28.2解直角三角形的应用(方位角)

如图，观测点A、旗杆DE的底端D、某楼房CB的底端C三点在一条直线上，从点A处测得 楼顶端B的仰角为22°，此时点E恰好在AB上，从点D处测得楼顶端B的仰角为38.5°. 已知旗杆DE的高度为12米，试求楼房BC的高度．(参考数据：sin 22°≈0.37，cos 22°≈0.93，tan 22°≈0.40，sin 38.5°≈0.62，cos 38.5°≈0.78，tan 38.5°≈0.80)
28．2. 2 应用举例
第1课时 视角问题与方向角问题
1．解直角三角形的应用——仰角与俯角
在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角是__仰角 __，视线在水平线下
方的角是__ 俯角__． 因为光是沿直线传播的，因此在视角问题中，过视线上的某个点作水平直线的垂线， 则得到直角三角形，由此，在视线问题中，常通过作垂线或平行线构造直角三角形， 为利用三角函数计算创造条件．
5.(苏州模拟)“奔跑吧，兄弟！”节目组预设计一个新的游戏：“奔跑” 路线需经A、B、C、D四地．如图，其中A、B、C三地在同一直线上，D地在A地北偏东 30°方向、在C地北偏西45°方向．C地在A地北偏东75°方向．且BD＝BC＝30 m．从A
地跑到D地的路程是( D )
A．30 3 m C．30 2 m B．20 5 m D．15 6 m
2．解直角三角形的应用——方向角 方向角一般是指以__观测者 __的位置为中心，将__ __方向作为起始方向旋转到 正北或正南 目标的方向线所成的角(一般指锐角)，通常表达成北(南)偏东(西)××度，若正好为 45°，则表示为如：西南方向等． 方位角是一种具有特殊形式的角，具有角的一切特点，为此，解题时应首先把方位角
3
3．如图，某课外活动小组在测量旗杆高度的活动中，已测得仰角∠CAE ＝33°，AB＝a，BD＝b，则下列求旗杆CD长的正确式子是( C ) A．CD＝bsin 33°＋a B．CD＝bcos 33°＋a

军舰从B处向正西方向行驶至C处时，发现灯塔A在我军舰的北偏东60°的方向，求该军舰行驶的路程。
险区。这渔船如果继续向东追赶鱼群，有没有进入危险 将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题）；
方位角
区的可能？ (3)边角之间的关系:
某社会实践活动小组实地测量两岸互相平行的一段河的宽度，在河的南岸边点A处，测得河的北岸边点B在其北偏东45°方向，然后向
的速度沿西偏北30°方向前进，乙船以每小时15千米的速度沿东北 方向前进，甲船航行2小时到达C处，此时甲船发现渔具丢在乙船上， 于是甲船快速（匀速）沿北偏东75°的方向追赶，结果两船在B处 相遇。 （1）甲船从C处追赶上乙船用了多长时间？ （2）甲船追赶乙船的速度北是每小时多少千米？
B
D
C 75°
45°
西走60米到达C点，测得点B在点C的北偏东60°方向。 这渔船如果继续向东追赶鱼群，有没有进入危险区的可能？
C
为有效开发海洋资源，保护海洋权益，我国对南海诸岛
2解直角三角形的应用举例
北 为有效开发海洋资源，保护海洋权益，我国对南海诸岛
进行了全面调查，一测量船在A岛测得B岛2解直角三角形的应用举例 航海问题——方位角
北 M东
B
A
D
N
解直角三角形的依据
(1)三边之间的关系: (2)锐角之间的关系:
(3)边角之间的关系:
Ｂ
c a
Ａ
bＣ
仰角俯角
A
?
E 34
F
18
D
10米
B
方位角
北
C
西
O
B
东
南
利用锐角三角函数解决航海问题
如图，一艘海伦位于灯塔P的北偏东65°方向，距离灯 塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达 位于灯塔P的南偏东34°方向的B处。这时，B处距离 灯塔P有多远？（结果取整数）（cos25°=0.9063, sin34°=0.5291, ）

北
A
30°
西
东
O
45°
B
南
温馨提示：
（1）方向角通常是以南北方向线 为主，一般习惯说成“南偏东 （西）”或“北偏东（西）”。 （2）观测点不同，所得的方向角 也不同，但各个观测点的南北方向 线是互相平行的，因此通常借助于 此性质进行角度转换。
课前热身：一艘轮船在大海上航行，当航行到 A 处时，观测到小岛 B
1.解直角三角形
在直角三角形中,除直角外,由已知两元素 (必有一边)
求其余未知元素的过程叫解直角三角形。
Ｂ
2.解直角三角形的依据
(1)三边之间的关系: a2＋b2＝c2（勾股定理）； c
a
(2)两锐角之间的关系:∠ A＋ ∠ B＝ 90º；
(3)边角之间的关系:
sinA＝、如图所示，一艘观光游船 从港口A以北偏东30°的方向 出港观光，航行80海里至B处时 发生了侧翻沉船事故，立即 发出了求救信号，一艘在港口正北方向的海警船接到求救信号， 测得事故船在它的北偏东60°方向，马上以40海里每小时的速 度前往救援，求海警船到达事故船B处所需的大约时间(精确到 0.01)。
C
sin B PC PB
34 °
PB
PC sin B
72.505 sin 34
13（0 nmile)
B
因此，当海轮到达位于灯塔P的南偏东34°方向
时，它距离灯塔P大约130n mile．
问题2 海中有一个小岛 A，它周围 8 n mile内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西 向东航行，在 B 点测得小岛 A 在北偏东60°方向上，航行 12 n mile到达 D 点，这时测得小岛 A 在北偏东 30°方向上，如果渔船不改变航线继续向东 航行，有没有触礁的危险？

28.2解直角三角形的实际应用——仰角、俯角及方位角的重难点解析今天我说课的课题是28.2解直角三角形的实际应用（第一课时），下面我将从教材分析、教法学法、教学程序、设计思路四个方面进行阐述。

一、教材分析（一）教材地位和作用这是一节复习课，是在学生学习了《解直角三角形》和《解直角三角形的应用》后进行的阶段性小结。

《解直角三角形的应用》是第二十八章锐角三角函数的延续，渗透着数形结合思想、方程思想、转化思想。

因此本课无论是在本章还是在整个初中数学中都具有重要的地位，在中考中是个比较重要的考点。

（分值约占6---10分，常出现在第19题—第21题）（二）教学目标1、知识技能目标：进一步理解并掌握直角三角形中各元素之间的内在联系，会利用解直角三角形的知识解决仰角、俯角及方位角等有关的综合性实际问题.2、过程方法目标：在将实际问题抽象为数学问题，画出示意图，转化为解直角三角形问题的过程中，体会“数学建模”和“数形结合”的思想，培养学生分析问题、解决问题的能力．3、情感态度目标：渗透数形结合和数学建模的数学思想，激发学生学习兴趣，调动学生的积极性和主动性；培养学生理论联系实际，勇于探索敢于创新的精神.（三）教学重点与难点重点：熟练解直角三角形及会利用解直角三角形的知识去解决有关仰角、俯角及方位角的实际问题。

难点：把实际问题转化为解直角三角形的问题。

二、教法学法（一）教法分析本节课着重采用的是探究启发、分组讨论、讲练结合等教学方法，通过多媒体课件，以历年中考题创设问题情境，引出课题，简洁回顾原有的知识，引导学生从实际应用中建立数学模型。

（二）学法分析通过独立思考、小组合作、讲练结合、学生讲评等学习方式，理解直角三角形中各元素之间的内在联系，发挥学生的主观能动性。

使学生在这一过程中主动获得知识，通过例题的实践应用，能提高学生分析、解决问题的能力和综合运用知识的能力。

三、教学程序本节课我将围绕 情景引入、复习回顾、探索知识、课堂练习、小结梳理、作业布置 这六个环节展开复习教学，具体步骤是：（一）情景引入问题：(2015云南19题6分)为解决江北学校学生上学过河难的问题，乡政府决定修建一座桥．建桥过程中需测量河的宽度(即两平行河岸AB 与MN 之间的距离)．在测量时，选定河对岸MN 上的点C 处为桥的一端，在河岸点A 处，测得∠CAB ＝30°，沿河岸AB 前行30米后到达B 处，在B 处测得∠CBA ＝60°.请你根据以上测量数据求出河的宽度？方式：是以云南省去年的中考题为问题而引出的。