2020-2021常州市河海中学高三数学上期末一模试题(及答案)

高三数学Ⅰ试题参照公式：圆锥的体积公式：V圆锥 = 1Sh ，此中S是圆锥的底面积，h是高. 3样本数据 x1， x2，， x n的方差 s21n( x i x) 2，此中 x 1 n x i. n i 1n i 1一、选择题：本大题共14 个小题 , 每题 5 分, 共 70 分.请把答案填写在答题卡．．．相应地点上 .．．．．．1.若会合 A{ 2,0,1} ，B{ x x21} ，则会合AI B▲ .2 命题“x[0,1] ，x210 ”是▲命题（选填“真”或“假” ）.3.若复数 z 知足 z 2i z 21 （此中i为虚数单位），则z▲ .4.若一组样本数据 2015 ， 2017 ，x， 2018 ， 2016 的均匀数为 2017，则该组样本数据的方差为5. 如图是一个算法的流程图，则输出的n 的值是▲.1D ，随机地扔掷一枚质地均匀的正方体骰子6. 函数f ( x)的定义域记作会合（骰子的每ln x个面上分别标有点数1，2，， 6），记骰子向上的点数为 t ，则事件“t D”的概率为▲ .7. 已知圆锥的高为 6 ，体积为 8 ，用平行于圆锥底面的平面截圆锥，获得的圆台体积是7 ，则该圆台的高为▲.8. 各项均为正数的等比数列a n中，若a2a3a4a2a3a4，则 a3的最小值为▲ .9. 在平面直角坐标系xOy 中，设直线l： x y10 与双曲线C：x2y21(a0,b 0) a2b2的两条渐近线都订交且交点都在y 轴左边，则双曲线 C 的离心率e的取值范围是▲ .x y0,10.已知实数 x ， y 知足2x y20, 则 x y 的取值范围是▲ .x2y40,11.已知函数 f ( x)bx ln x ，此中b R ，若过原点且斜率为k 的直线与曲线y f (x) 相切，则 k b 的值为▲ .12.如图，在平面直角坐标系xOy 中，函数 y sin(x) (0,0) 的图像与 x 轴的交点 A， B，C知足OA OC2OB ，则▲ .13.在ABC 中， AB5， AC7，BC 3，P为ABC 内一点（含界限），若知足uuur1uuur uuur uuur uuurBP BA BC (R) ，则BA BP的取值范围为▲．414.已知ABC 中，AB AC 3 ，ABC所在平面内存在点P 使得PB2PC 23PA2 3 ，则ABC 面积的最大值为▲．二、解答题：本大题共 6 小题，合计90 分 . 请在答题卡指定地区内作答，解答应．．．．．．．写出文字说明、证明过程或演算步骤. ）15. 已知ABC 中，a ，b， c 分别为三个内角 A ，B ，C的对边，3bsin C c cos B+c，（ 1）求角 B ；（ 2）若b2ac ，求1tan A1tan C的值 .16. 如图，四棱锥P ABCD 的底面ABCD 是平行四边形，PC平面ABCD ，PB PD，点Q是棱PC 上异于P、C的一点.（ 1）求证：BD AC ；（ 2）过点Q和的AD平面截四棱锥获得截面ADQF （点 F 在棱 PB 上），求证： QF / / BC .17. 已知小明（如图中AB 所示）身高1.8米，路灯OM高3.6米， AB ，OM均垂直于水平地面，分别与地面交于点 A ，O.点光源从 M 发出，小明在地上的影子记作AB ' .（ 1）小明沿着圆心为O ，半径为 3 米的圆周在地面上走一圈，求AB ' 扫过的图形面积；（ 2）若OA 3米，小明从A出发，以1米 / 秒的速度沿线段AA1走到 A1， OAA1，且3AA1 10 米. t 秒时，小明在地面上的影子长度记为 f (t) （单位:米），求 f (t) 的表达式与最小值 .18. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C：x2y21(a b 0) 的右焦点为F，点A a2b2是椭圆的左极点，过原点的直线MN 与椭圆交于M， N 两点（M在第三象限），与椭圆的右准线交于 P 点.已知AMuuur uuuur4 b2. MN ，且OA OM3（ 1）求椭圆 C 的离心率 e ； （ 2）若 S AMN S POE10a ，求椭圆 C 的标准方程 .319. 已知各项均为正数的无量数列{ a n } 的前 n 项和为 S n ，且知足 a 1 a （此中 a 为常数），nS n 1 (n 1)S nn(n 1) (n N *) . 数列 { b n } 知足 b na n 2a n 21(n N * ) .a nan 1（ 1）证明数列 { a n } 是等差数列，并求出 { a n } 的通项公式；（ 2）若无量等比数列 { c}知足：对随意的nN *，数列 { b } 中总存在两个不一样的项b ，nnsb * ) 使得 bs c n b ，求 { c } 的公比 q .t (s, t Ntn20. 已知函数f ( x) ln x 2 ，此中 a 为常数 .( xa)（ 1）若 a 0 ，求函数 f ( x) 的极值；2 f ( x) 在 (0, a) 上单一递加，务实数 a的取值范围；（ ）若函数（ ）若a1 ，设函数 f ( x) 在 (0,1) 上的极值点为x 0 ，求证： f ( x 0 ) 2 .3常州市教育学会学业水平监测数学Ⅱ（附带题）21. 【选做题】在 A 、B 、C 、 D 四小题只好选做两题 ，每题 10 分，合计 20 分. 请．．．．．． 在答题卡指定地区 内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．．．．．．．.A. 选修4-1 ：几何证明选讲在ABC 中，N 是边AC 上一点，且CN2AN ，AB与NBC 的外接圆相切，求BC的BN值 .B. 选修 4-2 ：矩阵与变换4 2 已知矩阵 A不存在逆矩阵，求：a 1（ 1）实数 a 的值；（ 2）矩阵 A 的特点向量 . C. 选修 4-4 ：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，以原点 O 为极点， x 轴正半轴为极轴，成立极坐标系 .曲线C 的x 2cos1为参数），直线 l 的极坐标方程为sin() 2 ，直线 l参数方程为2sin（y4与曲线 C 交于 M ， N 两点，求 MN 的长. D. 选修 4-5 ：不等式选讲已知 a 0 ， b0 ，求证 :a 3b 3ab.a 2b 2【必做题】第 22 题、第 23 题，每题 10 分，合计 20 分. 请在答题卡指定地区 内作．．．．．．．答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .22. 已知正四棱锥 P ABCD 的侧棱和底面边长相等，在这个正四棱锥的8 条棱中任取两条，按以下方式定义随机变量的值：若这两条棱所在的直线订交，则的值是这两条棱所在直线的夹角大小（弧度制） ；若这两条棱所在的直线平行，则0；若这两条棱所在的直线异面，则的值是这两条棱所在直线所成角的大小( 弧度制 ).（ 1）求 P( 0) 的值；（ 2）求随机变量的散布列及数学希望E( ).23. 记(x 1) ( x11（n 2且*）的睁开式中含x 项的系数为 S n，含x2)(x)n N2n项的系数为 T n.（ 1）求S n；（ 2）若Tnan2bn c ，对 n2,3,4 成立，务实数 a, b, c 的值；S n（ 3）对（ 2）中的实数a,b,c用数字概括法证明：对随意n 2 且n N *，T n an2bn cS n都成立 .常州市教育学会学业水平监测高三数学参照答案一、填空题1.{2}2.真3.14.25.76.5 67.38.39.(1,2)10.[2,8]11.112.3 e413.52514.523 [,]16 84二、解答题15. 解：（ 1）3bsin C cos B c 由正弦定理得 3 sin B sin C cos B sin C sin C ，ABC 中，sin C 0 ，所以 3 sin B cos B 1s，所以sin( B)1B5，6，6266B6，所以 B；63（ 2）由于b2ac ，由正弦定理得 sin 2 B sin Asin C ，11cos A cosC cos Asin C sin A cosC sin( A C )sin(B)tan A tan C sin A sin C sin A sin C sin Asin C sin Asin C sin Bsin Asin C11sin B1123所以，tan A tanC sin2 B sin B33.216. （ 1）证明：PC平面ABCD，BD平面 ABCD ，所以 BD PC，记 AC，BD交于点 O ，平行四边形对角线相互均分，则O 为BD的中点，又PBD 中， PB PD ，所以 BD OP ，又PCI OP P，PC， OP平面 PAC ，所以BD平面 PAC ，又 AC平面 PAC 所以 BD AC ；（ 2）四边形ABCD是平行四边形，所以AD / / BC，又AD平面 PBC ，BC平面 PBC ，所以 AD//平面 PBC ，又 AD 平面 ADQF ，平面 ADQF I平面 PBCQF ，所以 AD / /QF ，又 AD / /BC ，所以 QF //BC .17. 解：（ 1）由题意 AB / / OM ，则AB 'AB 1.8 1 ， OA 3 ，所以 OB' 6 ，OB 'OM 3.62小明在地面上的身影 AB ' 扫过的图形是圆环，其面积为6232 27 （平方米）； （ 2）经过 t 秒，小明走到了 A 0 处，身影为 A 0 B 0 ' ，由 (1)A 0B 0 'AB 1知OB 0OM，所以2f (t )A 0B 0 ' OA 0OA 2 AA 02 2OA AA 0 cos OAA 0 .3 2 273化简得f (t)t23t 9 ， 0 t 10 ， f (t )t，当 t 时， f (t) 的最小224值为33 .2答： f (t)t23t 9 ， 0t 10 ，当 t3 f (t ) 的最小值为3 3（米） .（秒）时，22x 2 y 2 1c 218. 解：（ 1）由题意a 2b 2，消去 y 得 2 ax b 20 ，解得 x 1a ，aa a 2 x( x 2 y 2) 2)(22ab 2x 2c 2所以x Mab 2( a,0)uuur uuuurx M x Aab 2 a 4 2 c 2 33 ； c 2， OAOMc 2 b ， a 2 ，所以 e342（2）由（ 1） M (2b, 22b) ，右准线方程为 x4 3b ，333直线 MN 的方程为 y2x ，所以 P(43 3 b,4 6b) ，3SPOF1OF y P3 b4 6 b 2 2b 222 3SAMN 2SAOM OA y M2b22b42b2，33所以22b242 b210 a， 10 2 b220b ，所以b 2 ， a 2 2 3333椭圆 C 的标准方程为x2y21.8219. 解：（ 1）方法一：由于nS n 1(n1)S n n( n1)①，所以 ( n1)S n 2(n2) S n 1(n1)(n2)②，由② - ①得，( n+1)S n2nS n1( n2) S n 1(n1)S n 2(n 1) ，即 (n 1)S n 2(2 n2) S n 1( n 1)S n2( n 1) ，又n 10 ，则 S n 22S n 1S n 2 ，即 a n 2an 1 2 .在 nS n 1(n 1)S n n(n 1) 中令n 1 得，a1a22a1 2 ，即 a2a1 2 .综上，对随意n N*，都有 a n 1a n 2 ，故数列{a n}是以 2 为公差的等差数列.又 a1 a ，则 a n2n 2 a .方法二：由于 nS n1(n1)S n n(n1)，所以Sn 1S n1，又 S1a1 a ，n1nS n则数列是以 a 为首项，1为公差的等差数列，n所以Sn n1 a ，即 S n n2(a1)n .n当 n2时， a n SnSn 12n2 a ，又 a1 a 也切合上式，故 a n2n 2 a(n N * ) .故对随意n N*，都有 a an2，即数列 { a}是以2为公差的等差数列 .n 1n（ 2）令e n a n112，则数列 { e n} 是递减数列，所以 1 e n2 a n 2 a1.2n a观察函数 y x 1( x1) ，由于 y '11x210，所以 y x1(1,) 上递加，x x2x2在x所以 2e n 124，进而 b n e n14.e n a(a2)e n2, 2a(a2)由于对随意n N*，总存在数列 { b n } 中的两个不一样项b s， b t，使得 b s c n b t，所以对随意的n N*都有 c n2,24，显然 q0.2)a(a若 q1，当 n 1log q12时，a(a2)有 c n c1q n 12q n1242)，不切合题意，舍去；a(a若 0q1，当n1logqa22a时，a22a 2有 c n c1q n 124q n 1 2 ，不切合题意，舍去；a( a2)故 q 1 .20. 解：（ 1）当a0 时，f (x)ln x) ，x，定义域为(0,12ln xf '( x)0 ，得 x e .x3，令f '( x)x(0,e)e( e,)f (x)0f'(x)Z1]极大值2e当 x e 时， f (x) 的极大值为1，无极小值 . 2e（ 2）1a2ln x，由题意 f '(x)0 对 x(0, a) 恒成立. f'(x)xa)3( xQ x(0, a) ，( x a)30，a 2ln x0 对 x(0, a) 恒成立，1xa 2x ln x x 对 x(0, a) 恒成立 .令 g(x) 2x ln xx ， x(0, a) ，则 g '(x)2ln x 1，11①若a e 2 ，即 0ae 2 ，则 g '( x)2ln x 1 0 对 x(0, a) 恒成立，g( x) 2x ln xx 在 (0, a) 上单一递减，则 a②若当12( a)ln( a) (a) ， 0ln( a) ，a1 与1ae 2 矛盾，舍去；1 11ae 2，即 ae 2 ，令 g '( x)2ln x 10 ，得 xe 2 ，1xe2时， g '(x) 2ln x1 0 ，g( x) 2xln xx单一递减，当 e2x a 时，g '( x)2ln x 10 ， g( x)2x lnx x单一递加，111111g (e 2 )2e 2 ln( e 2 ) e 22e 2当xe 2时，[ g( x)]min，11a2e 2 . 综上 a2e 2 .（ 3）当 a1时， f (x)ln xx 1 2x ln x( x2 ， f '( x) x( x3，1)1)令 h(x)x 1 2x ln x ， x(0,1) ，则 h '( x)1 2(ln x1)2ln x 1 ，令 h '(x) 0 ，得1x e 2，1 1 时， h '( x) 1①当 e 2x 0 ， h( x) x 1 2x ln x 单一递减， h( x) (0, 2e 2 1] ，f '( x)x 1 2x ln x 0 恒成立， f ( x) ln x 13 2 单一递减，且f ( x) f (e 2) .x( x 1) ( x 1)1②当 0x e 2 时， h '( x)0 ， h( x)x1 2 x ln x 单一递加，11111h(e 2 )e 2 12e 2 ln(e 2 ) 2e 2 1 0又22225 10 ，h(e ) e1 2eln( e )e21存在独一 x 0(0, e 2)，使得h( x0 )0 ， f '(x 0 ) 0 ，当 0xx 0 时， f '( x 0 )0 ，f (x)ln x单一递加，( x 1)21f '( x 0 ) 0f (x) ln x2 单一递减，且1当x 0 x e 2 时，，(xf (x) f (e 2)，1)由①和②可知， f (x)ln x2 在 (0, x 0 ) 单一递加，在 ( x 0 ,1) 上单一递减，(x 1)当 xx 0 时， f (x)ln x取极大值 .(x1) 2Q h(x 0 ) x 0 1 2x 0 ln x 00 ， ln x 0x 0 1 ，2x 0f (x 0 ) ln x 01 12x 0 ( x 0 1) 11 ，22( x 0 2( x 0 1)) 22又x 0 (0, 2e2 )，2( x 0 1)2 1 ( 1 ,0) ， f ( x 0 )112 .12222( x 0)22常州市教育学会学业水平监测高三数学Ⅱ（附带题）参照答案. 解：记 NBC 外接圆为 O ， AB 、 AC 分别是圆 O 的切线和割线，所以 AB 2AN AC ，又 AA ，所以ABN 与 ACB 相像，所以BCABAC，所以BNAN AB2AB AC ACBCBC，BNANAB3 3 .ANBN4 2 B. 解：（1）由题意0，即 4 2a 0 ，解得 a 2 ；a 1（ 2）42 0 ，即 (4)(1) 4 0 ，所以 250 ，解得 1 0，25214x 2y0 2x ，属于0 的一个特点向量为110 时，y， y1 ；2x 02x2 y 0 ， x 2 y ，属于0 的一个特点向量为225 时，2x 4 y1.1C. 解：曲线 C ： ( x1)2 y 2 4 ，直线 l ： x y2 0 ，圆心 C (1,0) 到直线 l 的距离为d1 02 2MN 2 r 2d 22 4114 .12122，所以弦长2D. 证明： a0 ， b 0 ，不如设 a b 0 ，则5 5 ，11，由排序不等式得a 2b 2 a 2 b 25 15 1 515 1a 2 a 2b 2b 2 a 2 b 2b 2 a 2 ，5 1 515151所以 a 2 a 2b 2 b 2 a 2 b 2 b 2 a 2ab .a2b 2a 2b 222. 解：依据题意，该四棱锥的四个侧面均为等边三角形，底面为正方形，简单获得PAC ，PBD 为等腰直角三角形，的可能取值为：0 ， ，2 ，共 C 8228 种状况，此中：3时，有 2 种；3 时，有 34 24 20 种；时，有 24 6种；2 （1） P( 0)2128；14（2） P( ) 4 16 5)63 ，28， P(2 283714依据（ 1）的结论，随机变量的散布列以下表：32P15314714依据上表， E() 015329 .37 214 84141 2nn123. 解：（ 1） S2.nn!(n 1)!（2）T 22，T211，T47 ，S 2 3 S 3 6S 4234a 2b c2则119a 3b c解得 a1， b1， c1 ，64126716a 9b c2（ 3）①当 n 2 时，由（ 2）知等式成立；②假定 nk （ k N * ，且 k 2 ）时，等式成立，即 T k1 k2 1 k 1 ；S k412 6当 n k1 时，由 f ( x) ( x1 ( x1 1 )1) ( x )) ( xk2k1[( x 1) (x1 ) (x1)] (x1 )2kk 1(1S k x T k x 2)( x1) k!k 1知 T k 1 S k11Tkkk 1 Tk 1( k 2 [1 1)!所以Sk 1k 1 1 1 1 12 [1 k 2)] ，( kk (12k1)! 1 4 61 ( 1k 21 k 1)]2k 1 4 12 6k(3k 5) ，k (k 1 3k k 2)k 1 1k212122 k !又1(k 1)21 (k 1)1k(3k 5) ，等式也成立；412612综上可得，对随意n2 且 n N * ，都有 T nan 2 bn c 成立 .S n。

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常州市教育学会学生学业水平监测高三数学Ⅰ试题 2014年1月参考公式：样本数据1x ,2x ,… ，n x 的方差2211()n i i s x x n ==-∑，其中x =11n i i x n =∑．一、填空题:本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1． 设集合{}21A x x x =<∈R ，，{}20B x x =≤≤，则A B = ▲ ．2． 若1i1i im n +=+(m n ∈R ，，i 为虚数单位）,则mn 的值为 ▲ ． 3． 已知双曲线2221(0)4x y a a -=>的一条渐近线方程为20x y -=,则a 的值为 ▲ ．4． 某学校选修羽毛球课程的学生中，高一，高二年级分别有80名，50名．现用分层抽样的方法在这130名学生中抽取一个样本，已知在高一年级学生中抽取了24 名，则在高二年级学生中应抽取的人数为 ▲ ．5． 某市连续5天测得空气中PM2。

5（直径小于或等于2.5微米的颗粒物）的数据（单位：3/g m ）分别为115，125，132，128，125，则该组数据的方差为 ▲ ．6． 函数222sin 3cos 4y x x =+-的最小正周期为 ▲ ．7． 已知5瓶饮料中有且仅有2瓶是果汁类饮料．从这5瓶饮料中随机取2瓶，则所取2瓶中至少有一瓶是果汁类饮料的概率为 ▲ ．8． 已知实数x ，y 满足约束条件333x y y x +⎧⎪⎨⎪⎩≥≤≤，，，则225z x y =--的最大值为 ▲ ．9． 若曲线1C ：43236y x ax x =--与曲线2C ：e x y =在1x =处的切线互相垂直，则实数a 的值为▲ ．10．给出下列命题：（1)若两个平面平行，那么其中一个平面内的直线一定平行于另一个平面； (2）若两个平面平行，那么垂直于其中一个平面的直线一定垂直于另一个平面； (3)若两个平面垂直，那么垂直于其中一个平面的直线一定平行于另一个平面; （4）若两个平面垂直，那么其中一个平面内的直线一定垂直于另一个平面．则其中所有真命题的序号为 ▲ ．11．已知,66⎛⎫∈- ⎪⎝⎭,等比数列{}n a 中,11a =，343a ，若数列{}n a 的前2014项的和为0，则的值为 ▲ ．12．已知函数f （x )＝201,02(1),xx x x ⎧⎛⎫<⎪ ⎪⎨⎝⎭⎪-⎩≥，，若((2))()f f f k ->，则实数k 的取值范围为 ▲ ． 13．在△ABC 中,角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若tan 7tan A B =，223a b c -=，则c = ▲ ．14．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆O ：2216x y +=，点(1,2)P ，M ，N 为圆O 上不同的两点，且满足0PM PN ⋅=．若PQ PM PN =+,则PQ 的最小值为 ▲ ．二、解答题:本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(本小题满分14分）在△ABC 中，角A ,B ，C 的对边分别为a ,b ,c ．设向量(,)m a c =，(cos ,cos )n C A =． （1）若m n ∥,c =，求角A ；（2）若3sin m n b B ⋅=,4cos 5A =，求cos C 的值． 16．（本小题满分14分）如图，在直三棱柱111A B C ABC -中，AB⊥BC ，E ，F 分别是1A B ，1AC 的中点．（1）求证：EF ∥平面ABC ；（2）求证：平面AEF ⊥平面11AA B B ; (3）若1222A A AB BC a ===，求三棱锥F ABC -的体积．17．（本小题满分14分）设等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，已知35S a =，525S =． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2)若p ，q 为互不相等的正整数,且等差数列{}n b 满足pa b p =，qa b q =，求数列{}n b 的前n 项和n T ．FBCE A1A 1B 1C （第16题）江苏省常州市高三上学期期末考试数学试题Word 版含答案(word 版可编辑修改)18．（本小题满分16分）圆在平面直角坐标系xOy 中，椭线为直线l ，动E :22221(0)x y a b ab+=>>的右准椭圆于A ，B 两直线y kx m =+(00)k m <>，交点，线段AB 的中点为M ，射线OM 分别交椭圆及直线l 于P ，Q 两点，如图．若A ，B 两点分别是椭圆E 的右顶点，上顶点时，点Q 的纵坐标为1e（其中e 为椭圆的离心率)，且OQ =．(1）求椭圆E 的标准方程;（2)如果OP 是OM ，OQ 的等比中项,那么mk是否为常数？若是，求出该常数；若不是，请说明理由．19．（本小题满分16分）几名大学毕业生合作开设3D 打印店，生产并销售某种3D 产品．已知该店每月生产的产品当月都能销售完,每件产品的生产成本为34元,该店的月总成本由两部分组成：第一部分是月销售产品的生产成本，第二部分是其它固定支出20000元．假设该产品的月销售量()t x （件)与销售价格x （元/件）（x *∈N ）之间满足如下关系：①当3460x ≤≤时，2()(5)10050t x a x =-++;②当6070x ≤≤时，()1007600t x x =-+．设该店月利润为M （元），月利润=月销售总额－月总成本．（1）求M 关于销售价格x 的函数关系式；（2)求该打印店月利润M 的最大值及此时产品的销售价格．20．（本小题满分16分）已知函数()ln af x x x x=--，a ∈R ．（第18题）(1）当0a =时，求函数()f x 的极大值； （2）求函数()f x 的单调区间;（3)当1a >时，设函数()(1)11ag x f x x x =-+-+-，若实数b 满足：b a >且 ()1b g g a b ⎛⎫= ⎪-⎝⎭，()22a b g b g +⎛⎫= ⎪⎝⎭，求证：45b <<．常州市教育学会学生学业水平监测数学Ⅱ（附加题） 2014年1月21．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做两题．．．．．．，每小题10分，共计20分．请在答题．．卡指定区域．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4-1：几何证明选讲如图,等腰梯形ABCD 内接于⊙O ，AB ∥CD ．过点A 作⊙O 的切线交CD 的延长线于点E ． 求证：∠DAE =∠BAC .B ．选修4—2：矩阵与变换已知直线:0l ax y -=在矩阵A 0112⎡⎤=⎢⎥⎣⎦对应的变换作用下得到直线l '，若直线l '过点(1,1)，求实数a 的值．C ．选修4-4:坐标系与参数方程在极坐标系中,已知点3,)6P ，直线:cos()224l +=，求点P 到直线l 的距离．D ．选修4-5：不等式选讲已知1x ≥，1y ≥，求证：22221x x y xy y x y ++++≤．【必做题】第22题、第23题，每题10分,共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22． (本小题满分10分)如图，三棱锥P －ABC 中,已知平面PAB ⊥平面ABC ，AC ⊥BC ，AC =BC =2a ，点O ，D 分别是AB ,PB 的中点，PO ⊥AB ,连结CD ．(1)若2PA a =，求异面直线PA 与CD 所成角的余弦值的大小；（2)若二面角A －PB－C ，求PA ．23．（本小题满分10分)设集合A ,B 是非空集合M 的两个不同子集，满足：A 不是B 的子集,且B 也不是A 的子集．ABCDOP（第22题）（1)若M=1234{,,,}a a a a ，直接写出所有不同的有序集合对（A ,B ）的个数;(2）若M=123{,,,,}n a a a a ⋅⋅⋅，求所有不同的有序集合对(A ，B )的个数．常州市教育学会学生学业水平监测高三数学Ⅰ试题参考答案及评分标准一、填空题:本大题共14小题，每小题5分,共70分 1．[)0,1 2．1- 3． 1 4． 15 5．31。

2020届江苏省常州市高三上学期期末考试数学试题一、填空题1．已知集合A ={0,1},B ={−1,1}，则A ∩B =________.2．已知复数z 满足z(1+i)=1−i （i 是虚数单位），则复数z =________.3．已知5位裁判给某运动员打出的分数为9.1,9.3,x,9.2,9.4，且这5个分数的平均数为9.3，则实数x =________.4．一个算法的伪代码如右图所示，执行此算法，若输出的y 值为1，则输入的实数x 的值为________.5．函数1ln y x =-的定义域为______．6．某校开设5门不同的选修课程，其中3门理科类和2门文科类，某同学从中选修2门课程，则该同学恰好选中1文1理的概率为________.7．已知双曲线C:x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的离心率为2，直线x +y +2=0经过双C 的焦点，则双曲线C 的渐近线方程为________.8．已知圆锥SO ，过SO 的中点P 作平行于圆锥底面的截面，以截面为上底面作圆柱PO ，圆柱的下底面落在圆锥的底面上（如图），则圆柱PO 的体积与圆锥SO 的体积的比值为________.9．已知正数x,y 满足x +yx=1，则1x+xy的最小值为________.10．若直线kx −y −k =0与曲线y =e x （e 是自然对数的底数）相切，则实数k =________. 11．已知函数f(x)=sin(ωx +φ)(ω>0,φ∈R)是偶函数，点(1,0)是函数y =f(x)图象的对称中心，则ω最小值为________.12．平面内不共线的三点O,A,B ，满足|OA⃑⃑⃑⃑⃑ |=1,|OB ⃑⃑⃑⃑⃑ |=2，点C 为线段AB 的中点，∠AOB 的平分线交线段AB 于D ，若|OC⃑⃑⃑⃑⃑ |=√32，则|OD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |=________.13．过原点的直线l与圆x2+y2=1交于P,Q两点，点A是该圆与x轴负半轴的交点，以AQ为直径的圆与直线l有异于Q的交点N，且直线AN与直线AP的斜率之积等于1，那么直线l的方程为________.14．数列{a n},{b n}满足b n=a n+1+(−1)n a n(n∈N∗)，且数列{b n}的前n项和为n2，已知数列{a n−n}的前2018项和为1，那么数列{a n}的首项a1=________.二、解答题15．如图，正三棱柱ABC−A1B1C1中，点M,N分别是棱AB,CC1的中点.求证：（1）CM//平面AB1N；（2）平面A1BN⊥平面AA1B1B.16．已知ΔABC中，a,b,c分别为三个内角A,B,C的对边，且b2−2√33bcsinA+c2=a2.（1）求角A；（2）若tanBtanC=3，且a=2，求ΔABC的周长.17．已知，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C1:x2a2+y2b2=1的焦点在椭圆C2:y2a2+x2b2=1上，其中a>b>0，且点(√63,√63)是椭圆C1,C2位于第一象限的交点.（1）求椭圆C1,C2的标准方程；（2）过y 轴上一点P 的直线l 与椭圆C 2相切，与椭圆C 1交于点A,B ，已知PA ⃑⃑⃑⃑⃑ =35PB⃑⃑⃑⃑⃑ ，求直线l 的斜率.18．某公园要设计如图所示的景观窗格（其结构可以看成矩形在四个角处对称地截去四个全等的三角形所得，如图二中所示多边形ABCDEFGH ），整体设计方案要求:内部井字形的两根水平横轴AF =BE =1.6米，两根竖轴CH =DG =1.2米，记景观窗格的外框（如图二实线部分，轴和边框的粗细忽略不计）总长度为l 米.（1）若∠ABC =2π3，且两根横轴之间的距离为0.6米，求景观窗格的外框总长度；（2）由于预算经费限制，景观窗格的外框总长度不超过5米，当景观窗格的面积（多边形ABCDEFGH 的面积）最大时，给出此景观窗格的设计方案中∠ABC 的大小与BC 的长度.19．已知数列{a n }中，a 1=1，且a n+1+3a n +4=0,n ∈N ∗. （1）求证：{a n +1}是等比数列，并求数列{a n }的通项公式；（2）数列{a n }中是否存在不同的三项按照一定顺序重新排列后，构成等差数列？若存在，求满足条件的项；若不存在，说明理由.20．已知函数m(x)=x 2，函数n(x)=alnx +1(a ∈R). （1）若a =2，求曲线y =n(x)在点(1,n(1))处的切线方程；（2）若函数f(x)=m(x)−n(x)有且只有一个零点，求实数a 的取值范围；（3）若函数g(x)=n(x)−1+e x −ex ≥0对x ∈[1,+∞)恒成立，求实数a 的取值范围.(e 是自然对数的底数，e ≈2.71828⋯)21．已知点(1,2)在矩阵A =[1x2y]对应的变换作用下得到的点(7,6)，求： （1）矩阵A ；（2）矩阵A 的特征值及对应的特征向量.22．在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴，建立极坐标系.直线l 的参数方程为{x =1+√22t,y =12t（为参数），曲线C 的极坐标方程为ρ=2√2sin(θ+π4)，求直线l 被曲线C 所截的弦长.23．已知a>0,b>0，求证：a+b+1≥√ab+√a+√b.24．如图，在空间直角坐标系O−xyz中，已知正四棱锥P−ABCD的高OP=2，点B,D和C,A 分别在x轴和y轴上，且AB=√2，点M是棱PC的中点.（1）求直线AM与平面PAB所成角的正弦值；（2）求二面角A−PB−C的余弦值.(an2+ 25．是否存在实数a,b,c，使得等式1⋅3⋅5+2⋅4⋅6+⋯+n(n+2)(n+4)=n(n+1)4bn+c)对于一切正整数n都成立？若存在，求出a,b,c的值；若不存在，说明理由.2020届江苏省常州市高三上学期期末考试数学试题参考答案一、填空题1．已知集合A={0,1},B={−1,1}，则A∩B=________.【答案】{1}【解析】两个集合取交集可直接得到答案.【详解】集合A={0,1},B={−1,1}，则A∩B={1}故答案为：{1}【点睛】本题考查集合的交集运算，属于简单题.2．已知复数z满足z(1+i)=1−i（i是虚数单位），则复数z=________.【答案】−i【解析】利用复数的商的运算，分子分母同时乘以分母的共轭复数，化简即可得到答案. 【详解】z=1−i1+i =(1−i)(1−i)(1+i)(1−i)=−2i2=-i故答案为：-i【点睛】本题考查复数的商的运算，属于简单题.3．已知5位裁判给某运动员打出的分数为9.1,9.3,x,9.2,9.4，且这5个分数的平均数为9.3，则实数x=________.【答案】9.5【解析】根据平均数的定义列方程求出x的值．【详解】数据9.1，9.3，x，9.2，9.4的平均数为15×（9.1+9.3+x+9.2+9.4）＝9.3，解得x＝9.5．故答案为：9.5．【点睛】本题考查平均数的定义与计算，是基础题．4．一个算法的伪代码如右图所示，执行此算法，若输出的y值为1，则输入的实数x的值为________.【答案】3【解析】执行该算法后输出y＝{x2−2x−2,x≥1x+1x−1,x<1，令y＝1求出对应x值即可．【详解】执行如图所示的算法知，该算法输出y＝{x2−2x−2,x≥1 x+1x−1,x<1当x≥1时，令y＝x2﹣2x﹣2＝1，解得x＝3或x＝﹣1（不合题意，舍去）；当x＜1时，令y＝x+1x−1＝1，此方程无解；综上，则输入的实数x的值为3．故答案为：3．【点睛】本题考查算法与应用问题，考查分段函数的应用问题，是基础题．5．函数y=______．【答案】(]0,e【解析】分析：利用真数大于零与被开方式大于等于零布列不等式组，解出范围即可.详解：函数()f x=的定义域为：0{ 10x lnx -≥＞, 解得0＜x ≤e ． 故答案为： (]0,e ．点睛：常见基本初等函数定义域的基本要求 (1)分式函数中分母不等于零．(2)偶次根式函数的被开方式大于或等于0. (3)一次函数、二次函数的定义域均为R. (4)y ＝x 0的定义域是{x |x ≠0}．(5)y ＝a x (a >0且a ≠1)，y ＝sin x ，y ＝cos x 的定义域均为R. (6)y ＝log a x (a >0且a ≠1)的定义域为(0，＋∞)．6．某校开设5门不同的选修课程，其中3门理科类和2门文科类，某同学从中选修2门课程，则该同学恰好选中1文1理的概率为________. 【答案】35【解析】先求出基本事件总数n 和该同学恰好选中1文1理包含的基本事件数m ，由古典概型概率公式求解即可. 【详解】某校开设5门不同的选修课程，其中3门理科类和2门文科类，某同学从中选修2门课程，基本事件总数n ＝C 52＝10， 该同学恰好选中1文1理包含的基本事件总数m ＝C 31C 21＝6．∴该同学恰好选中1文1理的概率p ＝m n =610＝35． 故答案为：35． 【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 7．已知双曲线C:x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的离心率为2，直线x +y +2=0经过双C 的焦点，则双曲线C 的渐近线方程为________. 【答案】y =±√3x【解析】利用双曲线的离心率以及焦距，列出方程，求解渐近线方程即可． 【详解】双曲线C:x 2a −y 2b =1(a >0,b >0)的离心率为2，ca =2， 直线x +y +2＝0经过双曲线C 的焦点，可得c ＝2，所以a ＝1， 由b 2=c 2−a 2=3,则b ＝√3， 又双曲线的焦点在x 轴上，所以双曲线C 的渐近线方程为：y =±√3x ． 故答案为：y =±√3x ． 【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查双曲线渐近线方程的求法，属于基础题.8．已知圆锥SO ，过SO 的中点P 作平行于圆锥底面的截面，以截面为上底面作圆柱PO ，圆柱的下底面落在圆锥的底面上（如图），则圆柱PO 的体积与圆锥SO 的体积的比值为________.【答案】38【解析】设出圆锥的底面半径和高，分别求出圆柱和圆锥的体积，计算出比值． 【详解】设圆锥SO 的底面半径为r ，高为h ，则圆柱PO 的底面半径是r 2，高为ℎ2， ∴V SO ＝13πr 2h ，V PO ＝π（r 2）2•ℎ2=πr 2ℎ8，∴V SOVPO=πr 2ℎ813πr 2ℎ=38．故答案为：38． 【点睛】本题考查圆柱与圆锥体积的求法，考查计算能力，是基础题．9．已知正数x,y满足x+yx =1，则1x+xy的最小值为________.【答案】4【解析】将代数式x+yx 与1x+xy相乘，利用基本不等式可求出最小值．【详解】由基本不等式可得(x+yx )(1x+xy)=x2y+yx2+2≥2√x2y∙yx2+2=4，所以，1x +xy≥4当且仅当x=yx，即当y＝x2时，等号成立，因此，1x +xy的最小值为4，故答案为：4．【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，对代数式进行灵活配凑是解本题的关键，同时考查计算能力，属于基础题．10．若直线kx−y−k=0与曲线y=e x（e是自然对数的底数）相切，则实数k=________.【答案】e2【解析】根据题意，设切点为（m，e m），求y＝e x的导数，由导数几何意义可得k，即得切线方程，结合切线kx﹣y﹣k＝0可得m，从而得到k．【详解】根据题意，若直线kx﹣y﹣k＝0与曲线y＝e x相切，设切点为（m，e m）曲线y＝e x，其导数y′＝e x，则切线的斜率k＝y′|x＝m＝e m，则切线的方程为y﹣e m＝e m（x﹣m），又由k＝e m，则切线的方程为y﹣k＝k（x﹣m），即kx﹣y﹣mk+k＝0，又由切线为kx﹣y﹣k＝0，则有﹣m+1＝﹣1，解可得m＝2，则k＝e m＝e2，故答案为：e2．【点睛】本题考查利用导数计算曲线的切线方程，关键是掌握导数的几何意义，属于基础题．11．已知函数f(x)=sin(ωx +φ)(ω>0,φ∈R)是偶函数，点(1,0)是函数y =f(x)图象的对称中心，则ω最小值为________. 【答案】π2【解析】由函数是偶函数得到φ的可能取值，再由函数过点（1，0）得出ω+φ的可能取值，从而得出ω的表达式，再对参数赋值即可得出所求最小值 【详解】∵函数f （x ）＝sin （ωx +φ）（ω＞0，φ∈R ）是偶函数， ∴φ＝k 1π+π2,k 1∈Z ,∵点（1，0）是函数y ＝f （x ）图象的对称中心 ∴sin （ω+φ）＝0，可得ω+φ＝k 2π，k 2∈Z ， ∴ω＝k 2π﹣φ＝（k 2﹣k 1）π﹣π2．又ω＞0，所以当k 2﹣k 1＝1时，ω的最小值为π2． 故答案为：π2． 【点睛】本题考查正弦类函数的奇偶性与对称性，解答的关键是熟练掌握三角函数的图象与性质，能根据三角函数的图象与性质得出参数φ与ω的可能取值，再通过赋值的手段得出参数的最值 12．平面内不共线的三点O,A,B ，满足|OA⃑⃑⃑⃑⃑ |=1,|OB ⃑⃑⃑⃑⃑ |=2，点C 为线段AB 的中点，∠AOB 的平分线交线段AB 于D ，若|OC⃑⃑⃑⃑⃑ |=√32，则|OD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |=________. 【答案】23【解析】点C 为线段AB 的中点可得OC⃑⃑⃑⃑⃑ =12(OA ⃑⃑⃑⃑⃑ +OB ⃑⃑⃑⃑⃑ )，通过计算OC ⃑⃑⃑⃑⃑ 2，即得∠AOB ，由正弦定理可得：OBsinA =AB sin ∠AOB，OD sinA =AD sin ∠AOD，即可求解．【详解】如图，∵点C 为线段AB 的中点，∴OC⃑⃑⃑⃑⃑ =12(OA ⃑⃑⃑⃑⃑ +OB ⃑⃑⃑⃑⃑ )， OC⃑⃑⃑⃑⃑ 2=14(OA ⃑⃑⃑⃑⃑ 2+OB ⃑⃑⃑⃑⃑ 2+2OA ⃑⃑⃑⃑⃑ ∙OB ⃑⃑⃑⃑⃑ )=14(1+4+2×1×2×cos ∠AOB) 解得cos ∠AOB ＝﹣12，∴∠AOB ＝120°．由余弦定理可得AB 2＝OA 2+OB 2﹣2OA •OB cos120°＝7,AB=√7由正弦定理可得：OBsinA =AB sin ∠AOB⇒sin A ＝√3√7．由正弦定理可得：OD sinA =AD sin ∠AOD，∵AD =AB 3=√73，∠AOD ＝60°． ∴|OD⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |=23． 故答案为：23． 【点睛】本题考查向量的线性运算，考查正余弦定理在解三角形中的应用，属于中档题．13．过原点的直线l 与圆x 2+y 2=1交于P,Q 两点，点A 是该圆与x 轴负半轴的交点，以AQ 为直径的圆与直线l 有异于Q 的交点N ，且直线AN 与直线AP 的斜率之积等于1，那么直线l 的方程为________. 【答案】y =±√3x【解析】根据题意推得k l +k AP ＝0，然后设P （x 0，y 0），解方程k l +k AP ＝0可得x 0，再代入圆的方程可解得y 0，从而求出直线l 方程． 【详解】由以AQ 为直径的圆与直线l 有异于Q 的交点N ，得k AN •k l ＝﹣1，k AN •k AP ＝1， 所以k l +k AP ＝0，设P （x 0，y 0）（y 0≠0）则k l ＝y 0x 0，k AP ＝y1+x 0，∴y 0x 0+y 01+x 0＝0，解得x 0＝﹣12，又x 02+y 02＝1， 所以y 0＝±√32，k l ＝y0x 0=±√3所以直线l 的方程为：y ＝±√3x 故答案为：y ＝±√3x【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系的应用，考查直线与直线垂直的性质的应用，属中档题． 14．数列{a n },{b n }满足b n =a n+1+(−1)n a n (n ∈N ∗)，且数列{b n }的前n 项和为n 2，已知数列{a n −n}的前2018项和为1，那么数列{a n }的首项a 1=________. 【答案】32【解析】由数列分组求和可得a 1+a 2+…+a 2018，由数列{b n }的前n 项和以及数列的递推式可得a n 与a 1的关系，求和解方程即可得到所求值． 【详解】数列{a n ﹣n }的前2018项和为1，即有（a 1+a 2+…+a 2018）﹣（1+2+…+2018）＝1， 可得a 1+a 2+…+a 2018＝1+1009×2019，由数列{b n }的前n 项和为n 2，可得b n ＝2n ﹣1， b n =a n+1+(−1)n a n (n ∈N ∗)=2n −1，a 2＝1+a 1，a 3＝2﹣a 1，a 4＝7﹣a 1，a 5＝a 1， a 6＝9+a 1，a 7＝2﹣a 1，a 8＝15﹣a 1，a 9＝a 1， …，可得a 1+a 2+…+a 2018＝（1+2+7）+（9+2+15）+（17+2+23）+…+（4025+2+4031）+（a 1+4033+a 1） ＝505+12×505×504×8+2×504+504×7+12×504×503×8+2a 1＝1+1009×2019， 解得a 1＝32． 故答案为：32． 【点睛】本题考查等差数列的求和公式，以及数列的分组求和，考查运算能力和推理能力，属于中档题．二、解答题15．如图，正三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，点M,N 分别是棱AB,CC 1的中点.求证：（1）CM//平面AB1N；（2）平面A1BN⊥平面AA1B1B.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】（1）设A1B与AB1的交点为O，连MO,NO，证明四边形CMON为平行四边形，利用线面平行的判定定理可得CM∥平面AB1N．（2）由已知证明CM⊥平面ABB1A1，因为CM//ON，可得ON⊥平面ABB1A1，由面面垂直的判定定理即可得到证明.【详解】（1）设A1B与AB1的交点为O，连MO,NO，BB1，在正三棱柱ABC−A1B1C1中，O为AB1的中点，OM//BB1，且OM=12BB1，依题意，有CN//BB1，且CN=12∴OM//CN，且OM=CN，∴四边形CMON为平行四边形，∴CM//ON，而CM⊄平面AB1N，ON⊂平面AB1N，∴CM//平面AB1N.（2）在正三棱柱ABC−A1B1C1中，BB1⊥平面ABC，∴BB1⊥CM，又CM⊥AB,AB∩BB1=B，∴CM⊥平面ABB1A1，因为CM//ON，∴ON⊥平面ABB1A1，ON⊂平面A1BN，∴平面A1BN⊥平面ABB1A1.【点睛】本题考查线面平行、面面垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．16．已知ΔABC中，a,b,c分别为三个内角A,B,C的对边，且b2−2√33bcsinA+c2=a2.（1）求角A；（2）若tanBtanC=3，且a=2，求ΔABC的周长.【答案】（1）π3；（2）6.【解析】(1)由余弦定理和同角三角函数关系式化简即可得到答案；（2）利于（1）所得A角和两角差的正切公式化简tanBtanC，可得角B，可确定三角形为等边三角形，从而可得周长. 【详解】（1）由已知，得：b2+c2−a2=2√33bcsinA，由余弦定理，得：cosA=b 2+c2−a22bc=√33sinA，即tanA=√3，又A∈(0,π),所以A=π3.（2）A=π3,B+C=2π3，tanBtanC=tanB×tan(2π3−B)=tanB×√3−tanB1−√3tanB=3，化简，得：tan2B−2√3tanB+3=0，所以，tanB=√3,B=π3；所以，三角形ABC为等边三角形，其周长为：3a=6.【点睛】本题考查余弦定理和两角和差公式的简单应用，考查计算能力，属于基础题.17．已知，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C1:x2a2+y2b2=1的焦点在椭圆C2:y2a2+x2b2=1上，其中a>b>0，且点(√63,√63)是椭圆C1,C2位于第一象限的交点.（1）求椭圆C1,C2的标准方程；（2）过y 轴上一点P 的直线l 与椭圆C 2相切，与椭圆C 1交于点A,B ，已知PA ⃑⃑⃑⃑⃑ =35PB⃑⃑⃑⃑⃑ ，求直线l 的斜率.【答案】（1）C 1:x 22+y 2=1,C 2:y 22+x 2=1；（2）k =±2.【解析】（1）由题意得c=b,a =√2b , 将点(√63,√63)代入椭圆C 1，可得a ，b ，从而得到椭圆C 1,C 2的方程；（2）设直线l 为y ＝kx +m ，代入椭圆C 2，由判别式为0，可得m ，k 的关系式，由直线方程和椭圆C 1方程，运用韦达定理和向量共线的坐标表示，可得m,k 的第二个关系，解方程组可得直线方程． 【详解】（1）如下图所示，依题意，得c =b ，所以，a =√b 2+c 2=√2b ， 所以，椭圆C 1为：x 22b 2+y 2b 2=1，将点(√63,√63)代入，解得：b =1，所以，C 1:x 22+y 2=1,C 2:y 22+x 2=1.（2）设l 斜率为k,P (0,m )，则直线l 方程为：y =kx +m ，设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)， PA⃑⃑⃑⃑⃑ =35PB ⃑⃑⃑⃑⃑ ⇒x 1=35x 2， {y =kx +m y 22+x 2=1⇒(k 2+2)x 2+2mkx +m 2−2=0,Δ=8k 2−8m 2+16=0⇒m 2=k 2+2， {y =kx +m x 22+y 2=1⇒(2k 2+1)x 2+4mkx +2m 2−2=0,Δ=16k 2−8m 2+8=8k 2−8>0⇒k 2>1， x 1,2=−2mk±√2k 2−22k +1，又x 1=35x 2⇒x 1x 2+x 2x 1=8m 2k 2(2k +1)(m −1)−2=3415⇒m 2=16k 2+8k +8=k 2+2⇒{k =±√2m =±2或{k =±2m =±√6，故l方程为：y=±√2x±2或y=±2x±√6.【点睛】本题考查椭圆的方程和性质，考查直线方程和椭圆方程联立，运用判别式法和韦达定理、以及向量共线的坐标表示，考查方程思想和运算能力，属于中档题．18．某公园要设计如图所示的景观窗格（其结构可以看成矩形在四个角处对称地截去四个全等的三角形所得，如图二中所示多边形ABCDEFGH），整体设计方案要求:内部井字形的两根水平横轴AF=BE=1.6米，两根竖轴CH=DG=1.2米，记景观窗格的外框（如图二实线部分，轴和边框的粗细忽略不计）总长度为l米.（1）若∠ABC=2π3，且两根横轴之间的距离为0.6米，求景观窗格的外框总长度；（2）由于预算经费限制，景观窗格的外框总长度不超过5米，当景观窗格的面积（多边形ABCDEFGH的面积）最大时，给出此景观窗格的设计方案中∠ABC的大小与BC的长度.【答案】（1）6.8−1.2√3米；（2）∠ABC=3π4,BC的长度为3(√2+1)20米.【解析】（1）利用直角三角形分别求图中的各个边的长度求和即可得到答案；（2）设∠ABC= x,x∈(π2,π),BC=y，景观窗格的面积为S，将面积用x和y表示出来，利用已知条件和三角函数的有界性可得最值，从而得到答案.【详解】（1）AB=EF=0.6米，∠CBE=∠ABC−900=300，则BC= 1.2−0.62sin∠CBE=0.6米，CD=BE−2⋅BCcos∠CBE=1.6−0.6√3米，故总长度l=2AB+2CD+4BC=6.8−1.2√3米；答：景观窗格的外框总长度为6.8−1.2√3米；（2）设∠ABC =x,x ∈(π2,π),BC =y ，景观窗格的面积为S ，则AB =1.2−2ysin (x −π2)=1.2+2ycosx,CD =1.6−2ycos (x −π2)=1.6−2ysinx ⇒l =2AB +2CD +4BC =4y (1+cosx −sinx )+5.6≤5⇒sinx −cosx ≥320y +1， ⇒320y +1≤√2sin (x −π4)≤√2⇒y ≥3(√2+1)20，当且仅当sin (x −π4)=1即x =3π4时取等⇒1−sin2x ≥(320y +1)2⇒sin2x ≤−9400y −310y ，S =1.2×1.6−4×12⋅BCsin (π−x )⋅BCcos (π−x )=1.2×1.6+y 2sin2x ≤1.2×1.6−9400−3y 10，由y ≥3(√2+1)20知：S ≤1.2×1.6−9400−9(√2+1)200=741−18√2400， 答：当景观窗格的面积最大时，∠ABC =3π4,BC 的长度为3(√2+1)20米.【点睛】本题考查三角函数在实际生活中的应用，考查函数的最值问题，考查分析推理和计算能力，属于中档题.19．已知数列{a n }中，a 1=1，且a n+1+3a n +4=0,n ∈N ∗. （1）求证：{a n +1}是等比数列，并求数列{a n }的通项公式；（2）数列{a n }中是否存在不同的三项按照一定顺序重新排列后，构成等差数列？若存在，求满足条件的项；若不存在，说明理由.【答案】（1）证明见解析，a n =2×(−3)n−1−1；（2）不存在.【解析】（1）推导出a n +1+1＝﹣3（a n +1），n ∈N ．a 1+1＝2，由此能证明{a n +1}是以2为首项，﹣3为公比的等比数列，可求数列{a n }通项公式．（2）假设a m ，a n ，a p 构成等差数列，m ≠n ≠p ，则2a n ＝a m +a p ，利用（1）的通项公式进行推导不满足2a n ＝a m +a p ，从而数列{a n }中不存在不同的三项按照一定顺序重新排列后，构成等差数列． 【详解】（1）因为a n+1+3a n +4=0，所以a n+1+1a n +1=−3a n −3a n +1=−3，因为a 1+1=2≠0，所以数列{a n +1}是以2为首项，以-3为公比的等比数列， 所以a n +1=2×(−3)n−1，即a n =2×(−3)n−1−1；（2）假设存在三项a r ,a s ,a t (r <s <t )按一定顺序重新排列后成等差.①若a r+a s=2a t，则2×(−3)r−1−1+2×(−3)s−1−1=4×(−3)t−1−2，整理得(−3)r+(−3)s=2×(−3)t，两边同除以(−3)r，可得1+(−3)t−r=2×(−3)s−r，等式右边是-3的整数倍，左边不是-3的整数倍，故等式不成立.②若a s+a r=2a t，则2×(−3)s−1−1+2×(−3)r−1−1=4×(−3)t−1−2，整理得(−3)s+(−3)r=2×(−3)t，两边同除以(−3)r，可得1+(−3)s−r=2×(−3)t−r，等式右边是-3的整数倍，左边不是-3的整数倍，故等式不成立.③若a s+a t=2a r，则2×(−3)s−1−1+2×(−3)t−1−1=4×(−3)r−1−2，整理得(−3)s+(−3)t=2×(−3)r，两边同除以(−3)r，可得(−3)s−r+(−3)t−r=2，等式左边是-3的整数倍，右边不是-3的整数倍，故等式不成立；综上，不存在不同的三项符合题意.【点睛】本题考查等比数列的证明，考查数列能否构成等差数列的判断与求法，考查构造法、等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．20．已知函数m(x)=x2，函数n(x)=alnx+1(a∈R).（1）若a=2，求曲线y=n(x)在点(1,n(1))处的切线方程；（2）若函数f(x)=m(x)−n(x)有且只有一个零点，求实数a的取值范围；（3）若函数g(x)=n(x)−1+e x−ex≥0对x∈[1,+∞)恒成立，求实数a的取值范围.(e是自然对数的底数，e≈2.71828⋯)【答案】（1）y=2x−1；（2）(−∞,0]∪{2}；（3）[0,+∞).【解析】（1）代入a值，求函数的导数，由导数的几何意义求得切线斜率，根据点斜式可得切线方程；（2）求导数，通过讨论a的范围，求函数单调区间，结合函数单调性和函数的最值可求a的范围；（3）求g（x）解析式，求函数导数，讨论函数单调性，由函数单调性和最值可确定a的范围．【详解】（1）当a=2时，n(x)=2lnx+1，则n′(x)=2，所以n(1)=1,n′(1)=2，x所以切线方程为y =2x −1. （2）f (x )=x 2−alnx−1,f ′(x )=2x −ax =2x 2−a x，①当a ≤0时，f ′(x )>0恒成立，所以f (x )单调递增， 因为f (1)=0，所以f (x )有唯一零点，即a ≤0符合题意； ②当a >0时，令f ′(x )=0，解得x =√a2，列表如下：由表可知，f (x )min =f (√a2).（i ）当√a2=1，即a =2时，f (x )min =f (1)=0，所以a =2符合题意； （ii ）当√a 2<1，即0<a <2时，f (√a2)<f (1)=0， 因为f (e−1a)=e−2a+1−1=e−2a>0，且e−1a<1，所以e−1a<√a2，故存在x 1∈(e−1a,√a2)，使得f (x 1)=f (1)=0，所以0<a <2不符题意；（iii ）当√a2>1，即a >2时，f (√a2)<f (1)=0，因为f (a −1)=(a −1)2−aln (a −1)−1=a(a −2−ln (a −1))， 设a −1=t >1,a −2−ln (a −1)=t −1−lnt =ℎ(t )， 则ℎ′(t )=1−1t >0，所以ℎ(t )单调递增，即ℎ(t )>ℎ(1)=0，所以f (a −1)>0， 又因为a −1>1，所以a −1>√a2，故存在x 2∈(√a2,a −1)，使得f (x 2)=f (1)=0，所以a >2不符题意；综上，a 的取值范围为(−∞,0]∪{2}.（3）g (x )=alnx +e x −ex ，则g ′(x )=a x +e x −e,g ″(x )=e x −a x 2，①当a ≥0时，g ′(x )≥0恒成立，所以g (x )单调递增，所以g (x )≥g (1)=0，即a ≥0符合题意；②当a <0时，g ″(x )>0恒成立，所以g ′(x )单调递增，又因为g ′(1)=a <0,g ′(ln (e −a ))=aln (e−a )−a =a ⋅1−ln (e−a )ln (e−a )>0，所以存在x 0∈(1,ln (e −a ))，使得g ′(x 0)=0，且当x ∈(1,x 0)时，g ′(x )<0，即g (x )在(1,x 0)上单调递减，所以g (x 0)<g (1)=0，即a <0不符题意；综上，a 的取值范围为[0,+∞).【点睛】本题考查了切线方程问题，考查函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，综合性较强．21．已知点(1,2)在矩阵A =[1x 2y]对应的变换作用下得到的点(7,6)，求： （1）矩阵A ；（2）矩阵A 的特征值及对应的特征向量.【答案】（1）A =[1322]；（2）λ=−1时，对应特征向量：[3−2]；λ=4时，对应特征向量：[11]. 【解析】（1）根据矩阵的乘法公式计算即可；（2）写出矩阵A 的特征多项式f(λ)，令f(λ)＝0，得矩阵A 的特征值，即可得到特征向量.【详解】（1）[1x 2y ][12]=[76]，所以，{1+2x =72+2y =6 ，解得：{x =3y =2 , 所以，A =[1322]. （2）矩阵A 的特征多项式f(λ)=[λ−1−3−2λ−2]=λ2−3λ−4， 令f(λ)＝0，得矩阵A 的特征值：λ=−1或λ=4，λ=−1时，{−2x −3y =0−2x −3y =0 ，得一非零解：{x =3y =−2 ，对应特征向量：[3−2]； λ=4时，{3x −3y =0−2x +2y =0 ，得一非零解：{x =1y =1 ，对应特征向量：[11]. 【点睛】本题给出二阶矩阵，求矩阵A 的特征值和特征向量．着重考查了特征向量的定义、求法及其性质等知识，属于中档题．22．在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴，建立极坐标系.直线l 的参数方程为{x =1+√22t,y =12t（为参数），曲线C 的极坐标方程为ρ=2√2sin(θ+π4)，求直线l 被曲线C 所截的弦长.【答案】4√33 【解析】求直线l 的普通方程，曲线C 的直角坐标方程，得到曲线C 是以C （1，1）为圆心，以r ＝√2为半径的圆，求圆心C 到直线l 的距离d ，由弦长公式即可得到答案.【详解】直线l 的x −√2y −1=0，圆C 化为：ρ2=2ρsinθ+2ρcosθ,即(x −1)2+(y −1)2=2，圆心为（1,1），半径R ＝√2,圆心到直线距离为：d =√63, 所截弦长为：2√2−23=4√33. 【点睛】本题考查直线被圆截得的弦长的求法，考查极坐标方程、直角坐标方程、参数方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．23．已知a >0,b >0，求证：a +b +1≥√ab +√a +√b .【答案】证明见解析【解析】将所证不等式利用三次基本不等式即可得到证明.【详解】证明：a +b ≥2√ab ，a +1≥2√a ，b +1≥2√b ，上面三式相加，得：2(a +b +1)≥2√ab +2√a +2√b ，所以，a +b +1≥√ab +√a +√b .【点睛】本题考查基本不等式在证明题中的应用，属于基础题.24．如图，在空间直角坐标系O −xyz 中，已知正四棱锥P −ABCD 的高OP =2，点B,D 和C,A 分别在x 轴和y 轴上，且AB =√2，点M 是棱PC 的中点.（1）求直线AM 与平面PAB 所成角的正弦值；（2）求二面角A −PB −C 的余弦值.【答案】（1）4√1339；（2）−19. 【解析】（1）求出AM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 和平面PAB 的法向量，利用向量法能求出直线AM 与平面PAB 所成角的正弦值．（2）求平面PBC 的法向量和平面PAB 的法向量，利用向量法求二面角A ﹣PB ﹣C 的余弦值．【详解】（1）P （0，0，2），A （0，－1，0），B （1，0，0），M （0，12，1），AP ⃑⃑⃑⃑⃑ ＝（0，1，2），AB ⃑⃑⃑⃑⃑ ＝（1，1，0），设平面PAB 的法向量为m ⃑⃑ ＝（x ，y ，z ）， 则{y +2z =0x +y =0，取x ＝2，y ＝－2，z ＝1，m ⃑⃑ ＝（2，－2，1）， AM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ＝（0，32，1），AM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅m ⃑⃑ =|AM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |×|m ⃑⃑ |cosθ，得cos θ＝√4×√9＝4√1339,即线AM 与平面PAB 所成角的正弦值为4√1339. （2）C （0，1，0），P （0，0，2），B （1，0，0）BP ⃑⃑⃑⃑⃑ ＝（－1，0，2），BC ⃑⃑⃑⃑⃑ ＝（－1，1，0），设平面PBC 的法向量为n ⃑ ＝（x ，y ，z ），则{−x +2z =0−x +y =0，取x ＝2，y ＝2，z ＝1，n ⃑ ＝（2，2，1）， m ⃑⃑ ·n ⃑ =|m ⃑⃑ |×|n ⃑ |cosα，得cos α＝19，二面角A −PB −C 的余弦值为−19.【点睛】本题考查线面的正弦值和二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．25．是否存在实数a,b,c ，使得等式1⋅3⋅5+2⋅4⋅6+⋯+n(n +2)(n +4)=n(n+1)4(an 2+bn +c)对于一切正整数n 都成立？若存在，求出a,b,c 的值；若不存在，说明理由.【答案】{a ＝1b =9c =20【解析】利用数列的的分组求和法对等式左边的式子求和，然后根据对应项的系数相等可得答案.【详解】n(n +2)(n +4)=n 3+6n 2+8n ，1×3×5+2×4×6+...+n(n +2)(n +4)＝(13+23+...+n 3)+6(12+22+...+n 2)+8(1+2+...+n)＝n 2(n+1)24+6×n(n+1)(2n+1)6＋8×n(n+1)2 ＝n(n+1)4(n 2+n +8n +4+16)＝n(n+1)4(n2+9n+20)所以，{a＝1 b=9c=20，1⋅3⋅5+2⋅4⋅6+⋯+n(n+2)(n+4)=n(n+1)4(n2+9n+20).【点睛】本题考查数列分组求和方法的应用，考查等差数列的求和公式，属于基础题.。

江苏省常州市2021届高三第一学期期末调研测试数学试卷及答案常州市2021届高三第一学期期末调研测试数学我2022年2月试题一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．．1．设集合a1,0,1?，b??0,1,2,3?，则a2．设复数z?b=▲．启动m？3I（m×10，I是虚单位），如果Z×10？z、那么M的值是▲. 1.Mi22a←1a← 2A+13。

知道双曲线吗？4y？如果1的偏心率为3，则实数a的值为▲. 4.函数f （x）？log2x2？6的域是▲x?xx?5．函数f(x)?cos?sin?3cos?的最小正周期为▲．2.22 a> 64yn输出a结束6。

右图是一个算法流程图，那么输出a的值是▲（第6题）7.共有5道题，其中a类题2道，B类题3道。

现在随机回答两个问题，至少有一个道试题是乙类试题的概率为▲．2倍？Y≤2.8.实数x和Y是否满足约束条件？十、Y≥? 1，那么目标函数Z？2倍？Y的最小值为▲?x?y≥1,??pp?9．曲线y?x?cosx在点?，?处的切线方程为▲．22 10.已知函数f（x）？2倍？2.十、1,2??，那么函数y？F（x？1）的取值范围为▲11．已知向量a??1,1?，b1,1?，设向量c满足?2a?c3b?c??0，则c的最大值为▲．312．设等比数列?an?的公比为q（0?q?1），前n项和为sn，若a1?4a3a4，且a6与a4的等4.如果中值差为A5，则S6？▲．13．若不等式x2?2y2≤cx(y?x)对任意满足x?y?0的实数x,y恒成立，则实数c的最大值为▲．14．在平面直角坐标系xoy中，已知圆o1，圆o2均与x轴相切且圆心o1，o2与原点o共线，让圆O1和圆O2在两点P和Q相交，直线L:2x？Y8.0，O1和O2的横坐标的乘积是6，则点p与直线l上任意一点m之间的距离的最小值为▲．二、答：这个主要问题有6个小问题，共90分。