人教版七年级上册有理数知识点

学科教师辅导讲义学员姓名：年级：七年级课时数：辅导科目：数学授课时间：学科教师：学科组长签名及日期课题教学目标重点、难点考点及考试要求教务长签名及日期第一章有理数第一讲1.理解有理数的意义及有理数的有关概念；相反数、数轴、绝对值、倒数，并善于用适当的方法比较有理数的大小；2.理解加减法统一成加法的意义，能熟练地进行有理数加减法的混合运算，1.会判断一个数的正数还是负数；能用正数、负数表示生活中具有相反意义的量；2.了解有理数的相关概念，理解并掌握数轴的概念，掌握数轴上的点与有理数的对应关系；3.能初步理解相反数的概念，给出一个数能求出它的相反数；会求一个数的绝对值，能利用绝对值的性质求值；1.正数、负数的意义以及用正数、负数表示具有相反意义的量；2.相反数、数轴、绝对值、倒数，有理数大小的比较.教学内容知识回顾在小学，我们认识了自然数和分数，但日常生活中，在与数打交道时，经常会遇见零上9℃与零下15℃，收入1万元与支出3千元，上升30米与下降23米，盈利300元与亏损50元等相反意义的量，我们要如何区别而又形象地表示这些数呢？我们认识了正负数和0，他们都属于有理数，你知道什么是有理数吗？有理数有哪些意义呢？当负数加入数的大家庭后，又该如何比较两个数的大小呢？新课知识知识点一：正数和负数1.正数：像3,1.8%，3.5这样大于0的数叫做正数；负数：像-3.-2.7%，-4.5，-1.2这样在正数前面加上符号“-”（负）的数叫做负数.2.数0的意义。

数0既不是正数，也不是负数，0是正数与负数的分界.（例1）判断一个数是正数还是负数的方法：可以根据定义来判断一个数的正数还是负数，还可以和0去比较；在正数前面加上“-”号就是负数.知识点二：用正数和负数表示具有相反意义的量1.相反意义的量包含两层含义：①具有相反意义；②具有数量；2.常见的表示具有相反意义的名词：零上和零下、前进和后退、海平面以上和海平面以下、收入和支出、向南和向北、盈利和亏损、上升和下降等；整数⎨ 0 ⎪⎪ 1.按定义对有理数进行分类：有理数 ⎨ ⎩ ⎩⎩正分数 ⎪⎪⎪负有理数⎨负分数3.用正、负数表示相反意义的量：为了表示具有相反意义的量，我们把其中一种意义的量规 定为正，用正数表示；那么与它相反意义的量就可以用负数表示.（例2、例3）知识点三：“0”的意义在小学，0表示“没有”或者“空”，引入负数以后，0表示正数与负数的分界.例如在 温度计上，0℃不是表示没有温度，而是表示冰点，它是一个确定的温度.（例4）知识点四：有理数的有关概念（重点） 有理数：整数和分数统称为有理数1.整数：正整数、0、负整数统称为整数，如-3，-2,0,1,2等.2.分数：正分数、负分数统称为分数，如 + 1 1 2，0.18，-1.35， - 等.（例5）2 3注意：有理数只包括整数和分数，无限不循环小数不是有理数，如圆周率π不是有理数.知识点五：有理数的分类（重点）⎧ ⎧正整数 ⎪ ⎪⎪负整数 ⎪⎧正分数⎪分数⎨ ⎪ ⎩负分数⎧ ⎧正整数 ⎪正有理数⎨ 2.按性质对有理数进行分类：有理数 ⎨ 0⎪ ⎧负整数⎪⎩（例6）知识点六：数轴（重点）1.定义：在数学中，可以用一条直线上的点表示数，这条直线叫做数轴，它满足以下要求： （1）直线上任取一点表示数0，这个点叫做原点；（2）通常规定直线上从原点向右（或上）为正方向，从原点向左（或下）为负方向；（3）选取适当的长度为单位长度，直线上从原点向右，每隔一个单位长度取一点，依次表 示1,2,3，…. 如图-2 -1 0 1 2 3注意：（1）数轴是一条直线，可以向两端无限延伸.（2）数轴具有三要素：原点、正方向、单位长度，三者缺一不可. 2.画法：（1）一画：画一条直线（一般画成水平或者竖直的直线）；（2）二定：在直线上任取一点为原点，并用这点表示0（再原点下方或左边标上“0”）； （3）三选：确定正方向（一般规定向右或向上为正方向），用箭头表示出来；（4）四标：选取适当的长度作为单位长度，从原点向右，每隔一个单位长度取一点，依次 表示1,2,3，….从原点向左，每隔一个单位长度取一点，依次表示-1,-2,-3，….（例7）可以表示为 a = ⎨ 0 (a = 0) . ⎪- a (a < 0)知识点七：数轴上的点与有理数的关系所有的有理数都可用数轴上的点来表示，但是反过来不成立，即数轴上的点并不是都表 示有理数.具体如下：1.正有理数可以用数轴上原点右边（或上边）的点表示.2.负有理数可以用数轴上原点左边（或下边）的点表示.3.0用原点表示.4.原点左边（或下边）的点表示负数，右边（或上边）的点表示正数.（例8) 把有理数表示在数轴上的步骤：（1）确定所找点与原点的位置关系（左负右正原点零）； （2）确定具体位置，即去掉符号后的数值为这点到原点的距离.知识点八：相反数的概念及其表示（重点）1.几何意义：互为相反数的两个数在数轴上对应的两个点到 原点的距离相等 且位于原点的 两侧；反之，位于原点两侧且原点距离相等的点所表示的两个数互为相反数.2.代数意义：像2和-2，5和-5这样，只有符号不同的两个数叫为互为相反数.3.相反数的表示：一般地，a 和-a 互为相反数.特别地，0的相反数是0，这里 a 表示任意一 个数，可以是正数、负数，也可是0.求一个数的相反数的方法：只改变它前面的符号，其他的都不改变.（例9）知识点九：多重符号的化简（重点、难点）多重符号化简的两种方法：（1）采用同号得正，异号得负逐步由内向外化简.（2）把所有的“+”号去掉，由“-”号的个数决定.如果“-”号的个数是奇数，则结果为 “-”；如果“-”号的个数是偶数，则结果为“+”. （例10）知识点十：绝对值的概念（重点）1.绝对值的几何意义：一般地，数轴上表示数 a 的点与原点的距离叫做数 a 的绝对值，记作a ，读作“a 的绝对值”.如下图，-2 到原点的距离是 2，所以-2 的绝对值是 2，即 - 2 =2；2 到原点的距离是 2 ，所以 2 绝对值是 2 ，即 2 = 2 ；0 与原点重合，所以 0 的绝对值是0 的本身，即 0 = 0 .注：（1）数轴上表示数的点到原点的距离只与这个点离原点的长度有关，而与它所表示的 数的正负无关.2.绝对值的代数定义：一个正数的绝对值等于它本身；一个负数的绝对值等于它的相反数； 0的绝对值是0. （例11）即（1）如果 a>0,那么 a =a;(2)如果 a=0,那么 a =a;（3）如果 a<0,那么 a =-a.⎧ a (a > 0) ⎪ ⎩知识点十一：绝对值的性质（难点）-15，-0.02，6-22，-π，-1291.任何数都有绝对值，且只有一个，并且任何数的绝对值都是非负数；2.绝对值是它本身的数是非负数，绝对值是它相反数的数的非正数.0是绝对值最小的数.3.绝对值是某个正数的数有两个，它们互为相反数.4.互为相反数的两个数绝对值相等；反之，绝对值相等的两个数可能相等，也可能互为相反数.（例12、例13）知识点十二：比较有理数的大小（难点）1.利用数轴比较有理数的大小：在数轴上表示有理数，它们从左到右的顺序，就是从小到大的顺序，即左边的数小于右边的数.2.利用数的性质比较异号两数及与0的大小：正数大于0,0大于负数，正数大于负数.3.利用绝对值比较两个负数的大小：两个负数，绝对值大的反而小.方法：比较两个数的大小时要先看清符号：异号时，正数大于负数；同号时，要比较绝对值的大小.（例14）例题精讲例1.下列各数中，哪些是正数？哪些是负数?11,-,错误！未指定书签。

4,-2,1.3,0,3.14,π.7713正数：，负数：例2.将正、负数用相反意义的量表示（1）如果把公元20XX年记作+20XX年，那么-240年表示；（2）若把比海平面高规定为正，则+25m表示，0m表示.例3.将相反意义的量用正、负数表示某水库正常水位为30m,高出正常水位记为正数，记录表上有5次记录分别为+1.5,0，+2.8，-5，-2.3，这5次记录表示的实际水位分别是.例4.下列说法错误的是（）A.0是自然数B.0是整数C.0是偶数D.海拔是0表示没有海拔例5.下列说法正确的个数是（）①0是最小的整数；②一个有理数，不是正数就是负数；③有理数包括整数、零、分数；④a是正数，-a是负数；⑤自然数一定是正数；⑥整数包括正整数和负整数及0；⑦非正数就是负数和0.例6.把下列各数填入表示它属于的集合的圈内112π3637，，，-5，-7.3，，3，，0.1,1，300，9，-34234正数集负数集整数集分数集（4）-【-（+1.则代数式a正整数集有理数集负有理数集负分数集例7.指出下列画数轴时的错误之处-2-10123-3-2-1123-2-1012-1-2-3012例8.用数轴表示有理数1画出数轴，并在数轴上画出表示下列各数的点：4，-2，-4,5，1，03例9.分别写出下列各数的相反数：（1）9；（2）-7；（3）-313；(4)+11.2;(5)0;(6)-2.5;(7)5 24例10.化简下列各数：（1）-（-5）；（2）-（+5）；（3）+（-8）；11）】；（5）-【-（-）】；（6）+【-（-4）】333例11.求下列各数的绝对值：（1）-21；（2）+49；（3）0；(4)-7.8;(5)15.5.例12.已知a+2+b+3=0,求a和b的值例13．已知a、b、c在数轴上位置如图：a+bb+cc的值等于（）A．1B．-1C．0D．±1例14.实数a、b在数轴上对应点的位置如图，则a b（填“>”“<”或“=”）.a0b考点预测/历年真题1．下列四个数中，在-1和2之间的数是（）A．0B．-2C．-3D．32．（距离问题）观察下列每对数在数轴上的对应点间的距离4与-2，3与5，-2与-6，-4与3...A.5B.-5C.1并回答下列各题：（1）你能发现所得距离与这两个数的差的绝对值有什么关系吗？答：___.（2）若数轴上的点A表示的数为x，点B表示的数为―1，则A与B两点间的距离可以表示为________________.（3）结合数轴求得x-2+x+3的最小值为，取得最小值时x的取值范围为___.（4）满足x+1+x+4>3的x的取值范围为______.3．（分类讨论思想）已知甲数的绝对值是乙数绝对值的3倍，且在数轴上表示这两数的点位于原点的两侧，两点之间的距离为8，求这两个数；若数轴上表示这两数的点位于原点同侧呢？4.如果规定收入为正，支出为负，收入500元记作500元，那么支出237元应记作（）A.-500元B.-237元C.237元D.500元5.下列说法错误的是（）A.-0.5是负分数B.零不是正数也不是负数C.整数和分数称为有理数D.正有理数与负有理数组成全体有理数6.如图，在数轴上点M表示的数可能是（）A.1.5B-1.5 C.-2.4 D.2.47.小明、小兵、小颖三人的家和学校在同一东西走向的大街上，星期天老师到这三家进行家访，从学校出发先向东走250米到小明家，后又向东走350米到小兵家，在向西行800米到小颖家，最后又回到学校。