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2020年辽宁省沈阳市高中三年级教学质量监测（三）数 学（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上，并将条码粘贴在答题卡指定区域。
2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
第Ⅱ卷用黑色墨水签字笔在答题卡指定位置书写作答，在本试题卷上作答无效。
3.考试结束后，考生将答题卡交回。
第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{|(1)(2)0},{|0}=--≤=>M x x x N x x ，则A ．N M ⊆B ．M N ⊆C ．M N =∅ID ．M N =R U2．复数12z i =+，若复数1z ，2z 在复平面内的对应点关于虚轴对称，则12z z =A ．5-B ．5C ．34i -+D ．34i -3．已知抛物线22x py =上一点(,1)A m 到其焦点的距离为3，则p =A ．2B ．2-C ．4D ．4±4．《九章算术》中介绍了一种“更相减损术”，用于求两个正整数的最大公约数，将该方法用算法流程图表示如下，若输入15a =，12b =，0i =，则输出的结果为A ．4a =，4i =B ．4a =，5i =C ．3a =，4i =D ．3a =，5i =5．被誉为“中国现代数学之父”的著名数学家华罗庚先生倡导的“0.618优选法”在生产和科研实践中得到了非常广泛的应用，0.618就是黄金分割比512m -=的近似值，黄金分割比还可以表示为2sin18︒，则24m m -= A ．4 B ．2C ．51+D ．51-6．已知某不规则几何体三视图如图，其中俯视图中的圆弧为14圆周，则该几何体的侧面积为 A ．344π+B ．722π+ C ．7524π+D ．7528π+ 7．设函数2()cos sin f x x b x =+，则“0b =”是“()f x 的最小正周期为π”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8．2020年初，新型冠状肺炎在欧洲爆发后，我国第一时间内向相关国家捐助医疗物资，并派出由医疗专家组成的医疗小组奔赴相关国家．现有四个医疗小组甲、乙、丙、丁，和有4个需要援助的国家可供选择，每个医疗小组只去一个国家，设事件A =“4个医疗小组去的国家各不相同”，事件B =“小组甲独自去一个国家”，则()P A B = A ．29B ．13C ．49D ．599．已知O 为ABC ∆的外接圆的圆心，且345OA OB OC +=-u u u r u u u r u u u r，则C ∠的值为A ．4πB ．2πC ．6πD ．12π10．我们打印用的4A 纸的长与宽的比约为2，之所以是这个比值，是因为把纸张对折，得到的新纸的长与宽之比仍约为2，纸张的形状不变．已知圆柱的母线长小于底面圆的直径长（如图所示），它的轴截面ABCD 为一张4A 纸，若点E 为上底面圆上弧AB 的中点，则异面直线DE 与AB 所成的角约为 A ．6πB ．4π C ．3π D ．32π CE11．已知x 与y 之间的几组数据如下表：上表数据中y 的平均值为2.5，若某同学对m 赋了三个值分别为1.5，2，2.5，得到三条线性回归直线方程分别为11y b x a =+，22y b x a =+，33y b x a =+，对应的相关系数分别为1r ，2r ，3r ，下列结论中错误的是 A ．三条回归直线有共同交点 B ．相关系数中，2r 最大 C ．12b b >D ．12a a >参考公式：线性回归方程yb x a ∧∧=+中，其中121()()()niii nii x x y y b x x --∧=-=--=-∑∑，a y b x ∧-∧-=-．相关系数()()niix x y y r----=∑．12．已知函数3()4f x x x =-，过点(2,0)A -的直线l 与()f x 的图象有三个不同的交点，则直线l 斜率的取值范围为 A ．(1,8)-B ．(1,8)(8,)-+∞UC ．(2,8)(8,)-+∞UD ．(1,)-+∞第Ⅱ卷（非选择题 共90分）本卷包括必考题和选考题两部分，第13~21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22~23题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知m 是常数，()543252054311 a x a x a x a x a x a mx +++++-=，且1234533a a a a a ++++=，则m =＿＿＿＿＿＿＿＿．14．已知1()f x x x =+，若25(log )2f b =，则1(log )2b f =＿＿＿＿＿＿＿＿．15．在平面直角坐标系xOy 中，F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点，直线2y b=与双曲线交于,B C 两点，且90BFC ∠=︒，则该双曲线的离心率为＿＿＿＿＿＿＿＿． 16．在△ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，设△ABC 的面积为S ，若2224sin sin s 3n +2i A B C =，则SAB AC⋅u u u r u u u r 的最大值为＿＿＿＿＿＿＿＿． 三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22-23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分． 17．（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和2n S n pn =+，且4712,,a a a 成等比数列． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若14nn n n S b a a +=⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T ．18．（本小题满分12分）随着生活节奏的加快以及智能手机的普及，外卖点餐逐渐成为越来越多用户的餐饮消费习惯，由此催生了一批外卖点餐平台．已知某外卖平台的送餐费用与送餐距离有关（该平台只给5千米范围内配送），为调査送餐员的送餐收入，现从该平台随机抽取100名点外卖的用户进行统计，按送餐距离分类统计结果如下表：以这100名用户送餐距离位于各区间的频率代替送餐距离位于该区间的概率． （1）若某送餐员一天送餐的总距离为100千米，试估计该送餐员一天的送餐份数；（四舍五入精确到整数,且同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）（2）若该外卖平台给送餐员的送餐费用与送餐距离有关，规定2千米内为短距离，每份3元，2千米到4千米为中距离，每份7元，超过4千米为远距离，每份12元．记X 为送餐员送一份外卖收入（单位：元），求X 的分布列和数学期望．19．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的菱形，60DAB ∠=︒，AD PD ⊥，点F 为棱PD 的中点．（1）在棱BC 上是否存在一点E ，使得CF P 平面PAE ，并说明理由； （2）若AC PB ⊥，二面角D FC B --的余弦值为6AF 与平面BCF 所成的角的正弦值．20．（本小题满分12分）已知椭圆2222:1(0)+=>>x y C a b a b ，四点1P，2P，3(2,3-P，4P 中恰有三个点在椭圆C 上，左、右焦点分别为1F 、2F ． （1）求椭圆C 的方程；（2）过左焦点1F 且不平行坐标轴的直线l 交椭圆于P 、Q 两点，若PQ 的中点为N ，O 为原点，直线ON 交直线3x =-于点M ，求1||||PQ MF 的最大值．21．（本小题满分12分）已知函数()bx e f x ax =在2x =处取到极值为2e．（1）求函数()f x 的单调区间；（2）若不等式2()ln 1x f x kx x ≥++在(0,)x ∈+∞上恒成立，求实数k 的取值范围．ABCDPF（二）选考题：共10分，请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做则按所做的第一题计分． 22．【选修4-4坐标系与参数方程】（本小题满分10分）在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为sin 2ρθ=．（1）M 为曲线1C 上的动点，点P 在线段OM 上，且满足4PO OM ⋅=-u u u r u u u u r，求点P 的轨迹2C 的直角坐标方程； （2）曲线2C 上两点1(,)3A ρπ与点2(,)B ρα，求OAB ∆面积的最大值．23．【选修4-5：不等式选讲】（本小题满分10分）已知,,a b c 均为正数，设函数()f x x b x c a =--++，x ∈R ． （1）若222a b c ===，求不等式()3f x <的解集； （2）若函数()f x 的最大值为1，证明：14936a b c++≥．2020年沈阳市高中三年级教学质量监测（三）数学（理科）【答案与评分标准】第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．第Ⅱ卷（非选择题 共90分）本卷包括必考题和选考题两部分，第13~21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22~23题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．314．52-15．516三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22-23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分． 17．（本小题满分12分）（1）当1n =时，111a S p ==+， 当2n ≥时，121n n n a S S n p -=-=-+，……2分 当1n =时，11a p =+也满足上式，故21n a n p =-+，……3分 ∵4712,,a a a 成等比数列，∴24127a a a =，……4分∴2(7)(23)(13)p p p ++=+，∴2p = ∴21n a n =+；……6分由（1）可得2221448483111()(21)(23)48322123n n n n S n n n n b a a n n n n n n +++====--++++++，……9分∴231111111322()23557212324623n n nT n n n n n n +=--+-+⋅⋅⋅+-=-+=++++．……12分18．（本小题满分12分）（1）估计每名外卖用户的平均送餐距离为：0.50.15 1.50.25 2.50.25 3.50.2 4.50.15 2.45⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=千米． ……3分所以送餐距离为100千米时，送餐份数为：100412.45≈份； ……5分 （2）由题意知X 的可能取值为：3，7，12．……6分 ()40310025P X ===， ……7分 ()710904502P X ===， ……8分 ()1512100230P X ===． ……9分所以X 的分布列为：……10分∴()3712 6.1522930205E X =⨯+⨯+⨯=． ……12分19．（本小题满分12分）（1）在棱BC 上存在点E ，使得CF P 平面PAE ，点E 为棱BC 的中点． 证明：取PA 的中点Q ，连结EQ 、FQ ， 由题意，FQ AD P 且12FQ AD =， CE AD P 且12CE AD =，故CE FQ P 且CEFQ =．∴四边形CEQF 为平行四边形． ……2分 ∴CF EQ P ，又CF ⊄平面PAE ， ∴CF P 平面PAE ．……4分（2）菱形ABCD 中，AC BD ⊥，又AC PB ⊥，PB BD B =I ． ∴AC ⊥平面PBD ，又PD ⊂面PBD ，∴AC PD ⊥， ∵AD PD ⊥，AC AD A =I ，∴PD ⊥平面ABCD ． ……6分取AB 中点为M ，则DM AB ⊥．以D 为原点，DM ，DC ，DP 为x ，y ，z 轴建立如图空间直角坐标系，设FD a =， 则由题意知()0,0,0D ，()0,0,F a ，()0,2,0C，)B，)1,0A-．()0,2,FC a =-u u u v，)1,0CB =-u u u v ，……7分设平面FBC 的法向量为(),,m x y z =v，则由00m FC m CB ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v v u u u vv得200y az y -=⎧⎪-=， 令1x =，则y =z =m ⎛= ⎝⎭v ， ……9分显然可取平面DFC 的法向量()1,0,0n =v，由题意：cos ,6m n ==v v，所以a =……10分1,FA =-u u u v ，设直线AF 与平面BCF 所成的角为θ，则sin cos ,5m FA θ===u r u u u r ． ……12分20．（本小题满分12分）解：（1）易知3(-P，4P 关于y 轴对称，一定都在椭圆上．所以1P一定不在椭圆上．根据题意2P 也在椭圆上．……2分将2P，4P 带入椭圆方程，解得椭圆方程为22162x y +=．……4分 （2）设直线l 方程为(2)y k x =+（0k ≠），()11,P x y ，()22,Q x y ，联立22162(2)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，可得()222231121260k x k x k ++-=+． ……5分则224(1)0k ∆=+>，且21221231+=-+k x x k ，212212631-=+k x x k ， ……6分设PQ 的中点00(,)N x y ，则212262310x x k x k +==-+，22262(2)31310k k y k k k =-+=++， ∴N 坐标为22262,3131⎛⎫- ⎪++⎝⎭k k k k ，||=PQ221)31+=+k k ． ……8分因此直线ON 的方程为13y x k =-，从而点M 为1(3,)k-，又1(2,0)F -，1||MF = ……9分2222221(||241)||(31)PQ k k MF k +=+，令2311u =k +≥， 则222(1)(2)1611116119()8()[()]33223416u u h u u u u u -+==---=---，因此当4u =，即1k =±时h(u)最大值为3．所以1||||PQ MF……12分21．（本小题满分12分）（1）由已知定义域为{|0}x R x ∈≠，2()()()bxabx a e f x ax -'=，由22(2)(2)0(2)bab a e f a -'==，又0a ≠，得12b =， 2(2)222b e e ef a a ===，所以1a =，……2分从而22(1)2()xxe f x x-'=又0x ≠。
绝密★启用前辽宁省沈阳市普通高中2020届高三毕业班下学期第三次教学质量监测(三模)数学(文)试题(解析版)2020年6月第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合2{|(1)0}M x x =-≤，{|0}N x x =>，则（ ）A. N M ⊆B. M N ⊆C. M N ⋂=∅D. M N R =【答案】B【解析】【分析】先求出集合M ，再比较两个集合之间的关系即可得答案.【详解】解：由2(1)0x -≤，得1x =，所以集合{}1M =，因为{|0}N x x =>，所以M N ⊆，故选：B 【点睛】此题考查两个集间的关系，属于基础题.2.已知a 为实数，若复数2(1)(1)z a a i =-++为纯虚数，则复数z 的虚部为（ ）A. 1B. 2iC. ±1D. 2【答案】D【解析】【分析】 根据复数z 为纯虚数，列方程求出a 的值，进而可得复数z 的虚部.【详解】由已知21010a a ⎧-=⎨+≠⎩，解得1a =，故2z i =，其虚部为2， 故选：D.【点睛】本题考查复数的概念，注意纯虚数为实部为0，虚部不为0，是基础题.3.已知条件p ：0a b >>，条件q ：11a b a >-，则p 是q 的（ ） A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】【分析】根据不等式的性质和充分必要条件的定义判断．【详解】因为0a b >>，所以0a b a <-<，所以11a b a >-，充分性成立， 若4a =-，5b =-，则1a b -=，11a b a >-，但不满足0a b >>，必要性不成立 因此p 是q 的充分不必要条件．故选：A ．【点睛】本题考查充分必要条件的判断，掌握不等式的性质是解题关键．4.已知函数()cos f x x x ωω=-（0>ω）的最小正周期为π，则ω=（ ） A. 1B. 2C. 12D. 4【答案】A【解析】【分析】可以把绝对值符号里面式子化为一个角的一个三角函数形式，然后计算周期可求得ω． 【详解】由已知1()cos 2cos 2sin 26f x x x x x x πωωωωω⎫⎛⎫=-=-=-⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，。
2020年辽宁省沈阳市高考数学三模试卷（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合{|(1)(2)0}M x x x =--…，{|0}N x x =>，则( ) A ．N M ⊆B ．M N ⊆C ．M N =∅ID ．M N R =U2．（5分）复数12z i =+，若复数1z ，2z 在复平面内的对应点关于虚轴对称，则12(z z =) A ．5-B ．5C ．34i -+D ．34i -3．（5分）已知抛物线22x py =上一点(,1)A m 到其焦点的距离为3，则(p = ) A ．2B ．2-C ．4D ．4±4．（5分）《九章算术》中介绍了一种“更相减损术”，用于求两个正整数的最大公约数，将该方法用算法流程图表示如图，若输入15a =，12b =，0i =，则输出的结果为( )A ．4a =，4i =B ．4a =，5i =C ．3a =，4i =D ．3a =，5i =5．（5分）被誉为“中国现代数学之父”的著名数学家华罗庚先生倡导的“0.618优选法”在生产和科研实践中得到了非常广泛的应用，0.618就是黄金分割比51m -=的近似值，黄金分割比还可以表示成2sin18︒24(m m -= ) A ．4B 51C ．2D 516．（5分）已知某不规则几何体三视图如图，其中俯视图中的圆弧为14圆周，则该几何体的侧面积为( )A ．344π+B ．722π+C ．752π+D ．752π+7．（5分）设函数2()cos sin f x x b x =+，则“0b =”是“()f x 的最小正周期为π”的()A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8．（5分）2020年初，新型冠状肺炎在欧洲爆发后，我国第一时间内向相关国家捐助医疗物资，并派出由医疗专家组成的医疗小组奔赴相关国家．现有四个医疗小组甲、乙、丙、丁，和有4个需要援助的国家可供选择，每个医疗小组只去一个国家，设事件A = “4个医疗小组去的国家各不相同”，事件B = “小组甲独自去一个国家”，则(|)(P A B = ) A ．29B ．13C ．49 D ．599．（5分）已知O 为ABC ∆的外接圆的圆心，且345OA OB OC +=-u u u r u u u r u u u r，则C ∠的值为( )A ．4πB ．2π C ．6π D ．12π10．（5分）我们打印用的4A 纸的长与宽的比约为2，之所以是这个比值，是因为把纸张对折，得到的新纸的长与宽之比仍约为2，纸张的形状不变．已知圆柱的母线长小于底面圆的直径长（如图所示），它的轴截面ABCD 为一张4A 纸，若点E 为上底面圆上弧AB 的中点，则异面直线DE 与AB 所成的角约为( )A ．6πB ．4π C ．3π D ．23π11．（5分）已知x 与y 之间的几组数据如表：如表数据中y 的平均值为2.5，若某同学对m 赋了三个值分别为1.5，2，2.5，得到三条线性回归直线方程分别为11y b x a =+，22y b x a =+，33y b x a =+，对应的相关系数分别为1r ，2r，3r ，下列结论中错误的是( )参考公式：线性回归方程ˆˆy bxa =+中，其中121()()ˆ()niii nii x x yy b x x ==--=-∑∑，ˆˆay bx =-．相关系数()()nii xx y y r --∑．A ．三条回归直线有共同交点B ．相关系数中，2r 最大C ．12b b >D ．12a a >12．（5分）已知函数3()4f x x x =-，过点(2,0)A -的直线l 与()f x 的图象有三个不同的交点，则直线l 斜率的取值范围为( ) A ．(1,8)-B ．(1-，8)(8⋃，)+∞C ．(2-，8)(8⋃，)+∞D ．(1,)-+∞二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）已知m 是常数，55432543210(1)mx a x a x a x a x a x a -=+++++，且1234533a a a a a ++++=，则m = ．14．（5分）已知1()f x x x =+，若25(log )2f b =，则1(log )2b f = ． 15．（5分）在平面直角坐标系xOy 中，F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点，直线2y b =与双曲线交于B ，C 两点，且90BFC ∠=︒，则该双曲线的离心率为 ．16．（5分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，设ABC ∆的面积为S ，若2224sin 3sin 2sin A B C =+，则SAB ACu u u r u u u r g 的最大值为 ． 三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22-23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）已知数列{}n a 的前n 项和2n S n pn =+，且4a ，7a ，12a 成等比数列． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若14nnn n S b a a +=g ，求数列{}n b 的前n 项和n T ．18．（12分）随着生活节奏的加快以及智能手机的普及，外卖点餐逐渐成为越来越多用户的餐饮消费习惯，由此催生了一批外卖点餐平台．已知某外卖平台的送餐费用与送餐距离有关（该平台只给5千米范围内配送），为调査送餐员的送餐收入，现从该平台随机抽取100名点外卖的用户进行统计，按送餐距离分类统计结果如表： 送餐距离（千米）(0，1](1，2](2，3](3，4](4，5]频数15 25 25 20 15以这100名用户送餐距离位于各区间的频率代替送餐距离位于该区间的概率．（1）若某送餐员一天送餐的总距离为100千米，试估计该送餐员一天的送餐份数；（四舍五入精确到整数，且同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）．（2）若该外卖平台给送餐员的送餐费用与送餐距离有关，规定2千米内为短距离，每份3元，2千米到4千米为中距离，每份7元，超过4千米为远距离，每份12元．记X 为送餐员送一份外卖的收入（单位：元），求X 的分布列和数学期望．19．（12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的菱形，60DAB ∠=︒，AD PD ⊥，点F 为棱PD 的中点．（1）在棱BC 上是否存在一点E ，使得//CF 平面PAE ，并说明理由； （2）若AC PB ⊥，二面角D FC B --的余弦值为6时，求直线AF 与平面BCF 所成的角的正弦值．20．（12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，四点13)P ，22)P ，36(P -，。
辽宁省沈阳市2019-2020学年高考第三次质量检测数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知函数()sin()0,0,02f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>><<⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则38f π⎛⎫=⎪⎝⎭（ ）A ．264B ．264C ．624D ．622【答案】A 【解析】 【分析】先利用最高点纵坐标求出A ，再根据324123T ππ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭求出周期，再将112，π⎛⎫⎪⎝⎭代入求出φ的值.最后将38π代入解析式即可. 【详解】由图象可知A ＝1， ∵324123T ππ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，所以T ＝π，∴22T πω==. ∴f （x ）＝sin （2x+φ），将112，π⎛⎫⎪⎝⎭代入得(6sin π+φ）＝1，∴6π+φ22k k Z ππ=+∈，，结合0＜φ2π＜，∴φ3π=.∴()23f x sin x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.∴3384312f sin sin πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+=-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭sin 1234sin πππ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭263434sin cos cos sin ππππ-⎛⎫=--=⎪⎝⎭本题考查三角函数的据图求式问题以及三角函数的公式变换.据图求式问题要注意结合五点法作图求解.属于中档题.2．己知集合{|13}M y y =-<<，{|(27)0}N x x x =-…，则M N ⋃=（ ） A ．[0,3) B ．70,2⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．71,2⎛⎤- ⎥⎝⎦D ．∅【答案】C 【解析】 【分析】先化简7{|(27)0}|02N x x x x x ⎧⎫=-=⎨⎬⎩⎭剟?，再求M N ⋃. 【详解】因为7{|(27)0}|02N x x x x x ⎧⎫=-=⎨⎬⎩⎭剟?， 又因为{|13}M y y =-<<， 所以71,2M N ⎛⎤⋃=- ⎥⎝⎦， 故选：C. 【点睛】本题主要考查一元二次不等式的解法、集合的运算，还考查了运算求解能力，属于基础题.3．设函数()210100x x x f x lgx x ⎧++≤⎪=⎨>⎪⎩，，若关于x 的方程()()f x a a R =∈有四个实数解()1234i x i =，，，，其中1234x x x x <<<，则()()1234x x x x +-的取值范围是（ ）A ．(]0101， B ．(]099， C ．(]0100， D ．()0+∞，【答案】B 【解析】 【分析】画出函数图像，根据图像知：1210x x +=-，341x x =，31110x ≤<，计算得到答案. 【详解】()21010 lg 0x x x f x x x ⎧++≤⎪=⎨>⎪⎩，，，画出函数图像，如图所示：故()()(]1234330110,99x x x x x x ⎛⎫∈ ⎪⎭-⎝+-=-. 故选：B .【点睛】本题考查了函数零点问题，意在考查学生的计算能力和应用能力，画出图像是解题的关键.4．我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有蒲生一日，长三尺莞生一日，长一尺蒲生日自半，莞生日自倍.问几何日而长倍？”意思是：“今有蒲草第1天长高3尺，芜草第1天长高1尺以后，蒲草每天长高前一天的一半，芜草每天长高前一天的2倍.问第几天莞草是蒲草的二倍？”你认为莞草是蒲草的二倍长所需要的天数是（ ）（结果采取“只入不舍”的原则取整数，相关数据：lg30.4771≈，lg 20.3010≈） A ．2 B ．3C ．4D ．5【答案】C 【解析】 【分析】由题意可利用等比数列的求和公式得莞草与蒲草n 天后长度，进而可得：131212212112nn ⎛⎫- ⎪-⎝⎭⨯=--，解出即可得出． 【详解】由题意可得莞草与蒲草第n 天的长度分别为1113,122n n n n a b --⎛⎫=⨯=⨯ ⎪⎝⎭据题意得：131212212112nn ⎛⎫- ⎪-⎝⎭⨯=--， 解得2n ＝12， ∴n 122lg lg ==232lg lg +≈1． 故选：C ． 【点睛】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 5．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若5632a a a +=+，则7S =（ ） A ．28 B ．14C ．7D ．2【答案】B 【解析】 【分析】根据等差数列的性质6345a a a a +=+并结合已知可求出4a ，再利用等差数列性质可得1774()772a a S a +==，即可求出结果． 【详解】因为6345a a a a +=+，所以5452a a a +=+，所以42a =， 所以17747()7142a a S a +===， 故选：B 【点睛】本题主要考查等差数列的性质及前n 项和公式，属于基础题．6．已知函数()2xf x x a =+⋅，()ln 42xg x x a -=-⋅，若存在实数0x ，使()()005f x g x -=成立，则A ．(]01，B ．(]04，C ．[)1+∞，D ．(]0,ln2 【答案】A 【解析】 【分析】根据实数0x 满足的等量关系，代入后将方程变形0000242ln 5x x a a x x -⋅+⋅=+-，构造函数()ln 5h x x x =+-，并由导函数求得()h x 的最大值；由基本不等式可求得00242x x a a -⋅+⋅的最小值，结合存在性问题的求法，即可求得正数a 的取值范围. 【详解】函数()2xf x x a =+⋅，()ln 42x gx x a -=-⋅，由题意得()()0000002ln 425x x f x g x x a x a --=+⋅-+⋅=，即0000242ln 5x x a a x x -⋅+⋅=+-，令()ln 5hx x x =+-，∴()111xh x x x-'=-=， ∴()h x 在()01，上单调递增，在()1+∞，上单调递减，∴()()14max hx h ==，而0024224xx a a a -⋅+⋅≥=，当且仅当00242x x -=⋅，即当01x =时，等号成立， ∴44a ≤， ∴01a <≤. 故选：A. 【点睛】本题考查了导数在求函数最值中的应用，由基本不等式求函数的最值，存在性成立问题的解法，属于中档题.7．天干地支，简称为干支，源自中国远古时代对天象的观测.“甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸”称为十天干，“子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥”称为十二地支.干支纪年法是天干和地支依次按固定的顺序相互配合组成，以此往复，60年为一个轮回.现从农历2000年至2019年共20个年份中任取2个年份，则这2个年份的天干或地支相同的概率为（ ） A ．219B ．995C ．4895D ．519【分析】利用古典概型概率计算方法分析出符合题意的基本事件个数,结合组合数的计算即可出求得概率. 【详解】20个年份中天干相同的有10组（每组2个），地支相同的年份有8组（每组2个），从这20个年份中任取2个年份，则这2个年份的天干或地支相同的概率2201089C 95P +==. 故选:B. 【点睛】本小题主要考查古典概型的计算,考查组合数的计算,考查学生分析问题的能力,难度较易.8．已知全集U =R ，集合{|31}M x x =-<<，{|||1}N x x =„，则阴影部分表示的集合是（ ）A ．[1,1]-B ．(3,1]-C ．(,3)(1,)-∞--+∞UD ．(3,1)--【答案】D 【解析】 【分析】先求出集合N 的补集U N ð，再求出集合M 与U N ð的交集，即为所求阴影部分表示的集合. 【详解】由U =R ，{|||1}N x x =„，可得{1U N x x =<-ð或1}x >， 又{|31}M x x =-<<所以{31}U M N x x ⋂=-<<-ð. 故选：D. 【点睛】本题考查了韦恩图表示集合，集合的交集和补集的运算，属于基础题.9．已知||3a =r ||2b =r ，若()a ab ⊥-r r r ，则向量a b +r r 在向量b r方向的投影为（ ）A ．12B ．72C ．12-D ．72-【答案】B由()a ab ⊥-r r r ，||3a =r ，||2b =r 3a b ⇒⋅=r r ，再由向量a b +r r 在向量b r 方向的投影为()||a b bb +⋅r r rr 化简运算即可 【详解】∵()a a b ⊥-r r r ∴()230a a b a a b a b ⋅-=-⋅=-⋅=r r r r r r r r ，∴3a b ⋅=r r，∴向量a b +r r 在向量b r 方向的投影为2()347||cos ,22||||a b b a b b a b a b b b b +⋅⋅++++====r r r r r r r r r r r r r .故选：B. 【点睛】本题考查向量投影的几何意义，属于基础题10．阅读下面的程序框图，运行相应的程序，程序运行输出的结果是（ ）A ．1．1B ．1C ．2．9D ．2．8【答案】C 【解析】 【分析】根据程序框图的模拟过程，写出每执行一次的运行结果，属于基础题. 【详解】初始值0n =，1S =第一次循环：1n =，11122S =⨯=； 第二次循环：2n =，121233S =⨯=；第三次循环：3n =，131344S =⨯=；第四次循环：4n =，141455S =⨯=；151第六次循环：6n =，161677S =⨯=； 第七次循环：7n =，171788S =⨯=；第九次循环：8n =，181899S =⨯=；第十次循环：9n =，1910.191010S =⨯=≤； 所以输出190.910S =⨯=. 故选：C 【点睛】本题考查了循环结构的程序框图的读取以及运行结果，属于基础题.11．如图，在ABC V 中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB ，AC 于不同的两点M N ，，若AB mAM =u u u r u u u u r ，AC nAN =u u u r u u u r，则m n +=（ ）A ．1B ．32C ．2D ．3【答案】C 【解析】 【分析】连接AO ，因为O 为BC 中点，可由平行四边形法则得1()2AO AB AC =+u u u r u u u r u u u r ，再将其用AM u u u u r ，AN u u ur 表示.由M 、O 、N 三点共线可知，其表达式中的系数和122m n+=，即可求出m n +的值. 【详解】连接AO ，由O 为BC 中点可得，1()222m n AO AB AC AM AN =+=+u u u r u u u r u u u r u u u ur u u u r ，M Q 、O 、N 三点共线，122m n∴+=， 2m n ∴+=.故选：C.【点睛】本题考查了向量的线性运算，由三点共线求参数的问题，熟记向量的共线定理是关键.属于基础题. 12．等比数列{}n a 的各项均为正数，且384718a a a a +=，则3132310log log log a a a +++=L ( ) A ．12 B ．10 C ．8D ．32log 5+【答案】B 【解析】 【分析】由等比数列的性质求得110a a ，再由对数运算法则可得结论． 【详解】∵数列{}n a 是等比数列，∴3847110218a a a a a a +==，1109a a =，∴53132310312103110log log log log ()log ()a a a a a a a a +++==L L 35log 910==．故选：B. 【点睛】本题考查等比数列的性质，考查对数的运算法则，掌握等比数列的性质是解题关键． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
辽宁省沈阳市2019-2020学年高考第三次模拟数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知实数0,1a b >>满足5a b +＝，则211a b +-的最小值为（ ） A．34+ B．34+ C．36+ D．36+ 【答案】A【解析】【分析】 所求211a b +-的分母特征，利用5a b +＝变形构造(1)4a b +-=，再等价变形121()[(1)]41a b a b ++--，利用基本不等式求最值.【详解】解：因为0,1a b >>满足5a b +＝， 则()21211()1114a b a b a b +=++-⨯⎡⎤⎣⎦-- ()21113(3414b a a b -⎡⎤=++≥+⎢⎥-⎣⎦， 当且仅当()211b a a b -=-时取等号， 故选：A ．【点睛】本题考查通过拼凑法利用基本不等式求最值.拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键.(1)拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形;(2)代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标(3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提.2．已知函数1222,0,()log ,0,x x f x x x +⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩若关于x 的方程[]2()2()30f x af x a -+=有六个不相等的实数根，则实数a 的取值范围为（ ）A ．163,5⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．163,5⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．(3,4)D ．(]3,4【答案】B【解析】【分析】令()f x t =，则2230t at a -+=，由图象分析可知2230t at a -+=在(2,4]上有两个不同的根，再利用一元二次方程根的分布即可解决.【详解】令()f x t =，则2230t at a -+=，如图y t =与()y f x =顶多只有3个不同交点，要使关于x 的方程[]2()2()30f x af x a -+=有六个不相等的实数根，则2230t at a -+=有两个不同的根12,(2,4]t t ∈，设2()23g t t at a =-+由根的分布可知， 24120(2,4)(2)0(4)0a a a g g ⎧∆=->⎪∈⎪⎨>⎪⎪≥⎩，解得1635a <≤. 故选：B.【点睛】本题考查复合方程根的个数问题，涉及到一元二次方程根的分布，考查学生转化与化归和数形结合的思想，是一道中档题.3． 若数列{}n a 满足115a =且1332n n a a +=-，则使10k k a a +⋅<的k 的值为( )A ．21B ．22C ．23D ．24【答案】C【解析】 因为123n n a a +-=-，所以{}n a 是等差数列，且公差12,153d a =-=，则224715(1)333n a n n =--=-+，所以由题设10k k a a +⋅<可得2472454547()()0333322n n n -+-+<⇒<<，则23n =，应选答案C ． 4．将函数3的图象向左平移6π个单位长度，得到函数g(x)的图象，给出下列关于g(x)的结论：①它的图象关于直线x=59π对称；②它的最小正周期为23π； ③它的图象关于点(1118π，1)对称； ④它在[51939ππ，]上单调递增. 其中所有正确结论的编号是（ ）A ．①②B ．②③C ．①②④D ．②③④ 【答案】B【解析】【分析】根据函数()sin y A ωx φ=+图象的平移变换公式求出函数()g x 的解析式，再利用正弦函数的对称性、单调区间等相关性质求解即可.【详解】因为3π)+1，由()sin y A ωx φ=+图象的平移变换公式知， 函数g(x)=2sin[3(x+6π)-3π]+1=2sin(3x+6π)+1，其最小正周期为23T π=，故②正确； 令3x+6π=kπ+2π，得x=3k π+9π(k ∈Z)，所以x=59π不是对称轴，故①错误； 令3x+6π=kπ，得x=3k π-18π(k ∈Z)，取k=2，得x=1118π，故函数g(x)的图象关于点(1118π，1)对称，故③正确；令2kπ-2π≤3x+6π≤2kπ+2π，k ∈Z ，得23k π-29π≤x≤23k π+9π，取k=2，得109π≤x≤139π，取k=3，得169π≤x≤199π，故④错误； 故选：B【点睛】 本题考查()sin y A ωx φ=+图象的平移变换和正弦函数的对称性、单调性和最小正周期等性质；考查运算求解能力和整体代换思想；熟练掌握正弦函数的对称性、单调性和最小正周期等相关性质是求解本题的关键;属于中档题、常考题型5．设全集U =R ，集合{|(1)(3)0}A x x x =--≥，11|24x B x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫=>⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭.则集合()U A B I ð等于（ ） A ．(1,2)B ．(2,3]C ．(1,3)D ．(2,3)【答案】A【解析】【分析】先算出集合U A ð，再与集合B 求交集即可.【详解】因为{|3A x x =≥或1}x ≤.所以{|13}U A x x =<<ð，又因为{}|24{|2}x B x x x =<=<.所以(){|12}U A B x x ⋂=<<ð.故选：A.【点睛】本题考查集合间的基本运算，涉及到解一元二次不等式、指数不等式，是一道容易题.6．函数3()cos ln ||f x x x x x =+在[,0)(0,]ππ-U 的图象大致为（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】B【解析】【分析】先考虑奇偶性，再考虑特殊值，用排除法即可得到正确答案.【详解】()f x 是奇函数，排除C ，D ；()2()ln 0f ππππ=-<，排除A. 故选：B.【点睛】本题考查函数图象的判断，属于常考题.7．如图，正三棱柱111ABC A B C -各条棱的长度均相等，D 为1AA 的中点，,M N 分别是线段1BB 和线段1CC 的动点（含端点），且满足1BM C N =，当,M N 运动时，下列结论中不正确．．．的是A ．在DMN ∆内总存在与平面ABC 平行的线段B ．平面DMN ⊥平面11BCC BC ．三棱锥1A DMN -的体积为定值D ．DMN ∆可能为直角三角形【答案】D【解析】【分析】A 项用平行于平面ABC 的平面与平面MDN 相交，则交线与平面ABC 平行；B 项利用线面垂直的判定定理；C 项三棱锥1A DMN -的体积与三棱锥1N A DM -体积相等，三棱锥1N A DM -的底面积是定值，高也是定值，则体积是定值;D 项用反证法说明三角形DMN 不可能是直角三角形.【详解】A 项，用平行于平面ABC 的平面截平面MND ，则交线平行于平面ABC ，故正确；B 项，如图：当M 、N 分别在BB 1、CC 1上运动时,若满足BM=CN,则线段MN 必过正方形BCC 1B 1的中心O,由DO 垂直于平面BCC 1B 1可得平面DMN ⊥平面11BCC B ，故正确；C 项,当M 、N 分别在BB 1、CC 1上运动时,△A 1DM 的面积不变,N 到平面A 1DM 的距离不变,所以棱锥N-A 1DM 的体积不变,即三棱锥A 1-DMN 的体积为定值,故正确；D 项,若△DMN 为直角三角形,则必是以∠MDN 为直角的直角三角形,但MN 的最大值为BC 1,而此时DM,DN 的长大于BB 1,所以△DMN 不可能为直角三角形,故错误.故选D【点睛】本题考查了命题真假判断、棱柱的结构特征、空间想象力和思维能力，意在考查对线面、面面平行、垂直的判定和性质的应用，是中档题.8．在长方体1111ABCD A B C D -中，1123AB AD AA ===，，，则直线1DD 与平面1ABC 所成角的余弦值为（ ）A ．3B ．3C ．15D ．10 【答案】C【解析】【分析】在长方体中11//AB C D ， 得1DD 与平面1ABC 交于1D ，过D 做1DO AD ⊥于O ，可证DO ⊥平面11ABC D ，可得1DD A ∠为所求解的角，解1Rt ADD ∆，即可求出结论.【详解】在长方体中11//AB C D ，平面1ABC 即为平面11ABC D ，过D 做1DO AD ⊥于O ，AB ⊥Q 平面11AA D D ，DO ⊂平面111,,AA D D AB DO AB AD D ∴⊥=I ，DO ∴⊥平面11ABC D ，1DD A ∴∠为1DD 与平面1ABC 所成角，在1111,3,2,5Rt ADD DD AA AD AD ∆===∴=， 111315cos 55DD DD A AD ∴∠===， ∴直线1DD 与平面1ABC 所成角的余弦值为155. 故选:C.【点睛】本题考查直线与平面所成的角，定义法求空间角要体现“做”“证”“算”，三步骤缺一不可，属于基础题. 9．已知(1)n x λ+展开式中第三项的二项式系数与第四项的二项式系数相等，2012(1)n n n x a a x a x a x λ+=++++L ，若12242n a a a ++⋅⋅⋅=，则012(1)n n a a a a -+-⋅⋅⋅+-的值为( )A ．1B ．－1C ．8lD ．－81【答案】B【解析】【分析】根据二项式系数的性质，可求得n ，再通过赋值求得0a 以及结果即可.【详解】因为(1)n x λ+展开式中第三项的二项式系数与第四项的二项式系数相等， 故可得5n =，令0x =，故可得01a =，又因为125242a a a +++=L ，令1x =，则()501251243a a a a λ+=++++=L ，解得2λ=令1x =-，则()()5501251211a a a a -=-+-+-=-L .故选：B.【点睛】本题考查二项式系数的性质，以及通过赋值法求系数之和，属综合基础题. 10．定义在R 上的函数()f x 满足()()2log 10()50x x f x f x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩，则()2019f =（） A ．-1B ．0C ．1D ．2【答案】C【解析】【分析】推导出()()()()220194035441log 2f f f f =⨯+==-=，由此能求出()2019f 的值．【详解】∵定义在R 上的函数()f x 满足()()2log 10()50x x f x f x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩， ∴()()()()22019403544211log f f f f =⨯+=-===，故选C ．【点睛】本题主要考查函数值的求法，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用，属于中档题.11．如图，在棱长为4的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F ，G 分别为棱 AB ，BC ，1CC 的中点，M 为棱AD 的中点，设P ，Q 为底面ABCD 内的两个动点，满足1//D P 平面EFG ，117DQ =，则PM PQ +的最小值为（ ）A ．321-B ．322-C ．251-D ．252-【答案】C【解析】【分析】 把截面EFG 画完整，可得P 在AC 上，由117DQ =知Q 在以D 为圆心1为半径的四分之一圆上，利用对称性可得PM PQ +的最小值．【详解】如图，分别取11111,,C D D A A A 的中点,,H I J ，连接,,,GH HI IJ JE ，易证,,,,,E F G H I J 共面，即平面EFG 为截面EFGHIJ ，连接11,,AD D C AC ，由中位线定理可得//AC EF ，AC ⊄平面EFG ，EF ⊂平面EFG ，则//AC 平面EFG ，同理可得1//AD 平面EFG ，由1AC AD A =I 可得平面1AD C //平面EFG ，又1//D P 平面EFG ，P 在平面ABCD 上，∴P AC ∈．正方体中1DD ⊥平面ABCD ，从而有1DD DQ ⊥，∴1DQ ==，∴Q 在以D 为圆心1为半径的四分之一圆（圆在正方形ABCD 内的部分）上，显然M 关于直线AC 的对称点为E ，11PM PQ PE PQ PE PD DQ ED DQ +=+≥+-≥-==，当且仅当,,,E P Q D 共线时取等号，∴所求最小值为1．故选：C ．【点睛】本题考查空间距离的最小值问题，解题时作出正方体的完整截面求出P 点轨迹是第一个难点，第二个难点是求出Q 点轨迹，第三个难点是利用对称性及圆的性质求得最小值．12．已知命题P ：x R ∀∈，sin 1x ≤，则p ⌝为( )A ．0x R ∃∈，0sin 1x ≥B ．x R ∀∈，sin 1x ≥C ．0x R ∃∈，0sin 1x >D ．x R ∀∈，sin 1x > 【答案】C【解析】【分析】根据全称量词命题的否定是存在量词命题，即得答案.【详解】 Q 全称量词命题的否定是存在量词命题，且命题P ：x R ∀∈，sin 1x ≤，00:,sin 1p x R x ∴⌝∃∈>.故选：C .【点睛】本题考查含有一个量词的命题的否定，属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
辽宁省沈阳市2020 届高三数学教学质量监测试题(三)理(含解析)一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知i 为虚数单位，则i i2i3L i2019等于( )．A. iB. 1C. iD. 1 【答案】D【解析】【分析】利用i(n n N ) 的周期求解.【详解】由于i i2 i3 i4 i 1 i 1 0 ，且i(n n N ) 的周期为4，2019=4 504+3 ，所以原式=i i2 i3 i 1 i 1.故选：D【点睛】本题主要考查复数的计算和i(n n N ) 的周期性，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.2.已知集合A {(x, y)|x y 2,x, y N}，则A中元素的个数为( ).A. 1B. 5C. 6D. 无数个【答案】C【解析】【分析】直接列举求出A和A中元素个数得解.【详解】由题得A {(0,0),(0,1),(0,2),(1 ,0),(1,1),(2,0)} ，所以A中元素的个数为 6.故选： C 【点睛】本题主要考查集合的表示和化简，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.3•“ k — ”是“直线3 l: y k(x 2)与圆 x 2 y 21 相切”的().A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】先化简直线1: yk(x 2)与圆x 22y 1相切，再利用充分必要条件的定义判断得解【详解】因为直线 l:yk(x 2)与圆x 2 y 21相切，所以 _|2k L 1,kJk 21,3所以“ k 3”是“直线l : y k(x 2)与圆x 2 y 21相切”的充分不必要条件3 故选：A【点睛】本题主要考查直线和圆的位置关系和充分不必要条件的判定，意在考查学生对这些 知识的理解掌握水平和分析推理能力•r r r4.若非零向量a,b 满足|a| |b |,(2a b) b 0,则a,b 的夹角为().5 A.B.C.6 36【答案】D 【解析】 【分析】直接利用数量积的运算法则化简已知即得解【点睛】本题主要考查数量积的运算和向量的夹角的求法，意在考查学生对这些知识的理解 掌握水平和分析推理能力【详解】由题得 r r 门2a b+b =0,r 22b cos所以cos a,b 丄r r a,b2 23故选：Do2r br b5.己知数列 a n 是等差数列，且a i a 4 a 7 2 ，则tan a 3 a §的值为（A. 3B. ,3C . 3D. J33【答案】 A【解析】试题 分析 ：a 1 a 4 a 7 2,所 以3a 42 2,a 4小，a 3 3a 5 2a 43 ,tan(a 3 a 5) tan^. 3考点：1、、等差数列；2、 三角函数求值6.我国古代有着辉煌的数学研究成果. 《周牌算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》、……《缉古算经》等 10部专著，有着十分丰富多彩的内容，是了解我国古代数学的重 要文献•这10部专著中有7部产生于魏晋南北朝时期•某中学拟从这 10部专著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容，则所选 2部专著中至少有一部是魏晋南北朝时期专著的概率为（ ）.14 1 27A.B.C.—D.151599【答案】A【解析】【分析】部疋魏晋设所选 2 部专著中至少有南北朝时期专者为事件A ，可以求P （A ）,运用公式P(A) 1 P(A)，求出 P(A).【详解】设所选2部专著中至少有一部是魏晋南北朝时期专著为事件 A ,丄，因此P(A) 1 P(A)=1 丄 14 ,故本题选A.1515 15【点睛】本题考查了求对立事件的概率问题，考查了运算能力7.设 a log 2018 2019 ,b log 2019 2018，c 2018总，则 a ，b ,c 的大小关系是( ).A. a b c).所以P(A)=C i 20 B. a c bC. c a bD. c b a【答案】C【解析】【分析】根据所给的对数式和指数式的特征可以采用中间值比较法，进行比较大小1【详解】因为1 log20182018 a log2018. 2019 log2018. 2018 —,21 1b log2019 .2018 log2019 ,2019 ^,c 2018麺2018°1，故本题选。
辽宁省2020年高考数学三模试卷（理科）C卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）设,则（）A .B .C .D .2. （2分）设全集U是实数集R，，，则图中阴影部分所表示的集合是（）A .B .C .D .3. （2分） (2016高二上·黑龙江期中) 抛物线x2=2y的焦点坐标是（）A .B .C . （1，0）D . （0，1）4. （2分）阅读如图的程序框图，若输出的S的值等于16，那么在程序框图中判断框内应填写的条件是（）A . i>5?B . i>6?C . i>7?D . i>8?5. （2分） (2019高三上·深圳月考) 在《增减算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关．”则下列说法错误的是（）A . 此人第二天走了九十六里路B . 此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里.C . 此人第三天走的路程占全程的D . 此人后三天共走了42里路6. （2分）过平面区域内一点P作圆O：x2+y2=1的两条切线，切点分别为A，B，记∠APB=α，则当α最小时cosα的值为（）A .B .C .D .7. （2分）某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积为（）A . 2B . 3C . 4D . 68. （2分） (2019高二下·潮州期末) 某同学通过英语听力测试的概率为，他连续测试次，要保证他至少有一次通过的概率大于，那么的最小值是（）A .B .C .D .9. （2分）已知函数为奇函数，则的一个取值为（）A .B .C .D .10. （2分）根据给出的数塔猜测123456×9＋7＝（）1×9＋2＝1112×9＋3＝111123×9＋4＝11111234×9＋5＝1111112345×9＋6＝111111……A . 1111110B . 1111111C . 1111112D . 111111311. （2分） (2018高三上·大连期末) 若变量满足约束条件，则的最小值等于（）A . 0B .C .D .12. （2分）已知函数f（x）=ln（2x+）﹣，若f（a）=1，则f（﹣a）=（）A . 0B . -1C . -2D . -3二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2016高三上·沙市模拟) 已知等差数列{an}的前n项和Sn满足S3=0，S5=﹣5，数列{ }的前2016项的和为________．14. （1分） (2017高二下·西华期中) 在平面直角坐标系xOy中，若曲线y=lnx在x=e（e为自然对数的底数）处的切线与直线ax﹣y+3=0垂直，则实数a的值为________．15. （1分） (2017高二上·晋中期末) 已知直线l：x+y﹣6=0和圆M：x2+y2﹣2x﹣2y﹣2=0，点A在直线l 上，若直线AC与圆M至少有一个公共点C，且∠MAC=30°，则点A的横坐标的取值范围为________．16. （1分）(2020·榆林模拟) 若双曲线C：（，）的顶点到渐近线的距离为，则的最小值________.三、解答题 (共7题；共50分)17. （10分）(2019·四川模拟) 已知函数，其中 .（1）若函数的图像关于直线对称，且，求不等式的解集.（2）若函数的最小值为，求的最小值及相应的和的值.18. （10分）(2017·赣州模拟) 《最强大脑》是江苏卫视推出国内首档大型科学类真人秀电视节目，该节目集结了国内外最顶尖的脑力高手，堪称脑力界的奥林匹克，某校为了增强学生的记忆力和辨识力也组织了一场类似《最强大脑》的PK赛，A、B两队各由4名选手组成，每局两队各派一名选手PK，除第三局胜者得2分外，其余各局胜者均得1分，每局的负者得0分，假设每局比赛两队选手获胜的概率均为0.5，且各局比赛结果相互独立．（1）求比赛结束时A队的得分高于B队的得分的概率；（2）求比赛结束时B队得分X的分布列和期望．19. （5分）(2017·晋中模拟) 如图，三棱柱ABC﹣DEF中，侧面ABED是边长为2的菱形，且∠ABE= ，BC= ，四棱锥F﹣ABED的体积为2，点F在平面ABED内的正投影为G，且G在AE上，点M是在线段CF上，且CM= CF．（Ⅰ）证明：直线GM∥平面DEF；（Ⅱ）求二面角M﹣AB﹣F的余弦值．20. （5分） (2017高三上·威海期末) 已知椭圆C的离心率为，F1 ， F2分别为椭圆的左右焦点，P 为椭圆上任意一点，△PF1F2的周长为，直线l：y=kx+m（k≠0）与椭圆C相交于A，B两点．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）若直线l与圆x2+y2=1相切，过椭圆C的右焦点F2作垂直于x轴的直线，与椭圆相交于M，N两点，与线段AB相交于一点（与A，B不重合）．求四边形MANB面积的最大值及取得最大值时直线l的方程；（Ⅲ）若|AB|=2，试判断直线l与圆x2+y2=1的位置关系．21. （10分） (2019高二下·揭阳期末) 已知函数．（1）讨论函数的单调性；（2）当时，，求证：．22. （5分）(2019·大庆模拟) 在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），是上的动点，点满足，点的轨迹为曲线 .（Ⅰ）求的普通方程；（Ⅱ）在以为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线与交于，两点，交轴于点，求的值.23. （5分）(2017·天水模拟) 已知关于x的不等式：|2x﹣m|≤1的整数解有且仅有一个值为2．（Ⅰ）求整数m的值；（Ⅱ）已知a，b，c∈R，若4a4+4b4+4c4=m，求a2+b2+c2的最大值．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共7题；共50分)17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、20-1、21-1、21-2、22-1、23-1、。
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绝密★启用前
辽宁省沈阳市普通高中
2020届高三毕业班下学期教学质量监测(三)(三模)
数学(理)试题参考答案
2020年6月15日
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的．
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
本卷包括必考题和选考题两部分，第13~21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22~23题为选考题，考生根据要求作答．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．3
14．52
-
15．
5
16三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17-21题为必考题，
每个试题考生都必须作答．第22-23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分． 17．（本小题满分12分）
（1）当1n =时，111a S p ==+， 当2n ≥时，121n n n a S S n p -=-=-+，
……2分 当1n =时，11a p =+也满足上式，故21n a n p =-+，
……3分 ∵4712,,a a a 成等比数列，∴2
4127a a a =，
……4分。
2020年辽宁省第三次高考模拟考试理科数学试题与答案（满分150分，考试时间120分钟）注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡和试卷指定位置上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若集合{}{}22|22,|log A x Z x B x y x =∈-<<==，则AB =（ ）A ．{}1,1-B ．{}1,0,1-C ．{}1D ．{}0,12. 复数z 满足(1)|1|z +=+，则z 等于（ ）A ．1B ．1C ．12D 12i -3. 已知实数，满足约束条件，则的最大值为（ ）A.B.C. D. 24. 在由直线，和轴围成的三角形内任取一点，记事件为，为，则（ ）A.B. C. D.5. 《孙子算经》是我国古代的数学名著，书中有如下问题:“今有五等诸侯，共分橘子六十颗，人别加三颗.问: 五人各得几何?”其意思为: 有5个人分60个橘子，他们分得的橘子数成公差为3的等差数列，问5人各得多少个橘子.这个问题中，得到橘子最多的人所得的橘子个数是（ ） A. 15B. 16C. 18D. 216. 某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4为朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有（ ）A. 4种B. 10种C. 18种D. 20种7. 若1x 是方程4xxe =的解，2x 是方程ln 4x x =的解，则12x x +等于（ ） A ．4B ．2C ．eD ．18. 已知函数()2()12sin 06f x x πωω⎛⎫=-+> ⎪⎝⎭在区间,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦为单调递减函数，则ω的最大值是（ ） A ．12 B ．35 C ．23 D ．349. 已知三棱锥的底面是以为斜边的等腰直角三角形，且，则该三棱锥的外接球的表面积为 A.B.C.D.10. 函数的图象大致是（ ）A. B. C. D.11．已知函数a x ax e ex f +--+=)(，若c b a ==3log 3，则( )A.)(a f <)(b f <)(c fB.)(b f <)(c f <)(a fC.)(a f <)(c f <)(b fD.)(c f <)(b f <)(a f12．已知函数1,)21(1,2542{)(≤>-+-=x x x x x x f ，若函数()()g x f x mx m =--的图象与x 轴的交点个数不少于2个，则实数m 的取值范围为（ ）A．1,64⎡⎢⎣ B．1,64⎡⎢⎣C ．][1,2ln2,64⎛-∞-⋃ ⎝ D ．][1,2ln2,64e ⎛-∞-⋃ ⎝ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
辽宁省沈阳市东北育才学校2020届高三上学期第三次模拟数学（理）试题一、单选题1．设集合{|11}A x x =-<，{(,)|B x y y ==，则A B =（ ）A ．[)0,2B ．1(0,)3C ．∅D ．(2,)+∞【答案】C【解析】集合{||1|1}(0,2)A x x =-<=，{(,)|B x y y ==表示点集，即可得出结论． 【详解】解：集合{||1|1}(0,2)A x x =-<=为数集，{(,)|B x y y ==表示点集，A B ∴=∅．故选：C ． 【点睛】本题考查集合的运算，考查学生的计算能力，比较基础．2．复数2(1)41i z i -+=+的虚部为（ ）A ．—1B ．—3C ．1D ．2【答案】B【解析】对复数进行化简计算，得到答案. 【详解】()()2421(1)44213112i i i i z i i i ---+-====-++ 所以z 的虚部为3- 故选B 项. 【点睛】本题考查复数的计算，虚部的概念，属于简单题.3．已知直线1:70l x my ++=和()2:2320l m x y m -++=互相平行，则实数m =（ ） A ．3m =- B ．1m =-C ．1m =-或3D ．1m =或3m =-【答案】C【解析】根据直线平行充要关系得等式，解得结果. 【详解】 由题意得17232m m m=≠∴- 1m =-或3,选C. 【点睛】本题考查直线平行位置关系，考查基本转化求解能力，属基础题. 4．已知向量，则“x ＞0”是“ 与的夹角为锐角”的( )A ．充分不必要条件B ．充要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】根据充分条件和必要条件的定义以及向量的数量积的应用，进行判断即可. 【详解】充分性：当x ＞0时，；但是当x ＝5时，，与 共线，与夹角为0°，故充分性不成立，必要性：与夹角为锐角，则，解得x ＞0，故必要性成立， 故选C. 【点睛】本题主要考查平面向量基本定理及坐标表示、平面向量的数量积以及充分条件和必要条件.5．设n s 是公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和，且10a >，若59s s =，则当n s 最大时，n =（ ）A ．6B ．10C ．7D ．9【答案】C【解析】因为公差不为零的等差数列的前n 项和n s 是关于n 的二次函数，59s s =，所以对称轴为7n =，又开口向下，所以当7n =时，n s 有最大值，故选C. 6．将函数sin(3)4y x π=+的图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍，再向右平移2π个单位，再向上平移1个单位，得到的新函数的一个对称中心是（ ） A ．(,1)2πB ．(,1)9πC ．(,0)2πD ．π(,1)4【答案】D【解析】先根据三角函数图象变换规律写出所得函数的解析式，再根据三角函数的性质求出函数的对称中心，确定选项． 【详解】解：函数sin(3)4y x π=+的图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍得到图象的解析式为sin()4y x π=+再向右平移2π个单位得到图象的解析式为sin[()]sin 2(4)4y x x πππ=-+=-再向上平移1个单位得到图象的解析式为sin()14y x π=-+，令()4x k k Z ππ-=∈解得()4x k k Z p p =+?，故函数的对称中心为(),41k k Z ππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭当0k =时对称中心为,14π⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以,14π⎛⎫ ⎪⎝⎭是函数sin()14y x π=-+的一个对称中心．故选：D ． 【点睛】本题考查了三角函数图象变换规律，三角函数图象、性质．是三角函数中的重点知识，在试题中出现的频率相当高．7．如图，从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ，C 的俯角分别为75，30，此时气球的高是60m ，则河流的宽度BC 等于（ ）A ．1)mB ．1)mC ．1)mD ．1)m【答案】C 【解析】【详解】120AC =，60sin 75AB =，sin 30sin 45AB BC=，所以sin 4560120(1)sin30sin(3045)AB BC ===+.故选C.8．三个数 1.10.40.40.4,log 1.1,1.1大小关系是（ ）A ．1.10.4＜0.41.1＜log 0.41.1B ．0.41.1＜log 0.41.1＜1.10.4C ．log 0.41.1＜1.10.4＜0.41.1D ．log 0.41.1＜0.41.1＜1.10.4【答案】D【解析】利用指数函数与对数函数的单调性即可得出． 【详解】解： 1.100.41<<，0.41.11>，0.4log 1.10<，10.40.4.1log 0.4 1.1.11∴<<， 故选：D ． 【点睛】本题考查了指数函数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9．设函数()32cos 4132f x x x x θθ=++- ，其中 50,6πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则导数()'1f - 的取值范围是 ( )A ．[]36，B．3⎡⎣， C．⎡⎤⎣⎦ D．⎡⎣【答案】A【解析】先对原函数进行求导可得到()f x '的解析式，将1x =-代入可求取值范围． 【详解】解：32cos ()412f x x x θ++-∴2()cos 4f x x x θθ'=++∴(1)cos 42sin()46f πθθθ'--+=-+5[0,]6πθ∈∴21[,]sin()[,1]66362ππππθθ-∈-∴-∈- []6(1)3f ∴'-∈, 故选：A ． 【点睛】本题主要考查函数求导和三角函数求值域的问题．这两个方面都是高考中必考内容，难度不大． 10．已知点O 是ABC △内部一点，并且满足2350OA OB OC ++=，OAC 的面积为1S ，ABC △的面积为2S ，则12S S = A ．310 B ．38C ．25D ．421 【答案】A【解析】∵2350OA OB OC ++=，∴()()23OA OC OB OC +=-+． 设AC 中点为M ，BC 中点为N ，则23OM ON =-,∵MN 为ABC 的中位线，且32OM ON=， ∴36132255410OACOMCCMNABC ABC SSSS S ⎛⎫==⨯=⨯= ⎪⎝⎭，即12310S S =．选A ． 11．定义域为R 的函数()y f x =,若对任意两个不相等的实数12,x x ，都有11221221()()()()x f x x f x x f x x f x +>+，则称函数为“H 函数”，现给出如下函数：①31y x x =-++②32(sin cos )y x x x =--③e 1x y =+④ 1sin x xxy e eπ-=+, 其中为“H 函数”的有（ ） A ．①② B ．③④C ．②③D ．①②③【答案】C【解析】不等式11221221()()()()x f x x f x x f x x f x +>+等价为1212()[()()]0x x f x f x -->，即满足条件的函数为单调递增函数，判断函数的单调性即可得到结论． 【详解】 解：对于任意给定的不等实数1x ，2x ，不等式11221221()()()()x f x x f x x f x x f x +>+恒成立，∴不等式等价为1212()[()()]0x x f x f x -->恒成立，即函数()f x 是定义在R 上的增函数．①函数31y x x =-++，则231yx '=-+，当3x <-，或3x >时，0y '<，此时函数为减函数，不满足条件．②32(sin cos )y x x x =--，32(cos sin )0y x x '=-+>，函数单调递增，满足条件． ③e 1x y =+为增函数，满足条件． ④1sin x xxy e eπ-=+，在定义域上不具有单调性，不满足条件． 综上满足“H 函数”的函数为②③， 故选：C ．【点睛】本题主要考查函数单调性的应用，将条件转化为函数的单调性的形式是解决本题的关键．12．经过双曲线()222210x y a b a b-=>>的右焦点为F 作该双曲线一条渐近线的垂线与两条渐近线相较于,M N 两点，若O 为坐标原点，OMN D 的面积是223a ，则该双曲线的离心率是（ ）A ．2BCD 【答案】B【解析】试题分析：双曲线()222210x y a b a b -=>>的渐近线方程为by x a=±，设两条渐近线的夹角为θ，则222tan tan 1b b b b abMON a a a a a b θ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭=∠=--+⋅-=-⎝⎭，设FN ON ⊥，则F 到渐近线by x a =的距离为d b ==，即有ON a ==，则OMN ∆的面积可以表示为3212tan 23a a a θ⋅⋅==，解得2a b =，则2c e a ==．故选C ． 【考点】双曲线的简单性质．【思路点睛】求出双曲线的渐近线方程，设两条渐近线的夹角为θ，由两直线的夹角公式，可得tan tan MON θ=∠，求出F 到渐近线by x a=的距离为b ，即有ON a OMN =∆，的面积可以表示为1tan 2a a θ⋅⋅，结合条件可得ab ，的关系，再由离心率公式即可计算得到．二、填空题13．函数()23s 4f x in x =+-（0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦）的最大值是__________． 【答案】1【解析】【详解】 化简三角函数的解析式，可得()22311cos cos 44f x x x x x =-+-=-++=2(cos 12x --+， 由[0,]2x π∈，可得cos [0,1]x ∈，当cos 2x =时，函数()f x 取得最大值1．14．过原点O 作圆2268200x y x y +--+=的两条切线，设切点分别为P Q 、,则直线PQ 的方程是 ______．【答案】34200x y +-=【解析】直线PQ 可看作已知圆与以OC 为直径的圆的交线，求出未知圆的方程，运用两圆方程相减，即可． 【详解】解：圆2268200x y x y +--+=可化为22(3)(4)5x y -+-=圆心(3,4)C ，半径为R =过原点O 作C 的切线，切点分别为P ，Q ，∴直线PQ 可看作已知圆与以OC 为直径的圆的交线，以OC 为直径的圆的方程为()22325224x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭，即22340x y x y +--=， 两式相减得34200x y +-=，即直线PQ 的方程为34200x y +-=， 故答案为：34200x y +-=． 【点睛】本题主要考查直线和圆的位置关系的应用，结合圆与圆的位置关系是解决本题的关键． 15．设定义域为R 的函数()f x 满足()()f x f x '>，则不等式()()121x e f x f x -<-的解集为__________． 【答案】(1,)+∞【解析】根据条件构造函数F （x ）()xf x e =，求函数的导数，利用函数的单调性即可得到结论．【详解】 设F （x ）()xf x e=，则F ′（x ）()()'xf x f x e-=，∵()()f x f x '>，∴F ′（x ）＞0，即函数F （x ）在定义域上单调递增． ∵()()121x ef x f x -<-∴()()2121xx f x f x ee--＜，即F （x ）＜F （2x 1-）∴x 2x 1-＜，即x ＞1 ∴不等式()()121x ef x f x -<-的解为()1,+∞故答案为：()1,+∞ 【点睛】本题主要考查函数单调性的判断和应用，根据条件构造函数是解决本题的关键．16．已知椭圆221164x y +=的左、右焦点分别为12,F F ，点P在直线:80l x ++=上，当12F PF ∠取最大值时，12PF PF =______．1【解析】先根据椭圆221164x y +=的方程得出其左右焦点分别为1(F -0)、与2F 0)．如图，根据平面几何知识知，当12F PF ∠取最大值时，经过1F 与2F 的圆与直线l 相切，求出圆心坐标，再利用相似三角形的知识得出122||||PF PBPF BF =，最后利用相似比即可求出答案． 【详解】解：椭圆221164x y +=的左右焦点分别为1(F -0)、与2F 0)．如图，根据平面几何知识知，当12F PF ∠取最大值时，经过1F 与2F 的圆与直线l 相切，此时圆心在y 轴上，坐标为(0,2)A ，在直线:80l x ++=中令0y =得B 的坐标：()8B --，在三角形1BPF 和三角形2BF P 中，12BPF BF P ∠=∠， 1BPF ∴∆∽△2BF P ，∴1222||1||PF PB PF BF ===．1．【点睛】本小题主要考查直线与圆锥曲线的关系、直线与圆的位置关系、圆的切线等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．三、解答题17．在ABC ∆中，角、、A B C 所对的边分别为,,a b c ，且()cos cos 0b A a B -+=． （1）求角A ；（2）若a =cos 5B =，求BA 的长度． 【答案】(1)4A π=;(2) AB ＝6【解析】（1）ABC ∆中，由cos )cos a B b A =-，利用正弦定理求得cos A =可得A 的值．（2）ABC ∆中，先由正弦定理求得AC 的值，再由余弦定理求得AB 的值． 【详解】解：（1）ABC ∆中，由cos )cos a B b A =-，利用正弦定理可得sin cos cos sin cos A B C A B A =-，化简可得sin()cos A B C A +=，即sin cos C C A =，求得cos A =4A π∴=．（2）由cos 5B =，可得sin 5B =， 再由正弦定理可得sin sin a b A B==，求得b AC ==． ABC ∆中，由余弦定理可得2222cos BC AB AC AB AC A =+-∠，即22082AB AB =+-⨯6AB =． 【点睛】本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，属于基本知识的考查．18．手机支付也称为移动支付，是指允许用户使用其移动终端（通常是手机）对所消费的商品或服务进行账务支付的一种服务方式．随着信息技术的发展，手机支付越来越成为人们喜欢的支付方式．某机构对某地区年龄在15到75岁的人群“是否使用手机支付”的情况进行了调查，随机抽取了100人，其年龄频率分布表和使用手机支付的人数如下所示：（年龄单位：岁）（1）若以45岁为分界点，根据以上统计数据填写下面的2×2列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为“使用手机支付”与年龄有关？（2）若从年龄在[55，65），[65，75]的样本中各随机选取2人进行座谈，记选中的4人中“使用手机支付”的人数为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望． 参考数据：参考公式：()()()()22()n ad bc K a b c d a c b d -=++++．【答案】（1）填表见解析，可以在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为“使用手机支付”与年龄有关（2）详见解析【解析】（1）利用已知条件，求解联列表中的数值，求出K 2的观测值k ，即可判断结果． （2）X 的所有可能取值为0，1，2，3，求出相应的概率，得到分布列，然后求解期望即可． 【详解】解：（1）由统计表可得，低于45岁人数为70人，不低于45岁人数为30人， 可得列联表如下：于是有K 2的观测值2100(60151510)14.28610.82875257030k ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯＞．故可以在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为“使用手机支付”与年龄有关．（2）由题意可知，X 的所有可能取值为0，1，2，3，相应的概率为：()223222531010C C P X C C ===，()112213223222225353215C C C C C P X C C C C ==+=，()11122322222222535313230C C C C C P X C C C C ==+=，()212222531315C C P X C C ===，于是X 的分布列为：所以12131220123105301515EX =⨯+⨯+⨯+⨯=． 【点睛】本题考查离散型随机变量的分布列以及期望的求法，独立检验的应用，考查计算能力，难度一般． 19．四棱锥P ABCD -中，PA ⊥面ABCD ，底面ABCD 为菱形，且有1AB =，AP =120BAD ∠=︒，E 为PC 中点．（1）证明：AC ⊥面BED ；（2）求二面角E AB C --的平面角的余弦值．【答案】(1)证明见解析；(2) 二面角E ﹣AB ﹣C 【解析】（1）因为菱形的对角线互相垂直，所以AC BD ⊥，再由PAC ∆的中位线，得到//EO PA ，结合PA ⊥面ABCD ，所以EO ⊥面ABCD ，从而AC EO ⊥．最后根据直线与平面垂直的判定定理，得到AC ⊥面BED ；（2）以A 为原点，AD 、AP 所在直线分别为y 轴、z 轴，建立如图所示坐标系，则可得到A 、B 、C 、E 各点的坐标，从而得到向量AB 、AC 、AE 的坐标，然后利用垂直向量数量积为零的方法，分别求出平面ABE 和平面ABC 的一个法向量，结合空间向量的夹角公式计算出它们的夹角的余弦值．最后根据题意，二面角E AB C --是锐二面角，得到二面角E AB C --平面角的余弦值为余两个法向量夹角余弦的绝对值． 【详解】解：（1）设O 为底面ABCD 的中心，连接EO ，底面ABCD 为菱形，AC BD ∴⊥PAC ∆Q 中，E 、O 分别是PC 、PA 的中点 //EO PA ∴又PA ⊥面ABCD ，EO ∴⊥面ABCDAC ⊂面ABCD ，AC EO ∴⊥又BD Q 、EO 是平面BED 内的两条相交直线AC ∴⊥面BED（2）以A 为原点，AD 、AP 所在直线分别为y 轴、z轴，建立如图所示坐标系，则可得111(0,0,0),,0),,0),224A B C E - ∴3131231(,,0),(,,),(,,0)242AB AE AC =-==设1111(,,)n x y z =u r是平面ABE 一个法向量由111111111···()?0021····042nAB x y z n AE x y z ⎧=+-+=⎪⎪⎨⎪=+=⎪⎩，解得11112y z x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩，所以取11x =，1y =12z =-，可得1n =，因为PA ⊥平面ABC ，所以向量PA 即为平面ABC的一个法向量，设2PA n ==∴121212cos ,||||322n nn n n n <>=== 根据题意可知：二面角E ABC --是锐二面角，其余弦值等于12cos ,n n =∴二面角E AB C --．【点睛】本题给出底面为菱形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥，证明线面垂直并且求二面角所成角的余弦之值，着重考查了线面垂直的判定与性质和用空间向量求平面间的夹角的知识点，属于中档题． 20．设函数()(m )=-x f x x e （1）求函数()f x 的极值；（2）当0x >时，()4<+f x x 恒成立，求整数m 的最大值.（参考数值 2.7183e ≈，32 4.4817e ≈） 【答案】(1) 1()=m f x e-极大值,无极小值;(2)整数m 的最大值为2【解析】（1）求出函数的定义域、导函数，即可求出函数的单调区间，则极值可求. （2）题目转化为4(0)x x m x x e +<+>恒成立，构造函数设4()xx g x x e +=+，求出导函数，设()(3)x h x e x =-+，判断()h x 的零点所在区间，可得()g x 的单调性，即可表示出的()g x 最小值，分析得到min 4916()185<<g x ，推出结果． 【详解】解：（1）()f x 的定义域为R ,'()(m 1)=--xf x x e令'()0f x >，解得1x m <-；令'()0f x <，解得1x m >- 当(,1)∈-∞-x m 时，()f x 单调递增， 当(1,)∈-+∞x m 时，()f x 单调递减，1()=(1)极大值-∴-=m f x f m e ；无极小值.（2）()4-<+xm x e x ，因为0x e >，所以4+<+xx m x e （0x >）恒成立 设4g()+=+x x x x e ，则 33g'()1+--=-+=x x xx e x x e e设h()3=--xx e x 则'()1xh x e =-0>所以()h x 在(0,)+∞上单调递增，又23(1)40,() 4.4817 4.50,(2)52=-<≈-<=-h e h h e 所以存在03(,2)2∈x 使得0()0h x =，当()01,x x ∈时，()0h x <；当()0,x x ∈+∞时，()0h x > 所以()g x 在()01,x 上单调递减，()0,x +∞上单调递增 所以 00min 04g()+=+x x x x e 又0()0h x =，3=+x e x 所以000min 00000441g()133++=+=+=++++x x x x x x x e x x 令13t()1,(,2)32=++∈+x x x x则'()0t x >，所以()t x 在3(,2)2上单调递增, 所以3()()(2)2<<t t x t ，即min 4916()185<<g x 因为m Z ∈，所以2m ≤,所以m 的最大值为2【点睛】本题考查函数的导数的应用，构造法的应用，二次导数以及函数的最值的求法，考查转化思想以及计算能力，是难题．21．已知(2,0)P 为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右顶点，点M 在椭圆C 的长轴上，过点M 且不与x 轴重合的直线交椭圆C 于A B 、两点，当点M 与坐标原点O 重合时，直线PA PB 、的斜率之积为1-4． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）若2AM MB =，求OAB ∆面积的最大值．【答案】(1) 24x +y 2＝1;(2) △OAB 面积的最大值为1 【解析】（1）设1(A x ，1)y ，1(B x -，1)y -，可得2121144PA PBy k k x ==--．又2211221x y a b+=，代入上式可得：2214b a -=-，2a =，解得b ，即可得出椭圆C 的标准方程．（2）设直线AB 的方程为：(0)x ty m t =+≠，(22)m -剟．1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，与椭圆方程联立化为：222(4)240t y mty m +++-=，有2A M M B =，可得122y y =-，利用根与系数的关系可得：22241694t m t +=+．OAB ∆的面积12213|()|||22S m y y my =-=，即可得出．【详解】解：（1）设1(A x ，1)y ，1(B x -，1)y -，则2121144PA PBy k k x ==--．又2211221x y a b +=，代入上式可得：2214b a -=-， 又2a =，解得1b =．∴椭圆C 的标准方程为：2214x y +=． （2）设直线AB 的方程为：(0)x ty m t =+≠，(22)m -剟．1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ， 联立2244x ty mx y =+⎧⎨+=⎩，化为：222(4)240t y mty m +++-=， 12224mt y y t ∴+=-+，212244m y y t -=+，2AM MB =，122y y ∴=-，∴122152y y y y +=-，代入可得：22241694t m t +=+． OAB ∴∆的面积12213|()|||22S m y y my =-=，22222222222299416161694494(4)(94)(94)t t t S m y t t t t +∴==⨯⨯=⨯++++．212||1214949||||t S t t t ∴==++…，当且仅当249t =时取等号．OAB ∴∆面积的最大值为1．【点睛】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、一元二次方程的根与系数的关系、向量运算性质、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．22．在平面直角坐标系中，以原点为极点，x 轴非负半轴为极轴极坐标，曲线1C 的方程：cossinxyαα⎧=⎪⎨=⎪⎩（α为参数），曲线2C的方程：8sin()4ρπθ=+．（1）求曲线1C和曲线2C的直角坐标系方程；（2）从2C上任意一点P作曲线1C的切线，设切点为Q，求切线长PQ的最小值及此时点P的极坐标．【答案】（1）曲线C122((1x y+=,曲线C2 x+y﹣＝0; （2）|PQ|P极坐标为：8,4π⎛⎫⎪⎝⎭【解析】（1）曲线1C的方程cos(sinx aay a⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数），消去参数可得：22((1x y+=．曲线2C的方程：8sin()4ρπθ=+sin cos)8ρθρθ+=，把cossinxyρθρθ=⎧⎨=⎩代入即可得出．（2）如图所示，过圆心1C作1C P⊥直线2C，垂足为点P，此时切线长PQ最小．利用点到直线的距离公式可得1||C P．||PQ1C P的方程为：y x=，联立y xx y=⎧⎪⎨+-=⎪⎩，解得P，利用tanyxρθ⎧=⎪⎨=⎪⎩P极坐标．【详解】解：（1）曲线1C的方程cos(sinx aay a⎧=⎪⎨=+⎪⎩为参数），消去参数可得：22((1x y-+-=．曲线2C的方程：8sin()4ρπθ=+，化为sin cos)82ρθρθ+=，0x y∴+-=（2）如图所示，过圆心1C作1C P⊥直线2C，垂足为点P，此时切线长PQ最小．||PQ ∴==直线1C P 的方程为：y x =，联立0y x x y =⎧⎪⎨+-=⎪⎩，解得x y ==P ∴，∴8ρ，tan 1θ==，4πθ=．(8,)4P π∴．【点睛】本题考查了直线的极坐标方程化为直角坐标方程、圆的参数方程化为普通方程、直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式、勾股定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．23．设函数． (1)当时，解不等式； (2)若的解集为，，求证:．【答案】（1）（2）(当且仅当时取等号) 【解析】（1）由零点分区间的方法，去掉绝对值，分情况解不等式即可；（2）原不等式转化为，即解得a值即可，再由1的妙用，结合均值不等式得到结果.【详解】(1)当时，不等式为，∴或或，∴或．∴不等式的解集为．(2)即，解得，而解集是，∴,解得，所以，∴．(当且仅当时取等号)【点睛】本题考查了“乘1法”与基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．解决二元的范围或者最值问题，常用的方法有：不等式的应用，二元化一元的应用，线性规划的应用，等.。
