示圆P的方程，再利用公共弦长为4，求出横纵坐标之间的关系，最终求出半径的最小值，即可得到所求圆的方程.【解答】(1) 由于AB边所在直线的方程为x-3y-6=0，AC与AB垂直，所以直线AC的斜率为-3.故AC边所在直线的方程为y-1=-3(x+1)，即3x+y+2=0.设C为(x0，-3x0-2)，由于M为BC中点，所以B(4-x0，3x0+2).将点B代入x-3y-6=0，解得x0=-45，所以C42-55⎛⎫⎪⎝⎭，.所以BC边所在直线方程为x+7y-2=0.(2) 由于R t△ABC斜边中点为M(2，0)，所以M为R t△ABC外接圆的圆心.又AM=22，从而R t△ABC 外接圆的方程为(x-2)2+y2=8.设P(a，b)，由于动圆P过点N，所以该圆的半径r=22(2)++a b，圆P的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2.由于圆P与圆M相交，则公共弦所在直线的方程m为(4-2a)x-2by+a2+b2-r2+4=0.由于公共弦长为4，r=22，所以M(2，0)到直线m的距离d=2，即22222|2(4-2)-4|(4-2)(2)++++a ab ra b=2，化简得b2=3a2-4a，所以r=22(2)++a b=244+a.当a=0时，r取最小值为2，此时b=0，圆的方程为x2+y2=4.【点评】对于直线和圆的方程的求解问题，一般都接受待定系数法，即依据所给条件特征恰当的选择方程，将几何性质转化为代数的方程，解方程即可.变式已知以点P为圆心的圆经过点A(-1，0)和B(3，4)，线段AB的垂直平分线交圆P于点C 和D，且CD=410.(1) 求直线CD的方程；(2) 求圆P的方程.【解答】(1) 由于直线AB的斜率k=1，AB的中点坐标为(1，2).所以直线CD的方程为y-2=-(x-1)，即x+y-3=0.(2) 设圆心P(a，b)，则由点P在CD上得a+b-3=0. ①又由于直径CD=410，所以PA=210.所以(a+1)2+b2=40. ②由①②解得-356-2.==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩a ab b，，或所以圆心P(-3，6)或P(5，-2)，所以圆P的方程为(x+3)2+(y-6)2=40或(x-5)2+(y+2)2=40.直线与圆、圆与圆的位置关系例2 (2021·曲塘中学)已知圆心为C的圆满足下列条件：圆心C位于x轴正半轴上，与直线3x-4y+7=0相切，且被y轴截得的弦长为3C的面积小于13.(1) 求圆C的标准方程.(2) 设过点M(0，3)的直线l与圆C交于不同的两点A，B，以OA，OB为邻边作平行四边形OADB.是否存在这样的直线l，使得直线OD与MC恰好平行?若存在，试求出直线l的方程；若不存在，请说明理由.【分析】(1) 依据圆心C位于x轴正半轴上，可设出圆的标准方程，然后利用直线与圆的位置关系列出方程组求解；(2) 假设存在这样的直线方程，则斜率必需满足相应的条件，依据平行四边形法则，可得出D点坐标与A，B两点坐标间的关系，从而通过OD与MC平行建立起关于斜率k的方程，从而求出斜率k的值.【解答】(1) 设圆C：(x-a)2+y2=r2(a>0)，由题意知222|37|343+⎧=⎪+⎨⎪+=⎩ara r，，解得a=1或a=138，又由于S=πr2<13，所以a=1.所以圆C的标准方程为(x-1)2+y2=4.(2) 当斜率不存在时，直线l为x=0，不满足题意.当斜率存在时，设直线l：y=kx+3，A(x1，y1)，B(x2，y2)，又由于l与圆C相交于不同的两点，联立223(-1)4=+⎧⎨+=⎩y kxx y，，消去y，得(1+k2)x2+(6k-2)x+6=0，所以Δ=(6k-2)2-24(1+k2)=12k2-24k-20>0，解得k<1-263或k>1+263，且x1+x2=-26-21+kk，y1+y2=k(x1+x2)+6=2261++kk，又OD=OA+OB=(x1+x2，y1+y2)，MC=(1，-3)，假设OD∥MC，则-3(x1+x2)=y1+y2，解得k=34，由于34∉2613⎛⎫-∞-⎪⎪⎝⎭，∪2613⎛⎫++∞⎪⎪⎝⎭，，所以假设不成立，所以不存在这样的直线l.【点评】推断直线与圆的位置关系时，若两方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法；若方程中含有参数，或圆心到直线的距离的表达较繁琐，则用代数法.能用几何法，尽量不用代数法.变式(2021·天一中学)已知A(-2，0)，B(2，0)，C(m，n).(1) 若m=1，n=3，求△ABC的外接圆的方程；(2) 若以线段AB为直径的圆O过点C(异于点A，B)，直线x=2交直线AC于点R，线段BR的中点为D，试推断直线CD与圆O的位置关系，并证明你的结论.【分析】第(1)问已知三点在圆上，可设一般式利用待定系数法来求外接圆的方程；第(2)问要推断直线与圆的位置关系，可通过圆心到直线的距离和半径的关系进行推断.【解答】(1) 设所求圆的方程为x2+y2+D x+E y+F=0，由题意可得4-204201330⎧+=⎪++=⎨⎪++++=⎩D FD FD E F，，，解得D=E=0，F=-4，所以△ABC的外接圆方程为x2+y2-4=0，即x2+y2=4.(2) 由题意可知以线段AB为直径的圆的方程为x2+y2=4，设点R的坐标为(2，t)，由于A，C，R三点共线，所以AC∥AR.而AC=(m+2，n)，AR=(4，t)，则4n=t(m+2)，所以t=42+nm，所以点R的坐标为422⎛⎫⎪+⎝⎭nm，，点D的坐标为222⎛⎫⎪+⎝⎭nm，，所以直线CD的斜率为k=2-2-2+nnmm=2(2)-2-4+m n nm=2-4mnm.而m2+n2=4，所以m2-4=-n2，所以k=2-mnn=-mn，所以直线CD的方程为y-n=-mn(x-m)，化简得mx+ny-4=0，所以圆心O到直线CD的距离d=22+m n=4=2=r，所以直线CD与圆O相切.与圆相关的定点、定值问题例3 在平面直角坐标系x O y中，已知圆C：x2+y2=r2和直线l：x=4(其中r为常数，且0<r<4)，M为l上一动点，A1，A2为圆C与x轴的两个交点，直线MA1，MA2与圆C的另一个交点分别为点P，Q.(1) 若r=2，点M的坐标为(4，2)，求直线PQ的方程；(2) 求证：直线PQ过定点，并求定点的坐标.【分析】第(1)小问只需要依据M，A1，A2这三点的坐标，求出P，Q两点的坐标即可.第(2)小问先设点M的坐标，再依据M，A1，A2这三点的坐标，求出P，Q两点的坐标得到直线PQ，再证明该直线过定点.【解答】(1) 当r =2，M(4，2)时， 则A 1(-2，0)，A 2(2，0). 直线MA 1的方程为x -3y +2=0，联立224-320⎧+=⎨+=⎩x y x y ，，解得P 8655⎛⎫ ⎪⎝⎭，. 直线MA 2的方程为x -y -2=0，联立224--20⎧+=⎨=⎩x y x y ，，解得Q(0，-2). 由两点坐标得直线PQ 的方程为2x -y -2=0.(2) 由题设得A 1(-r ，0)，A 2(r ，0).设M(4，t )，则直线MA 1的方程为y =4+tr (x +r )，直线MA 2的方程为y =4-tr (x -r )，联立222()4⎧+=⎪⎨=+⎪+⎩x y r t y x r r ，，解得P 222222(4)-2(4)(4)(4)⎛⎫++ ⎪++++⎝⎭r r rt tr r r t r t ，.联立222(-)4-⎧+=⎪⎨=⎪⎩x y r t y x r r ，，解得Q ()22222224(4)(4)(4)⎡⎤----⎢⎥-+-+⎣⎦tr r rt r r r t r t ，. 于是直线PQ 的斜率k PQ =22816--tt r ，直线PQ 的方程为y -222(4)(4)+++tr r r t =2222228(4)16--(4)⎡⎤+--⎢⎥++⎣⎦t r r rt x t r r t .由对称性可得，定点肯定在x 轴上.令y =0，得x =24r ，是一个与t 无关的常数，故直线PQ 过定点204⎛⎫ ⎪⎝⎭r ，. 【点评】直线过定点问题的处理方法有两种：一是先求出直线的方程，然后再推断定点的位置，最终依据点的位置求出定点坐标，难度在于依据点的坐标表示直线方程时，带了较多的参数，对含字母的等式的化简有较高要求.二是先特殊，即依据特殊的直线，求出定点的坐标，再用三点共线证明两个动点的直线也过该点，其次种方法运算量较小.变式 (2021·苏北四市期末)如图，在平面直角坐标系x O y 中，已知点A(-3，4)，B(9，0)，C ，D 分别为线段OA ，OB 上的动点，且满足AC=BD.(变式)(1) 若AC=4，求直线CD 的方程；(2) 求证：△OCD的外接圆恒过定点(异于原点O). 【解答】(1) 由于A(-3，4)，所以22(-3)4+=5.又由于AC=4，所以OC=1，所以C 34-55⎛⎫⎪⎝⎭，.由BD=4，得D(5，0)，所以直线CD 的斜率k =40-535--5⎛⎫ ⎪⎝⎭=-17，所以直线CD 的方程为y =-17(x -5)，即x +7y -5=0.(2) 方法一：设C(-3m ，4m )(0<m ≤1)，则OC=5m ，所以AC=OA-OC=5-5m . 由于AC=BD ，所以OD=OB-BD=5m +4， 所以点D 的坐标为(5m +4，0).又设△OCD的外接圆的方程为x 2+y 2+D x +E y +F=0，则有2220916-340(54)(54)0=⎧⎪+++=⎨⎪++++=⎩F m m mD mE F m m D F ，，，解得D=-(5m +4)，F=0，E=-10m -3，所以△OCD的外接圆的方程为x 2+y 2-(5m +4)x -(10m +3)y =0，整理得x 2+y 2-4x -3y -5m (x +2y )=0，令22-4-3020⎧+=⎨+=⎩x y x y x y ，，所以=⎧⎨=⎩xy，(舍去)或2-1.=⎧⎨=⎩xy，所以△OCD的外接圆恒过定点(2，-1).方法二：设C(-3m，4m)(0<m≤1)，则OC=5m，所以AC=OA-OC=5-5m. 由于AC=BD，所以OD=OB-BD=5m+4，所以点D的坐标为(5m+4，0).由于OC的中点为3-22⎛⎫⎪⎝⎭m m，，直线OC的斜率kOC=-43，所以线段OC的垂直平分线方程为y-2m=3342⎛⎫+⎪⎝⎭x m，即y=34x+258m.又由于线段OD的垂直平分线的方程为x=542+m，联立325544821035422+⎧⎧=+=⎪⎪⎪⎪⎨⎨++⎪⎪==⎪⎪⎩⎩my x m xmmyx，，得，，所以△OCD的外接圆的圆心坐标为5410322++⎛⎫⎪⎝⎭m m，，则半径r=225410322++⎛⎫⎛⎫+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭m m，从而△OCD外接圆的标准方程为542+⎛⎫-⎪⎝⎭mx2+2103-2+⎛⎫⎪⎝⎭my=2542+⎛⎫⎪⎝⎭m+21032+⎛⎫⎪⎝⎭m，整理得x2+y2-(5m+4)x-(10m+3)y=0，即x2+y2-4x-3y-5m(x+2y)=0.令22-4-3020⎧+=⎨+=⎩x y x yx y，，所以=⎧⎨=⎩xy，(舍去)或2-1=⎧⎨=⎩xy，，所以△OCD的外接圆恒过定点(2，-1).1. (2021·宿迁一模)已知光线通过点M(-3，4)，被直线l：x-y+3=0反射，反射光线通过点N(2，6)，则反射光线所在直线的方程是.【答案】y=6x-6【解析】由题意得反射光线经过点M(-3，4)关于直线l的对称点Q(x，y)与点N(2，6)，由-4-113-34-3022⎧=⎪=⎧⎪+⎨⎨=+⎩⎪+=⎪⎩yxxyx y，，解得，，所以Q(1，0)，所以反射光线所在直线的方程为-0-1yx=6-02-1，即y=6x-6.2. (2021·无锡期末)已知点A(0，2)为圆M：x2+y2-2ax-2ay=0(a>0)外一点，圆M上存在点T使得∠MAT=45°，则实数a的取值范围是.【答案】3，1)【解析】圆M的方程可化为(x-a)2+(y-a)2=2a2，圆心为M(a，a)2a.当A，M，T三点共线时，∠MAT=0°最小，当AT与圆M相切时，∠MAT最大.圆M上存在点T，使得∠MAT=45°，只需要当∠MAT最大时，满足45°≤∠MAT<90°即可22(-0)(-2)+a a22-44+a a AT与圆M相切，所以sin∠MAT=MTMA222-44+aa a.由于45°≤∠MAT<90°，所以2≤sin∠MAT<1，所以22222-44+aa a<131≤a<1.3. (2021·南京三模)在平面直角坐标系x O y中，圆C的方程为(x-1)2+(y-1)2=9，直线l：y=kx+3与圆C相交于A，B两点，M为弦AB上一动点，若以M为圆心、2为半径的圆与圆C总有公共点，则实数k的取值范围为.【答案】3-4∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭，【解析】由题意得MC≥1对于任意的点M恒成立，由图形的对称性可知，只需点M位于AB的中点时存在即可.由点C(1，1)到直线l的距离得d21+k≥1，解得k≥-34.4. 如图，已知圆O ：x 2+y 2=1与x 轴交于A ，B 两点，直线l ：x =2，C 是圆O 上异于A ，B 的任意一点，直线AC 交l 于点D ，直线CB 交l 于点E ，摸索究以DE 为直径的圆M 是否经过某定点(与点C 的位置无关)?请证明你的结论.(第4题)【解答】由已知得A(-1，0)，B(1，0)， 由于AB 为圆O 的直径，所以AC⊥CB. 设直线AC 的斜率为k (k ≠0)，则直线CB 的斜率为-1k ，于是直线AC 的方程为y =k (x +1)，直线CB 的方程为y =-1k (x -1)，分别与直线l ：x =2联立方程组，解得D(2，3k )，E 12-⎛⎫ ⎪⎝⎭k ，.设圆M 上任意一点P(x ，y )，则DP =(x -2，y -3k )，EP =1-2⎛⎫+ ⎪⎝⎭x y k ，，由DP ·EP =0，得圆M 的方程为(x -2)2+(y -3k )1⎛⎫+ ⎪⎝⎭y k =0， 即x 2-4x +1+y 2+1-3⎛⎫ ⎪⎝⎭k k y =0， 由于取任意不为0的实数k ，上式恒成立，所以2023-4100⎧=⎧=±⎪⎨⎨+==⎪⎩⎩y x x x y ，，解得，， 即无论点C 如何变化，圆M 始终过定点(2+3，0)和(2-3，0).【融会贯穿】完善提高 融会贯穿典例 已知点O(0，0)，点M 是圆(x +1)2+y 2=4上任意一点，问：x 轴上是否存在点A ，使得MO MA =12?若存在，求出点A 的坐标；若不存在，请说明理由.【思维引导】【规范解答】假设存在符合题意的点A(x 0，0)，设M(x ，y )，则(x +1)2+y 2=4， 所以x 2+y 2=3-2x .由MO MA =12，得MA 2=4MO 2，所以(x -x 0)2+y 2=4(x 2+y 2)，………………………………4分即3(x 2+y 2)+2x 0x -2x =0，所以3(3-2x )+2x 0x -20x =0，即(2x 0-6)x -(20x -9)=0……………………………………6分由于点M(x ，y )是圆上任意一点，所以0202-60-90.=⎧⎨=⎩x x ，…………8分所以x 0=3，………………………………………………………………………………9分所以存在点A(3，0)，使得MO MA =12.………………………………………………10分变式1 如图，已知点M(x，y)与两定点O(0，0)，A(3，0)的距离之比为12，那么点M的坐标应满足什么关系?(变式1)【解答】由题意得，MOMA=12，所以MA2=4MO2，所以(x-3)2+y2=4(x2+y2)，即(x+1)2+y2=4.变式2 已知点O(0，0)，A(3，0)，点M是圆(x+1)2+y2=4上任意一点，问：是否存在这样的常数λ，使得MOMA=λ?若存在，求出常数λ的值；若不存在，请说明理由.【解答】假设存在符合题意的常数λ，设M(x，y)，22MOMA=2222(-3)++x yx y=2222-69+++x yx y x，又(x+1)2+y2=4，所以x2+y2=3-2x.所以22MOMA=3-2(3-2)-69+xx x=3-212-8xx=14，所以MOMA=12，即λ=12.所以存在常数λ=12，使得MOMA=12.变式3 已知点M是圆(x+1)2+y2=4上任意一点，问：在x轴上是否存在两个定点P，Q，使得MP MQ=12?若存在，求出两个定点P，Q的坐标；若不存在，请说明理由.【解答】假设存在符合题意的定点P(x1，0)，Q(x2，0)，设M(x，y)，则(x+1)2+y2=4，所以x2+y2=3-2x.由MPMQ=12，得MQ2=4MP2，所以(x-x2)2+y2=4[(x-x1)2+y2]，即3(x2+y2)+(2x2-8x1)x+421x-22x=0，所以3(3-2x)+(2x2-8x1)x+421x-22x=0，即(2x2-8x1-6)x+421x-22x+9=0.由于点M(x，y)是圆上任意一点，所以21112212222-8-600-24-903-5.===⎧⎧⎧⎨⎨⎨+===⎩⎩⎩x x x xx x x x，，，解得或，所以存在点P(0，0)，Q(3，0)或P(-2，0)，Q(-5，0) ，使得MPMQ=12.变式4 已知点O(0，0)，点M是圆(x+1)2+y2=4上任意一点，问：在x轴上是否存在不同于点O的定点A，使得MOMA为常数λ?若存在，求出点A的坐标及常数λ的值；若不存在，请说明理由.【解答】假设存在定点A(x0，0)，使得MOMA=λ，设M(x，y)，则(x+1)2+y2=4，所以x2+y2=3-2x.由MOMA=λ，得MO2=λ2MA2，所以x2+y2=λ2[(x-x0)2+y2]，即(λ2-1)(x2+y2)-2λ2x0x+λ22x=0，所以(λ2-1)(3-2x)-2λ2x0x+λ22x=0，即2(λ2-1+λ2x0)x-3(λ2-1)-λ22x=0.由于点M(x，y)是圆上任意一点，所以222222(-1)0-3(-1)-0λλλλ⎧+=⎨=⎩xx，，由于x0≠0，所以31.2λ=⎧⎪⎨=⎪⎩x，所以存在点A(3，0)，使得MOMA=12(常数).【点评】在平面上给定相异两点A，B，设点P在同一平面上，且满足PAPB=λ.当λ>0且λ≠1时，点P的轨迹是个圆，称之为阿波罗尼斯圆，简称“阿氏圆”.(λ=1时，点P的轨迹是线段AB的垂直平分线)温馨提示：趁热打铁，事半功倍.请老师布置同学们完成《配套检测与评估》中的练习第27-28页.【课后检测】专题五解析几何第1讲直线与圆一、填空题1. (2022·镇江期末)“a=1”是“直线ax-y+2a=0与直线(2a-1)x+ay+a=0相互垂直”的条件.(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”或“既不充分也不必要”)2. (2022·淮安、宿迁摸底)已知过点(2，5)的直线l被圆C：x2+y2-2x-4y=0截得的弦长为4，则直线l的方程为.3. (2021·苏州调研)已知圆C：(x-a)2+(y-a)2=1(a>0)与直线y=3x相交于P，Q两点，则当△CPQ的面积最大时，实数a的值为.4. (2021·苏州期末)已知圆M：(x-1)2+(y-1)2=4，直线l：x+y-6=0，A为直线l上一点，若圆M上存在两点B，C，使得∠BAC=60°，则点A的横坐标的取值范围是.5. (2022·安徽模拟)已知圆C1：(x-a)2+(y+2)2=4与圆C2：(x+b)2+(y+2)2=1相外切，则ab的最大值为.6. (2021·盐城三模)已知动直线y=k(x)与曲线yA，B两点，O为坐标原点，则当△AOB的面积取得最大值时，k的值为. 7. (2021·南通、扬州、泰州三调)在平面直角坐标系x O y中，过点P(-5，a)作圆x2+y2-2ax+2y-1=0的两条切线，切点分别为M(x1，y1)，N(x2，y2)，且2121--y yx x+1212-2++x xy y=0，则实数a的值为.8. 在平面直角坐标系x O y中，已知点P(3，0)在圆C：x2+y2-2mx-4y+m2-28=0内，动直线AB过点P且交圆C于A，B两点，若△ABC的面积的最大值为16，则实数m的取值范围为.二、解答题9. (2022·扬州期中)在平面直角坐标系x O y中，已知圆M：x2+y2-8x+6=0，过点P(0，2)且斜率为k 的直线与圆M相交于不同的两点A，B，线段AB的中点为N.(1) 求斜率k的取值范围；(2) 若ON∥MP，求k的值.10. 在平面直角坐标系中，已知圆C1：x2+y2-2mxmy+3m2=0，圆C2：x2+y2+4m x-3m=0，其中m∈R，m≠0.(1) 当两圆的圆心距最小时，试推断两圆的位置关系.(2) 是否存在定直线与圆C1总相切?若存在，求出全部定直线的方程；若不存在，请说明理由. 11. 在平面直角坐标系x O y中，直线x-y+1=0截以原点O.(1) 求圆O的方程.(2) 若直线l与圆O相切于第一象限，且与坐标轴交于点D，E，当DE长最小时，求直线l的方程.(3) 设M，P是圆O上任意两点，点M关于x轴的对称点为N，若直线MP，NP分别交x轴于点(m，0)和(n，0)，问：mn是否为定值?若是，恳求出该定值；若不是，请说明理由.【课后检测答案】专题五解析几何第1讲直线与圆1. 充分不必要【解析】由于两直线相互垂直，所以a·(2a-1)+(-1)·a=0，所以2a2-2a=0，所以a=0或1.2. x-2=0或4x-3y+7=0 【解析】x2+y2-2x-4y=0化成标准式为(x-1)2+(y-2)2=5.由于截得弦长为4小于直径，故该直线必有两条且圆心到直线的距离为d当斜率不存在时，l：x=2，明显符合要求；当斜率存在时，l：y-5=k(x-2)，d，解得k=43，故直线l的方程为4x-3y+7=0.3. 【解析】由于△CPQ的面积等于12sin∠PCQ，所以当∠PCQ=90°时，△CPQ的面积最大，此时圆心到直线y=3x的距离为，因此a=.4. [1，5] 【解析】首先，直线l与圆M相离，所以点A在圆M外.设AP，AQ分别与圆M相切于点P，Q，则∠PAQ≥∠BAC=60°，从而∠MAQ≥30°.由于MQ=2，所以MA≤4.设A(x0，6-x0)，则MA2=(x0-1)2+(6-x0-1)2≤16，解得1≤x0≤5.5. 94【解析】由两圆外切时圆心距等于半径之和，得|a+b|=3，所以ab≤22+⎛⎫⎪⎝⎭a b=2||4+a b=94.6. -【解析】由于yx2+y2=1(y≥0)，而S△AOB=12×12×sin∠AOB≤12，所以(S△AOB)max=12，此时△AOB为等腰直角三角形，从而点O到直线AB的距离为k=±(正值不合题意，舍去).7. 3或-2 【解析】方法一：由2121--y yx x+1212-2++x xy y=0，得2121--y yx x·12122-12++y yx x=-1，所以点(1，0)在直线PC上，其中C是圆心，所以2-2a+2×51++aa=0，可解得a=3或-2.经检验：当a=3或-2时，点P在圆外，符合条件.方法二：221111222222-22-10-22-10⎧++=⎨++=⎩x y ax yx y ax y，，两式相减，得(x1-x2)(x1+x2)+(y1-y2)(y1+y2)-2a(x1-x2)+2(y1-y2)=0，x1+x2+1212--y yx x(y1+y2)-2a+2×1212--y yx x=0，由2121--y yx x+1212-2++x xy y=0得2121--y yx x(y1+y2)=-(x1+x2-2)，代入上式得2-2a+2×1212--y yx x=0.又1212--y yx x=51++aa，代入上式，得2-2a+2×51++aa=0，可解得a=3或-2.经检验：当a=3或-2时，点P在圆外，符合条件.，)【解析】圆C的标准方程为(x-m)2+(y-2)2=32，圆心为C(m，2)，半径为当△ABC的面积的最大值为16时，∠ACB=90°，此时点C到AB的距离为4，，即16≤(m-3)2+(0-2)2<32，解得m，即m∈(3，9. (1) 方法一：圆的方程可化为(x-4)2+y2=10，直线可设为y=kx+2，即kx-y+2=0.圆心M到直线的距离d，依题意得d，即(4k+2)2<10(k2+1)，解得-3<k<1 3，所以斜率k的取值范围是1-33⎛⎫ ⎪⎝⎭，.方法二：由22-8602⎧++=⎨=+⎩x y xy kx，，得(k2+1)x2+4(k-2)x+10=0，依题意Δ=[4(k-2)]2-40(k2+1)>0，解得-3<k<1 3，所以斜率k的取值范围是1-33⎛⎫ ⎪⎝⎭，.(2) 方法一：由于ON∥MP，且直线MP的斜率为-12，故直线ON：y=-12x.由1-22⎧=⎪⎨⎪=+⎩y xy kx，，得N42-2121⎛⎫⎪++⎝⎭k k，.又N是AB中点，所以MN⊥AB，即2214--421++kk=-1k，解得k=-4 3.方法二：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则N121222++⎛⎫⎪⎝⎭x x y y，.由22-8602⎧++=⎨=+⎩x y xy kx，，得(k2+1)x2+4(k-2)x+10=0，所以x1+x2=-24(-2)1+kk.又ON∥MP，且直线MP的斜率为-12，所以121222++y yx x=-12，即1212++y yx x=-12，即1212()4+++k x xx x=-12，所以224(-2)-414(-2)-1⎡⎤+⎢⎥+⎣⎦+kkkkk=-12，解得k=-43.方法三：点N的坐标同时满足21-21--4⎧⎪=+⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩y kxy xyx k，，，解此方程组，消去x，y，得k=-43.10. (1) 由题意知，C1(mm)，C22-0⎛⎫⎪⎝⎭m，.圆心距d由于4m2+24m，当且仅当4m2=24m，即m=±1时，取等号.所以当m=±1时，圆心距d的最小值为当m=1时，此时圆C1的半径r1=1，圆C2的半径r2，所以圆心距|r 1-r 2|<d <r 1+r 2，两圆相交；当m =-1时，此时圆C 1的半径r 1=1，圆C 2的半径r 2=1， 所以圆心距d >r 1+r 2，两圆相离.(2) ①当直线的斜率不存在时，所求定直线方程为x =0； ②当直线的斜率存在时，设该定直线的方程为y =kx +b ， 由题意得，圆心C 1(m)到直线kx -y +b =0的距离等于|m |，=|m |恒成立，整理得(km +b =0恒成立， 所以k，且b =0，解得k=，所求定直线方程为y=x . 综上，存在直线x =0和y=3x 与动圆C 1总相切.11. (1) 由于点O 到直线x -y +1=0的距离dO故圆O 的方程为x 2+y 2=2.(2) 设直线l 的方程为x a +yb =1(a >0，b >0)，即bx +ay -ab =0. 由直线l 与圆O21a +21b =12.DE 2=a 2+b 2=2(a 2+b 2)2211⎛⎫+ ⎪⎝⎭a b ≥8，当且仅当a =b =2时取等号，此时直线l 的方程为x +y -2=0. 所以当DE 长最小时，直线l 的方程为x +y -2=0.(3) 设点M(x 1，y 1)，P(x 2，y 2)，则N(x 1，-y 1)，21x +21y =2，22x +22y =2，直线MP 与x 轴交点为122121-,0-⎛⎫ ⎪⎝⎭x y x y y y ，则m =122121--x y x y y y ， 直线NP 与x 轴交点为122121,0⎛⎫+ ⎪+⎝⎭x y x y y y ，则n =122121++x y x y y y ， 所以mn =122121--x y x y y y ·122121++x y x y y y=222212212221--x y x y y y=222212212221(2-)-(2-)-y y y y y y =2，故mn 为定值2.。