赋范线性空间中强增生算子方程的迭代解

第十章 巴拿赫(Banach)空间中的基本定理1. 设X 是赋范线性空间，12,,,k x x x 是X 中K 个线性无关向量，12,,,k ααα是一组数，证明：在X 上存在满足下列两条件：（1）(),1,2,,v v f x v k α==,(2) M f ≤ 的线性连续泛函f 的充要条件为：对任何数12,,,k t t t ，11kkv vv vv v t Mt xα==≤∑∑都成立。

证明 必要性。

若线性连续泛函f 满足（1）和（2），则1111()kkkkv vv v v vv vv v v v t f t x ft xMt xα=====≤≤∑∑∑∑充分性。

若对任意数12,,,k t t t ，有11kkv vv vv v t Mt xα==≤∑∑。

令0X 为12,,,k x x x 张成的线性子空间。

对任意01kv vv t xX =∈∑，定义上线性泛函：0011:()k kv v v v v v f f t x t α===∑∑。

因0111()k kkv v v v v v v v v f t x t Mt x α====≤∑∑∑，故0f是有界的，且0f M ≤。

由泛函延拓定理，存在X 上的线性连续泛函f ，使f 限制在0X 上就是0f 。

f 显然满足条件（1）和（2）。

证毕。

2．设X 是赋范线性空间，Z 是X 的线性子空间，0x X ∈，又0(,)0d x Z >，证明存在'f X ∈，满足条件： 1）当x Z ∈时，()0f x =； 2）00()(,)f x d x Z = ；3）1f = 。

证明 记0{,}M x y C y Z λλ=+∈∈。

在M 上定义泛函0f ：000()(,)f x y d x Z λλ+=，则以下三条件成立：1）当y Z ∈时，0()0f y =； 2）00()(,)f x d x Z =；3）0f 在M 上有界，且01Mf =。

其中3）可以这样证明：若0x y M λ+∈，则00000()(,)yf x y d x Z x x y λλλλλ+=≤+=+，所以01Mf ≤。

关于Lipschitz强增生算子迭代程序的稳定性问题
金茂明
【期刊名称】《贵州大学学报（自然科学版）》
【年(卷),期】2002(019)004
【摘要】本文在一般的Banach空间中讨论Lipschitz强增生算子方程解和严格伪压缩算子不动点迭代程序的一类新的稳定性问题,推广和改进了近期的相关结果.【总页数】6页(P297-301,305)
【作者】金茂明
【作者单位】涪陵师范学院数学系,重庆,涪陵,408003
【正文语种】中文
【中图分类】O177.91
【相关文献】
1.Lipschitz强增生算子方程解的Ishikawa迭代逼近 [J], 曾六川
2.Lipschitz强增生算子的非线性方程解的迭代逼近 [J], 曾六川;刘瑞娟
3.Lipschitzian强增生算子方程解的带误差迭代逼近 [J], 胡雁玲
4.Lipschitz强增生算子方程逼近解的带误差的Ishikawa迭代程序 [J], 曾六川
5.L_p（1＜P＜2）空间中Lipschitz强增生算子的迭代程序 [J], 刘理蔚
因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。

Banach空间中一类算子方程解的迭代收敛定理
高改良;周海云;陈东青
【期刊名称】《河北师范大学学报：自然科学版》
【年(卷),期】2004(28)4
【摘要】通过采用强伪压缩算子和正规对偶算子相结合的方法,研究了Banach空间中一类算子方程解的迭代收敛性.与已有结果相比,该证明方法更为简捷.
【总页数】3页(P344-346)
【关键词】Banach空间;Lipschitz条件;强伪压缩算子;强增生算子;迭代收敛定理;不动点
【作者】高改良;周海云;陈东青
【作者单位】军械工程学院应用数学与力学研究所
【正文语种】中文
【中图分类】O177.2
【相关文献】
1.Banach空间中一类算子方程的迭代解法 [J], 张斐然;邵海成
2.序Banach空间中一类算子的不动点定理 [J], 黄梅娟; 卫亚茹; 王海霞
3.Banach空间中一类非线性算子Ishikawa迭代序列收敛定理 [J], 柴国庆
4.Banach空间中一类广义Lipschitz非线性算子迭代序列的收敛定理 [J], 倪仁兴
5.Banach空间中一类算子的强收敛定理 [J], 高改良;陈东青;吴辰余;周海云
因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。

强伪压缩映射不动点的迭代逼近(英文)
程莉
【期刊名称】《四川大学学报：自然科学版》
【年(卷),期】2001(38)6
【摘要】在实一致光滑的Banach空间上 ,用逼近方法证明了关于两个多值强伪压缩映射不动点的带误差的Ishikawa迭代序列的收敛性 .
【总页数】4页(P820-823)
【关键词】强增生映射;强伪压缩映射;Ishikawa迭代序列;迭代逼近;不动点
【作者】程莉
【作者单位】四川大学数学学院
【正文语种】中文
【中图分类】O177.91
【相关文献】
1.多值Φ-强伪压缩映象不动点和多值Φ-强增生映象方程解的Ishikawa迭代逼近[J], 张石生;谷峰
2.LP空间中的Lipschitz强伪压缩映射的不动点的迭代逼近 [J], 赵亚莉;刘继英
3.强伪压缩映射不动点的迭代逼近 [J], 程莉
4.任意Banach空间强伪压缩映射不动点的迭代逼近 [J], 薛志群
5.逼近极值强伪压缩映象唯一公共不动点的带误差迭代序列(英文) [J], 李军;丁可;梁振刚
因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。

关于m-增生算子方程解的迭代逼近问题的注释
薛志群;魏改然
【期刊名称】《河北师范大学学报：自然科学版》
【年(卷),期】2001(25)1
【摘要】设 E是实一致光滑 Banach空间,T:E→ E是 m增生算子 ,且对任意x,y∈ E,有‖ Tx -Ty‖≤L ( 1 +‖ x -y‖ ) ,其中L≥ 1 .假设{ un}∞n=0 ,{ vn}∞n=0 为 E中序列,{αn}∞n=0 ,{βn}∞n=0 为 [0 ,1 ]中实数列且满足某些条件 ,则 Ishikawa迭代序列 { xn} ∞n=0 强收敛于方程 x +Tx
【总页数】5页(P24-28)
【关键词】Ishikawa迭代序列;一致光滑Banach空间;m-增生算子方程;迭代逼近;正规对偶映射;解
【作者】薛志群;魏改然
【作者单位】石家庄铁道学院基础部;石家庄财经学校数学组
【正文语种】中文
【中图分类】O177.5
【相关文献】
1.m-增生算子方程解的迭代逼近 [J], 邓波
2.m-增生算子方程解的Mann迭代逼近 [J], 王定龙
3.Banach空间中m-增生算子方程解的迭代逼近 [J], 谷峰;秦玉霞
4.关于m-增生算子方程解的迭代逼近 [J], 金茂明;陈波涛
5.m-增生算子方程解的Mann和Ishikawa迭代逼近 [J], 张石生
因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。

关于两类m-增生算子族公共零点的邻近点算法李沙沙;曾六川【摘要】对于实Hilbert空间中两类m-增生有限算子族,给出了寻求它们公共零点的显式迭代算法,并进一步证明了显式迭代序列强收敛于这两类m-增生算子族的唯一公共零点.【期刊名称】《上海师范大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2016(045)004【总页数】9页(P402-410)【关键词】m-增生;非扩张映像;显式迭代算法;零点;变分不等式;不动点【作者】李沙沙;曾六川【作者单位】上海师范大学数理学院,上海200234;上海师范大学数理学院,上海200234【正文语种】中文【中图分类】O177.91设H是实Hilbert空间,具内积〈·,·〉和范数.设C为H中的非空闭凸子集,令T:C→C是非线性映像.本文作者用F(T)记作T的不动点集,即F(T)={x∈C:Tx=x}.映像T:C→C称为非扩张的,如果映像T:C→C称为压缩的,如果∃α∈(0,1)使得此时T也称为α-压缩映像.用∑C记满足不等式(2)的映像集.映像A:D(A)→R(A)⊂ H 称为增生映像,若当R(I+λ A)=H(∀λ>0)时,A称为m-增生映像.记A-10为A的零点集,即A-10={x∈D(A):Ax=0}.对r>0,设JrA是A的预解算子,即JrA=(I+rA)-1. 则JrA是非扩张映像且F(JrA)=A-10.增生算子作为非线性算子的重要类,对它的研究兴趣主要源于它与发展问题的固定联系,熟知的一些重要的物理问题可以通过初值问题建模其中A是m-增生映像.若x(t)依赖于t,则上式(3)可化为其中(4)的解对应于(3)的平衡点.因此在过去的几十年里,大量的研究者已经致力于研究方程(3)的近似解.而增生算子理论中早期最重要的一个结果还是归功于Browder[1].近年来越来越多的研究者将变分不等式问题与增生算子问题相结合.变分不等式问题,即寻找x*∈C,满足最近,Zhou和Wang[2]给出了一种简单的显式迭代法,用于寻求由增生算子构成的一族有限个非扩张映像公共不动点中满足变分不等式的唯一解.Li和Tan[3]给出映像.于是有下列定理:定理 0.1 设C是实Hilbert空间H中的非空闭凸子集.设Ai,Bj:C→C(i=1,2,…,m;j=1,2,…,l)是m-增生算子，Ø. 设其中且由如下方式生成: 若序列{αn},{βn},{ϑn}⊂(0,1)且{rn}⊂(0,+∞)满足如下条件:ϑn+1-ϑn|<+∞,ϑn→0,n→∞;∞.则{xn}强收敛到p0∈D,其中p0是如下变分不等式的唯一解:最近Yuan和Cho[4]考虑了实自反Banach空间中一种含有两个误差项的新型迭代格式并得到了强收敛定理.定理 0.2[4] 设E是具有一致Gteaux可微范数的实自反Banach空间,A是E的m-增生算子,设是凸集且具有正规结构.设f:C→C是α-压缩映像.数列{αn},{βn},{γn},{δn}⊂(0,1)且αn+βn+γn+δn=1,∀n≥0.设QC:E→C是太阳非扩张保核收缩映像,{xn}由下列方式生成:其中,{en}是E中序列,{gn}是E中有界序列,{rn}是E中数列,Jrn=(I+rnA)-1,A-10≠Ø,且上述序列满足如下限制条件:(d) rn≥μ,∀.则序列{xn}强收敛到∈A-10,其中是满足如下变分不等式的唯一解:本文作者在定理0.1中将定理0.2的带有两个误差项的迭代格式与定理0.1中的两类m-增生映像相结合;同时,可知Wr)=D.另外,将定理0.2中的一族非扩张映像推广至两族非扩张映像并构造了如下新的迭代格式:这是在Yuan和Cho[4]基础上的改进及推广.设H是实Hilbert空间,对∀x∈H,C中存在唯一最近的点定义为PCx,使得设PC:H→C是度量投影,易知PC具有下列表征:(i) 〈 x-PCx,PCy-y〉≥0,∀x,y∈H;(ii) ∀,∀x,y∈H;(iv) xn⇀x0,PCxn→y0⟹PCx0=y0.为了证明强收敛定理,需要如下一些引理.引理 1.1[5] 设H是Hilbert空间,A是m-增生算子,对λ,μ >0,x∈H有其中,JλA=(I+λ A)-1,JμA=(I+μ A)-1.引理 1.2[6] 设{an}是非负序列满足条件:其中,{tn}⊂(0,1)且数列{bn}满足条件.对正数列{cn}有,则.引理 1.3[7] 设{xn},{yn}是Banach空间的有界序列,{βn}⊂(0,1) 且设xn+1=(1-βn)yn+βnxn,～∀n≥1,满足：引理 1.4[8] 设C是Hilbert空间H中的非空闭凸子集.T:C→C是非扩张映像且F(T)≠Ø,f∈∑C,其中∑C是一族非扩张映像集,则定义如下zt强收敛到F(T)中某个点zt,则是如下变分不等式的唯一解:下面给出了在实Hilbert空间中寻求两族非扩张映像的公共零点一般显式迭代算法,以及参数序列适当的限制条件,并证明了算法的强收敛性.定理 2.1 设C是实Hilbert空间H中的非空闭凸子集.设Ai,Bj:C→C(i=1,2,…,m;j=1,2,…,l)是m-增生算子,Ø. 设其中且.设f:C→C是给定的α-压缩映像且α∈(0,1), 数列{αn},{βn},{γn}及{δn}⊂(0,1)且αn+βn+γn+δn=1,∀n≥0.设PC:C→C是度量投影,序列{xn}由下述格式生成:其中,{en}是H的序列,{gn}是H的有界序列,{rn}是H的正数列,且上述序列满足如下限制条件:(iv) rn≥>0,∀r.则序列{xn}强收敛到,其中是满足如下变分不等式的唯一解:证明定理的证明分几步来完成.第一步证明 {xn} 是有界的.事实上,Wrn 是非扩张的及,于是有由{gn}有界,PC:C→C是度量投影,则有界,设∃M1>0, 对∀n≥0,使得.则上式可化为类似可得由限制条件(iii)知与有界,易知{xn}有界,同时{f(xn)}有界.注意到则与{JrnBj:j=1,2,…,l}有界.又因此有界.不妨设{‖‖:}.第二步证明当n→∞ 时.事实上,记).定义xn+1=γnxn+(1-γn)zn,～n≥1.则有,注意到据限制条件(ii)知{zn}有界.则下面估计.设rn+1≥rn,由引理1.1可推得归纳并由引理1.3可得将(13)带入(12)可得由限制条件(i)-(iv)可知,且{γn}有界,.因此由引理(1.3)知注意到结合(16)知第三步证明.注意到即由限制条件(i)-(iii)知,且{γn}⊂(0,1).易知注意到根据限制条件(iii)与(18)结合(19)可得设rn≥r>0.类似于(13)知对rn≤r,则结合(21)与(22)知由限制条件知或,结合(20) 得第四步证明其中,且∀t∈(0,1),zt是不动点方程zt=tf(zt)+(1-t)SrWrzt的解.对∀t∈(0,1),推得由(24)可知注意到,当t→0+时,则∀ε>0,∃λ >0, 对∀t∈(0,λ)有易知由ε的任意性及(24)可知即知第五步最后证明当n→∞时.由此得知即由限制条件知且∞. 由限制条件(ii)和(iii)知则根据(26)与引理(1.2),(1.4)可知序列{xn}强收敛到.证毕.本文作者对实Hilbert空间中两类m-增生有限算子族,给出了寻求它们公共零点的显式迭代算法,在适当的条件下,并进一步证明了显式迭代序列强收敛于这两类m-增生算子族的唯一公共零点,给出的结果是对先前和最近的文献中一些相应的结果的改进和推广.。

第４５卷第４期２０１８年７月浙㊀江㊀大㊀学㊀学㊀报(理学版)J o u r n a l o fZ h e j i a n g U n i v e r s i t y(S c i e n c eE d i t i o n )h t t p ://w w w ．z j u jo u r n a l s ．c o m /s c i V o l ．４５N o ．４J u l ．２０１８收稿日期:２０１７Ｇ０６Ｇ１２．基金项目:国家自然科学基金资助项目(６１７５１２１７);陕西省教育厅２０１８年科研计划专项;延安市科技局２０１８年科研计划项目．作者简介:杨延涛(１９８２ ),O R C I D :h t t p ://o r c i d ．o r g/００００Ｇ０００１Ｇ７９７９Ｇ０６１２,男,硕士,讲师,主要从事非线性泛函分析研究,E Ｇm a i l :y a d x y yt ＠１６３．c o m．D O I :１０．３７８５/j．i s s n ．１００８Ｇ９４９７．２０１８．０４．００４L p 空间中Li p s c h i t z 强单调算子方程解的迭代算法杨延涛(延安大学数学与计算机科学学院,陕西延安７１６０００)摘㊀要:设E ＝L p １＜p ＜¥(),A :E ңE ∗为L i p s c h i t z 强单调算子．给出了L p 空间中L i p s c h i t z 强单调算子方程解的迭代构造算法,并证明由此算法构造的序列强收敛于A x ＝０的唯一解,所得结果改进和推广了已有文献的相关结果．关㊀键㊀词:强单调算子;L i p s c h i t z ;算子方程;迭代算法;L p 空间中图分类号:O１７７．９１;O２４１．７㊀㊀㊀㊀文献标志码:A㊀㊀㊀㊀文章编号:１００８Ｇ９４９７(２０１８)０４Ｇ４０５Ｇ０４Y A N G Y a n t a o (C o l l e g eo f M a t h e m a t i c s a n d C o m p u t e r S c i e n c e ,Y a n a n U n i v e r s i t y ,Y a n a n ７１６０００,S h a a n x i P r o v i n c e ,C h i n a )I t e r a t i v e a l g o r i t h m sf o rt h es o l u t i o n so fs t r o n g l y m o n o t o n e L i p s c h i t zo p e r a t o re q u a t i o n si n L p s p a c e s ．J o u r n a lo f Z h e j i a n g U n i v e r s i t y (S c i e n c eE d i t i o n ),２０１８,４５(４):４０５Ｇ４０８A b s t r a c t :L e t E ＝L p １＜p ＜¥(),a n d A :E ңE ∗b eas t r o n g l y m o n o t o n ea n d L i p s c h i t zo p e r a t o r ．A ni t e r a t i v e c o n s t r u c t i o na l g o r i t h mf o r t h e s o l u t i o n s o f s t r o n g l y m o n o t o n eL i p s c h i t z o p e r a t o r e q u a t i o n s i n L p s p a c e s i s p r e s e n t e d ,a n d i t i s p r o v e d t h a t t h e s e q u e n c e c o n s t r u c t e db y t h e a l g o r i t h mc o n v e r g e s s t r o n g l y t o t h e u n i q u e s o l u t i o no f A x ＝０．T h e r e s u l t s s h o w n i n t h i s p a p e r i m p r o v e a n d g e n e r a l i z e t h e r e c e n t o n e s i n t h e l i t e r a t u r e ．K e y W o r d s :s t r o n g l y m o n o t o n e o p e r a t o r ;L i p s c h i t z ;o p e r a t o r e q u a t i o n s ;i t e r a t i v e a l g o r i t h m s ;L p sp a c e s ㊀㊀单调算子的概念最早可追溯到对凸函数极值问题的研究．设R n 为n 维欧式空间,f :R nңR 为正则的凸函数,f 在x ɪR n 处的次微分∂f x ()定义为∂f x ()＝{x ∗ɪR n:f y ()－f x ()ȡ‹y －x ,x ∗›,∀y ɪR n}．则∂f :R n ң２Rn是(极大)单调的,且０ɪ∂f x ()当且仅当f 在x 处有最小值．换言之,为求f x ^()＝m i n x ɪRnf x (),只须求单调算子A ＝∂f 的零点x ^ɪA －１０(),等价地找x ^ɪR n满足０ɪA x ^()．单调算子的概念与优化㊁变分不等式及均衡问题都密切相关,在非线性椭圆型㊁抛物型偏微分方程边值问题以及H a m m e r s t e i n 型非线性积分方程的可解研究中有广泛应用．自从B R OWD E R 等于２０世纪６０年代初引入单调算子的概念以来,经过５０多年的发展,单调算子理论已相当成熟,成果颇丰．１９７４年５月,美国数学会前主席B R OWD E R 在美国数学会举办的 希尔伯特问题的数学结果 专题讨论会上提出了下述问题(O P )[１]:设X 是自反B a n a c h 空间,A :X ңX ∗是连续㊁强制单调有界算子,A －１单值且有连续模,问:是否能对方程A x ＝０解的存在性给出一个构造性证明?此问题激发了国内外数学家的浓厚兴趣,并开展了广泛而深入的研究．B R UC K [２]在H i l b e r t 空间中引入了正则化迭代算法(R I A ),建立了该算法的局部收敛性结论;N E V A N L I N N A [３]提出了一个大范围迭代方案,建立了该方案的全局收敛性结果;R O C K A F E L L A R [４]在H i l b e r t 空间中引入了近似邻近点算法(A P P A ),建立了该算法的弱收敛性结论;游兆永等[５]在H i l b e r t 空间中则给出了无界集上L i p s c h i t z 单调算子方程的另一种迭代算法;在一般的B a n a c h 空间X 中,徐宗本[６]引入了广义预解式算法(G R A ),用此算法较完整地解决了B R O W D E R 提出的公开问题(O P )．在一般B a n a c h 空间X 中,正规对偶映像J :X ң２X∗是未知的,而在徐宗本[６]引进的广义预解式算法(G R A )中涉及J 与J －１,因而G R A 是难以具体实现的．在经典B a n a c h 空间L p (p ＞１)中,正规对偶映像J :L p ңL q 是已知的,其中１p ＋１q＝１,从而J 与J －１都是可以计算的．最近,C H I D U M E 等[７]在经典B a n a c h 空间L p 中引入广义最速下降法(G S D M )或称广义松弛算法(G S A )．在C H I D U M E 等[７]的G S D M 算法中,松弛因子λ的取值依赖于强单调算子A 与正规对偶映像J 之逆J －１的L i p s c h i t z 常数,当这２个L i p s c h i t z 常数未知时,松弛因子λ无法选取,从而G S D M 是无效的,如果此时将松弛因子λ替换为一个趋于０的数列λn {},则相应的广义最速下降法有效．本文的目的是改进C H I D UM E 等[７]的广义最速下降法．使用新的分析技巧,以证明改进后的广义最速下降法依范数收敛于方程A x ＝０的唯一解．１㊀预备知识设E 是赋范空间,E ∗为E 的对偶空间．定义映射J :E ң２E∗为J x ＝x ∗ɪE ∗:‹x ,x ∗›＝x x ∗ , x ＝ x ∗{},则称J 为E 上的正规对偶映像．注１㊀一般来说,J 是一个多值映射．若E 是光滑的,则J 是单值的．设E 是光滑的实B a n a c h 空间,E ∗为其对偶空间．定义二元函数φ:E ˑE ңR 为φx ,y ()＝ x ２－２‹x ,J y ›＋ y ２,x ,y ɪE ,(１)由式(１)及C a u c h y ＧS c h w a r z 不等式知 x － y ()２ɤφx ,y ()ɤx ＋ y ()２,x ,y ɪE ,(２)由式(１)及正规对偶映像的定义可得φx ,y ()＝ x ２－ y ２－２‹x －y ,J y ›,x ,y ɪE ．(３)引理１㊀设E 为光滑的实B a n a c h 空间,x n {}与y n {}为E 中的２个序列,其中之一为有界的．若x n －y n ң０n ң¥(),则φx n ,y n ()ң０n ң¥()．证明㊀不失一般性,假设x n {}是有界的,即存在正常数M ,满足 x n ɤM ,㊀∀n ȡ１,由于x n －y n ң０n ң¥(),故x n －y n {}也是有界的,即存在另一个正常数K ,满足 x n －y n ɤK ,㊀∀n ȡ１,利用范数的三角不等式可得y n ＝ y n －x n ＋x n ɤ x n －yn ＋ x n ɤK ＋M ,㊀∀n ȡ１,因此y n {}是有界的．由式(３)可得０ɤφx n ,y n ()＝ x n ２－ y n ２－２‹x n －y n ,J yn ›＝ x n ＋ y n () x n － y n ()－２‹x n －y n ,J yn ›ɤM ＋K ＋M () x n －y n ＋２K ＋M () x n －yn ＝(３K ＋４M ) x n －y n ,由假设条件x n －y n ң０n ң¥()得φxn ,y n ()ң０n ң¥()．推论１㊀设E 为光滑的实B a n a c h 空间,x n {}为E 中序列,x ɪE ．若x n ңx n ң¥(),则φx ,x n ()ң０n ң¥()．在某些B a n a c h 空间中,引理１之逆也成立．引理２[７]㊀E ＝L p １＜p ɤ２(),则J －１:L q ңL p 是L i p s c h i t z 连续的,即存在L １＞０,满足不等式: J －１u ()－J －１v () ɤL １ u －v ,∀u ,v ɪL q ,(４)其中p ,q 满足１p ＋１q ＝１．引理３[７]㊀E ＝L p p ȡ２(),则J －１在某个球上是H öl d e r 连续的,即∀u ,v ɪL q ,满足 u ɤR , v ɤR ,有下列不等式成立: J －１u ()－J －１v () ɤm p u －v １p －１,(５)其中,m p ＝２p ＋１L P C p ２()１p －１＞０,C ２＝２m a x １,R {},㊀１p ＋１q＝１．定义１㊀设X 为实B a n a c h 空间,X ∗为其对偶空间,如果存在连续㊁严格增函数ψ:R ңR ,ψ０()＝０,使得‹T x －T y ,x －y ›ȡψ x －y () x －y ,∀x ,y ɪD T (),(６)则称算子T :X ңX ∗为ψＧ强单调的．特别地,若ψt ()＝k t ,k ɪ０,１(),则称相应的算子T 为k Ｇ强单调算子．定义２㊀设Y 为实B a n a c h 空间,Y ∗为其对偶空间,称算子A :D A ()⊂X ңY ∗在x ０ɪD A ()处半连续,若∀t n ң０＋,x ０＋t n y ɪD A (),y ɪX ,则有A (x ０＋t n y )w ∗ңAx ０．引理４[７]㊀设X 为自反的B a n a c h 空间,T :X ң６０４浙江大学学报(理学版)㊀第４５卷㊀X ∗为半连续ψＧ强单调算子,则R T ()＝X ∗．推论２㊀设A :L p ңL q 是L i p s c h i t z 连续的k Ｇ强单调算子,则方程A x ＝０有唯一解．证明㊀在引理４中,取X ＝L p ,T ＝A ,ψ＝kt ,则R A ()＝L q ,特别地,方程A x ＝０至少有１个唯一解x ∗ɪL p ．设A x ＝０还有另一个解y ∗ɪL p ,由A 的定义知０＝‹A x ∗－A y ∗,x ∗－y ∗›ȡk x ∗－y ∗ ２,即可推出x ∗＝y ∗,故方程A x ＝０的解是唯一的．引理５[８]㊀设E 是光滑的实一致凸B a n a c h 空间,x n {}与yn {}为E 中的２个序列,其中之一是有界的．若φx n ,yn ()ң０n ң¥(),则x n －y n ң０n ң¥()．推论３㊀设E 是光滑的实一致凸B a n a c h 空间,x n {}为E 中的一个序列,x ɪE ．若φx ,x n ()ң０n ң¥(),则x n ңx n ң¥()．定义V :E ˑE ∗ңR 为V x ,x ∗()＝ x ２－２‹x ,x ∗›＋ x ∗ ２,x ɪE ,㊀x ∗ɪE ∗．(７)比较式(１)和式(７)可得V x ,x ∗()＝φx ,J －１x ∗()(),x ɪE ,x ∗ɪE ∗．(８)引理６[９]㊀设E 是实自反㊁严格凸㊁光滑的B a n a c h 空间,则下列不等式成立:V x ,x ∗()＋２‹J －１x ∗－x ,y ∗›ɤV x ,x ∗＋y ∗(),x ɪE ,x ∗,y ∗ɪE ∗．(９)２㊀主要结果定理１㊀设E ＝L p １＜p ɤ２(),A :E ңE ∗为L ＧL i p s c h i t z 连续的k Ｇ强单调算子．若x n {}由下列方式产生:x １ɪE ,x n ＋１＝J －１J x n －λn A x n (),㊀n ȡ１,{(１０)其中λn {}满足条件:(i )λn ң０n ң¥(),(i i )ð¥n ＝１λn ＝¥,则由式(１０)所产生的序列x n {}强收敛于方程A x ＝０的唯一解．证明㊀由推论２知,方程A x ＝０有唯一解,记为x ∗．结合式(８)与式(１０)得φx ∗,x n ＋１()＝φx ∗,J －１J x n －λn A x n ()()＝V x ∗,J x n －λnA x n (),(１１)结合式(９)与式(１１)得φx ∗,x n ＋１()＝V x ∗,J x n －λn A x n ()ɤV x ∗,J x n ()－２λn ‹J －１J x n －λn A x n ()－x ∗,A x n －A x ∗›＝φx ∗,x n ()－２λn ‹x n －x ∗,A x n －A x ∗›＋２λn ‹x n －x ∗,A x n －A x ∗›－２λn ‹J －１J x n －λnA x n ()－x ∗,A x n －A x ∗›＝φx ∗,x n ()－２λn ‹x n －x ∗,A x n －A x ∗›－２λn ‹J －１J x n －λnA x n ()－J －１J x n (),A x n －A x ∗›,(１２)由J －１和A 的L i p s c h i t z 连续性以及A 的k Ｇ强单调性得φx ∗,x n ＋１()ɤφx ∗,x n ()－２k λn x n －x ∗ ２＋２λn J －１J x n －λn A x n ()－J －１J x n () A x n －A x ∗ ɤφx ∗,x n ()－２k λn x n －x ∗ ２＋２L １L ２λ２n x n －x ∗ ２,(１３)其中L １与L 分别为J－１与A 的L i p s c h i t z 常数．由条件(i),选取n 充分大,使得λn ɤk ２L １L ２,φx ∗,x n ＋１()ɤφx ∗,x n ()－k λn x n －x ∗ ２,(１４)从而有k λn x n －x ∗ ２ɤφx ∗,x n ()－φx ∗,x n ＋１(),(１５)式(１５)表明l i m n ң¥φx ∗,x n ()存在．对式(１５)两边求和得k ð¥n ＝１λn x n －x ∗ ２＜¥,(１６)结合式(１６)与条件(i i),得l i m n ң¥i n f x n －x ∗ ２＝０,(１７)故存在一个子列x n j {}⊂x n ,使得x n jңx ∗j ң¥(),由推论１得φx ∗,x n j()ң０j ң¥(),因此φx ∗,x n ()ң０n ң¥()．再由推论３得x n ңx ∗,㊀n ң¥．定理２㊀设E ＝L p ２＜p ＜¥(),A :E ңE ∗为L ＧL i p s c h i t z 连续单调算子．假设存在常数k ɪ０,１(),满足条件:‹A x －A y ,x －y ›ȡk x －y pp －１,∀x ,y ɪE ,(１８)设x n {}由下列方程产生:x １ɪE ,x n ＋１＝J －１J x n －λn A x n (),㊀n ȡ１,{(１９)其中λn {}满足条件:(i )λn ң０n ң¥(),(i i )ð¥n ＝１λn ＝¥,则由式(１９)所产生的序列x n {}强收敛于方程Ax ＝０７０４㊀第４期杨延涛:L p 空间中Li p s c h i t z 强单调算子方程解的迭代算法的唯一解．证明㊀取ψt ()＝k t １p －１,则式(１８)可化为‹A x －A y ,x －y ›ȡψ x －y () x －y ,∀x ,y ɪE ．因此A :E ңE ∗为L ＧL i p s c h i t z 连续的ψＧ强单调算子．由引理４知,R A ()＝E ∗．特别地,方程A x ＝０至少有１个解x ∗ɪE ．假设方程A x ＝０还有另一个解y ∗ɪE ,则由式(１８)得０＝‹A x ∗－A y ∗,x ∗－y ∗›ȡk x ∗－y ∗ pp －１ȡ０,即x ∗＝y ∗,因此方程A x ＝０在E 中有唯一解,记为x ∗．下证x n{}是有界的．选取充分大的r ＞０,使得φx ∗,x １()ɤr ．假设φx ∗,x n ()ɤr ,n ȡ１．现证φx ∗,x n ＋１()ɤr ,n ȡ１．由式(５)㊁(９)㊁(１８)和(１９)以及A 的L ＧL i ps c h i t z 连续性,有φx ∗,x n ＋１()＝φx ∗,J －１J x n －λn A x n ()()＝V x ∗,J x n －λnA x n ()ɤV x ∗,J x n ()－２‹J －１J x n －λn A x n ()－x ∗,λnA x n ›＝V x ∗,J x n ()－２λn ‹x n －x ∗,A x n －A x ∗›＋２λn ‹J －１J x n －λA x n ()－J －１J x n (),A x n －A x ∗›ɤφx ∗,x n ()－２λn ‹x n －x ∗,A x n －A x ∗›＋２λn J －１J x n －λn A x n ()－J －１J x n () A x n －A x ∗ ɤφx ∗,x n ()－２k λn x n －x ∗ pp －１＋２λn λn１p －１m p A x n １p －１ A x n －A x ∗ ɤφx ∗,x n ()－２k λn x n －x ∗ pp －１＋２λn pp －１m p L pp －１ x n －x ∗pp －１,(２０)由定理２的条件(i),令n 足够大,使得λn ɤk ２m p L p p －１æèçöø÷p －１,(２１)将式(２１)代入式(２０),得φx ∗,x n ＋１()ɤφx ∗,x n ()－k λn x n －x ∗ pp －１．(２２)后续推导与定理１类似,故从略．证毕!注２㊀定理１和定理２分别改进了文献[７]中的相关结果．特别需要指出的是,定理２去掉了文献[７]中对A －１０()ʂ∅的假设．参考文献(R e f e r e n c e s):[１]㊀B R OWD E R F E ．M a t h e m a t i c a lD e v e l o p m e n t sA r i s i n gF r o m H i l b e r tP r o b l e m s :P r o c e e d i n g so f t h eS y m po s i u m i n P u r e M a t h e m a t i c s [M ]．D e k a l b :A m e r i c a n M a t h e m a t i c a l S o c i e t y,１９７６．[２]㊀B R U C K RE ．As t r o n g l y c o n v e r ge n t i t e r a t i v e s o l u t i o n of ０ɪU x ()f o ra m a x i m a lm o n o t o n eo p e r a t o r U i n H i l b e r t s p a c e [J ]．J o u r n a l o fM a t h e m a t i c a lA n a l y s i s a n d A p pl i c a t i o n s ,１９７４,４８(１):１１４Ｇ１２６．[３]㊀N E V A N L I N N A O．G l o b a l i t e r a t i o n s c h e m e s f o rm o n o t o n eo p e r a t o r s [J ]．N o n l i n e a r A n a l ys i s ,１９７９,３(４):５０５Ｇ５１４．[４]㊀R O C K A F E L L A R R T．M o n o t o n eo p e r a t o r sa n dt h e p r o x i m a l p o i n t a l go r i t h m [J ]．S i a mJ o u r n a l C o n t r o l a n d O pt i m i z a t i o n ,１９７６,１４(５):８７７Ｇ８９８．[５]㊀游兆永,刘昆昆．无界集上L i ps c h i t z 单调映射方程的迭代解法[J ]．西安交通大学学报,１９８９,２３(１):１９Ｇ２５．Y O UZY ,L I U K K．I t e r a t i v es o l u t i o nf o re qu a t i o n s o fL i p s c h i t z i a n m o n o t o n i cm a p p i n g so nu n b o u n d e ds e t [J ]．J o u r n a lo f X i a nJ i a o t o n g U n i v e r s i t y ,１９８９,２３(１):１９Ｇ２５．[６]㊀徐宗本．关于单调算子方程构造可解性问题的解答[J ]．自然杂志,１９８４,７(８):６３３．X U Z B ．S o l u t i o n st ot h ec o n s t r u c t i o no fs o l v a b i l i t y p r o b l e m s f o rm o n o t o n e o p e r a t o r e qu a t i o n s [J ]．C h i n e s e J o u r n a l o fN a t u r e ,１９８４,７(８):６３３．[７]㊀C H I D UM E C E ,B E L L O A U ,U S MA N B ．K r a s n o s e l s k i i Ｇt y p e a l g o r i t h m f o r z e r o s o f s t r o n g l y m o n o t o n e L i p s c h i t z m a p si n c l a s s i c a lB a n a c h s pa c e s [J ]．S p r i n ge rP l u s ,２０１５,４(１):１Ｇ９．[８]㊀K AM I MU R A S ,T A K A HA S H I W．A p p r o x i m a t i n gs o l u t i o n so f m a x i m a l m o n o t o n eo pe r a t o r si n H i l b e r t s p a c e [J ]．J o u r n a l o fA p p r o x i m a t i o nT h e o r y ,２０００,１０６(２):２２６Ｇ２４０．[９]㊀A L B E RYI ．M e t r i c a n dG e n e r a l i z e dP r o j e c t i o nO pe r a t o r s i nB a n a c hS p a c e s :P r o p e r t i e sa n d A p p l i c a t i o n si nT h e o r y a n dA p p l i c a t i o n so fN o n l i n e a rO p e r a t o r sof M o n o t o n ea n d A c c r e t i v e T y pe [M ]．N e wY o r k :S p r i n g e r ,１９９６．８０４浙江大学学报(理学版)㊀第４５卷㊀。