2015年一轮复习导数在研究函数中的应用内容明细内容要求层次了解理解掌握导数在研究函数中的应用利用导数研究函数的单调性（其中多项式函数不超过三次）√函数的极值、最值（其中多项式函数不超过三次）√ 利用导数解决某些实际问题√一、利用导数研究函数的单调性1．函数()y f x =在区间()a b ，内可导 （1）如果在()a b ，内，'()0f x >，则()f x 在此区间是增函数，()a b ，为()f x 的单调增区间． （2）如果在()a b ，内，'()0f x <，则()f x 在此区间是减函数，()a b ，为()f x 的单调减区间． （3）如果在()a b ，内，'()0f x =恒成立，则()f x 在此区间是常函数，不具有单调性． 小贴士：单调区间是指单调增区间或单调减区间． 2．利用导数研究函数单调性的基本步骤（1）确定函数的定义域；（2）求导数'()f x ，并对导数进行整理（常用方法：通分、因式分解）；（3）由'()0f x >（或0<）解出相应的x 的取值范围．当'()0f x >时，()f x 在相应的区间内是单调增函数；当'()0f x <时，()f x 在相应的区间内是单调减函数． 一般需要通过列表，写出函数的单调区间． 小贴士：①单调区间不能用“”连接，应用“，”隔开或用“和”连接．②“()f x 在区间()a b ，内单调递减”可转化为“在区间()a b ，内'()0f x …且不恒为0”或“区间()a b ，是()f x 减区间的子集”【例1】 ()f x 在区间()a b ，内可导，“'()0f x >”是“()f x 在区间()a b ，上单调递增”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件导数在研究函数中的应用 2015年高考怎么考自检自查必考点【例2】 ()f x 在区间()a b ，内可导，“'()0f x …”是“()f x 在区间()a b ，上单调递增”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【例3】 ()f x 在区间()a b ，内可导，'()f x 在()a b ，的任意子区间内都不恒等于0，“'()0f x …”是“()f x 在区间()a b ，上单调递增”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【例4】 设函数()()21x f x x e x =--，求函数()f x 的单调区间．【例5】 已知函数32()f x x ax x b =+++（a ，b 为常数）在R 上单调递增，则a 的取值范围是 ．【例6】 函数2()(2)e x f x x x =-的图像大致是（ ）DCBA yyyyxxxxOOOO【例7】 已知R 上可导函数()f x 的图像如图所示，则不等式2(23)()0x x f x '-->的解集为（ ）A ．(,2)(1,)-∞-+∞B ．(,2)(1,2)-∞-C ．(,1)(1,0)(2,)-∞--+∞ D ．(,1)(1,1)(3,)-∞--+∞-2-121Oyx二、利用导数研究函数的极值、最值1．已知函数()y f x =，设0x 是定义域内任一点，如果对0x 附近的所有点x ，都有0()()f x f x <，则称函数()f x 在点0x 处取极大值，记作0()y f x =极大．并把0x 称为函数()f x 的一个极大值点． 2．如果在0x 附近都有0()()f x f x >，则称函数()f x 在点0x 处取极小值，记作0()y f x =极小．并把0x 称为函数()f x 的一个极小值点．3．极大值与极小值统称为极值；极大值点与极小值点统称为极值点． 小贴士：极值点是个数，而不是个坐标． 4．求函数()y f x =的极值的方法： （1）求函数()f x 的定义域 （2）求导数()f x '；（3）求方程()0f x '=的所有实数根；（4）考察在每个根0x 附近，从左到右，导函数()f x '的符号如何变化．如果()f x '的符号由正变负，则0()f x 是极大值； 如果由负变正，则0()f x 是极小值．如果在()0f x '=的根0x x =的左右侧，()f x '的符号不变，则0()f x 不是极值．5．一般地，求函数()y f x =在[]a b ，上的最大值与最小值的步骤： （1）求出函数()y f x =在()a b ，内所有极值； （2）将函数()y f x =的各极值与端点处的函数值()f a ，()f b 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值． 6．最值与极值的区别与联系（1）极值只是对一点附近而言，是局部最值；而最值是对整个区间或是对所考察问题的整体而言； （2）最值和极值都不一定存在；（3）极值有可能是最值，但最值只要不在区间端点处取得，其必定是极值．【例8】 “0x 是()y f x =的极值点”是“0'()0f x =”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【例9】 函数()y f x =在0x x =处是可导的，“0x 是()y f x =的极值点”是“0'()0f x =”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【例10】 函数()y f x =在0x x =处是可导的，“0x 是()y f x =的极值点”是“0'()0f x =，且在0x 左侧与右侧，'()f x 的符号不同”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【例11】 函数()ln 2f x x x =-的极值点为_________．【例12】 函数()31f x ax x =++有极值的一个充分不必要条件是（ ）A ．0a <B ．0a >C ．1a <-D ．1a <【例13】 已知函数()ln f x x x =-，求函数()f x 的极值．【例14】 已知函数32()39f x x x x a =-+++．（Ⅰ）求)(x f 的单调减区间；（Ⅱ）若)(x f 在区间[22]-，上的最大值为20，求它在该区间上的最小值．三、利用导数解决某些实际问题1．生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题称为优化问题． 2．利用导数解决生活中优化问题的基本思路为（1）抽象出实际问题的数学模型，列出函数关系是()y f x =； （2）利用导数求出函数()y f x =的最值； （3）根据实际问题的意义给出答案．【例15】 如图，有一块半椭圆形钢板，其长半轴长为2r ，短半轴长为r ，计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底AB 是半椭圆的短轴，上底CD 的端点在椭圆上，记2CD x =，梯形面积为S ． （I ）求面积S 以x 为自变量的函数式，并写出其定义域； （II ）求面积S 的最大值．2rCDAB2r。
