专题二 第8讲 三角函数中的范围、最值问题

第8讲 三角函数中的范围、最值问题

以三角函数为背景的范围与最值问题是高考的热点，对问题的准确理解和灵活转化是解题的关键．

例1 (1)若函数y＝sin2x＋acos x＋58a－32在0，π2上的最大值是1，则实数a的值为________．

答案 32

解析 y＝1－cos2x＋acos x＋58a－32

＝－cos x－a22＋a24＋58a－12.

∵0≤x≤π2，∴0≤cos x≤1.

①若a2>1，即a>2，则当cos x＝1时，

ymax＝a＋58a－32＝1⇒a＝2013<2(舍去)；

②若0≤a2≤1，即0≤a≤2，

则当cos x＝a2时，ymax＝a24＋58a－12＝1，

∴a＝32或a＝－4<0(舍去)；

③若a2<0，即a<0，则当cos x＝0时，

ymax＝58a－12＝1⇒a＝125>0(舍去)．

综上可得，a＝32.

(2)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若3acos C＋b＝0，则tan B的最大值是________．

答案 34

解析 在△ABC中，因为3acos C＋b＝0，

所以C为钝角，

由正弦定理得3sin Acos C＋sin(A＋C)＝0， 3sin Acos C＋sin Acos C＋cos Asin C＝0，

所以4sin Acos C＝－cos A·sin C，

即tan C＝－4tan A.

因为tan A>0，

所以tan B＝－tan(A＋C)＝－tan A＋tan C1－tan Atan C

＝tan A＋tan Ctan Atan C－1＝－3tan A－4tan2A－1＝34tan A＋1tan A

≤324＝34，

当且仅当tan A＝12时取等号，故tan B的最大值是34.

例2 (1)(2020·烟台模拟)将函数f(x)＝cos x的图象向右平移2π3个单位长度，再将各点的横坐标变为原来的1ω(ω>0)，得到函数g(x)的图象，若g(x)在0，π2上的值域为－12，1，则ω的取值范围为( )

A.43，83 B.13，53 C.43，＋∞ D.83，＋∞

答案 A

解析 f(x)＝cos x向右平移2π3个单位长度，得到y＝cosx－2π3的图象，再将各点横坐标变为原来的1ω(ω>0)得g(x)＝cosωx－2π3，

当x∈0，π2时，ωx－2π3∈－2π3，ωπ2－2π3，

又此时g(x)的值域为－12，1，

∴0≤ωπ2－2π3≤2π3，∴43≤ω≤83.

(2)若将函数f(x)＝sin2x＋π4的图象向右平移φ个单位长度，所得图象关于y轴对称，则φ的最小正值是________．

答案 3π8 解析 方法一 将f(x)＝sin2x＋π4的图象向右平移φ个单位长度，得到函数g(x)＝sin2x－2φ＋π4的图象，该图象关于y轴对称，即g(x)为偶函数，因此π4－2φ＝kπ＋π2，k∈Z，所以φ＝－kπ2－π8(k∈Z)，故当k＝－1时，φ的最小正值为3π8.

方法二 将f(x)＝sin2x＋π4的图象向右平移φ个单位长度，得到函数g(x)＝sin2x－2φ＋π4的图象，令2x－2φ＋π4＝kπ＋π2，k∈Z，得x＝kπ2＋π8＋φ(k∈Z)，此即为g(x)的对称轴方程，

又g(x)的图象关于y轴对称，所以有kπ2＋π8＋φ＝0，k∈Z，于是φ＝－kπ2－π8(k∈Z)，故当k＝－1时，φ取最小正值3π8.

(1)求解三角函数的范围或最值的关键在于根据题目条件和函数形式选择适当的工具：三角函数的有界性，基本不等式，二次函数等．

(2)求解和三角函数性质有关的范围、最值问题，要结合三角函数的图象．

1．已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω>0)的图象关于直线x＝π3对称，且f π12＝0，则ω的最小值为( )

A．2

B．4 C．6 D．8

答案 A

解析 函数f(x)的周期T≤4π3－π12＝π，则2πω≤π，解得ω≥2，故ω的最小值为2.

2．若函数f(x)＝2sin x＋cos x在[0，α]上是增函数，则当α取最大值时，sin 2α的值等于( )

A.45 B.35 C.25 D.215

答案 A

解析 f(x)＝5sin(x＋φ)，其中tan φ＝12，且φ∈0，π2，由－π2＋2kπ≤x＋φ≤π2＋2kπ，k∈Z，得－π2－φ＋2kπ≤x≤π2－φ＋2kπ，k∈Z.当k＝0时，增区间为－π2－φ，π2－φ，所以αmax＝π2－φ，所以当α取最大值时，sin 2α＝sin 2π2－φ＝sin 2φ＝2sin φcos φsin2φ＋cos2φ＝2tan φtan2φ＋1＝45. 3．已知函数f(x)＝2sinωx＋π6中x在任意的15个单位长度的距离内能同时取得最大值和最小值，那么正实数ω的取值范围是________．

答案 [10π，＋∞)

解析 由题意得T＝2πω≤15，∴ω≥10π，

∵ω>0，∴ω≥10π.

4．已知函数f(x)＝sinωx＋π3(ω>0)，若f(x)在0，2π3上恰有两个零点，且在－π4，π24上单调递增，则ω的取值范围是________．

答案 52，103

解析 令ωx＋π3＝kπ，k∈Z，

得x＝3kπ－π3ω，k∈Z，

∴f(x)的第2个、第3个正零点分别为5π3ω，8π3ω，

∴ 5π3ω≤2π3，8π3ω>2π3，解得52≤ω<4，

令－π2＋2kπ≤ωx＋π3≤π2＋2kπ，k∈Z，

∴－5π6ω＋2kπω≤x≤π6ω＋2kπω，k∈Z，

令k＝0，f(x)在－5π6ω，π6ω上单调递增，

∴－π4，π24⊆－5π6ω，π6ω，

∴ －5π6ω≤－π4，π6ω≥π24，ω>0⇒0<ω≤103，

综上得ω的取值范围是52≤ω≤103.