下载文档原格式
高等数学教材向量高等数学教材——向量一、向量的概念及基本性质在高等数学中，向量是一种具有大小和方向的几何量。
它是由起点和终点确定的有向线段，通常用有字母上方带箭头表示，如⃗AB。
1. 向量的定义向量的定义是：若平面上两个点A和B确定了有向线段⃗AB，则称⃗AB为向量。
向量既有大小也有方向，是一个有序数对。
2. 向量的基本性质（1）向量的模长向量的模长代表向量的大小，用两点之间的距离表示。
若有向线段⃗AB，则向量⃗AB的模长记作|⃗AB|或AB，表示点A和点B之间的距离。
（2）向量的方向角向量的方向角是与x轴正向所成的角度，一般用α或θ表示。
方向角的范围在0到360度之间，且相同向量的方向角可以有多个。
（3）向量的相等对于两个向量⃗AB和⃗CD，若所夹角度相同且模长相等，即|⃗AB|=|⃗CD|且⃗⃗AB=⃗⃗CD，则称两个向量相等。
二、向量的基本运算向量的基本运算包括加法、减法和数乘。
1. 向量的加法向量的加法是将两个向量的起点连接起来，然后连接两个终点，构成一个新的向量。
向量的加法满足平行四边形法则，即⃗⃗ABD=⃗⃗CAB，⃗AD=⃗AB+⃗BD。
2. 向量的减法向量的减法是将减去的向量的起点与被减去的向量的终点连接起来，构成一个新的向量。
向量的减法可以转化为向量的加法，即⃗AB-⃗⃗CD=⃗AB+(-⃗CD)。
3. 向量的数乘向量的数乘是将向量的模长与标量做乘法，得到一个新的向量，方向与原向量相同（若标量为正）或相反（若标量为负）。
即k⃗AB=(|k|)⃗AB。
三、向量的数量积和向量积1. 向量的数量积向量的数量积是将两个向量的模长与夹角进行乘法运算，得到一个标量。
向量的数量积的计算公式为：⃗AB·⃗CD=|⃗AB||⃗CD|cos⃗⃗A B⃗CD。
2. 向量的向量积向量的向量积是用来求两个向量所确定的平行四边形的面积，也是一个向量。
向量的向量积的计算公式为：⃗AB×⃗CD=|⃗AB||⃗CD|sin⃗⃗A B⃗CDn，其中n为垂直于⃗AB和⃗CD所在平面的单位法向量。
向量高数知识点总结一、向量的概念向量是指既有大小又有方向的量。
在数学上，向量可以用有序数对表示，这个有序数对就是向量的坐标表示。
例如，一个二维向量可以表示为(a,b)，其中a和b分别代表向量在x轴和y轴上的分量；一个三维向量可以表示为(a,b,c)，类似地，a、b、c分别代表向量在x、y、z轴上的分量。
在物理学中，向量的概念也是非常重要的，比如力、速度等都是向量。
二、向量的基本运算1. 向量的加法向量的加法是指两个向量相加的运算。
如果有两个向量a和b，它们的加法运算可以表示为a+b，即将a和b的对应分量相加得到新的向量。
2. 向量的数乘向量的数乘是指一个向量与一个标量相乘的运算。
如果有一个向量a和一个实数k，它们的数乘运算可以表示为ka，即将a的每个分量都乘以k得到新的向量。
3. 向量的减法向量的减法可以通过向量的加法和数乘来表示，即a-b = a+(-1)*b。
三、线性相关与线性无关1. 线性相关如果存在不全为零的实数k1、k2、...、kn，使得向量组中的向量v1、v2、...、vn满足关系式k1*v1+k2*v2+...+kn*vn=0，那么称向量组v1、v2、...、vn是线性相关的。
这就意味着向量组中的某一个向量可以表示为其他向量的线性组合。
2. 线性无关如果向量组中的向量v1、v2、...、vn不是线性相关的，即不存在不全为零的实数k1、k2、...、kn，使得k1*v1+k2*v2+...+kn*vn=0，那么称向量组v1、v2、...、vn是线性无关的。
线性相关与线性无关是线性代数中非常重要的概念，它和矩阵的秩有关系，而矩阵的秩又在模型拟合、降维处理等领域有着重要的应用。
四、向量的线性组合和向量空间1. 向量的线性组合如果有向量组v1、v2、...、vn和实数k1、k2、...、kn，那么k1*v1+k2*v2+...+kn*vn就是向量v1、v2、...、vn的线性组合。
线性组合可以用来表示向量的线性关系，它在数学建模中有着重要的应用。
第七章向量代数与空间解析几何空间解析几何是多元函数微积分学必备的基础知识.本章首先建立空间直角坐标系，然后引进有广泛应用的向量代数，以它为工具，讨论空间的平面和直线，最后介绍空间曲面和空间曲线的部分内容.第一节空间直角坐标系平面解析几何是我们已经熟悉的，所谓解析几何就是用解析的，或者说是代数的方法来研究几何问题.坐标法把代数与几何结合起来.代数运算的基本对象是数,几何图形的基本元素是点.正如我们在平面解析几何中所见到的那样，通过建立平面直角坐标系使几何中的点与代数的有序数之间建立一一对应关系.在此基础上,引入运动的观点,使平面曲线和方程对应,从而使我们能够运用代数方法去研究几何问题.同样,要运用代数的方法去研究空间的图形——曲面和空间曲线,就必须建立空间内点与数组之间的对应关系.一、空间直角坐标系空间直角坐标系是平面直角坐标系的推广.过空间一定点O，作三条两两互相垂直的数轴，它们都以O为原点.这三条数轴分别叫做x轴（横轴）、y轴（纵轴）、z轴（竖轴），统称坐标轴.它们的正方向按右手法则确定，即以右手握住z轴，右手的四个手指指向x轴的正向以π2角度转向y轴的正向时，大拇指的指向就是z轴的正向（图7-1），这样的三条坐标轴就组成了一空间直角坐标系Oxyz，点O叫做坐标原点.图7-1三条坐标轴两两分别确定一个平面，这样定出的三个相互垂直的平面:xOy,yOz,zOx,统称为坐标面.三个坐标面把空间分成八个部分，称为八个卦限，上半空间（z＞0）中，从含有x 轴、y轴、z轴正半轴的那个卦限数起，按逆时针方向分别叫做Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ卦限，下半空间（z＜0）中，与Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ四个卦限依次对应地叫做Ⅴ，Ⅵ，Ⅶ，Ⅷ卦限（图7-2）.图7-2确定了空间直角坐标系后，就可以建立起空间点与数组之间的对应关系.设M为空间的一点，过点M作三个平面分别垂直于三条坐标轴，它们与x轴、y轴、z 轴的交点依次为P、Q、R（图7-3）.这三点在x轴、y轴、z轴上的坐标依次为x，y，z.这样，空间的一点M就惟一地确定了一个有序数组（x，y，z），它称为点M的直角坐标，并依次把x,y和z叫做点M的横坐标，纵坐标和竖坐标.坐标为（x,y,z）的点M通常记为M（x,y,z）.图7-3反过来，给定了一有序数组（x,y,z），我们可以在x轴上取坐标为x的点P，在y轴上取坐标为y的点Q，在z轴上取坐标为z的点R，然后通过P、Q与R分别作x轴，y轴与z 轴的垂直平面，这三个平面的交点M就是具有坐标（x,y,z）的点（图7-3）.从而对应于一有序数组（x,y,z），必有空间的一个确定的点M.这样，就建立了空间的点M和有序数组（x,y,z）之间的一一对应关系.如图7-3所示x轴，y轴和z轴上的点的坐标分别为P（x,0,0），Q（0,y,0）,R（0,0,z）；xOy面，yOz面和zOx面上的点的坐标分别为A（x,y,0），B（0，y,z）,C（x,0,z）；坐标原点O的坐标为O（0,0,0）.它们各具有一定的特征，应注意区分.二、空间两点间的距离设M1（x1,y1,z1）、M2（x2,y2,z2）为空间两点，为了用两点的坐标来表达它们间的距离d，我们过M1，M2各作三个分别垂直于三条坐标轴的平面.这六个平面围成一个以M1，M2为对角线的长方体（图7-4）.根据勾股定理，有图7-4｜M 1M 2｜2＝｜M 1N ｜2＋｜NM 2｜2＝｜M 1P ｜2＋｜M 1Q ｜2＋｜M 1R ｜2.由于｜M 1P ｜＝｜P 1P 2｜＝｜x 2－x 1｜,｜M 1Q ｜＝｜Q 1Q 2｜＝｜y 2－y 1｜,｜M 1R ｜＝｜R 1R 2｜＝｜z 2－z 1｜,所以d ＝｜M 1M 2｜＝212212212)()()(z z y y x x -+-+-，这就是两点间的距离公式.特别地，点M （x,y,z ）与坐标原点O （0,0,0）的距离为d ＝｜OM ｜＝222z y x ++。
第七章 向量代数与空间解析几何【考试要求】1．理解向量的概念，掌握向量的坐标表示法，会求单位向量、方向余弦． 2．掌握向量的线性运算、向量的数量积与向量积的计算方法． 3．掌握两向量垂直、平行的条件．4．会求平面的点法式方程、一般式方程．会判定两平面的垂直、平行． 5．会求点到平面的距离．6．了解直线的一般式方程，会求直线的对称式方程、参数方程．会判定两直线平行、垂直． 7．会判定直线与平面的关系（垂直、平行、直线在平面上）．【考试内容】一、向量及其运算（一）向量的相关概念1．向量既有大小又有方向的量称为向量（或矢量），用有向线段AB （起点为A 终点为B ）或小写字母a 表示． 2．向量的模向量的大小称为向量的模，记为AB 或a ．3．向量的坐标表示向量的坐标表示法有两种：axi y j zk =++或(,,)a x y z =．（二）向量的运算1．线性运算 设111(,,)ax y z =，222(,,)b x y z =，则有：加法：121212(,,)a bx x y y z z +=+++；减法：121212(,,)a b x x y y z z -=---；数乘：111(,,)ax y z λλλλ=．2．向量的数量积（点乘积）向量a 、b 的数量积记为cos(,)a ba b a b ⋅=．设111(,,)a x y z =，222(,,)b x y z =，则 121212a b x x y y z z ⋅=++．3．向量的向量积（叉乘积）向量a 、b 的向量积是一个向量，记为a b ⨯，它的模和方向分别定义为： （1）sin(,)a ba b a b ⨯=；（2）a b ⨯同时垂直于a 和b ，且a 、b 、a b ⨯成右手系．设111(,,)a x y z =，222(,,)b x y z =，则 111222ij k a b x y z x y z ⨯= ．4．基本性质（1）交换律和反交换律交换律：a b b a +=+，a b b a ⋅=⋅； 反交换律：a b b a ⨯=-⨯． （2）结合律()()a b c a b c ++=++，()()()a a a λμλμμλ==，()()a b a b λλ⋅=⋅，()()()a b a b a b λλλ⨯=⨯=⨯．（3）分配律 ()a a a λμλμ+=+，()a b a b λλλ+=+，()a b c a c b c +⋅=⋅+⋅，()a b c a c b c +⨯=⨯+⨯．（三）平行与垂直的充要条件设向量111(,,)a x y z =，222(,,)b x y z =，1．向量b 与非零向量a 平行的充要条件是存在一个实数λ，使得b a λ=． 2．向量b 与非零向量a 平行的充要条件是存在一个实数λ，使得21x x λ=，21y y λ=，21z z λ=．或者说，向量a 与b 平行的充要条件是它们的对应坐标成比例． 3．两个向量a ，b 平行的充要条件是0a b ⨯= 或 111222x y z x y z ==．4．两个向量a ，b 垂直的充要条件是0a b ⋅= 或1212120x x y y z z ++=．二、平面及其方程1．点法式方程设平面π过点0000(,,)M x y z ，(,,)n A B C =为其一法向量，则平面π的点法式方程为：000()()()0A x x B y y C z z -+-+-=．2．一般式方程0Ax By Cz D +++= （A ，B ，C 不同时为零）．3．截距式方程1x y za b c++= （a ，b ，c 均不为零）． 其中a ，b ，c 分别称为平面在x ，y ，z 轴上的截距．4．两平面之间的关系设有两个平面1π和2π，它们相应的方程为1π：11110A x B y C z D +++=，2π：22220A x B y C z D +++=，它们的法向量分别为 1111(,,)n A B C =，2222(,,)n A B C =．若12//n n ，即111222A B C A B C ==（若式中分母为零，则规定分子也为零），则两平面1π与2π平行． 若12n n ⊥，即 1212120A A B B C C ++=，则两平面1π与2π垂直．两平面的夹角θ就是它们的法向量的夹角，即1212cos n n n n θ⋅=，02πθ≤≤．三、直线及其方程1．点向式方程设直线L 过点0000(,,)M x y z ，(,,)s m n p =为其一方向向量，则直线L 的点向式方程为：000x x y y z z m n p---== ．2．一般式方程空间直线可以看成是两个平面的交线：111122220A xB yC zD A x B y C z D +++=⎧⎨+++=⎩ ． 3．参数方程设直线L 过点0000(,,)M x y z ，(,,)s m n p =为其一方向向量，则直线L 的参数方程为000x x mt y y nt z z pt=+⎧⎪=+⎨⎪=+⎩， t -∞<<+∞ ． 其中 t 称为参数． 4．两直线之间的关系设有两条直线1L 和2L ，它们的方程分别为1L ：111111x x y y z z m n p ---==， 方向向量 1111(,,)s m n p =，2L ：222222x x y y z z m n p ---==， 方向向量2222(,,)s m n p =，两直线的方向向量的夹角θ叫做两直线的夹角（通常指锐角），1212cos s s s s θ⋅=，02πθ≤≤．若12//s s ，即111222m n p m n p ==， 则两直线1L 与2L 平行．若12s s ⊥，即 1212120m m n n p p ++=，则两直线1L 与2L 垂直．5．直线与平面的关系 设平面π的方程为π：0Ax By Cz D +++=，法向量 (,,)n A B C =，直线L 的方程为L ：000x x y y z z m n p---==，方向向量(,,)s m n p =，直线和它在平面上的投影直线的夹角称为直线与平面的夹角θ，即sin n s n sθ⋅=，02πθ≤<．若//n s ，即A B Cm n p==，则直线L 与平面π垂直． 若 n s ⊥，即 0Am Bn Cp ++=，则直线L 与平面π平行．【典型例题】【例7-1】在z 轴上求与两点(4,1,7)A -和(3,5,2)B -等距离的点． 解：因所求的点M 在z 轴上，所以设该点为(0,0,)M z ，依题意有MA MB =，即=两边去根号，解得149z = ．因此，所求的点为14(0,0,)9M 【例7-2】已知两点(4,0,5)A 和(7,1,3)B ，求与AB 同方向的单位向量e ． 解：因为(3,1,2)AB=-，所以23AB == 故2)14AB e AB==-． 【例7-3】已知两点1M 和2(1,3,0)M ，计算向量12M M的模、方向余弦和方向角． 解：因12(12,32,0(1,1,M M =---=-， 故12(2M M =-=，方向余弦 1cos 2α=-，1cos 2β=，cos 2γ=-，方向角 23πα=，3πβ=，34πγ=．【例7-4】设(2,1,1)a=-，(1,1,2)b =-，计算a b ⋅ 和 a b ⨯．解：211(1)(1)21a b ⋅=⋅+⋅-+-⋅=-，211(1,5,3)112i j ka b ⨯=-=---．【例7-5】已知三角形ABC 的三个顶点分别是(1,2,3)A =、(3,4,5)B =和(2,4,7)C =，求三角形ABC 的面积．解： 根据向量积的定义可知，三角形的面积11sin 22ABC S AB AC A AB AC ∆=∠=⨯， 由于(2,2,2)AB =，(1,2,4)AC =，因此222(4,6,2)124i j kAB AC ⨯==-，于是112ABCS AB AC ∆=⨯==． 【例7-6】已知向量3a =，向量4b =，向量a 和b 的夹角3πθ=，求23a b -．解：因为223(23)(23)4669a b a b a b a a a b b a b b -=-⋅-=⋅-⋅-⋅+⋅2246cos 6cos 9a a b b a bθθ=--+22431234cos943633π=⋅-⋅⋅⋅+⋅=⋅，故2363a b -=．【例7-7】求过三点(2,1,4)A -、(1,3,2)B --和(0,2,3)C 的平面方程． 解：先找出这平面的法向量n ．由于n 与向量AB 、AC 都垂直，而(3,4,6)AB=--，(2,3,1)AC =--，所以可取它们的向量积作为法向量n ，即346(14,9,1)231i j kn AB AC =⨯=--=---，根据平面的点法式方程，所求平面方程为 14(2)9(1)(4)0x y z -++--=，即 149150x y z +--= ．说明：此题也可用平面的一般方程求解，步骤如下： 设所求的平面方程为0Ax By Cz D +++=，将(2,1,4)A -、(1,3,2)B --、(0,2,3)C 三点的坐标值代入可得方程组240320230A B C D A B C D B C D -++=⎧⎪-+-+=⎨⎪++=⎩ ， 解之得 149953A BB C D B ⎧=⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪=-⎪⎩，代入原方程，得 14150993Bx By Bz B +--=， 将B 约掉（0B≠）并化简可得平面方程为 149150x y z +--= ．【例7-8】求平行于平面1π：(6,3,2)A -，且与平面428x y z -+=垂直，求此平面的方程．解法1： 设所求的平面方程为 0Ax By Cz D +++=，由平面过原点可知0D =，由平面过点(6,3,2)A -可知，6320A B C -+=，又因为(4,1,2)n ⊥-，所以420A B C -+=，故23A B C ==-，所求平面方程为2230x y z +-=．解法2：设平面的法向量为n ．由于n 与向量(6,3,2)OA =-、平面428x y z -+=的法向量1(4,1,2)n =-都垂直，所以可取与它们的向量积平行的向量作为法向量n ，而1632(4,4,6)2(2,2,3)412i j kOA n ⨯=-=---=--，故可取法向量 (2,2,3)n =，平面方程为2(0)2(0)3(0)0x y z -+-+-=，即2230x y z +-= ．【例7-9】求平行于平面1π：2340x y z +++=，且与球面2229x y z ++=相切的平面方程．解：因所求平面平行于已知平面1π：2340x y z+++=，故可设所求平面方程为π：230x y z D +++=，又π与球面2229x y z ++=相切，可得球心(0,0,0)到平面π的距离等于半径3，故3=，即D =D =±故所求平面π的方程为230x y z +++= 和 230x y z ++-=．【例7-10】求过两点(3,2,4)M -和(2,1,1)N --的直线方程． 解：因向量(1,3,3)(1,3,3)MN=--=--，故可取直线的方向向量(1,3,3)s =-，故所求直线方程为211133x y z -++==- ． 【例7-11】求过点(1,1,1)且平行于直线12212x y -+==的直线方程．解：因所求直线与已知直线平行，故所求直线的方向向量s 可取为 (2,1,2)s =，所求直线又过点(1,1,1)，故所求直线的方程为1121x y --== ． 【例7-12】求直线L ：132321x y z --+==-与平面π：53160x y z -+-=的交点．解法1：根据直线L 的对称式方程可得直线L 的参数方程为 13322x t y t z t =+⎧⎪=-⎨⎪=-+⎩ ，故可设交点坐标为(13,32,2)t t t +--+，然后代入平面方程可得5(13)3(32)2160t t t +--+--=，得 1t =，故交点坐标为 (4,1,1)-．解法2：直线方程与平面方程联立，可得三元一次方程组1332123153160x y x z x y z --⎧=⎪-⎪-+⎪=⎨⎪-+-=⎪⎪⎩， 解此方程组得 411x y z =⎧⎪=⎨⎪=-⎩，即交点坐标为 (4,1,1)-．【例7-13】求与两平面43x z -=和251x y z --=的交线平行且过点(3,2,5)-的直线的方程．解法1：因为所求直线与两平面的交线平行，也就是直线的方向向量s 一定同时与两平面的法向量1n 、2n 垂直，所以可以取12104(4,3,1)215i j ks n n =⨯=-=---，因此所求直线方程为325431x y z +--==． 解法2：过点(3,2,5)-且与平面43x z-=平行的平面方程为 423x z -=-，过点(3,2,5)-且与平面251x y z --=平行的平面方程为 2533x y z --=-，所求直线为上述两平面的交线，故其方程为 4232533x z x y z -=-⎧⎨--=-⎩ ．【例7-14】确定直线L ：3102230x y z x y z +-+=⎧⎨--+=⎩ 与平面π：250x y z +++=的位置关系． 解：因为直线L的一般方程中的两个平面的法向量分别为1(3,1,1)n =-和2(2,1,2)n =--，而直线L 的方向向量s 同时垂直于1n 和2n ，故直线L 的方向向量s 可取为12311(3,4,5)212i j ks n n =⨯=-=----，而平面π的法向量(1,2,1)n =， 由(3)142(5)10s n ⋅=-⋅+⋅+-⋅= 可知，s n ⊥，故//L π．又L 上一点14(0,,)33不在平面π上，故//L π但L 不在π上．【历年真题】一、选择题1．（2010年，1分）已知向量(1,2,1)a=--与向量(1,2,)b t =垂直，则t 等于（ ）（A ）1- （B ）1 （C ）5- （D ）5 解：因向量a与b 垂直，故0a b ⋅=，即(1)1(2)210t -⋅+-⋅+⋅=，也即50t -+=，故5t =．选项（D ）正确．2．（2009年，1分）直线l ：34273x y z ++==--与平面π：42230x y z ---=的位置关系是（ ）（A ）平行 （B ）垂直相交 （C ）l 在π上 （D ）相交但不垂直 解：直线l 的方向向量(2,7,3)s =--，平面π的法向量(4,2,2)n =--，由于81460s n ⋅=-+-=，故s n ⊥，所以直线与平面的关系为//l π．又直线上的点(3,4,0)--不在平面π上，故直线与平面的关系为//l π但l 不在π上．选（A ）．3．（2008年，3分）过点(,0,0)a 且垂直于x 轴的平面方程为（ ） （A ）z a = （B ）ya = （C ）z y = （D ）x a =解：垂直于x 轴的平面方程可设为xC =，又平面过点(,0,0)a ，故所求的平面方程为x a =．选项（D ）正确．4．（2008年，3分）直线121122x y z --+==--与下列 平面垂直（ ） （A ）4100x y z +-+= （B ）2350x y z -++=（C ）24460x y z -+-= （D ）90x y z ++-=解：直线与平面垂直，故直线的方向向量(1,2,2)s =--与平面的法向量n 平行，s 的分量与n 的分量对应成比例．对比四个选项中的法向量，选项（C ）的法向量(2,4,4)n =-，且122244--==-，故选项（C ）正确． 5．（2007年，3分）直线221314x y z -+-==-与平面62870x y z -+-=的位置关系是（ ）（A ）平行但不共面 （B ）直线垂直于平面 （C ）直线在平面上 （D ）两者斜交 解：直线的方向向量(3,1,4)s =-，平面π的法向量(6,2,8)n =-，由于314628-==-，即s 与n 的对应分量成比例，故//s n ，所以直线与平面垂直．选（B ）． 二、填空题1．（2009年，2分）通过点(0,0,0)，(1,0,1)和(2,1,0)三点的平面方程是 ． 解：设平面的一般方程为0Ax By Cz D +++=，将以上三点代入该方程可得，0020D A C D A B D =⎧⎪++=⎨⎪++=⎩ ， 即 02D A C B C =⎧⎪=-⎨⎪=⎩ ， 代入一般方程可得， 20Cx Cy Cz -++=，即平面方程为 20x y z --=．2．（2009年，2分）设a ，b 为向量，若2a =，3b =，a 与b 的夹角为3π，则a b += ．解：根据2()()a b a b a b+⋅+=+ 及cos3a b a b π⋅= 可得，222()()22cos 3a b a b a b a a a b b b a a b bπ+=+⋅+=⋅+⋅+⋅=++22122233192=+⋅⋅⋅+=，故 19a b +=．3．（2006年，2分）点(1,2,3)到平面236x y z -+=的距离是 ．解：根据点到平面的距离公式，点(1,2,3)到平面236x y z -+=的距离为2d ===．三、计算题1．（2010年，5分）求平行于y 轴且过点(1,2,3)P 和(3,2,1)Q -的平面方程．解：设平面的法向量为n ．因平面与y 轴平行，且沿y 轴正向的单位向量为(0,1,0)k =，故nk ⊥；又平面过点(1,2,3)P 和(3,2,1)Q -，且(2,0,4)PQ =-，故n PQ ⊥，所以n 可取为与 k PQ ⨯ 平行的向量．因 010(4,0,2)204i j kk PQ ⨯==---2(2,0,1)=-，故可取 (2,0,1)n =，又平面过点(1,2,3)P （也可用点(3,2,1)Q -），故平面方程为2(1)0(3)0x z -++-=，即250x z +-=．说明：此题也可用平面的一般方程来解． 2．（2009年，5分）求通过点1(3,5,1)M -和2(4,1,2)M 且垂直于平面8310x y z -+-=的平面方程．解：设所求平面的法向量为n ．因平面过点1(3,5,1)M -和2(4,1,2)M ，且12(1,6,1)M M =，故12n M M ⊥；又所求平面垂直于已知平面，且已知平面的法向量1(1,8,3)n =-，故1n n ⊥．所以n 可取为与 121M M n ⨯ 平行的向量．因121161(26,2,14)2(13,1,7)183i j kM M n ⨯==--=---，故可取(13,1,7)n=--，又平面过点1(3,5,1)M -，故所求平面的方程为13(3)(5)7(1)0x y z --+--=，即 137370x y z ---=．说明：此题也可用平面的一般方程来解．。
第七章 空间解析几何与向量代数§7.1 空间直角坐标系§7.2 向量及其加减法、向量与数的乘法一、判断题。
1． 点（-1，-2，-3）是在第八卦限。
（ ） 2． 任何向量都有确定的方向。
（ ） 3． 任二向量b a ,=.则a =b 同向。
( ) 4． 若二向量b a ,+,则b a ,同向。
（ ）5． 若二向量b a ,满足关系b a -=a +b，则b a ,反向。
（ ）6． 若ca b a +=+,则c b =( ) 7． 向量ba ,满足=，则ba ,同向。
（ ） 二、填空题。
1． 点（2，1，-3）关于坐标原点对称的点是2． 点（4，3，-5）在 坐标面上的投影点是M （0，3，-5） 3． 点（5，-3，2）关于 的对称点是M （5，-3，-2）。
4． 设向量a 与b 有共同的始点，则与b a ,共面且平分a 与b 的夹角的向量为 5． 已知向量a 与b 方向相反，且||2||a b =，则b 由a 表示为b = 。
6．设b a ,有共同的始点，则以b a ,为邻边的平行四边形的两条对角线的向量分别为 。
三、选择题。
1．点（4，-3，5）到oy 轴的距离为 （A ）2225)3(4+-+ （B ）225)3(+-（C ）22)3(4-+ （D ）2254+ 2．已知梯形OABC 、CB //OA 且21a ，OC =b ，则AB = （A ）21b a - （B ）b a 21- （C ）a b -21 （D ）a b 21-3．设有非零向量b a ,，若a ⊥ b ，则必有（A+（B+-（C+<-（D+>-三、试证明以三点A（4，1，9）、B（10，-1，6）、C（2，4，3）为顶点的三角形为等腰直角三角形。
四、在yoz平面上求与三个已知点A（3，1，2）、B（4，-2，-2）、C（0，5，1）等距离的点D。
六、用向量方法证明：三角形两边中点的连线平行与第三边，且长度为第三边的一半。
§7.3 向量的坐标一、判断题1．若一向量在另一向量上的投影为零，则此二向量共线。
( ） 2．零向量在任一轴上投影为零。
（ ） 3．设向量a 的方向角α=0,则a 必垂直于yoz 面。
（ ） 4．若α、β、γ是向量a 的方向角，则{cos α,cos β,cos γ}是单位向量。
（ ） 5．若a ={z y x a a a ,,}，则平行于向量a 的单位向量为||a x ，||a a ||a z }。
（ ）二、填空题1，a 与轴l 的夹角为6π，则al prj =2.已知向量a ={4，-4，7}的终点坐标为（2，-1，7），则a 的始点坐标为 3．设三角形的三个顶点A （2，-1，4）、B （3，2，-6）、C （-5，0，2），则AB 边的中点坐标为 ，∆ABC 的重心坐标为 。
4．已知平行四边形ABCD 的两个顶点A （2，-3，-5）、B （-1，3，2）。
以及它的对角线交点E （4，-1，7），则顶点C 的坐标为 ，则顶点D 的坐标为 。
5．设向量a 与坐标轴正向的夹角为α、β、γ，且已知α =60，β=120。
则γ= 6．设a 的方向角为α、β、γ，满足cos α=1时，a 垂直于 坐标面。
三、设A （4，2 ，1）、B （3，0，2），求AB 的方向余弦及与AB 反向的单位向量。
五、已知OA ={2，-3，6}，OB ={-1，2，-2}。
OD 为AOB ∠的平分线，在OD 上求一长度为342的向量。
五、设1F ={2，3，-5}2F ={-5，1，3}3F ={1，-2，4}。
这三个力作用于点P （1，1，1），它们的合力为F =PQ ，求：（1）点Q 的坐标。
（2）PQ 的大小。
（3）PQ 的方向余弦。
§ 7.4 数量积 向量积 混合积一、判断题1．222)(b a b a ⋅=⋅ （ ） 2．a（b a ⋅）=2a b⋅ （ ） 3．若a ⨯b=c a ⨯且0≠a ，则c b=。
（ ） 4．若b a==1，则b a⨯=1 （ ）5+=222b b a a +⋅+（ ） 6．a b b a⨯=⨯ （ ）7．[c b a⋅⋅]=][a c b ⋅⋅ （ ） 8．当a=3b 时，[c b a ⋅⋅ ]=0 （ ） 9．若c b a 、、满足a c b c b a ⨯=⨯=,，则c b a、、两两垂直。
（ ） 10．设非零向量b a,的方向角分别为111,,γβα和222,,γβα则cos b a ,(∠=212121cos cos cos cos cos cos γγββαα++ （ ） 二、填空题1．设)(b a ∧=3π，,8,5==b a 则b a-= 。
2．若24,19,13=+==b a b a 。
则b a-= 。
3．若32)(π=∧b a，且2,1==b a。
则b a ⨯= 。
4．已知72,26,3=⨯==b a b a，则b a ⋅= 。
5．三向量c b a ,,的混合积],,[c b a的几何意义是 。
6．设}1,2,2{},4,3,4{=-=b a，则Prj a b = 。
7．设}4,6,4{},2,3,2{--=-=b a，则)(b a ∧= 。
8．设b a ,为不共线向量，则当λ= 时。
b a P5+=λ与b a Q -=3共线。
三、选择题1．设空间三点的坐标分别为M （1，-3，4）、N （-2，1，-1）、P （-3，-1，1）。
则MNP ∠=（A ）、π （B ）、43π （C ）、2π （D ）、4π2．下列结论正确的是（A ）、2a = （B ）、若0=⋅b a 则必0 =a 或0=b（C ）、c a b a c b a -=-)( （D ）、若0 ≠a ，且c a b a =则c b = 3．设}.4,4,1{},2,3,{-==b x a 若b a//，则（A ）、x=0.5 y=6 (B)、x=-0.5 y=-6 (C)、x=1 y=-7 (D)、x=-1 y=-3四、设}1,3,1{1},1,1,2{-=-=b a ，求与b a、均垂直的单位向量。
五、设向量}2,1,2{}3,2,1{}1,3,2{=-=-=c b a 、、,向量d 与b a,均垂直，且在向量.14d c，求向量上的投影是六、应用向量证明：当、332211b a b a b a ==时，2332211232221232221)())((b a b a b a b b b a a a ++=++++七、设AD 为∆ABC 中BC 边上的高，记..a C B c A B==证明：c a c a SABD⨯⋅=∆§7.5 曲面及其方程一、填空题1．设点P （1，-1，a ）在曲面x 2+y 2+z 2-2x+4y=0上，则a= .2．以原点为球心，且过点Ｐ（１，１，１）的球面方程是 。
３．设球面的方程为x 2+y 2+z 2-2x-4y+2z=0，则该球面的球心坐标是 ，球面的 半径 为 。
４．将zox 面上的抛物线z 2=5x,绕ox 轴旋转而成的曲面方程是 。
５．圆锥为x 2+y 2=3z 2的半顶角α＝ 。
６．方程y 2=z 表示的曲面是曲线平行与 轴的 柱面。
７．方程y=x+1在平面解析几何中表示 。
而在空间解析几何中表示 。
二、选择题１．设球面的方程是x 2+y 2+z 2+Ｄx+Ey+Fz+G=0,若该球面与三个坐标系都相切，则方程 的系数应满足条件 。
（Ａ）、Ｄ＝Ｅ＝Ｆ＝０ （Ｂ）、Ｄ２+Ｅ２+Ｆ２＝６Ｇ（Ｃ）、Ｄ２+Ｅ２+Ｆ２+６Ｇ＝０ （Ｄ）Ｇ＝０２．XOZ 坐标面上的直线x=z-1 绕oz 轴旋转而成的圆锥面的方程是 。
（Ａ）x 2+y 2＝z-1 （Ｂ）2z ＝x 2+y 2+１ (Ｃ）2)1(-z = x 2+y 2 ( D )2)1(+x =y 2+z 2 3．方程x=2在空间表示 。
（Ａ）、ＹＯＺ坐标面。
（Ｂ）、一个点。
（Ｃ）、一条直线。
（Ｄ）、与ＹＯＺ面平行的平面。
4．下列方程中 表示母线平行与oy 轴的双曲柱面。
（Ａ） x 2－y 2＝１ （Ｂ） x 2 +z 2＝１ （Ｃ） x 2+z=1 (D) xz=1二、已知两点Ａ（５，４，０）、Ｂ（－４，３，４）=，求点Ｐ的轨迹方程。
四、说明下列旋转曲面是怎样形成的。
１．Ｚ＝２（ x 2+y 2） 2. 4x 2+9y 2+9z 2=36五．画出下列各曲面的图形。
１． Y 2=2px (p>0) 2．由 x+y=1 x 2+y 2=1和z=0所围立体的表面。
§７.６ 空间曲线及其方程一、填空题 １．方程组{1532+=-=x y x y 在平面解析几何中表示 ，在空间解析几何表示 。
２．曲面x 2+y 2-92z =0与平面z=3的交线圆的方程是 ，其圆心坐标是 ，圆的半径为 。
３．曲线{1122222)1()1(=+=++--y x z y x 在ＹＯＺ面上的投影曲线为 。
４．螺旋线x=acos θ,y=asin θ,z=b θ在ＹＯＺ面上的投影曲线为 。
５．上半锥面Ｚ＝22y x +（０1≤≤z ）在ＸＯＹ面上的投影为 ，在ＸＯＺ面上的投影为 ，在ＹＯＺ面上的投影为 。
6．曲线⎪⎩⎪⎨⎧+==+=1212t z t y t x 的一般式方程为 。
二、选择题 １．方程{19422=+=yx zy 在空间解析几何中表示 。
（Ａ）、椭圆柱面 （Ｂ）、椭圆曲线 （Ｃ）、两个平行平面 （Ｄ）、两条平行直线 ２．已知曲线{2222=++=++z y x az y x 在ＹＯＺ坐标面上的投影曲线为{122=++=z y yz x ，则a ＝ 。
（Ａ）、－１ （Ｂ）、０ （Ｃ）、１ （Ｄ）、２ ４．参数方程⎪⎩⎪⎨⎧===θθθb z a y a x sin cos 的一般方程是 。
（Ａ）、x 2+y 2=a 2(B)、x=acos b z (C)、y=asin b z (D)、{cos sin b za x bz a y == 三、化曲线{9222=++=z y x xy 为参数方程。
五．画出下列曲线在第一卦限内的图形。
１．{12==x y ２。
{222222ay x az x =+=+§７.７ 平面及其方程一、填空题１．过点Ｍ（３，０，１）且与平面3x-7y+5z-12=0平行的平面方程 。
２．三平面x+3y+z=1,2x-y-z=0,-x+2y+2z=3的交点坐标是 。
３．过点（２，－５，３）且平行与ＸＯＺ平面的平面方程是 。
４．过点Ｍ１（４，０，－２）和Ｍ２（５，１，７）且平行于ＯＸ轴的平面方程是 。
５．点Ｐ（１，２，１）到平面x+2y+2z-10=0的距离是 。
