实数经典题型

第4章实数（压轴必刷30题7种题型专项训练）一．平方根（共2小题）1．（2023秋•雁塔区校级期中）若＝2，正数b的两个平方根分别是2c﹣1和﹣c+2，求2a+b+c平方根．2．（2023秋•德惠市校级月考）如果一个正数的平方根分别为a+2和2a﹣11，求这个正数．二．算术平方根（共7小题）3．（2020秋•高邮市期中）探索与应用．先填写下表，通过观察后再回答问题：a…0.00010.01110010000……0.01x1y100…（1）表格中x＝；y＝；（2）从表格中探究a与数位的规律，并利用这个规律解决下面两个问题：①已知≈3.16，则≈；②已知＝1.8，若＝180，则a＝；（3）拓展：已知，若，则z＝．4．（2020秋•天宁区校级期中）我们称长与宽之比为：1的矩形为“奇异矩形”，特别地，我们称长为，宽为1的矩形为“基本奇异矩形”，如图1所示，它的奇异之处在于：可以用若干个基本奇异矩形（互不重叠且不留缝隙地）拼成一般的奇异矩形，例如，图2中用2个基本奇异矩形拼成了一个奇异矩形．（1）①请你在图3的虚线框中画出用4个基本奇异矩形拼成的奇异矩形（请仿照图1、图2标注必要的数据）；②请你在图4的虚线框中画出用8个基本奇异矩形拼成的奇异矩形；（2）若用K个基本奇异矩形可以拼成一般的奇异矩形，你发现正整数K有何特点？请叙述你的发现；（3）①用32个基本奇异矩形拼成的奇异矩形，其对角线长为；②用256个基本奇异矩形拼成的奇异矩形，其对角线长为；③用n个基本奇异矩形拼成的奇异矩形，其对角线长为32，则n＝．5．（2023春•芜湖期末）某小区有一块面积为196m2的正方形空地，开发商计划在此空地上建一个面积为100m2的长方形花坛，使长方形的长是宽的2倍．请你通过计算说明开发商能否实现这个愿望？（参考数据：≈1.414，≈7.070）6．（2022春•来凤县校级期中）某小区将原来400平方米的正方形场地改建300平方米的长方形场地，且长和宽之比为3：2．如果把原来正方形场地的铁栅栏围墙利用起来围成新场地的长方形围墙，那么这些铁栅栏是否够用？请说明理由．7．（2023秋•市南区校级期中）某市在招商引资期间，把已倒闭的机床厂租给外地某投资商，该投资商为减小固定资产投资，将原有的正方形场地改建成800平方米的长方形场地，且其长、宽的比为5：2．（1）求改建后的长方形场地的长和宽为多少米？（2）如果把原来面积为900平方米的正方形场地的金属栅栏围墙全部利用，来作为新场地的长方形围墙，栅栏围墙是否够用？为什么？8．（2023春•乐陵市期末）已知x＝1﹣2a，y＝3a﹣4．（1）已知x的算术平方根为3，求a的值；（2）如果x，y都是同一个数的平方根，求这个数．9．（2022秋•渝中区校级期末）材料一：若a是正整数，a除以13的余数为1，则称a是“映辰数”例如：14是正整数，且14÷13＝1⋯1⋅，则14是“映辰数”；41是正整数，且41÷13＝3…2，则41不是“映辰数”材料二：对于任意四位正整数p，p的千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d，规定：F（p）＝．请根据以上材料，解决下列问题：（1）判断：300，1029是不是“映辰数”，并说明理由．（2）若有一四位正整数q是“映辰数”，q的千位数字比百位数字少1，千位数字与百位数字的和不大于4，且是有理数，求所有满足条件的q．三．非负数的性质：算术平方根（共4小题）10．（2023秋•顺德区校级月考）已知，则的值为．11．（2021秋•江都区月考）已知与互为相反数，求（x﹣y）2的平方根．12．（2022秋•新余期中）（1）已知+|2x﹣3|＝0，求x+y的平方根．（2）已知a、b满足+|b﹣|＝0，解关于x的方程（a+2）x2﹣b2＝a﹣1．13．（2022秋•平度市校级月考）若+（b﹣3）2+|c﹣2|＝0，求（a﹣b+c）3的值．四．立方根（共4小题）14．（2023秋•姑苏区校级月考）已知2a﹣1的平方根是±3，3a+b﹣1的立方根是2，求2a﹣b的平方根．15．（2020春•崇川区期末）已知：x﹣2的平方根是±2，2x+y+7的立方根是3，求x2+y2的算术平方根．16．（2022秋•高新区校级月考）已知2a+1的平方根是±3，3a+2b﹣4的立方根是﹣2，求4a﹣5b+8的立方根．17．（2023秋•雁塔区校级期中）求满足下列各式的未知数x（1）27x3+125＝0 （2）（x+2）2＝16．五．实数与数轴（共3小题）18．（2023秋•鼓楼区校级月考）如图甲，这是由8个同样大小的立方体组成的魔方，总体积为Vcm3．（1）用代数式表示这个魔方的棱长．（2）当魔方体积V＝64cm3时，①求出这个魔方的棱长．②图甲中阴影部分是一个正方形ABCD，求出阴影部分的面积及其边长．③把正方形ABCD放置在数轴上，如图乙所示，使得点A与数1重合，则D在数轴上表示的数为．19．（2022秋•嵊州市校级期中）数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．小白在草稿纸上画了一条数轴进行操作探究：操作一：（1）折叠纸面，若使表示的点1与﹣1表示的点重合，则﹣2表示的点与表示的点重合；操作二：（2）折叠纸面，若使1表示的点与﹣3表示的点重合，回答以下问题：①表示的点与数表示的点重合；②若数轴上A、B两点之间距离为8（A在B的左侧），且A、B两点经折叠后重合，则A、B两点表示的数分别是；操作三：（3）在数轴上剪下9个单位长度（从﹣1到8）的一条线段，并把这条线段沿某点折叠，然后在重叠部分某处剪一刀得到三条线段（如图）．若这三条线段的长度之比为1：1：2，则折痕处对应的点所表示的数可能是．20．（2023春•雷州市校级期中）如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B，点A表示﹣，设点B所表示的数为m．（1）实数m的值是；（2）求|m+1|+|m﹣1|的值；（3）在数轴上还有C、D两点分别表示实数c和d，且有|2c+d|与互为相反数，求2c﹣3d的平方根．六．估算无理数的大小（共7小题）21．（2020秋•南京期中）阅读下面的文字，解答问题．大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能完全地写出来，于是小明用﹣1来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，用这个数减去其整数部分，差就是小数部分．请解答下列问题：（1）求出+2的整数部分和小数部分；（2）已知：10+＝x+y，其中x是整数，且0＜y＜1，请你求出（x﹣y）的相反数．22．（2021春•宁阳县期中）化简求值：（1）已知a是的整数部分，＝3，求的平方根．（2）已知：实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简：+2﹣|a﹣b|．23．（2020秋•清江浦区期末）数学张老师在课堂上提出一个问题：“通过探究知道：≈1.414⋯，它是个无限不循环小数，也叫无理数，它的整数部分是1，那么有谁能说出它的小数部分是多少”，小明举手回答：它的小数部分我们无法全部写出来，但可以用来表示它的小数部分，张老师夸奖小明真聪明，肯定了他的说法．现请你根据小明的说法解答：（1）的小数部分是多少，请表示出来．（2）a为的小数部分，b为的整数部分，求a+b﹣的值．（3）已知8+＝x+y，其中x是一个正整数，0＜y＜1，求2x+（y﹣）2020的值．24．（2023春•太和县期末）阅读下面的文字，解答问题：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用﹣1来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．又例如：∵＜＜，即2＜＜3，∴的整数部分为2，小数部分为（﹣2）．请解答：（1）的整数部分是，小数部分是．（2）如果的小数部分为a，的整数部分为b，求a+b﹣的值；（3）已知：10+＝x+y，其中x是整数，且0＜y＜1，求x﹣y的相反数．25．（2022春•广信区期末）阅读理解．∵＜＜，即2＜＜3．∴1＜﹣1＜2∴﹣1的整数部分为1，∴﹣1的小数部分为﹣2．解决问题：已知a是﹣3的整数部分，b是﹣3的小数部分．（1）求a，b的值；（2）求（﹣a）3+（b+4）2的平方根，提示：（）2＝17．26．（2022秋•雁峰区校级期末）已知2a+4的立方根是2，3a+b﹣1的算术平方根是4，的整数部分是c，求3a﹣b+c的值．27．（2023春•荔城区校级期中）已知2a﹣1的算术平方根是3，3a+b﹣1的平方根是±4，c是的整数部分，求3a+2b﹣c的平方根．七．实数的运算（共3小题）28．（2021秋•灌南县校级月考）在实数的原有运算法则中我们定义一个新运算“★”如下：x≤y时，x★y ＝x2；x＞y时，x★y＝y．则当z＝﹣3时，代数式（﹣2★z）•z﹣（﹣4★z）的值为．29．（2022秋•高新区校级月考）先阅读，然后解答提出的问题：设a，b是有理数，且满足a+b＝3﹣2，求b a的值．解：由题意得（a﹣3）+（b+2）＝0，因为a，b都是有理数，所以a﹣3，b+2也是有理数，由于是无理数，所以a﹣3＝0，b+2＝0，所以a＝3，b＝﹣2，所以b a＝（﹣2）3＝﹣8．问题：设x，y都是有理数，且满足x2﹣2y+y＝8+4，求x+y的值．30．（2023春•通川区期末）阅读材料：我们定义：如果一个数的平方等于﹣1，记作i2＝﹣1，那么这个i就叫做虚数单位．虚数与我们学过的实数合在一起叫做复数．一个复数可以表示为a+bi（a，b均为实数）的形式，其中a叫做它的实部，b叫做它的虚部．复数的加、减、乘的运算与我们学过的整式加、减、乘的运算类似．例如计算：（5+i）+（3﹣4i）＝（5+3）+（i﹣4i）＝8﹣3i．根据上述材料，解决下列问题：（1）填空：i3＝，i4＝；（2）计算：（2+i）2；（3）将化为a+bi（a，b均为实数）的形式（即化为分母中不含i的形式）．。

2020年春人教新版七年级下学期第6章《实数》常考题型练习一．选择题（共15小题）1．若x2＝4，则x＝（）A．﹣2 B．2 C．﹣2或2 D．2．9的平方根是（）A．±3 B．3 C．±4.5 D．4.53．表示（）A．16的平方根B．16的算术平方根C．±4 D．±24．下列计算中，正确的是（）A．＝±3 B．（﹣1）0＝1 C．|a|﹣a＝0 D．4a﹣a＝3 5．若，那么y x的值是（）A．﹣1 B．C．1 D．86．若+|b+2|＝0，那么a﹣b＝（）A．1 B．﹣1 C．3 D．07．图中的内容是某同学完成的作业，嘉琪帮他做了批改，嘉琪批改正确的题数是（）A．2个B．3个C．4个D．5个8．在平面直角坐标系中，点P（﹣，6）在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限9．如图，某计算器中有、、三个按键，以下是这三个按键的功能．①：将荧幕显示的数变成它的正平方根；②：将荧幕显示的数变成它的倒数；③：将荧幕显示的数变成它的平方．小明输入一个数据后，按照以下步骤操作，依次循环按键．若一开始输入的数据为10，那么第2018步之后，显示的结果是（）A．B．10 C．0.01 D．0.110．用计算器探索：已知按一定规律排列的20个数：1，，，…，，．如果从中选出若干个数，使它们的和＜1，那么选取的数的个数最多是（）A．4个B．5个C．6个D．7个11．下列各数是无理数的是（）A．B．C．0.010010001 D．12．在﹣1、2、、这四个数中，无理数是（）A．﹣1 B．2 C．D．13．给出四个实数，3，0，﹣1．其中负数是（）A．B．3 C．0 D．﹣114．如果a是无理数，那么下列各数中，一定是有理数的是（）A．﹣a B．a2C．D．a015．﹣1的相反数是（）A．1B．C．D．二．填空题（共12小题）16．若一个正数的平方根分别是a+1和2a﹣7，则a的值是．17．面积等于5的正方形的边长是．18．若x、y为实数，且|x+3|+＝0，则的值为．19．的立方根是．20．约等于：（精确到0.1）．21．写出一个同时符合下列条件的数：．（1）它是一个无理数；（2）在数轴上表示它的点在原点的左侧；（3）它的绝对值比2小．22．在中，有理数的个数是个．23．计算：|﹣|＝．24．在数轴上，实数2﹣对应的点在原点的侧．（填“左”、“右”）25．比较大小：3 （填写“＜”或“＞”）26．已知a，b为两个连续的整数，且a＜＜b，则b a＝．27．计算：﹣（）﹣1＝．三．解答题（共8小题）28．求下列各数的和：﹣，（）﹣1，||，（）0，29．已知实数a、b满足（a+2）2+＝0，则a+b的值．30．在数轴上点A表示的数为a，点B为原点，点C表示的数为c，且已知a，c满足|a+1|+（c﹣7）2＝0．（1）a＝；c＝；（2）若AC的中点为M，则点M表示的数为；（3）若A，C两点同时以每秒1个单位长度的速度向左运动，求第几秒时，恰好有BA＝BC？参考答案与试题解析一．选择题（共15小题）1．若x2＝4，则x＝（）A．﹣2 B．2 C．﹣2或2 D．【分析】利用平方根定义开方即可求出x的值．【解答】解：若x2＝4，则x＝﹣2或2，故选：C．2．9的平方根是（）A．±3 B．3 C．±4.5 D．4.5【分析】根据平方根的性质和求法，求出9的平方根是多少即可．【解答】解：9的平方根是：±＝±3．故选：A．3．表示（）A．16的平方根B．16的算术平方根C．±4 D．±2【分析】直接利用算术平方根的定义分析得出答案．【解答】解：表示16的算术平方根．故选：B．4．下列计算中，正确的是（）A．＝±3 B．（﹣1）0＝1 C．|a|﹣a＝0 D．4a﹣a＝3【分析】直接利用算术平方根的定义以及绝对值的性质、合并同类项法则分别化简得出答案．【解答】解：A、＝3，故此选项错误；B、（﹣1）0＝1，正确；C、|a|﹣a＝0（a≥0），故此选项错误；D、4a﹣a＝3a，故此选项错误；故选：B．5．若，那么y x的值是（）A．﹣1 B．C．1 D．8【分析】直接利用偶次方以及二次根式的性质得出x，y的值，进而化简得出答案．【解答】解：∵，∴x+3＝0，y﹣2＝0，解得：x＝﹣3，y＝2，∴y x＝2﹣3＝．故选：B．6．若+|b+2|＝0，那么a﹣b＝（）A．1 B．﹣1 C．3 D．0【分析】根据非负数的性质列式求出a、b的值，然后求出a﹣b的值．【解答】解：∵，|b+2|≥0，∵+|b+2|＝0，∴a+1＝0，b+2＝0，解得：a＝﹣1，b＝﹣2，把a＝﹣1，b＝﹣2代入a﹣b＝﹣1+2＝1，故选：A．7．图中的内容是某同学完成的作业，嘉琪帮他做了批改，嘉琪批改正确的题数是（）A．2个B．3个C．4个D．5个【分析】各项计算得到结果，即可作出判断．【解答】解：①﹣1的倒数＝﹣1，符合题意；②1的平方根为±1，立方根等于本身，不符合题意；③（﹣）2＝，符合题意；④|1﹣|＝﹣1，符合题意；⑤＝﹣＝﹣2，不符合题意，故选：B．8．在平面直角坐标系中，点P（﹣，6）在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】先化简﹣＝2，再根据各象限内点的横纵坐标符号特点即可得出答案．【解答】解：∵﹣＝2＞0，∴点P（﹣，6）在第一象限，故选：A．9．如图，某计算器中有、、三个按键，以下是这三个按键的功能．①：将荧幕显示的数变成它的正平方根；②：将荧幕显示的数变成它的倒数；③：将荧幕显示的数变成它的平方．小明输入一个数据后，按照以下步骤操作，依次循环按键．若一开始输入的数据为10，那么第2018步之后，显示的结果是（）A．B．10 C．0.01 D．0.1【分析】把数据代入程序中计算，得出一般性规律，确定出所求即可．【解答】解：把x＝10代入程序中得：第三步结果为＝，把代入程序中得：第三步结果为＝10，依此类推，每六步以，10循环，∵2018÷6＝336…2，∴第2018步之后，显示的结果是＝0.01，故选：C．10．用计算器探索：已知按一定规律排列的20个数：1，，，…，，．如果从中选出若干个数，使它们的和＜1，那么选取的数的个数最多是（）A．4个B．5个C．6个D．7个【分析】首先用计算器分别计算，，，…，然后与1比较即可．【解答】解：≈0.2236＜1；＜1；≈0.6887＜1；≈0.9313＜1；1.1813＞1．所以，选取的数的个数最多是4个．故选：A．11．下列各数是无理数的是（）A．B．C．0.010010001 D．【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．【解答】解：A、＝17是整数，是有理数，选项错误；B、是无理数，选项正确；C、是有限小数，是有理数，选项错误；D、是分数，是有理数，选项错误．故选：B．12．在﹣1、2、、这四个数中，无理数是（）A．﹣1 B．2 C．D．【分析】分别根据无理数、有理数的定义即可判定选择项．【解答】解：是无理数，，2，﹣1是有理数，故选：D．13．给出四个实数，3，0，﹣1．其中负数是（）A．B．3 C．0 D．﹣1【分析】直接利用负数的定义分析得出答案．【解答】解：四个实数，3，0，﹣1，其中负数是：﹣1．故选：D．14．如果a是无理数，那么下列各数中，一定是有理数的是（）A．﹣a B．a2C．D．a0【分析】根据有理数和无理数的定义解答．【解答】解：A、如果a是无理数，那么﹣a一定是无理数，故这个选项错误；B、如果a是无理数，那么a2可能是无理数，也可能是有理数，故这个选项错误；C、如果a是无理数，那么一定是无理数，故这个选项错误；D、如果a是无理数，那么a0一定是有理数，因为a0＝1，故这个选项正确．故选：D．15．﹣1的相反数是（）A．1B．C．D．【分析】直接利用相反数的定义分析得出答案．【解答】解：﹣1的相反数是：1﹣．故选：A．二．填空题（共12小题）16．若一个正数的平方根分别是a+1和2a﹣7，则a的值是 2 ．【分析】根据一个正数的平方根互为相反数，可得a+1和2a﹣7的关系，根据互为相反数的和为0，可得a的值．【解答】解：根据题意知a+1+2a﹣7＝0，解得：a＝2，故答案为：2．17．面积等于5的正方形的边长是．【分析】根据算术平方根的定义解答．【解答】解：面积等于5的正方形的边长是．故答案为：．18．若x、y为实数，且|x+3|+＝0，则的值为﹣1 ．【分析】先根据绝对值和算术平方根的非负性得出x和y的值，再代入计算可得．【解答】解：∵|x+3|+＝0，∴x＝﹣3，y＝3，则原式＝（）2019＝（﹣1）2019＝﹣1，故答案为：﹣1．19．的立方根是．【分析】直接根据立方根的定义求解．【解答】解：的立方根为．故答案为．20．约等于：10.3 （精确到0.1）．【分析】首先根据数的开方的运算方法，求出的值是多少；然后根据四舍五入法，把结果精确到0.1即可．【解答】解：＝10.344…≈10.3．故答案为：10.321．写出一个同时符合下列条件的数：﹣．（1）它是一个无理数；（2）在数轴上表示它的点在原点的左侧；（3）它的绝对值比2小．【分析】根据无理数的定义求解即可．【解答】解：写出一个同时符合下列条件的数﹣，故答案为：﹣．22．在中，有理数的个数是 3 个．【分析】根据有理数的定义：是整数与分数的统称即可作出判断．【解答】解：sin45°＝是无理数；，π是无理数；，0.3，＝2是有理数．故答案是：3．23．计算：|﹣|＝．【分析】根据负数的绝对值是它的相反数，可得答案．【解答】解：|﹣|＝，故答案为：．24．在数轴上，实数2﹣对应的点在原点的左侧．（填“左”、“右”）【分析】根据2＜＜3，可知2﹣＜0，所以2﹣在原点的左侧．【解答】解：根据题意可知：2﹣＜0，∴2﹣对应的点在原点的左侧．故填：左25．比较大小：3 ＞（填写“＜”或“＞”）【分析】将3转化为，然后比较被开方数即可得到答案．【解答】解：∵3＝，且9＞7，∴3＞，故答案为：＞．26．已知a，b为两个连续的整数，且a＜＜b，则b a＝9 ．【分析】直接利用的取值范围得出a，b的值，即可得出答案．【解答】解：∵a，b为两个连续的整数，且a＜＜b，∴a＝2，b＝3，∴b a＝32＝9．故答案为：9．27．计算：﹣（）﹣1＝﹣4 ．【分析】直接利用立方根的性质以及负指数幂的性质分别化简得出答案．【解答】解：原式＝﹣2﹣2＝﹣4．故答案为：﹣4．三．解答题（共8小题）28．求下列各数的和：﹣，（）﹣1，||，（）0，【分析】求出各自的值，相加即可．【解答】解：原式＝﹣+2++1+＝3+．29．已知实数a、b满足（a+2）2+＝0，则a+b的值．【分析】直接利用偶次方的性质以及算术平方根的定义得出a，b的值进而得出答案．【解答】解：∵（a+2）2+＝0，∴a+2＝0，b2﹣2b﹣3＝0，解得：a＝﹣2，b1＝﹣1，b2＝3，则a+b的值为：1或﹣3．30．在数轴上点A表示的数为a，点B为原点，点C表示的数为c，且已知a，c满足|a+1|+（c﹣7）2＝0．（1）a＝﹣1 ；c＝7 ；（2）若AC的中点为M，则点M表示的数为 3 ；（3）若A，C两点同时以每秒1个单位长度的速度向左运动，求第几秒时，恰好有BA＝BC？【分析】（1）根据非负数的和为零，可得每个非负数同时为零，可得答案；（2）根据中点坐标公式，可得答案；（3）根据BA＝BC，可得关于x的方程，根据解方程，可得答案．【解答】解：（1）由|a+1|+（c﹣7）2＝0，得a+1＝0，c﹣7＝0，解得a＝﹣1，c＝7，故答案为：﹣1，7．（2）由中点坐标公式，得＝3，M点表示的数为3，故答案为：3．（3）设第x秒时，BA＝BC，由题意，得x+1＝7﹣x，解得x＝3，第3秒时，恰好有BA＝BC．。

典型题型：一、单选题1.☆在实数,0,,π,中,无理数有A . 1个B . 2个C . 3个D . 4个2.☆在下列各数中 , ,|－3|,,…, , 是无理数的有A . 3个B . 4个C . 5个D . 6个3.☆下列说法中,正确的有个;①无限小数都是无理数；②无理数都是无限小数；③带根号的数都是无理数；④是2的平方根；⑤9的平方根是3 ；⑥–2是－4的平方根.A . 2B . 3C . 4D . 54.☆在实数,,,,,,,中,无理数有A . 1个B . 2个C . 3个D . 4个5.☆下列各数中：,,0,,,, ,是无理数的有A . 4个B . 3个C . 2个D . 1个6.☆在实数﹣ , 0. , , , 中,无理数有A . 1个B . 2个C . 3个D . 4个7.☆有下列说法,其中正确说法的个数是1无理数就是开方开不尽的数；2无理数是无限不循环小数；3无理数包括正无理数、零、负无理数；4无理数是无限不循环小数．A . 0B . 1C . 2D . 38.☆在﹣7,tan45°,sin60°, , ﹣ , ﹣2这六个数中,无理数有A . 1个B . 2个C . 3个D . 4个9.☆在、、、、π、这六个数中,无理数有A . 1个B . 2个C . 3个D . 4个10.☆下列几个数中,属于无理数的是A .B . 2C . 0D .典型题型：二、填空题11.☆在﹣ , π,0,, , , 中,无理数有个．12.☆在实数、π、中,无理数是13.☆如图,在5×5的正方形网格中,以AB为边画直角△ABC,使点C在格点上,且另外两条边长均为无理数,满足这样的点C共个．14.☆若无理数a满足：﹣4＜a＜﹣1,请写出两个你熟悉的无理数：15.☆请任意写出一个你喜欢的无理数16.☆在实数 , , π,﹣ , , …每两个3之间依次多一个1中,无理数的个数是个17.☆在下列4×4各图中,每个小正方形的边长都为1,请在每一个图中分别画出一条线段,且它们的长度均表示不等的无理数．表示：表示：表示：注：横线上填入对应的无理数18.☆在π,﹣2,0. , , , …相邻两个5之间的7的个数逐次加1中,无理数有个．19.☆在﹣4,, 0,π,1,﹣ , 1.这些数中,是无理数的是20.☆请你写出三个大于1的无理数：21.☆写出一个大于﹣1而小于3的无理数典型题型：三、解答题22☆. 把下列各数分别填在相应的集合中：﹣ , , ﹣ , 0,﹣ , 、 , 0. ,23.☆ 500多年前,数学各学派的学者都认为世界上的数只有整数和分数,直到有一天,大数学家毕达哥拉斯的一个名叫希帕索斯的学生,在研究1和2的比例中项时若1：x=x：2,那么x叫1和2的比例中项,他怎么也想不出这个比例中项值．后来,他画了一个边长为1的正方形,设对角线为x,于是由毕达哥拉斯定理x2=12+12=2,他想x代表对角线的长,而x2=2,那么x必定是确定的数,这时他又为自己提出了几个问题：1x是整数吗为什么不是2x可能是分数吗是,能找出来吗不是,能说出理由吗亲爱的同学,你能帮他解答这些问题吗24.☆☆☆定义：可以表示为两个互质整数的商的形式的数称为有理数,整数可以看作分母为1的有理数；反之为无理数．如不能表示为两个互质的整数的商,所以,是无理数．可以这样证明：设,a与b 是互质的两个整数,且b≠0．则a2=2b2因为b是整数且不为0,所以,a是不为0的偶数,设a=2n,n是整数,所以b2=2n2 ,所以b也是偶数,与a,b是互质的正整数矛盾．所以,是无理数．仔细阅读上文,然后,请证明：是无理数．25.☆在： , , 0,,﹣ , ﹣, …每相邻两个“1”之间依次多一个“5”中,整数集合{ …},分数集合{ …},无理数集合{ …}．26.☆国涛同学家的客厅是面积为28平方米的正方形,那么请你判断一下这个正方形客厅的边长x是不是有理数如果误差要求小于米,那么边长x的最大取值是多少精确到27.☆请你写出和为6的两个无理数至少写出2对．28.☆☆我们知道,无限不循环小数叫无理数．试根据无理数的意义,请你构造写出两个无理数．29.☆☆体积为3的正方体的边长可能是整数吗可能是分数吗可能是有理数吗请说明你的理由．典型题：一、单选题1.☆若一个数的算术平方根等于它的本身,则这个数是A . 1B . 0C . -1D . 0或12.☆求7的平方根,正确的表达式是A .B .C .D .3.☆如果某数的平方根是2a+3和a-12,那么这个数是A . 5B . －5C . 169D . 814.☆ 36的平方根是A . 6B . －6C . ±6D .5.☆ 4的平方根是A . ±2B . 2C . ±D .6.☆﹣22的平方根是A . ﹣2B . 2C . ±2D . 47.☆±3是9的A . 平方根B . 相反数C . 绝对值D . 算术平方根8.☆如果一个正数的平方根是a+3与2a﹣15,那么这个正数是A . 7B . 8C . 49D . 569.☆ 36的平方根是A . ﹣6B . 36C . ±D . ±610.☆将数49开平方,其结果是A . ±7典型题：二、填空题11.☆ 2015恩施州4的平方根是12.☆若的平方根是 , 则m= ．13.☆若一个数的平方根是2a+1和4﹣a,则这个数是．14.☆ 5的平方根是．15.☆ 16的平方根是 ． 16.☆ 3的平方根是 ．17.☆ 已知：x 满足x ﹣12=9,根据平方根的意义可求得x= ． 18.☆ 9的平方根是 ． 19.☆ 如果x 2﹣4=0,那么x 3= ． 20.☆ 9的平方根是 ． 典型题：三、解答题 21.☆ 解方程：3x ﹣22=27．22.☆ 一个正数x 的平方根是3a ﹣4和1﹣6a,求x 的值． 23.☆ 已知一个正数x 的平方根是a+3和2a ﹣15,求a 和x 的值． 24.☆ 已知a+1,2a ﹣4是同一个数的平方根,求这个数． 25.☆ 求下列式中的x 的值： 32x+12=27．26.☆ 一个正数x 的平方根是3a ﹣4和1﹣6a,求x 的值． 27.☆☆ 求x 值：x ﹣12=25．28.☆ 已知一个正数的两个平方根分别是a 和2a ﹣9,求a 的值,并求这个正数． 29.☆ 求式中x 的值：3x ﹣12+1=28．典型题：一、单选题 1.☆ 4的算术平方根是A . 2B . －2C . ±2D . 4 2.☆ 9的算术平方根是 A . 3 B . -3 C .D . 813. 如果一个数的算术平方根等于它本身,那么这个数是 A . 0 B . 1 C . 0或1 D . －1或0或14.☆ 一个自然数的算术平方根为a,则和这个自然数相邻的下一个自然数是 A . a+1 B . a 2+1 C .2a 1+ D .+15.☆ 一个正偶数的算术平方根是a,那么与这个正偶数相邻的下一个正偶数的平方根A . a+2B 2a 2+ .C .6.☆的值是A . 4B . 2C . ±2D .7.☆的值是A . 4B . ±2C . 2D .8.☆ 4的算术平方根是A . 2B . -2C . ±2D . 169.☆小明的作业本上有以下四题：①=4a2②a③a=；-=．做错的题是A . ①B . ②C . ③D . ④10.☆下列结果错误的有B .的算术平方根是4C . 12 的算术平方根是D . ﹣π2的算术平方根是π典型题：二、填空题11. ☆计算：= .12. 的算术平方根是 .13. ☆= .14. ☆已知：a+62+=0,则2b2﹣4b﹣a的值为 .15.☆☆若+|x+y﹣2|=0,则xy=16. = .17. ☆若实数a、b满足a240b++-=,则= .18.☆的算术平方根是 .19.☆☆☆出其中规律,并将第nn≥1个等式写出来 .20.☆☆0+=,则x= , y= .典型题：三、解答题21.☆已知2a﹣1的平方根是±3,b﹣1的算术平方根是4,求a+2b的值．22.☆一个数的算术平方根为2m+5,平方根为±m﹣2,求这个数．23.☆ 长方形内有两个相邻的正方形,面积分别为4、2,求阴影部分的面积．24.☆ 已知2a ﹣1的平方根是±3,3a+b﹣1的算术平方根是4,求4a+2b 的值．25.☆ +|2x ﹣3|=0．1求x,y 的值；2求x+y 的平方根．26.☆☆☆ 若△ABC 的三边a 、b 、c 满足|a ﹣15|+b ﹣82+=0,试判断△ABC 的形状,并说明理由．27.☆☆ 已知a,b 满足0+=,÷28.☆☆ 若x 、y 为实数,且|x+2|+=0,则求x+y 2016的值．29.☆☆ 2(31)0x y ++-= , 的值30.☆ 如图,某玩具厂要制作一批体积为100 000cm 3的长方体包装盒,其高为40cm ．按设计需要,底面应做成正方形．求底面边长应是多少典型题：一、单选题 1.☆ －8的立方根是A . 2B . 2或－2C . －2D . －3 2.☆ 8的立方根为A . -2B . 4C . 2D . ±2 3☆. 一个数的立方根等于它本身,这个数是A . 0B . ±1C . 1D . 0,±1 4.☆ -27的立方根是A . 3B . -3C . ±3D . ±95.☆的立方根是A . ±4B . -4C .D .6.☆下列说法正确的是A . 25的平方根是5B . ﹣22的算术平方根是2C . 的立方根是D . 是的一个平方根7.☆﹣8的立方根是A . 2B . -2C . ±2D .8.☆若一个有理数的平方根与立方根是相等的,则这个有理数一定是A . 0B . 1C . 0或1D . 0和±19.☆下列说法错误的是A . 9的算术平方根是3B . 16的平方根是±4C . 27的立方根是±3D . 立方根等于﹣1的实数是﹣110.☆下列说法中,不正确的是A . 2是﹣22的算术平方根B . ±2是﹣22的平方根C . ﹣2是﹣22的算术平方根D . ﹣2是﹣23的立方根典型题:二、填空题11.☆已知=,则= ．12.☆ 16的平方根是．,9的立方根是．13.☆的立方根是．14.☆的平方根是．,-的相反数是．15.☆ 4的算术平方根是．；9的平方根是；64的立方根是．16.☆ a+3的立方根是2,3a+b﹣1的平方根是±4,则a+2b的平方根是．17.☆的算术平方根是．,﹣8的立方根是．18.☆方程x﹣13﹣8=0的根是．19.☆若实数x满足等式x+43=﹣27,则 x= ．20.☆ - 的立方根是．典型题：三、综合题21.☆求下列各式的值：1 ．2322.☆☆☆数学家华罗庚在一次出国访问途中,看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求59319的立方根．华罗庚脱口而出：39．众人十分惊奇,忙问计算的奥妙．你知道怎样迅速准确的计算出结果吗请你按下面的问题试一试：1 103=1000,1003=1000000,你能确定59319的立方根是几位数吗答：位数．2 由59319的个位数是9,你能确定59319的立方根的个位数是几吗答：3 如果划去59319后面的三位319得到数59,而33=27,43=64,由此你能确定59319的立方根的十位数是几吗答：．因此59319的立方根是．4 现在换一个数185193,你能按这种方法说出它的立方根吗答：①它的立方根是位数,②它的立方根的个位数是, ③它的立方根的十位数是, ④185193的立方根是．四、解答题23.☆某居民生活小区需要建一个大型的球形储水罐,需储水立方米,那么这个球罐的半径r为多少米球的体积V= ,π取,结果精确到米24.☆请根据如图所示的对话内容回答下列问题．1求该魔方的棱长；2求该长方体纸盒的长．25.☆求下列各式中x的值．14x2﹣=0；23x+23﹣1=．26.☆求x的值：1x+33=﹣27216x﹣12﹣25=0．27.☆求下列x的值．12x3=﹣16 2x﹣12=4．28. ☆求下列各式中的x．14x2﹣16=0227x﹣33=﹣64．29.☆已知一个正方体的体积是1000cm3 , 现在要在它的8个角上分别截去8个大小相同的小正方体,使截去后余下的体积是488cm3 , 问截得的每个小正方体的棱长是多少30.☆用计算器计算：+﹣﹣结果精确到知识点5难度要求典型题：一、单选题1.☆若m=+1,则估计m的值的取值范围是A . 2＜m＜3B . 3＜m＜4C . 4＜m＜5D . 5＜m＜62.☆下列各式比较大小正确的是A . -<-B . ->-C . -π＜D . ->-33.☆估算的值应在A . ~之间B . ~之间C . ~之间D . ~之间4.☆估算的值在A . 2和3之间B . 3和4之间C . 4和5之间D . 5和6之间5.☆下列说法正确的是A . |﹣3|=﹣3B . 0的倒数是0C . 9的平方根是3D . ﹣4的相反数是46.☆实数﹣3的绝对值是A . 3B . -3C . 0D .7.☆☆如图,CB=1,且OA=OB,BC⊥OC,则点A在数轴上表示的实数是A .B . -C .D . -8.☆如图,数轴上的点Q所表示的数可能是A .B .C .D .109.☆的值是在A . 3和4之间B . 4和5之间C . 5和6之间D . 6和7之间10.☆估计A . 6到7之间B . 7到8之间C . 8到9之间D . 9到10之间典型题：二、综合题11.☆☆已知实数x和﹣分别与数轴上的A、B两点对应．1 直接写出A、B两点之间的距离用含x的代数式表示．2 求出当x= ﹣时,A、B两点之间的距离结果精确到．3 若x= ,请你写出大于﹣,且小于x的所有整数,以及2个无理数12.☆阅读下面的文字,解答问题：大家知道是无理数,而无理数是无限不循环小数,因此的小数部分我们不可能全部地写出来,于是小明用﹣1来表示的小数部分,你同意小明的表示方法吗事实上,小明的表示方法是有道理,因为的整数部分是1,将这个数减去其整数部分,差就是小数部分．又例如：∵＜＜,即2＜＜3,∴的整数部分为2,小数部分为﹣2．请解答：1 如果的小数部分为a , 的整数部分为b , 求a+b的值；2 已知：10+ =x+y , 其中x是整数,且0＜y＜1,求x﹣y的相反数．13.☆把下列各数分别填在表示它所属的括号里：0,﹣, ,﹣,﹣2, ,﹣1 正有理数：{… }2 整数：{… }3 负分数：{ …}．14.☆已知a、b分别是6﹣的整数部分和小数部分．1 分别写出a、b的值；2 求3a﹣b2的值．15.☆☆阅读下面的文字,解答问题大家知道是无理数,而无理数是无限不循环小数,因此的小数部分我们不可能全部地写出来,但是由于1＜＜2,所以的整数部分为1,将减去其整数部分1,所得的差就是其小数部分﹣1,根据以上的内容,解答下面的问题：1 的整数部分是 , 小数部分是；2 1+ 的整数部分是 , 小数部分是；3 1+ + 整数部分是 , 小数部分是；4 若设2+ 整数部分是x,小数部分是y,求x﹣y的值．三、填空题10-116.☆比较大小：.选填“＞”“＝”“＜”83-8, 无理数17.☆在实数0, , ﹣,…每两个1之间的0的个数依次增加1, ,3有个,有理数有个,负数有个．18.☆数的相反数是．19.☆的整数部分是20.☆☆如图,在数轴上点A表示的实数是．四、解答题21.☆清明节某校组织学生到距离离学校10km的烈士陵园扫墓,学生王争因事没能赶上学现王争身上仅有14元,他乘出租车到烈士陵园的车费够吗22.☆比较大小要有具体过程：1和4；和．2223.☆☆☆问：你能比较两个数和的大小吗为了解决这个问题,我们先把它抽象成数学问题,写出它的一般形式,比较n n+1与n+1n的大小n为正整数,从分析n=1,n=2,n=3…的情形入手,通过归纳,发现规律,猜想出结论．1比较各组数的大小①12和21；②23和32；③34和43；④45和542由1猜想出nn+1与n+1n的大小关系是3由2可知：与 ;的大小24.☆☆已知a是的整数部分,b是的小数部分,求2a﹣b．25.☆☆已知a是的整数部分,b是的小数部分,求ab﹣2的值．26.☆☆已知a、b分别是-1的整数部分和小数部分,1求a、b的值；2求3a+2b的值．27.☆☆☆阅读下列材料：“为什么不是有理数”．假是有理数,那么存在两个互质的正整数m,n,使得= , 于是有2m2=n2．∵2m2是偶数,∴n2也是偶数,∴n是偶数．设n=2tt是正整数,则n2=2m,∴m也是偶数∴m,n都是偶数,不互质,与假设矛盾．∴假设错误∵不是有理数有类似的方法,请证明不是有理数．28.☆☆化简：|﹣|﹣|3﹣|．29.☆☆已知x=12,y=﹣2,求x﹣y的相反数．30.☆☆解方程：|x﹣|=1．典型题：一、单选题1.☆下面计算正确的是2.☆化简| ﹣π|﹣π得A .B . ﹣C . 2π﹣D . ﹣2π3.☆将1、、、按如图方式排列,若规定m,n表示第m排从左向右第n个数,则6,5与13,6表示的两数之积是A .B . 6C .D .4.☆下列各式计算正确的是5.☆下列运算正确的是A . =+B . ﹣2=3C . 3a﹣a=3D . a23=a5典型题：二、综合题6.☆计算：1 ．2 结果精确到. .7.☆计算题8.☆如图,将1、、三个数按图中方式排列,若规定a,b表示第a排第b列的数,则1 5,3=2 8,2与2014,2014表示的两个数的积是．三、填空题9.☆计算﹣﹣12= ;10.☆计算：﹣1﹣= ;11.☆请你写出：两个无理数的积等于1的等式：．12.☆化简：× +4 = ．13.☆对于任意不相等的两个实数a,b．定义运算※如下：a※b= ,如3※2= = ,那么8※4= ．四、解答题14.☆计算：﹣12+﹣﹣3+÷2﹣π0．15.☆计算：﹣22++3+π0﹣|﹣3|．16.☆计算：﹣|﹣3|﹣﹣π0+2015．17.☆ 1计算：|﹣|+2；2求式子中的x：1﹣x3=64．18.☆设a、b为实数,且 =0,求a2﹣2 的值．19.☆一堆玩具分给若干个小朋友,若每人分3件,则剩余4件；若前面每人分4件,则最后一人能得到的玩具不足3件,求小朋友的人数及玩具数．20.☆已知实数a、b、c、d、m,若a、b互为相反数,c、d互为倒数,m的绝对值是2,求的平方根．五、计算题21.☆计算：22.☆化简17﹣32|1﹣|+|﹣|+|2﹣|23.☆计算：．24.☆计算题典型题：一、单选题1.☆若是二次根式,则x的取值范围是A . x＞2B . x≥2C . x＜2D . x≤22.☆若为二次根式,则m的取值为A . m≤3B . m＜3C . m≥3D . m＞33.☆下列关于的说法中,错误的是A . 是无理数B . 是15的算术平方根C . 15的平方根是D .3<544.☆下列说明错误的是A . 4的平方根是±2B . 是分数C . 是有理数D . 是无理数5.☆已知=0,则x为A . x>3B . x<－3C . x=－3D . x的值不能确定6.☆若是整数,则自然数n的值有个．A . 7B . 8C . 9D . 107.☆已知是整数,则满足条件的最小正整数n为A . 2B . 3C . 4D . 58.☆x≥其中一定是二次根式的有A . 1个B . 2个C . 3个D . 4个9.☆下列各式中：,其中是二次根式的有A . 1个B . 2个C . 3个D . 4个10.☆,正整数n的最小值是A . 0B . 2C . 3D . 4典型题：二、填空题-可以合并,则a= ．11.☆若两个最简二次根式与44a12.☆当x=﹣6时,二次根式．13.☆当x=﹣2时,的值为．14.☆当x=﹣2时,二次根式的值是．15.☆二次根式,则m= ．16.☆当x取．时,2-,最大值是．17.☆当．时是二次根式．18.☆是二次根式,则m,n应满足的条件分别是．．19.☆当a=﹣2时,二次根式的值是．20.☆已知n是正整数,则n的最小值是．典型题型：一、单选题1.☆若使二次根式在实数范围内有意义,则x的取值范围是A .☆x≥2B . x>2C . x<2D . x≤22.☆若二次根式在实数范围内有意义,则x的取值范围是A . x≠5B . x＜5C . x≥5D . x≤53.☆要使代数式有意义,必须A . x≤2B . x≥2C . x≤-2D . x≥-24.☆x的取值范围是A . x≥B . x≤C . x＜D . x＞5.☆ 2015徐州使有意义的x的取值范围是A . x≠1B . x≥1C . x＞1D . x≥06.☆ 2015甘孜州使二次根式的有意义的x的取值范围是A . x＞0B . x＞1C . x≥1D . x≠17.☆若为二次根式,则m的取值为A . m≤3B . m＜3C . m≥3D . m＞38.☆若二次根式1x-有意义,则x的取值范围是A . x≥﹣B . x≠1C . x＞1D . x≥﹣且x≠19.☆若,则x的取值范围是A . x＞0B . x＞3C . x≥3D . x≤3典型题型：二、填空题10☆. 2015有意义的x的取值范围是.11.☆☆若x、y为实数,且y=++3,则y x的值为．12.☆要使代数式有意义,则x的取值范围是．13.☆已知x是实数且满足x﹣3=0,则相应的代数式x2+2x﹣1的值为．14.☆☆已知4++,．15.☆,则x的取值范围是．16.☆已知1y=++,则3x+y= ．17.☆有意义,则x的取值范围是．18.☆要使2x-在实数范围内有意义, 应满足的条件是19☆. 有意义,那么字母x的取值范围是．典型题型：三、解答题20.☆☆已知x、y都是实数,且3y=++ , 求y x的平方根．21.☆☆若a,b为实数,且11ba++=+, 求22.☆☆已知x,y为实数,且4y=++．求xy+3的值．23.☆☆已知x,y为实数,且4y=++, +24.☆☆求值1已知a、b满足0b+-=, 解关于x的方程a+2x+b2=a﹣1．2已知x、y都是实数,且4y=++, 求y x的平方根．25.☆☆已知a,b是有理数,4b+=+ , 求a和b的值．26.☆☆已知,3yx+=+求2x+y的算术平方根．27.☆☆若x、y为实数,且12yx++=+, 求•28. ☆☆已知a、b为一个等腰三角形的两条边长,并满足：b=2++5,求此等腰三角形的周长．29.☆☆已知+有意义,求2221x axa ax-+-+的值．知识点9难度要求典型题：一、单选题1.☆已知x、y +y2﹣6y+9=0,则y2x的值是A .☆B . 9C . 6D .典型题：二、填空题2. 代数式 的最大值是 ． 典型题：三、综合题3.☆ 完成下列问题： 1 若 是关于 的方程220x mx n ++= 的根,求的值；2 已知 , 为实数,且 25523yx x =-+-- 求2xy 的值．经典题型：一、单选题1☆. k 、m 、n 为三整数,===则下列有关于k 、m 、n 的大小关系,哪个正确A . k ＜m=nB . m=n ＜kC . m ＜n ＜kD . m ＜k ＜n 2.☆ 下列各式中,是最简二次根式的是 A .B .2a b C .22a b - D .3.☆ 下列根式中,不是最简二次根式的是 A .B .C .D .4☆. 下列式子为最简二次根式的是 A .B .C .29x - D .23x y5.☆ 当a ＜0,b ＜0时,把化为最简二次根式,得A .1ab bB 1ab b -.C . 1ab b-- -D . b6.☆ 在根式,221a b a b --,3ab ,261,232a b 中,最简二次根式有A . 1个B . 2个C . 3个D . 4个 7.☆ 下列二次根式中,属于最简二次根式的是 A .B .C .D .8.☆ 二次根式 化为最简二次根式是9.☆ 下列根式中属最简二次根式的是10☆. 下列二次根式中,最简二次根式是典型题型：二、解答题 11.☆☆ 探索规律 先观察下列各式,再回答问题．．1根据上面三个等式提供的消息,,不用验证；2按照上面各等式反映的规律,试写出用含n 的式子表示的等式n 为正整数,不用验证． 12.☆☆ 已知实数x 满足求x 的取值范围．13.☆☆ 1已知8yx =++,2当﹣4＜x ＜1时,-14.☆☆易错题 已知a,b,c 为实数,且它们在数轴上的对应点的位置如图所示,化简：222()()2b a b c a c a -++---．15.☆ 设a,b,c 为△ ABC 的三边,化简：+++16.☆☆ 求使13x ++-x 的取值范围．典型题型：三、填空题 17.☆☆ += ．18.☆☆☆ 计算．= ;19.☆ 将化成最简二次根式的结果为 ．20.☆ 下列二次根式,不能与12合并的是填写序号即可．21.☆☆ 已知关于x 的一次函数y=mx+n 的图象如图所示,则n m --可化简为 ．22.☆☆ 当a= 时,|a ﹣2a ．23.☆ 如果﹣1,则a 的取值范围是 ．24.☆25.☆☆ 当a ＜0时a -=．26.☆ 当a ＜0时, = ． 典型题型：四、计算题27.☆ 当2＜m ＜3时,化简﹣3|m ﹣4|．典型题型：五、综合题 28.☆☆ 探究题：23=3,20.5=,26=6,23()4= ,20=0．根据以上算式,回答： a 吗如果不是,那么= ；2 利用你总结的规律,计算： ①若x ＜2,则= ；= ．3 若a,b,c 为三角形的三边长,化简：++．29.☆☆ 化简30.☆☆☆ 我们知道平方运算和开方运算是互逆运算,如：a 2±2ab+b 2=a±b 2 , 那么22(2)a ab b ±+ =|a±b|,那么如何将双重二次根式 2a b ±a ＞0,b ＞0,a±2＞0化简呢如能找到两个数m,nm ＞0,n ＞0,使得2+2=a 即m+n=a,且使 =即mn=b,那么a±2 =2+2±2 = ± 2∴2a b ±=|± |,双重二次根式得以化简； 例如化简： 322+；∵3=1+2 且2=1×2,∴3+2=2+2+2 × ∴322+=1+由此对于任意一个二次根式只要可以将其化成,且能找到m,nm ＞0,n＞0使得m+n=a,且mn=b,那么这个双重二次根式一定可以化简为一个二次根式．请同学们通过阅读上述材料,完成下列问题： 1 = ；= ； 2 3 计算：．+典型题型：一、单选题 1. 1-的正确结果是 A . 2+ B . 2-C . 2+D . 2-2.☆☆ 分母有理化后得A . 4bB . 2C .D .2b b3.☆☆ +的有理化因式是+--+4.☆☆ 若2x y =+=则x 与y 关系是A . x>yB . x=yC . x<yD . xy=1 5.☆☆ 下列各式中,与2﹣的积为有理数的是 A . 2B . 2-C . -2+D . 2+6.☆☆ 已知a=+ , b=253-, 则a 与b 的关系是A . a=bB . ab=1C . a=﹣bD . ab=﹣57.☆☆ 已知：a b ==, 则a 与b 的关系是A . ab=1B . a+b=0C . a ﹣b=0D .22a b =8.☆☆ 结果正确的是A . 3+2B . 3-C . 17+12D . 17﹣129.☆☆ 与2﹣ 相乘,结果是1的数为A .B . 2﹣C . ﹣2+D . 2+10.☆☆ 已知x= +1,y= ﹣1,则代数式22x y + 的值为A .☆☆ 2B . 2C . 4D .±2典型题型：二、解答题11.☆☆☆阅读下列材料,并解决相应问题：阅读：分母有理化就是把分母中的根号化去．12.☆☆☆观察下列等式：13.☆☆☆阅读下面问题：14.☆☆☆阅读下列材料,然后回答问题．在进行二次根式的化简与运算时,我们有时会碰,其实我们可以将典型题型：三、综合题15.☆☆☆16.☆☆☆17.☆☆☆阅读材料：18.☆☆☆19.☆☆☆ 阅读下面的材料,并解答问题：20.☆☆☆ 知识链接 有理化因式：两个含有根式的非零代数式相乘,如果它们的积不含有根式,那么这两个代数式相互叫做有理化因式． 例如：的有理化因式是；1﹣21a + 的有理化因式是1+21a + ．分母有理化：分母有理化又称“有理化分母”,也就是把分母中的根号化去．指的是如果代数式中分母有根号,那么通常将分子、分母同乘以分母的有理化因式,达到化去分母中根号的目的．如：典型题型：四、填空题21.☆☆ 若a =,则a ﹣12= ．22.☆☆ 已知一个无理数与 +1的积为有理数,这个无理数为 ．23.☆☆==-1-==-,并利用这一规律计算．2222...++++•+= 24.☆☆1=；1== ;25.☆☆11=-1=-...1)++++•+=26.☆☆的有理化因式为．27.☆填空：﹣1的倒数为．28.☆☆==-1=-,1=．利用以上提供的方法化简下式：...++++29.☆= ;30.☆☆写出的一个有理化因式 ;典型题型：一、单选题1.☆在二次根式：①；②；③；④中,与是同类二次根式的是A . ①和③B . ②和③C . ①和④D . ③和④2.☆下列二次根式中,与是同类二次根式的是A .B .C .D .3.☆下列二次根式中与是同类二次根式的是A .B .C .D .4.☆下列二次根式中,与是同类二次根式的是A .B .C .D .5.☆下列二次根式中与是同类二次根式的是A .B .C .D .6.☆下列各式中能与合并的是A .B 12.C 12. D 2a.7.☆下列二次根式中,与能够合并的是A .B .C .20D .8.☆下列二次根式中,与能合并的是9.☆下列二次根式中与是同类二次根式的是10.☆下列二次根式中,能与合并的是A .B .12C 18.D .11.☆下列二次根式中,不能与合并的是A .12B .C .12D . 1812.☆下列根式中,不能与合并的是1典型题型：二、填空题13.☆在根式、、中,与是同类二次根式的是．14. ☆☆如果最简二次根式,则a= ．15.☆☆与最简二次根式1m+能合并,则m= ．16.☆☆如果最简二次根式与42a-是同类二次根式,那么a= 17.☆在,12 ,18中与是同类二次根式是．18.☆☆☆若最简二次根式与,则b的值是．19.☆☆已知最简二次根式72a-与2 可以合并,则a的值是．20.☆下列二次根式,不能与合并的是填写序号即可．②；③2．21.☆☆如果最简二次根式38a-与的被开方数相同,则a= ;22.☆若一个数与是同类二次根式,则这个数可以是．23.☆☆最简二次根式,则a= ．24.☆☆最简二次根式,则a= ．25.☆,可以是．26.☆☆如果最简二次根式,那么a= ．27.☆下列二次根式,不能与②；④2；28.☆☆已知最简二次根式21a+与可以合并,则a的值是．29.☆写出一个与是同类二次根式的式子：．典型题型：三、解答题30.☆☆已知最简二次根式是同类二次根式,求关于x的方程2典型题型：一、解答题1.☆☆若a,b为有理数,且181828a b++=+,求的值;2.☆计算：3-3. ☆已知1化简这四个数；2把这四个数,通过适当运算后使得结果为2．请列式并写出运算过程．4.☆ 2014大连计算：1﹣++﹣1 ．5.☆先化简：, 再从﹣1≤x≤1中选取一个适当的整数求值．6.☆计算：2015﹣π0+|﹣2|+÷+﹣1 ．7.☆解方程：4x2﹣8x﹣3=0．8.☆ 1计算：2化简：3﹣+2﹣；3解不等式组, 并把解集在数轴上表示出来．9.☆ 1计算：2-+．2先化简,再求值：,其中a=-1．10.☆化简1﹣2×﹣62+﹣+2．二、计算题11.☆计算：1﹣4﹣3﹣22 ．12.☆计算13.☆计算12 +12017﹣12016 ．14.☆计算下列各题：123 2 +320072 ﹣32008 ．15.☆计算：．16.☆计算题12 ．17.☆计算．18.☆计算或化简19.☆计算1 5+ ﹣22 | ﹣|+|2 ﹣3 |﹣﹣3 + ．20.☆计算：三、综合题21.☆计算：22.☆计算23.☆计算：24.☆计算：25.☆计算：26.☆计算题：27.☆计算：28.☆☆☆阅读理解题：学习了二次根式后,你会发现一些含有根号的式子可以写成另一个式子的平方,如3+2 =1+ 2 , 我们来进行以下的探索：设a+b =m+n 2其中a,b,m,n都是正整数,则有a+b =m2+2n2+2mn ,∴a=m+2n2 , b=2mn, 这样就得出了把类似a+b 的式子化为平方式的方法．请仿照上述方法探索并解决下列问题：1 当a,b,m,n都为正整数时,若a﹣b =m﹣n2 , 用含m,n的式子分别表示a,b,得a= , b= ；2 利用上述方法,找一组正整数a,b,m,n填空：﹣= ﹣ 23 a﹣4 =m﹣n 2且a,m,n都为正整数,求a的值．29.☆计算下列各式：30.☆☆计算下列各式：知识点14难度要求典型题型：一、计算题共10题；共55分1. ☆☆请化简式子,再取一个能使原式有意义,而你又喜欢的m的值代入化简后的式子中求值．2. ☆☆已知的平方根．3. 1☆☆先化简,再求且x为偶数．4. ☆☆已知a=3+2 ,b=3﹣2 ,求a2b+ab2的值．5. ☆☆已知a=5+ ,b=5﹣2 ,求a2﹣3ab+b2的值．6. ☆☆若x2﹣3x+1=0,求的值．7. ☆☆已知x,y都是有理数,并且满足的值．8. ☆☆先化简,后求值：x2+y2﹣2x+2y+2,其中x= +1,y= ﹣1．9. ☆☆已知a+b=﹣4,ab=2．求的值．10. ☆☆已知x=2﹣,求代数式7+4 x2+2+ x+ 的值．典型题型：二、解答题11. ☆☆化简求值：其中x=2+．12. ☆☆已知：a+=1+ ,求的值．13. ☆☆已知 xy=6,x+y=﹣4,求x +y的值．14. ☆☆已知：的值．15. ☆☆已知x= -1,y= +1,求的值．16. ☆☆已知的值．17. ☆☆已知：a= ﹣2,b= +2,分别求下列代数式的值：18. ☆☆已知：x= +1,y= ﹣1,求代数式x2+2xy+y2的值．19. ☆☆已知a= +1,b= ﹣1,求a2+ab+b2．20. ☆☆先化简,再求值：,其中,x= +1．典型题型：三、综合题21. ☆☆解答1 已知x= +2,求代数式9﹣4 x2+2﹣x+ 的值．2 先化简,再求值： ,其中a= +2,b= ﹣2．22. v☆☆化简求值已知x=2﹣,y=2+ ,求下列各式的值．1 x2﹣y2；2 x2+xy+y2．23. ☆☆计算：1 已知m=1+ ,n=1﹣,求代数式m2+2mn﹣n2的值；2 已知x+ = 10,求代数式x﹣的值．24. ☆☆综合题;25. ☆☆已知：．求值：26. ☆☆已知x= + ,y= ﹣,求下列各式的值．27. ☆☆计算下面各题28. ☆☆已知：x= +1,y= ﹣1,求下列代数式的值．1 x2﹣xy+y22 x2﹣y2．29. ☆☆已知x= + ,y= ﹣．求：1 x3y+xy3；2 3x2﹣5xy+3y2的值．30. ☆☆已知x=2﹣,y=2+ ,求下列代数式的值：1 x2+2xy+y2；22典型题型：一、单选题1. ☆☆等腰三角形的两条边分别为2 和3 ,则这个三角形的周长为A . 4 +3B . 2 +6C . 4 +3 或2 +6D . 4 +6 或2 +62. 和则这个三角形的周长为A .B . 或C .D .3. ☆☆某校的校园内有一块尺寸如图所示的三角形空地,现计划将这块空地建成一个花园．已知每平方米的造价为30元．则学校建这个花园需要投资 ,A . 7794元B . 7820元C . 7822元D . 7921元4. ☆☆在直角三角形中,那么这个直角三角形的斜边长为A . 6B . 7C . 2D . 25. ☆☆△ABC的两边长分别为2和2 ,第三边上的高等于,则△ABC的面积是A .B . 2C . 或2D . 不能确定6. ☆☆☆将一组数,2, , , 10,…, 按下面的方式进行排列：,2, , , 23； ,V4, , ；…若的位置记为1,4,14的位置记为2,2,则这组数中最大的有理数的位置记为A . 7,2B . 7,5C . 6,2D . 6,37. ☆☆现有一个体积为252 cm3的长方体纸盒,该纸盒的长为3 cm,宽为2 cm,则该纸盒的高为A . 2 cmB . 2 cmC . 3 cmD . 3 cm8. ☆☆在△ABC中,BC=4 cm,BC边上的高为2 cm,则△ABC的面积为A . 3 cm2B . 2 cm2C . 8 cm2D . 16 cm29. ☆☆如图,在数学课上,老师用5个完全相同的小正方形在无重叠的情况下拼成了一个大长方形,已知小长方形的长为27、宽为12,下列是四位同学对该大长方形的判断,其中不正确的是A . 大长方形的长为6B . 大长方形的宽为5C . 大长方形的周长为11D . 大长方形的面积为9010. ☆☆如图,在数学课上,老师用5个完全相同的小长方形的无重叠的情况下拼成了一个大长方形,已知小长方形的长为3 10、宽为210 ,下列是四位同学对该大长方形的判断,其中不正确的是A . 大长方形的长为大长方形的宽为C . 大长方形的长为大长方形的面积为300典型题型：二、解答题11. ☆☆矩形的两条边长分别是+和-求该矩形的面积和对角线的长．12. ☆☆如图,在四边形ABCD中,∠A=∠BCD=90°,∠B=45°,==．求四边形ABCD的面积．AB CD26,313. ☆☆一个直角三角形的两条直角边的长分别为cm与10 cm,求这个直角三角形的面积和周长．14. ☆☆已知三角形的三边a,b,c的长分别是cm,16 cm,25cm,求这个三角形的周长和面积．15. ☆☆要做一个面积为18的矩形,使它的长宽之比为3：2,求长为多少+和求16. ☆☆如右图,已知直角三角形的两条直角边a,b的长分别为22122-1斜边c的长．17. ☆☆如图,B地在A地的正东方向,两地相距km．A,B两地之间有一条东北走向的高速公路,且A,B两地到这条高速公路的距离相等．上午8：00测得一辆在高速公路上行驶的汽车位于A地的正南方向P处,至上午8：20,B地发现该车在它的西北方向Q处,该段高速公路限速为110km/h．问：该车是否超速行驶18. ☆☆如图,在水塔O的东北方向10m处有一抽水站A,在水塔的东南方向20 m处有一建筑工地B,在AB间铺设一条直通的水管,求水管的长．。

专题04《实数》解答题重点题型分类专题简介：本份资料专攻《实数》中“化简求值题型”、“利用平方根与立方根的性质解方程题型”、“计算解答题型”、“数轴比较大小题型”、“整数部分与小数部分题型”、“创新题型”重点题型；适用于老师给学生作复习培训时使用或者考前刷题时使用。

考点1：化简求值题型方法点拨：1.数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应（数形结合）。

2.数的相反数是－；一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.3.有理数的运算法则和运算律在实数范围内仍然成立.实数混合运算的运算顺序：先乘方、开方、再乘除，最后算加减.同级运算按从左到右顺序进行，有括号先算括号里.4.绝对值、平方、算术平方根的双重非负性的应用。

1．若0,0a ab <<，化简a b a --【答案】【分析】由0,0a ab <<判断b ＞0，再判断绝对值里的数的正负，由绝对值的定义去掉绝对值，再计算即可．【详解】解：∵0,0a ab <<，∴b ＞0，∴0,0a b b a --<->∴a b a --((a b b a =-----a b b a =-+++=【点睛】本题考查二次根式的化简，正确的对含绝对值号的代数式的化简是解题的关键．分类的标准应按正实数，负实数，零分类考虑．掌握好分类标准，不断加强分类讨论的意识．2．先化简后求值：()()()()222232x y y x y x y x y -----+-，其中x ，y满足30x y +=．【答案】xy -，1-【分析】直接利用整式的混合运算法则以及绝对值、算术平方根的性质得出x ，y 的值，进a a而计算得出答案．【详解】解：原式2222244432x xy y x y xy y =-+-++-xy =-，30x y +=Q ，\3402350x y x y +-=ìí--=î，解得：313x y =ìïí=ïî，\原式1313=-´=-．【点睛】本题主要考查了整式的混合运算，绝对值的非负性，算术平方根，解题的关键是正确掌握相关运算法则．3．先化简，再求值：[（3x +y ）（3x ﹣y ）﹣2x （y +2x ）+（y ﹣2x ）2]÷（﹣3x ），其中x 、y满足1y =．【答案】﹣3x +2y ，﹣26【分析】原式中括号利用平方差公式，完全平方公式，以及单项式乘以多项式法则计算，去括号合并后利用多项式除以单项式法则计算得到最简结果，利用非负数的性质求出x 与y 的值，代入计算即可求出值．【详解】解：原式＝（9x 2﹣y 2﹣2xy ﹣4x 2+y 2﹣4xy +4x 2）÷（﹣3x ）＝（9x 2﹣6xy ）÷（﹣3x ）＝﹣3x +2y ，∵1y =，∴x ﹣8≥0且8﹣x ≥0，解得：x ＝8，∴11y ==-，∴原式＝﹣3×8+2×（﹣1）＝﹣24﹣2＝﹣26．【点睛】此题考查了整式的混合运算﹣化简求值，以及非负数的性质，熟练掌握相关运算法则是解本题的关键．4．已知多项式A ＝x 2+2xy ﹣3y 2，B ＝2x 2﹣3xy +y 2，先化简3A +2B ；再求当x ，y 为有理数且满足x 2y +2y ＝﹣+17时，3A +2B 的值．【答案】2277,63x y -【分析】根据多项式的加减运算进行化简，进而根据x ，y 为有理数求得,x y 的值，代入求解即可．【详解】Q A ＝x 2+2xy ﹣3y 2，B ＝2x 2﹣3xy +y 2，\()()222232323223A B x xy y x xy y +=+-++-2222369462x xy y x xy y =+-+-+2277x y =-()227x y =-Q x 2+2y ＝﹣，x ，y 为有理数，22x y \+==-，4,5y x \=-=±2225169x y \-=-=\原式7963=´=【点睛】本题考查了整式的加减化简求值，实数的性质，求得,x y 的值是解题的关键．5．（1）化简：a 2+（5a 2﹣2a ）﹣2（a 2﹣3a ）；（2）先化简，再求值：14（﹣4x 2+2x ﹣8y ）﹣（﹣x ﹣2y ），其中x ＝23，y ＝2018．【答案】（1）244a a +；（2）232x x -+，59【分析】（1）去括号后合并同类项即可；（2）利用乘法分配律化简，进而合并同类项，再把已知数据代入得出答案．【详解】解：（1）a 2+（5a 2﹣2a ）﹣2（a 2﹣3a ），2225226a a a a a =+--+ ，244a a =+ ；（2）14（﹣4x 2+2x ﹣8y ）﹣（﹣x ﹣2y ），()()21114282444x x y x y =´-+´+´-++ ，21222x x y x y =-+-++ ，232x x =-+ ，当x ＝23，y ＝2018时，原式2232323æö=-+´ç÷èø ，419=-+ ，59= ．【点睛】此题主要考查了整式的化简求值和实数运算，正确掌握整式的混合运算法则是解题关键．6．已知数a a【答案】2【分析】直接利用数轴得出a 的取值范围，进而化简得出答案．【详解】解：由数轴得：0.50a -＜＜，a ＝121a a a-+++＝2．【点睛】本题主要考查了实数的运算与数轴，算术平方根的非负性，化简绝对值等知识点，正确化简各式是解本题的关键．7．实数a 、b 、c 在数轴上的对应点位置如图所示，化简：【答案】3b【详解】解：原式=|-c |+|a -b |+a +b -|b -c |，=c +（-a +b ）+a +b -（-b +c ），=c -a +b +a +b +b -c ，=3b ．【点睛】此题主要考查了实数的运算，关键是掌握绝对值的性质和二次根式的性质．8．若一个正数的两个平方根分别为1a -，27a +，请先化简再求值：()()222123a a a a -+--+．【答案】25a +，9【分析】根据正数的两个平方根互为相反数可求得a 的值，再对原式去括号合并同类项化简后，代入a 的值求解即可．【详解】解：∵一个正数的两个平方根分别为1a -，27a +，∴（a -1）+（2a +7）=0，解得a =-2．()()222123a a a a -+--+2222223a a a a =-+-++25a =+，当a =-2时，原式()2259=-+=．【点睛】本题主要考查了平方根的性质，整式的加减求值．利用正数的两个平方根互为相反数列等式求值是解题的关键．9．我们可以把根号外的数移到根号内，从而达到化简的目的．例如：（1）请仿照上例化简．①②；（2）请化简【答案】（1）；②2）【分析】（1）①根据题意仿照求解即可；②根据题意仿照求解即可；（2）先根据被开方数的非负性判断a 的正负，然后根据题意求解即可．【详解】解：（1）①；②===（2）∵∴10a -³，∴0a <∴==【点睛】本题主要考查了实数的运算，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．10．数形结合是一种重要的数学方法，如在化简a 时，当a 在数轴上位于原点的右侧时，a a =；当a 在数轴上位于原点时，0a =；当a 在数轴上位于原点的左侧时，a a =-．当a ，b ，c 三个数在数轴上的位置如图所示，试用这种方法解决下列问题，（1）当1a =时，求aa =______，当2b =-时，求bb =______．（2）请根据a ，b ，c 三个数在数轴上的位置，求abca b c ++的值．（3）请根据a ，b ，c 三个数在数轴上的位置，化简：a c c a b b c ++++--．【答案】（1）1；1- ；（2）1-；（3）c -．【分析】（1）当1a =时，点a 在原点右边，由题意可知，此时a a =，代入a a 即可求值；当2b =- 时，点b 在原点左边，由题意可知，此时b b =-，代入bb 即可求值；（2）由图中获取a b c 、、三点的位置信息后，结合题意即可求原式的值；（3）由图获取a b c 、、的正、负信息和三个数绝对值的大小后，就可确定原式中绝对值符号里面式子的值的符号，就可化简原式．【详解】解：（1）当1a =时，111a a ==；当2b =-时，212b b ==--，故答案是：1，-1；（2）由数轴可得：0b < ，0c < ，0a > ，∴abca b c ++=1111a b c a b c--++=--=-；（3）由数轴可知：0b c a <<<且c a b <<，∴000a c a b b c +>+<-<，，，∴a c c a b b c++++--()[()][()]a c c a b b c =++-+-+---a c c ab b c=+---+-c =-．【点睛】本题考查了数轴，解决本题的关键是熟记正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数．在解第3小问这类题时，需注意以下两点：（1）根据在数轴上表示的数中，左边的总小于右边的，确定好所涉及数的大小关系及每个数的正、负信息（涉及异号两数相加的还要获取它们绝对值的大小关系）；（2）根据有理数加、减法法则确定好需化简式子中绝对值符号里的式子的正、负，然后再根据绝对值的代数意义将绝对值符号去掉．考点2：利用平方根与立方根的性质解方程题型方法点拨：解方程时应把平方部分看成一个整体，先根据等式基本性质把方程化为平方部分等什么。