二次函数考试题目及答案1. 已知二次函数y=ax^2+bx+c的图象开口向上，且经过点(1,0)和(3,0)，求二次函数的解析式。
答案：由于二次函数的图象开口向上，所以a>0。
又因为函数图象经过点(1,0)和(3,0)，可以设二次函数的解析式为y=a(x-1)(x-3)。
将点(2,-4)代入，得到-4=a(2-1)(2-3)，解得a=4。
因此，二次函数的解析式为y=4(x-1)(x-3)。
2. 抛物线y=ax^2+bx+c与x轴交于点A(-1,0)和点B(3,0)，且抛物线的顶点在直线y=-2x上，求抛物线的解析式。
答案：设抛物线的解析式为y=a(x+1)(x-3)。
由于顶点在直线y=-2x上，设顶点坐标为(m,n)，则有n=-2m。
根据抛物线的对称性，顶点的横坐标m=(3-1)/2=1，所以n=-2。
将顶点坐标(1,-2)代入抛物线解析式，得到-2=a(1+1)(1-3)，解得a=1。
因此，抛物线的解析式为y=(x+1)(x-3)。
3. 已知二次函数y=ax^2+bx+c的图象经过点(0,2)和(2,0)，且对称轴为直线x=1，求二次函数的解析式。
答案：由于二次函数的对称轴为直线x=1，可以设二次函数的解析式为y=a(x-1)^2+k。
将点(0,2)代入，得到2=a(0-1)^2+k，即2=a+k。
又因为函数图象经过点(2,0)，代入得到0=a(2-1)^2+k，即0=a+k。
解得a=-2，k=2。
因此，二次函数的解析式为y=-2(x-1)^2+2。
4. 抛物线y=ax^2+bx+c与x轴的交点为A(-2,0)和B(4,0)，且抛物线经过点(1,3)，求抛物线的解析式。
答案：设抛物线的解析式为y=a(x+2)(x-4)。
将点(1,3)代入，得到3=a(1+2)(1-4)，解得a=-1/3。
因此，抛物线的解析式为y=-1/3(x+2)(x-4)。
5. 二次函数y=ax^2+bx+c的图象开口向下，且经过点(-1,0)和(3,0)，求二次函数的解析式。
二次函数拔高难题说明：以下题目难度比较大，有的题目是考试真题，有的题目是极客杰少瞎编的，主要是为了拓展思维.1.抛物线y=ax2+bx+c经过A(2+m，m)，B(2-m，m)，C(0，-3)三点，且当4≤x<5时，对应的函数值y恰好有3个整数值，则a的取值范围是．2.若m，n(m<n)是关于x的方程2022-(x-a)(x-b)=0的两个根，且a<b，则a，b，m，n的大小关系是.3.在直角坐标系中，点A的坐标为(3，0)，若抛物线y=x2-2x+n-1与线段OA有且只有一个公共点，则n的取值范围为．4.二次函数f(x)的图象开口向上，D为顶点，与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，若三角形ABC外接圆与y轴相切，且∠DAC=150°，则x≠0时，f(x)|x|的最小值是．5.已知二次函数y=-2x2+(b-a)x+c与直线y=1只有一个交点，且点A2m-n+3,n-8和点B2m+n+5,n-8在该函数图象上，则n的值是.6.抛物线y=m-1m x2+2m x-m-3m在平面直角坐标系中恒过两个定点，这两个定点之间的距离为.7.抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点，顶点为C，若△ABC为等边三角形，则△ABC的面积为.8.抛物线y=x2+bx+c与y=2022交于A、B两点，若C是抛物线上一点，且△ABC为直角三角形，则C点的纵坐标为.9.抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，过A、B、C三点的圆交y 轴于点D，则D点的坐标为.10.抛物线y=1a3x2+1b2x+1c上有三个点A(3a+b,c+d),B(2a+b,c+e),C(a+b,c+f)，其中a、b、c、d、e、f为非零实数，则△ABC的面积为.11.已知P、A、B是抛物线y=12x2+2x+m上三点，P点坐标为(1,2),且△APC始终为直角三角形，则点C(4,-3）到直线AB的最大距离为.12.已知直线y=kx-x+2k-4与抛物线y=12x2+3x交于A、B两点，在抛物线上存在这样的定点C，使ABC始终为直角三角形，则C点的坐标为.13.二次函数y=ax2+bx+c与直线y=kx+b交于A(3，m)，B(m+1，m+4)两点,且在抛物线上有且仅有3个点Q使得△ABQ的面积为S，横坐标在A，B之间的抛物线上的点Q的坐标为(m，n)，则S的值是.14.已知抛物线y=ax2+bx+33与x轴交于A(1，0)，B(3，0)两点与y轴交于点C，过点C 的直线交抛物线于另一点E，若∠ACE=60°，则点E的坐标为．15.已知抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A(-1,0),B(3,0)两点，C是抛物线上一点，且∠ACB=45°，则C点的坐标为.16.抛物线y=2x2+3bx+4c与直线y=kx+b交于不同的A、B两点，C是抛物线上任意点，过点C作y轴的平行线，交直线y=kx+b于点D，过A、B作CD的垂线，垂足分别为M、N，则AM∙ANCD=.17.已知二次函数y=2x2+bx+c的图象上任意点P到对称轴上一点F，与到平行于x轴的直线l的距离始终相等，过点F的直线与二次函数的图象交于A、B两点，则1AF+1BF=.18.设函数y=|x2-ax-b|，x的范围是0≤x≤1，其中a，b都是实数，记函数y的最大值为M(a，b)，则M(a，b)的最小值为．19.若函数y=2x2-(x-a)|x-a|-2与x轴至多有一个交点，则a的取值范围是______ ____.20.当0≤x≤4时，函数y=|x2-4x+9-2m|+2m的最大值是9，则m的取值范围是___ _______.21.已知a>0, 当-1≤x≤1时，函数y=|x2+|x-a|-3|的最大值是2，则a的取值范围是__________.22.知抛物线y=k8(x+2)(x-4)(k为常数，且k>0)与x轴从左至右依次交于A，B两点，与y轴交于点C，在第一象限内的抛物线上有点P，使得以A，B，P为顶点的三角形与△ABC相似，则k的值为.23.已知m、n为正整数，且二次函数y=4x2-2mx+n=0与x轴有两个交点，两交点到原点的距离都小于1，则m=；n=.24.若函数f x =-12x2+132在a≤x≤b时的最小值为2a，最大值为2b，则a=，b=.25.已知函数f x =-2x2+2ax-4a-a2在0≤x≤1时，f(x)的最大值是-5,则a=.26.已知二次函数y=x2-3x+4的图像与y=x交于A、B两点，C是抛物线上一点，有且仅有三个满足条件的C点使得△ABC的面积为k，则k的值为，由三个满足条件的C点组成的三角形的面积为.27.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴的交点分别为A、B，当1≤x≤5时，|y|≤2a恒成立，并且在二次函数图象上有且仅有一个点P使得△ABP为直角三角形，则该二次函数的解析式为.。
【拔尖特训】2024-2025学年九年级数学上册尖子生培优必刷题（人教版）专题22.13二次函数的最值问题拔高专练（重难点培优）班级：___________________ 姓名：_________________ 得分：_______________ 注意事项：本试卷满分100分，试题共23题，其中选择10道、填空6道、解答7道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2022秋•亭湖区期末）函数y ＝（x +1）2﹣3的最小值是（ ）A ．1B ．﹣1C ．3D ．﹣32．（2022秋•沈河区校级期末）二次函数y ＝﹣x 2﹣4x +c 的最大值为0，则c 的值等于（ ）A ．4B ．﹣4C ．﹣16D ．163．（2022秋•绿园区校级期末）已知二次函数的图象（0≤x ≤3）如图所示，关于该函数在所给自变量取值范围内，下列说法正确的是（ ）A ．函数有最小值1，有最大值3B ．函数有最小值﹣1，有最大值3C ．函数有最小值﹣1，有最大值0D ．函数有最小值﹣1，无最大值4．（易错题）（2022春•泰山区校级期末）二次函数y ＝mx 2﹣4x +1有最小值﹣3，则m 等于（ ）A ．1B ．﹣1C ．±1D ．±12 5．（易错题）（2022•威海模拟）已知二次函数y ＝（x ﹣h ）2+1（h 为常数），在自变量x 的值满足1≤x ≤3的情况下，与其对应的函数值y 的最小值为5，则h 的值为（ ）A ．3或5B ．﹣1或1C ．﹣1或5D ．3或16．（易错题）（2022春•东莞市校级期中）已知：如图，正方形ABCD 中，AB ＝2，AC ，BD 相交于点O ，E ，F 分别为边BC ，CD 上的动点（点E ，F 不与线段BC ，CD 的端点重合）且BE ＝CF ，连接OE ，OF ，EF ，在点E ，F 运动的过程中，有下列四个说法：①△OEF 是等腰直角三角形；②△OEF 面积的最小值是12； ③△OEF 面积的最大值是1；④四边形OECF 的面积是1．其中正确的是（ ）A ．①②③B ．①③④C ．①②④D ．①②③④7．（培优题）（2023春•北碚区校级期末）当a ﹣1≤x ≤a 时，二次函数y ＝x 2﹣4x +3的最小值为8，则a 的值为（ ）A ．﹣1 或5B ．0或6C ．﹣1或6D ．0或58．（培优题）（2023•宝鸡模拟）乐乐设计了一个魔术盒，当任意实数对（a ，b ）进入其中时，会得到一个新的实数a 2+2b ﹣7，例如把（2，﹣3）放入其中，就会得到22+2×（﹣3）﹣7＝﹣9，现将实数对（m ，﹣4m ）放入其中，得到实数﹣23，则二次函数y ＝mx 2﹣8x +7的最小值为（ ）A ．﹣3B ．﹣1C ．3D ．49．（培优题）（2023•碑林区校级模拟）已知二次函数y ＝mx 2﹣2mx +2（m ≠0）在﹣2≤x ＜2时有最小值﹣2，则m ＝（ ）A ．﹣4或−12B ．4或−12C ．﹣4或12D ．4或12 10．（压轴题）（2023•杭州）设二次函数y ＝a （x ﹣m ）（x ﹣m ﹣k ）（a ＞0，m ，k 是实数），则（ ）A ．当k ＝2时，函数y 的最小值为﹣aB ．当k ＝2时，函数y 的最小值为﹣2aC ．当k ＝4时，函数y 的最小值为﹣aD ．当k ＝4时，函数y 的最小值为﹣2a二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）请把答案直接填写在横线上11．（2023•道里区三模）二次函数y ＝﹣x 2+9的最大值是 ．12．（2022秋•池州期末）若二次函数y＝（m+1）x2+m2﹣9有最小值，且图象经过原点，则m＝．13．（易错题）（2022•西湖区校级模拟）函数y＝x2﹣6x+8（0≤x≤4）的最大值为．14．（压轴题）（2023•白山模拟）若点P（m，n）在抛物线y＝x2+4上，则m﹣n的最大值等于．15．（易错题）（2023春•碑林区校级期末）如图，在正方形ABCD中，点E、F、G、H分别为边AB、BC、CD、DA上的点，EG⊥HF．当四边形EFGH面积的最小值为27时，线段EG的长为．16．（压轴题）（2023•宽城区二模）在平面直角坐标系中，点A（m，y1）、B（m+1，y2）在抛物线y＝（x ﹣1）2﹣2上．当y1＜y2时，抛物线上A、B两点之间（含A、B两点）的图象的最高点的纵坐标为3，则m的值为．三、解答题（本大题共7小题，共52分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（2020秋•珠海校级期中）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点（1，2），且当x＝﹣1时，y有最小值y＝﹣2．（1）求这个函数的关系式；（2）试判断点（3，14）是否在此函数图象上．18．（易错题）（2022秋•漳州期末）已知二次函数y＝x2+bx+c（b、c为常数）的图象经过点（0，3）、（1，﹣2）．（1）求b、c的值；（2）当0≤x≤m时，若y的最大值与最小值之和为1，求m的值．19．（易错题）（2022秋•洞头区期中）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，E，F，G，H四点一次是边AB，BC，CD，DA上一点（不与各顶点重合），且AE＝AH＝CG＝CF，记四边形EFGH面积为S（图中阴影），AE＝x．（1）求S关于x的函数表达式，并直接写出自变量的取值范围．（2）求x为何值时，S的值最大，并写出S的最大值．20．（培优题）（2022•永嘉县模拟）已知二次函数y ＝2x 2﹣bx +c 的图象经过A （1，n ），B （3，n ）．（1）用含n 的代数式表示c ．（2）若二次函数y ＝2x 2﹣bx +c 的最小值为c 281，求n 的值．21．（培优题）（2023•深圳模拟）对于“已知x +y ＝1，求xy 的最大值”这个问题，小明是这样求解的： ∵x +y ＝1，∴y ＝1﹣x ，∴xy =x(1−x)=x −x 2=−(x −12)2+14；∴xy ≤14，所以xy 的最大值为14． 请你按照这种方法计算：当2n +m ＝4（m ＞0，n ＞0）时，2m +1n 的最小值． 22．（培优题）（2022秋•西城区校级期中）在平面直角坐标系xOy 中，对于点P （x ，y ），如果点Q （x ，y '）的纵坐标满足y '={x −y(当x ≥y 时)y −x(当x ＜y 时)，点Q 为点P 的“关联点”． （1）请直接写出点（3，5）的“关联点”的坐标；（2）如果点P 在函数y ＝x ﹣2的图象上，其“关联点”Q 与点P 重合，求点P 的坐标；（3）如果点M （m ，n ）的“关联点”N 在函数y ＝2x 2的图象上，当0≤m ≤2时，求线段MN 的最大值．23．（培优题）（2023•贵阳模拟）已知函数y ＝x 2+bx +c （b ，c 为常数）的图象经过点（0，3），（6，3）．（1）求b ，c 的值；（2）当0≤x ≤4时，求y 的最大值与最小值之差；（3）当k﹣4≤x≤k时，若y的最大值与最小值之差为8，求k的值．。
二次函数试题一;选择题：1、 y =（m-2）x m2-m 是关于x 的二次函数，贝U m=（）A-1B2C-1或2 Dm 不存在2、下列函数关系中，可以看作二次函数 y=ax 2+bx+c （a 工0）模型的是（） A 在一定距离内，汽车行驶的速度与行驶的时间的关系我国人中自然增长率为 1%，这样我国总人口数随年份变化的关系 矩形周长一定时，矩形面积和矩形边长之间的关系 圆的周长与半径之间的关系的解析式是（B y=—(x+2) 2+2C y=—x+2) 2+25、抛物线y=1X 2-6X +242 B (— 6, 6) A (— 6,— 6) 6、 已知函数y=ax 2+bx+c,图象如图所示, ① abc 〈0 ② a + c 〈bA 1B 27、函数 y=ax 2-bx+c b a c C (a ^ 0) cA -1 C (6, 6) ③ a+b+c > 0 ④ 3 D 4 的图象过点（-1 , 0），则 a b 1 C - 2y= ax+c 与二次函数的值是（ 12y=ax_+bx+c (a * 0), 8、已知一次函数 它们在同一坐标系内的大致图象是图中的（4、将一抛物线向下向右各平移2个单位得到的抛物线是y=- x 2,则抛物线 A y=—(x-2) 2+22 217、抛物线y= ( k+1) x +k -9开口向下，且经过原点，则k = ----------解答题：(二次函数与三角形)391、已知：二次函数y=_x2+bx+c，其图象对称轴为直线x=1，且经过点(2,-—)•44AMC (1)求此二次函数的解析式.(2)设该图象与x轴交于B、C两点(B点在C点的左侧)，请在此二次函数x轴下方的图象上确定一点己，使厶EBC的面积最大, 并求出最大面积.2、如图，在平面直角坐标系中, 抛物线与x轴交于A、B两点(A在B的左侧)，与轴交于点C (0, 4),顶点为( 1, ! )•(1)求抛物线的函数表达式;(2)设抛物线的对称轴与轴交于点D,试在对称轴上找出点卩，使厶CDP为等腰三角形，请直接写岀满足条件的所有点P的坐标.(3)若点E是线段AB上的一个动点(与A、B不重合)，分别连接AC、BC,过点作EF // AC交线段BC于点F，连接CE,记厶CEF的面积为S, S是否存在最大值?若存在，求岀S的最大值及此时E点的坐标；若不存在，请说明理由.4 23、如图，一次函数y=—4x—4的图象与x轴、y轴分别交于A、C两点，抛物线y= 3X + bx+c的图象经过A、C两点，且与x轴交于点B.(1) 求抛物线的函数表达式；(2) 设抛物线的顶点为D,求四边形ABDC的面积；(3) 作直线MN平行于x轴，分别交线段AC、BC于点M、N •问在x轴上是否存在点P,使得厶PMN是等腰直角三角形？如果存在，求出所有满足条件的P点的坐标；如果不存在，请说明理由.1 27(二次函数与四边形) 4、已知抛物线y =-x2_mx • 2m __ .2 2(1)试说明：无论m为何实数，该抛物线与x轴总有两个不同的交点；⑵如图，当该抛物线的对称轴为直线x=3时，抛物线的顶点为点C,直线y=x- 1与抛物线交于A、B两点，并与它的对称轴交于点D .①抛物线上是否存在一点P使得四边形ACPD是正方形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；②平移直线CD，交直线AB于点M，交抛物线于点N，通过怎样的平移能使得C、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形.5、如图，抛物线y= mx2- 11mx + 24m (m v 0)与x轴交于B、C两点(点B在点C的左侧)，抛物线另有一点A在第一象限内，且 / BAC=90°.(1)填空：OB = _ ▲，OC = _ ▲;(2)连接OA,将厶OAC沿x轴翻折后得△ ODC，当四边形OACD是菱形时，求此时抛物线的解析式；(3)如图2,设垂直于x轴的直线I: x= n与(2)中所求的抛物线交于点M，与CD交于点N，若直线I沿x轴方向左右平移，且交点M始终位于抛物线上A、C两点之间时，试探究：当n为何值时，四边形N的面积取得最大值，并求出这个最大值.l: x= n学习资料收集于网络，仅供参考6、如图所示，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是直角梯形，BC // AD，/ BAD=90 ° , BC与y轴相交于点M，且M是BC 的中点，A、B、D三点的坐标分别是A ( _1，0 )，B ( _1，2 )，D (3, 0).连接DM，并把线段DM沿DA方向平移到ON.若抛物线y =ax2亠bx亠C经过点D、M、N .(1)求抛物线的解析式.(2)抛物线上是否存在点P,使得PA=PC，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.(3)设抛物线与x轴的另一个交点为E,点Q是抛物线的对称轴上的一个动点，当点Q在什么位置时有|QE-QC|最大？并求出最大值.27、已知抛物线y二ax -2ax -3a (a ::: 0)与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点c,点D为抛物线的顶点.(1)求A、B的坐标；(2)过点D作DH丄y轴于点H，若DH=HC，求a的值和直线CD的解析式；(3)在第(2)小题的条件下，直线CD与x轴交于点E,过线段OB的中点N作NF丄x轴，并交直线CD于点F,则直线NF 上是否存在点M，使得点M到直线CD的距离等于点M到原点O的距离？若存在，求岀点M的坐标；若不存在，请说明理由.(二次函数与圆)8、如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c (a^0的图象经过M (1, 0)和N (3, 0)两点，且与y轴交于D (0, 3),学习资料学习资料收集于网络，仅供参考直线I是抛物线的对称轴.1)求该抛物线的解析式.2) 若过点A (- 1 , 0)的直线AB与抛物线的对称轴和x轴围成的三角形面积为6，求此直线的解析式.3) 点P在抛物线的对称轴上，。
