宁夏银川一中2012届高三第一次模拟考试数学(文)试题

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第Ⅱ卷第22～24题为选考题，其它题为必考题。

考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。

2．选择题答案使用2B 铅笔填涂,如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答，超出答题区域书写的答案无效。

4．保持卡面清洁，不折叠，不破损。

5．做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。

参考公式：样本数据n x x x ,,21的标准差 锥体体积公式s =13V Sh = 其中x 为样本平均数 其中S 为底面面积，h 为高 柱体体积公式 球的表面积，体积公式V Sh = 24S R π= 343V R π=其中S 为底面面积，h 为高 其中R 为球的半径第I 卷 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．1. 若集合A={x -2＜x ＜1}，B={x 0＜x ＜2}则集合A ∩ B= A. {x -1＜x ＜1} B. {x -2＜x ＜1}文科数学试卷 第1页(共6页)C. {x -2＜x ＜2}D. {x 0＜x ＜1} 2. 设,a b 为实数，若复数121ii a bi+=++，则 A. 31,22a b == B. 3,1a b ==C. 13,22a b == D. 1,3a b ==3. 已知函数,0,)21(0,)(21⎪⎩⎪⎨⎧≤>=x x x x f x则=-)]4([f fA. 4-B. 41- C. 4 D. 64．如图，给出的是11113599++++ 的值的一个程序框图，判断框内应填入的条件是 A ． 99i < B ．99i ≤C ．99i >D ．99i ≥5. 已知1cos sin ,54sin >-=θθθ，则θ2sin =（ ） A. 2524-B. 2512-C. 54- D. 2524 6．有下列命题：①设集合M = {x | 0< x ≤3},N = {x | 0< x ≤2},则“a ∈M ”是“a ∈N ”的充分而不必要条件； ②命题“若a M ∈，则b M ∉”的逆否命题是：若M a M b ∉∈则,； ③若q p ∧是假命题，则q p ,都是假命题；④命题P ：“01,0200>--∈∃x x R x ”的否定P ⌝：“01,2≤--∈∀x x R x ” 则上述命题中为真命题的是A ．①②③④B ．①③④C ．②④D ．②③④7．若点O 和点F 分别为双曲线15422=-y x 的中心和左焦点，点P 为双曲线右支上的任意一点，则FP OP ⋅的最小值为A. -6B. -2C. 0D. 10 8. 抛物线2ax y =的准线方程是1=y ,则a 的值为 A.41 B. 41- C.4 D.-49．若变量x y ，满足约束条件30101x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，则2z x y =-的最大值为A ．1-B ．0C ．3D ．410. 已知点n A （n ，n a ）（∈n N *）都在函数x y a =（01a a >≠，）的图象上，则37a a +与52a 的大小关系是A ．37a a +＞52aB ．37a a +＜52aC ．37a a +＝52aD ．37a a +与52a 的大小与a 有关11. 等边三角形ABC 的三个顶点在一个半径为1的球面上，O 为球心，G 为三角形ABC 的中心，且33=OG . 则ABC ∆的外接圆的面积为A ．πB ．2πC ．32π D ．43π 12. 设f (x )是定义在R 上的偶函数，对x ∈R ，都有f (x +4)=f (x )，且当x ∈[－2,0]时，f (x )＝(12)x －1，若在区间(－2，6]内关于x 的方程f (x )－log a (x ＋2)＝0(a ＞1)恰有3个不同的实数根，则a 的取值范围是A ．(1,2) B. (2，＋∞) C.D.第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13. 一个空间几何体的三视图(单位：cm )如图所示，则该几何体的体积为 3cm ． 14. 已知等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，且满足12323=-S S ，则数列}{n a 的公差是____________. 15．a ，b 为平面向量，已知a =（4，3），2a +b =（3，18），则a ，b 夹角的余弦值等于_______. 16. 某中学为了解学生的数学学习情况，在3000名学生中随机抽 取200名，并统计这200名学 生的某次数学考试成绩，得到 了样本的频率分布直方图．根文科数学试卷 第3页(共6页)PABCDEF据频率分布直方图，推测这 3000名学生在该次数学考试中 成绩小于60分的学生数是________．三、解答题：解答须写出文字说明，证明过程和演算步骤． 17．（本小题满分12分）如图，AB 是底部B 不可到达的一个塔型建筑 物，A 为塔的最高点．现需在塔对岸测出塔高AB ， 甲、乙两同学各提出了一种测量方法，甲同学的方法 是：选与塔底B 在同一水平面内的一条基线CD ，使B DC ,,不在同一条直线上，测出DCB ∠及CDB ∠的大小（分别用βα,表示测得的数据）以及D C ,间 的距离（用s 表示测得的数据），另外需在点C 测得 塔顶A 的仰角（用θ表示测量的数据），就可以求得 塔高AB ．乙同学的方法是：选一条水平基线EF ， 使B F E ,,三点在同一条直线上．在F E ,处分别测得塔顶A 的仰角（分别用βα,表示测得的数据）以及F E ,间的距离（用s 表示测得的数据），就可以求得塔高AB ．请从甲或乙的想法中选出一种测量方法，写出你的选择并按如下要求完成测量计算：①画出测量示意图；②用所叙述的相应字母表示测量数据，画图时B D C ,,按顺时针方向标注，F E ，按从左到右的方向标注；③求塔高AB ．18．（本小题满分12分）有两枚大小相同、质地均匀的正四面体玩具，每个玩具的各个面上分别写着数字1，2，3，5。

同时投掷这两枚玩具一次，记m 为两个朝下的面上的数字之和。

（Ⅰ）求事件“m 不小于6”的概率；（Ⅱ）“m 为奇数”的概率和“m 为偶数”的概率是不是相等？证明你作出的结论。

19．（本小题满分12分）在四棱锥P －ABCD 中，∠ABC ＝∠ACD ＝90°， ∠BAC ＝∠CAD ＝60°，PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中 点，PA ＝2AB ＝2．（Ⅰ）求四棱锥P －ABCD 的体积V ；（Ⅱ）若F 为PC 的中点，求证PC ⊥平面AEF ；FEDC BA20. （本题满分12分）设椭圆M ：)0(12222>>=+b a by a x的离心率为2，点A （a ，0），B （0，b -）原点O到直线AB的距离为3（Ⅰ）求椭圆M 的方程；（Ⅱ）设点C 为（a -，0），点P 在椭圆M 上（与A 、C 均不重合），点E 在直线PC 上，若直线PA 的方程为4y kx =-，且0CP BE ⋅=，试求直线BE 的方程．21．（本题满分12分）已知函数10)(23+-=ax x x f ，（Ⅰ）当1=a 时，求函数)(x f y =的单调递增区间；（Ⅱ）在区间]2,1[内至少存在一个实数x ，使得0)(<x f 成立，求实数a 的取值范围．请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.22.（本小题满分10分） 选修4—1；几何证明选讲．如图，A ，B ，C ，D 四点在同一圆上，BC 与AD 的延长线交于点E ，点F 在 BA 的延长线上．（Ⅰ）若21,31==EA ED EB EC ，求ABDC的值； （Ⅱ）若FB FA EF ⋅=2，证明：CD EF //．23.（本小题满分10分）选修4—4;坐标系与参数方程．在平面直角坐标系xoy 中，曲线1C 的参数方程为⎩⎨⎧==ϕϕsin cos b y a x （0>>b a ，ϕ为参数），在以O为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2C 是圆心在极轴上，且经过极点的圆．已知曲线1C 上的点)23,1(M 对应的参数3πϕ=，射线3πθ=与曲线2C 交于点)3,1(πD ．（I ）求曲线1C ，2C 的方程；（II ）若点),(1θρA ，)2,(2πθρ+B 在曲线1C 上，求222111ρρ+的值．24．（本小题满分10分）选修4—5；不等式选讲．文科数学试卷 第5页(共6页)设不等式1|12|<-x 的解集是M ，M b a ∈,． （I ）试比较1+ab 与b a +的大小；（II ）设max 表示数集A 的最大数．⎭⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+=b ab ba a h 2,,2max 22,求证：2≥h ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．38 14. 2 15. 651616. 600 三．解答题17. 解：选甲：示意图1在BCD △中，πCBD αβ∠=--．由正弦定理得sin sin BC CDBDC CBD=∠∠．所以sin sin sin sin()CD BDC s BC CBD βαβ∠==∠+·．在ABC Rt ∆中，)sin(sin tan tan βαβθ+⋅=∠=s ACB BC AB ．---------12分选乙：图2图2----------4分在AEF ∆中，αβ-=∠EAF ，由正弦定理得ααβsin )sin(AFEF =-，所以)sin(sin )sin(sin αβααβα-⋅=-⋅=s EF AF ．在ABF Rt ∆中，)sin(sin sin sin αββαβ-⋅⋅=⋅=s AF AB ．---------12分19．【解】（Ⅰ）在Rt △ABC 中，AB ＝1，∠BAC ＝60°，∴BC 3AC ＝2． 在Rt △ACD 中，AC ＝2，∠CAD ＝60°， ∴CD ＝3AD ＝4．∴S ABCD ＝1122AB BC AC CD ⋅+⋅115132233222=⨯⨯⨯ 3分MF EDCBA P则V＝123 ……………… 5分（Ⅱ）∵PA ＝CA ，F 为PC 的中点，∴AF ⊥PC ． ……………… 7分 ∵PA ⊥平面ABCD ，∴PA ⊥CD ． ∵AC ⊥CD ，PA ∩AC ＝A ，∴CD ⊥平面PAC ．∴CD ⊥PC ． ∵E 为PD 中点，F 为PC 中点，∴EF ∥CD ．则EF ⊥PC ． ……… 11分 ∵AF ∩EF ＝F ，∴PC ⊥平面AEF ．…… 12分20. 解 （Ⅰ）由22222222112c a b b e a a a -===-=得a = ………………2分 由点A （a ，0），B （0，b -）知直线AB 的方程为1x ya b+=-， 于是可得直线AB的方程为0x ===，得b =22b =，24a =，………………4分所以椭圆M 的方程为22142x y += ………………5分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知A 、B 的坐标依次为（2，0）、(0,， 因为直线PA 经过点(2,0)A ，所以024k =-，得2k =， 即得直线PA 的方程为24y x =-因为0CP BE ⋅= ，所以1CP BE k k ⋅=-，即1BE CPk k =- ………………7分设P 的坐标为00(,)x y ，(法Ⅰ)由⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=0424222y x x y 得P(98,914-)，则41-=PC K ………………10分 所以K BE =4又点B的坐标为(0,，因此直线BE的方程为4y x =………………12分 (法Ⅱ)由椭圆的性质 22a b K K PB PA -=⋅，因为2=PA K又2000200021222442CP y y y k x x x ⋅==-=-=-+- 得14CPk -=，即直线BE 的斜率为4又点B的坐标为(0,，因此直线BE的方程为4y x =21．(I)当1=a 时，x x x f 23)('2-=当0)('>x f 得320><x x 或 所以函数上为增与在),32()0,()(+∞-∞=x f y（II ）解1：22()=323()3f x x ax x x a '-=-(12)x ≤≤ 当213a ≤，即32a ≤时，()0f x '≥，()f x 在[],12上为增函数， 故()=(1)min f x f =11a -，所以11a -0<， 11a >，这与32a ≤矛盾……………8分 当2123a <<，即332a <<时，若213x a≤<，()0f x '<； 若223a x <≤，()0f x '>，所以23x a=时，()f x 取最小值， 因此有2()3f a 0<，即338210273a a -+31010027a =-+<，解得3a >，这与332a <<矛盾； ………………10分 当223,a ≥即3a ≥时，()0f x '≤，()f x 在[],12上为减函数，所以()=(2)min f x f=184a -，所以1840a -<，解得92a >，这符合3a ≥． 综上所述，a 的取值范围为92a >． ………………12分 解2：有已知得：2231010x x x x a +=+>， ………………7分 设()()21102≤≤+=x x x x g ，()3101x x g -='， ………………9分 21≤≤x ，()0<'∴x g ，所以()x g 在[]2,1上是减函数． ………………10分()()292min ==g x g ，所以92a >． ………………12分22.（本小题满分10分） 选修4—1；几何证明选讲．FE D CBA证明：（1） D C B A ,,,四点共圆，∴EBF EDC ∠=∠，又 AEB CED ∠=∠， ∴CED ∆∽AEB ∆， ABDC EB ED EA EC ==∴， 21,31==EA ED EB EC ，∴66=AB DC ． （2） FB FA EF ⋅=2，∴FE FB FA EF =， 又 B F E E F A ∠=∠，∴F A E ∆∽F E B ∆，∴E B F F E A ∠=∠，又 D C B A ,,,四点共圆，∴EBF EDC ∠=∠，∴EDC FEA ∠=∠，∴CD EF //.23.（本小题满分10分）选修4—4;坐标系与参数方程．解：（I ）将)23,1(M 及对应的参数3πϕ=，代入⎩⎨⎧==ϕϕsin cos b y a x ，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==3sin 233cos 1ππb a ， 即⎩⎨⎧==12b a ，所以曲线1C 的方程为⎩⎨⎧==ϕϕsin cos 2y x （ϕ为参数），或1422=+y x . 设圆2C 的半径为R ,由题意,圆2C 的方程为θρcos 2R =,(或222)(R y R x =+-). 将点)3,1(πD 代入θρcos 2R =,得3cos 21πR =,即1=R .(或由)3,1(πD ,得)23,21(D ,代入222)(R y R x =+-,得1=R ), 所以曲线2C 的方程为θρcos 2=,或1)1(22=+-y x . （II ）因为点),(1θρA ，)2,(2πθρ+B 在在曲线1C 上, 所以1s i n 4c o s 221221=+θρθρ,1cos 4sin 222222=+θρθρ, 所以45)c o s 4s i n ()s i n 4c o s (1122222221=+++=+θθθθρρ.。