2018版高中数学第三章空间向量及其运算3.1.1空间向量及其加减运算学案新人教A版

3.1.1 空间向量及其加减运算例题讲解例1如图所示，在长、宽、高分别为AB＝3，AD＝2，AA1＝1的长方体ABCD－A1B1C1D1的八个顶点的两点为始点和终点的向量中．(1)单位向量共有多少个？(2)试写出模为 5 的所有向量．(3)试写出与AB→相等的所有向量．(4)试写出AA1→的相反向量．解析：(1)由于长方体的高为1，所以长方形4条高所对应的AA1→，A1A→，BB1→，B1B→，CC1→，C1C→，DD1→，D1D→这8个向量都是单位向量，而其他向量的模均不为1，故单位向量共8个．(2)由于这个长方体的左右两侧的对角线长均为5，故模为5的向量有AD1→，D1A→，A1D→，DA1→，BC1→，C1B→，B1C→，CB1→共8个．(3)与向量AB→相等的所有向量(除它自身之外)共有A1B1→，DC→及D1C1→3个．(4)向量AA1→的相反向量为A1A→，B1B→，C1C→，D1D→.例 2平行四边形ABCD平移向量a到A′B′C′D′的轨迹所形成的几何体，叫做平行六面体，并记作：ABCD－A′B′C′D′.它的六个面都是平行四边形，每个面的边叫做平行六面体的棱．已知平行六面体ABCD－A′B′C′D′化简下列向量表达式，标出化简结果的向量．(1)AB→＋BC→；(2)AB→＋AD→＋AA′→；(3)AB→＋AD→＋12CC′→；(4)13(AB→＋AD→＋AA′→)．解析：如图：(1)AB→＋BC→＝AC→；(2)AB→＋AD→＋AA′→＝AC→＋AA′→＝AC′→；(3)设M是线段CC′的中点，则AB→＋AD→＋12CC′→＝AC→＋CM→＝AM→；(4)设G是线段AC′的三等份点，则13(AB→＋AD→＋AA′→)＝13AC′→＝AG→；向量AC→，AC′→，AM→，AG→如上图所示．分析：利用向量的加减法的三角形法则，并注意平行六面体的几何性质的应用.点评：平行六面体是空间几何中一个重要的几何体，它有许多性质需要同学们课后加以学习和研究．随堂练习与学生展示一、选择填空题1．正方体ABCD －A1B1C1D1中，向量表达式DD 1→ －AB →＋BC →化简后的结果是( A )A.BD 1→B.D 1B →C.B 1D →D.DB 1→2．对空间任意两个向量a ，b(b≠0)，a∥b 的充要条件是 ( B ) A ．b ＝λa B．a ＝λb C ．a ＝b D ．a ＝－b3．如图所示，在平行六面体ABCD －A1B1C1D1中，M 为AC 与BD 的交点，若A 1B 1→ ＝a ，A 1D 1→ ＝b ，A 1A → ＝c ，则下列向量中 与相等的是( )A ．－12a ＋12b ＋12cB.12a ＋12b ＋12cC.12a －12b ＋cD ．－12a ＋12b ＋c点评与课堂小结小结：1．处理向量化简类题时注意充分利用图形及平行四边形法则与三角形法则．2．记忆适当的结论，如三角形底边中线向量以及平行六面体对角线向量等的表示．培养学生梳理总结的习惯1．两个非零向量的模相等是这两个向量相等的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．对于空间非零向量AB →，BC →，AC →，下列各式一定不成立的是( ) A .AB→＋BC →＝AC → B .AB→－AC →＝BC → C ．|AB →|＋|BC →|＝|AC →|D ．|AB →|－|AC →|＝|BC →|。

3.1.1 空间向量的线性运算1．理解空间向量的概念，掌握空间向量的几何表示法和字母表示法．2．会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律．3．能运用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题．1．空间向量的概念(1)向量：在空间中，具有______和______的量．(2)相等的向量(同一向量)：同向且等长的有向线段． (3)零向量：起点与终点____的向量．(手写记作0r )(4)向量a 的长度或模：表示向量a 的有向线段的长度，记作________．(5)向量的基线：表示向量的有向线段所在的______．(6)共线向量或平行向量：基线________的空间向量，规定：零向量与任意向量______．在空间中，A 为向量AB uuu r 的起点，B 为向量AB uuu r 的终点．【做一做1】正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′中与向量AA u u u r 相等的向量有__________个．2．空间向量的加法、减法和数乘向量的运算(1)加法：a ＋b ＝______.(2)减法：a －b ＝______.(3)数乘：λa ：|λa |＝______，当λ＞0时，λa 与a 方向______；当λ＜0时，λa 与a 方向______；当λ＝0时，λa 为____向量．(4)线性运算律①加法交换律：a ＋b ＝______；②加法结合律：(a ＋b )＋c ＝________；③分配律：(λ＋μ)a ＝λa ＋μa ，λ(a ＋b )＝__________.(1)平面向量求和的三角形法则和平行四边形法则，对空间向量也同样成立．(2)三个不共面的向量和等于以这三个向量为邻边的平行六面体的对角线所表示的向量． 【做一做2－1】在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB uuu r ＝a ，AD u u u r ＝b ，1AA u u u r ＝c ，则1D B u u u u r 等于( )A ．a ＋b ＋cB ．a ＋b －cC ．a －b －cD ．－a ＋b ＋c【做一做2－2】在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，|AB u u u r －CB u u u r ＋1CB u u u r |＝__________.1．如何理解空间向量的有关概念？剖析：(1)空间向量的概念及表示与平面向量一样．(2)零向量的方向是任意的，而不是零向量没有方向．(3)向量只是用有向线段来表示，但向量不是有向线段，如速度是向量．(4)共线向量或平行向量，其基线平行或重合均可．共线向量的起点和终点未必共线，平行向量的基线未必平行(可能重合)，应特别注意零向量与任意向量共线．2．空间向量加法的运算要注意什么？剖析：(1)首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向最后一个向量的终点的向量． 如：12A A u u u u r ＋23A A u u u u r ＋34A A u u u u r ＋…＋1n n A A u u u u u u u r －＝1n A A u u u u r .因此，求空间若干向量之和时，可通过平移使它们转化为首尾相接的向量．(2)首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量．即：12A A u u u u r ＋23A A u u u u r ＋34A A u u u u r ＋…＋1n n A A u u u u u u u r －＋1n A A u u u u r ＝0.(3)平面中两个向量相加的平行四边形法则及三角形法则在空间中仍然成立．题型一 空间向量的概念【例1】下列命题是真命题的序号是__________． ①在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB u u u r 与CD uuu r 这两个向量不是共线向量．②若向量a 与b 平行，则a ，b 的方向相同或相反． ③若向量AB u u u r ，CD uuu r 满足|AB u u u r |＞|CD uuu r |，且AB u u u r 与CD uuu r 同向，则AB u u u r ＞CD uuu r . ④若向量a ＝b ，则|a|＝|b|.反思：注意空间向量概念的理解，注意区别向量与向量的模以及向量的手写体与印刷体． 题型二 空间向量的线性运算【例2】已知在平行六面体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，M 为CC ′的中点(如图)，用图中向量表示运算结果．(1)AB u u u r +B C ''u u u u r ； (2)AB u u u r +AD u u u r +12CC 'u u u r . 分析：(1)利用B C ''u u u u r ＝BC uuu r ； (2)利用AD u u u r ＝BC uuu r .反思：注意结合图形使用相等向量转化．题型三 化简向量表达式 【例3】化简向量BC uuu r －BE u u u r ＋CD uuu r ＋DE u u u r . 分析：注意使用相反向量－BE u u u r ＝EB u u u r .反思：空间向量的减法运算注意使用相反向量，无图形的空间向量的加减法运算注意使用交换律和结合律，同时注意运算结果是0，而不是0.1 两向量共线是两向量相等的__________条件．2 M ，N 分别是四面体ABCD 的棱AB ，CD 的中点，则MN u u u u r ＝________(AD u u u r ＋BC uuu r )．3 在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，分别写出与向量AB u u u r 共线的向量和相等的向量．4在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中化简下列各式： (1)AB u u u r －11A D u u u u r ； (2)BA u u u r ＋BC uuu r ＋1CC u u u u r .答案：基础知识·梳理1．(1)大小 方向 (3)重合 (4)|a | (5)直线 (6)平行或重合 共线【做一做1】32．(1)OB → (2)CA → (3)|λ||a | 相同 相反 零 (4)①b ＋a ②a ＋(b ＋c ) ③λa＋λb【做一做2－1】C 画图可得D 1B →＝AB →－AD 1→＝AB →－(AA 1→＋A 1D 1→)＝AB →－(AA 1→＋AD →)＝a －b －c .【做一做2－2】 2典型例题·领悟【例1】④ ①因为AB →与CD →基线平行，所以这两个向量是共线向量；②若向量a ＝0，则a 与b 平行，但是不能说零向量与某一向量方向相同或相反，否则与零向量的方向是任意的矛盾；③向量不能比较大小；④根据向量相等的定义，知此命题正确．【例2】解：(1)AB →＋B'C'u u u u r ＝AB →＋BC →＝AC →.(2)AB →＋AD →＋12CC'u u u u r ＝AB →＋BC →＋12CC'u u u u r ＝AB →＋BC →＋CM →＝AM →. 【例3】解：BC →－BE →＋CD →＋DE →＝BC →＋EB →＋CD →＋DE →＝BC →＋CD →＋DE →＋EB →＝0.随堂练习·巩固1．必要不充分 2．123．解：与向量AB →共线的向量有：BA →，11B A u u u u r ，11A B u u u u r ，DC →，CD →，11DC u u u u r ，11C D u u u u r；与向量AB →相等的向量有：11A B u u u u r ，DC →，11DC u u u u r.4．解：(1)AB →－11A B u u u u r ＝AB →－AD →＝DB →；(2)BA →＋BC →＋CC 1→＝BD →＋CC 1→＝BD →＋DD 1→＝BD 1→.。

3.1.1 空间向量及其加减运算学习目标 1.经历向量及其运算由平面向空间推广的过程，了解空间向量、向量的模、零向量、相反向量、相等向量等的概念.2.会用平行四边形法则、三角形法则作出向量的和与差，了解向量加法的交换律和结合律.知识点一 空间向量的概念思考 类比平面向量的概念，给出空间向量的概念. 答案 在空间，把具有大小和方向的量叫做空间向量.梳理 (1)在空间，把具有大小和方向的量叫做空间向量，向量的大小叫做向量的长度或模. 空间向量也用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的模，向量a 的起点是A ，终点是B ，则向量a 也可记作AB →，其模记为|a |或|AB →|. (2)几类特殊的空间向量名称 定义及表示零向量 规定长度为0的向量叫做零向量，记为0单位向量 模为1的向量称为单位向量相反向量 与向量a 长度相等而方向相反的向量，称为a 的相反向量，记为－a 相等向量 方向相同且模相等的向量称为相等向量，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量知识点二 空间向量的加减运算及运算律思考1 下面给出了两个空间向量a 、b ，作出b ＋a ，b －a .答案 如图，空间中的两个向量a ，b 相加时，我们可以先把向量a ，b 平移到同一个平面α内，以任意点O 为起点作OA →＝a ，OB →＝b ，则OC →＝OA →＋OB →＝a ＋b ，AB →＝OB →－OA →＝b －a .思考2 由上述的运算过程总结一下，如何求空间两个向量的和与差？下面两个图形中的运算分别运用了什么运算法则？答案 先将两个向量平移到同一个平面，然后运用平面向量的运算法则(三角形法则、平行四边形法则)运算即可；图1是三角形法则，图2是平行四边形法则. 梳理 (1)类似于平面向量，可以定义空间向量的加法和减法运算.OB →＝OA →＋AB →＝a ＋b ， CA →＝OA →－OC →＝a －b . (2)空间向量加法交换律a ＋b ＝b ＋a ，空间向量加法结合律 (a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c ).类型一 有关空间向量的概念的理解 例1 给出以下结论：①两个空间向量相等，则它们的起点和终点分别相同；②若空间向量a ，b 满足|a |＝|b |，则a ＝b ；③在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，必有AC →＝A 1C 1―→；④若空间向量m ，n ，p 满足m ＝n ，n ＝p ，则m ＝p .其中不正确的个数是( )A.1B.2C.3D.4答案 B解析 两个空间向量相等，它们的起点、终点不一定相同，故①不正确；若空间向量a ，b 满足|a |＝|b |，则不一定能判断出a ＝b ，故②不正确；在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，必有AC →＝A 1C 1―→成立，故③正确；④显然正确.故选B.反思与感悟 在空间中，向量、向量的模、相等向量的概念和平面中向量的相关概念完全一致，两向量相等的充要条件是两个向量的方向相同、模相等.两向量互为相反向量的充要条件是大小相等，方向相反.跟踪训练1 (1)在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，下列四对向量：①AB →与C 1D 1―→；②AC 1→与BD 1→；③AD 1→与C 1B →；④A 1D →与B 1C →.其中互为相反向量的有n 对，则n 等于( )A.1B.2C.3D.4 答案 B解析 对于①AB →与C 1D 1―→，③AD 1→与C 1B →长度相等，方向相反，互为相反向量；对于②AC 1→与BD 1→长度相等，方向不相反；对于④A 1D →与B 1C →长度相等，方向相同.故互为相反向量的有2对. (2)如图，在长方体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，AB ＝3，AD ＝2，AA ′＝1，则分别以长方体的顶点为起点和终点的向量中：①单位向量共有多少个？ ②试写出模为5的所有向量. ③试写出与向量AB →相等的所有向量. ④试写出向量AA ′―→的所有相反向量.解 ①由于长方体的高为1，所以长方体的四条高所对应的向量AA ′―→，A ′A ―→，BB ′―→，B ′B ―→，CC ′―→，C ′C ―→，DD ′―→，D ′D ―→，共8个向量都是单位向量，而其他向量的模均不为1，故单位向量共有8个.②由于长方体的左右两侧面的对角线长均为5，故模为5的向量有AD ′―→，D ′A ―→，A ′D ―→，DA ′―→，BC ′―→，C ′B ―→，B ′C ―→，CB ′―→.③与向量AB →相等的所有向量(除它自身之外)有A ′B ′――→，DC →及D ′C ′――→. ④向量AA ′―→的相反向量有A ′A ―→，B ′B ―→，C ′C ―→，D ′D ―→. 类型二 空间向量的加减运算例2 如图，已知长方体ABCD －A ′B ′C ′D ′，化简下列向量表达式，并在图中标出化简结果的向量.(1)AA ′―→－CB →； (2)AA ′―→＋AB →＋B ′C ′――→.解 (1)AA ′―→－CB →＝AA ′―→－DA →＝AA ′―→＋AD →＝AD ′―→.(2)AA ′―→＋AB →＋B ′C ′――→＝(AA ′―→＋AB →)＋B ′C ′――→＝AB ′―→＋B ′C ′――→＝AC ′―→.向量AD ′―→、AC ′―→如图所示.引申探究利用例2题图，化简AA ′―→＋A ′B ′――→＋B ′C ′――→＋C ′A ―→. 解 结合加法运算AA ′―→＋A ′B ′――→＝AB ′―→，AB ′―→＋B ′C ′――→＝AC ′―→，AC ′―→＋C ′A ―→＝0. 故AA ′―→＋A ′B ′――→＋B ′C ′――→＋C ′A ―→＝0.反思与感悟 (1)首尾顺次相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量，即A 1A 2―→＋A 2A 3―→＋A 3A 4―→＋…＋A n －1A n ―――→＝A 1A n ―→.(2)首尾顺次相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为0.如图，OB →＋BC →＋CD →＋DE →＋EF →＋FG →＋GH →＋HO →＝0.(3)空间向量的减法运算也可以看成是向量的加法运算，即a －b ＝a ＋(－b ).(4)由于空间任意两个向量都可以平移到同一平面内，成为同一个平面内的两个向量，而平面向量满足加法交换律，因此空间向量也满足加法交换律.(5)空间向量加法结合律的证明：如图，(a ＋b )＋c ＝(OA →＋AB →)＋BC →＝OB →＋BC →＝OC →，a ＋(b ＋c )＝OA →＋(AB →＋BC →)＝OA →＋AC →＝OC →，所以(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c ).跟踪训练2 在如图所示的平行六面体中，求证：AC →＋AB ′―→＋AD ′―→＝2AC ′―→.证明 ∵平行六面体的六个面均为平行四边形， ∴AC →＝AB →＋AD →，AB ′―→＝AB →＋AA ′―→，AD ′―→＝AD →＋AA ′―→，∴AC →＋AB ′―→＋AD ′―→＝(AB →＋AD →)＋(AB →＋AA ′―→)＋(AD →＋AA ′―→)＝2(AB →＋AD →＋AA ′―→). 又∵AA ′―→＝CC ′―→，AD →＝BC →，∴AB →＋AD →＋AA ′―→＝AB →＋BC →＋CC ′―→＝AC →＋CC ′―→＝AC ′―→. ∴AC →＋AB ′―→＋AD ′―→＝2AC ′―→.1.下列命题中，假命题是( )A.同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小B.两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同C.只有零向量的模等于0D.空间中任意两个单位向量必相等 答案 D2.在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，与向量AD →相等的向量共有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 答案 C解析 与AD →相等的向量有A 1D 1―→，BC →，B 1C 1―→，共3个.3.向量a ，b 互为相反向量，已知|b |＝3，则下列结论正确的是( )A.a ＝bB.a ＋b 为实数0C.a 与b 方向相同D.|a |＝3答案 D解析 向量a ，b 互为相反向量，则a ，b 模相等、方向相反.故D 正确. 4.在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，已知下列各式：①(AB →＋BC →)＋CC 1→；②(AA 1→＋A 1D 1―→)＋D 1C 1―→；③(AB →＋BB 1→)＋B 1C 1―→；④(AA 1→＋A 1B 1―→)＋B 1C 1―→.其中运算的结果为AC 1→的有________个. 答案 4解析 根据空间向量的加法运算以及正方体的性质逐一进行判断： ①(AB →＋BC →)＋CC 1→＝AC →＋CC 1→＝AC 1→； ②(AA 1→＋A 1D 1―→)＋D 1C 1―→＝AD 1→＋D 1C 1―→＝AC 1→； ③(AB →＋BB 1→)＋B 1C 1―→＝AB 1→＋B 1C 1―→＝AC 1→； ④(AA 1→＋A 1B 1―→)＋B 1C 1―→＝AB 1→＋B 1C 1―→＝AC 1→. 所以4个式子的运算结果都是AC 1→.5.化简2AB →＋2BC →＋3CD →＋3DA →＋AC →＝________. 答案 0解析 2AB →＋2BC →＋3CD →＋3DA →＋AC →＝2AB →＋2BC →＋2CD →＋2DA →＋CD →＋DA →＋AC →＝0.1.一些特殊向量的特性(1)零向量不是没有方向，而是它的方向是任意的. (2)单位向量方向虽然不一定相同，但它们的长度都是1.(3)两个向量模相等，不一定是相等向量，反之，若两个向量相等，则它们不仅模相等，方向也相同.若两个向量模相等，方向相反，则它们为相反向量. 2.空间向量加法、减法运算的两个技巧(1)巧用相反向量：向量减法的三角形法则是解决空间向量加法、减法的关键，灵活运用相反向量可使向量首尾相接.(2)巧用平移：利用三角形法则和平行四边形法则进行向量加、减法运算时，务必注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得运算结果.40分钟课时作业一、选择题1.下列说法正确的是( ) A.零向量是有方向的向量B.将空间中所有的单位向量平移到同一起点，则它们的终点构成一个圆C.四点A ，B ，C ，D 构成平行四边形ABCD 的充要条件是AB →＝DC →D.若AB →与CD →是相反向量，则A ，B ，C ，D 四点必在一条直线上 答案 A解析 规定零向量的方向是任意的，故A 正确；B 中所有单位向量的终点构成球面而不是圆，故B 错误；对于选项C ，是必要条件，不是充分条件，因为AB →＝DC →时，有可能A ，B ，C ，D 四点共线，故C 错误；相反向量指的是方向相反，不一定在同一条直线上. 2.已知空间四边形ABCD ，连接AC ，BD ，则AB →＋BC →＋CD →为( ) A.AD → B.BD → C.AC →D.0 答案 A解析 AB →＋BC →＋CD →＝AC →＋CD →＝AD →.3.如图所示，点D 是空间四边形OABC 的边BC 的中点，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，则AD →为( )A.12(a ＋b )－cB.12(c ＋a )－bC.12(b ＋c )－aD.a ＋12(b ＋c ) 答案 C解析 AD →＝AO →＋OD →＝－OA →＋12(OB →＋OC →)＝－a ＋12(b ＋c ).4.在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，向量表达式DD 1→－AB →＋BC →化简后的结果是( ) A.BD 1→ B.D 1B → C.B 1D → D.DB 1→ 答案 A解析 如图所示，∵DD 1→＝AA 1→，DD 1→－AB →＝AA 1→－AB →＝BA 1→，BA 1→＋BC →＝BD 1→，∴DD 1→－AB →＋BC →＝BD 1→.5.在空间平移△ABC 到△A ′B ′C ′，连接对应顶点，设AA ′―→＝a ，AB →＝b ，AC →＝c ，M 是BC ′的中点，N 是B ′C ′的中点，如图所示，用向量a ，b ，c 表示向量MN →等于( )A.a ＋12b ＋12cB.12a ＋12b ＋12cC.a ＋12bD.12a答案 D解析 MN →＝12BB ′―→＝12AA ′―→＝12a .故选D.6.判断下列各命题的真假：①向量a 与b 平行，则a 与b 的方向相同或相反；②两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；③零向量是没有方向的；④有向线段就是向量，向量就是有向线段.其中假命题的个数为( ) A.2 B.3 C.4 D.5 答案 B解析 ①假命题，当a 与b 中有一个为零向量时，其方向是不确定的；②真命题；③假命题，零向量也是向量，故也有方向，只是方向不确定；④假命题，向量可用有向线段来表示，但并不是有向线段. 二、填空题7.如图，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB →＋AD →＋AA 1→＝________；DD 1→－AB →＋BC →＝________.答案 AC 1→ BD 1→解析 AB →＋AD →＋AA 1→＝AB →＋BC →＋CC 1→＝AC 1→.DD 1→－AB →＋BC →＝DD 1→－(AB →－AD →)＝DD 1→－DB →＝BD 1→.8.对于空间中的非零向量AB →、BC →、AC →，有下列各式：①AB ＋BC →＝AC →；②AB →－AC →＝BC →；③|AB →|＋|BC →|＝|AC →|；④|AB →|－|AC →|＝|BC →|.其中一定不成立的是____________.(填序号) 答案 ②解析 根据空间向量的加减法运算，对于①：AB →＋BC →＝AC →恒成立；对于③：当AB →、BC →、AC →方向相同时，有|AB →|＋|BC →|＝|AC →|；对于④：当BC →、AB →、AC →在一条直线上且BC →与AB →、AC →方向相反时，有|AB →|－|AC →|＝|BC →|. 只有②一定不成立.9.在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，若CA →＝a ，CB →＝b ，CC 1→＝c ，则A 1B →＝________. 答案 －a ＋b －c解析 如图，A 1B →＝A 1A →＋AB →＝C 1C →＋(CB →－CA →)＝－CC 1→＋CB →－CA →＝－c ＋b －a .10.在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB →－CD →＋BC →－DA →＝________. 答案 2AC →解析 AB →－CD →＋BC →－DA →＝(AB →＋BC →)－(CD →＋DA →)＝AC →－CA →＝2AC →. 三、解答题11.如图所示，在平行六面体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，化简下列表达式.(1)AB →＋BC →； (2)AB →＋AD →＋AA ′―→；(3)AB →＋CB →＋AA ′―→； (4)AC ′―→＋D ′B ―→－DC →. 解 (1)AB →＋BC →＝AC →.(2)AB →＋AD →＋AA ′―→＝AC →＋AA ′―→＝AC ′―→. (3)AB →＋CB →＋AA ′―→＝AB →＋DA →＋BB ′―→＝DB ′―→.(4)AC ′―→＋D ′B ―→－DC →＝(AB →＋BC →＋CC ′―→)＋(DA →＋DC →＋C ′C ―→)－DC →＝DC →.12.如图所示，在三棱柱ABCA 1B 1C 1中，M 是BB 1的中点.化简下列各式，并在图中标出化简得到的向量：(1)CB →＋BA 1→； (2)AC →＋CB →＋12AA 1→；(3)AA 1→－AC →－CB →. 解 (1)CB →＋BA 1→＝CA 1→. (2)因为M 是BB 1的中点， 所以BM →＝12BB 1→.又AA 1→＝BB 1→，所以AC →＋CB →＋12AA 1→＝AB →＋BM →＝AM →.(3)AA 1→－AC →－CB →＝CA 1→－CB →＝BA 1→. 向量CA 1→，AM →，BA 1→如图所示.13.如图所示，已知空间四边形ABCD ，连接AC ，BD ，EF ，点E ，F ，G 分别是BC ，CD ，DB 的中点，请化简(1)AB →＋BC →＋CD →；(2)AB →＋GD →＋EC →，并标出化简得到的向量.解 (1)AB →＋BC →＋CD →＝AC →＋CD →＝AD →.(2)∵点E ，F ，G 分别为BC ，CD ，DB 的中点. ∴BE →＝EC →，EF →＝GD →.∴AB →＋GD →＋EC →＝AB →＋BE →＋EF →＝AF →.所求向量AD →，AF →如图所示.。

3．1.1 空间向量及其加减运算1.了解向量及其运算由平面向空间推广的过程，了解空间向量的概念．2.掌握空间向量的加法、减法运算．1．空间向量(1)定义：在空间，把具有大小和方向的量叫做空间向量． (2)长度：向量的大小叫做向量的长度或模．(3)表示法⎩⎪⎨⎪⎧①几何表示法：空间向量用有向线段表示；②字母表示法：用字母表示，若向量a 的起点 是A ，终点是B ，可记作a ，也可记作AB →， 其模记为|a |或|AB →|(4)特殊向量单位向量、零向量都只是规定了向量的模长而没有规定向量的方向．单位向量有无数个，它们的方向不确定，因此，它们不一定相等；零向量也有无数个，它们的方向任意，但规定所有的零向量都相等．2．空间向量的加减法与运算律平面向量中的三角形法则和平行四边形法则同样适用于空间向量的加(减)法运算．加法运算是对有限个向量求和，交换相加向量的顺序，其和不变．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两个有共同起点且相等的向量，其终点必相同．( ) (2)两个有公共终点的向量，一定是共线向量．( ) (3)在空间中，任意一个向量都可以进行平移．( )(4)空间两非零向量相加时，一定可用平行四边形法则运算．( ) 答案：(1)√ (2)× (3)√ (4)×空间两个向量a ，b 互为相反向量，已知|b |＝3，则下列结论不正确的是( ) A ．a ＝－b B ．a ＋b ＝0 C ．a 与b 方向相反 D.|a |＝3答案：B已知空间四边形ABCD ，连接AC ，BD ，则AB →＋BC →＋CD →为( ) A.AD → B.BD → C.AC → D.0 答案：A下列命题中为真命题的是( ) A ．向量AB →与BA →的长度相等B ．将空间中所有的单位向量移到同一个起点，则它们的终点构成一个圆C ．空间向量就是空间中的一条有向线段D ．不相等的两个空间向量的模必不相等 答案：A探究点1 空间向量的概念[学生用书P49](1)给出下列命题： ①零向量没有确定的方向；②在正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，AA 1→＝－C 1C →；③若向量a 与向量b 的模相等，则a ，b 的方向相同或相反； ④在四边形ABCD 中，必有AB →＋AD →＝AC →. 其中正确命题的序号是________； (2)如图所示，在以长、宽、高分别为AB ＝3，AD ＝2，AA 1＝1的长方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1的八个顶点中的两点为起点和终点的向量中，①单位向量共有多少个？ ②试写出模为5的所有向量．【解】 (1)①正确；②正确，因为AA 1→与C 1C →的大小相等方向相反，即互为相反向量，所以AA 1→＝－C 1C →；③|a |＝|b |，不能确定其方向，所以a 与b 的方向不能确定；④中只有当四边形ABCD 是平行四边形时，才有AB →＋AD →＝AC →.综上可知，正确命题为①②.故填①②.(2)①由于长方体的高为1，所以长方体4条高所对应的AA 1→，A 1A →，BB 1→，B 1B →，CC 1→，C 1C →，DD 1→，D 1D →这8个向量都是单位向量，而其他向量的模均不为1，故单位向量共有8个．②由于这个长方体的左、右两侧的对角线长均为5，故模为5的向量有AD 1→，D 1A →，A 1D →，DA 1→，BC 1→，C 1B →，B 1C →，CB 1→共8个．特殊向量的特性(1)零向量不是没有方向，而是它的方向是任意的． (2)单位向量方向虽然不一定相同，但它们的长度都是1.(3)两个向量模相等，不一定是相等向量；反之，若两个向量相等，则它们不仅模相等，方向也相同．若两个向量模相等，方向相反，则它们互为相反向量．如图所示，以长方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1的八个顶点的两点为始点和终点的向量中．(1)试写出与AB →相等的所有向量； (2)试写出AA 1→的相反向量．解：(1)与向量AB →相等的所有向量(除它自身之外)有A 1B 1→，DC →及D 1C 1→共3个． (2)向量AA 1→的相反向量为A 1A →，B 1B →，C 1C →，D 1D →. 探究点2 空间向量的加减运算[学生用书P49]如图所示，已知长方体ABCD ­A ′B ′C ′D ′.化简下列向量表达式，并在图中标出化简结果．(1)AA ′→－CB →； (2)AA ′→＋AB →＋B ′C ′→.【解】 (1)AA ′→－CB →＝AA ′→－DA →＝AA ′→＋AD →＝AA ′→＋A ′D ′→＝AD ′→. (2)AA ′→＋AB →＋B ′C ′→＝(AA ′→＋AB →)＋B ′C ′→ ＝AB ′→＋B ′C ′→＝AC ′→. 向量AD ′→，AC ′→如图所示．[变问法]试把本例(2)中长方体中的体对角线所对应向量AC ′→用向量AA ′→，AB →，AD →表示． 解：在平行四边形ACC ′A ′中，由平行四边形法则可得AC ′→＝AC →＋AA ′→， 在平行四边形ABCD 中，由平行四边形法则可得AC →＝AB →＋AD →， 故AC ′→＝AB →＋AD →＋AA ′→.空间向量加法、减法运算的两个技巧(1)向量加减法的三角形法则是解决空间向量加法、减法运算的关键，灵活应用相反向量可使向量间首尾相接．(2)利用三角形法则和平行四边形法则进行向量的加法运算时，务必要注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得更准确的结果．化简(AB →－CD →)－(AC →－BD →)＝________．解析：法一：(利用相反向量的关系转化为加法运算) (AB →－CD →)－(AC →－BD →)＝AB →－CD →－AC →＋BD → ＝AB →＋DC →＋CA →＋BD → ＝AB →＋BD →＋DC →＋CA →＝0.法二：(利用向量的减法运算法则求解) (AB →－CD →)－(AC →－BD →) ＝(AB →－AC →)＋BD →－CD → ＝CB →＋BD →－CD →＝CD →－CD →＝0. 答案：01．在空间四边形OABC 中，OA →＋AB →－CB →等于( ) A.OA → B .AB →C.OC →D .AC →解析：选C.OA →＋AB →－CB →＝OA →＋AB →＋BC →＝OC →，故选C. 2．给出以下命题：①若向量a 是向量b 的相反向量，则|a |＝|b |； ②空间向量的减法满足结合律；③在正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，必有AC →＝A 1C 1→. 其中正确命题的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2D.3解析：选C.由相反向量的定义知①正确；减法不满足结合律，②错误；③中由AC 瘙綊A 1C 1，知AC →＝A 1C 1→，正确．故选C.3.如图所示，已知平行六面体ABCD ­A 1B 1C 1D 1，M 为A 1C 1与B 1D 1的交点，化简下列向量表达式．(1)AA 1→＋A 1B 1→； (2)AA 1→＋A 1M →－MB 1→； (3)AA 1→＋A 1B 1→＋A 1D 1→； (4)AB →＋BC →＋CC 1→＋C 1A 1→＋A 1A →.解：(1)AA 1→＋A 1B 1→＝AB 1→.(2)AA 1→＋A 1M →－MB 1→＝AA 1→＋A 1M →＋MD 1→＝AD 1→. (3)AA 1→＋A 1B 1→＋A 1D 1→＝AA 1→＋A 1C 1→＝AC 1→. (4)AB →＋BC →＋CC 1→＋C 1A 1→＋A 1A →＝0.4.在如图所示的平行六面体中，求证：AC →＋AB →′＋AD →′＝2AC →′. 证明：因为平行六面体的六个面均为平行四边形， 所以AC →＝AB →＋AD →，AB →′＝AB →＋AA →′，AD →′＝AD →＋AA →′， 所以AC →＋AB →′＋AD →′＝(AB →＋AD →)＋(AB →＋AA →′)＋(AD →＋AA →′) ＝2(AB →＋AD →＋AA →′)． 又因为AA →′＝CC →′，AD →＝BC →，所以AB →＋AD →＋AA →′＝AB →＋BC →＋CC →′＝AC →＋CC →′＝AC →′. 所以AC →＋AB →′＋AD →′＝2AC →′.[学生用书P 50][学生用书P 127(单独成册)])[A 基础达标]1．已知空间向量AB →，BC →，CD →，AD →，则下列结论正确的是( ) A.AB →＝BC →＋CD →B.AD →＝AB →＋CD →＋BC →C.AD →＝AB →＋BC →－CD →D.BC →＝BD →＋CD →解析：选B.根据空间向量的加减运算可得B 正确． 2．给出下列命题：①向量AB →的长度与向量BA →的长度相等；②向量a 与b 平行，则a 与b 的方向相同或相反； ③两个有公共终点的向量，一定是共线向量；④若向量AB →与向量CD →是共线向量，则点A ，B ，C ，D 必在同一条直线上； ⑤有向线段就是向量，向量就是有向线段． 其中假命题的个数为( ) A ．2 B ．3 C ．4D.5解析：选C.①真命题；②假命题，若a 与b 中有一个为零向量时，其方向不确定；③假命题，终点相同并不能说明这两个向量的方向相同或相反；④假命题，共线向量所在直线可以重合，也可以平行；⑤假命题，向量可用有向线段来表示，但并不是有向线段．故假命题的个数为4.3．已知向量AB →，AC →，BC →满足|AB →|＝|AC →|＋|BC →|，则( ) A.AB →＝AC →＋BC → B.AB →＝－AC →－BC → C.AC →与BC →同向 D.AC →与CB →同向解析：选D.由|AB →|＝|AC →|＋|BC →|＝|AC →|＋|CB →|，知A ，B ，C 三点共线且C 点在线段AB 上，所以AC →与CB →同向．4．在正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，下列选项中化简后为零向量的是( ) A.AB →＋A 1D 1→＋C 1A 1→ B.AB →－AC →＋BB 1→ C.AB →＋AD →＋AA 1→D.AC →＋CB 1→解析：选A.在A 选项中，AB →＋A 1D 1→＋C 1A 1→＝(AB →＋AD →)＋CA →＝AC →＋CA →＝0.5．设有四边形ABCD ，O 为空间任意一点，且AO →＋OB →＝DO →＋OC →，则四边形ABCD 是( ) A ．平行四边形 B ．空间四边形 C ．等腰梯形D.矩形解析：选A.由于AO →＋OB →＝AB →，DO →＋OC →＝DC →， 所以AB →＝DC →，从而|AB →|＝|DC →|，且AB 与CD 不共线， 所以AB ∥DC ，所以四边形ABCD 是平行四边形．6．式子(AB →－CB →)＋CC 1→运算的结果是__________． 解析：(AB →－CB →)＋CC 1→＝(AB →＋BC →)＋CC 1→＝AC →＋CC 1→＝AC 1→. 答案：AC 1→7．已知平行六面体ABCD ­A ′B ′C ′D ′，则下列四式中正确的有________． ①AB →－CB →＝AC →；②AC ′→＝AB →＋B ′C ′→＋CC ′→； ③AA ′→＝CC ′→；④AB →＋BB ′→＋BC →＋C ′C →＝AC ′→. 解析：AB →－CB →＝AB →＋BC →＝AC →，①正确； AB →＋B ′C ′→＋CC ′→＝AB →＋BC →＋CC ′→＝AC ′→，②正确；③显然正确；AB →＋BB ′→＋BC →＋C ′C →＝AB ′→＋B ′C ′→＋C ′C →＝AC →，④错． 答案：①②③8．给出下列几个命题：①方向相反的两个向量是相反向量； ②若|a |＝|b |，则a ＝b 或a ＝－b ；③对于任何向量a ，b ，必有|a ＋b |≤|a |＋|b |. 其中正确命题的序号为________．解析：对于①，长度相等且方向相反的两个向量是相反向量，故①错；对于②，若|a |＝|b |，则a 与b 的长度相等，但方向没有任何联系，故不正确；只有③正确．答案：③9．判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由． (1)若A ，B ，C ，D 四点在一条直线上，则AB →与CD →共线； (2)互为相反向量的向量的模相等；(3)任一向量与它的相反向量不相等．解：(1)正确．因为A ，B ，C ，D 四点在一条直线上，所以AB →与CD →一定共线． (2)正确．相反向量的模相等，但方向是相反的．(3)不正确．零向量的相反向量仍是零向量，零向量与零向量是相等的． 10.如图，在正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，化简向量表达式：(1)AB →＋CD →＋BC →＋DA →； (2)AA 1→＋B 1C 1→＋D 1D →＋CB →. 解：(1)AB →＋CD →＋BC →＋DA →＝AB →＋BC →＋CD →＋DA →＝0.(2)因为B 1C 1→＝BC →＝－CB →，D 1D →＝－AA 1→， 所以原式＝AA 1→－CB →－AA 1→＋CB →＝0.[B 能力提升]11．已知正方体ABCD ­A ′B ′C ′D ′的中心为O ，则在下列各结论中正确的共有( ) ①OA →＋OD →与OB ′→＋OC ′→是一对相反向量； ②OB →－OC →与OA ′→－OD ′→是一对相反向量；③OA →＋OB →＋OC →＋OD →与OA ′→＋OB ′→＋OC ′→＋OD ′→是一对相反向量； ④OA ′→－OA →与OC →－OC ′→是一对相反向量． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D .4个解析：选C.如图所示，①OA →＝－OC ′→，OD →＝－OB ′→， 所以OA →＋OD →＝－(OB ′→＋OC ′→)，是一对相反向量；②OB →－OC →＝CB →，OA ′→－OD ′→＝D ′A ′→，而CB →＝D ′A ′→，故不是相反向量； ③同①也是正确的；④OA ′→－OA →＝AA ′→，OC →－OC ′→＝C ′C →＝－AA ′→，是一对相反向量． 12．下列说法中，错误的个数为( )①在正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，AC →＝A 1C 1→；②若两个非零向量AB →与CD →满足AB →＝－CD →，则AB →，CD →互为相反向量． ③AB →＝CD →的充要条件是A 与C 重合，B 与D 重合． A ．1 B ．2 C ．3D .0解析：选A.①正确．②正确.AB →＝－CD →，且AB →，CD →为非零向量，所以AB →，CD →互为相反向量．③错误．由AB →＝CD →，知|AB →|＝|CD →|，且AB →与CD →同向，但A 与C ，B 与D 不一定重合．13．如图，已知长方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1，试在图中画出下列向量表达式所表示的向量． (1)AB 1→－AD 1→，AB 1→＋AD 1→.(2)AB →＋AD →－AD 1→，AB →＋AD →＋AD 1→.解：(1)如图所示，AB 1→－AD 1→＝D 1B 1→，AB 1→＋AD 1→＝AB 1→＋B 1C 2→＝AC 2→.(2)如图所示， AB →＋AD →－AD 1→＝AC →－AD 1→＝D 1C →， AB →＋AD →＋AD 1→＝AC →＋CC 3→＝AC 3→.14．(选做题)如图所示，在六棱柱ABCDEF ­A 1B 1C 1D 1E 1F 1中．(1)化简A 1F 1→－EF →－BA →＋FF 1→＋CD →＋F 1A 1→，并在图中标出化简结果的向量； (2)化简DE →＋E 1F 1→＋FD →＋BB 1→＋A 1E 1→，并在图中标出化简结果的向量． 解：(1)A 1F 1→－EF →－BA →＋FF 1→＋CD →＋F 1A 1→ ＝AF →＋FE →＋AB →＋BB 1→＋CD →＋DC → ＝AE →＋AB 1→＋0＝AE →＋ED 1→＝AD 1→.AD 1→在图中所示如下：(2)DE →＋E 1F 1→＋FD →＋BB 1→＋A 1E 1→ ＝DE →＋EF →＋FD →＋BB 1→＋B 1D 1→ ＝DF →＋FD →＋BD 1→＝0＋BD 1→＝BD 1→.BD 1→在图中所示如下：。

3.1.1 空间向量及其加减运算3.1.2 空间向量的数乘运算1.理解空间向量的概念.(难点)2.掌握空间向量的线性运算.(重点)3.掌握共线向量定理、共面向量定理及推论的应用.(重点、难点)[基础·初探]教材整理1 空间向量的概念阅读教材P 84～P 85第二自然段内容，完成下列问题.在平行六面体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，顶点连接的向量中，与向量AD →相等的向量共有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个【解析】 与向量AD →相等的向量有BC →，A 1D 1→，B 1C 1→共3个. 【答案】 C教材整理2 空间向量的线性运算阅读教材P 85第三自然段～P 863.1.2第二自然段，完成下列问题. 1.(1)空间向量的加、减法运算(如图3­1­1)图3­1­1OB →＝OA →＋AB →＝________；CA →＝OA →－OC →＝________.(2)运算律：①a ＋b ＝________； ②(a ＋b )＋c ＝________.【答案】 a ＋b a －b b ＋a a ＋(b ＋c ) 2.空间向量的数乘运算(1)定义：实数λ与空间向量a 的乘积________仍然是一个________，称为向量的数乘运算.当λ>0时，λa 与向量a 方向__________；当λ<0时，λa 与向量a 方向________；当λ＝0时，λa ＝________；λa 的长度是a 的长度的________倍.(2)运算律：①λ(a ＋b )＝________；②λ(μa )＝________.【答案】 (1)λa 向量 相同 相反 0 |λ| (2)λa ＋λb (λμ)a1.已知空间四边形ABCD 中，AB →＝a ，CB →＝b ，AD →＝c ，则CD →等于( ) A.a ＋b －c B.－a －b ＋c C.－a ＋b ＋cD.－a ＋b －c【解析】 CD →＝CB →＋BA →＋AD →＝CB →－AB →＋AD →＝－a ＋b ＋c . 【答案】 C2.在三棱锥A ­BCD 中，若△BCD 是正三角形，E 为其中心，则AB →＋12BC →－32DE →－AD →化简的结果为________.【解析】 延长DE 交边BC 于点F ，则有AB →＋12BC →＝AF →，32DE →＋AD →＝AD →＋DF →＝AF →，故AB →＋12BC →－32DE →－AD →＝0.【答案】 0教材整理3 共线向量和共面向量阅读教材P 86第三自然段～P 88“思考”以上内容，完成下列问题. 1.共线向量(1)定义：表示空间向量的有向线段所在的直线____________，则这些向量叫做________或平行向量.(2)共线向量定理：对于空间任意两个向量a ，b (b ≠0)，a ∥b 的充要条件是存在实数λ使________.【答案】 (1)互相平行或重合 共线向量 (2)a ＝λb 2.共面向量(1)定义：平行于________________的向量叫做共面向量.(2)共面向量定理：若两个向量a ，b 不共线，则向量p 与向量a ，b 共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x ，y )，使________.推论：空间一点P 位于平面ABC 内的充要条件是存在有序实数对(x ，y )，使________；或对空间任一定点O ，有OP →＝OA →＋xAB →＋yAC →.【答案】 (1)同一个平面 (2)p ＝x a ＋y b AP →＝xAB →＋yAC →判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)共线向量一定是共面向量，但共面向量不一定是共线向量.( )(2)若表示两向量的有向线段所在的直线为异面直线，则这两个向量不是共面向量.( )(3)如果OP →＝OA →＋tAB →，则P ，A ，B 共线.( ) (4)空间中任意三个向量一定是共面向量.( ) 【答案】 (1)√ (2)× (3)√ (4)×[小组合作型](1)①零向量没有确定的方向；②在正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，AC →＝A 1C 1→；③若向量a 与向量b 的模相等，则a ，b 的方向相同或相反； ④在四边形ABCD 中，必有AB →＋AD →＝AC →. 其中正确命题的序号是________.(2)如图3­1­2所示，在平行六面体ABCD ­A ′B ′C ′D ′中，顶点连接的向量中，与向量AA ′→相等的向量有________；与向量A ′B ′→相反的向量有________.(要求写出所有适合条件的向量)图3­1­2【自主解答】 (1)①正确；②正确，因为AC →与A 1C 1→的大小和方向均相同；③|a |＝|b |，不能确定其方向，所以a 与b 的方向不能确定；④中只有当四边形ABCD 是平行四边形时，才有AB →＋AD →＝AC →.综上可知，正确命题为①②.(2)根据相等向量的定义知，与向量AA ′→相等的向量有BB ′→，CC ′→，DD ′→.与向量A ′B ′→相反的向量有B ′A ′→，BA →，CD →，C ′D ′→.【答案】 (1)①② (2)BB ′→，CC ′→，DD ′→ B ′A ′→，BA →，CD →，C ′D ′→1.在空间中，零向量、单位向量、向量的模、相等向量、相反向量等概念和平面向量中相对应的概念完全相同.2.由于向量是由其模和方向确定的，因此解答空间向量有关概念问题时，通常抓住这两点来解决.3.零向量是一个特殊向量，其方向是任意的，且与任何向量都共线，这一点说明了共线向量不具备传递性.[再练一题] 1.下列说法：①若两个空间向量相等，则表示它们有向线段的起点相同，终点也相同； ②若向量AB →，CD →满足|AB →|＞|CD →|，且AB →与CD →同向，则AB →＞CD →； ③若两个非零向量AB →与CD →满足AB →＋CD →＝0，则AB →，CD →为相反向量； ④AB →＝CD →的充要条件是A 与C 重合，B 与D 重合. 其中错误的个数为( )【导学号：37792102】A.1B.2C.3D.4【解析】 ①错误.两个空间向量相等，其模相等且方向相同，但与起点和终点的位置无关.②错误.向量的模可以比较大小，但向量不能比较大小.③正确.AB →＋CD →＝0，得AB →＝－CD →，且AB →，CD →为非零向量，所以AB →，CD →为相反向量. ④错误.由AB →＝CD →，知|AB →|＝|CD →|，且AB →与CD →同向，但A 与C ，B 与D 不一定重合. 【答案】 C如图A ′B ′C ′D ′的中心，求下列各式中x ，y ，z 的值.图3­1­3(1)BD ′→＝xAD →＋yAB →＋zAA ′→； (2)AE →＝xAD →＋yAB →＋zAA ′→.【精彩点拨】 利用三角形法则或平行四边形法则表示出指定向量，再根据向量对应系数相等，求出x ，y ，z 的值.【自主解答】 (1)因为BD ′→＝BD →＋DD ′→ ＝BA →＋AD →＋DD ′→＝－AB →＋AD →＋AA ′→， 又BD ′→＝xAD →＋yAB →＋zAA ′→， 所以x ＝1，y ＝－1，z ＝1.(2)因为AE →＝AA ′→＋A ′E →＝AA ′→＋12A ′C ′→＝AA ′→＋12(A ′B ′→＋A ′D ′→)＝AA ′→＋12A ′B ′→＋12A ′D ′→＝12AD →＋12AB →＋AA ′→， 又AE →＝xAD →＋yAB →＋zAA ′→，所以x ＝12，y ＝12，z ＝1.用已知向量表示未知向量，是向量线性运算的基础类型，解决这类问题，要注意两个方面：熟练掌握空间向量线性运算法则和运算律； 要注意数形结合思想的运用.[再练一题]2.如图3­1­4，已知空间四边形OABC ，M ，N 分别是边OA ，BC 的中点，点G 在MN 上，且MG ＝2GN ，设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，试用a ，b ，c 表示向量OG →.图3­1­4【解】 OG →＝OM →＋MG →＝12OA →＋23MN → ＝12OA →＋23(MA →＋AB →＋BN →) ＝12OA →＋23⎝ ⎛⎭⎪⎫12OA →＋OB →－OA →＋12BC →＝12OA →＋23⎣⎢⎡⎦⎥⎤OB →－12OA →＋12OC →－OB →＝16OA →＋13OB →＋13OC →＝16a ＋13b ＋13c .如图AB ，AD 的中点，F ，G 分别是边CB ，CD 上的点，且CF →＝23CB →，CG →＝23CD →.求证：四边形EFGH 是梯形.图3­1­5【精彩点拨】 (1)EH →与FG →共线吗？怎样证明？ (2)|EH →|与|FG →|相等吗？【自主解答】 ∵E ，H 分别是AB ，AD 的中点， ∴AE →＝12AB →，AH →＝12AD →，则EH →＝AH →－AE →＝12AD →－12AB →＝12BD →＝12(CD →－CB →)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫32CG →－32CF →＝34(CG →－CF →)＝34FG →， ∴EH →∥FG →且|EH →|＝34|FG →|≠|FG →|.又F 不在直线EH 上， ∴四边形EFGH 是梯形.1.本题利用向量的共线证明了线线平行，解题时应注意向量共线与两直线平行的区别.2.判断或证明两向量a ，b (b ≠0)共线，就是寻找实数λ，使a ＝λb 成立，为此常结合题目图形，运用空间向量的线性运算法则将目标向量化简或用同一组向量表达.[再练一题]3.如图3­1­6，在正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，E 在A 1D 1上，且A 1E →＝2ED 1→，F 在对角线A 1C 上，且A 1F →＝23FC →.图3­1­6求证：E ，F ，B 三点共线.【导学号：37792103】【证明】 设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，因为A 1E →＝2ED 1→，A 1F →＝23FC →，所以A 1E →＝23A 1D 1→，A 1F →＝25A 1C →，所以A 1E →＝23AD →＝23b ，A 1F →＝25(AC →－AA 1→)＝25(AB →＋AD →－AA 1→)＝25a ＋25b －25c ，所以EF →＝A 1F →－A 1E →＝25a －415b －25c ＝25⎝ ⎛⎭⎪⎫a －23b －c . 又EB →＝EA 1→＋A 1A →＋AB →＝－23b －c ＋a ＝a －23b －c ，所以EF →＝25EB →，所以E ，F ，B 三点共线.[探究共研型]探究1 P ，A ，B ，C 【提示】 (1)存在有序实数对(x ，y )，使得AP →＝xAB →＋yAC →. (2)对于空间任意一定点O ，有OP →＝OA →＋xAB →＋yAC →.(3)空间一点P 在平面ABC 内的充要条件是存在有序实数组(x ，y ，z )使得OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →(其中x ＋y ＋z ＝1).(4)PA →∥BC →.探究2 如图3­1­7所示，已知矩形ABCD 和矩形ADEF 所在的平面互相垂直，点M ，N 分别在对角线BD ，AE 上，且BM ＝13BD ，AN ＝13AE .图3­1­7求证：向量MN →，CD →，DE →共面.【提示】 因为M 在BD 上，且BM ＝13BD ，所以MB →＝13DB →＝13DA →＋13AB →.同理AN →＝13AD →＋13DE →.所以MN →＝MB →＋BA →＋AN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13DA →＋13AB →＋BA →＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13AD →＋13DE →＝23BA →＋13DE →＝23CD →＋13DE →. 又CD →与DE →不共线，根据向量共面的充要条件可知MN →，CD →，DE →共面.已知A ，B ，C 三点不共线，对平面ABC 外的任一点O ，若点M 满足OM →＝13OA →＋13OB→＋13OC →. (1)判断MA →，MB →，MC →三个向量是否共面； (2)判断点M 是否在平面ABC 内.【精彩点拨】 (1)是否存在实数x ，y ，使MA →＝xMB →＋yMC →？(2)如何证明四点共面？ 【自主解答】 如图：(1)由已知，得OA →＋OB →＋OC →＝3OM →，∴OA →－OM →＝(OM →－OB →)＋(OM →－OC →)，∴MA →＝BM →＋CM →＝－MB →－MC →.∴向量MA →，MB →，MC →共面.(2)由(1)知，向量MA →，MB →，MC →共面，表明三个向量的有向线段又过同一点M ， ∴M ，A ，B ，C 四点共面，∴点M 在平面ABC 内.1.证明空间三个向量共面，常用如下方法：(1)设法证明其中一个向量可以表示成另两个向量的线性组合，即若a ＝x b ＋y c ，则向量a ，b ，c 共面；(2)寻找平面α，证明这些向量与平面α平行.2.对空间四点P ，M ，A ，B 可通过证明下列结论成立来证明四点共面： (1)MP →＝xMA →＋yMB →；(2)对空间任一点O ，OP →＝OM →＋xMA →＋yMB →；(3)对空间任一点O ，OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →(x ＋y ＋z ＝1)； (4)PM →∥AB →(或PA →∥MB →，或PB →∥AM →).[再练一题]4.如图3­1­8，已知四边形ABCD 是平行四边形，点P 是ABCD 所在平面外的一点，连接PA ，PB ，PC ，PD .设点E ，F ，G ，H 分别为△PAB ，△PBC ，△PCD ，△PDA 的重心.试用向量方法证明E ，F ，G ，H 四点共面.图3­1­8【证明】 分别连接PE ，PF ，PG ，PH 并延长，交对边于点M ，N ，Q ，R ，连接MN ，NQ ，QR ，RM ，因为点E ，F ，G ，H 分别是所在三角形的重心，所以M ，N ，Q ，R 是所在边的中点，且 PE →＝23PM →，PF →＝23PN →，PG →＝23PQ →，PH →＝23PR →.由题意知四边形MNQR 是平行四边形， 所以MQ →＝MN →＋MR →＝(PN →－PM →)＋(PR →－PM →) ＝32(PF →－PE →)＋32(PH →－PE →)＝32(EF →＋EH →). 又MQ →＝PQ →－PM →＝32PG →－32PE →＝32EG →.所以EG →＝EF →＋EH →，由共面向量定理知，E ，F ，G ，H 四点共面.1.空间四边形ABCD 中，M ，G 分别是BC ，CD 的中点，则MG →－AB →＋AD →＝( ) A.2DB → B.3MG → C.3GM →D.2MG →【解析】 MG →－AB →＋AD →＝MG →＋BD →＝MG →＋2MG →＝3MG →. 【答案】 B2.在正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，下列各式的运算结果为向量AC 1→的共有( )①(AB →＋BC →)＋CC 1→； ②(AA 1→＋A 1D 1→)＋D 1C 1→；③(AB →＋BB 1→)＋B 1C 1→；④(AA 1→＋A 1B 1→)＋B 1C 1→.A.1个B.2个C.3个D.4个【解析】 根据空间向量的加法法则及正方体的性质，逐一判断可知①②③④都是符合题意的.【答案】 D3.有下列命题：①若AB →∥CD →，则A ，B ，C ，D 四点共线；②若AB →∥AC →，则A ，B ，C 三点共线；③若e 1，e 2为不共线的非零向量，a ＝4e 1－25e 2，b ＝－e 1＋110e 2，则a ∥b ； ④若向量e 1，e 2，e 3是三个不共面的向量，且满足等式k 1e 1＋k 2e 2＋k 3e 3＝0，则k 1＝k 2＝k 3＝0.其中是真命题的序号是________.【解析】 根据共线向量的定义，若AB →∥CD →，则AB ∥CD 或A ，B ，C ，D 四点共线，故①错；AB →∥AC →且AB →，AC →有公共点A ，所以②正确；由于a ＝4e 1－25e 2＝－4·⎝⎛⎭⎪⎫－e 1＋110e 2＝－4b ，所以a ∥b .故③正确；易知④也正确.【答案】 ②③④4.在空间四边形ABCD 中，G 为△BCD 的重心，E ，F 分别为边CD 和AD 的中点，试化简AG→＋13BE →－12AC →，并在图中标出化简结果的向量.图3­1­9【解】 ∵G 是△BCD 的重心，BE 是CD 边上的中线，∴GE →＝13BE →.又12AC →＝12(DC →－DA →)＝12DC →－12DA →＝DE →－DF →＝FE →， ∴AG →＋13BE →－12AC →＝AG →＋GE →－FE →＝AF →(如图所示).。

3.1 空间向量及其运算3.1.1 空间向量及其加减运算3.1.2 空间向量的数乘运算学习目标核心素养1．理解空间向量的概念．(难点)2．掌握空间向量的线性运算．(重点)3．掌握共线向量定理、共面向量定理及推论的应用．(重点、难点)1．通过空间向量有关概念的学习，培养学生的数学抽象核心素养．2．借助向量的线性运算、共线向量及共面向量的学习，提升学生的直观想象和逻辑推理的核心素养．1．空间向量(1)定义：在空间，具有大小和方向的量叫做空间向量．(2)长度或模：向量的大小．(3)表示方法：①几何表示法：空间向量用有向线段表示；②字母表示法：用字母a，b，c，…表示；若向量a的起点是A，终点是B，也可记作：AB→，其模记为|a|或|AB→|．2．几类常见的空间向量名称方向模记法零向量任意00单位向量任意1相反向量相反相等a的相反向量：－aAB→的相反向量：BA→相等向量相同相等a＝b3空间向量的运算加法OB→＝OA→＋OC→＝a＋b减法CA→＝OA→－OC→＝a－b加法运算律(1)交换律：a＋b＝b＋a(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)思考1：(1)空间中，a，b，c为不共面向量，则a＋b＋c的几何意义是什么？(2)平面向量的加减运算和空间向量的加减运算有什么联系？ [提示] (1)以a ，b ，c 为相邻棱的平行六面体的体对角线．(2)任意两个向量都可平移到同一平面，故空间向量的加减运算与平面向量的加减运算类似．4．空间向量的数乘运算(1)定义：实数λ与空间向量a 的乘积λa 仍然是一个向量，称为向量的数乘运算．当λ>0时，λa 与向量a 方向相同；当λ<0时，λa 与向量a 方向相反；当λ＝0时，λa ＝0；λa 的长度是a 的长度的|λ|倍．(2)运算律：①λ(a ＋b )＝λa ＋λb ；②λ(μa )＝(λμ)a ． 5．共线向量和共面向量 (1)共线向量①定义：表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量．②共线向量定理：对于空间任意两个向量a ，b (b ≠0)，a ∥b 的充要条件是存在实数λ使a ＝λb ．③点P 在直线AB 上的充要条件：存在实数t ，使OP →＝OA →＋tAB →． (2)共面向量①定义：平行于同一个平面的向量叫做共面向量．②共面向量定理：若两个向量a ，b 不共线，则向量p 与向量a ，b 共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x ，y )，使p ＝x a ＋y b ．③空间一点P 位于平面ABC 内的充要条件：存在有序实数对(x ，y ), 使AP →＝xAB →＋yAC →或对空间任意一点O ，有OP →＝OA →＋xAB →＋yAC →．思考2：(1)空间中任意两个向量一定是共面向量吗？(2)若空间任意一点O 和不共线的三点A ，B ，C ，满足OP →＝13OA →＋13OB →＋13OC →，则点P 与点A ，B ，C 是否共面？[提示] (1)空间中任意两个向量都可以平移到同一个平面内，成为同一个平面的两个向量，因此一定是共面向量．(2)由OP →＝13OA →＋13OB →＋13OC →得OP →－OA →＝13(OB →－OA →)＋13(OC →－OA →)即AP →＝13AB →＋13AC →，因此点P 与点A ，B ，C 共面．1．如图所示，在四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1所有的棱中，可作为直线A 1B 1的方向向量的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个D [共四条：AB ，A 1B 1，CD ，C 1D 1．]2．已知空间四边形ABCD 中，AB →＝a ，CB →＝b ，AD →＝c ，则CD →＝( ) A ．a ＋b －c B ．－a －b ＋c C ．－a ＋b ＋cD ．－a ＋b －c C [CD →＝CB →＋BA →＋AD →＝CB →－AB →＋AD →＝－a ＋b ＋c ．]3．在三棱锥A -BCD 中，若△BCD 是正三角形，E 为其中心，则AB →＋12BC →－32DE →－AD →化简的结果为________．0 [延长DE 交边BC 于点F ，则有AB →＋12BC →＝AF →，32DE →＋AD →＝AD →＋DF →＝AF →，故AB →＋12BC →－32DE →－AD →＝0．]4．在三棱锥A -BCD 中，E ，F 分别是BC ，CD 的中点，则AF →－12(AB →＋AC →)的化简结果为________．EF → [12(AB →＋AC →)＝AE →，AF →－12(AB →＋AC →)＝AF →－AE →＝EF →．]空间向量的有关概念【例①若|a |＝|b |，则a ＝b 或a ＝－b ；②若向量a 是向量b 的相反向量，则|a |＝|b |； ③在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AC →＝A 1C 1→； ④若空间向量m ，n ，p 满足m ＝n ，n ＝p ，则m ＝p ． 其中正确命题的序号是________．(2)如图所示，在平行六面体ABCD -A ′B ′C ′D ′中，顶点连接的向量中，与向量AA ′→相等的向量有________；与向量A ′B ′→相反的向量有________．(要求写出所有适合条件的向量)(1)②③④ (2)BB ′→，CC ′→，DD ′→ B ′A ′→，BA →，CD →，C ′D ′→[(1)对于①，向量a 与b 的方向不一定相同或相反，故①错；对于②，根据相反向量的定义知|a |＝|b |，故②正确； 对于③，根据相等向量的定义知，AC →＝A 1C 1→，故③正确； 对于④，根据相等向量的定义知正确．](2)根据相等向量的定义知，与向量AA ′→相等的向量有BB ′→，CC ′→，DD ′→．与向量A ′B ′→相反的向量有B ′A ′→，BA →，CD →，C ′D ′→．]解答空间向量有关概念问题的关键点及注意点 (1)关键点：紧紧抓住向量的两个要素，即大小和方向. (2)注意点：注意一些特殊向量的特性.①零向量不是没有方向，而是它的方向是任意的，且与任何向量都共线，这一点说明了共线向量不具备传递性.②单位向量方向虽然不一定相同，但它们的长度都是1.③两个向量模相等，不一定是相等向量；反之，若两个向量相等，则它们不仅模相等，方向也相同.若两个向量模相等，方向相反，则它们为相反向量.[跟进训练]1．如图所示，以长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的八个顶点的两点为始点和终点的向量中，(1)试写出与AB →相等的所有向量； (2)试写出AA 1→的相反向量；(3)若AB ＝AD ＝2，AA 1＝1，求向量AC 1→的模．[解] (1)与向量AB →相等的向量有A 1B 1→，DC →，，D 1C 1→，共3个； (2)向量AA 1→的相反向量为A 1A →，B 1B →，C 1C →，D 1D →，共4个； (3)|AC 1→|2＝22＋22＋12＝9，所以|AC 1→|＝3．空间向量的线性运算【例2】 (1)如图所示，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，下列各式中运算结果为向量AC 1→的有( )①(AB →＋BC →)＋CC 1→； ②(AA 1→＋A 1D 1→)＋D 1C 1→；③(AB →＋BB 1→)＋B 1C 1→； ④(AA 1→＋A 1B 1→)＋B 1C 1→． A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个(2)如图所示，在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，设AA 1→＝a ，AB →＝b ，AD →＝c ，M ，N ，P 分别是AA 1，BC ，C 1D 1的中点，试用a ，b ，c 表示以下各向量：①AP →； ②A 1N →； ③MP →＋NC 1→．思路探究：(1)根据向量的三角形法则和平行四边形法则求解． (2)根据数乘向量及三角形法则，平行四边形法则求解． (1)D [对于①，(AB →＋BC →)＋CC 1→＝AC →＋CC 1→＝AC 1→， 对于②，(AA 1→＋A 1D 1→)＋D 1C 1→＝AD 1→＋D 1C 1→＝AC 1→， 对于③，(AB →＋BB 1→)＋B 1C 1→＝AB 1→＋B 1C 1→＝AC 1→， 对于④，(AA 1→＋A 1B 1→)＋B 1C 1→＝AB 1→＋B 1C 1→＝AC 1→．](2)解：①∵点P 是C 1D 1的中点，∴AP →＝AA 1→＋A 1D 1→＋D 1P →＝AA 1→＋AD →＋12AB →＝a ＋c ＋12b ，②∵点N 是BC 的中点，∴A 1N →＝A 1A →＋AB →＋BN →＝－AA 1→＋AB →＋12AD →＝－a ＋b ＋12c ，③∵点M 是AA 1的中点，∴MP →＋NC 1→＝MA 1→＋A 1D 1→＋D 1P →＋NC →＋CC 1→＝12a ＋c ＋12b ＋12c ＋a ＝32a ＋12b ＋32c ．1．空间向量加法、减法运算的两个技巧(1)巧用相反向量：向量减法的三角形法则是解决空间向量加法、减法的关键，灵活运用相反向量可使向量首尾相接．(2)巧用平移：利用三角形法则和平行四边形法则进行向量加、减法运算时，务必注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得运算结果．2．利用数乘运算进行向量表示的技巧(1)数形结合：利用数乘运算解题时，要结合具体图形，利用三角形法则、平行四边形法则，将目标向量转化为已知向量．(2)明确目标：在化简过程中要有目标意识，巧妙运用中点性质．[跟进训练]2．已知ABCD 为正方形，P 是ABCD 所在平面外的一点，P 在平面ABCD 上的射影恰好是正方形ABCD 的中点O ，Q 是CD 的中点，求下列各式中x ，y 的值．(1)OQ →＝PQ →＋xPC →＋yP A →； (2)P A →＝xPO →＋yPQ →＋PD →．[解] (1)如图所示，OQ →＝PQ →＋OP →，由向量加法的平行四边形法则可得PO →＝12(PC →＋P A →)，∴OP →＝－12PC →－12P A →，∴OQ →＝PQ →＋OP →＝PQ →－12PC →－12P A →，∴x ＝－12，y ＝－12．(2)∵P A →＝PD →＋DA →＝PD →＋2QO →＝PD →＋2(PO →－PQ →)＝PD →＋2PO →－2PQ →， ∴x ＝2，y ＝－2．共线问题【例3】 (1)设e 1，e 2是空间两个不共线的向量，已知AB →＝e 1＋k e 2，BC →＝5e 1＋4e 2，DC →＝－e 1－2e 2，且A ，B ，D 三点共线，实数k ＝________．(2)如图正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，O 为A 1C 上一点，且A 1O ＝23A 1C →，BD 与AC 交于点M ．求证：C 1，O ，M 三点共线．思路探究：(1)根据向量共线的充要条件求解． (2)用向量AB →，AD →，AA 1→分别表示MO →和MC 1→．(1)1 [AD →＝AB →＋BC →＋CD →＝(e 1＋k e 2)＋(5e 1＋4e 2)＋(e 1＋2e 2)＝7e 1＋(k ＋6)e 2． 设AD →＝λAB →，则7e 1＋(k ＋6)e 2＝λ(e 1＋k e 2)，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ＝7λk ＝k ＋6，解得k ＝1．](2)解：设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，则MO →＝MC →＋CO →＝12AC →＋13CA 1→＝12(AB →＋AD →)＋13(CA →＋AA 1→) ＝12AB →＋12AD →＋13(CB →＋CD →＋AA 1→) ＝12AB →＋12AD →－13AD →－13AB →＋13AA 1→ ＝16AB →＋16AD →＋13AA 1→＝16a ＋16b ＋13c ， MC 1→＝MC →＋CC 1→＝12AC →＋AA 1→＝12(AB →＋AD →)＋AA 1→，＝12a ＋12b ＋c ，∴MC 1→＝3MO →，又直线MC 1与直线MO 有公共点M ， ∴C 1，O ，M 三点共线．1．判断向量共线的策略(1)熟记共线向量的充要条件：①若a ∥b ，b ≠0，则存在唯一实数λ使a ＝λb ；②若存在唯一实数λ，使a ＝λb ，b ≠0，则a ∥b ．(2)判断向量共线的关键：找到实数λ． 2．证明空间三点共线的三种思路对于空间三点P ，A ，B 可通过证明下列结论来证明三点共线． (1)存在实数λ，使P A →＝λPB →成立．(2)对空间任一点O ，有OP →＝OA →＋tAB →(t ∈R )． (3)对空间任一点O ，有OP →＝xOA →＋yOB →(x ＋y ＝1)．[跟进训练]3．(1)已知向量a ，b ，且AB →＝a ＋2b ，BC →＝－5a ＋6b ，CD →＝7a －2b ，则一定共线的三点是( )A ．A ，B ，D B ．A ，B ，C C ．B ，C ，DD ．A ，C ，DA [因为AD →＝AB →＋BC →＋CD →＝(a ＋2b )＋(－5a ＋6b )＋(7a －2b )＝3a ＋6b 所以AD →＝3AB →．又直线AB ，AD 有公共点A ，故A ，B ，D 三点共线．](2)如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 在A 1D 1上，且A 1E →＝2ED 1→，F 在对角线A 1C 上，且A 1F →＝23FC →．求证：E ，F ，B 三点共线．[证明] 设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ， 因为A 1E →＝2ED 1→，A 1F →＝23FC →，所以A 1E →＝23A 1D 1→，A 1F →＝25A 1C →，所以A 1E →＝23AD →＝23b ，A 1F →＝25(AC →－AA 1→)＝25(AB →＋AD →－AA 1→)＝25a ＋25b －25c ，所以EF →＝A 1F →－A 1E →＝25a －415b －25c＝25⎝⎛⎭⎫a －23b －c ． 又EB →＝EA 1→＋A 1A →＋AB →＝－23b －c ＋a ＝a －23b －c ，所以EF →＝25EB →，所以E ，F ，B 三点共线．向量共面问题[1．能说明P ，A ，B ，C 四点共面的结论有哪些？ [提示] (1)存在有序实数对(x ，y )，使得AP →＝xAB →＋yAC →．(2)空间一点P 在平面ABC 内的充要条件是存在有序实数组(x ，y ，z )使得OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →(其中x ＋y ＋z ＝1)．(3)P A →∥BC →．2．已知向量a ，b ，c 不共面，且p ＝3a ＋2b ＋c ，m ＝a －b ＋c ，n ＝a ＋b －c ，试判断p ，m ，n 是否共面．[提示] 设p ＝x m ＋y n ，即3a ＋2b ＋c ＝x (a －b ＋c )＋ y (a ＋b －c )＝(x ＋y )a ＋(－x ＋y )b ＋(x －y )c ． 因为a ，b ，c 不共面，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝3，－x ＋y ＝2，x －y ＝1，而此方程组无解，所以p 不能用m ，n 表示， 即p ，m ，n 不共面．【例4】 如图所示，已知矩形ABCD 和矩形ADEF 所在的平面互相垂直，点M ，N 分别在对角线BD ，AE 上，且BM ＝13BD ，AN ＝13AE ．求证：向量MN →，CD →，DE →共面．思路探究：可通过证明MN →＝xCD →＋yDE →求证．[证明] 因为M 在BD 上，且BM ＝13BD ，所以MB →＝13DB →＝13DA →＋13AB →．同理AN →＝13AD →＋13DE →． 所以MN →＝MB →＋BA →＋AN →＝⎝⎛⎭⎫13DA →＋13AB →＋BA →＋⎝⎛⎭⎫13AD →＋13DE → ＝23BA →＋13DE →＝23CD →＋13DE →． 又CD →与DE →不共线，根据向量共面的充要条件可知MN →，CD →，DE →共面．1．利用四点共面求参数向量共面的充要条件的实质是共面的四点中所形成的两个不共线的向量一定可以表示其他向量，对于向量共面的充要条件，不仅会正用，也要能够逆用它求参数的值．2．证明空间向量共面或四点共面的方法(1)向量表示：设法证明其中一个向量可以表示成另两个向量的线性组合，即若p ＝x a ＋y b ，则向量p ，a ，b 共面．(2)若存在有序实数组(x ，y ，z )使得对于空间任一点O ，有OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →，且x ＋y ＋z ＝1成立，则P ，A ，B ，C 四点共面．(3)用平面：寻找一个平面，设法证明这些向量与该平面平行．[跟进训练]4．已知A ，B ，C 三点不共线，平面ABC 外的一点M 满足OM →＝12OA →＋13OB →＋16OC →．(1)判断MA →，MB →，MC →三个向量是否共面； (2)判断点M 是否在平面ABC 内． [解] (1)因为OM →＝12OA →＋13OB →＋16OC →，所以6OM →＝3OA →＋2OB →＋OC →，所以3OA →－3OM →＝(2OM →－2OB →)＋(OM →－OC →)， 因此3MA →＝2BM →＋CM →＝－2MB →－MC →． 故向量MA →，MB →，MC →共面．(2)由(1)知向量MA →，MB →，MC →共面，三个向量又有公共点M ，故M ，A ，B ，C 共面，即点M 在平面ABC 内．1．一些特殊向量的特性(1)零向量不是没有方向，而是它的方向是任意的． (2)单位向量方向虽然不一定相同，但它们的长度都是1．(3)两个向量模相等，不一定是相等向量，反之，若两个向量相等，则它们不仅模相等，方向也相同．若两个向量模相等，方向相反，则它们为相反向量．2．四点P ，A ，B ，C 共面⇔对空间任意一点O ，都有OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →，且x ＋y ＋z ＝1．3．OP →＝OA →＋xAB →＋yAC →称为空间平面ABC 的向量表达式．由此可知空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定．4．证明(或判断)三点A ，B ，C 共线时，只需证明存在实数λ，使AB →＝λBC →(或AB →＝λAC →)即可，也可用“对空间任意一点O ，有OC →＝tOA →＋(1－t )OB →”来证明三点A ，B ，C 共线．5．空间一点P 位于平面MAB 内的充要条件是存在有序实数对(x ，y )，使MP →＝xMA →＋yMB →，满足这个关系式的点都在平面MAB 内；反之，平面MAB 内的任一点都满足这个关系式．这个充要条件常用于证明四点共面．1．下列说法正确的是( )A ．若|a |＝|b |，则a ，b 的长度相同，方向相同或相反B ．若向量a 是向量b 的相反向量，则|a |＝|b |C ．两个向量相等，若它们的起点相同，则其终点不一定相同D ．若|a |>|b |，|b |>|c |，则a >cB [对于A ，由|a |＝|b |可得a 与b 的长度相同，但方向不确定；对于B ，a 与b 是相反向量，则它们的模相等，故B 正确；对于C ，两向量相等，若它们的起点相同，则它们的终点一定相同，故C 错；对于D ，向量不能比较大小，故D 错．]2．如图，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，下列各式运算结果为BD 1→的是( )①A 1D 1→－A 1A →－AB →； ②BC →＋BB 1→－D 1C 1→； ③AD →－AB →－DD 1→； ④B 1D 1→－A 1A →＋DD 1→．A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④ A [①A 1D 1→－A 1A →－AB →＝AD 1→－AB →＝BD 1→； ②BC →＋BB 1→－D 1C 1→＝BC 1→＋C 1D 1→＝BD 1→；③AD →－AB →－DD 1→＝BD →－DD 1→＝BD →－BB 1→＝B 1D →≠BD 1→；④B 1D 1→－A 1A →＋DD 1→＝BD →＋AA 1→＋DD 1→＝BD 1→＋AA 1→≠BD 1→，故选A ．] 3．化简：12(a ＋2b －3c )＋5⎝⎛⎭⎫23a －12b ＋23c －3(a －2b ＋c )＝________． 56a ＋92b －76c [原式＝12a ＋b －32c ＋103a －52b ＋103c －3a ＋6b －3c ＝⎝⎛⎭⎫12＋103－3a ＋⎝⎛⎭⎫1－52＋6b ＋⎝⎛⎭⎫－32＋103－3c ＝56a ＋92b －76c ．] 4．如图，在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M 为AC 与BD 的交点，若A 1B 1→＝a ，A 1D 1→＝b ，A 1A →＝c ．试用a ，b ，c 表示B 1M →，C 1M →．[解] B 1M →＝B 1A 1→＋A 1A →＋AM →＝－a ＋c ＋12AC →＝－a ＋c ＋12(a ＋b )＝－12a ＋12b ＋c ，C 1M →＝C 1B 1→＋B 1M →＝D 1A 1→＋B 1M → ＝－b －12a ＋12b ＋c＝－12a －12b ＋c ．。

《3.1.1 空间向量及其加减运算》教学案3 【学情分析】：向量是一种重要的数学工具，它不仅在解决几何问题中有着广泛的应用，而且在物理学、工程科学等方面也有着广泛的应用。

在人教A版必修四中，读者已经认知了平面向量，现在，学习空间向量时要注意与平面向量的类比，体会空间向量在解决立体几何问题中的作用。

【教学目标】：（1）知识与技能：理解和掌握空间向量的基本概念，向量的加减法（2）过程与方法：通过高一学习的平面向量的知识，引申推广，理解和掌握向量的加减法（3）情感态度与价值观：类比学习，注重类比、推广等思想方法的学习，运用向量的概念和运算解决问题，培养学生的开拓创新能力。

【教学重点】：空间向量的概念和加减运算【教学难点】：空间向量的应用【课前准备】：Powerpoint课件【教学过程设计】：BA b a OC b a =-=+,.babD BACOC探索1：空间三个以上的非零向量能否平移至一个明面上？探索2：多个向量的加法能否由两个向量的加法推广？（1） 思考《选2-1》课本P92探究题归纳：向量加（减）法满足交换律和结合律。

例1：已知平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1，化简下列向量表达式，并标出化简结果的向量。

(如图)上的有限线段来表示，但仍然可以用将它们依次用首尾相接的有向线段来表示，得到它们的和。

比如：三个向量的和AD CD BC AB =++,一般地,空间中多个依次用首尾相接的有向线段相加的结果等于起点和终点相连的有向线段。

我们常常把向量的这种性质ADCD BC AB =++简称为“封口向量”。

四．练习巩固1．课本P92练习1-32．如图，在三棱柱111C B A ABC -中，M 是1BB 的中点，化简下列各式，并在图中标出化简得到的向量： （1）1BA CB +;巩固知识，注意区别加减法的不同处.1)2()1(AA AD AB BC AB +++（2）1AA CB AC ++; （3）CB AC AA --1 解：（1）11CA BA CB =+ （2）11AB AA CB AC =++ （3）11BA CB AC AA =--五．拓展与提高1．已知空间四边形ABCD ，连结,AC BD ，设,M G 分别是,BC CD 的中点，化简下列各表达式，并标出化简结果向量：（1）AB BC CD ++u u u r u u u r u u u r ；（2）GC BD AB ++；（3）．GA DG CM -+加深对相等向量和加减法的理解六．小结 1．空间向量的概念：2．空间向量的加减运算反思归纳七．作业 课本P106习题3.1，A 组 第1题（1）、（2）练习与测试：（基础题）1．举出一些实例，表示三个不在同一平面的向量。

3．1 空间向量及其运算 3．1.1 空间向量及其加减运算1.了解向量及其运算由平面向空间推广的过程，了解空间向量的概念．2.掌握空间向量的加法、减法运算．1．空间向量(1)定义：在空间，把具有大小和方向的量叫做空间向量． (2)长度：向量的大小叫做向量的长度或模．(3)表示法⎩⎪⎨⎪⎧①几何表示法：空间向量用有向线段表示；②字母表示法：用字母表示，若向量a 的起点是A ，终点是B ，可记作a ，也可记作AB →， 其模记为|a |或|AB →|(4)特殊向量单位向量、零向量都只是规定了向量的模长而没有规定向量的方向．单位向量有无数个，它们的方向不确定，因此，它们不一定相等；零向量也有无数个，它们的方向任意，但规定所有的零向量都相等．2．空间向量的加减法与运算律平面向量中的三角形法则和平行四边形法则同样适用于空间向量的加(减)法运算．加法运算是对有限个向量求和，交换相加向量的顺序，其和不变．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两个有共同起点且相等的向量，其终点必相同．( ) (2)两个有公共终点的向量，一定是共线向量．( ) (3)在空间中，任意一个向量都可以进行平移．( )(4)空间两非零向量相加时，一定可用平行四边形法则运算．() 答案：(1)√ (2)× (3)√ (4)×空间两个向量a ，b 互为相反向量，已知|b |＝3，则下列结论不正确的是( ) A ．a ＝－b B ．a ＋b＝0 C ．a 与b 方向相反D.|a |＝3答案：B已知空间四边形ABCD ，连接AC ，BD ，则AB →＋BC →＋CD →为( ) A.AD → B.BD → C.AC → D.0答案：A下列命题中为真命题的是( ) A ．向量AB →与BA →的长度相等B ．将空间中所有的单位向量移到同一个起点，则它们的终点构成一个圆C ．空间向量就是空间中的一条有向线段D ．不相等的两个空间向量的模必不相等 答案：A探究点1 空间向量的概念[学生用书P49](1)给出下列命题： ①零向量没有确定的方向；②在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AA 1→＝－C 1C →；③若向量a 与向量b 的模相等，则a ，b 的方向相同或相反； ④在四边形ABCD 中，必有AB →＋AD →＝AC →. 其中正确命题的序号是________； (2)如图所示，在以长、宽、高分别为AB ＝3，AD ＝2，AA 1＝1的长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的八个顶点中的两点为起点和终点的向量中，①单位向量共有多少个？ ②试写出模为5的所有向量．【解】 (1)①正确；②正确，因为AA 1→与C 1C →的大小相等方向相反，即互为相反向量，所以AA 1→＝－C 1C →；③|a |＝|b |，不能确定其方向，所以a 与b 的方向不能确定；④中只有当四边形ABCD 是平行四边形时，才有AB →＋AD →＝AC →.综上可知，正确命题为①②.故填①②.(2)①由于长方体的高为1，所以长方体4条高所对应的AA 1→，A 1A →，BB 1→，B 1B →，CC 1→，C 1C →，DD 1→，D 1D →这8个向量都是单位向量，而其他向量的模均不为1，故单位向量共有8个．②由于这个长方体的左、右两侧的对角线长均为5，故模为5的向量有AD 1→，D 1A →，A 1D →，DA 1→，BC 1→，C 1B →，B 1C →，CB 1→共8个．特殊向量的特性(1)零向量不是没有方向，而是它的方向是任意的． (2)单位向量方向虽然不一定相同，但它们的长度都是1.(3)两个向量模相等，不一定是相等向量；反之，若两个向量相等，则它们不仅模相等，方向也相同．若两个向量模相等，方向相反，则它们互为相反向量．如图所示，以长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的八个顶点的两点为始点和终点的向量中．(1)试写出与AB →相等的所有向量； (2)试写出AA 1→的相反向量．解：(1)与向量AB →相等的所有向量(除它自身之外)有A 1B 1→，DC →及D 1C 1→共3个． (2)向量AA 1→的相反向量为A 1A →，B 1B →，C 1C →，D 1D →. 探究点2 空间向量的加减运算[学生用书P49]如图所示，已知长方体ABCD -A ′B ′C ′D ′.化简下列向量表达式，并在图中标出化简结果．(1)AA ′→－CB →； (2)AA ′→＋AB →＋B ′C ′→.【解】 (1)AA ′→－CB →＝AA ′→－DA →＝AA ′→＋AD →＝AA ′→＋A ′D ′→＝AD ′→. (2)AA ′→＋AB →＋B ′C ′→＝(AA ′→＋AB →)＋B ′C ′→ ＝AB ′→＋B ′C ′→＝AC ′→. 向量AD ′→，AC ′→如图所示．[变问法]试把本例(2)中长方体中的体对角线所对应向量AC ′→用向量AA ′→，AB →，AD →表示． 解：在平行四边形ACC ′A ′中，由平行四边形法则可得AC ′→＝AC →＋AA ′→， 在平行四边形ABCD 中，由平行四边形法则可得AC →＝AB →＋AD →， 故AC ′→＝AB →＋AD →＋AA ′→.空间向量加法、减法运算的两个技巧(1)向量加减法的三角形法则是解决空间向量加法、减法运算的关键，灵活应用相反向量可使向量间首尾相接．(2)利用三角形法则和平行四边形法则进行向量的加法运算时，务必要注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得更准确的结果．化简(AB →－CD →)－(AC →－BD →)＝________．解析：法一：(利用相反向量的关系转化为加法运算) (AB →－CD →)－(AC →－BD →)＝AB →－CD →－AC →＋BD → ＝AB →＋DC →＋CA →＋BD → ＝AB →＋BD →＋DC →＋CA →＝0.法二：(利用向量的减法运算法则求解) (AB →－CD →)－(AC →－BD →) ＝(AB →－AC →)＋BD →－CD → ＝CB →＋BD →－CD →＝CD →－CD →＝0. 答案：01．在空间四边形OABC 中，OA →＋AB →－CB →等于( ) A.OA → B .AB → C.OC →D .AC →解析：选C.OA →＋AB →－CB →＝OA →＋AB →＋BC →＝OC →，故选C. 2．给出以下命题：①若向量a 是向量b 的相反向量，则|a |＝|b |； ②空间向量的减法满足结合律；③在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，必有AC →＝A 1C 1→. 其中正确命题的个数是( ) A ．0B ．1C ．2 D.3解析：选C.由相反向量的定义知①正确；减法不满足结合律，②错误；③中由AC 瘙綊A 1C 1，知AC →＝A 1C 1→，正确．故选C.3.如图所示，已知平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1，M 为A 1C 1与B 1D 1的交点，化简下列向量表达式．(1)AA 1→＋A 1B 1→； (2)AA 1→＋A 1M →－MB 1→； (3)AA 1→＋A 1B 1→＋A 1D 1→； (4)AB →＋BC →＋CC 1→＋C 1A 1→＋A 1A →. 解：(1)AA 1→＋A 1B 1→＝AB 1→.(2)AA 1→＋A 1M →－MB 1→＝AA 1→＋A 1M →＋MD 1→＝AD 1→. (3)AA 1→＋A 1B 1→＋A 1D 1→＝AA 1→＋A 1C 1→＝AC 1→. (4)AB →＋BC →＋CC 1→＋C 1A 1→＋A 1A →＝0. 4.在如图所示的平行六面体中，求证：AC →＋AB →′＋AD →′＝2AC →′. 证明：因为平行六面体的六个面均为平行四边形， 所以AC →＝AB →＋AD →，AB →′＝AB →＋AA →′，AD →′＝AD →＋AA →′， 所以AC →＋AB →′＋AD →′＝(AB →＋AD →)＋(AB →＋AA →′)＋(AD →＋AA →′) ＝2(AB →＋AD →＋AA →′)． 又因为AA →′＝CC →′，AD →＝BC →，所以AB →＋AD →＋AA →′＝AB →＋BC →＋CC →′＝AC →＋CC →′＝AC →′. 所以AC →＋AB →′＋AD →′＝2AC →′.[学生用书P 50][学生用书P 127(单独成册)])[A 基础达标]1．已知空间向量AB →，BC →，CD →，AD →，则下列结论正确的是( ) A.AB →＝BC →＋CD →B.AD →＝AB →＋CD →＋BC →C.AD →＝AB →＋BC →－CD →D.BC →＝BD →＋CD →解析：选B.根据空间向量的加减运算可得B 正确． 2．给出下列命题：①向量AB →的长度与向量BA →的长度相等；②向量a 与b 平行，则a 与b 的方向相同或相反； ③两个有公共终点的向量，一定是共线向量；④若向量AB →与向量CD →是共线向量，则点A ，B ，C ，D 必在同一条直线上； ⑤有向线段就是向量，向量就是有向线段． 其中假命题的个数为( ) A ．2 B ．3 C ．4D.5解析：选C.①真命题；②假命题，若a 与b 中有一个为零向量时，其方向不确定；③假命题，终点相同并不能说明这两个向量的方向相同或相反；④假命题，共线向量所在直线可以重合，也可以平行；⑤假命题，向量可用有向线段来表示，但并不是有向线段．故假命题的个数为4.3．已知向量AB →，AC →，BC →满足|AB →|＝|AC →|＋|BC →|，则( ) A.AB →＝AC →＋BC → B.AB →＝－AC →－BC → C.AC →与BC →同向 D.AC →与CB →同向解析：选D.由|AB →|＝|AC →|＋|BC →|＝|AC →|＋|CB →|，知A ，B ，C 三点共线且C 点在线段AB 上，所以AC →与CB →同向．4．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，下列选项中化简后为零向量的是( ) A.AB →＋A 1D 1→＋C 1A 1→ B.AB →－AC →＋BB 1→ C.AB →＋AD →＋AA 1→ D.AC →＋CB 1→解析：选A.在A 选项中，AB →＋A 1D 1→＋C 1A 1→＝(AB →＋AD →)＋CA →＝AC →＋CA →＝0.5．设有四边形ABCD ，O 为空间任意一点，且AO →＋OB →＝DO →＋OC →，则四边形ABCD 是( )A ．平行四边形B ．空间四边形C ．等腰梯形D.矩形解析：选A.由于AO →＋OB →＝AB →，DO →＋OC →＝DC →， 所以AB →＝DC →，从而|AB →|＝|DC →|，且AB 与CD 不共线， 所以AB ∥DC ，所以四边形ABCD 是平行四边形．6．式子(AB →－CB →)＋CC 1→运算的结果是__________．解析：(AB →－CB →)＋CC 1→＝(AB →＋BC →)＋CC 1→＝AC →＋CC 1→＝AC 1→. 答案：AC 1→7．已知平行六面体ABCD -A ′B ′C ′D ′，则下列四式中正确的有________． ①AB →－CB →＝AC →；②AC ′→＝AB →＋B ′C ′→＋CC ′→； ③AA ′→＝CC ′→；④AB →＋BB ′→＋BC →＋C ′C →＝AC ′→. 解析：AB →－CB →＝AB →＋BC →＝AC →，①正确； AB →＋B ′C ′→＋CC ′→＝AB →＋BC →＋CC ′→＝AC ′→，②正确；③显然正确；AB →＋BB ′→＋BC →＋C ′C →＝AB ′→＋B ′C ′→＋C ′C →＝AC →，④错． 答案：①②③8．给出下列几个命题：①方向相反的两个向量是相反向量； ②若|a |＝|b |，则a ＝b 或a ＝－b ；③对于任何向量a ，b ，必有|a ＋b |≤|a |＋|b |. 其中正确命题的序号为________．解析：对于①，长度相等且方向相反的两个向量是相反向量，故①错；对于②，若|a |＝|b |，则a 与b 的长度相等，但方向没有任何联系，故不正确；只有③正确．答案：③9．判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由． (1)若A ，B ，C ，D 四点在一条直线上，则AB →与CD →共线； (2)互为相反向量的向量的模相等； (3)任一向量与它的相反向量不相等．解：(1)正确．因为A ，B ，C ，D 四点在一条直线上，所以AB →与CD →一定共线． (2)正确．相反向量的模相等，但方向是相反的．(3)不正确．零向量的相反向量仍是零向量，零向量与零向量是相等的． 10.如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，化简向量表达式：(1)AB →＋CD →＋BC →＋DA →； (2)AA 1→＋B 1C 1→＋D 1D →＋CB →. 解：(1)AB →＋CD →＋BC →＋DA →＝AB →＋BC →＋CD →＋DA →＝0.(2)因为B 1C 1→＝BC →＝－CB →，D 1D →＝－AA 1→， 所以原式＝AA 1→－CB →－AA 1→＋CB →＝0.[B 能力提升]11．已知正方体ABCD -A ′B ′C ′D ′的中心为O ，则在下列各结论中正确的共有( ) ①OA →＋OD →与OB ′→＋OC ′→是一对相反向量； ②OB →－OC →与OA ′→－OD ′→是一对相反向量；③OA →＋OB →＋OC →＋OD →与OA ′→＋OB ′→＋OC ′→＋OD ′→是一对相反向量； ④OA ′→－OA →与OC →－OC ′→是一对相反向量． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D .4个解析：选C.如图所示，①OA →＝－OC ′→，OD →＝－OB ′→， 所以OA →＋OD →＝－(OB ′→＋OC ′→)，是一对相反向量；②OB →－OC →＝CB →，OA ′→－OD ′→＝D ′A ′→，而CB →＝D ′A ′→，故不是相反向量； ③同①也是正确的；④OA ′→－OA →＝AA ′→，OC →－OC ′→＝C ′C →＝－AA ′→，是一对相反向量． 12．下列说法中，错误的个数为( ) ①在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AC →＝A 1C 1→；②若两个非零向量AB →与CD →满足AB →＝－CD →，则AB →，CD →互为相反向量． ③AB →＝CD →的充要条件是A 与C 重合，B 与D 重合． A ．1 B ．2 C ．3D .0解析：选A.①正确．②正确.AB →＝－CD →，且AB →，CD →为非零向量，所以AB →，CD →互为相反向量．③错误．由AB →＝CD →，知|AB →|＝|CD →|，且AB →与CD →同向，但A 与C ，B 与D 不一定重合．13．如图，已知长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1，试在图中画出下列向量表达式所表示的向量．(1)AB 1→－AD 1→，AB 1→＋AD 1→.(2)AB →＋AD →－AD 1→，AB →＋AD →＋AD 1→.解：(1)如图所示，AB 1→－AD 1→＝D 1B 1→，AB 1→＋AD 1→＝AB 1→＋B 1C 2→＝AC 2→.(2)如图所示，AB →＋AD →－AD 1→＝AC →－AD 1→＝D 1C →，AB →＋AD →＋AD 1→＝AC →＋CC 3→＝AC 3→.14．(选做题)如图所示，在六棱柱ABCDEF -A 1B 1C 1D 1E 1F 1中．(1)化简A 1F 1→－EF →－BA →＋FF 1→＋CD →＋F 1A 1→，并在图中标出化简结果的向量；(2)化简DE →＋E 1F 1→＋FD →＋BB 1→＋A 1E 1→，并在图中标出化简结果的向量．解：(1)A 1F 1→－EF →－BA →＋FF 1→＋CD →＋F 1A 1→＝AF →＋FE →＋AB →＋BB 1→＋CD →＋DC →＝AE →＋AB 1→＋0＝AE →＋ED 1→＝AD 1→.AD 1→在图中所示如下：(2)DE →＋E 1F 1→＋FD →＋BB 1→＋A 1E 1→＝DE →＋EF →＋FD →＋BB 1→＋B 1D 1→＝DF →＋FD →＋BD 1→＝0＋BD 1→＝BD 1→.BD 1→在图中所示如下：。

3．1.1 空间向量及其加减运算1．空间向量 (1)定义□01在空间，把具有大小和方向的量叫做空间向量． (2)长度□02向量的大小叫做向量的长度或□03模． (3)表示方法(4)几类特殊的空间向量①零向量：□08规定长度为0的向量叫做零向量，记为□090. ②单位向量：□10模为1的向量称为单位向量． ③相反向量：□11与向量a 长度相等而方向相反的向量称为a 的相反向量，记为□12－a . ④相等向量：□13方向相同且模相等的向量称为相等向量．在空间，同向且等长的有向线段表示□14同一向量或□15相等向量． 2．空间向量的加减法 (1)定义类似平面向量，定义空间向量的加、减法运算(如图)： OB →＝OA →＋AB →＝□16a ＋b ； CA →＝OA →－OC →＝□17a －b . (2)加法运算律①交换律：a ＋b ＝□18b ＋a ；②结合律：(a ＋b )＋c ＝□19a ＋(b ＋c )． 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)有向线段可用来表示空间向量，有向线段长度越长，其所表示的向量的模就越大．( )(2)空间两非零向量相加时，一定可用平行四边形法则运算．( )(3)0向量是长度为0，没有方向的向量．( ) (4)若|a |＝|b |，则a ＝b 或a ＝－b .( ) 答案 (1)√ (2)× (3)× (4)× 2．做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)把所有单位向量的起点移到一点，则这些向量的终点组成的图形是________．(2)在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，DD 1→－AB →＋BC →化简后的结果是________．(3)如图所示，已知长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1，化简下列向量的表达式：①AA 1→－CB →＝________.②AB 1→＋B 1C 1→＋C 1D 1→＝________. ③12AD →＋12AB →－12A 1A →＝________. (4)(教材改编P 86T 3)如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别为AB ，B 1C 的中点．用AB →，AD →，AA 1→表示向量MN →，则MN →＝________.答案 (1)球面 (2)BD 1→ (3)①AD 1→ ②AD 1→ ③12AC 1→ (4)12AB →＋12AD →＋12AA 1→解析 (4)MN →＝MB →＋BC →＋CN →＝12AB →＋AD →＋12(CB →＋BB 1→)＝12AB →＋AD→＋12(－AD →＋AA 1→)＝12AB →＋12AD →＋12AA 1→.探究1 空间向量的概念 例1 给出下列命题：①两个相等的向量，若它们的起点相同，则终点必相同； ②在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，必有AC →＝A 1C 1→； ③若空间向量m ，n ，p 满足m ＝n ，n ＝p ，则m ＝p ； ④空间中任意两个单位向量必相等； ⑤只有零向量的模为0.其中假命题的个数是 ( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4[解析] ①真命题．根据向量相等的定义，两个相等的向量若起点相同，终点必相同，只有这样才能保证它们的方向和大小都相同．②真命题．根据正方体的性质，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，向量AC →与A 1C 1→的方向相同，模长也相等，应有AC →＝A 1C 1→.③真命题．向量的相等满足传递规律．④假命题．空间中任意两个单位向量模长均为1，但方向不一定相同，故不一定相等．⑤真命题．根据零向量的定义可知．[答案] A拓展提升处理向量概念问题要关注的两个要素和两个关系(1)两个要素判断与向量有关的命题时，要抓住向量的两个主要要素，即大小与方向，两者缺一不可．(2)两个关系①模相等与向量相等的关系：两个向量的模相等，则它们的长度相等，但方向不确定，即两个向量(非零向量)的模相等是两个向量相等的必要不充分条件．②向量的模与向量大小的关系：由于方向不能比较大小，因此“大于”“小于”对向量来说是没有意义的．但向量的模是可以比较大小的．【跟踪训练1】(1)给出下列四个命题：①方向相反的两个向量是相反向量；②若a，b满足|a|＞|b|且a，b同向，则a＞b；③不相等的两个空间向量的模必不相等；④向量BA→与向量AB→的长度相等．其中正确命题的序号为________．答案④解析 ①错误，方向相反且长度相等的两个向量是相反向量；②错误，向量不能比较大小；③错误，如BA →≠AB →但|BA →|＝|AB →|，④正确．(2)给出下列命题：①若|a |＝0，则a ＝0；②若a ＝0，则－a ＝0；③|－a |＝|a |，其中正确命题的序号是________．答案 ②③解析 ①错误，若|a |＝0，则a ＝0；②正确．③正确． 探究2 空间向量的加减运算例2 如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，下列各式中运算结果为向量BD1→的是( ) ①(A 1D 1→－A 1A →)－AB →；②(BC →＋BB 1→)－D 1C 1→；③(AD →－AB →)－DD 1→；④(B 1D 1→－A 1A →)＋DD 1→.A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④[解析] ①(A 1D 1→－A 1A →)－AB →＝A 1D 1→＋AA 1→＋BA →＝BD 1→； ②(BC →＋BB 1→)－D 1C 1→＝BC →＋BB 1→＋C 1D 1→＝BC 1→＋C 1D 1→＝BD 1→；③(AD →－AB →)－DD 1→＝BD →＋D 1D →＝BD →－DD 1→＝BD →－BB 1→＝B 1D →≠BD 1→； ④(B 1D 1→－A 1A →)＋DD 1→＝B 1D 1→＋AA 1→＋DD 1→＝B 1D 1→＋BB 1→＋DD 1→＝BD 1→＋DD 1→≠BD1→.因此，①②两式的运算结果为向量BD 1→，而③④两式的运算结果不为向量BD1→.故选A.[答案] A[结论探究] 例2条件下，判断下列各式中运算结果为向量AC 1→的有哪些？①(AB →＋BC →)＋CC 1→；②(AA 1→＋A 1D 1→)＋D 1C 1→；③(AB →＋BB 1→)＋B 1C 1→；④(AA 1→－B 1A 1→)＋B 1C 1→.解 ①(AB →＋BC →)＋CC 1→＝AC →＋CC 1→＝AC 1→； ②(AA 1→＋A 1D 1→)＋D 1C 1→＝AD 1→＋D 1C 1→＝AC 1→； ③(AB →＋BB 1→)＋B 1C 1→＝AB 1→＋B 1C 1→＝AC 1→；④(AA 1→－B 1A 1→)＋B 1C 1→＝(AA 1→＋A 1B 1→)＋B 1C 1→＝AB 1→＋B 1C 1→＝AC 1→. 故①②③④式运算结果都是向量AC 1→. 拓展提升1.空间向量加法、减法运算的两个技巧(1)巧用相反向量：向量加减法的三角形法则是解决空间向量加法、减法运算的关键，灵活应用相反向量可使向量间首尾相接．(2)巧用平移：利用三角形法则和平行四边形法则进行向量的加法运算时，务必要注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得更准确的结果．2．化简空间向量的常用思路(1)分组：合理分组，以便灵活利用三角形法则、平行四边形法则进行化简．(2)多边形法则：在空间向量的加法运算中，若是多个向量求和，还可利用多边形法则．若干个向量的和可以将其转化为首尾相接的向量求和．(3)走边路：灵活运用空间向量的加法、减法法则，尽量走边路(即沿几何体的边选择途径)．【跟踪训练2】 在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G ，H ，P ，Q 分别是A 1A ，AB ，BC ，CC 1，C 1D 1，D 1A 1的中点，则( )A.EF →＋GH →＋PQ →＝0B.EF →－GH →－PQ →＝0C.EF →＋GH →－PQ →＝0D.EF →－GH →＋PQ →＝0 答案 A解析 EF →＋GH →＋PQ →＝AF →－AE →＋CH →－CG →＋D 1Q →－D 1P →＝0. 探究3 空间向量证明题例3 在如图所示的平行六面体中． 求证：AC →＋AB ′→＋AD ′→＝2AC ′→.[证明] ∵平行六面体的六个面均为平行四边形， ∴AC →＝AB →＋AD →，AB ′→＝AB →＋AA ′→，AD ′→＝AD →＋AA ′→.∴AC →＋AB ′→＋AD ′→＝(AB →＋AD →)＋(AB →＋AA ′→)＋(AD →＋AA ′→)＝2(AB →＋AD →＋AA ′→)，又∵AA ′→＝CC ′→，AD →＝BC →，∴AB →＋AD →＋AA ′→＝AB →＋BC →＋CC ′→＝AC →＋CC ′→＝AC ′→， ∴AC →＋AB ′→＋AD ′→＝2AC ′→.拓展提升空间向量证明题的注意点利用三角形法则或平行四边形法则进行证明，一定要注意和(差)向量的方向．必要时利用空间向量可自由平移，使作图容易．【跟踪训练3】 借助平行六面体，证明：(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )．证明 作平行六面体ABCD －A ′B ′C ′D ′使AB →＝a ，AD →＝b ，AA ′→＝c ，如图，则：(a ＋b )＋c ＝(AB →＋AD →)＋AA ′→＝AC →＋CC ′→＝AC ′→，a ＋(b ＋c )＝AB →＋(AD →＋AA ′→)＝AB →＋(BC →＋CC ′→)＝AB →＋BC ′→＝AC ′→，所以(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )．1.在空间，向量、向量的模、相等向量的概念和平面向量完全一致，两向量相等的充要条件是两个向量的方向相同、模相等．两向量互为相反向量的充要条件是大小相等，方向相反.2.向量可以平移，任意两个向量都是共面向量．因此空间两个向量的加、减法运算和平面向量完全相同，可以利用平行四边形法则和三角形法则来进行.3.空间向量进行减法运算时，一定要抓住向量的起点与终点，否则容易导致结果计算错误．如AB →－AD →，误写成BD →，应为DB →.1．向量a ，b 互为相反向量，已知|b |＝3，则下列结论正确的是( )A．a＝b B．a＋b为实数0C．a与b方向相同D．|a|＝3答案D解析因为a，b互为相反向量，所以a＝－b，a＋b＝0，a与b方向相反，|a|＝|b|＝3.2．已知空间向量AB→，BC→，CD→，AD→，则下列结论正确的是( )A.AB→＝BC→＋CD→B.AB→－DC→＋BC→＝AD→C.AD→＝AB→＋BC→＋DC→D.BC→＝BD→－DC→答案B解析AB→－DC→＋BC→＝AB→＋BC→＋CD→＝AC→＋CD→＝AD→.3．设有四边形ABCD，O为空间任意一点，且AO→＋OB→＝DO→＋OC→，则四边形ABCD是( )A．空间四边形B．平行四边形C．等腰梯形D．矩形答案B解析∵AO→＋OB→＝AB→，DO→＋OC→＝DC→，∴AB→＝DC→，∴线段AB ，DC 平行且相等， ∴四边形ABCD 是平行四边形．4．已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的中心为O ，则在下列各结论中正确结论的序号为________．①OA →＋OD →与OB 1→＋OC 1→是一对相反向量； ②OB →－OC →与OA1→－OD 1→是一对相反向量； ③OA →＋OB →＋OC →＋OD →与OA 1→＋OB 1→＋OC 1→＋OD 1→是一对相反向量； ④OA 1→－OA →与OC →－OC 1→是一对相反向量． 答案 ①③④解析 下图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为AD ，B 1C 1的中点，则由向量运算的平行四边形法则，知OA →＋OD →＝2OE →，OB 1→＋OC 1→＝2OF →，又OE →＝－OF →，所以命题①正确．由于OB →－OC →＝CB →，OA 1→－OD 1→＝D 1A 1→，所以OB →－OC →与OA 1→－OD 1→是两个相等的向量，所以命题②是不正确的．同理可得命题③④是正确的．5．下图所示，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝3，AD ＝2，AA 1＝1，以该长方体的八个顶点中的两点为起点和终点的所有向量中，(1)单位向量共有多少个？ (2)试写出模为5的所有向量；(3)试写出与AB →相等的所有向量；(4)试写出AA1→的相反向量． 解 (1)由于AA 1＝1，所以AA 1→，A 1A →，BB 1→，B 1B →，CC 1→，C 1C →，DD 1→，D 1D → 这8个向量都是单位向量，而其他向量的模均不为1，故单位向量共8个．(2)由于这个长方体的左、右两侧的对角线长均为5，所以模为5的向量为AD 1→，D 1A →，A 1D →，DA 1→，BC 1→，C 1B →，B 1C →，CB 1→.(3)与向量AB →相等的所有向量(除它自身之外)为A 1B 1→，DC →，D 1C 1→.(4)向量AA 1→的相反向量为A 1A →，B 1B →，C 1C →，D 1D →.。