基于模糊控制理论的二级倒立摆控制算法

收稿日期:2005202220基金项目:陕西省自然科学基金资助项目(2004F29)作者简介:过润秋(19602),女,教授.基于模糊控制理论的二级倒立摆控制算法过润秋,洪 旭,苏旺旺(西安电子科技大学机电工程学院,陕西西安 710071)摘要:采用模糊控制理论研究了二级倒立摆控制问题.运用最优控制方法设计了融合函数以降低模糊控制器的输入变量维数,大大减少模糊控制的规则数,并研究了量化因子对控制效果的影响,通过设置阈值使量化因子可自动调节,进而提高模糊控制器的性能品质.仿真和实验结果都证明这种模糊控制算法规则数少,响应速度快,有良好的稳定性和鲁棒性.关键词:二级倒立摆;模糊控制;融合函数;量化因子中图分类号:TP273 文献标识码:A 文章编号:100122400(2006)0120111205Th e con trol ar ith m etic for th e doub le i nver ted pendu lu mba sed on the fuzzy con trol theoryG UO Ru i 2qi u ,HO NG Xu,SU Wang 2wa ng(School ofM echano 2electr onic Engi n eeri n g ,X idian Un i v .,X i c an 710071,Chi n a)Abstr act : The doub l e inverted pendu l u m is a mu lti v ariable ,nonli n ear ,strong 2co mp lying syste m.The f u zzy control theory is introduced to study t h e contr olli n g proble m of the double i n verted pendu l u m i n this paper .The di m ensions of i n pu t varieties of a f uzz y con troll e r are depressed by design i n g a f u si o n f unction using the opti m ization control theory ,and it can reduce the r u les of f uz zy greatl y .The inf ection of quantificati o n f actors to t h e eff ect of control is stud ied .The qua lity of the f uzzy contr oller is i m proved by add i n g auto tur n i n g quantification f actors .Si m u l a ti o n and experi m en t prove that th is f uzz y control ar ithmetic has the advantages of f e w r u les ,f ast speed ,good stability and good r obustness .K ey W ords : doub le i n verted pendu l u m;f uzz y contro;l f usion f uncti o n ;quantification f actors 倒立摆系统为典型的非线性多变量和自然不稳定系统,是研究控制理论的理论实验手段,被称为是/控制领域中的一颗明珠0[1].其动态过程与人类的行走姿态类似,其平衡与火箭的发射姿态调整类似.许多研究人员一直将它视为典型的研究对象,不断从中发掘出新的控制策略,相关的科研成果在航天科技和机器人学方面获得了广阔的应用.基于经典和现代控制理论设计倒立摆系统控制器已屡见不鲜[2,3].随着智能控制算法研究的发展,模糊控制、神经网络、免疫反馈算法[4]等智能控制方法的优越性得到了控制界的普遍认同.各国学者对模糊控制倒立摆系统进行了大量研究,文献[5]提出两种模糊串级控制方案,用来解决倒立摆这类多变量系统模糊控制时的规则爆炸问题.对于二级倒立摆这样典型的M I S O 系统,随着系统的复杂化,模糊规则的总数都会随着输入变量的个数指数增长,即/模糊规则爆炸问题0,不利于实时控制.笔者借助融合函数合并状态变量,把模糊控制器的输入数减少,解决了/模糊规则爆炸问题0.但同时由于状态合并大大增加了制定模糊规则的难度,使模糊控制策略模拟人的思维、控制方法简单易行的优点丧失了.因此为模糊控制器设置了一个阈值,使量化因子可根据E 和E C 实时改变,大大改善了模糊控制器的性能.这种模糊控制器书写简单、收敛速度快、控制效率高、保2006年2月第33卷 第1期西安电子科技大学学报(自然科学版)J OURNAL OF X I DIA N UN I VER SI TYFeb.2006Vo.l 33 N o .1证了实时性.实验证明,这种新型控制方法较传统模糊逻辑控制方法具有更好的控制效果.1 二级倒立摆系统的数学模型二级倒立摆的系统结构如图1所示.图1 二级倒立摆装置示意图倒立摆装置由沿导轨运动的小车和通过转轴固定在小车上的摆体组成.在轨道一端装有用来测量小车位移r 的光电编码器.摆体与小车之间、摆体与摆体之间由转轴连接,并在连接处有2个光电编码器分别用来测量一级摆角度H 1和二级摆的角度H 2.一摆、二摆可绕各自的转轴在水平导轨所在的铅垂面内自由转动而小车则由交流伺服电机、皮带轮、传动带带动在水平导轨上左右运动,从而使倒立摆稳定在竖直位置并且可定位在导轨的特定位置.这里采用分析力学中的Lagrange 方程建立二级倒立摆系统的微分方程[6]H 1(H 1,H 2)&r&H 1&H 2=H 2(H 1,H 2,ÛH 1,ÛH 2)ÛrÛH 1ÛH 2+h 3(H 1,H 2)+h 0u ,(1)其中H 1(H 1,H 2)=m 0+m 1+m 2(m 1l 1+m 2L 1)cos H 1m 2l 2cos H 2(m 1l 1+m 2L 1)cos H 1J 1+m 1l 21+m 2L 21m 2l 2L 1cos (H 2-H 1)m 2l 2cos H 2m 2l 2L 1cos (H 2-H 1)J 2+m 2l 22 ,(2)H 2(H 1,H 2,ÛH 1,ÛH 2)=-f 0(m 1l 1+m 2l 1)ÛH 1sin H 1m 2l 2ÛH 2si n H 20-f 1-f 2m 2l 2L 1ÛH 2sin (H 2-H 1)+f 20-m 2l 2L 1ÛH 1sin (H 2-H 1)+f 2-f 2,(3)h 3(H 1,H 2)=0(m 1l 1+m 2L 1)g sin H 1m 2l 2g si n H 2T,(4)h 0=100T.(5)基本物理参数见表1.在倒立摆竖直位置附近H 1=H 2=0处线性化,可得到二级倒立摆的状态方程和输出方程为ÛX =AX +B u ,Y =C X ,(6)其中X =r H 1H 2Ûr ÛH 1ÛH 2T, Y =r H 1H 2T,112西安电子科技大学学报(自然科学版) 第33卷A =O 3I 3H -11(0,0)G H -11(0,0)H 2(0,0,0,0), B =O 3@1H-11(0,0)h 0,C =10000001000000100, G =0(m 1l 1+m 2L 1)gm 2l 2g,这里O 3为3阶零矩阵,I 3为3阶单位阵,O 3@1=00T.表1 二级倒立摆参数表符号含 义取 值m 0小车质量1.32kg m 1一级摆杆的质量0.215kg m 2二级摆杆的质量0.132kgJ 1一级摆绕质心的转动惯量0.008398kg #m 2J 2二级摆绕质心的转动惯量0.01825kg #m 2l 1一级摆杆质心到转轴O 1的距离0.13m l 2二级摆杆质心到转轴O 2的距离0.22m L 1一级摆杆的长度0.16m L 2二级摆杆的长度0.40m f 0小车与导轨间的滑动摩擦系数23.6782N #s #m -1f 1一级摆杆绕转轴O 1转动的摩擦阻力矩系数0.003425N #s #m f 2二级摆杆绕转轴O 2转动的摩擦阻力矩系数0.003425N #s #m g当地的重力加速度9.8m /s 22 模糊控制器设计由线性化模型式(6)可看出二级倒立摆系统蕴含6个状态变量,若直接设计模糊控制器则必然遇到规则数目膨胀的困难.例如,6个输入变量各划分7个模糊子集,则完整的模糊控制规则集将由76=117649条规则构成,这显然在模糊规则设计和实时性上都不满足要求.为了解决以上的模糊规则爆炸问题,可模仿人类简化问题的思路将单一的复杂控制策略转化为多级简单控制策略的嵌套[7]:Y =F 2[F 1(X )].其中X ,Y 分别表示控制器的输入和输出向量,F 1称为/融合函数0,F 2称为/作用函数0.这里先利用F 1对输入变量X 进行降维处理,再利用算法F 2根据前级的输出进行控制.211 设计融合函数利用线性系统的输出信息具有可直接融合的特点,构造了一个线性融合函数:¥用最优控制理论通过M atlab 仿真计算出一组可让倒立摆系统的线性模型基本稳定的状态反馈矩阵为K =K r K H 1K H 2K Ûr K ÛH 1K ÛH 2.¦构造融合函数为 F 1(X )=K rK 2K H 1K 2K H 2K 20000K Ûr K 2K ÛH1K2K ÛH 2K2,其中K2=(K 2r +K 2H 1+K 2H 2+K 2Ûr +K 2ÛH 1+K 2ÛH 2)1/2.§降维、融合成综合误差E 和综合误差变化E C :E E C=F 1(X )X .212 设计模糊控制器由融合函数降维后得到E 和E C 作为输入量,所以只要设计一个二维模糊控制器,这就使模糊控制规则113第1期 过润秋等:基于模糊控制理论的二级倒立摆控制算法图2 隶属度函数大大简化.输入变量、输出变量都采用三角形、全交迭、均匀分布的隶属函数,如图2所示,每个变量用7个模糊子集N BN MN SZ EP SP MP B 描述.模糊规则如表2所示.采用重心法解模糊.为进行模糊化处理,必须将模糊控制器的输入变量E (或者E C )从基本论域[-x e ,x e ](或[-x ec ,x ec ])转换到相应的模糊集的论域[-1,1].同样,每次采样经模糊控制算法给出的控制量论域[-1,1],还不能直接控制对象,还必须将其转换到控制对象能接受的基本论域[-y u ,y u ]中去.在文中误差的量化因子K e ,误差变化率的量化因子K ec 和控制量的比例因子K u 由下式确定:K e =1/x e ,K ec =1/x ec ,K u =y u .在实验中,把模糊规则通过模糊推理离线优化设计成一张控制表,并存放在计算机中以便于实时控制,这时K e ,K ec ,K u 对控制效果的影响更加显著,因而对量化因子的优化设计就显得非常重要[8].经过大量仿真实验,得到以下结论:1)K e 越大,摆杆回到竖直位置的速度越快,模糊控制器的死区越小,系统分辨率越高.但K e 过大时,摆杆速度过快,使摆杆在竖直位置附近高频振动,可能导致系统不稳定.2)K ec 越大,抑制摆杆偏离竖直位置的能力增强,增加了系统稳定性.但K ec 过大时,可能延长摆杆回复到平衡位置的时间.3)K u 增大,小车受到的控制量相应增大,摆杆的响应速度加快.但K u 过大时,会导致控制量过大,使摆杆偏离竖直位置过大乃至使系统不稳定.表2 模糊规则表E E CN B N M N S Z E P S P M P B N B N B N B N B N M N M N S Z E N M N B N B N M N M N S Z E P S N S N B N M N M N S Z E P S P M Z E N M N M N S Z E P S P M P M P S N M N S Z E P S P M P M P B P M N S Z E P S P M P M P B P B P BZ EP SP MP MP BP BP B图3 仿真曲线一般情况下,根据系统初始状态确定的量化因子一般较小,可能造成死区,如在平衡点附近出现振荡、波动,影响二级倒立摆系统稳定.为此,有必须在平衡点附近切换量化因子.这里采用的K e ,K ec ,K u 是可根据E,C E 实时改变的:当E \ E 时,K e =K e 1;当E [ E 时,K e =K e 2.当E C >E C 时,K ec =K ec 1;当E C [E C 时,K ec =K ec 2.根据多次仿真,对阈值 E ,E C 寻优确定上述参数.3 实验结果311 系统仿真结果二级倒立摆系统的控制目标是:当系统达到稳定时,倒立摆系统可稳定在导轨上的特定位置.根据二级倒立摆线性化的状态方程构建系统数学模型,用Si m ulink410构建仿真系统[9].仿真曲线如图3所示.仿真曲线表明:初始状态为r =0,H 1=H 2=0.1rad 时,摆杆角度的最大超调量也不超过0.2rad ,r ,H 1,H 2在3.5s 内基本回到零,系统很快就回到了平衡位置.证明了文中提出的模糊控制器有良好的稳定性和快速性.114西安电子科技大学学报(自然科学版) 第33卷312 系统实验结果实验中以GLI P2003型二级倒立摆为控制对象,在PC 机上用Borland C++实现上述模糊控制算法.系统的采样时间为5ms .实验数据如图4所示.图4 实验数据曲线实验中,在0时刻敲击二级摆杆,给系统施加扰动,二级摆杆角度偏差很快减小并逐渐回复到零,小车的位置最大偏差也小于5c m.实验结果证明,模糊控制算法不仅成功控制了二级倒立摆系统,还具有较好的鲁棒性.4 结束语二级倒立摆是典型的多输入、非线性、强耦合系统.通过设计融合函数降低了控制器的输入维数,解决了用模糊控制解决多输入系统时遇到的模糊规则爆炸问题,使设计出实用的模糊控制器成为可能;又设置了阈值调节量化因子,使量化因子可在平衡点附近自动切换,提高了模糊控制器的适应能力,改善了控制精度.仿真和实物控制实验证明了这种模糊控制算法可实现二级倒立摆系统的稳定控制.这种控制方法也可应用到其他多变量、非线性系统的控制问题中去.参考文献:[1]M e i er H,F ar w i g Z ,Unbehauen H.Disc rete Co m puter Control of a Tr i p l e 2i nverted Pendul um [J].Opti m a l ControlAppli catio ns&M e t hods ,1990,11(2):1572171.[2]F uruta K ,Ka ji w a ra H,Kosuge K .D i gita l Co ntrol of a Do uble Inverted P endulu m o n an Incli ned R a il[J].Int J Contro,l 1980,32(5):9072924.[3]E ltohamy K G ,Kuo C Y .R ea l Ti m e Stabilizati on of a Tr i ple L i nk Inverted P endulu m U si ng S i ngle Control Inpu t[J].I EE P roc 2ControlTheory App,l 1997,144(5):4982504.[4]Guo R unqi u ,W ang X i aohong .The R esearch on Te m perature Autocontrol Based o n t he I mm une F eedback M echan is m [J].Journa l of X i dian Un i versity ,2003,30(6):7172721.[5]F an X i ngzhe ,Cheng N i ng ,ZhangN aiyao .T 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