基金使用计划--数学建模
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数学建模与全国大学生数学建模竞赛
可谓一次参赛终生受益，受到了大学生的积极相 应。
2011 年，来自全国33个省/市/自治区(包括香港和澳门
特区)及新加坡、美国、伊朗的1251所院校、19490个队 （其中本16008队、专3482队）、58000多名大学生报 名参加本项竞赛。
以学校为单位报名参赛，不能以个人或其他机构 的名义报名。可多次参加。
/undergraduate/contest s/mcm/ 美国官方网站
A题 城市表层土壤重金属污染分析
随着城市经济的快速发展和城市人口的不断增加，人类活动对城市环境质 量的影响日显突出。对城市土壤地质环境异常的查证，以及如何应用查证获得 的海量数据资料开展城市环境质量评价，研究人类活动影响下城市地质环境的 演变模式，日益成为人们关注的焦点。 按照功能划分，城区一般可分为生活区、工业区、山区、主干道路区及公 园绿地区等，分别记为1类区、2类区、……、5类区，不同的区域环境受人类 活动影响的程度不同。
最终正式报名参赛。
三、参赛的作用和意义
现实工作的需要 我们的教育从小学到大学，一直是以应试教育为 主，禁锢了学生创新能力的发挥，忽视了学生创 新能力的培养。 数学建模竞赛不同于传统的竞赛，它所提倡的是 创新思维。在其解题的过程中，学生能够充分发 挥自己的创新能力，你的答案不一定是最优的， 但建模方法要有特色、有创新，就能够得到肯定 和奖励。答案、方法都不一定唯一。
数学结构可以是数学公式，算法、表格、图示等。
数学建模就是建立数学模型，建立数学模型的全 过程就是数学建模的过程。
数学建模是一种数学的思考方法，是运用数学的 语言和方法，通过抽象、简化建立能近似刻划并" 解决"实际问题的一种强有力的数学手段。
2011 年，来自全国33个省/市/自治区(包括香港和澳门
特区)及新加坡、美国、伊朗的1251所院校、19490个队 （其中本16008队、专3482队）、58000多名大学生报 名参加本项竞赛。
以学校为单位报名参赛，不能以个人或其他机构 的名义报名。可多次参加。
/undergraduate/contest s/mcm/ 美国官方网站
A题 城市表层土壤重金属污染分析
随着城市经济的快速发展和城市人口的不断增加，人类活动对城市环境质 量的影响日显突出。对城市土壤地质环境异常的查证，以及如何应用查证获得 的海量数据资料开展城市环境质量评价，研究人类活动影响下城市地质环境的 演变模式，日益成为人们关注的焦点。 按照功能划分，城区一般可分为生活区、工业区、山区、主干道路区及公 园绿地区等，分别记为1类区、2类区、……、5类区，不同的区域环境受人类 活动影响的程度不同。
最终正式报名参赛。
三、参赛的作用和意义
现实工作的需要 我们的教育从小学到大学，一直是以应试教育为 主，禁锢了学生创新能力的发挥，忽视了学生创 新能力的培养。 数学建模竞赛不同于传统的竞赛，它所提倡的是 创新思维。在其解题的过程中，学生能够充分发 挥自己的创新能力，你的答案不一定是最优的， 但建模方法要有特色、有创新，就能够得到肯定 和奖励。答案、方法都不一定唯一。
数学结构可以是数学公式，算法、表格、图示等。
数学建模就是建立数学模型，建立数学模型的全 过程就是数学建模的过程。
数学建模是一种数学的思考方法，是运用数学的 语言和方法，通过抽象、简化建立能近似刻划并" 解决"实际问题的一种强有力的数学手段。
数学建模 历年试题及论文
拟合、规划 图论、层次分析、整数队论、图论 微分方程、优化 非线性规划 非线性规划 随机模拟、图论 多目标优化、非线性规划 图论、组合优化 随机优化、计算机模拟 0-1规划、图论
2000 2000 B题 钢管订购和运输 缺 2000 C题 飞越北极 缺 2000 D题 空洞探测 缺 2001 A题 血管的三维重建 数据 曲线拟合、曲面重建 缺 多目标规划 2001 B题 公交车调度 缺 2001 2001 C题 基金使用计划 缺 2001 D题 公交车调度 缺 2002 A题 车灯线光源的优化设计 非线性规划 Y 2002 B题 彩票中的数学 单目标决策 Y 2002 2002 C题 车灯线光源的计算 Y 2002 D题 赛程安排 Y 2003 A题 SARS的传播 微分方程、差分方程 Y 2003 B题 露天矿生产的车辆安排 整数规划、运输问题 Y 2003 2003 C题 SARS的传播 缺 2003 D题 抢渡长江 Y 2004 A题 奥运会临时超市网点设计 数据 统计分析、数据处理、优化 缺 2004 B题 电力市场的输电阻塞管理 数据拟合、优化 缺 2004 2004 C题 饮酒驾车 缺 2004 D题 公务员招聘 缺 2005 A题 长江水质的评价和预测 数据 聚类、模糊评判、主成分分析、多目标决策 缺 2005 B题 DVD在线租赁 数据 多目标规划 缺 2005 2005 C题 雨量预报方法的评价 数据 缺 2005 D题 DVD在线租赁 数据 缺 2006 A题 出版社的资源配置 数据 线性规划、多目标规划 Y 2006 B题 艾滋病疗法的评价及疗效的预测 回归、线性规划 数据 Y 2006 2006 C题 易拉罐形状和尺寸的最优设计 缺 2006 D题 煤矿瓦斯和煤尘的监测与控制 数据 缺 2007 A题 中国人口增长预测 数据 微分、差分方程 Y 2007 B题 乘公交，看奥运 数据 图论、0-1 规划、动态规划 Y 2007 2007 C题 手机“套餐”优惠几何 数据 Y
数学建模数学建模简介
数学建模的一般步骤
实际问题
抽象、简化、假设 确定变量、参数
建立数学模型并数学、数值地求解、确定参数
用实际问题的实测数据等来检验该数学模 型
不符合实际
符合实际
交付使用，从而可产生经济、社会效益
数学模型（Mathematical Model）
• 数学模型是对于现实世界的一个特定对象， 一个特定目的，根据特有的内在规律，做出 一些必要的假设，运用适当的数学工具，得 到一个数学结构。
A 2001
B A 2002 B A 2003 B A 2004 B
血管的三维重建 公交车调度
车灯线光源的优化设计 彩票中的数学
非典型肺炎的传染和控制 露天矿生产的车辆安排 奥运会临时超市网点设计 电力市场的输电阻塞管理
2005 2006 2007 2008
A
长江水质的评价和预测
B
DVD 在线租赁
年份 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 -2009
省（市、自治区）数 10 16 21 23 25 26 26 26 33
院校数 79 101 196 259 337 373 400 460
1137
队数 314 420 867 1234 1683 1874 2103 2657 15042（12272 ＋2770）
• 全国高校规模最大的课外科技活动 • 1999年开始设立大专组的竞赛
竞赛内容：题目由工程技术、管理科学中的实际问 题简化而成，没有事先设定的标准答案，但留有充 分余地供参赛者发挥其聪明才智和创造精神。
竞赛形式：三名大学生组成一队，可以自由地收集 资料、调查研究，使用计算机、互联网和任何软件， 在三天时间内分工合作完成一篇论文。
基金使用计划__数学建模
题目基金使用计划摘要学校基金会有一笔基金，打算将其存入银行或购买国库券，不同的理财方式当然有不同的最终奖金数额，本论文就是通过建模找出是奖金最大化的理财方式，根据题目中的不同利率找出最好的处理方式。
第一个问题在只能存款时使奖金最大，通过对题目中不同年份的存款利率可知，为了使奖金最大化要使奖金不能出现闲置，又因为奖金都是在年末发放，所以活期、半年期都不能选择，依题意可得只有在每年年初可以建立线性方程组，设出奖金，使用lingo软件对其进行编程求解可以计算出奖金的最大额： 万元。
通过解线性方程组还可以求解出每年基金的投资方式以达到Z109.8169最大奖金数额，解出奖金最多的问题。
第二个问题在既可以存款又可以购买国库券时解出奖金的最大数额，通过分析题目中的数据可知国库券的利率要大于存款利率，所以在两种方式都可以的情况下优先考虑购国库券，由题目可知每年都会发放国库券但是发放日期不定。
在这种情况下就要分三种情况讨论，国库券分别每年在年中发放、在年初发放、在其他时期发放。
在国库券分为三种情况发放可以按三种情况分别列出线性方程组。
求解出每种情况下的奖金数额，奖金数额分别为131.7896万元、146.8578万元、127.5222万元，同样可以解出在三种情况下每年年初可以选择的投资方式。
第三个问题是在没有要求采取哪种方式时解出最大奖金额，从题目中给出的条件，在第三年的时候因为学校要举行校庆活动，为了鼓舞师生在这一年中奖金数额要比往年增加20%，解决这个问题可以分为两种情况。
第一种在只能选择存款，这种情况可以利用问题一的模型，只需要把第三年的奖金改为原来的倍。
解出线性方程组，此种情况下的奖金数额是107.5524万元。
第二种在既可以选择国库券又可以存款，在这种情况下又可以分为三种小情况分别是国库券在年中、年初、一年中其他时间。
采用问题二中的模型分别列出线性方程组，求解出每种小情况下的奖金数额129.0966万元、143.7854万元、124.8507万元。
国赛历届数学建模赛题题目与解题方法
历届数学建模题目浏览：1992--20091992年 (A) 施肥效果分析问题(北京理工大学：叶其孝）(B) 实验数据分解问题（华东理工大学:俞文此; 复旦大学：谭永基）1993年 (A) 非线性交调的频率设计问题（北京大学：谢衷洁）(B) 足球排名次问题（清华大学：蔡大用）1994年 (A) 逢山开路问题（西安电子科技大学：何大可）(B) 锁具装箱问题（复旦大学:谭永基，华东理工大学:俞文此）1995年 (A) 飞行管理问题（复旦大学:谭永基，华东理工大学:俞文此）(B) 天车与冶炼炉的作业调度问题（浙江大学：刘祥官,李吉鸾）1996年 (A) 最优捕鱼策略问题（北京师范大学：刘来福）(B) 节水洗衣机问题（重庆大学：付鹂）1997年 (A) 零件参数设计问题（清华大学：姜启源）(B) 截断切割问题（复旦大学:谭永基，华东理工大学:俞文此）1998年 (A) 投资的收益和风险问题（浙江大学：陈淑平）(B) 灾情巡视路线问题（上海海运学院：丁颂康）1999年 (A) 自动化车床管理问题（北京大学：孙山泽）(B) 钻井布局问题（郑州大学：林诒勋）1999年(C) 煤矸石堆积问题（太原理工大学：贾晓峰）(D) 钻井布局问题（郑州大学：林诒勋）2000年 (A) DNA序列分类问题（北京工业大学：孟大志）(B) 钢管订购和运输问题（武汉大学：费甫生）(C) 飞越北极问题（复旦大学：谭永基）(D) 空洞探测问题（东北电力学院：关信）2001年 (A) 血管的三维重建问题（浙江大学：汪国昭）(B) 公交车调度问题（清华大学：谭泽光）(C) 基金使用计划问题（东南大学：陈恩水）(D) 公交车调度问题（清华大学：谭泽光）2002年 (A) 车灯线光源的优化设计问题（复旦大学:谭永基，华东理工大学:俞文此）(B) 彩票中的数学问题（解放军信息工程大学：韩中庚）(C) 车灯线光源的优化设计问题（复旦大学:谭永基，华东理工大学:俞文此）(D) 赛程安排问题（清华大学：姜启源）2003年 (A) SARS的传播问题（组委会）(B) 露天矿生产的车辆安排问题（吉林大学：方沛辰）(C) SARS的传播问题（组委会）(D) 抢渡长江问题（华中农业大学：殷建肃）2004年 (A) 奥运会临时超市网点设计问题(北京工业大学：孟大志)(B) 电力市场的输电阻塞管理问题(浙江大学:刘康生)(C) 酒后开车问题（清华大学：姜启源）(D) 招聘公务员问题（解放军信息工程大学：韩中庚）2005年 (A) 长江水质的评价和预测问题（解放军信息工程大学：韩中庚）(B) DVD在线租赁问题(清华大学:谢金星等)(C) 雨量预报方法的评价问题(复旦大学:谭永基)(D) DVD在线租赁问题(清华大学:谢金星等)2006年 (A) 出版社的资源配置问题(北京工业大学：孟大志)(B) 艾滋病疗法的评价及疗效的预测问题（天津大学：边馥萍）(C) 易拉罐的优化设计问题（北京理工大学：叶其孝）(D) 煤矿瓦斯和煤尘的监测与控制问题（解放军信息工程大学：韩中庚）2007年 (A) 中国人口增长预测(B) 乘公交，看奥运(C) 手机“套餐”优惠几何(D) 体能测试时间安排2008年（A）数码相机定位，（B）高等教育学费标准探讨，（C）地面搜索，（D）NBA赛程的分析与评价2009年（A）制动器试验台的控制方法分析（B）眼科病床的合理安排（C）卫星和飞船的跟踪测控（D）会议筹备历年全国数学建模试题及解法归纳赛题解法93A非线性交调的频率设计拟合、规划93B足球队排名图论、层次分析、整数规划94A逢山开路图论、插值、动态规划94B锁具装箱问题图论、组合数学95A飞行管理问题非线性规划、线性规划95B天车与冶炼炉的作业调度动态规划、排队论、图论96A最优捕鱼策略微分方程、优化96B节水洗衣机非线性规划97A零件的参数设计非线性规划97B截断切割的最优排列随机模拟、图论98A一类投资组合问题多目标优化、非线性规划98B灾情巡视的最佳路线图论、组合优化99A自动化车床管理随机优化、计算机模拟99B钻井布局 0-1规划、图论00A DNA序列分类模式识别、Fisher判别、人工神经网络00B钢管订购和运输组合优化、运输问题01A血管三维重建曲线拟合、曲面重建赛题解法01B 公交车调度问题多目标规划02A车灯线光源的优化非线性规划02B彩票问题单目标决策03A SARS的传播微分方程、差分方程03B 露天矿生产的车辆安排整数规划、运输问题04A奥运会临时超市网点设计统计分析、数据处理、优化04B电力市场的输电阻塞管理数据拟合、优化05A长江水质的评价和预测预测评价、数据处理05B DVD在线租赁随机规划、整数规划06A出版社书号问题整数规划、数据处理、优化06B Hiv病毒问题线性规划、回归分析07A 人口问题微分方程、数据处理、优化07B 公交车问题多目标规划、动态规划、图论、0-1规划08A 照相机问题非线性方程组、优化08B 大学学费问题数据收集和处理、统计分析、回归分析赛题发展的特点：1. 对选手的计算机能力提出了更高的要求：赛题的解决依赖计算机，题目的数据较多，手工计算不能完成，如03B，某些问题需要使用计算机软件，01A。
数学建模练习题及编程分析
1.某储蓄所每天的营业时间是上午9时到下午5时。
根据经验，每天不同时间段所需要的服务员数量如下表示。
储蓄所可以雇佣全时和半时两类服务员。
全时服务员每天报酬100元，从上午9时到下午5时工作，但中午12时到下午2时之间必须安排1h的午餐时间。
储蓄所每天可以雇佣不超过3名的半时服务员，每个半时服务员必须连续工作4h,报酬40元，问储蓄所应如何雇用全时和半时服务员。
如果不能雇佣半时服务员，每天至少增加多少费用。
如果雇佣半时服务员的数量没有限制，每天可以减少多少费用。
（全时7人，半时3人；280；260）解：（1）设：m为全时工作人员总数，n为12~1时先去吃饭的全时人数x为半时工作人员总数，y为12~1时候补全时人员的半时人数可以得到模型：目标函数：minz=100m+40x约束条件：-+6m n y+8m x+全时人数减去吃饭的人数加上来替补的半时人数应满足12~1时人员需求，n x5+ 1~4时所有的半时人员全在，第一批吃饭回来的全时人数加上所有半时人数n x5满足m+x-y³8编程如下：min=100*m+40*x;x<3;m+x>8;m-n+y>6;n+x>5;m+x-y>8;@gin(m);@gin(n);@gin(x);@gin(y);结果：所需佣金：820元。
（2）不用半时人员模型：目标函数：minz=100m约束条件：m-n³ 6n³ 5程序：min=100*m;m-n>6;n>5;@gin(m);结果：1100 则每天增加费用为1100-820=290，单位：元。
（3）因为2个半时人员就可替代1个全时人员，并且少花20元佣金，所以尽可能多的雇佣半时员。
设 h,g分别为全天前4个小时和后4个小时的半时人员数。
模型如下：目标函数：Minz=40h+40g约束条件：h³ 6g³8编程如下：min=40*g+40*g;h>6;g>8;@gin(h);@gin(g);结果为560，所以节省820-560=260元。
数学建模：第六章建模范例三
(2)
103.133872
(3)
101.310287
(3,1)
98.472872
(5)
96.731702
(5,1)
94.787533
(5,2)
92.480158
(5,3)
90.844949
(5,3,1)
4108.656375
(5,5)
*
M=5000万元，n=10年基金使用最佳方案（单位：万元）
3
改为
4
利用
5
软件求解（程序略）M=5000万元，
6
n=10年基金使用最佳方案：（单位：万元）
7
*
M=5000万元，n=10年基金使最佳方案（单位：万元）
存1年定期
存2年定期
存3年定期
存5年定期
取款数额（到期本息和）
每年发放奖学金数额
第一年初
105.650679
103.527252
220.429705
2.255
*
由上表可得，任何最佳存款策略中不能存在以下的存款策略(1,1),(2,1),(2,2),(3,2)和（3,3）。
由1,2,3,5四种定期能够组成的策略（5年定期不重复） 只能有（1）,（2）,（3）,（3,1）,(5), (5,1), (5,2), (5,3), (5,3,1)九种，
*
根据以上的推理，可得n年的最优存储方案公式二为：
据上公式用
可以求得n=10年，M=5000万元时
基金使用的最优方案：（单位：万元）
每年奖学金：
问题三求解：
方案一：只存款不购买国库券
1
因学校要在基金到位后的第3年举行校庆，所以此年奖金应是其他年度的1.2倍，
103.133872
(3)
101.310287
(3,1)
98.472872
(5)
96.731702
(5,1)
94.787533
(5,2)
92.480158
(5,3)
90.844949
(5,3,1)
4108.656375
(5,5)
*
M=5000万元，n=10年基金使用最佳方案（单位：万元）
3
改为
4
利用
5
软件求解（程序略）M=5000万元，
6
n=10年基金使用最佳方案：（单位：万元）
7
*
M=5000万元，n=10年基金使最佳方案（单位：万元）
存1年定期
存2年定期
存3年定期
存5年定期
取款数额（到期本息和）
每年发放奖学金数额
第一年初
105.650679
103.527252
220.429705
2.255
*
由上表可得，任何最佳存款策略中不能存在以下的存款策略(1,1),(2,1),(2,2),(3,2)和（3,3）。
由1,2,3,5四种定期能够组成的策略（5年定期不重复） 只能有（1）,（2）,（3）,（3,1）,(5), (5,1), (5,2), (5,3), (5,3,1)九种，
*
根据以上的推理，可得n年的最优存储方案公式二为：
据上公式用
可以求得n=10年，M=5000万元时
基金使用的最优方案：（单位：万元）
每年奖学金：
问题三求解：
方案一：只存款不购买国库券
1
因学校要在基金到位后的第3年举行校庆，所以此年奖金应是其他年度的1.2倍，
2016年全国大学生数学建模竞赛题
2001高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目（请先阅读“对论文格式的统一要求”）C题基金使用计划某校基金会有一笔数额为M元的基金，打算将其存入银行或购买国库券。
当前银行存款及各期国库券的利率见下表。
假设国库券每年至少发行一次，发行时间不定。
取款政策参考银行的现行政策。
校基金会计划在n年内每年用部分本息奖励优秀师生，要求每年的奖金额大致相同，且在n年末仍保留原基金数额。
校基金会希望获得最佳的基金使用计划，以提高每年的奖金额。
请你帮助校基金会在如下情况下设计基金使用方案，并对M=5000万元，n=10年给出具体结果：1．只存款不购国库券；2．可存款也可购国库券。
3．学校在基金到位后的第3年要举行百年校庆，基金会希望这一年的奖金比其它年度多摘要：运用基金M分成n份（M1，M2，…，Mn），M1存一年，M2存2年，…，Mn存n 年．这样，对前面的（n－1）年，第i年终时M1到期，将Mi及其利息均取出来作为当年的奖金发放；而第n年，则用除去M元所剩下的钱作为第n年的奖金发放的基本思想，解决了基金的最佳使用方案问题．关键词：超限归纳法；排除定理；仓恩定理1问题重述某校基金会有一笔数额为M元的基金，欲将其存入银行或购买国库券．当前银行存款及各期国库券的利率见表1．假设国库券每年至少发行一次，发行时间不定．取款政策参考银行的现行政策．表1 存款年利率表校基金会计在n年内每年用部分本息奖励优秀师生，要求每年的奖金额大致相同，且在n年末仍保留原基金数额．校基金会希望获得最佳的基金使用计划，以提高每年的奖金额．需帮助校基金会在如下情况下设计基金使用方案，并对M＝5 000万元，n＝10年给出具体结果：①只存款不购国库券；②可存款也可购国库券．③学校在基金到位后的第3年要举行百年校庆，基金会希望这一年的奖金比其它年度多20％．2模型的分析、假设与建立2.1模型假设①每年发放的奖金额相同；②取款按现行银行政策；③不考虑通货膨胀及国家政策对利息结算的影响；④基金在年初到位，学校当年奖金在下一年年初发放；⑤国库券若提前支取，则按满年限的同期银行利率结算，且需交纳一定数额的手续费；⑥到期国库券回收资金不能用于购买当年发行的国库券．2.2符号约定K——发放的奖金数；ri——存i年的年利率，（i＝1／2，1，2，3，5）；Mi——支付第i年奖金，第1年开始所存的数额（i＝1，2，…，10）；U——半年活期的年利率；2.3模型的建立和求解2.3.1情况一：只存款不购国库券（1）分析令：支付各年奖金和本金存款方案———Mij （i ＝1，…，10，i ；j 属于N ）． 将各方案ij M 看成元素，构成集合A则ij M 属于A1,210;I =所以A 按I 取值分10行根据仓恩定理：分行集中，任何一单行有上界，则必包含一个极大元素。
全国大学生数学建模竞赛题选
全国大学生数学建模竞赛题选2001年C题基金使用计划某校基金会有一笔数额为M元的基金，打算将其存入银行或购买国库券。
当前银行存款及各期国库券的利率见下表。
假设国库券每年至少发行一次，发行时间不定。
取款政策参考银行的现行政策。
校基金会计划在n年内每年用部分本息奖励优秀师生，要求每年的奖金额大致相同，且在n年末仍保留原基金数额。
校基金会希望获得最佳的基金使用计划，以提高每年的奖金额。
请你帮助校基金会在如下情况下设计基金使用方案，并对M=5000万元，n=10年给出具体结果：1.只存款不购国库券；2.可存款也可购国库券。
3．学校在基金到位后的第3年要举行百年校庆，基金会希望这一年的奖金比其2003年C 题2002年5月1日，“武汉国际抢渡长江挑战赛”在江城隆重举行，参赛的国内外选手共186人。
虽然选手中专业人员将近一半，但仅34人到达终点。
与此形成鲜明对比的是，于1934年9月9日在武汉首次举办的横渡长江游泳竞赛，参赛的44人中，却有40人到达终点。
究其原因，关键在于游泳者能否根据自己的速度，合理地选择游泳方向。
假设竞渡区域两岸为平行线，它们之间的垂直距离为1160米，从起点正对岸到终点的距离为1000米，见图1。
具体问题如下：1. 假定在竞渡过程中游泳者的速度大小和方向不变，水流速度为1.89米/秒。
已知第一名的成绩为14分8秒，求她游泳的路线，游泳速度的大小和方向；已知一游泳者速度大小为1.5米/秒，求他的游泳方向并估计他的成绩。
2. 在（1）的假设下，如果游泳者始终以和岸边垂直的方向游, 他(她)们能否到达终点？根据你们的数学模型说明为什么1934年 和2002年能游到终点的人数的百分比有如此大的差别；给出能够成功到达终点的选手的条件。
图1. 渡江示意图3. 若流速沿离岸边距离的分布为 (设从武昌汉阳门垂直向上为 y 轴正向) ：⎪⎩⎪⎨⎧≤≤<<≤≤=米米秒，米米米秒，米米米秒，米1160960/47.1960200/11.22000/47.1)(0y y y y v游泳者的速度大小（1.5米/秒）仍全程保持不变，试为他选择游泳方向和路线，估计他的成绩。
基金投资计划的数学建模及解的性质
基金投资计划的数学建模及解的性质
吴红;王远世
【期刊名称】《中山大学学报：自然科学版》
【年(卷),期】2003(042)A19
【摘要】按照最优化原则，对基金投资计划问题进行了分析和处理，建立了通用的数学模型，对只存款不购国库券及可存款也可购国库券两种情形进行数学建模，探讨了模型所反映的数据规律，证明两种情形分别存在重要的周期性质。
【总页数】2页(P254-255)
【作者】吴红;王远世
【作者单位】中山大学数学与计算科学学院，广东广州510275
【正文语种】中文
【中图分类】O175.24
【相关文献】
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基金使用计划--数学建模题目基金使用计划摘要学校基金会有一笔基金，打算将其存入银行或购买国库券，不同的理财方式当然有不同的最终奖金数额，本论文就是通过建模找出是奖金最大化的理财方式，根据题目中的不同利率找出最好的处理方式。
第一个问题在只能存款时使奖金最大，通过对题目中不同年份的存款利率可知，为了使奖金最大化要使奖金不能出现闲置，又因为奖金都是在年末发放，所以活期、半年期都不能选择，依题意可得只有在每年年初可以建立线性方程组，设出奖金，使用lingo软件对其进行编程求解可以计算出奖金的最大额： 万元。
通过解线性方程组还可以求解出每年基金的投资方式以达到Z109.8169最大奖金数额，解出奖金最多的问题。
第二个问题在既可以存款又可以购买国库券时解出奖金的最大数额，通过分析题目中的数据可知国库券的利率要大于存款利率，所以在两种方式都可以的情况下优先考虑购国库券，由题目可知每年都会发放国库券但是发放日期不定。
在这种情况下就要分三种情况讨论，国库券分别每年在年中发放、在年初发放、在其他时期发放。
在国库券分为三种情况发放可以按三种情况分别列出线性方程组。
求解出每种情况下的奖金数额，奖金数额分别为131.7896万元、146.8578万元、127.5222万元，同样可以解出在三种情况下每年年初可以选择的投资方式。
第三个问题是在没有要求采取哪种方式时解出最大奖金额，从题目中给出的条件，在第三年的时候因为学校要举行校庆活动，为了鼓舞师生在这一年中奖金数额要比往年增加20%，解决这个问题可以分为两种情况。
第一种在只能选择存款，这种情况可以利用问题一的模型，只需要把第三年的奖金改为原来的1.2倍。
解出线性方程组，此种情况下的奖金数额是107.5524万元。
第二种在既可以选择国库券又可以存款，在这种情况下又可以分为三种小情况分别是国库券在年中、年初、一年中其他时间。
采用问题二中的模型分别列出线性方程组，求解出每种小情况下的奖金数额129.0966万元、143.7854万元、124.8507万元。
可以求解出在每种情况下的奖金额。
关键词线性方程组 lingo软件最大奖金额一、问题重述现在每个学校发奖学金是个很普遍的现象。
每年学校都会拿出一部分奖金来发给优秀师生本文就是要找出使奖金最大化的理财方式。
某学校有一笔数额为M元的基金，可以采取将其存入银行或者购买国库券的方式。
假设国库券每年至少发行一次，发行时间不定。
取款政策参考银行的现行政策。
银行可以随时存款，校基金会计划在10年内每年拿出一部分本息和来奖励优秀师生，要求每年的奖金数额基本相同。
在n年后仍保留原基金数额。
学校基金会希望通过比较存款和购买国库券找出最优的处理方式。
为了这个选出最佳的处理方式，题目中要求计算三种处理方式。
问题一要计算出的是在只存款不购买国库券的情况下寻找出最优的存款方式。
条件中有各种存钱年份的利息。
根据表中的数据找出最优的存钱方式，问题二中要求出在既可以选择存款又可以购买国库券的情况下的最好的存款方式，国库券的年利率如下表所示，国库券只有两年、三年、五年三种不同的期限同样要在这两种方式中间合理分配存款来达到活力的最大化。
问题三中要解出学校在三年后要进行校庆，基金决定这一年发放的奖金数目要比其他年份多20%，解决这个问题要通过对前两个问题分析求出。
各种存钱方式和购买国库券的年利率如下表。
银行存款税后年利率（%）国库券年利率（%）活期0.792半年期 1.664一年期 1.800二年期 1.944 2.55三年期 2.160 2.89五年期 2.304 3.14二、模型假设1、假设每年发放的奖金数额都是相同的。
2、假设10内存款利率和国库券利率不变。
3、假设基金在年末到位，奖学金在基金到位后发放。
4、假设购买国库券不支付个人所得税。
5、假设不会出现国库券供不应求的情况。
6、假设国库券到期所得的本金和利息不购买当年的国库券。
6、假设资金不会发生闲置的情况。
7、假设定期存款如果在没有到期之前取出，就按照活期存款利率计算。
三、符号说明x第i存入j年期的存款ijy第i购买j年期的国库券ijr i年期的税后年利率ip i年期的国库券年利率iz奖金数额四、问题分析问题一中题目要求在只能存款不购买国库券时所获得奖金的最大额，从题目中的各种存款年利率可以看出活期存款的年利率小于定期存款的年利率，从假设中可知奖金在每年年末发放，半年期存款的利率小于一年期利率。
所以活期和半年期存款不能选择，这样可供选择的只有一年期、二年期、三年期和五年期。
又因为在任何时候紫金都不能闲置。
所以解决这道题目时可以建立现行方程组，求出最优解，通过建立线性方程组可以解出在每年年末取出资金后的处理方式。
解线性方程组即可求得最大奖金额。
问题二中在既可以存款又可以购买国库券时。
从题目中可知国库券的年利率高于存款年利率，所以在既可以购国库券又可以存款时优先购买国库券，国库券每年至少发行一次，发行时间不定，在这种情况下就要分情况讨论。
在一年中不同时期发放国库券，要随时准备购买国库券。
为了不让资金闲置，在没发行国库券时要存款。
可以分三种国库券在年初发行、国库券在每年的年中时期发行、国库券在每年其他时间发行。
对于三种情况分别建立线性方程组解出最大奖金数额。
对于问题三的分析可以从对以上两问的分析中找到方法。
题目中要求在第三年时因为举行校庆要增加20%的奖金数额。
题目中没有限制是只能存款还是即可以存款又可以购买国库券。
所以解决这个题目时要分两种情况。
第一种只能存款，这时可以建立与问题一中相似的模型，建立线性方程组，此时把第三年的奖金增加20%，解得线性方程组，可得最大奖金数额。
第二种情况又可以分为三种小情况，分别如问题二中国库券在年中、年初、其他时间发行，分别建立线性方程组解得每种小情况的奖金数额。
这样就能解出在各种情况下的奖金数额。
然后在计算出在第三年应当发放的奖金数额。
五、模型的建立与求解5.1、问题一模型的建立与求解问题一种通过分析表格中的每年的年利率可知活期存款年利率要小于定期存款的利率，半年期的存款存一年的利息的要小于一年期的存款利息，依题意可知奖金是定期发放且在每年的年末发放，可知为了使利率的最大化应当舍去半年期和活期的存款方式。
经过分析可知第一年年末提取的现金只有一个来源，那就是在第一年年初存入银行的一年期存款。
第二年的校方所能提取的现金的来源有两个方面分别是第一年存入的两年期存款和第一年年初存入的一年期存款发放第一年奖金后剩余的钱转存的一年期存款。
当然第三年的所能提取的现金就有三个来源。
以此类推出每年提取的现金的来源方式。
第一年存入银行的资金M ，有一年期、二年期、三年期和五年期的存款方式。
11121315;x x x x M +++= 第一年年末的资金的来源是第一年年初存入的一年期存款的本息和，第二年年初的时候会把第一年年初存入的一年期存款的本息和减去当年年末奖金的数额再转存一年期、二年期、三年期、五年期的存款，具体方式如下：21222325111(1);x x x x x r z +++=+- 第二年的资金来源有二个方向，分别为第一年年初存入的二年期存款和第二年年初存入的一年期存款，然后把发去奖金后剩余的钱在第三年的年初分别按一年期、二年期、三年期、五年期存入银行，表示如下：31323335122211(12)(1);x x x x x r x r z +++=+++- 第三年年末的资金来源有三个部分，分别是第一年年初存入的三年期存款、第一年年末存入的二年期存款、第二年年末存入的一年期存款。
第四年年初的存款方式如下所示：41424345133222311(13)(12)(1);x x x x x r x r x r z +++=+++++- 第四年年末的资金来源有四个来源，同样第四年年末的时候还是会把除去发过奖金后剩余的钱在第五年年初转存一年期、二年期、三年期、五年期存款。
51525355233322411(13)(12)(1);x x x x x r x r x r z +++=+++++- 第五年的分析方法和以上分析方法一样，第五年年末也是把发过奖金后剩余的钱在第六年年初转存四种存款方式，如下所示:61626365155333422511(15)(13)(12)(1);x x x x x r x r x r x r z +++=+++++++- 其后几年的处理方式和前几年的处理方式相同。
计算方式表示如下：717273255433522611818283355533622711919245563372281110155573382(15)(13)(12)(1);(15)(13)(12)(1);(15)(13)(12)(1);(15)(13)(1x x x x r x r x r x r z x x x x r x r x r x r z x x x r x r x r x r z x x r x r x ++=+++++++-++=+++++++-+=+++++++-=+++++29112)(1);r x r z ++-从以上各式中可以看出第七、八年年初可以存入一年期、二年期、三年期存款、第九年年初时可以存入一年期和两年期存款，第十年年初时可以存入一年期存款。
在第六年年末时可以取出第二年年初存入的五年期存款、第四年年初存入的三年期存款。
在第七年年末时可以取出的资金是第三年年初存入的五年期存款、第五年年初存入的三年期、第六年存入的二年期、第七年年初存入的一年期。
在第八年年末时可以取出的资金是第四年年初存入的五年期、第六年年初存入的三年期、第七年存入的二年期、第八年存入的一年期。
第九年年末时可以取出的资金是第五年年初存入的五年期、第七年年初存入的三年期、第八年年末存入的二年期。
在最后一年时也就是第十年的年末把所有的资金全部取出。
除去发奖金的以外，剩余的资金要正好等于开始存钱的资金。
表示如下：6558339221011(15)(13)(12)(1).M x r x r x r x r z =+++++++-联立以上线性方程解出最终的答案：奖学金最大数额Z 109.8169=万元另外还可以根据解得线性方程组中ij x 的值，即是每年应该以哪种方式存钱才能使奖金数额最大化。
如下表所示：第一年第二年第三年第四年第五年第六年第七年 第八年 第九年 第十年一年存款 396.8 0 0 0 0 0 0 0 0 0 二年存款 200.5 00 0 0 0 0 0 0 0 三年存款 195.6195.6 00 00 0 0 0五年存款420798.598.598.598.54582在问题二中可以选择存款和购买国库券由题目中的表格可以看出同期的国库券利率相对于同期的存款利率大的多，所以在两者都可行的前提下，肯定优先考虑国库券。