高考数学(理)二轮练习【专题7】(第3讲)统计与统计案例(含答案)

第 3 讲统计、统计事例自主学习导引真题感悟1．(2012·福建 )一支田径队有男女运动员98 人，此中男运动员有56 人，按男女比率用分层抽样的方法，从全体运动员中抽出一个容量为取的女运动员人数是 ________．28 的样本，那么应抽分析利用分层抽样的特色，按比率抽样去剖析．依题意，女运动员有98－56＝ 42(人 )．设应抽取女运动员x 人，依据分层抽样特x 28点，得42＝98，解得 x＝12.答案122．(2012·湖北 )容量为 20 的样本数据，分组后的频数以下表：分组[10,20)[20,30)[30,40)[40,50)[50,60)[60,70]频数234542则样本数据落在区间A． 0.35C． 0.55[10,40)的频次为B．0.45D．0.65分析依据频次的定义求解．由表知[10,40)的频数为2＋3＋4＝9，9所以样本数据落在区间 [10.40)的频次为20＝ 0.45.答案B考题剖析统计与统计事例部分的高考试题难度一般不大，考察的内容多为抽样方法，用样本预计整体、线性回归剖析、独立性查验等，这种题目作为解答题出现时，常常与概率联合命题．网络建立高频考点打破考点一：抽样方法【例 1】(2012·中山模拟 )某校共有学生 2 000 名，各年级男、女学生人数如图表示，已知在全校学生中随机抽取 1 名，抽到高二级女生的概率是 0.19，现用分层抽样的方法 (按年级分层 )在全校学生中抽取 100 人，则应在高三级中抽取的学生人数为 ________.高一级高二级高三级女生385x y男生375360z[ 审题导引 ]据题意求出字母的值，依照分层抽样的规则计算．[规范解答 ]据题意得x＝2 000×0.19＝380，∴高三级的学生人数为 y＋z＝ 2 000－385－375－380－ 360＝500，100∴在高三级中抽取的学生人数为500×2 000＝ 25.[答案]25【规律总结】抽样方法的选用注意分层抽样与系统抽样的计算方法，分层抽样是按比率抽样，比率的性质、方程的方法起主要作用；系统抽样第一是对整体分段的计算，注意分段时可能要排除一些个体，各段的间隔距离是同样的，但各段中抽取的个体便可有不一样的规则，要依据这些规则经过计算确定抽取的个体．【变式训练】1．某班级有 50 名学生，现要采纳系统抽样的方法在这 50 名学生中抽出 10 名学生，将这 50 名学生随机编号 1～50 号，并分组，第一组 1～ 5 号，第二组 6～10号，，第十组 46～50 号．若在第三组中抽得号码为 12 的学生，则在第八组中抽得号码为________的学生．分析因为组距为 5，所以所抽号码为 (8－ 3)×5＋12＝37.答案37考点二：用样本预计整体【例 2】 (1)(2012·西城二模 )以下图是 1、2 两组各 7 名同学体重 (单位： kg)数据的茎叶图．设 1、2 两组数据的均匀数挨次为1和2，标准差挨次为 s1和 s2，那么(注：标准差＝ 1 1－2＋ x2－－2＋＋ xn－－2]，s n[ x － x x x－， 2，， n 的均匀数此中 x 为 x1)x x－－－－A. x1＞x 2，s1＞s2B. x1＞x 2，s1＜s2－－－－C. x1＜x 2，s1＜s2D. x1＜x 2，s1＞s2(2)(2012·徐州模拟 )某年级 120 名学生在一次百米测试中，成绩所有介于 13 秒与18 秒之间．将测试结果分红 5 组： [13,14)，[14,15)， [15,16)， [16,17)， [17,18] ，获得以下图的频次散布直方图．假如从左到右的 5 个小矩形的面积之比为1∶3∶7∶6∶3，那么成绩在 [16,18]的学生人数是 ________．[审题导引 ](1)依据茎叶图中的数据分别计算 － －22 ，而后比较大x1， x2，s，s1 2小；(2)依据直方图中各小矩形的面积和为1 计算出成绩在 [16,18]的频次，而后计算成绩在 [16,18]的学生人数．[规范解答 ] (1)由茎叶图知－ 58＋ 57＋ 56＋53＋61＋72＋ 70 x 1＝ 7＝61.21 2－ 2 2 ＋ － 2 －2 ＋－2 s 1＝[(58 －61) ＋(5761)＋ －61)61)＋61)61)＋7(56 (53(61(722299(70－61) ]＝ 7 ，－2 390 －－ ， s ＜ s .122212(2)由频次散布直方图可知成绩在[16,18] 的学生的频次为6＋ 3＝1＋3＋7＋6＋3920，9所以成绩在 [16,18]的学生人数为 20× 120＝54.[ 答案 ] (1)C (2)54 【规律总结】用样本预计整体时应注意的问题(1)理解在抽样拥有代表性的前提下，能够用样本的频次散布预计整体的频次分布，用样本的特色数预计整体的特色数，这是统计的基本思想；(2)反应样本数据散布的主要方式，一个是频次散布表，一个是频次散布直方图，要学会依据频次散布直方图预计整体的概率散布以及整体的特色数，特别是均值、众数和中位数；(3)要掌握好样本均值和方差的实质意义，并在详细的应用问题中会依据计算样本数据的均值和方差对实质问题做出解说；(4)茎叶图是表示样本数据散布的一种方法，其特色是保存了所有的原始数据，这是茎叶图的优势．【变式训练】2．(2012·义乌模拟 )在以下图的茎叶图中，乙组数据的中位数是________；若从甲、乙两组数据中分别去掉一个最大数和一个最小数后，两组数据的均匀数中较大的一组是 ________组．分析把乙组数据从小到大排，得 79,84,84,84,86,87,93，－－故中位数是 84， x甲＝84， x 乙＝85，－－∴x 乙＞ x 甲．答案 84乙3．(2012·杭州二模 )将容量为 n 的样本中的数据分红 6 组，若第一组至第六组数据的频次之比为 2∶3∶ 4∶ 6∶ 4∶ 1，且前三组数据的频数之和等于27，则 n 的值为A．70B．60C．50D．40分析据题意知2＋3＋4＝27n，2＋3＋4＋6＋4＋1∴n＝ 60.答案B考点三：线性回归剖析【例 3】某种设施的使用年限x 和维修花费 y( 万元 )有以下的统计数据， 如表所示x3 4 5 6y2.5344.5(1)画出上表数据的散点图；∧(2)请依据上表供给的数据，求出 y 对于 x 的线性回归方程 y ＝ bx ＋a ； (3)预计使用年限为 10 年，维修花费是多少？[ 审题导引 ] (1)依据对应值构成点的坐标，画出各点即可；(2)直接套用求回归直线系数的公式，求出b ，a ；(3)依据求出的回归直线方程， 求当 x ＝10 时对应的 y 值，即便用年限为 10 年时，维修花费的预计值．[ 规范解答 ] (1)作出散点图以下图．442 2 22 2 ＝86，i ＝1 i ii ＝ 1 i－ － x ＝ 4.5， y ＝3.5，66.5－4×4.5×3.5 66.5－63 b ＝ 86－4× 4.52＝＝ 0.7，86－81－－ ＝ － × ＝ ，a ＝ y－b x3.5 0.74.5 0.35∧所以所求的回归方程为 y ＝0.7x ＋ 0.35.∧(3)当 x ＝10 时， y ＝0.7×10＋ 0.35＝7.35，所以使用年限为 10 年，维修花费的预计值是7.35 万元．【规律总结】求线性回归剖析问题的方法(1)画出两个变量的散点图；(2)求回归直线方程；(3)用回归直线方程进行预告．此中求回归直线方程是重点．而求回归直线方程的最好方法是“ 最小二乘∧a 和b 的最法”，即对于线性回归模型 y＝a＋bx 来说，预计模型中的未知参数n－－∑xi－ x y i－ yi ＝1好方法就是用最小二乘法，其计算公式为 b ＝n ＝－ 2∑x i－ xi ＝1n－－∑ i i－n x y－－i ＝1x yn， a＝ y －b x .∑2－－2i＝1x i n x[ 易错提示 ]固然由任何一组不完整同样的数据都能够求出回归直线方程，但只有拥有线性有关关系的一组数据才能获得存心义的回归直线方程，求出的方程才拥有实质价值．线性有关系数能够是正、负或零，线性有关系数为正时是正有关，为负时是负有关，反之也建立．【变式训练】4．(2012 ·深圳模拟 )某车间为了规定工时定额，需要确定加工部件所花销的时间，为此进行了 5 次试验．依据采集到的数据 (以下表 )，由最小二乘法求得回∧归方程 y＝0.67x＋54.9.现发现表中有一个数据模糊看不清，请你推测出该数据的值为________．－分析由表知 x ＝30，设模糊不清的数据为y，－1307＋y则 y＝5(62＋ y＋75＋81＋ 89)＝5，－－＋54.9，∵y ＝0.67x307＋ y即5＝0.67×30＋ 54.9，解得 y＝ 68.答案68考点四：独立性查验【例 4】有甲、乙两个班级进行数学考试，依照大于等于下为非优异统计成绩后，获得以以下联表.85 分为优异，85 分以优异非优异总计甲班乙班共计 1051030已知在所有105 人中随机抽取 1 人为优异的概率为2 7.(1)请达成上边的列联表．(2)依据列联表中的数据，若按95%的靠谱性要求，可否定为“成绩与班级有关系”？(3)若按下边的方法从甲班优异的学生中抽取一人：把甲班优异的10 名学生从 2 到 11 进行编号，先后两次投掷一枚均匀的骰子，出现的点数之和为被抽取人的序号．试求抽到 6 号或 10 号的概率．2[审题导引 ] 第 (1)问由题易知成绩优异的概率是7，则成绩优异的学生数是30，成绩非优异的学生数是 75，据此即能够达成列联表；第 (2)问依照独立性检验的原理进行判断；第 (3)问列举基本领件个数和随机事件含有的基本领件个数，依照古典概型的概率公式进行计算．[ 规范解答 ](1)列联表如表所示优异非优异总计甲班104555乙班203050共计3075105依据列联表中的数据，获得105× 10× 30－20×452k＝≈6.109＞ 3.841，(2)55×50×30× 75所以有 95%的掌握以为“成绩与班级有关系”．(3)设 “抽到 6 号或 10 号”为事件 A ，先后两次投掷一枚均匀的骰子，出现的点数为 (x ，y)．所有的基本领件有 (1,1)，(1,2)， (6,6)，共 36 个．事件 A 包括的基本领件有 (1,5)，(2,4)，(3,3)， (4,2)，(5,1)，(4,6)，(5,5)，(6,4)，共 8 个，故8 2P(A)＝36＝9.【规律总结】独立性查验的一般步骤(1)依据样本数据列出 2×2 列联表，假定两个变量没关系；(2)依据公式 K 2＝n ad －bc2计算 K 2的值；a ＋bc ＋d a ＋c b ＋d(3)比较 K 2 与临界值的大小关系作统计推测．【变式训练】5．(2012·南京模拟 )某研究小组为了研究中学生的身体发育状况，在某学校随机抽出 20 名 15 至 16 周岁的男生，将他们的身高和体重制成 2× 2 列联表，依据列 联表的数据，能够有 ________%的掌握以为该学校 15 至 16 周岁的男生的身高和 体重之间有关系 .超重不超重共计 偏高 4 1 5 不偏高 3 12 15 共计71320独立性查验临界值表：P(K 2≥k 0)0.025 0.010 0.005 0.001k 05.0246.6357.879 10.828独立性查验随机变量 K 2 值的计算公式：2K 2＝n ad －bc.a ＋bc ＋d a ＋c b ＋d20 4×12－3×1 2分析 k ＝5× 15×7×13＝5.934，依据临界值表可知有97.5%的掌握以为该学校 15 至 16 周岁的男生的身高和体重之间有关系．答案97.5名师押题高考【押题 1】依据下边频次散布直方图 (以下图 )预计样本数据的中位数、众数分别为A． 12.5,12.5B． 13,12.5C． 12.5,13D．14,12.5分析中位数是位于中间的数，故中位数是13，众数是12.5，中位数把图形的面积一分为二．答案B[ 押题依照 ]高考要求考生能经过样本的散布预计整体的散布；依据样本的特色数预计整体的特色数，考察考生的读图能力、归纳能力，故押本题．【押题 2】某高校从参加今年自主招生考试的学生中随机抽取50 名学生的成绩作为样本，得频次散布表以下：组号分组频数频次第一组[230,235)0.16第二组[235,240)①0.24第三组[240,245)15②第四组[245,250)100.20第五组[250,255]50.10共计50 1.00(1)写出表中地点①②处的数据；(2)为了选拔更优异的学生，高校决定在第三、四、五组顶用分层抽样法抽取6名学生进行第二轮查核，分别求出第三、四、五组参加查核的人数；(3)在(2)的前提下，高校决定在这 6 名学生中录取 2 名学生，求 2 人中起码有1人在第四组中的概率．分析(1)由题知地点①的数据是50×0.24＝12，15地点②的数据是50＝ 0.30.15(2)第三组参加查核的人数为30×6＝3；10第四组参加查核的人数为30×6＝2；5第五组参加查核的人数为30×6＝1.(3)设第三组的 3 名学生为 A、B、C，第四组的 2 名学生为 D、E，第五组的 1 名学生为 F，则从这 6 名学生中录取 2 名学生的方法有 AB，AC，AD，AE，AF，BC，BD，BE，BF，CD，CE，CF，DE，DF，EF，共 15 种，而起码有 1 人是第四组的有 AD，AE，BD，BE，CD，CE，DE，DF ，EF，共 9 种．故所求的概9 3率 P＝15＝5.[ 押题依照 ]概率与统计相联合的解答题是高考的一个热门题型．本题考察了频率散布表、抽样方法、古典概型，突出了知识和能力的考察，故押本题．。

统计与统计案例2讲第年份A.12卷别考查内容及考题位置命题分析抽样方法(基础型)]系统抽样N总体容量为N，样本容量为n，则要将总体均分成n组，每组个(有零头时要先去掉)．nN 若第一组抽到编号为k的个体，则以后各组中抽取的个体编号依次为k＋，…，k＋(n nN－1).n分层抽样按比例抽样，计算的主要依据是：各层抽取的数量之比＝总体中各层的数量之比．[考法全练]1．福利彩票“双色球”中红色球的号码可以从01，02，03，…，32，33这33个两位号码中选取，小明利用如下所示的随机数表选取红色球的6个号码，选取方法是从第1行第9列的数字开始，从左到右依次读取数据，则第四个被选中的红色球号码为()81 47 23 68 63 93 17 90 12 69 86 81 62 93 50 60 91 33 75 85 61 39 8506 32 35 92 46 22 54 10 02 78 49 82 18 86 70 48 05 46 88 15 19 20 49D．C．0616解析：选C.被选中的红色球号码依次为17，12，33，06，32，22.所以第四个被选中的红色球号码为06，故选C.2．利用系统抽样法从编号分别为1，2，3，…，80的80件不同产品中抽出一个容量为16的样本，如果抽出的产品中有一件产品的编号为13，则抽到产品的最大编号为()A．73 B．78D．77．76C80解析：选B.样本的分段间隔为＝5，所以13号在第三组，则最大的编号为13＋(16－163)×5＝78.故选B.3．某电视台在因特网上就观众对其某一节目的喜爱程度进行调查，参加调查的一共有20 000人，其中各种态度对应的人数如下表所示：最喜爱喜爱一般不喜欢1 6004 8007 2006 400电视台为了了解观众的具体想法和意见，打算从中抽选出100人进行更为详细的调查，为此要进行分层抽样，那么在分层抽样时，每类人中应抽选出的人数分别为()A．25，25，25，25 B．48，72，64，16D．30，1024，36，32，820C．，40，1100，解析：选D.法一：因为抽样比为＝20020 000所以每类人中应抽选出的人数分别为11118.×＝故选D.，×7 200＝36，6 400×＝321 600＝4 800×24，200200200200∶82，∶∶7 200一般、法二：最喜爱、喜爱、不喜欢的比例为4 800∶∶6 4001 600＝69∶96，所以每类人中应抽选出的人数分别为，×100＝24×10036＝29＋8＋＋28＋69＋＋682×100＝32，×100＝8，故选D.6＋9＋8＋26＋9＋8＋2“双图”“五数”估计总体(基础型)统计中的5个数据特征众数：在样本数据中，出现次数最多的那个数据．(1)．中位数：样本数据中，将数据按大小排列，位于最中间的数据．如果数据的个数为(2) 偶数，就取中间两个数据的平均数作为中位数．1－)．＋x＋…＋x(3)平均数：样本数据的算术平均数，即x＝(x n12n (4)方差与标准差：1－－－2222；x)]＋…＋(x－sx＝[(x－x)(＋x－x)n21n1－－－222]. ）x－－x）x－[（xx）＋…＋（＋（sx＝n12n 从频率分布直方图中得出有关数据的技巧频率频率，频率＝组距×频率：频率分布直方图中横轴表示组数，纵轴表示. (1)组距组距(2)频率比：频率分布直方图中各小长方形的面积之和为1，因为在频率分布直方图中组距是一个固定值，所以各小长方形高的比也就是频率比，从而根据已知的几组数据个数比求有关值．(3)众数：最高小长方形底边中点的横坐标．(4)中位数：平分频率分布直方图面积且垂直于横轴的直线与横轴交点的横坐标．(5)平均数：频率分布直方图中每个小长方形的面积乘小长方形底边中点的横坐标之和．(6)性质应用：若纵轴上存在参数值，则根据所有小长方形的高之和×组距＝1，列方程即可求得参数值．[考法全练]1．某课外小组的同学们在社会实践活动中调查了20户家庭某月的用电量，如下表所示：用电量/度120 140 160 180 200户数25823则这20户家庭该月用电量的众数和中位数分别是()A．180，170B．160，180D．180，C．160170，160解析：选A.用电量为180度的家庭最多，有8户，故这20户家庭该月用电量的众数是180，排除B，C；将用电量按从小到大的顺序排列后，处于最中间位置的两个数是160，180，故这20户家庭该月用电量的中位数是170.故选A.2．(2018·贵阳模拟)在某中学举行的环保知识竞赛中，将三个年级参赛学生的成绩进行整理后分为5组，绘制如图所示的频率分布直方图，图中从左到右依次为第一、第二、第三、) (分的学生人数是100～80，则成绩在40第四、第五小组，已知第二小组的频数是A．15 B．18D．20．25C解析：选A.根据频率分布直方图，得第二小组的频率是0.04×10＝0.4，因为频数是40，40所以样本容量是100，又成绩在80～100分的频率是(0.01＋0.005)×10＝0.15，所以成0.4绩在80～100分的学生人数是100×0.15＝15.故选A.3．(2018·武汉调研)某选手的7个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，剩余5个得分的平均数为91，如图，该选手的7个得分的茎叶图有一个数据模糊，无法辨认，在图中用x表示，则剩余5个得分的方差为()36116B. A.79D6．30C．1解析：选C.由茎叶图知，最低分为87分，最高分为99分．依题意得，×(87＋93＋9051222＋(9091)＋(93＝×[(87－91)－＝x×10＋＋91)＝91，解得x4.则剩余5个得分的方差s9＋51222]＝×(16＋4＋1＋91)(91＋－91)9)＝6.故选C.91)－－＋(9454．“中国人均读书4.3本(包括网络文学和教科书)，比韩国的11本、法国的20本、日本的40本、犹太人的64本少得多，是世界上人均读书最少的国家．”这个论断被各种媒体反复引用．出现这样的统计结果无疑是令人尴尬的．某小区为了提高小区内人员的读书兴趣，准备举办读书活动，并进一定量的书籍丰富小区图书站．由于不同年龄段的人看不同类型的书籍，为了合理配备资源，现对小区内看书人员进行年龄调查，随机抽取了40名读书者进行调查，将他们的年龄(单位：岁)分成6段：[20，30)，[30，40)，[40，50)，[50，60)，[60，后得到如图所示的频率分布直方图．80]，[70，70)．(1)求在这40名读书者中年龄分布在[40，70)的人数；(2)求这40名读书者的年龄的平均数和中位数．解：(1)由频率分布直方图知年龄在[40，70)的频率为(0.020＋0.030＋0.025)×10＝0.75，故这40名读书者中年龄分布在[40，70)的人数为40×0.75＝30.(2)这40名读书者年龄的平均数为25×0.05＋35×0.10＋45×0.20＋55×0.30＋65×0.25＋75×0.10＝54.设中位数为x，则0.005×10＋0.010×10＋0.020×10＋0.030×(x－50)＝0.5，解得x＝55，故这40名读书者年龄的中位数为55.回归分析(综合型)[典型例题]命题角度一线性回归分析(2018·广州模拟)某地1～10岁男童年龄x(单位：岁)与身高的中位数y(单位：cm)(i ii＝1，2，…，10)如下表：对上表的数据作初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．(1)求y关于x的线性回归方程(线性回归方程系数精确到0.01)；2的回归方程类型，他求得的回归方程x关于y更适宜作为r＋qx＋px＝y某同学认为(2)．^2＋10.17x＋68.07.经调查，该地11岁男童身高的中位数为y＝－0.30x145.3 cm.与(1)中的线是性回归方程比较，哪个回归方程的拟合效果更好？^^^^附：回归方程y＝a＋bx中的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：b＝n－－）－y－x）（y ∑（x ii^－^－1i＝，a＝y－bx.n－2）∑－x （x i1i＝10－－∑（x－x）（y－y）566.85ii^i1＝【解】(1)b＝＝≈6.871≈6.87，1082.50－2）xx－（∑ii1＝^－^－a＝y－bx＝112.45－6.871×5.5≈74.66，^所以y关于x的线性回归方程为y＝6.87x＋74.66.^^(2)若回归方程为y＝6.87x＋74.66，当x＝11时，y＝150.23.^2＋10.17x＋68.07，当x＝11时，yy若回归方程为＝－0.30x＝143.64.|143.64－145.3|＝1.66<|150.23－145.3|＝4.93，^2＋10.17x＋68.07对该地11y所以回归方程＝－0.30x岁男童身高中位数的拟合效果更好．求回归直线方程的关键及实际应用^^(1)关键：正确理解计算b，a的公式和准确地计算．(2)实际应用：在分析实际中两个变量的相关关系时，可根据样本数据作出散点图来确定两个变量之间是否具有相关关系，若具有线性相关关系，则可通过线性回归方程估计和预测变量的值．命题角度二非线性回归分析(2018·潍坊模拟)某机构为研究某种图书每册的成本费y(单位：元)与印刷数量x(单位：千册)的关系，收集了一些数据并进行了初步处理，得到了下面的散点图及一些统计量的值．811－表中u＝，u＝∑u.ii8x1i＝i d(1)根据散点图判断：y＝a＋bx与y＝c＋哪一个模型更适合作为该图书每册的成本费xy(单位：元)与印刷数量x(单位：千册)的回归方程？(只要求给出判断，不必说明理由)(2)根据(1)的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程(回归系数的结果精确到0.01)；(3)若该图书每册的定价为10元，则至少应该印刷多少册才能使销售利润不低于78 840元？(假设能够全部售出．结果精确到1)^^^附：对于一组数据(w，v)，(w，v)，…，(w，v)，其回归直线v＝α＋βw的斜率和n2121nn－－∑）－vw）（v （w－ii^^－^1i＝，α＝＝v－βw.截距的最小二乘估计分别为βn－2∑）w－w（i1i＝d【解】(1)由散点图判断，y＝c＋更适合作为该图书每册的成本费y(单位：元)与印刷x数量x(单位：千册)的回归方程．1(2)令u＝，先建立y关于u的线性回归方程，x8－－）－y－u）（y∑（u7.049ii^1i＝8.96，≈8.957≈由于d＝＝80.787－2）u（u－∑i1i＝^－^－所以c ＝y－d·u＝3.63－8.957×0.269≈1.22，^所以y关于u的线性回归方程为y＝1.22＋8.96u，8.96^所以y关于x的回归方程为y＝1.22＋.x8.96??＋1.22x≥78.840，10(3)假设印刷x 千册，依题意得x－??x所以x≥10，所以至少印刷10 000册才能使销售利润不低于78 840元．求非线性回归方程的步骤确定变量，作出散点图．(1) (2)根据散点图，选择恰当的拟合函数．变量置换，通过变量置换把非线性回归问题转化为线性回归问题，并求出线性回归(3)方程．分析拟合效果：通过计算相关指数或画残差图来判断拟合效果．(4) 根据相应的变换，写出非线性回归方程．(5)命题角度三回归分析与正态分布的综合问题单位：天当中某商品的销售量y(兰州模拟)某地一商场记录了12月份某5 (2018·单位：℃)的相关数据，如下表：kg)与该地当日最高气温x(2 9 8 5 x 11128710y 8^^^ ＋a；的回归方程y＝bx(1)试求y与x试用所6 ℃，x之间是正相关还是负相关；若该地12月某日的最高气温是y(2)判断与求回归方程预测这天该商品的销售量；－22近σ，其中μ近似取样本平均数xX～N(μ，σ，)12(3)假定该地月份的日最高气温2 <13.4)．，试求P(3.8<似取样本方差sX 附：参考公式和有关数据nn－－－－?∑∑）yx）（ynxy－（x－xy－iiii?^1ii1＝＝＝b＝?222∑∑）－x （x－nxx ，ii11ii＝＝??－^^nn－－－x＝yb－a2)，则P(μ－σ<X<μ＋σ)＝0.682 7，且P((3.210≈3.2，≈1.8，若X～Nμ，σμ－2σ<X<μ＋2σ)＝0.954 5.n－－－－【解】(1)由题意，x＝7，y＝9，∑xy－nxy＝287－5×7×9＝－28，iii1＝n28－^^^－－222＝12.92.0.56)×7－y－bx＝9(－a＝－＝－n∑x－x＝2955×750，b＝－0.56，＝i501i＝^ 12.92.x＋y所以所求回归直线方程为＝－0.56^代入回归方程可得，x＝6x0.56<0(2)由b＝－知，y与负相关．将^9.56＝，12.9260.56y＝－×＋.kg9.56 即可预测当日该商品的销售量为1－2σ≈3.2，所以P(3.8<X<13.4)＝P(μ－σ<7，X≈s<μ＋2σ)＝P(μ－知(3)由(1)μ≈x＝21σ<X<μ＋σ)＋P(μ－2σ<X<μ＋2σ)＝0.818 6.22σ的意义情况下，记清正态分布的密度曲线，解决与正态分布有关的问题，在理解μ是一条关于μ对称的钟形曲线，很多问题都是利用图象的对称性解决的．[对点训练](2018·高考全国卷Ⅱ)下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y(单位：亿元)的折线图．为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了y与时间变量t的两个线性回归模型．根据2000年至2016年的数据(时间变量t的值依次为1，2，…，17)建立模型①：^y＝－30.4＋13.5 t；根据2010年至2016年的数据(时间变量t的值依次为1，2，…，7)建立^模型②：y＝99＋17.5t.(1)分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值；(2)你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由．^解：(1)利用模型①，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为y＝－30.4＋13.5×19＝226.1(亿元)．利用模型②，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为^y＝99＋17.5×9＝256.5(亿元)．(2)利用模型②得到的预测值更可靠．理由如下：(以下2种理由，任选其一)(ⅰ)从折线图可以看出，2000年至2016年的数据对应的点没有随机散布在直线y＝－30.4＋13.5t 上下，这说明利用2000年至2016年的数据建立的线性模型①不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势.2010年相对2009年的环境基础设施投资额有明显增加，2010年至2016年的数据对应的点位于一条直线的附近，这说明从2010年开始环境基础设施投资^额的变化规律呈线性增长趋势，利用2010年至2016年的数据建立的线性模型y＝99＋17.5t得到的预②年以后的环境基础设施投资额的变化趋势，因此利用模型2010可以较好地描述．测值更可靠．(ⅱ)从计算结果看，相对于2016年的环境基础设施投资额220亿元，由模型①得到的预测值226.1亿元的增幅明显偏低，而利用模型②得到的预测值的增幅比较合理，说明利用模型②得到的预测值更可靠．统计案例(综合型)[典型例题](2018·福州模拟)某学校八年级共有学生400人，现对该校八年级学生随机抽取50名进行实践操作能力测试，实践操作能力测试结果分为四个等级水平，一、二等级水平的学生实践操作能力较弱，三、四等级水平的学生实践操作能力较强，测试结果统计如下表：等级水平一水平二水平三水平四/名男生6 8 4 12女生/名2864(1)根据表中统计的数据填写下面2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为学生实践操作能力强弱与性别有关？实践操作能力较弱实践操作能力较强总计男生/名名女生/总计(2)现从测试结果为水平一的学生中随机抽取4名进行学习力测试，记抽到水平一的男生的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．下面的临界值表供参考：2）bcad－n（2参考公式：K＝，其中n＝a＋b＋c＋d.（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）【解】(1)2×2列联表如下：实践操作能力较弱实践操作能力较强总计30 12 /男生名18/女生名20614 总计26 24 502）1814×（6×12－502252所以K＝＝≈4.327>3.841.5230×20×26×24所以有95%的把握认为学生实践操作能力强弱与性别有关．(2)ξ的取值为0，1，2，3，4.32141234CC3CCC1C8C6664464P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝＝，P(ξ＝3)＝＝，P(ξ4444C14C21C7C351010101041C4＝4)＝＝.4C21010所以ξ的分布列为183418所以E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝＝1.6.14217352105独立性检验的关键2，若2×2列联表没有列出来，要先列出此表．×2列联表准确计算K根据(1)22的观测值k越大，对应假设事件H成立的概率越小，H不成立的概率越大．(2)K 00[对点训练] (2018·高考全国卷Ⅲ)某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式．为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人．第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式．根据工人完成生产任务的工作时间(单位：min)绘制了如下茎叶图：(1)根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由；(2)求40名工人完成生产任务所需时间的中位数m，并将完成生产任务所需时间超过m和不超过m的工人数填入下面的列联表：超过m不超过m第一种生产方式第二种生产方式的把握认为两种生产方式的效率有差异？99%中的列联表，能否有(2)根据(3)．2）－bcn（ad2＝，附：K）b＋dd）（a＋c）（b（a＋）（c＋2≥kK) P(0.050 0.010 0.00110.8286.6353.841 k解：(1)第二种生产方式的效率更高．理由如下：(以下4种理由，任选其一)(ⅰ)由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需时间至少80分钟，用第二种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需时间至多79分钟．因此第二种生产方式的效率更高．(ⅱ)由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为85.5分钟，用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为73.5分钟．因此第二种生产方式的效率更高．(ⅲ)由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间高于80分钟；用第二种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间低于80分钟．因此第二种生产方式的效率更高．(ⅳ)由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎8上的最多，关于茎8大致呈对称分布；用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎7上的最多，关于茎7大致呈对称分布．又用两种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布的区间相同，故可以认为用第二种生产方式完成生产任务所需的时间比用第一种生产方式完成生产任务所需的时间更少．因此第二种生产方式的效率更高．79＋81(2)由茎叶图知m＝＝80.2列联表如下：超过m 不超过m第一种生产方式515第二种生产方式1552）5－5×1540×（×152(3)由于K＝＝10＞6.635，所以有99%的把握认为两种生产方20×20×20×20式的效率有差异．一、选择题1．某班对八校联考成绩进行分析，利用随机数法抽取样本时，先将60个同学按01，6列的数开始向右读，则选出的第5行第9进行编号，然后从随机数表第60，…，03，02．个个体是()(注：下表为随机数表的第8行和第9行)6301 6378 5916 9555 6719 9810 5071 7512 8673 5807 4439 5238 793321 1234 2978 6456 0782 5242 0744 3815 5100 1342 9966 0279 54A．07B．25D．52C．42解析：选D.依题意得，依次选出的个体分别是12，34，29，56，07，52，…因此选出的第6个个体是52.2．(2018·高考全国卷Ⅰ)某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如图所示的饼图：则下面结论中不正确的是()A．新农村建设后，种植收入减少B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C．新农村建设后，养殖收入增加了一倍D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半解析：选A.法一：设建设前经济收入为a，则建设后经济收入为2a，则由饼图可得建设前种植收入为0.6a，其他收入为0.04a，养殖收入为0.3a.建设后种植收入为0.74a，其他收入为0.1a，养殖收入为0.6a，养殖收入与第三产业收入的总和为1.16a，所以新农村建设后，种植收入减少是错误的．故选A.法二：因为0.6<0.37×2，所以新农村建设后，种植收入增加，而不是减少，所以A是错误的．故选A.3．(2018·昆明模拟)AQI(Air Quality Index，空气质量指数)是报告每日空气质量的参数，描述了空气清洁或污染的程度．AQI共分六级，从一级优(0～50)；二级良(51～100)；三级轻度污染(101～150)；四级中度污染(151～200)；直至五级重度污染(201～300)；六级严重污染(大于300)．如图是昆明市2017年4月份随机抽取10天的AQI茎叶图，利用该样本估计)(月份空气质量优的天数为4年2018昆明市．A．3 B．4D．C．12214解析：选C.从茎叶图知10天中有4天空气质量为优，所以空气质量为优的频率为＝1022，所以估计昆明市2018年4月份空气质量为优的天数为30×＝12，故选C. 554．对一批产品的长度(单位：毫米)进行抽样检测，样本容量为200，如图为检测结果的频率分布直方图，根据产品标准，单件产品长度在区间[25，30)的为一等品，在区间[20，25)和[30，35)的为二等品，其余均为三等品，则该样本中三等品的件数为()A．5 B．7D．50C．10解析：选D.根据题中的频率分布直方图可知，三等品的频率为1－(0.050 0＋0.062 5＋0.037 5)×5＝0.25，因此该样本中三等品的件数为200×0.25＝50.5．(2018·桂林、白色、梧州、崇左、北海五市联考)如图是2017年第一季度五省GDP情况图，则下列陈述正确的是()①2017年第一季度GDP总量和增速均居同一位的省只有1个；②与去年同期相比，2017年第一季度五个省的GDP总量均实现了增长；③去年同期的GDP总量前三位是D省、B省、A省；④2016年同期A省的GDP总量也是第三位．．②③④B ．①②A．C．②④D．①③④解析：选B.①2017年第一季度GDP总量和增速均居同一位的省有2个，B省和C省的GDP总量和增速分别居第一位和第四位，故①错误；由图知②正确；由图计算2016年同期五省的GDP 总量，可知前三位为D省、B省、A省，故③正确；由③知2016年同期A省的GDP总量是第三位，故④正确．故选B.6．(一题多解)(2018·石家庄质量检测(二))某学校A、B两个班的数学兴趣小组在一次数学对抗赛中的成绩绘制茎叶图如下，通过茎叶图比较两个班数学兴趣小组成绩的平均值及标准差．①A班数学兴趣小组的平均成绩高于B班的平均成绩；②B班数学兴趣小组的平均成绩高于A班的平均成绩；③A班数学兴趣小组成绩的标准差大于B班成绩的标准差；④B班数学兴趣小组成绩的标准差大于A班成绩的标准差．其中正确结论的编号为()A．①③B．①④D．②④C．②③－：由于x＝解析：选B.法一A11－＝x92＋82＋＋95)＝78，78＋76＋74＋＋78＋76＋81＋85＋86＋8862(53＋＋64B1515－－所66，所以x>x，＋＋73＋7374＋70＋83＋82＋91)＝＋＋(45＋4851＋53＋56＋6264＋65BA以①正确．12222222278)＋＋(74－78)(78＋(78－s78)＝－[(5378)－＋(62－78)＋(64－78)78)＋(76－A152222222＋(95－＋(92－(88－78)＋(82－＋(76－78)78)＋(81－78)＋(85－78)(86＋－78)78)＋2]＝121.678)，12222222266)－＋＋(62－66)－66)＋(53－66)－＋(5666)(64s＝－[(4566)(48＋－66)＋(51B152222222＋(9166)66)－＋(82－66)＋(73－66)＋(74－－＋(7066)(83＋－66)(73－＋(6566)＋－2]＝175.2.66)22故s>s，B班的方差大，则B班的标准差也大，④正确，故选B.AB班的数学成绩较A班；B 班数学兴趣小组的平均成绩明显高于A由茎叶图可知，法二：B.班的方差、标准差较大，故选B班的数学成绩较分散，显然B稳定，大多在70～90分，二、填空题．给出下列四个命题：7名学生，现将该班学生随机编号，用系统抽样的方法抽取一个容量52①某班级一共有；46号同学在样本中，那么样本中另一位同学的编号为234的样本，已知7号、33号、为的平均数、众数、中位数都相同；4，5，3，3，②一组数据1，2 ；1，则其标准差为2，2，3的平均数为③若一组数据a，0，1^^^其中，bx④根据具有线性相关关系的两个变量的统计数据所得的回归直线方程为y＝a＋^－^－1.＝，则b1，y＝3a＝2，x＝．填序号)其中真命题有________(，故抽取的样本的编号分别134＝在①中，由系统抽样知抽样的分段间隔为52÷解析：的平均数，5，3，4，①是假命题；在②中，数据1，23为7号、20号、33号、46号，故1中，因是真命题；在③，众数为3，都相同，故②4＋5)＝3，中位数为33为(1＋2＋＋3＋6121)－[(－15，解得a＝－1，故样本的方差为3为样本的平均数为1，所以a＋0＋1＋2＋＝52222，标准差为2，故③是假命题；在]＝2－1)④＋(2－1)－＋(31)(0＋－1)中，回归直＋(1^^－－^^－^线方程为y＝bx＋2，又回归直线过点(x，y)，把(1，3)代入回归直线方程y＝bx＋2，得b＝1，故④是真命题．答案：②④8．(2018·长沙模拟)为了解某社区居民购买水果和牛奶的年支出费用与购买食品的年支出费用的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：购买食品的年 2.09 2.15 2.50 2.84 2.92x/万元支出费用购买水果和牛奶的1.25 1.30 1.50 1.70 1.75/万元年支出费用y^^^^^－^－根据上表可得回归直线方程y＝bx＋a，其中b＝0.59，a＝y－bx，据此估计，该社区一户购买食品的年支出费用为3.00万元的家庭购买水果和牛奶的年支出费用约为________万元．2.09＋2.15＋2.50＋2.84＋2.92－解析：x＝＝2.50(万元)，51.25＋1.30＋1.50＋1.70＋1.75－y＝＝1.50(万元)，5．^^－^－^其中b＝0.59，a＝y－bx＝0.025，y＝0.59x＋0.025，故年支出费用为3.00万元的家庭^购买水果和牛奶的年支出费用约为y＝0.59×3.00＋0.025＝1.795万元．答案：1.7959．某同学在高三学年的五次阶段性考试中，数学成绩依次为110，114，121，119，126，则这组数据的方差是________．解析：因为对一组数据同时加上或减去同一个常数，方差不变，所以本题中可先对这5个数据同时减去110，得到新的数据分别为0，4，11，9，16，其平均数为8，根据方差公1222222]＝30.8.－8)＋(9－8)＝[(0－8)－＋(48)＋＋(11－8)(16式可得s5答案：30.8三、解答题10．某校为了解高一学生周末的“阅读时间”，从高一年级中随机抽取了100名学生进行调查，获得了每人的周末“阅读时间”(单位：小时)，按照[0，0.5)，[0.5，1)，…，[4，4.5]分成9组，制成样本的频率分布直方图如图所示：(1)求图中a的值；(2)估计该校高一学生周末“阅读时间”的中位数；(3)用样本频率代替概率．现从全校高一年级随机抽取20名学生，其中有k名学生“阅读时间”在[1，2.5)内的概率为P(X＝k)，其中k＝0，1，2，…，20.当P(X＝k)最大时，求k的值．解：(1)由频率分布直方图可知，周末“阅读时间”在[0，0.5)内的频率为0.08×0.5＝0.04.同理，在[0.5，1)，[1.5，2)，[2，2.5)，[3，3.5)，[3.5，4)，[4，4.5]内的频率分别为0.08，0.20，0.25，0.07，0.04，0.02，所以1－(0.04＋0.08＋0.20＋0.25＋0.07＋0.04＋0.02)＝0.5a＋0.5a，解得a＝0.30.(2)设该校高一学生周末“阅读时间”的中位数为m小时．因为前5组的频率之和为0.04＋0.08＋0.15＋0.20＋0.25＝0.72>0.5，，0.47<0.5＝0.20＋0.15＋0.08＋0.04组的频率之和为4而前所以2≤m<2.5.由0.5×(m－2)＝0.5－0.47，解得m＝2.06.故可估计该校高一学生周末“阅读时间”的中位数为2.06小时．(3)设在取出的20名学生中，周末“阅读时间”在[1，2.5)内的有X人，则X服从二项分布，即X～B(20，0.6)，所以恰好有k名学生周末“阅读时间”在[1，2.5)内的概率为P(X k20kk－(0.4)C(0.6)，＝k)＝20其中k＝0，1，2， (20)k20kk－）（0.4（0.6）3（21－kXP（＝k）C）20＝…，20.，，k＝1，2设t＝＝kk1k121－－－k2）0.40.6）－1（）C（P（X＝k20若t>1，则k<12.6，P(X＝k－1)<P(X＝k)；若t<1，则k>12.6，P(X＝k－1)>P(X＝k)．P（X＝13）3×（21－13）12＝又＝<1，1313×）X＝122P（所以当k＝12时，P(X＝k)最大．所以k的值为12.11．(2018·石家庄质量检测(二))随着网络的发展，网上购物越来越受到人们的喜爱，各大购物网站为增加收入，促销策略越来越多样化，促销费用也不断增加．下表是某购物网站2017年1～8月促销费用(单位：万元)和产品销量(单位：万件)的具体数据．月份 1 2 3 4 5 6 7 8x 促销费用18 2 133 61521104.541 3.5 1 3 5y产品销量2^^^(1)根据数据可知y与x具有线性相关关系，请建立y关于x的回归方程y＝bx＋a(系数精确到0.01)；(2)已知6月份该购物网站为庆祝成立1周年，特制定奖励制度：以z(单位：件)表示日销量，z ∈[1 800，2 000)，则每位员工每日奖励100元；z∈[2 000，2 100)，则每位员工每日奖励150元；z∈[2 100，＋∞)，则每位员工每日奖励200元．现已知该网站6月份日销量z服从正态分布N(0.2，0.000 1)，请你计算某位员工当月奖励金额总数大约多少元．(当月奖励金额总数精确到百分位)．参考数据：882，＝1y分别为第i个月的促销费用和产品销量，ix，∑∑xy＝338.5x＝1 308，其中，iiiii1ii1＝＝2)，则P(μ－σ<z<μ＋σ)＝0.682 7，P(μ－2σ，(服从正态分布若随机变量…，32，，8.zNμσ<z<μ＋2σ)＝0.954 5.－－，3＝y，11＝x由题可知(1)解：n－－yx－n∑xy338.5－8×11×374.5ii^^1i＝得b＝＝≈将数据代入b＝0.219≈0.22.n3401218－×1 308－22∑x－ny i1i＝^－^－a＝y－bx＝3－0.219×11≈0.59，^所以y关于x的回归方程为y＝0.22x＋0.59.(2)由6月份日销量z服从正态分布N(0.2，0.000 1)，得0.954 5日销量在[1 800，2 000)的概率为＝0.477 25，20.682 7日销量在[2 000，2 100)的概率为＝0.341 35，21－0.682 7日销量在[2 100，＋∞)的概率为＝0.158 65，2所以每位员工当月的奖励金额大约为(100×0.477 25＋150×0.341 35＋200×0.158 65)×30＝3 919.725≈3 919.73(元)．12．(2018·南京模拟)某校为了推动数学教学方法的改革，学校将高一年级部分生源情况基本相同的学生分成甲、乙两个班，每班各40人，甲班按原有模式教学，乙班实施教学方法改革．经过一年的教学实验，将甲、乙两个班学生一年来的数学成绩取平均数，两个班学生的平均成绩均在[50，100]，按照区间[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]进行分组，绘制成如下频率分布直方图，规定不低于80分(百分制)为优秀．(1)完成表格，并判断是否有90%以上的把握认为“数学成绩优秀与教学改革有关”；甲班乙班总计大于等于80分的人数分的人数小于80总计(2)从乙班[70，80)，[80，90)，[90，100]分数段中，按分层抽样随机抽取7名学生座谈，从中选3名学生发言，记来自[80，90)发言的人数为随机变量X，求X的分布列和数学期望．参数数据和公式：2≥k0.0250.05(PK 0.10 )0．k 2.706 3.841 5.024 02）bcad－n（2K＝（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）解：(1)补全表格如下：甲班乙班总计分的人数大于等于8032 2012 分的人数小于8048 28 2080 40 40总计2）×2020－2880×（12×2依题意得K＝≈3.333>2.706，40×40×32×48故有90%以上的把握认为“数学成绩优秀与教学改革有关”．(2)从乙班[70，80)，[80，90)，[90，100]分数段中抽取的人数分别为2，3，2，依题意随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3，1232131CCCCC124C18343344P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝，3333C35C35C35C357777其分布列如下表：418121459所以E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝＝.35353535357。

高考数学二轮复习专题突破—统计与统计案例1.某行业主管部门为了解本行业中小企业的生产情况,随机调查了100个企业,得到这些企业第一季度相对于前一年第一季度产值增长率y 的频数分布表.(1)分别估计这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例、产值负增长的企业比例;(2)求这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表).(精确到0.01) 附:√74≈8.602.2.(2021·江西赣州二模改编)遵守交通规则,人人有责.“礼让行人”是我国《道路交通安全法》的明文规定,也是全国文明城市测评中的重要内容.《道路交通安全法》第47条明确规定:“机动车行经人行横道时,应当减速行驶;遇行人正在通过人行横道,应当停车让行.机动车行经没有交通信号的道路时,遇行人横过道路,应当避让.否则扣3分罚200元”.下表是2021年1至4月份我市某主干路口监控设备抓拍到的驾驶员不“礼让行人”行为统计数据:(1)请利用所给数据求不“礼让行人”驾驶员人数y 与月份x 之间的经验回归方程y ^=b ^x+a ^,并预测该路口2021年10月不“礼让行人”驾驶员的大约人数(四舍五入);(2)交警从这4个月内通过该路口的驾驶员中随机抽查50人,调查驾驶员不“礼让行人”行为与驾龄的关系,得到下表:依据小概率值α=0.10的独立性检验,分析“礼让行人”行为是否与驾龄有关.参考公式:b ^=∑i=1nx i y i -nx y ∑i=1nx i 2-nx2=∑i=1n(x i -x)(y i -y)∑i=1n(x i -x)2.χ2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d),其中n=a+b+c+d.3.(2021·河北石家庄二模改编)某地区在2020年底全面建成小康社会,随着实施乡村振兴战略规划,该地区农村居民的收入逐渐增加,可支配消费支出也逐年增加.该地区统计了2016~2020年农村居民人均消费支出情况,对有关数据处理后,制作如图1的折线图[其中变量y (单位:万元)表示该地区农村居民人均年消费支出,年份用变量t 表示,其取值依次为1,2,3,…].(1)由图1可知,变量y与t具有很强的线性相关关系,求y关于t的经验回归方程,并预测2021年该地区农村居民人均消费支出;2016~2020年该地区农村居民人均消费支出图1(2)在国际上,常用恩格尔系数(其含义是指食品类支出总额占个人消费支出总额的比重)来衡量一个国家和地区人民生活水平的状况.根据联合国粮农组织的标准:恩格尔系数在40%~50%为小康,30%~40%为富裕.已知2020年该地区农村居民平均消费支出构成如图2所示,预测2021年该地区农村居民食品类支出比2020年增长3%,从恩格尔系数判断2021年底该地区农村居民生活水平能否达到富裕生活标准.2020年该地区农村居民人均消费支出构成图2参考公式:经验回归方程y ^=b ^x+a ^中斜率和截距的最小二乘估计分别为:b ^=∑i=1n(x i -x)(y i -y)∑i=1n(x i -x)2=∑i=1nx i y i -nx y∑i=1nx i 2-nx 2,a ^=y −b ^x .4.(2021·山东潍坊一模)在对人体的脂肪含量和年龄之间的关系的研究中,科研人员获得了一些年龄和脂肪含量的简单随机样本数据(x i ,y i )(i=1,2,…,20,25<x i <65),其中x i 表示年龄,y i 表示脂肪含量,并计算得到∑i=120x i 2=48 280,∑i=120y i 2=15 480,∑i=120x i y i =27 220,x =48,y =27,√22≈4.7.(1)请用样本相关系数说明该组数据中y 与x 之间的关系可用线性回归模型进行拟合,并求y 关于x的经验回归方程y ^=a ^+b ^x (a ^,b ^的计算结果保留两位小数);(2)科学健身能降低人体脂肪含量,下表是甲、乙两款健身器材的使用年限(整年)统计表:某健身机构准备购进其中一款健身器材,以使用年限的频率估计概率,请根据以上数据估计,该机构选择购买哪一款健身器材,才能使用更长久?参考公式:样本相关系数r=∑i=1n(x i -x)(y i -y)√∑i=1n (x i -x)2√∑i=1n(y i -y)2=∑i=1nx i y i -nx y√∑i=1nx i 2-nx 2√∑i=1ny i 2-ny 2;对于一组具有线性相关关系的数据(x i ,y i )(i=1,2,…,n ),其经验回归直线y ^=b ^x+a ^的斜率和截距的最小二乘估计分别为:b ^=∑i=1n(x i -x)(y i -y)∑i=1n(x i -x)2,a ^=y −b ^x .答案及解析1.解 (1)根据产值增长率频数分布表得,所调查的100个企业中产值增长率不低于40%的企业频率为14+7100=0.21.产值负增长的企业频率为2100=0.02.用样本频率分布估计总体分布得这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例为21%,产值负增长的企业比例为2%.(2)y =1100(-0.10×2+0.10×24+0.30×53+0.50×14+0.70×7)=0.30, s 2=1100[(-0.40)2×2+(-0.20)2×24+02×53+0.202×14+0.402×7]=0.029 6, s=√0.029 6=0.02×√74≈0.17.所以,这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值分别为0.30,0.17. 2.解 (1)由表中数据易知:x =1+2+3+44=52,y =125+105+100+904=105,则b ^=∑i=14x i y i -4x y∑i=14x i 2-4x2=995−1 05030−25=-11,a ^=y −b ^ x =105-(-11)×52=132.5,故所求经验回归方程为y ^=-11x+132.5.令x=10,则y ^=-11×10+132.5=22.5≈23(人),预测该路口10月份不“礼让行人”的驾驶员大约人数为23. (2)零假设为H 0:“礼让行人”行为与驾龄无关.由表中数据可得χ2=50×(10×12−20×8)218×32×30×20≈0.23<2.706=x 0.10,依据小概率值α=0.10的独立性检验,没有充分证据推断H 0不成立,可以认为H 0成立,即认为“礼让行人”行为与驾龄无关.3.解 (1)由已知数据可求t =1+2+3+4+55=3, y =1.01+1.10+1.21+1.33+1.405=1.21,∑i=15t i 2=12+22+32+42+52=55,∑i=15t i y i =1×1.01+2×1.10+3×1.21+4×1.33+5×1.40=19.16,b ^=19.16−5×3×1.2155−5×32=1.0110=0.101,a ^=1.21-0.101×3=0.907,所求经验回归方程为y ^=0.101t+0.907. 当t=6时,y ^=0.101×6+0.907=1.513(万元),故2021年该地区农村居民人均消费支出约为1.513万元.(2)已知2021年该地区农村居民平均消费支出1.513万元,由图2可知,2020年该地区农村居民食品类支出为4 451元,则预测2021年该地区食品类支出为4 451×(1+3%)=4 584.53元,恩格尔系数=4 584.5315 130×100%≈30.3%∈(30%,40%),所以,2021年底该地区农村居民生活水平能达到富裕生活标准.4.解 (1)x 2=2 304,y2=729,∑i=120x i y i -20x y =1 300,∑i=120x i 2-20x 2=2 200,∑i=1ny i 2-20y 2=900,r=∑i=120x i y i -20x y√∑i=120x i 2-20x 2√∑i=1ny i 2-20y2≈0.92,因为y 与x 的样本相关系数接近1,所以y 与x 之间具有较强的线性相关关系,可用线性回归模型进行拟合.由题可得,b ^=∑i=120(x i -x)(y i -y)∑i=120(x i -x)2=∑i=120x i y i -20x y∑i=120x i 2-20x2=1322≈0.591,a ^=y −b ^ x =27-0.591×48≈-1.37,所以y ^=0.59x-1.37.(2)以频率估计概率,设甲款健身器材使用年限为X (单位:年).E (X )=5×0.1+6×0.4+7×0.3+8×0.2=6.6. 设乙款健身器材使用年限为Y (单位:年).E (Y )=5×0.3+6×0.4+7×0.2+8×0.1=6.1.因为E (X )>E (Y ),所以该健身机构购买甲款健身器材更划算.。

第3讲统计与统计案例考点1 抽样方法1．简单随机抽样特点是从总体中逐个抽取．适用范围：总体中的个体较少．2．系统抽样特点是将总体均分成几部分，按事先确定的规则在各部分中抽取．适用范围：总体中的个体数较多．3．分层抽样特点是将总体分成几层，分层进行抽取．适用范围：总体由差异明显的几部分组成．[例1] (1)[2019·福州市高中毕业班质量检测]为了解某地区的“微信健步走”活动情况，拟从该地区的人群中抽取部分人员进行调查，事先已了解到该地区老、中、青三个年龄段人员的“微信健步走”活动情况有较大差异，而男女“微信健步走”活动情况差异不大．在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是( )A．简单随机抽样 B．按性别分层抽样C．按年龄段分层抽样 D．系统抽样(2)[2019·全国卷Ⅲ]《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著．某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为( )A．0.5 B．0.6C．0.7 D．0.8【解析】(1)根据分层抽样的特点，应选C.(2)本题主要考查韦恩图的应用与概率问题，考查考生的阅读理解能力，考查的核心素养是数学抽象、逻辑推理、数据分析．根据题意阅读过《红楼梦》《西游记》的人数用韦恩图表示如下：所以该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为70100＝0.7. 【答案】(1)C (2)C(1)随机抽样各种方法中，每个个体被抽到的概率都是相等的； (2)系统抽样又称“等距”抽样，被抽到的各个号码间隔相同；(3)分层抽样满足：各层抽取的比例都等于样本容量在总体容量中的比例.『对接训练』1．[2019·河北枣强中学期末]总体由编号为01,02，…，19,20的20个个体组成，利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第6个数字开始向右读(每两个连续数字组成一个编号)，则选出来的第5个个体的编号为( )21 16 65 08 90 34 20 76 43 81 26 34 91 64 17 50 71 59 45 06 91 27 35 36 80 72 74 67 21 33 50 25 83 12 02 76 11 87 05 26 A ．12 B ．07 C ．15 D ．16解析：从随机数表第1行的第6个数字开始由左到右依次选取两个数字中小于20的编号依次为03,07,12,16,07,15，其中第二个和第五个都是07，重复，所以选出的5个个体的编号为03,07,12,16,15，则第5个个体的编号为15.故选C.答案：C2．[2019·惠州市高三第二次调研]某班共有56人，学号依次为1,2,3，…，56，现用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知学号为2,30,44的同学在样本中，则样本中还有一位同学的学号为________．解析：由题意得，需要将56人按学号从小到大分成4组，每组抽取第2个学号对应的同学，所以还有一位同学的学号为1×14＋2＝16.答案：16考点2 用样本估计总体1．频率分布直方图中横坐标表示组距，纵坐标表示频率组距，频率＝组距×频率组距.2．频率分布直方图中各小长方形的面积之和为1. 3．利用频率分布直方图求众数、中位数与平均数利用频率分布直方图求众数、中位数和平均数时易出错，应注意区分这三者．在频率分布直方图中：(1)最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数； (2)中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的；(3)平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和．[例2] (1)[2018·江苏卷]已知5位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示，那么这5位裁判打出的分数的平均数为________；(2)[2017·全国卷Ⅰ]为评估一种农作物的种植效果，选了n 块地作试验田．这n 块地的亩产量(单位：kg)分别为x 1，x 2，…，xn ，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是( )A ．x 1，x 2，…，xn 的平均数B ．x 1，x 2，…，xn 的标准差C ．x 1，x 2，…，xn 的最大值D ．x 1，x 2，…，xn 的中位数【解析】 (1)这5位裁判打出的分数分别是89,89,90,91,91，因此这5位裁判打出的分数的平均数为89＋89＋90＋91＋915＝90.(2)因为可以用极差、方差或标准差来描述数据的离散程度，所以要评估亩产量稳定程度，应该用样本数据的极差、方差或标准差．故选B.【答案】 (1)90 (2)B众数、中位数、平均数与直方图的关系(1)众数为频率分布直方图中最高矩形的底边中点的横坐标．(2)中位数为平分频率分布直方图面积且垂直于横轴的直线与横轴交点的横坐标． (3)平均数等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之积的和.『对接训练』3．[2019·河北石家庄模拟]已知甲、乙两名篮球运动员进行罚球训练，每人练习10组，每组罚球40个，每组投中个数的茎叶图如图所示，则下列结论错误的是( )A ．甲投中个数的极差是29B ．乙投中个数的众数是21C ．甲的投中率比乙高D ．甲投中个数的中位数是25解析：由茎叶图可知甲投中个数的极差为37－8＝29，故A 正确；易知乙投中个数的众数是21，故B 正确；甲的投中率为8＋12＋13＋20＋22＋24＋25＋26＋27＋3740×10＝0.535，乙的投中率为9＋11＋13＋14＋18＋19＋20＋21＋21＋2340×10＝0.422 5，所以甲的投中率比乙高，C 正确；甲投中个数的中位数为22＋242＝23，D 不正确．故选D.答案：D4．[2019·河北衡水中学五调]某“跑团”为了解团队每月跑步的平均里程，收集并整理了2018年1月至2018年11月期间“跑团”每月跑步的平均里程(单位：千米)的数据，绘制了下面的折线图．根据折线图，下列结论正确的是( )A ．月跑步平均里程的中位数为6月份对应的平均里程数B ．月跑步平均里程逐月增加C ．月跑步平均里程高峰期大致在8月和9月D ．1月至5月的月跑步平均里程相对于6月至11月，波动性更小，变化比较平稳 解析：由折线图知，月跑步平均里程的中位数为5月份对应的平均里程数，A 错；月跑步平均里程不是逐月增加的，B 错；月跑步平均里程高峰期大致在9月和10月，C 错．故选D.答案：D考点3 变量的相关性与统计案例1．线性回归方程方程y ^＝b ^x ＋a ^称为线性回归方程，其中b ^＝∑i ＝1nx i y i －n x －y－∑i ＝1nx 2i －n x－2，a ^＝y －－b ^x －；(x －，y －)称为样本中心点．2．随机变量K 2(χ2)＝(a ＋b ＋c ＋d )(ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )，若K 2(χ2)>3.841，则有95%的把握说两个事件有关； 若K 2(χ2)>6.635，则有99%的把握说两个事件有关．[例3] [2019·全国卷Ⅰ]某商场为提高服务质量，随机调查了50名男顾客和50名女顾客，每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评价，得到下面列联表：(1)(2)能否有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异？附：K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d ).【解析】 象概括能力与数据处理能力，重点考查数学抽象、数据分析、数学运算的核心素养；倡导学生关注生活，提高数学应用意识．(1)由调查数据知，男顾客中对该商场服务满意的比率为4050＝0.8，因此男顾客对该商场服务满意的概率的估计值为0.8.女顾客中对该商场服务满意的比率为3050＝0.6，因此女顾客对该商场服务满意的概率的估计值为0.6.(2)K 2＝100×(40×20－30×10)250×50×70×30≈4.762.由于4.762>3.841，故有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异.(1)求回归直线方程的关键①正确理解计算b ^，a ^的公式和准确的计算．②在分析实际中两个变量的相关关系时，可根据样本数据作出散点图来确定两个变量之间是否具有相关关系，若具有线性相关关系，则可通过线性回归方程估计和预测变量的值．(2)独立性检验的关键①根据2×2列联表准确计算K2，若2×2列联表没有列出来，要先列出此表．②K2的观测值k越大，对应假设事件H0成立的概率越小，H0不成立的概率越大.『对接训练』5．[2019·福建福州二检]中国房地产业协会主办的中国房价行情网调查的一份数据显示，2018年7月，大部分一线城市的房租租金同比涨幅都在10%以上．某部门研究认为，房租支出超过月收入13的租户“幸福指数”低，房租支出不超过月收入13的租户“幸福指数”高．为了了解甲、乙两个小区的租户的“幸福指数”的高低，随机抽取甲、乙两个小区租户各100户进行调查．甲小区租户的月收入(单位：千元)以[0,3)，[3,6)，[6,9)，[9,12)，[12,15]分组的频率分布直方图如图．乙小区租户的月收入(单位：千元)的频数分布表如下．(2)若甲、乙两个小区每户的月租费分别为2千元、1千元．请根据条件，完成下面的2×2列联表，并说明能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为“‘幸福指数’高低与租住的小区有关”．附：K 2＝n (ad －(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )，其中n ＝a ＋b ＋c ＋d .解析：(1)设甲小区所抽取的100户租户的月收入的中位数为t ， 则0.060×3＋(t －3)×0.160＝0.5，解得t ＝5. (2)完成2×2列联表如下．根据2×2可得K 2的观测值k ＝200×(66×62－38×34)2104×96×100×100≈15.705>10.828，所以能在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为“‘幸福指数’高低与租住的小区有关”．课时作业19 统计与统计案例1．[2019·湖南五市十校联考]在某次赛车中，50名参赛选手的成绩(单位：min)全部介于13到18之间(包括13和18)，将比赛成绩分为五组：第一组[13,14)，第二组[14,15)，…，第五组[17,18]．其频率分布直方图如图所示，若成绩在[13,15)内的选手可获奖，则这50名选手中获奖的人数为( )A．39 B．35C．15 D．11解析：由频率分布直方图知成绩在[15,18]内的频率为(0.38＋0.32＋0.08)×1＝0.78，所以成绩在[13,15)内的频率为1－0.78＝0.22，则成绩在[13,15)内的选手有50×0.22＝11(人)，即这50名选手中获奖的人数为11，故选D.答案：D2．[2019·湖北黄冈期末]为了调查学生对某项新政策的了解情况，准备从某校高一A，B，C三个班级中抽取10名学生进行调查．已知A，B，C三个班级的学生人数分别为40,30,30.考虑使用简单随机抽样、分层抽样和系统抽样三种方案，使用简单随机抽样和分层抽样时，将学生按A，B，C三个班级依次统一编号为1,2，…，100；使用系统抽样时，将学生按A，B，C三个班级依次统一编号为1,2，…，100，并将所有编号依次平均分为10组．如果抽得的号码有下列四种情况：①7,17,27,37,47,57,67,77,87,97；②3,9,15,33,43,53,65,75,85,95；③9,19,29,39,49,59,69,79,89,99；④2,12,22,32,42,52,62,73,83,96.关于上述样本的下列结论中，正确的是( )A．①③都可能为分层抽样 B．②④都不能为分层抽样C．①④都可能为系统抽样 D．②③都不能为系统抽样解析：对于①，既满足系统抽样的数据特征，又满足分层抽样的数据特征，所以可能是分层抽样或系统抽样；对于②，只满足分层抽样的数据特征，所以可能是分层抽样；对于③，既满足系统抽样的数据特征，又满足分层抽样的数据特征，所以可能是分层抽样或系统抽样；对于④，只满足分层抽样的数据特征，所以可能是分层抽样．故选A.答案：A3．[2019·广东惠州一调]已知数据x1，x2，…，x10,2的平均值为2，方差为1，则数据x1，x2，…，x10相对于原数据( )A．一样稳定 B．变得稳定C．变得不稳定 D．稳定性不可以判断解析：数据x 1，x 2，…，x 10,2的平均值为2，方差为1，故111[(x 1－2)2＋(x 2－2)2＋…＋(x 10－2)2＋(2－2)2]＝1，数据x 1，x 2，…x 10的方差s 2＝110[(x 1－2)2＋(x 2－2)2＋…＋(x 10－2)2]>1，故相对于原数据变得不稳定，故选C.答案：C4．[2019·陕西商洛质检]在一次53.5千米的自行车个人赛中，25名参赛选手成绩(单位：分钟)的茎叶图如图所示，现将参赛选手按成绩由好到差编为1～25号，再用系统抽样的方法从中选取5人，已知选手甲的成绩为85分钟，若甲被选取，则被选取的其余4名选手的成绩的平均数为( )A.95 B ．96 C ．97 D ．98解析：由系统抽样法及已知条件可知被选中的其他4人的成绩分别是88,94,99,107，故平均数为88＋94＋99＋1074＝97，故选C.答案：C5．[2019·湖北重点高中协作体联考]某镇有A ，B ，C 三个村，它们的人口数量之比为，现在用分层抽样的方法抽出容量为n 的样本，样本中A 村有15人，则样本容量为( )A ．50B ．60C ．70D ．80解析：设A ，B ，C 三个村的人口数量分别为3x,4x,7x ，则由题意可得3x 15＝3x ＋4x ＋7xn ，解得n ＝70，故选C.答案：C6．[2019·云南昆明诊断]某商家今年上半年各月的人均销售额(单位：千元)与利润率统计表如下：A ．利润率与人均销售额成正相关关系B ．利润率与人均销售额成负相关关系C ．利润率与人均销售额成正比例函数关系D ．利润率与人均销售额成反比例函数关系解析：画出利润率与人均销售额的散点图，如图．由图可知利润率与人均销售额成正相关关系．故选A.答案：A7．[2019·河南濮阳摸底]根据如表数据，得到的回归方程为y ^＝b ^x ＋9，则b ^＝( )A.2 B ．1 C ．0 D ．－1解析：由题意可得x －＝15×(4＋5＋6＋7＋8)＝6，y －＝15×(5＋4＋3＋2＋1)＝3，因为回归方程为y ^＝b ^x ＋9且回归直线过点(6,3)，所以3＝6b ^＋9，解得b ^＝－1，故选D.答案：D8．[2019·宁夏银川一中月考]利用独立性检验的方法调查大学生的性别与爱好某项运动是否有关，通过随机询问110名不同的大学生是否爱好该项运动，得到2×2列联表，并计算可得K 2≈8.806.A ．有99.5%以上的把握认为“是否爱好该项运动与性别无关”B ．有99.5%以上的把握认为“是否爱好该项运动与性别有关”C ．在犯错误的概率不超过0.05%的前提下，认为“是否爱好该项运动与性别有关”D ．在犯错误的概率不超过0.05%的前提下，认为“是否爱好该项运动与性别无关” 解析：由于8.806>7.879，所以根据独立性检验的知识可知有99.5%以上的把握认为“是否爱好该项运动与性别有关”，故选B.答案：B9．[2019·安徽六安毛坦厂中学月考]某位教师2017年的家庭总收入为80 000元，各种用途占比统计如下面的折线图.2018年收入的各种用途占比统计如下面的条形图，已知2018年的就医费用比2017年增加了4 750元，则该教师2018年的家庭总收入为( )A ．100 000元B ．95 000元C ．90 000元D ．85 000元解析：由已知得，2017年的就医费用为80 000×10%＝8 000(元)，故2018年的就医费用为8 000＋4 750＝12 750(元)，所以该教师2018年的家庭总收入为12 75015%＝85 000(元)．故选D.答案：D10．[2019·华中师范大学第一附属中学期末]给出下列结论：①某学校从编号依次为001,002，…，900的900个学生中用系统抽样的方法抽取一个样本，已知样本中有两个相邻的编号分别为053,098，则样本中最大的编号为862；②甲组数据的方差为5，乙组数据为5,6,9,10,5，那么这两组数据中甲组数据比较稳定； ③两个变量的线性相关性越强，则相关系数r 的值越接近于1； ④对A ，B ，C 三种个体按 ：：2的比例进行分层抽样调查，若抽取的A 种个体有15个，则样本容量为30.则正确的个数是( ) A ．3 B ．2 C ．1 D ．0解析：①中，样本中相邻的两个编号为053,098，则样本组距为98－53＝45，所以样本容量为90045＝20，则样本中最大的编号为53＋45×(20－2)＝863，故①错误；②中，乙组数据的平均数为5＋6＋9＋10＋55＝7，所以乙组数据的方差为15×[(5－7)2＋(6－7)2＋(9－7)2＋(10－7)2＋(5－7)2]＝4.4<5，那么这两组数据中乙组数据比较稳定，故②错误；③中，两个变量的线性相关性越强，则相关系数r 的绝对值越接近于1，故③错误；④中，易知样本容量为15÷33＋1＋2＝30，故④正确．综上，选C.答案：C11．[2019·福建三明质检]某校为了解学生的身体素质情况，采用按年级分层抽样的方法，从高一、高二、高三年级的学生中抽取一个300人的样本进行调查，已知高一、高二、高三年级的学生人数之比为k ：：4，抽取的样本中高一年级的学生有120人，则实数k的值为________．解析：由题意可得，120300＝kk ＋5＋4，解得k ＝6.答案：612．[2019·河北六校联考]在一次53.5千米的自行车个人赛中，25名参赛选手的成绩(单位：分)的茎叶图如图所示，若用简单随机抽样的方法从中选取2人，则这2人成绩的平均数恰为100的概率为________．解析：根据题意知，从25人中选取2人，基本事件的总数为C 225＝300，其中这2人成绩的平均数恰为100的基本事件为(100,100)，(95,105)，(95,105)，(95,105)，(94,106)，(93,107)，共6个，所以所求的概率P ＝6300＝150.答案：15013．某炼钢厂废品率x (%)与成本y (元/t)的线性回归方程为y ^＝105.492＋42.569x .当成本控制在176.5元/t 时，可以预计生产的1 000 t 钢中，约有________t 钢是废品．解析：因为176.5＝105.492＋42.569x ，所以x ≈1.668，即成本控制在176.5元/t 时，废品率为1.668%.所以生产的1 000 t 钢中，约有1 000×1.668%＝16.68 t 钢是废品． 答案：16.6814．某医疗研究所为了检验某种血清预防感冒的作用，把500名使用血清的人与另外500名未使用血清的人一年中的感冒记录作比较，提出假设H 0：“这种血清不能起到预防感冒的作用”，利用2×2列联表计算得K 2≈3.918，经查临界值表知P (K 2≥3.841)≈0.05.则下列结论中，正确结论的序号是________．①有95%的把握认为“这种血清能起到预防感冒的作用”；②若某人未使用该血清，那么他在一年中有95%的可能性得感冒；③这种血清预防感冒的有效率为95%；④这种血清预防感冒的有效率为5%.解析：K2≈3.918≥3.841，而P(K2≥3.841)≈0.05，所以有95%的把握认为“这种血清能起到预防感冒的作用”．要注意我们检验的是假设是否成立和该血清预防感冒的有效率是没有关系的，不是同一个问题，不要混淆．答案：①15．[2019·湖南四校摸底调研]某家电公司销售部门共有200名销售员，每年部门对每名销售员都有 1 400万元的年度销售任务．已知这200名销售员去年的销售额都在区间[2,22](单位：百万元)内，现将其分成5组，第1组、第2组、第3组、第4组、第5组对应的区间分别为[2,6)，[6,10)，[10,14)，[14,18)，[18,22]，并绘制出如下的频率分布直方图．(1)求a的值，并计算完成年度任务的人数；(2)用分层抽样的方法从这200名销售员中抽取容量为25的样本，求这5组分别应抽取的人数；(3)现从(2)中完成年度任务的销售员中随机选取2名，奖励海南三亚三日游，求获得此奖励的2名销售员在同一组的概率．解析：(1)∵(0.02＋0.08＋0.09＋2a)×4＝1，∴a＝0.03，∴完成年度任务的人数为2×0.03×4×200＝48.(2)第1组应抽取的人数为0.02×4×25＝2，第2组应抽取的人数为0.08×4×25＝8，第3组应抽取的人数为0.09×4×25＝9，第4组应抽取的人数为0.03×4×25＝3，第5组应抽取的人数为0.03×4×25＝3，(3)在(2)中完成年度任务的销售员中，第4组有3人，记这3人分别为A1，A2，A3；第5组有3人，记这3人分别为B1，B2，B3.从这6人中随机选取2名，所有的基本事件为A1A2，A1A3，A1B1，A1B2，A1B3，A2A3，A2B1，A2B2，A2B3，A3B1，A3B2，A3B3，B1B2，B1B3，B2B3，共有15个基本事件，获得此奖励的2名销售员在同一组所包含的基本事件有6个， 故所求概率P ＝615＝25.16．[2019·河南封一调]近年来我国电子商务行业迎来蓬勃发展的新机遇，2018年双十一期间，某购物平台的成交额为两千亿元人民币之多．与此同时，相关管理部门推出了针对电商的商品和服务的评价体系，现从评价系统中选出200次成功交易，并对其评价进行统计，商品的好评率为60%，服务的好评率为75%，其中对商品和服务都做出好评的交易为80次．(1)完成下面的2×2列联表，并回答是否有99%的把握认为商品好评与服务好评有关．(2)的次数为随机变量X ，求X 的数学期望和方差．附：K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )，其中n ＝a ＋b ＋c ＋d .K 2＝200×(150×50×120×80≈11.111>6.635，故有99%的把握认为商品好评与服务好评有关．(2)∵X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，25， ∴E (X )＝3×25＝65，D (X )＝3×25×35＝1825.17．[2019·重庆九校联盟一模]某社区为了解该社区退休老人每天的平均户外活动时间，从该社区退休老人中随机抽取了100位老人进行调查，获得了每人每天的平均户外活动时间(单位：时)，活动时间按照[0,0.5)，[0.5,1)，…，[4,4.5]分成9组，制成样本的频率分布直方图如图所示．(1)求图中a 的值；(2)估计该社区退休老人每人每天的平均户外活动时间的中位数；(3)在[1,1.5)，[1.5,2)这两组中采用分层抽样的方法抽取7人，再从这7人中随机抽取2人，求抽取的2人恰好在同一个组的概率．解析：(1)由频率分布直方图，可知平均户外活动时间在[0,0.5)内的频率为0.08×0.5＝0.04.同理，平均户外活动时间在[0.5,1)，[1.5,2)，[2,2.5)，[3,3.5)，[3.5,4)，[4,4.5]内的频率分别为0.08,0.20,0.25,0.07,0.04,0.02，由1－(0.04＋0.08＋0.20＋0.25＋0.07＋0.04＋0.02)＝0.5a ＋0.5a ， 解得a ＝0.30. (2)设中位数为m 时．因为前5组的频率之和为0.04＋0.08＋0.15＋0.20＋0.25＝0.72>0.5， 而前4组的频率之和为0.04＋0.08＋0.15＋0.20＝0.47<0.5，所以2≤m <2.5. 所以0.50×(m －2)＝0.5－0.47，解得m ＝2.06.故可估计该社区退休老人每人每天的平均户外活动时间的中位数为2.06时． (3)由题意得平均户外活动时间在[1,1.5)，[1.5,2)内的人数分别为15,20，按分层抽样的方法在[1,1.5)，[1.5,2)内分别抽取3人、4人，从7人中随机抽取2人，共有C 27＝21种方法，抽取的两人恰好都在同一个组有C 24＋C 23＝9种方法，故抽取的2人恰好在同一个组的概率P ＝921＝37.18．[2019·福建三明月考]统计学中经常用环比、同比来进行数据比较．环比是指本期统计数据与上期比较，如2017年7月与2017年6月相比．环比增长率＝本期数－上期数上期数×100%，同比增长率＝本期数－同期数同期数×100%.下表是某地区近17个月来的消费者信心指数的统计数据：②除2017年1月外，该地区消费者信心指数月环比增长率为负数的有几个月？ (2)由以上数据可判断，序号x 与该地区消费者信心指数y 具有线性相关关系，求出y 关于x 的线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^(a ^，b ^保留2位小数)，并依此预测该地区2018年6月的消费者信心指数(结果保留1位小数)．参考数据与公式：∑i ＝117x i y i ＝18 068.5，∑i ＝117x 2i＝1 785，x －＝9，y －≈115，b ^＝，a ^＝y －－b ^x －.解析：(1)①该地区2018年5月消费者信心指数的同比增长率为124－112.6112.6×100%≈10%.②若月环比增长率为负数，则本期数<上期数，从表中可以看出，2017年3月、2017年6月、2017年8月、2018年2月、2018年4月共5个月的月环比增长率为负数．(2)由已知，得，a ^＝y －－b ^x －＝104.56，∴线性回归方程为y ^＝1.16x ＋104.56.当x ＝18时，y ^＝125.4，故该地区2018年6月的消费者信心指数约为125.4.。

第三讲统计与统计案例[考情分析]统计部分在选择、填空题中的命题热点有随机抽样、用样本估计总体以及变量的相关性，难度较低．回归分析常在解答题中考查1．(2016·高考全国卷Ⅲ)某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图．图中A点表示十月的平均最高气温约为15 ℃，B点表示四月的平均最低气温约为5 ℃.下面叙述不正确的是()A．各月的平均最低气温都在0 ℃以上B．七月的平均温差比一月的平均温差大C．三月和十一月的平均最高气温基本相同D．平均最高气温高于20 ℃的月份有5个解析：由图形可得各月的平均最低气温都在0℃以上，A正确；七月的平均温差约为10℃，而一月的平均温差约为5℃，故B正确；三月和十一月的平均最高气温都在10℃左右，基本相同，C正确，故D错误．答案：D2．(2015.高考全国Ⅰ卷)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x(单位：千元)对年销售量y(单位：t)和年利润z(单位：千元)的影响．对近8年的年宣传费x i和年销售量y i(i＝1,2， (8)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．表中w i ＝x i ，w ＝18∑i ＝1w i.(1)根据散点图判断，y ＝a ＋bx 与y ＝c ＋d x 哪一个适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由)(2)根据(1)的判断结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程；(3)已知这种产品的年利润z 与x ，y 的关系为z ＝0.2y －x .根据(2)的结果回答下列问题： ①年宣传费x ＝49时，年销售量及年利润的预报值是多少？ ②年宣传费x 为何值时，年利润的预报值最大？附：对于一组数据(u 1，v 1)，(u 2，v 2)，…，(u n ，v n )，其回归直线v ＝α＋βu 的斜率和截距的最小二乘估计分别为β^＝∑ni ＝1 (u i －u )(v i －v )∑ni ＝1(u i －u )2，α^＝v －β^ u . 解析：(1)由散点图可以判断，y ＝c ＋d x 适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型． (2)令w ＝x ，先建立y 关于w 的线性回归方程．由于d ^＝∑8i ＝1(w i －w )(y i －y )∑8i ＝1(w i －w )2＝108.81.6＝68， c ^＝y －d ^w ＝563－68×6.8＝100.6，所以y 关于w 的线性回归方程为y ^＝100.6＋68w ，因此y 关于x 的回归方程为y ^＝100.6＋68x . (3)①由(2)知，当x ＝49时，年销售量y 的预报值 y ^＝100.6＋6849＝576.6，年利润z 的预报值 z ^＝576.6×0.2－49＝66.32.②根据(2)的结果知，年利润z 的预报值 z ^＝0.2(100.6＋68x )－x ＝－x ＋13.6x ＋20.12. 所以当x ＝13.62＝6.8，即x ＝46.24时，z ^取得最大值．故年宣传费为46.24千元时，年利润的预报值最大．抽样方法[方法结论]三种抽样方法的共同点都是等概率抽样，即抽样过程中每个个体被抽到的概率相等，体现了这三种抽样方法的客观性和公平性．若样本容量为n ，总体的个体数为N ，则用这三种方法抽样时，每个个体被抽到的概率都是nN.[题组突破]1．(2017·荆门调研)将参加数学竞赛决赛的500名学生编号为001,002，…，500，采用系统抽样的方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003，这500名学生分别在三个考点考试，从001到200在第一考点，从201到355在第二考点，从356到500在第三考点，则第三考点被抽中的人数为( ) A ．14 B ．15 C ．16D ．21解析：系统抽样的样本间隔为50050＝10，第一个号码为003，按照系统抽样的规则，抽到的号码依次为003,013,023,033,043,053，…，493，第三考点抽到的第一个号码为363，最后一个号码为493，由等差数列的通项公式得493＝363＋(n －1)×10，解得n ＝14，故选A. 答案：A2．工厂生产的A 、B 、C 三种不同型号的产品数量之比依次为2∶3∶5，为研究这三种产品的质量，现用分层抽样的方法从该工厂生产的A 、B 、C 三种产品中抽出样本容量为n 的样本，若样本中A 型产品有16件，则n 的值为________． 解析：由已知得n ×22＋3＋5＝16，解得n ＝80.答案：80 [误区警示]利用系统抽样分段时，若分段间隔不为整数，应先随机剔除部分元素，再分组，但每个个体被抽到的概率仍为样本容量总体个数.此问题易忽视．用样本估计总体[方法结论]1．在频率分布直方图中，纵轴表示频率组距，数据落在各小组内的频率用各小矩形的面积表示，各小矩形的面积总和为1，因为在频率分布直方图中组距是一个固定值，所以各小矩形高的比也就是频率比． 2．当样本数据较少时，用茎叶图表示数据效果较好，要分清何为茎，何为叶，并明确其特征数字的含义． 3．特征数字(1)众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫作这组数据的众数．在频率分布直方图中，众数的估计值是最高的矩形的中点的横坐标．(2)中位数：将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据(或最中间两个数据的平均数)叫作这组数据的中位数．在频率分布直方图中，把使左边和右边的直方图的面积相等的直线所对应的横坐标的估计值作为中位数的值．(3)平均数：样本数据的算术平均数，即x ＝1n (x 1＋x 2＋…＋x n )．在频率分布直方图中，平均数的估计值等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和．(4)方差：s 2＝1n [(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2]，其中s 为标准差．方差与标准差都反映了样本数据的稳定与波动、集中与离散的程度．s 2越小，样本数据的稳定性越高，波动越小．[典例] (1)如图所示，茎叶图记录了甲、乙两组各4名学生完成某道数学题的得分情况，该题满分为12分．已知甲、乙两组学生的平均成绩相同，乙组某个数据的个位数字模糊，记为x .则下列命题正确的是( )A ．甲组学生的成绩比乙组稳定B ．乙组学生的成绩比甲组稳定C ．两组学生的成绩有相同的稳定性D ．无法判断甲、乙两组学生的成绩的稳定性解析：x 甲＝14×(9＋9＋11＋11)＝10，x 乙＝14×(8＋9＋10＋x ＋12)＝10，解得x ＝1.又s 2甲＝14×[(9－10)2＋(9－10)2＋(11－10)2＋(11－10)2]＝1，s 2乙＝14×[(8－10)2＋(9－10)2＋(11－10)2＋(12－10)2]＝52，∴s 2甲＜s 2乙，∴甲组学生的成绩比乙组稳定．选A. 答案：A(2)海尔公司的n 名员工参加“我是销售家”活动，他们的年龄在25岁至50岁之间．按年龄分组：第1组[25,30)，第2组[30,35)，第3组[35,40)，第4组[40,45)，第5组[45,50]，由统计的数据得到的频率分布直方图如图所示．。

专题八 概率与统计 第三讲 统计与统计案例——2023届高考理科数学大单元二轮复习练重点【新课标全国卷】1.在某次赛车中，50名参赛选手的成绩（单位：min ）全部介于13到18之间（包括13和18）.现将比赛成绩分为五组：第一组[13,14)，第二组[14,15)，…，第五组[17,18]，其频率分布直方图如图所示.若成绩在[13,15)内的选手可获奖，则这50名选手中获奖的人数为( )A.11B.15C.35D.392.某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图所示，数据的分组依次为[)20,40，[)40,60，[)60,80，[]80,100.若低于60分的人数是15人，则参加英语测试的学生人数是( )A.45B.50C.55D.603.我国是一个农业大国,从事农业工作的人员有5.4亿,如图为某县农村从业人员年龄结构图,为了解该县从业人员在从事农业工作中的实际困难,以推进县乡村振兴工作,某调查机构计划从某县的所有从业人员中随机抽取20人展开某项调研,则所抽取的20人中恰有2人的年龄在20岁以下的概率约为( ) (170.90.167≈,180.90.15≈,190.90.135≈,200.90.122≈)A.0.25B.0.29C.0.32D.0.354.某校高一年级在某次数学测验中成绩不低于80分的所有考生的成绩统计表如下:A.在[90,100]内B.在(100,110]内C.在(110,120]内D.在(120,130]内5.若某同学连续3次考试的名次(3次考试均没有出现并列名次的情况)不低于第3名,则称该同学为班级的尖子生.根据甲、乙、丙、丁四位同学过去连续3次考试名次的数据,推断一定是尖子生的是( )A.甲同学:平均数为2,众数为1B.乙同学:平均数为2,方差小于1C.丙同学:中位数为2,众数为2D.丁同学:众数为2,方差大于16.2021年某省高考体育百米测试中，成绩全部介于12秒与18秒之间，抽取其中100个样本，将测试结果按如下方式分成六组：第一组[12,13)，第二组[13,14)，…，第六组[17,18]，得到如下的频率分布直方图.则该100考生的成绩的平均数和中位数（保留一位小数）分别是( )A.15.2 15.3B.15.1 15.4C.15.1 15.3D.15.2 15.37.设样本数据1x ，2x ，…，10x 的平均数和方差分别为1和4，若i i y x a =+(a 为非零常数，1,2,,10i =)，则1y ，2y ，…，10y 的平均数和方差分别为( ) A.1a +，4B.1a +，4a +C.1，4D.1，4a +8.已知变量x ,y 之间的一组数据如下表：若y 关于x 的线性回归方程为0.7y x a =+，则a =( ) A.0.1B.0.2C.0.35D.0.459.某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验.根据收集到的数据（如下表），由最小二乘法求得经验回归直线方程0.6754.9y x =+，表中有一个数据模糊不清，请你推断出该数据的值为( )C.68 10.第24届冬季奥林匹克运动会将于2022年在北京举办.为了解某城市居民对冰雪运动的关注情况，随机抽取了该市100人进行调查统计，得到如下22⨯列联表.参考公式：()()()()2n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.附表：A.该市女性居民中大约有5%的人关注冰雪运动B.该市男性届民中大约有95%的人关注冰雪运动C.有95%的把握认为该市居民是否关注冰雪运动与性别有关D.有99%的把握认为该市居民是否关注冰雪运动与性别有关11.一个项目由15个专家评委投票表决，剔除一个最高分96，一个最低分58后所得到的平均分为92，方差为16，那么原始得分的方差为_______.12.经市场调查，某款热销品的销售量y（万件）与广告费用x（万元）之间满足回归直线方程 3.5=+.若样本点中心为(45,35)，则当销售量为52.5万件时，可估计投入y bx的广告费用为_________________万元.13.某学校为了制订治理学校门口上学、放学期间家长接送孩子乱停车现象的措施,对全校学生家长进行了问卷调查.根据从中随机抽取的50份调查问卷,得到了如下的列联表：14.某行业主管部门为了解本行业中小企业的生产情况，随机调查了100个企业，得到这些企业第一季度相对于前一年第一季度产值增长率y的频数分布表.例；（2）求这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表).(精确到0.01)8.602.15.某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据得到下表（单位：天）：1（优） （2）求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；（3）若某天的空气质量等级为1或2，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为3或4，则称这天“空气质量不好”.根据所给数据，完成下面的22⨯列联表，并根据列联表，判断是否有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关.附：2()()()()K a b c d a c b d =++++，)2kk答案以及解析1.答案：A解析：由题意可得，成绩在[13,15)内的频率为10.080.320.380.22---=.又本次赛车中，共50名参赛选手，所以这50名选手中获奖的人数为500.2211⨯=.故选A. 2.答案：B解析：根据频率分布直方图的特点可知，低于60分的频率是(0.0050.01)200.3+⨯=，则所求学生人数是15500.3=. 3.答案：B解析：由频率分布直方图可得20岁以下的农村从业人员的概率为0.1,所以从所有从业人员中抽取20人,其中恰有2人的年龄在20岁以下的概率为221820C (0.1)(0.9)0.2850.29≈≈,故选B. 4.答案：B解析：由表可知，及格的考生共有401512105284+++++=人，在[90,100]内有40人,在(100,110]内有15人，故及格的所有考生成绩的中位数在(100,110]内.5.答案：B解析：甲同学：若平均数为2，众数为1，则有一次名次应为4，故排除A ；乙同学：平均数为2，设乙同学3次考试的名次分别为1x ，2x ，3x ，则方差()()()2222123122213s x x x ⎡⎤=-+-+-<⎣⎦，则()()()2221232223x x x -+-+-<，所以1x ，2x ，3x 均不大于3，符合题意；丙同学：中位数为2，众数为2，有可能是2,2,4，不符合题意；丁同学：众数为2，方差大于1，有可能是2,2,6，不符合题意.故选B. 6.答案：C解析：100名考生成绩的平均数12.50.1013.50.1514.50.15x =⨯+⨯+⨯+15.50.3016.50.2517.50.0515.1⨯+⨯+⨯=.因为前三组频率直方图面积和为0.100.150.150.4++=，前四组频率直方图面积和为0.100.150.150.300.7+++=，所以中位数位于第四组内，设中位数为a ，则(15)0.300.1a -⨯=，解得15.3a ≈，故选C.7.答案：A解析：由题意知i i y x a =+，即()1210110110y x x x a x a a =⨯++++=+=+，方差{}222212101()()()10x a x a x s a x a x a x a ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⨯+-+++-++++-+⎣⎦⎣⎦⎣⎦()()()22212101410x x x x x x ⎡⎤=⨯-+-++-=⎢⎥⎣⎦. 故选A. 8.答案：C解析：本题考查线性回归方程截距的求解.因为11(3456) 4.5,(2.534 4.5) 3.544x y =+++==+++=，所以0.7 3.50.7 4.50.35a y x =-=-⨯=，故选C. 9.答案：C解析：设表中模糊看不清的数据为m .由表中数据得30x =， 3075m y +=，将30730,5m x y +==代入经验回归方程0.6754.9y x =+，得68m =.故选C. 10.答案：C解析：由22⨯列联表中的数据可得()22352515251004.167 3.84160405050K ⨯-⨯⨯=≈>⨯⨯⨯，因此，有95%的把握认为该市居民是否关注冰雪运动与性别有关.故选：C.11.答案：88解析：根据题意，设剔除最高分、最低分之后的13个数据为1a ，2a ，3a ，…，13a ，由这13个数据的平均分为92，方差为16， 知()1231319213a a a a ++++=,()()()222121319292921613a a a ⎡⎤-+-++-=⎣⎦, 解得123131196a a a a ++++=，2221213110240a a a +++=,对于原始得分96,58，1a ，2a ，3a ，…，13a ， 其平均数()12313196589015a a a a a =++++++=，其方差为()(()22222212131(9690)(5890)9090)908815s a a a ⎤⎡=-+-+-+-++-=⎣⎦. 12.答案：70解析：本题考查线性回归方程.依题意，将(45,35)代入回归直线方程 3.5y bx =+（提示：回归直线必过样本点中心），得3545 3.5b =⨯+，解得0.7b =，所以回归直线方程为0.7 3.5y x =+.令0.7 3.552.5y x =+=，得70x =. 13.答案：99.5%解析：因为2250(2015510)8.33325253020χ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯,又()27.8790.0050.5%P χ==≥,所以我们有99.5%的把握认为“是否同意限定区域停车与家长的性别有关”.14.答案：(1)产值增长率不低于40%的企业比例为21%，产值负增长的企业比例为20%(2)平均数与标准差的估计值分别为30%，17%解析：(1)根据产值增长率频数分布表得，所调查的100个企业中产值增长率不低于40%的企业频率为1470.21100+=.产值负增长的企业频率为20.02100=. 用样本频率分布估计总体分布得这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例为21%，产值负增长的企业比例为20%. (2)1(0.1020.10240.30530.50140.707)0.30100y =⨯-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=， ()52222111(0.40)2(0.20)100100i i i s n y y=⎡=-=⨯-⨯+-⨯⎣∑222240530.20140.4070.0296⎤+⨯+⨯+⨯=⎦，0.020.17s .所以，这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值分别为30%，17%.15.答案：（1）由所给数据，该市一天的空气质量等级为1,2,3,4的概率的估计值如下表：1(100203003550045)350100⨯+⨯+⨯=. （3）根据所给数据，可得22⨯列联表：根据列联表得25.82055457030K =≈⨯⨯⨯. 由于5.820 3.841>，故有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关.。