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二次函数与一元二次方程的联系和区别一、二次函数1、自变量x 和因变量y 之间存在如下关系：y=ax 2+bx+c （a ，b ，c 为常数，a≠0，且a 决定函数的开口方向）①a>0时，开口方向向上 ②a<0时，开口方向向下③|a|还可以决定开口大小a 绝对值越大开口就越小,|a|越小开口就越大④一次项系数b 和二次项系数a 共同决定对称轴的位置。
当a 与b 同号时（即ab ＞0），对称轴在y 轴左；当a 与b 异号时（即ab ＜0），对称轴在y 轴右。
⑤常数项c 决定抛物线与y 轴交点。
抛物线与y 轴交于（0，c ）⑥抛物线是轴对称图形。
对称轴为直线 x =2ab-,。
对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P 。
特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y 轴（即直线x=0）⑦抛物线有一个顶点P ，坐标为 P [2a b -，a b 4ac 42- ]。
当2ab -=0时，P 在y 轴上；当Δ= b 2-4ac=0时，P 在x 轴上。
2、二次函数的两种表达式①一般式：y=ax 2+bx+c （a ，b ，c 为常数，a≠0） ②顶点式：y=a(x-h)2+k [抛物线的顶点P （h ，k ）] 3、抛物线与x 轴交点个数 Δ= b2-4ac ＞0时，抛物线与x 轴有2个交点。
Δ= b2-4ac=0时，抛物线与x 轴有1个交点。
Δ= b 2-4ac ＜0时，抛物线与x 轴没有交点。
二、一元二次方程y= ax 2+bx+c ，当y=0时，二次函数为关于x 的一元二次方程，即ax 2+bx+c=0 三、两者之间的联系①ax 2+bx+c=0,即为y= ax 2+bx+c ，y=0时 ②方程的根x 1，x 2是使ax 2+bx+c 为零的x 的取值③x 1，x 2对应图像上是y =ax 2+bx+c 函数与x 轴交点的横坐标。
④方程根的个数即是使ax 2+bx+c=0的x 的个数即是y= ax 2+bx+c y=0,为y= ax 2+bx+c 图像与x 轴的交点个数。
北师大版数学九年级下册2.5《二次函数与一元二次方程》教学设计1一. 教材分析《二次函数与一元二次方程》是北师大版数学九年级下册第2.5节的内容。
这部分内容是在学生已经掌握了函数和方程的基础知识上进行教学的，主要让学生了解二次函数与一元二次方程之间的关系，并通过实际问题培养学生的数学应用能力。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的逻辑思维能力和抽象思维能力，对于函数和方程的基础知识也有了一定的了解。
但是，对于二次函数与一元二次方程之间的关系，以及如何运用二次函数解决实际问题，部分学生可能还存在一定的困难。
因此，在教学过程中，需要关注这部分学生的学习情况，通过实例讲解和练习，帮助他们理解和掌握。
三. 教学目标1.理解二次函数与一元二次方程之间的关系。
2.学会运用二次函数解决实际问题。
3.培养学生的数学应用能力和团队协作能力。
四. 教学重难点1.二次函数与一元二次方程之间的关系。
2.如何运用二次函数解决实际问题。
五. 教学方法采用案例教学法、问题驱动法和小组合作法进行教学。
通过实例讲解，引导学生主动探究二次函数与一元二次方程之间的关系，培养学生的自主学习能力。
同时，通过小组合作解决问题，培养学生的团队协作能力。
六. 教学准备1.教学PPT。
2.相关案例和练习题。
3.投影仪和白板。
七. 教学过程导入（5分钟）利用PPT展示一个实际问题：“某商品打8折后的售价为120元，求原价。
”引导学生思考如何用数学知识解决这个问题。
呈现（10分钟）通过PPT呈现二次函数和一元二次方程的定义，讲解二次函数与一元二次方程之间的关系。
以商品打折问题为例，引导学生理解二次函数在实际问题中的应用。
操练（10分钟）让学生分组讨论，每组选取一个实际问题，运用二次函数和一元二次方程的知识进行解决。
教师巡回指导，帮助学生解决问题。
巩固（10分钟）教师选取几个学生解决的实际问题，进行讲解和分析，巩固学生对二次函数与一元二次方程之间关系的理解。
北师大版数学九年级下册2.5《二次函数与一元二次方程》说课稿1一. 教材分析北师大版数学九年级下册2.5《二次函数与一元二次方程》这一节的内容，是在学生已经掌握了二次函数的图像和性质的基础上进行讲解的。
本节课的主要内容是一元二次方程的求解方法和应用，通过引导学生利用二次函数的性质来解决实际问题，培养学生的解决问题的能力。
教材中首先介绍了二次函数与一元二次方程的关系，引导学生理解二次函数的图像与一元二次方程的解的关系。
接着，教材通过具体的例子，讲解了一元二次方程的求解方法，包括因式分解法、配方法、求根公式法等。
最后，教材又通过实际问题，让学生应用所学的知识，解决实际问题。
二. 学情分析九年级的学生已经掌握了二次函数的基本知识，对于二次函数的图像和性质有一定的了解。
但是，对于一元二次方程的求解方法和应用，可能还不是很熟悉。
因此，在教学过程中，需要引导学生利用已学的二次函数知识，来理解和掌握一元二次方程的知识。
三. 说教学目标1.让学生理解二次函数与一元二次方程的关系，理解一元二次方程的解的性质。
2.让学生掌握一元二次方程的求解方法，包括因式分解法、配方法、求根公式法等。
3.培养学生利用二次函数和一元二次方程解决实际问题的能力。
四. 说教学重难点1.教学重点：让学生理解二次函数与一元二次方程的关系，掌握一元二次方程的求解方法。
2.教学难点：引导学生理解一元二次方程的根的判别式，以及如何应用一元二次方程解决实际问题。
五. 说教学方法与手段在教学过程中，我会采用讲授法、引导法、讨论法等教学方法，通过多媒体课件、教学实物等教学手段，引导学生理解二次函数与一元二次方程的关系，掌握一元二次方程的求解方法。
六. 说教学过程1.导入：通过复习二次函数的图像和性质，引导学生理解二次函数与一元二次方程的关系。
2.讲解：讲解一元二次方程的求解方法，包括因式分解法、配方法、求根公式法等。
3.应用：通过实际问题，让学生应用所学的知识，解决实际问题。
二次函数与一元二次方程
一课一练·基础闯关
题组一二次函数与一元二次方程的关系
1.(xx·苏州中考)若二次函数y=ax2+1的图象经过点(-2,0),则关于x的方程a(x-2)2+1=0的实数根为( )
A.x1=0,x2=4
B.x1=-2,x2=6
C.x1=,x2=
D.x1=-4,x2=0
【解析】选A.∵二次函数y=ax2+1的图象经过点(-2,0),
∴4a+1=0,∴a=-,
∴方程a(x-2)2+1=0为方程-(x-2)2+1=0,
解得:x1=0,x2=4.
2.若二次函数y=ax2-2ax+c的图象经过点(-1,0),则方程ax2-2ax+c=0的解为
( )
世纪金榜导学号18574077 A.x1=-3,x2=-1 B.x1=1,x2=3
C.x1=-1,x2=3
D.x1=-3,x2=1
【解析】选C.∵二次函数y=ax2-2ax+c的图象经过点(-1,0),
∴方程ax2-2ax+c=0一定有一个解为:x=-1,
∵抛物线的对称轴为直线x=1,∴二次函数y=ax2-2ax+c的图象与x轴的另一个交点为(3,0),∴方程ax2-2ax+c=0的解为:x1=-1,x2=3.
3.(xx·徐州中考)若函数y=x2-2x+6的图象与坐标轴有三个交点,则b的取值范围是( )
A.b<1且b≠0
B.b>1
C.0<b<1
D.b<1
【解析】选A.当抛物线与x轴有两个交点时,Δ>0. y=x2-2x+b的图象与坐标轴有三个交点,说明该抛物线与x轴有两个交点且b≠0,∴Δ=4-4b>0,解得b<1,∴b的取值范围是b<1且b≠0.
4.(xx·镇江中考)若二次函数y=x2-4x+n的图象与x轴只有一个公共点,则实数n=________.
世纪金榜导学号18574078
【解析】二次函数y=x2-4x+n的图象与x轴只有一个公共点,说明“Δ=b2-4ac=0”,
即(-4)2-4×1·n=0,所以n=4.
答案:4
5.(xx·东台市月考)如图,是抛物线y=ax2+bx+c的一部分,其对称轴为直线x=1,它与x轴的一个交点为A(3,0),根据图象,可知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的解是____________.
【解析】设抛物线与x轴的另一个交点坐标为(x,0),
∵抛物线与x轴的两个交点到对称轴的距离相等,
∴=1,
解得:x=-1.
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为(-1,0),
∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的解是x=3或x=-1.
答案:x=3或x=-1
6.(xx·杭州一模)设抛物线y=mx2-2mx+3(m≠0)与x轴交于点A(a,0)和B(b,0).
世纪金榜导学号18574079
(1)若a=-1,求m,b的值.
(2)若2m+n=3,求证:抛物线的顶点在直线y=mx+n上.
【解析】(1)当a=-1时,
把(-1,0)代入y=mx2-2mx+3,
解得m=-1,
∴抛物线的解析式为:y=-x2+2x+3,
令y=0代入y=-x2+2x+3,
∴x=-1或x=3,∴b=3.
(2)抛物线的对称轴为x=1,
把x=1代入y=mx2-2mx+3,
得y=3-m,
∴抛物线的顶点坐标为(1,3-m),
把x=1代入y=mx+n,
得y=m+n=m+3-2m=3-m,
∴抛物线的顶点在直线y=mx+n上.
题组二利用二次函数求一元二次方程的近似根
1.(xx·兰州中考)下表是一组二次函数y=x2+3x-5的自变量x与函数值y的对应值:
x1 1.1 1.2 1.3 1.4
y-1-0.490.040.59 1.16
那么方程x2+3x-5=0的一个近似根是( )
A.1
B.1.1
C.1.2
D.1.3
【解析】选C.观察表格得:方程x2+3x-5=0的一个近似根为1.2.
2.(xx·泰安中考)已知二次函数y=ax2+bx+c的y与x的部分对应值如下表:
x-1013
y-3131
下列结论:①抛物线的开口向下;②其图象的对称轴为直线x=1;③当x<1时,函数值y随x的增大而增大;
④方程ax2+bx+c=0有一个根大于4.其中正确的结论有世纪金榜导学号18574080( )
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
【解析】选B.由表格所给出的自变量与函数值变化趋势,随x值的增大,y值先增大后变小可知抛物线的开
口向下;由对称性知其图象的对称轴为直线x=,所以当x<1时,函数值y随x的增大而增大,正确;由表可知,方程ax2+bx+c=0的根在-1与0和3与4之间,所以正确的有2个.
3.二次函数y=x2-x-2的图象如图所示,那么关于x的方程x2-x-2=0的近似解为______(精确到0.1).
【解析】由图象可知抛物线y=x2-x-2与x轴的两个交点约是(-1.4,0),(4.3,0),
又∵抛物线y=x2-x-2与x轴的两个交点,就是方程x2-x-2=0的两个根,
∴方程x2-x-2=0的两个近似解是4.3或-1.4.
答案:x1=-1.4,x2=4.3
4.利用二次函数y=-x2+x+2的图象和性质,求方程-x2+x+2=0在3和4之间的根的近似值.(结果精确到0.1) 世纪金榜导学号18574081
【解析】方程-x2+x+2=0根是函数y=-x2+x+2与x轴交点的横坐标.
如图所示,二次函数y=-x2+x+2的图象.
由图象可知方程有两个根,一个在-2和-1之间,另一个在3和4之间.
当x=3.2时,y=0.08;
当x=3.3时,y=-0.145;
因此,x=3.2是方程的一个近似根.
故方程-x2+x+2=0在3和4之间的根的近似值为x≈3.2.
(xx·濮阳一模)阅读下面材料:
如图1,在平面直角坐标系xOy中,直线y1=ax+b与双曲线y2=交于A(1,3)和B(-3,-1)两点.
观察图象可知: 世纪金榜导学号18574082
①当x=-3或1时,y1=y2;
②当-3<x<0或x>1时,y1>y2,即通过观察函数的图象,可以得到不等式ax+b>的解集.
有这样一个问题:求不等式x3+4x2-x-4>0的解集.
某同学根据学习以上知识的经验,对求不等式x3+4x2-x-4>0的解集进行了探究.
下面是他的探究过程,请将(2)、(3)、(4)补充完整;
(1)将不等式按条件进行转化:
当x=0时,原不等式不成立;
当x>0时,原不等式可以转化为x2+4x-1>;
当x<0时,原不等式可以转化为x2+4x-1<.
(2)构造函数,画出图象:
设y3=x2+4x-1,y4=,在同一坐标系中分别画出这两个函数的图象.
双曲线y4=如图2所示,请在此坐标系中画出抛物线y3=x2+4x-1.(不用列表)
(3)确定两个函数图象公共点的横坐标:
观察所画两个函数的图象,猜想并通过代入函数解析式验证可知:满足y3=y4的所有x的值为__________.
(4)借助图象,写出解集:
结合(1)的讨论结果,观察两个函数的图象可知:不等式x3+4x2-x-4>0的解集为______.
【解析】(2)
(3)两个函数图象公共点的横坐标是±1和-4.
则满足y3=y4的所有x的值为±1和-4.
答案:±1和-4
(4)不等式x3+4x2-x-4>0即当x>0时,x2+4x-1>,此时x的范围是x>1;当x<0时,x2+4x-1<,则-4<x<-1.答案:x>1或-4<x<-1
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