【小初高学习]2018年秋七年级数学上册 第6章 图形的初步知识习题 (新版)浙教版

第6章图形的初步认识6．1 几何图形基础题知识点1 认识立体图形1．下列几何图形是立体图形的是(D)A．扇形B．长方形C．圆D．正方体2．(丽水中考)下列图形中，属于立体图形的是(C)3．观察图中的立体图形，分别写出它们的名称．知识点2 认识平面图形4．在长方形、长方体、三角形、球、直线、圆中，是平面图形的有(B)A．3个B．4个C．5个D．6个5．图中的几何图形可看作由哪些简单的平面图形组成的？解：机器猫由三角形以及圆组成；邮箱由长方形、三角形以及圆组成；会笑的人由圆、三角形以及线段组成．中档题6．将第一行的平面图形绕轴旋转一周，便得到第二行中的某个几何体，用线连一连．解：如图所示．7．如图1所示的几何体是三棱柱，它有6个顶点，9条棱，5个面，图2，图3所示几何体分别是四棱柱和五棱柱．图1 图2 图3(1)四棱柱有8个顶点，12条棱，6个面；(2)五棱柱有10个顶点，15条棱，7个面；(3)你能由此猜出六棱柱、七棱柱各有几个顶点，几条棱，几个面？(4)n棱柱有几个顶点，几条棱，几个面吗？解：(3)六棱柱有12个顶点，18条棱，8个面；七棱柱有14个顶点，21条棱，9个面．(4)n棱柱有2n个顶点，3n条棱，(n＋2)个面．综合题8．(湖州中考)七巧板是我国祖先的一项卓越创造．下列四幅图中有三幅是小明用如图所示的七巧板拼成的，则不是小明拼成的那幅图是(C)A B C D6.2 线段、射线和直线基础题知识点1 线段、射线、直线的认识1．下列生活中的实例可以看成射线的是(C)A．紧绷的琴弦B．人行道横线C．手电筒发出的光线D．正方体的棱长2．如图，下列几何语句不正确的是(D)A．直线AB与直线BA是同一条直线B．射线OA与射线OB是同一条射线C．线段AB与线段BA是同一条线段D．射线OA与射线AB是同一条射线3．按下列语句，不能画出图形的是(A)A．延长直线ABB．直线EF经过点CC．线段m与n交于点PD．经过点O的三条直线a、b、c4．如图，能用字母表示的直线有1条，线段有3条，射线有4条．5．已知平面上四点A，B，C，D，如图所示．(1)画直线AB；(2)画射线AD；(3)直线AB，CD相交于点E；(4)连结AC，BD相交于点F.解：如图所示．知识点2 直线的基本性质6．用两个钉子把直木条钉在墙上，木条就固定了，这说明(B)A．一条直线上只有两点B．两点确定一条直线C．过一点可画无数条直线D．直线可向两端无限延伸7．开学整理教室时，老师总是先把每一列最前和最后的课桌摆好，然后再依次摆中间的课桌，一会儿一列课桌摆在一条线上，整整齐齐，这是因为两点确定一条直线．中档题8．(绍兴上虞区期末)如图，数轴上的点A、B、C、D、E分别对应的数是1、2、3、4、5，那么表示13的点应在(C)A．线段AB上B．线段BC上C．线段CD上D．线段DE上9．往返于甲、乙两地的火车中途要停靠三个站，则有10种不同的票价(来回票价一样)，需准备20种车票．10．在平面上画出三条直线a，b，c，说说三条直线将平面分成几个部分．解：四部分六部分七部分综合题11．如图：(1)试验观察：如果每过两点可以画一条直线，那么：图1最多可以画3条直线，图2最多可以画6条直线，图3最多可以画10条直线；(2)探索归纳：如果平面上有n(n≥3)个点，且每3个点均不在1条直线上，那么最多可以画n（n－1）2条直线(用含n的代数式表示)；(3)解决问题：某班45名同学在毕业后的一次聚会中，如果每两人握1次手问好，那么共握990次手．6.3 线段的长短比较基础题知识点1 线段的长短比较1．从直观上看，下列线段中最长的是(B)A．________ B．____________________ C．______ D．________________2．下列图形中，可以比较长短的是(B)A．两条射线B．两条线段C．两条直线D．直线与射线3．为比较两条线段AB与CD的大小，小明将点A与点C重合使两条线段在一条直线上，点B在CD的延长线上，则(B)A．AB＜CD B．AB＞CDC．AB＝CD D．以上都有可能4．如图，在三角形ABC中，比较线段AC和AB长短的方法可行的有(C)①凭感觉估计；②用直尺度量出AB和AC的长度；③用圆规将线段AB叠放到线段AC上，观察点B的位置；④沿点A折叠，使AB和AC重合，观察点B的位置．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个5．比较图中以A为一个端点的线段的大小，并把它们用“＜”号连接起来．解：AB＜AC＜AD.6．如图，四条线段AB、BC、CD、DA，用圆规截取的方法比较图中的线段的大小．解：通过用圆规比较图中的四条线段，可得DA＞CD＞BC＞AB.知识点2 线段的基本事实及两点间的距离7．A，B两点间的距离是(D)A．连结两点间的直线B．连结两点的线段C．连结两点间的直线的长度D．连结两点的线段的长度8．(嵊州期末)如图，从A到B有三条路径，最短的路径是③，理由是(C)A．两点确定一条直线B．过一点有无数条直线C．两点之间，线段最短D．因为直线比曲线和折线短9．如图，数轴上A，B两点之间的距离为4．10．如图，直线AB表示一条公路，公路两旁各有一个工厂，用点M、N表示，要在公路旁建一个货场，使它到两个工厂的距离之和最小，问这个货场应建在什么地方．解：图略．连结MN，与AB的交点即为所求．中档题11．(徐州中考改编)点A、B、C在同一条数轴上，其中点A、B表示的数分别为－3，1，若BC＝2，则A、C两点间的距离等于(D)A．3 B．2 C．3或5 D．2或612．如图，小华的家在A处，书店在B处，星期日小华到书店去买书，他想尽快赶到书店，请你帮助他选择一条最近的路线(B)A．A→C→D→BB．A→C→F→BC．A→C→E→F→BD．A→C→M→B13．如图所示，正方形ABCD的边长为1 cm，现将正方形ABCD沿水平方向翻滚15次，那么图中点A翻滚后所在的位置与A点开始位置之间的距离为(B)A．15 cm B．16 cm C．30 cm D．45 cm14．如图，按下面语句画图．(1)分别延长线段AD和BC，使它们相交于点M；(2)延长AB至点N，使BN＝CD，再连结DN交线段BC于点P；(3)用刻度尺比较线段DP和PN的大小．解：图略．用刻度尺测量得DP＝PN.15．如图，平面上有A、B、C、D 4个村庄，为解决当地缺水问题，政府准备修建一个蓄水池，不考虑其他因素，请你画出蓄水池P 的位置，使它与4个村庄的距离之和最小．解：如图所示，连结AC 、BD 的交点即为P 点的位置．综合题16．如图所示，有一个正方体盒子，一只虫子在顶点A 处，一只蜘蛛在顶点B 处，蜘蛛沿着盒子准备偷袭虫子．蜘蛛想要最快地捉住虫子，应怎样走？解：略．6.4 线段的和差基础题 知识点1 线段的和差1．如图，下列关系式中与图不符合的式子是(C)A ．AD －CD ＝AB ＋BC B ．AC －BC ＝AD －BD C ．AC －BC ＝AC ＋BD D ．AD －AC ＝BD －BC2．已知线段AB ＝3 cm ，延长BA 到C 使BC ＝5 cm ，则AC 的长是(A)A ．2 cmB ．8 cmC ．3 cmD ．11 cm 3．如图，线段AB 上有C ，D 两点，若AB ＝5，CD ＝2，则AC ＋DB ＝7．知识点2 尺规作线段4．如图，已知线段a 和b ，且a ＞b ，用直尺和圆规作一条线段，使它等于2a ＋b.解：略．知识点3 线段的中点5．已知点C 是线段AB 上的一点，不能确定点C 是AB 中点的条件是(D)A ．AC ＝CBB ．AC ＝12ABC ．AB ＝2BCD ．AC ＋CB ＝AB6．已知点C 是线段AB 的中点，AB ＝2，则BC ＝1．7．如图，已知线段AB ＝10 cm ，点C 是AB 的中点，点D 是AC 的中点，则线段CD ＝2.5__cm ．8．如图，C 是线段AB 上的一点，M 是线段AC 的中点，若AB ＝8 cm ，BC ＝2 cm ，求MC 的长．解：AC ＝AB －BC ＝8－2＝6(cm)．因为M 是线段AC 的中点，所以MC ＝12AC ＝3 cm.故MC 的长为3 cm. 中档题9．线段AB ＝2 cm ，延长AB 到C ，使BC ＝AB ，再延长BA 到D ，使BD ＝2AB ，则线段DC 的长为(C)A ．4 cmB ．5 cmC ．6 cmD ．2 cm10．已知线段AB ＝8 cm ，点C 是直线AB 上一点，BC ＝2 cm ，若M 是AB 的中点，N 是BC 的中点，则线段MN 的长度为(B)A ．5 cmB ．5 cm 或3 cmC ．7 cm 或3 cmD ．7 cm11．(西湖区期末)已知线段AB ＝8 cm ，在直线AB 上有一点C ，且BC ＝4 cm ，点M 是线段AC 的中点，则线段AM 的长为(C)A ．2 cmB ．4 cmC ．2 cm 或6 cmD ．4 cm 或6 cm12．已知线段AB ＝8 cm ，在直线AB 上画线段BC ，使BC ＝3 cm ，则线段AC ＝11__cm 或5__cm ． 13．把线段MN 延长到点P ，使NP ＝MN ，A 为MN 的中点，则AP ＝34MP.14．如图，已知线段AD ＝6 cm ，线段AC ＝BD ＝4 cm ，E 、F 分别是线段AB 、CD 的中点，求EF.解：∵AD ＝6 cm ，AC ＝BD ＝4 cm ， ∴BC ＝AC ＋BD －AD ＝2 cm. ∴AB ＝2 cm ，CD ＝2 cm.∴EF ＝BC ＋12(AB ＋CD)＝2＋12×4＝4(cm)．15．如图，M 是线段AB 的中点，点C 在线段AB 上，且AC ＝4 cm ，N 是AC 的中点，MN ＝3 cm ，求线段CM 和AB 的长．解：∵N 是AC 中点，AC ＝4 cm ， ∴NC ＝12AC ＝12×4＝2(cm)．∵MN ＝3 cm ，∴CM ＝MN －NC ＝3－2＝1(cm)． ∴AM ＝AC ＋CM ＝4＋1＝5(cm)． ∵M 是AB 的中点，∴AB ＝2AM ＝2×5＝10(cm)．16．点M ，N 都在线段AB 上，且M 分AB 为2∶3两部分，N 分AB 为3∶4两部分，若MN ＝2 cm ，请求出AB 的长．解：设AB ＝a ，则AM ＝25a ，AN ＝37a.因为MN ＝37a －25a ＝2，所以a ＝70，即AB ＝70 cm. 综合题17．如图，C 为线段AB 上一点，D 是线段AC 的中点，E 为线段CB 的中点．(1)如果AC ＝6 cm ，BC ＝4 cm ，试求DE 的长； (2)如果AB ＝a ，试求DE 的长度；(3)若C 在线段AB 的延长线上，且满足AC －BC ＝b cm ，D 、E 分别为AC 、BC 的中点，你能猜想DE 的长度吗？直接写出你的结论，不需说明理由．解：(1)因为D 、E 分别是线段AC 、CB 的中点，AC ＝6 cm ，BC ＝4 cm ，所以CD ＝12AC ＝3 cm ，CE ＝12BC ＝2 cm.所以DE ＝CD ＋CE ＝5 cm. (2)因为CD ＝12AC ，CE ＝12BC ，所以DE ＝CD ＋CE ＝12AC ＋12BC ＝12(AC ＋BC)＝12AB ＝12a.(3)DE ＝12b.6.5 角与角的度量基础题 知识点1 角的概念与表示1．如图所示，能用∠AOB ，∠O ，∠1三种方法表示同一个角的图形是(B)2．如图，∠AOB 的顶点是O ，两边分别是OA 和OB ． 知识点2 角的度量3．(河北中考)用量角器量∠MON 的度数，下列操作正确的是(C)A B C D4．(嘉兴期末)把60°30′化成度的形式是60.5°． 5．(1)将26.38°化为度、分、秒；(2)将35°40′30″化为度．解：(1)26.38°＝26°＋0.38×60′＝26°＋22.8′＝26°＋22′＋0.8×60″＝26°＋22′＋48″＝26°22′48″.(2)30″＝(160)′×30＝0.5′，40．5′＝(160)°×40.5＝0.675°，所以35°40′30″＝35.675°. 知识点3 角的计算 6．计算：(1)56°23′48″＋16°35′43″； 解：原式＝72°59′31″. (2)90°－28°12′36″. 解：原式＝61°47′24″. 知识点4 钟面角7．时钟9点30分时，分针和时针之间形成的角的度数等于(C)A ．75°B ．90°C ．105°D ．120°8．如图是一个时钟的钟面，8：00的时针及分针的位置如图所示，则此时分针与时针所成的∠α是120度． 中档题9．甲、乙、丙、丁四个学生在判断时钟的分针和时针成直角的时刻，每个人说两个时刻，说对的是(D)A ．甲说3点和3点半B ．乙说6点1刻和6点3刻C ．丙说9点和12点1刻D ．丁说3点和9点 10．归纳与猜想：(1)观察下图填空：图1中有3个角；图2有6个角；图3中有10个角；(2)根据(1)猜想：在一个角内引n －2条射线可组成n （n －1）2个角．综合题11．请解答下面有关钟面上的角的问题．(1)8点15分，时针与分针的夹角是157.5°；(2)从12点整始，至少再经过多长时间，分针与时针能再一次重合？ 解：设至少再过x 分钟分针与时针再一次重合， 根据题意，得0.5x ＋360＝6x ，解得x ＝72011.所以从12点整始，至少再过72011分钟，分针与时针再一次重合．6.6 角的大小比较基础题 知识点1 角的大小比较1．下列角度中，比20°小的是(A)A ．19°38′B ．20°50′C ．36.2°D ．56°2．若∠1＝40.4°，∠2＝40°4′，则∠1与∠2的关系是(B)A ．∠1＝∠2B ．∠1＞∠2C ．∠1＜∠2D ．以上都不对3．将∠1、∠2的顶点和其中一边重合，另一边都落在重合边的同侧，且∠1＞∠2，那么∠1的另一边落在∠2的(C)A ．另一边上B ．内部C ．外部D ．无法判断4．如图所示，其中最大的角是∠AOD ，∠DOC ，∠DOB ，∠DOA 的大小关系是∠DOA ＞∠DOB ＞∠DOC ． 5．如图，回答下列问题：(1)比较∠FOD与∠FOE的大小；(2)借助量角器比较∠AOE与∠DOF的大小．解：(1)∵OD在∠FOE的内部，∴∠FOD＜∠FOE.(2)用量角器度量得∠AOE＝30°，∠DOF＝30°，则∠AOE＝∠DOF.知识点2 角的分类6．已知∠AOB是锐角，则下列表述正确的是(C)A．0°＜∠AOB＜45°B．∠AOB＞45°C．0°＜∠AOB＜90°D．∠AOB＞90°7．下列说法正确的是(D)A．大于锐角的角是钝角B．周角就是一条射线C．小于平角的角是锐角D．一平角等于2个直角的和知识点3 用量角器画角8．如图，已知∠α，用量角器画∠AOB，使∠AOB＝∠α.解：图略．中档题9．如图，射线OB、OC将∠AOD分成三部分，下列判断错误的是(D)A．如果∠AOB＝∠COD，那么∠AOC＝∠BODB．如果∠AOB＞∠COD，那么∠AOC＞∠BODC．如果∠AOB＜∠COD，那么∠AOC＜∠BODD．如果∠AOB＝∠BOC，那么∠AOC＝∠BOD10．若∠1＝4°18′，∠2＝3°79′，∠3＝4.4°，则∠1，∠2，∠3的大小顺序是∠1＜∠2＜∠3(由小到大排列)．11．如图，∠BOD＝90°，∠COE＝90°，解答下列问题：(1)图中有哪些角小于平角？用适当的方法表示出它们；(2)比较∠AOC、∠AOD、∠AOE、∠AOB的大小，并指出其中的锐角、钝角、直角、平角．解：(1)图中小于平角的角有∠AOC、∠AOD、∠AOE、∠COD、∠COE、∠COB、∠DOE、∠DOB、∠EOB.(2)由图可知，∠AOC＜∠AOD＜∠AOE＜∠AOB，其中∠AOC为锐角，∠AOD为直角，∠AOE为钝角，∠AOB为平角．6.7 角的和差基础题知识点1 角的和差1．如图，点B，O，D在同一直线上，若∠1＝15°，∠2＝105°，则∠AOC的度数是(B)A．75°B．90°C．105°D．125°2．如图，小明将自己用的一副三角板摆成如图形状，如果∠AOB＝155°，那么∠COD等于(B) A．15°B．25° C．35°D．45°3．如图，在横线上填上适当的角：(1)∠BOD＝∠BOC＋∠DOC＝∠AOD－∠AOB；(2)∠AOB＝∠AOC－∠COB＝∠AOD－∠DOB；(3)∠BOC＝∠AOC－∠AOB＝∠AOD－∠COD－∠AOB.4．将一副直角三角板如图放置，则∠ABC的度数是75°．知识点2 角的平分线5．已知OC平分∠AOB，则下列各式：①∠AOB＝2∠AOC；②∠BOC＝∠AOB；③∠AOC＝∠BOC；④∠AOB＝∠BOC.其中正确的是(B)A．①②B．①③C．②④D．①②③6．如图，OB表示秋千静止时的位置，当秋千从OC荡到OA时，OB平分∠AOC，∠BOC＝60°，则秋千从OC荡到OA 转动的角度∠AOC的度数是(D)A．30°B．60°C．90°D．120°7．如图，O是直线AB上的一点，过点O作射线OC，OD平分∠AOC，OE平分∠BOC，若∠DOC＝50°，则∠BOE的度A ．50°B ．40°C ．25°D ．20°8．已知∠AOE ＝28°54′，OF 平分∠AOE ，则∠AOF ＝14°27′．9．如图，O 是直线AC 上一点，∠BOC ＝50°，OD 平分∠AOB ，则∠BOD ＝65°．10．如图，点O 在直线AB 上，∠1＝13∠BOC ，OC 是∠AOD 的平分线．(1)求∠2的度数； (2)试说明：OD ⊥AB.解：(1)∵∠1＝13∠BOC ，∠1＋∠BOC ＝180°，∴∠1＋3∠1＝180°. ∴∠1＝45°. ∵OC 平分∠AOD ， ∴∠2＝∠1＝45°.(2)∵∠AOD ＝∠COD ＋∠AOC ＝45°＋45°＝90°， ∴OD ⊥AB. 中档题11．(绍兴五校月考)用一副三角板可画出许多不同角度的角，下列哪个度数画不出来(D)A ．15°B ．75°C ．105°D ．65° 12．如图，OC 是∠AOB 的平分线，∠BOD ＝14∠DOC ，∠BOD ＝10°，则∠AOD 的度数为(C)A ．50°B ．60°C ．70°D ．80°13．(嘉兴期末)如图，已知射线OM ，ON 分别平分∠AOB ，∠COD ，若∠MON ＝α，∠BOC ＝β，则∠AOD ＝(B)A ．2αB ．2α－βC ．α＋βD ．α－β14．如图，在正方形ABCD 中，E 为DC 边上的一点，沿线段BE 对折后，若∠ABF 比∠EBF 大15°，则∠EBF 的度数15．(绍兴上虞区期末)如图所示，已知∠COD ＝12∠AOC ，OD 平分∠AOB ，且∠COD ＝23°，求∠AOB 的度数．解：∵∠COD ＝12∠AOC ，且∠COD ＝23°，∴∠AOC ＝2∠COD ＝46°.∴∠AOD ＝∠AOC ＋∠COD ＝69°. ∵OD 平分∠AOB ，∴∠AOB ＝2∠AOD ＝138°.16．如图，已知∠AOB 内有两条射线OC 、OD ，∠AOD ＝2∠BOD ，∠AOC ＝13∠COB ，∠COD ＝70°，求∠AOC 的度数．解：设∠BOD ＝x °，则∠AOD ＝2x °，∠AOC ＝(2x －70)°，∠COB ＝(x ＋70)°， ∵∠AOC ＝13∠COB ，∴2x －70＝13(x ＋70)．解得x ＝56.则∠AOC ＝2×56°－70°＝42°. 综合题17．(萧山区月考)如图1是一副三角尺拼成的图案(所涉及角度均小于或等于180度)．(1)∠EBC 的度数为150度；(2)将图1中的三角尺ABC 绕点B 旋转α度(0°<α<90°)能否使∠EBC ＝2∠ABD ？若能，则求出α的值；若不能，说明理由．(图2、图3供参考)图1 图2 图3 解：①逆时针旋转： 90°＋60°－α＝2α， 解得α＝50°； ②顺时针旋转：当0°<α≤30°时，有90°＋60°＋α＝2a，解得α＝150°，不符题意，舍去；当30°<α<90°时，有360°－90°－60°－α＝2α，解得α＝70°.综上所述：逆时针旋转50°或顺时针旋转70°时，∠EBC＝2∠ABD.6.8 余角和补角基础题知识点1 余角的概念及性质1．(株洲中考)已知∠α＝35°，那么∠α的余角等于(B)A．35°B．55°C．65°D．145°2．一个角的余角是它的2倍，这个角的度数是(A)A．30°B．45°C．60°D．75°3．(宁波海曙区期末)如图，∠1和∠2都是∠α的余角，则下列关系不正确的是(D)A．∠1＋∠α＝90°B．∠2＋∠α＝90°C．∠1＝∠2D．∠1＋∠2＝90°4．已知∠A与∠B互余，若∠A＝20°15′，则∠B的度数为69.75°．知识点2 补角的概念及性质5．下列图形中，∠1与∠2互为补角的是(C)6．∠α与∠β的度数分别是(2m－67)°和(68－m)°，且∠α与∠β都是∠γ的补角，那么∠α与∠β的关系是(C) A．互余但不相等B．互为补角C．相等但不互余D．互余且相等7．(杭州上城区期末)下列判断中，正确的是(B)①锐角的补角一定是钝角；②一个角的补角一定大于这个角；③如果两个角是同一个角的补角，那么它们相等；④锐角和钝角互补．A．①②B．①③C．①④D．②③知识点3 余角与补角的综合运用8．∠1与∠2互余，∠1与∠3互补，若∠3＝125°，则∠2＝(A)A．35°B．45°C．55°D．65°9．如果∠A的补角与∠A的余角互补，那么2∠A是(B)A．锐角B．直角C．钝角D．以上三种都可能10．一个角的余角比这个角的补角的一半小30°，则这个角的大小为60度．11．将一副三角板按如图方式进行摆放，请判断∠1与∠2是否互补，并说明理由．解：互补．理由如下：∵∠2＋∠3＝90°，∠3＋∠4＝90°， ∴∠2＝∠4.∵∠1＋∠4＝180°， ∴∠1＋∠2＝180°. ∴∠1与∠2互补．12．如图，已知∠AOB ＝155°，∠AOC ＝∠BOD ＝90°.(1)写出与∠COD 互余的角； (2)求∠COD 的度数；(3)图中是否有互补的角？若有，请写出来．解：(1)与∠COD 互余的角有∠AOD 和∠BOC. (2)∠BOC ＝∠AOB －∠AOC ＝65°， ∠COD ＝∠BOD －∠BOC ＝25°.(3)∠COD 与∠AOB 、∠AOC 与∠BOD 互补． 中档题13．(绍兴上虞区期末)如图，将一副三角尺按不同位置摆放，摆放方式中∠α与∠β互余的是(C)14．如图所示，OA 是北偏东60°方向的一条射线，若∠NOB 与∠NOA 互余，则OB 的方位角是(A)A ．北偏西30°B ．北偏西60°C ．东偏北30°D ．东偏北60°15．如图，O 为直线AB 上一点，∠AOC ＝α，∠BOC ＝β，则β的余角可表示为(C)A.12(α＋β) B.12α C.12(α－β) D.12β16．(余姚期末)已知点A 、B 、C 、D 、E 的位置如图所示，下列结论中正确的是(C)A ．∠AOB ＝130° B ．∠AOB ＝∠DOEC ．∠DOC 与∠BOE 互补D ．∠AOB 与∠COD 互余17．如图，将一副三角尺叠放在一起，使直角顶点重合于点O ，绕点O 任意转动其中一个三角尺，则与∠AOD 始终相等的角是∠BOC ．18．若一个角的补角与它余角的2倍之差是平角的14，求这个角的度数．解：设这个角的度数为x °，则其余角度数为(90－x)°，补角为(180－x)°，则 180－x －2(90－x)＝14×180.解得x ＝45.答：这个角的度数为45°. 综合题19．如图，点O 在直线AB 上，∠AOD ＝∠BOD ＝∠EOC ＝90°，∠BOC ∶∠AOE ＝3∶1.(1)求∠COD 的度数；(2)图中有哪几对角互为余角？ (3)图中有哪几对角互为补角？解：(1)因为∠EOC ＝90°，所以∠BOC ＋∠AOE ＝90°.又因为∠BOC ∶∠AOE ＝3∶1， 所以∠BOC ＝34×90°＝67.5°.因为∠BOD ＝90°，所以∠COD ＝90°－67.5°＝22.5°.(2)∠COB 与∠COD ，∠COB 与∠AOE ，∠DOE 与∠COD ，∠DOE 与∠AOE ，共4对角互为余角．(3)∠COB 与∠COA ，∠AOE 与∠EOB ，∠AOD 与∠BOD ，∠EOC 与∠AOD ，∠EOC 与∠BOD ，∠EOD 与∠AOC ，∠DOC 与∠BOE ，共7对角互为补角．6.9 直线的相交 第1课时 对顶角基础题 知识点1 对顶角的概念1．(杭州余杭区二模)如图，∠1和∠2是对顶角的图形是(C)甲 乙 丙 丁A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁2．如图所示，BE 、CF 是直线，OA 、OD 是射线，其中构成对顶角的是(C)A．∠AOE与∠CODB．∠AOD与∠BODC．∠BOF与∠COED．∠AOF与∠BOC3．如图，有两堵墙，要测量地面上所形成的∠AOB的度数，但人又不能进入围墙，只能站在墙外，该如何测量？解：延长AO与BO得到∠AOB的对顶角∠COD，测出∠COD的度数，则∠AOB＝∠COD.知识点2 对顶角的性质4．如图，直线AB，CD交于点O，射线OM平分∠AOC，若∠BOD＝76°，则∠AOM等于(A) A．38°B．36°C．28°D．24°5．(吉林中考)如图是对顶角量角器，用它测量角的原理是对顶角相等．6．如图，直线a，b相交，∠2＝3∠1，则∠3＝45°．7．如图，三条直线l1，l2，l3相交于一点，则∠1＋∠2＋∠3＝180°．8．如图，直线AB，CD，EF相交于点O，且∠AOD＝90°，∠1＝40°，求∠2的度数．解：∵直线AB，CD，EF相交于点O，且∠AOD＝90°，∴∠BOD＝90°.∵∠1＝40°，∴∠DOF＝40°.∴∠2＝90°－40°＝50°.9．如图，直线AB 、CD 相交于点O ，OE 把∠BOD 分成两部分．(1)直接写出图中∠AOC 的对顶角为∠BOD ；(2)若∠AOC ＝70°，且∠BOE ∶∠EOD ＝2∶3，求∠DOE 的度数．解：∵∠AOC 的对顶角为∠BOD ， ∴∠BOD ＝∠AOC ＝70°. 又∵∠BOE ∶∠EOD ＝2∶3， ∴∠DOE ＝35∠DOB ＝35×70°＝42°.中档题10．平面内三条直线的交点个数可能有(D)A ．1个或3个B ．2个或3个C ．1个或2个或3个D ．0个或1个或2个或3个11．如图，直线AB ，CD 相交于点O ，OA 平分∠EOC ，∠EOC ∶∠EOD ＝2∶3，则∠BOD ＝(B)A ．30°B ．36°C ．45°D ．72°12．一个角的补角是这个角的对顶角的4倍，则这个角的度数为36°．13．如图，直线AB 、CD 相交于点O ，OE 平分∠BOD ，OF 平分∠COE.∠BOF ＝30°，则∠AOC ＝80°．14．已知点O 是直线AB 上一点，OC ，OD 是两条射线，且∠AOC ＝∠BOD ，则∠AOC 与∠BOD 是对顶角吗？为什么？解：∠AOC 与∠BOD 不一定是对顶角．如图1所示，当射线OC ，OD 位于直线AB 的同侧时，不是对顶角； 如图2所示，当射线OC ，OD 位于直线AB 的异侧时，是对顶角．15．如图，已知直线AB 和CD 相交于点O ，∠COF 与∠EOF 互余，OF 平分∠AOE ，∠COF ＝28°，求∠BOD 的度数．解：∵∠COF 与∠EOF 互余， ∴∠COF ＋∠EOF ＝90°.∴∠EOF ＝90°－∠COF ＝90°－28°＝62°. ∵OF 平分∠AOE ，∴∠AOF＝∠EOF＝62°.∴∠AOC＝∠AOF－∠COF＝62°－28°＝34°.∴∠BOD＝∠AOC＝34°.16．如图，直线AB，CD，EF相交于点O，∠AOE＝30°，∠BOC＝2∠AOC，求∠DOF的度数．解：设∠AOC＝x°，则∠BOC＝2x°.由邻补角的定义，可得2x＋x＝180.解得x＝60.所以∠AOC＝60°.所以∠EOC＝∠AOC－∠AOE＝60°－30°＝30°.所以∠DOF＝∠EOC＝30°.综合题17．观察下列图形，寻找对顶角(不含平角)．(1)两条直线相交于一点，如图1，共有2对对顶角；(2)三条直线相交于一点，如图2，共有6对对顶角；(3)四条直线相交于一点，如图3，共有12对对顶角；(4)根据填空结果探究：当n条直线相交于一点时，所构成的对顶角的对数与直线条数之间的关系；(5)根据探究结果，求2 018条直线相交于一点时，所构成的对顶角的对数．解：(4)(n－1)·n.(5)2 017×2 018＝4 070 306.第2课时垂线基础题知识点1 垂线的相关概念及计算1．如图，直线AB、CD相交于点O，下列条件中，不能说明AB⊥CD的是(C)A．∠AOD＝90°B．∠AOC＝∠BOCC．∠BOC＋∠BOD＝180°D．∠AOC＋∠BOD＝180°2．如图，已知点O在直线AB上，CO⊥DO于点O，若∠1＝145°，则∠3的度数为(C) A．35°B．45°C．55°D．65°3．如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥AB，垂足为O.若∠EOD＝20°，则∠COB的度数为110°．4．(温州实验期末)如图，已知AO⊥OC，OB⊥OD，∠AOB＝142°，求∠COD的度数．解：∵AO⊥OC，OB⊥OD，∴∠AOC＝∠DOB＝90°.∵∠AOB＝142°，∴∠BOC＝142°－90°＝52°.∴∠COD＝90°－52°＝38°.5．(诸暨期末)如图，直线AE与CD相交于点B，且BF⊥AE，∠DBE＝50°.(1)请直接写出与∠DBE互余的角；(2)求∠CBF的度数．解：(1)∠DBF.(2)∵BF⊥AE，∴∠FBE＝∠ABF＝90°.∵∠DBE＝50°，∵∠ABC＝∠DBE＝50°，∴∠CBF＝180°－∠ABC＝140°.知识点2 垂线的画法6．(1)如图1，用三角板过点A画直线l的垂线；(2)如图2，过点B作直线AC的垂线BD，垂足为D.解：如图所示．知识点3 垂线的基本事实7．如图，已知ON⊥l，OM⊥l，则OM与ON重合，其理由是(B)A．两点确定一条直线B．过一点有且只有一条直线垂直于已知直线C．垂线段最短D．过一点只能作一条垂线知识点4 垂线段最短8．如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝3 cm，点P是边BC上的动点，则AP长不可能是(A)A．2.5 cmB．3 cmC．4 cmD．5 cm9．如图所示，要把水渠中的水引到水池中，水池在C处，在渠岸AB的何处开挖才能使水沟最短？解：过点C作CD⊥AB，垂足为D，根据垂线段最短，可知在D处开挖可以使水沟CD最短，图略．知识点5 点到直线的距离10．(西湖区期末)如图，A是直线l外一点，点B、C、E、D在直线l上，且AD⊥l，D为垂足，如果AC＝8 cm，AD ＝6 cm，AE＝7 cm，AB＝13 cm，那么点A到直线l的距离是(D)A．13 cmB．8 cmC．7 cmD．6 cm中档题11．如图，OA⊥OC，OB⊥OD，∠AOB＝25°，则∠COD的度数是(A)A．25° B．35° C．45° D．55°12．若A，B，C是直线l上的三点，P是直线l外一点，且PA＝5 cm，PB＝4 cm，PC＝3 cm，则点P到直线l的距离(C)A．等于3 cmB．大于3 cm而小于4 cmC．不大于3 cmD．小于3 cm13．如图，CD⊥AB，垂足为C，∠1＝130°，则∠2＝40度．14．(杭州滨江区期末)如图，点C是∠AOB的边OB上的一点，按下列要求画图并回答问题：(1)过C点画OB的垂线，交OA于点D；(2)过C点画OA的垂线，垂足为E；(3)比较线段CE，OD，CD的大小(请直接写出结论)；(4)请写出第(3)小题图中与∠AOB互余的角(不增添其他字母)．解：(1)、(2)如图所示．(3)CE＜CD＜OD.(4)与∠AOB互余的角是∠OCE和∠ODC.15．如图，已知直线AB和CD相交于点O，射线OE⊥AB于点O，射线OF⊥CD于点O，且∠BOF＝25°，求∠AOC和∠EOD的度数．解：∵OF⊥CD，∴∠DOF＝90°.又∵∠BOF＝25°，∴∠BOD＝90°＋25°＝115°.∴∠AOC＝∠BOD＝115°.∵OE⊥AB，∴∠BOE＝90°.又∵∠BOF＝25°，∴∠EOF＝65°.∴∠EOD＝∠DOF－∠EOF＝25°.16．如图，直线AB、CD相交于点O，∠AOC与∠AOD的度数比为4∶5，OE⊥AB，OF平分∠DOB，求∠EOF的度数．解：设∠AOC＝4x，则∠AOD＝5x.∵∠AOC＋∠AOD＝180°，∴4x＋5x＝180°.解得x＝20°.∴∠AOC＝4x＝80°.∴∠BOD＝80°.∵OE⊥AB，∴∠BOE＝90°.∴∠DOE＝∠BOE－∠BOD＝10°.又∵OF 平分∠DOB ，∴∠DOF ＝12∠BOD ＝40°.∴∠EOF ＝∠EOD ＋∠DOF ＝10°＋40°＝50°. 综合题17．(金华东阳期末)一副直角三角板叠放如图1，现将含45°角的三角板ADE 固定不动，把含30°角的三角板ABC 绕顶点A 顺时针旋转角α(α＝∠BAD 且0°＜α＜180°)，使两块三角板至少有一组对应边(所在的直线)垂直．(1)如图2，α＝15°时，BC ⊥AE ；(2)请你在备用图中画一种符合要求的图形，计算出旋转角α，并用符号表示出垂直的边．图1 图2 备用图解：答案不唯一，如图，当△ABC 绕点A 继续顺时针旋转，AC ⊥AE 时，α＝105°.章末复习(六) 图形的初步知识分点突破 知识点1 平面图形、立体图形的识别1．下面几何体中，表面都是平面图形的是(D)2．如图所示的花瓶中，表面可以看作由所给的平面图形绕虚线旋转一周形成的是(B)知识点2 直线、射线与线段 3．以下说法中正确的是(B)A ．延长射线AB B ．延长线段AB 到C C ．延长直线ABD ．画直线AB 等于1 cm4．(杭州期末)如图，图中线段、射线、直线的条数分别为(B)A ．5，4，1B ．8，12，1C ．5，12，3D ．8，10，35．如图，公园里美丽的草坪上有时出现了一条很不美观的“捷径”，但细想其中也蕴含着一个数学中很重要的“道理”，这个“道理”是两点之间，线段最短．知识点3 线段有关的计算6．如果延长线段AB 到C ，使得BC ＝12AB ，那么AC ∶AB 等于(D)A ．2∶1B ．2∶3C ．3∶1D ．3∶27．如图，线段AB ＝10 cm ，延长AB 到点C ，使BC ＝6 cm ，点M 、N 分别为AC 、BC 的中点，求线段BM 、MN 的长．解：∵AB ＝10 cm ，BC ＝6 cm ，∴AC ＝16 cm. 又M 为AC 的中点，∴MC ＝AM ＝8 cm. ∵N 为BC 的中点， ∴BN ＝NC ＝3 cm ，BM ＝AB －AM ＝10－8＝2(cm)， MN ＝BM ＋BN ＝2＋3＝5(cm)．知识点4 角的有关概念及计算 8．下列各式计算正确的是(C)A ．(12)°＝118″B ．38°15′＝38.15°C ．24.8°×2＝49.6°D ．90°－85°45′＝4°65′9．(西湖区期末)若∠1＝40°50′，则∠1的余角为49°10′，∠1的补角为139°10′．10．如图，已知O 是直线AB 上一点，∠1＝20°，OD 平分∠BOC ，则∠2的度数是80度． 知识点5 与直线相交的有关问题11．如图，已知AB ⊥CD 垂足为O ，EF 经过点O.如果∠1＝30°，那么∠2等于(C)A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°12．(嵊州期末)如图，直线AB 、CD 交于点O ，OE ⊥AB ，∠EOC ＝40°，则∠BOD ＝130度．常考题型演练13．(宁波中考)如果一个多面体的一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，那么这个多面体叫做棱锥．如图是一个四棱柱和一个六棱锥，它们各有12条棱．下列棱柱中和九棱锥的棱数相等的是(B)A ．五棱柱B ．六棱柱C ．七棱柱D ．八棱柱14．如图，点C 是线段AB 上一点，点M 是AC 的中点，点N 是BC 的中点，如果MC 比NC 长2 cm ，那么AC 比BC 长(B)A ．2 cmB ．4 cmC ．1 cmD ．6 cm15．(湖州德清期末)某人下午6点到7点之间外出购物，出发和回来时发现表上的时针和分针的夹角都为110°，此人外出购物共用了(D)A ．16分钟B ．20分钟C ．32分钟D ．40分钟16．如图，已知直线AB 与CD 交于点O ，ON 平分∠DOB ，若∠BOC ＝110°，则∠AON 的度数为145度．17．(杭州期末)如图，OA ⊥OC ，OB ⊥OD ，4位同学观察图形后分别说了自己的观点. 甲：∠AOB ＝∠COD ；乙：∠BOC ＋∠AOD ＝180°；丙：∠AOB ＋∠COD ＝90°；丁：图中小于平角的角有6个．其中正确的结论有3个．18．(杭州上城区期末)如图，线段AB 从左往右依次有C ，D ，E ，F 四个点，其中AC ＝5，CD ＝3，DE ＝2，EF ＝3，FB ＝5，在图中所有的线段中，共有7种不同的长度．19．如图，直线AB ，CD 相交于点O ，OF 平分∠AOE ，OF ⊥CD ，垂足为O.(1)写出图中所有与∠AOD 互补的角； (2)若∠AOE ＝120°，求∠BOD 的度数．解：(1)与∠AOD 互补的角有∠AOC ，∠BOD ，∠DOE. (2)∵OF 平分∠AOE ， ∴∠AOF ＝12∠AOE ＝60°.∵OF ⊥CD ， ∴∠COF ＝90°.∴∠AOC ＝∠COF －∠AOF ＝90°－60°＝30°. ∵∠AOC 与∠BOD 是对顶角， ∴∠BOD ＝∠AOC ＝30°.20．(杭州江干区期末)回答问题：(1)已知∠AOB 的度数为54°，在∠AOB 的内部有一条射线OC ，满足∠AOC ＝12∠COB ，在∠AOB 所在平面上另有一条射线OD ，满足∠BOD ＝12∠AOC ，如图1和图2所示，求∠COD 的度数；(2)已知线段AB 长为12 cm ，点C 是线段AB 上一点，满足AC ＝12CB ，点D 是直线AB 上一点，满足BD ＝12AC.请画出示意图，求出线段CD 的长．解：(1)∵∠AOB 的度数为54°，∠AOC ＝12∠COB ，∴∠AOC ＝18°，∠COB ＝36°. ∵∠BOD ＝21∠AOC ， ∴∠BOD ＝9°.图1中，∠COD ＝∠COB －∠BOD ＝36°－9°＝27°； 图2中，∠COD ＝∠COB ＋∠BOD ＝36°＋9°＝45°. (2)如图3，图4，分两种情况讨论：由题意得AC ＝4 cm ，BC ＝8 cm ，BD ＝2 cm ， 由图3得CD ＝BC －BD ＝6 cm. 由图4得CD ＝BC ＋BD ＝10 cm.综上所述，线段CD 的长是6 cm 或10 cm.。