计数原理、排列与组合

第十篇
计数原理与概率、随机变量及其分布(必修3、选修2-3)
第1节计数原理、排列与组合
课时训练练题感提知能
【选题明细表】
一、选择题
1.已知某公园有4个门,从一个门进,另一个门出,则不同的走法的种数为( C )
(A)16 (B)13 (C)12 (D)10
解析:由分步乘法计数原理可知,走法总数为4×3=12.故选C.
2.
如图所示,在A、B间有四个焊接点1、2、3、4,若焊接点脱落导致断路,则电路不通.今发现A、B之间电路不通,则焊接点脱落的不同情况有( C )
(A)9种(B)11种(C)13种(D)15种
解析:按照焊接点脱落的个数进行分类.
若脱落1个,则有(1),(4)共2种;
若脱落2个,有(1,4),(2,3),(1,2),(1,3),(4,2),(4,3)共6种;
若脱落3个,有(1,2,3),(1,2,4),(2,3,4),(1,3,4)共4种;
若脱落4个,有(1,2,3,4)共1种.综上共有2+6+4+1=13(种)焊接点脱落的情况.故选C.
3.(2013河南省三市)现将2名医生和4名护士分配到2所学校给学生体检,每校分配1名医生和2名护士,则不同的分配方法共有
( B )
(A)6种(B)12种(C)18种(D)24种
解析:只需让第一所学校选取即可.
先从2名医生中选取1名,不同的选法有=2(种);
再从4名护士中选取2名,不同的选法有=6(种).
由分步乘法计数原理可得,不同的分配方案有
2×6=12(种).
故选B.
4.一排9个座位坐了3个三口之家,若每家人坐在一起,则不同的坐法种数为( C )
(A)3×3! (B)3×(3!)3
(C)(3!)4(D)9!
解析:9个座位坐3个三口之家,每家人坐在一起,用捆绑法,不同的坐
法种数为()=(3!)4.故选C.
5.(2013甘肃省兰州一中高三高考冲刺)将甲、乙、丙、丁、戊共五位同学分别保送到北大、上海交大和浙大3所大学,若每所大学至少保送1人,且甲不能被保送到北大,则不同的保送方案种数为( C ) (A)150 (B)114 (C)100 (D)72
解析:
=8
=18
=18
=16
=24
=16
所以不同的保送方案有8+18+18+16+24+16=100(种).
故选C.
6.(2013四川眉山模拟)现有2门不同的考试要安排在5天之内进行,每天最多进行一门考试,且不能连续两天有考试,那么不同的考试安排方案种数为( C )
(A)6 (B)8 (C)12 (D)16
解析:先从5天中选取两天进行考试,则不同的考试安排方案共有
=20(种).
其中连续两天考试的情况只有(1,2)、(2,3)、(3,4)、(4,5)4种情况,
故不同的考试安排方案共有4=8(种).
所以所求不同的考试安排方案共有20-8=12(种).
故选C.
7.(2014四川德阳模拟)袋中装有编号分别为1,2,3,4的4个白球和4个黑球,从中取出3个球,则取出球的编号互不相同的取法种数为( A )
(A)32 (B)40 (C)24 (D)56
解析:由题意知每个号码均有白球和黑球各一个.先从4个号码中选取3个,不同的选法为=4(种);然后每个号码选择一球各有2种选法,所以不同的选法共有4×2×2×2=32(种).故选A.
二、填空题
8.(1)若3=2+6,则x= .
(2)若=,则x= .
解析:(1)原方程可化为3x(x-1)(x-2)=2(x+1)x+6x(x-1),
∵x≥3,∴3(x-1)(x-2)=2(x+1)+6(x-1),
整理得3x2-17x+10=0.
解之得x=(舍去)或x=5.
∴原方程的解为x=5.
(2)原方程可化为x2-x=5x-5或(x2-x)+(5x-5)=16,
即x2-6x+5=0或x2+4x-21=0.
解得x=1,x=5或x=-7,x=3,
经检验x=5和x=-7不合题意,故原方程的根为1,3.
答案:(1)5 (2)1或3
9.甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中参加某项志愿者活动,要求每人参加一天且每天至多安排一人,并要求甲安排在另外两位前面.不同的安排方法共有种.
解析:按甲的安排进行分类讨论
①甲排周一,则乙丙排后4天中2天,
有4×3=12(种);
②甲排周二,则乙、丙排后3天中2天,
有3×2=6(种);
③甲排周三,则乙、丙排后2天,
有2×1=2(种).
故共有12+6+2=20(种).
答案:20
10.已知a∈{2,4,6,8},b∈{3,5,7,9},则能组成log a b>1的对数值有个.
解析:由log a b>1可得b>a,
故可根据a的取值进行分类.
当a=2时,b可取3,5,7,9共4种情况;
当a=4时,b可取5,7,9共3种情况;
当a=6时,b可取7,9共2种情况;
当a=8时,b只能取9,共1种情况.
由分类加法计数原理可知不同的对数值共有4+3+2+1-1=9(个).其中log23=log49.
答案:9
11.某市教育局在一次教师招聘中共邀请了9名评委老师,若将9位评委老师平均分成三组进行打分,共有种不同的分法.
解析:9位评委老师平均分成3组,每组3人,这是一个均分问题,故不同的分法为=280(种).
答案:280
12.用3个奇数1,3,5与3个偶数2,4,6组成无重复数字的六位数,3个奇数相邻,则不同的六位数共有个.
解析:先排3个奇数,有种排法,然后看作一个整体与3个偶数进行全排,故不同的六位数共·=6×24=144个.
答案:144
三、解答题
13.在由开关组A、B组成的串联电路中,如图所示,只合上两个开关以接通电路电源,要使电灯发光的方法有几种?
解:只有在合上A组两个开关中的任意1个之后,再合上B组3个开关中的任意1个,才能使电灯的电源接通,电灯才能发光.根据分步乘法计数原理共有2×3=6(种)不同的方法接通电源,使电灯发光.
14.某校数学课外活动小组有高一学生10人,高二学生8人,高三学生7人.
(1)选其中1人为总负责人,有多少种不同的选法?
(2)每一年级各选1名组长,有多少种不同的选法?
(3)推选出其中2人去外校参观学习,要求这2人来自不同年级,有多少种不同的选法?
解:(1)若从高一学生中选,则有10种不同选法;若从高二学生中选,则有8种不同选法;若从高三学生中选,则有7种不同选法;所以由分类加法计数原理知,共有10+8+7=25(种)不同选法.
(2)三个年级分别有10种,8种,7种不同选法,由分步乘法计数原理知,共有10×8×7=560(种)不同选法.
(3)选法可分三类:一类是1人选自高一,1人选自高二,有
10×8=80(种)选法;第二类是1人选自高一,1人选自高三,有
10×7=70(种)选法;第三类是1人选自高二,1人选自高三,有
8×7=56(种)选法,
所以共有80+70+56=206(种)不同选法.
15.男运动员6名,女运动员4名,其中男女队长各1名,选派5人外出比赛,在下列情形中各有多少种选派方法?
(1)男运动员3名,女运动员2名;
(2)至少有1名女运动员;
(3)既要有队长,又要有女运动员.
解:(1)任选3名男运动员,方法数为,再选2名女运动员,方法数为,共有·=120(种)方法.
(2)法一至少有1名女运动员包括以下几种情况:
1女4男,2女3男,3女2男,4女1男,由分类加法计数原理可得总选
法数为+++=246.
法二“至少有1名女运动员”的反面是“全是男运动员”,因此用
间接法求解,不同选法有-=246(种).
(3)当有女队长时,其他人任意选,共有种选法.不选女队长时,必选男队长,其他人任意选,共有种选法,其中不含女运动员的选法有种,所以不选女队长时的选法共有(-)种选法.所以既有队长又有
女运动员的选法共有+-=191(种).。