历年高考真题(数学文化)

2024年普通高等学校招生全国统一考试 全国甲卷数学（文） 试卷养成良好的答题习惯，是决定成败的决定性因素之一。

做题前，要认真阅读题目要求、题干和选项，并对答案内容作出合理预测;答题时，切忌跟着感觉走，最好按照题目序号来做，不会的或存在疑问的，要做好标记，要善于发现，找到题目的题眼所在，规范答题，书写工整;答题完毕时，要认真检查，查漏补缺，纠正错误。

1.集合{1,2,3,4,5,9}A =，{1}B x x A =+∈∣，则A B =( ) A.{1，2，3，4}B.{1，2，3，4}C.{1，2，3，4}D.{1，2，3，4}2.设z =，则z z ⋅=( ) A.2B.2C.2D.23.若实数x ，y 满足约束条件（略），则5z x y =-的最小值为( ) A.5B.12C.2-D.72-4.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若91S =，37a a +=( ) A.2-B.73C.1D.295.甲、乙、丙、丁四人排成一列，丙不在排头，且甲或乙在排尾的概率是( ) A.14 B.13 C.12D.236.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左、右焦点分别为12(0,4)(0,4)F F -、，且经过点(6,4)P -，则双曲线C 的离心率是( )A.135B.137C.2D.37.曲线6()3f x x x =+在 (0,1)-处的切线与坐标轴围成的面积为( )A.16B.2 C.12D.28.函数()2()e e sin x x f x x x -=-+-的大致图像为( ) 9.已知cos cos sin ααα=-an 4πt α⎛⎫+= ⎪⎝⎭( )A.3B.1-C.3-D.1310.直线过圆心，直径11.已知m n 、是两条不同的直线，αβ、是两个不同的平面：①若m α⊥，n α⊥，则//m n ；②若m αβ=，//m n ，则//n β；③若//m α，//n α，m 与n 可能异面，也可能相交，也可能平行；④若m αβ=，n 与α和β所成的角相等，则m n ⊥，以上命题是真命题的是( )A.①③B.②③C.①②③D.①③④12.在ABC △中，内角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，若π3B =，294b ac =，则sin sin A C +=( )A.13B.13C.2D.1313.略14.函数()sin f x x x =，在[0,π]上的最大值是_______. 15.已知1a >，8115log log 42a a -=-，则a =_______. 16.曲线33y x x =-与2(1)y x a =--+在(0,)+∞上有两个不同的交点，则a 的取值范围为_______.17.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1233n n S a +=-.（1）求{}n a 的通项公式； （2）求数列{} n S 的通项公式. 18.题干略.19.如图，己知//AB CD ，//CD EF ，2AB DE EF CF ====，4CD =，10AD BC ==，23AE =，M 为CD 的中点.（1）证明：//EM 平面BCF ； （2）求点M 到AD E 的距离. 20.已知函数()(1)ln 1f x a x x =--+. （1）求()f x 的单调区间；（2）若2a ≤时，证明：当1x >时，1()e x f x -<恒成立.21.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的右焦点为F ，点3(1,)2M 在椭圆C 上，且MF x ⊥轴.（1）求椭圆C 的方程；（2）(4,0)P ，过P 的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，N 为FP 的中点，直线NB 与MF 交于Q ，证明：AQ y ⊥轴.22.[选修4-4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为cos 1ρρθ=+. （1）写出C 的直角坐标方程；（2）直线x ty t a =⎧⎨=+⎩（t 为参数）与曲线C 交于A 、B 两点，若||2AB =，求a 的值.23.[选修4-5：不等式选讲] 实数a ，b 满足3a b +≥. （1）证明：2222a b a b +>+； （2）证明：22226a b b a -+-≥.2024年普通高等学校招生全国统一考试 全国甲卷数学（文）答案1.答案：A解析：因为{}1,2,3,4,5,9A =，{1}{0,1,2,3,4,8}B x x A =+∈=∣，所以{1,2,}3,4A B =，故选A. 2.答案：D解析：因为z =，所以2z z ⋅=，故选D. 3.答案：D解析：将约束条件两两联立可得3个交点：(0,1)-、3,12⎛⎫ ⎪⎝⎭和1 3,2⎛⎫⎪⎝⎭，经检验都符合约束条件.代入目标函数可得：min 72z =-，故选D.4.答案：D解析：令0d =，则9371291,,99n n S a a a a ===+=，故选D.5.答案：B解析：甲、乙、丙、丁四人排成一列共有24种可能.丙不在排头，且甲或乙在排尾的共有8种可能，81243P ==，故选B. 6.答案：C解析：12212F F ce a PF PF ===-，故选C.7. 答案：A解析：因为563y x '=+，所以3k =，31y x =-，1111236S =⨯⨯=，故选A.8.答案：B解析：选B.9. 答案：B解析：因为cos cos sin ααα=-tan 1α=，tan 1tan 141tan πααα+⎛⎫+== ⎪-⎝⎭，故选B.10.答案：直径解析：直线过圆心，直径. 11. 答案：A解析：选A. 12.答案：C 解析：因为π3B =，294b ac =，所以241sin sin sin 93A C B ==.由余弦定理可得：22294b ac ac ac =+-=，即：22134a c ac +=，221313sin sin sin sin 412A C A C +==，所以2227(sin sin )sin sin 2sin sin 4A C A C A C +=++=，sin sin 2A C +=，故选C.13. 答案：略解析： 14.答案：2解析：π()sin 2sin 23f x x x x ⎛⎫==-≤ ⎪⎝⎭，当且仅当5π6x =时取等号.15. 答案：64解析：因为28211315log log log 4log 22a a a a -=-=-，所以()()22log 1log 60a a +-=，而1a >，故2log 6a =，64a =.16. 答案：(2,1)-解析：令323(1)x x x a -=--+，则323(1)a x x x =-+-，设32()3(1)x x x x ϕ=-+-，()(35)(1)x x x ϕ+'=-，()x ϕ在(1,)+∞上递增，在（0，1）上递减.因为曲线33y x x =-与2(1)y x a =--+在(0,)+∞上有两个不同的交点，(0)1ϕ=，(1)2ϕ=-，所以a 的取值范围为(2,1)-. 17.答案：见解析解析：（1）因为1233n n S a +=-，所以12233n n S a ++=-，两式相减可得：121233n n n a a a +++=-，即：2135n n a a ++=，所以等比数列{}n a 的公比53q =，又因为12123353S a a =-=-，所以11a =，153n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭.（2）因为1233n n S a +=-，所以()133511223nn n S a +⎡⎤⎛⎫=-=-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦.18.答案：见解析解析：（1）22150(70242630) 6.635965450100χ⨯-⨯=<⨯⨯⨯，没有99%的把握；（2）p p >+. 19.答案：见解析解析：（1）由题意：//EF CM ，EF CM =，而CF 平面ADO ，EM 平面ADO ，所以//EM 平面BCF ；（2）取DM 的中点O ，连结OA ，OE ，则OA DM ⊥，OE DM ⊥，3OA =，OE =而AE =，故OA OE ⊥，AOE S =△因为2DE =，AD =AD DE ⊥，AOE S △DM 设点M 到平面ADE 的距离为h ，所以1133M ADE ADE AOE V S h S DM -=⋅=⋅△△，h ==，故点M到ADE 的距离为5. 20.答案：见解析解析：（1）()(1)ln 1f x a x x =--+，1()ax f x x-=，0x >. 若0a ≤，()0f x <，()f x 的减区间为(0,)+∞，无增区间； 若0a >时，当10x a <<时，()0f x '<，当1x >时，()0f x '>，所以()f x 的减区间为10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，增区间为1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭；（2）因为2a ≤，所以当1x >时，111e ()e (1)ln 1e 2ln 1x x x f x a x x x x ----=--+-≥-++.令1()e 2ln 1x g x x x -=-++，则11()e 2x g x x -'=-+.令()()h x g x '=.则121()e x h x x-'=-在(1,)+∞上递增，()(1)0h x h ''>=，所以()()h x g x '=在(1,)+∞上递增，()(1)0g x g ''>=，故()g x 在(1,)+∞上递增，()(1)0g x g >=，即：当1x >时，1()e x f x -<恒成立.21.答案：见解析解析：（1）设椭圆C 的左焦点为1F ，则12F F =，3||2MF =.因为MF x ⊥轴，所以152MF =，12||4a MF MF =+=，解得：24a =，2213b a =-=，故椭圆C 的方程为：22143x y +=； （2）解法1：设()11,A x y ，()22,B x y ，AP PB λ=，则12124101x x y y λλλλ+⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩，即212144x x y y λλλ=+-⎧⎨=-⎩.又由()()22112222234123412x y x y λλλ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩可得：1212121234121111x x x x y y y y λλλλλλλλ+-+-⋅⋅+⋅=+-+-，结合上式可得：25230x λλ-+=.(4,0)P ，(1,0)F ，5,02N ⎛⎫⎪⎝⎭，则222122335252Q y y y y y x x λλλλ===-=--，故AQ y ⊥轴.解法2：设()11,A x y ，()22,B x y ，则121244y y x x =--，即：()1221214x y x y y y -=-，所以()()()2222222211*********21213444433y x y x y x y x y x y x y y y ⎛⎫-+=-=+-+ ⎪⎝⎭()()()()212121122144y y y y y y x y x y =-+=-+，即：122121x y x y y y +=+，2112253x y y y =-.(4,0)P ，(1,0)F ，5,02N ⎛⎫⎪⎝⎭，则21212112335252Q y y y y y x y y x ===--，故AQ y ⊥轴.22.答案：（1）221y x =+ （2）34解析：（1）因为cos 1ρρθ=+，所以22(cos 1)ρρθ=+，故C 的直角坐标方程为：222(1)x y x +=+，即221y x =+；（2）将x ty t a =⎧⎨=+⎩代入221y x =+可得：222(1)10t a t a +-+-=，12||2AB t =-==，解得：34a =. 23.答案：见解析解析：（1）因为3a b +≥，所以22222()a b a b a b +≥+>+. （3）222222222222()a b b a a b b a a b a b -+-≥-+-=+-+=22222()()()()(1)6a b a b a b a b a b a b +-+≥+-+=++-≥.高考质量提升是一项系统工程，涉及到多个方面、各个维度，关键是要抓住重点、以点带面、全面突破，收到事半功倍的效果。

历年高考真题（数学文化）1. （2009 湖北· 理）古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状研究数，如他们研究过图 1 中的 1， 3， 6， 10，，由于这些数能表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图 2 中的 1， 4，9，16这样的数为正方形数，下列数中既是三角形数又是正方形数的是（）2. （ 2011 湖北·文）《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9 节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面 4 节的容积共 3 升，下面 3 节的容积共 4 升，则第 5 节的容积为A．1升B ．67升C ．47升D ．37升66 44 333. （ 2011 湖北·理）《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9 节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面 4 节的容积共 3 升，下面 3 节的容积共4 升，则第 5 节的容积为升.4.（ 2012? 湖北）我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径，“开立圆术”相当于给出了已知球的体积V，求其直径 d 的一个近似公式 d 3 16 = .. 判断，V .人们还用过一些类似的近似公式．根据π9下列近似公式中最精确的一个是（）A. d 3 16d 3 2V C. d 3300d 321 V B. V D. V 9 157 115. （ 2013? 湖北）在平面直角坐标系中，若点P（x， y）的坐标 x，y 均为整数，则称点P 为格点．若一个多边形的顶点全是格点，则称该多边形为格点多边形．格点多边形的面积记为 S，其内部的格点数记为 N，边界上的格点数记为 L．例如图中△ ABC是格点三角形，对应的S=1， N=0， L=4．（Ⅰ）图中格点四边形 DEFG对应的 S，N， L 分别是 ________；（Ⅱ）已知格点多边形的面积可表示为S aN bL c 其中a，b，c为常数．若某格点多边形对应的N=71， L=18，则 S=________（用数值作答）．6.（ 2014? 湖北）《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一，该术相当于给出了由圆锥的底面周长L 与高 h，计算其体积 V 的近似公式 V1 L2h，它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3，那么，近似公式236V L2h 相当于将圆锥体积公式中的π近似取为（）75A. 22B. 25C. 157D. 3557 8 50 1137.(2015湖北)我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米 1534 石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得 254 粒内夹谷28 粒，则这批米内夹谷约为PA． 134 石B． 169 石C． 338石D． 1365 石F E8. （ 2015 湖北）《九章算术》中，将底面为长方形且有一D CA B第19题图条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．如图，在阳马 P ABCD 中，侧棱 PD底面 ABCD ，且 PD CD ，过棱 PC 的中点 E ，作 EFPB 交 PB 于点 F ，连接 DE, DF, BD, BE.（Ⅰ）证明： PB平面 DEF ．试判断四面体 DBEF 是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，说明理由；（Ⅱ）若面 DEF 与面 ABCD 所成二面角的大小为π，3求 DC的值． BC9. （ 2004 上海春季卷）如图，在由二项式系数所构成的杨辉三角形中，第_____行中从左至右第 14 与第 15 个数的比为2 : 3.10. （ 2013 上海）在 xOy 平面上，将两个半圆弧 ( x － 1) 2＋ y 2＝ 1( x ≥ 1) 和( x － 3) 2＋ y 2＝1( x ≥ 3) 、两条直线 y ＝ 1 和 y ＝－ 1 围成的封闭图形记为，如图中阴影部分．记 D 绕 y 轴旋转一D周而成的几何体为 Ω. 过 (0 ， y )(| y | ≤ 1) 作 Ω的水平截面，所得截面面积为 4 1 y 2 ＋ 8π. 试利用祖暅原理、一个平放的圆柱和一个长方体，得出Ω的体积值为 ______．11. （ 2009 福建） . 五位同学围成一圈依序循环报数，规定：①第一位同学首次报出的数为1，第二位同学首次报出的数也为 1，之后每位同学所报出的数都是前两位同学所报出的数之和；②若报出的数为 3 的倍数，则报该数的同学需拍手一次已知甲同学第一个报数，当五位同学依序循环报到第100 个数时，甲同学拍手的总次数为________.12. （ 2003 全国卷·理）如图，一个地区分为 5 个行政区域，现给地图着色，要求相邻地区不得使用同一颜色，现有 4 种颜色可供选择，则不同的着色方法共有种（以数字作答）13. （ 2015 全国Ⅰ卷）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问：积及为米几何“其意思为：在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8 尺，米堆的高为 5 尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少已知 1 斛米的体积约为立方尺，圆周率约为3，估算出堆放斛的米约有（）A．14 斛B． 22 斛C．36 斛D．66 斛14.（2015 全国Ⅱ卷）下边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入a,b 分别为14，18，则输出的 a =（）A． 0B．2C． 4D．1415.（2016 全国Ⅱ卷）中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，右图是实现该算法的程序框图. 执行该程序框图，若输入的x=2，n=2，依次输入的 a 为 2， 2， 5，则输出的s=（A）7（B）12（C）17（D）34。

专题12 解析几何【2021年】1．（2021年全国高考乙卷数学（文）试题）设B 是椭圆22:15x C y +=的上顶点，点P 在C 上，则PB 的最大值为（ ）A ．52B C D ．22．（2021年全国高考乙卷数学（理）试题）设B 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的上顶点，若C 上的任意一点P 都满足||2PB b ≤，则C 的离心率的取值范围是（ ）A ．2⎫⎪⎪⎣⎭B ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．0,2⎛ ⎝⎦D ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦3．（2021年全国高考甲卷数学（文）试题）点()3,0到双曲线221169x y -=的一条渐近线的距离为（ ） A ．95B ．85C ．65D ．454．（2021年全国新高考Ⅰ卷数学试题）已知1F ，2F 是椭圆C ：22194x y +=的两个焦点，点M 在C 上，则12MF MF ⋅的最大值为（ ）A ．13B ．12C ．9D ．6二、多选题5．（2021年全国新高考Ⅰ卷数学试题）已知点P 在圆()()225516x y -+-=上，点()4,0A 、()0,2B ，则（ ）A ．点P 到直线AB 的距离小于10 B ．点P 到直线AB 的距离大于2C ．当PBA ∠最小时，PB =D ．当PBA ∠最大时，PB =三、填空题6．（2021年全国高考乙卷数学（文）试题）双曲线22145x y -=的右焦点到直线280x y +-=的距离为________．7．（2021年全国高考乙卷数学（理）试题）已知双曲线22:1(0)x C y m m-=>0my +=，则C 的焦距为_________．8．（2021年全国高考甲卷数学（理）试题）已知12,F F 为椭圆C ：221164x y+=的两个焦点，P ，Q 为C上关于坐标原点对称的两点，且12PQ F F =，则四边形12PFQF 的面积为________． 9．（2021年全国新高考Ⅰ卷数学试题）已知O 为坐标原点，抛物线C ：22y px =(0p >)的焦点为F ，P为C 上一点，PF 与x 轴垂直，Q 为x 轴上一点，且PQ OP ⊥，若6FQ =，则C 的准线方程为______.四、解答题10．（2021年全国高考乙卷数学（文）试题）已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点F 到准线的距离为2．（1）求C 的方程;（2）已知O 为坐标原点，点P 在C 上，点Q 满足9PQ QF =，求直线OQ 斜率的最大值.11．（2021年全国高考乙卷数学（理）试题）已知抛物线()2:20C x py p =>的焦点为F ，且F 与圆22:(4)1M x y ++=上点的距离的最小值为4．（1）求p ；（2）若点P 在M 上，,PA PB 是C 的两条切线，,A B 是切点，求PAB △面积的最大值．12．（2021年全国高考甲卷数学（理）试题）抛物线C 的顶点为坐标原点O ．焦点在x 轴上，直线l ：1x =交C 于P ，Q 两点，且OP OQ ⊥．已知点()2,0M ，且M 与l 相切．（1）求C ，M 的方程；（2）设123,,A A A 是C 上的三个点，直线12A A ，13A A 均与M 相切．判断直线23A A 与M 的位置关系，并说明理由．13．（2021年全国新高考Ⅰ卷数学试题）在平面直角坐标系xOy 中，已知点()1F 、)2122F MF MF -=，，点M 的轨迹为C .（1）求C 的方程； （2）设点T 在直线12x =上，过T 的两条直线分别交C 于A 、B 两点和P ，Q 两点，且TA TB TP TQ ⋅=⋅，求直线AB 的斜率与直线PQ 的斜率之和.【2012年——2020年】1．（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））已知圆2260x y x +-=，过点（1，2）的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为（ ） A ．1 B ．2 C ．3D ．42．（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））设12,F F 是双曲线22:13y C x -=的两个焦点，O为坐标原点，点P 在C 上且||2OP =，则12PF F △的面积为（ ） A ．72B ．3C ．52D ．23．（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ））已知A 为抛物线C :y 2=2px （p >0）上一点，点A 到C 的焦点的距离为12，到y 轴的距离为9，则p =（ ） A ．2B ．3C ．6D ．94．（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ））已知ⅠM ：222220x y x y +---=，直线l ：220x y ++=，P 为l 上的动点，过点P 作ⅠM 的切线,PA PB ，切点为,A B ，当||||PM AB ⋅最小时，直线AB 的方程为（ ） A ．210x y --=B ．210x y +-=C ．210x y -+=D ．210x y ++=5．（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线230x y --=的距离为（ ）A B C D 6．（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））设O 为坐标原点，直线x a =与双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的两条渐近线分别交于,D E 两点，若ODE 的面积为8，则C 的焦距的最小值为（ ） A ．4B ．8C ．16D ．327．（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））在平面内，A ，B 是两个定点，C 是动点，若=1AC BC ⋅，则点C 的轨迹为（ ） A ．圆B ．椭圆C ．抛物线D ．直线8．（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ））设O 为坐标原点，直线2x =与抛物线C ：22(0)y px p =>交于D ，E 两点，若OD OE ⊥，则C 的焦点坐标为（ ）A ．1,04⎛⎫⎪⎝⎭B ．1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．(1,0)D ．(2,0)9．（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ））若直线l 与曲线y 和x 2+y 2=15都相切，则l 的方程为（ ） A ．y =2x +1B ．y =2x +12C ．y =12x +1 D ．y =12x +1210．（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ））设双曲线C ：22221x y a b-=（a >0，b >0）的左、右焦点分别为F 1，F 2P 是C 上一点，且F 1P ⅠF 2P ．若ⅠPF 1F 2的面积为4，则a =（ ） A ．1B ．2C ．4D ．811．（2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））双曲线C :22221(0,0)x y a b a b-=>>的 一条渐近线的倾斜角为130°，则C 的离心率为 A ．2sin40°B ．2cos40°C ．1sin50︒D ．1cos50︒12．（2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））已知椭圆C 的焦点为121,01,0F F -()，()，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点.若222AF F B =││││，1AB BF =││││，则C 的方程为13．（2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ））若抛物线y 2=2px （p >0）的焦点是椭圆2231x y pp+=的一个焦点，则p = A ．2 B ．3 C ．4D ．814．（2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ））设F 为双曲线C ：22221x y a b-=（a >0，b >0）的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆x 2+y 2=a 2交于P 、Q 两点．若|PQ |=|OF |，则C 的离心率为A BC ．2D 15．（2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））已知F 是双曲线22:145x y C 的一个焦点，点P 在C 上，O 为坐标原点，若=OP OF ，则OPF △的面积为A ．32B ．52C ．72D ．9216．（2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ））双曲线C ：2242x y -=1的右焦点为F ，点P 在C的一条渐近线上，O 为坐标原点，若=PO PF ，则ⅠPFO 的面积为A B C ． D ．17．（2018年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标I 卷））已知椭圆C ：2221(0)4x y a a +=>的一个焦点为(20)，，则C 的离心率为A ．13B ．12C ．2D ．318．（2018年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标I 卷））设抛物线C ：y 2=4x 的焦点为F ，过点（–2，0）且斜率为23的直线与C 交于M ，N 两点，则FM FN ⋅= A ．5B ．6C ．7D ．819．（2018年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标I 卷））已知双曲线C ：2213x y -=，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M 、N .若OMN 为直角三角形，则|MN |=A ．32B ．3C ．D ．420．（2018年全国普通高等学校招生统一考试理数（全国卷II ））双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率A ．y =B ．y =C ．y x =D ．y x = 21．（2018年全国普通高等学校招生统一考试文数（全国卷II ））已知1F ，2F 是椭圆C 的两个焦点，P 是C 上的一点，若12PF PF ⊥，且2160PF F ∠=︒，则C 的离心率为A ．1-B ．2C D 122．（2018年全国普通高等学校招生统一考试理数（全国卷II ））已知1F ，2F 是椭圆22221(0)x y C a b a b+=>>：的左，右焦点，A 是C 的左顶点，点P 在过A 12PF F △为等腰三角形，12120F F P ∠=︒，则C 的离心率为A ．23B ．12C ．13D ．1423．（2018年全国卷Ⅰ理数高考试题）直线20x y ++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆()2222x y -+=上，则ABP △面积的取值范围是A ．[]26，B ．[]48，C ．D ．⎡⎣24．（2018年全国卷Ⅰ文数高考试题）已知双曲线22221(00)x y C a b a b-=>>：，，则点(4,0)到C 的渐近线的距离为A B ．2C D ．25．（2018年全国卷Ⅰ理数高考试题）设1F ,2F 是双曲线2222:1x y C a b-=（）的左、右焦点，O是坐标原点．过2F 作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P ．若16PF OP =，则C 的离心率为A B C ．2D26．（2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标1卷））已知F 是双曲线C ：2213y x -=的右焦点，P 是C 上一点，且PF 与x 轴垂直，点A 的坐标是(1，3)，则APF 的面积为A ．13B ．1 2C ．2 3D ．3 227．（2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标1卷））（2017新课标全国卷Ⅰ文科）设A ，B 是椭圆C ：2213x y m+=长轴的两个端点，若C 上存在点M 满足ⅠAMB =120°，则m 的取值范围是A ．(0,1][9,)+∞B ．[9,)+∞C ．(0,1][4,)+∞D ．[4,)+∞28．（2017年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标1卷））已知F 为抛物线C ：y 2=4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A 、B 两点，直线l 2与C 交于D 、E 两点，则|AB |+|DE |的最小值为 A ．16B ．14C ．12D ．1029．（2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标2卷））若1a >，则双曲线2221x y a-=的离心率的取值范围是A ．)+∞B ．2)C ．D ．(1,2)30．（2017年全国普通高等学校招生统一考试）过抛物线C ：y 2＝4x 的焦点F C 于点M (M 在x 轴的上方)，l 为C 的准线，点N 在l 上且MN Ⅰl ，则M 到直线NF 的距离为（ ）A B ．C ．D ．31．（2017年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标2卷））若双曲线C:22221x y a b-=（0a >，0b >）的一条渐近线被圆()2224x y -+=所截得的弦长为2，则C 的离心率为A ．2B CD 32．（2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标3卷）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，则C 的离心率为A B ．3C ．3D ．1333．（2016年全国普通高等学校招生统一考试文科数学新课标Ⅰ卷））已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的一条渐近线方程为2y x =，且与椭圆221123x y +=有公共焦点.则C 的方程为（ ）A ．221810x y -=B ．22145x y -=C ．22154x y -=D ．22143x y -=34．（2016年全国普通高等学校招生统一考试）已知方程222213x y m n m n-=+-表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是A ．(–1,3)B ．C ．(0,3)D ．)35．（2016年全国普通高等学校招生统一考试）以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A 、B 两点，交C 的准线于D 、E 两点.已知|AB |=|DE |=C 的焦点到准线的距离为 A ．8B ．6C ．4D ．236．（）设F 为抛物线2:4C y x =的焦点，曲线()0ky k x=>与C 交于点P ，PF x ⊥轴，则k = A ．12B ．1C ．32D ．237．（2016年全国普通高等学校招生统一考试）圆2228130+--+=x y x y 的圆心到直线10ax y +-=的距离为1，则a =A ．43- B ．34-C D ．238．（（2016新课标全国Ⅰ理科）已知F 1，F 2是双曲线E ：22221x y a b-=的左，右焦点，点M 在E 上，M F 1与x 轴垂直，sin 2113MF F ∠= ,则E 的离心率为A B ．32CD ．239．（2016年全国普通高等学校招生统一考试）已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点，A ，B 分别为C 的左，右顶点.P 为C 上一点，且PF Ⅰx 轴.过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为 A ．13B ．12C ．23D ．3440．（2015年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标Ⅰ））已知椭圆E 的中心为坐标原点，离心率为12，E 的右焦点与抛物线2:8C y x =的焦点重合，,A B 是C 的准线与E 的两个交点，则AB = A ．3 B ．6C ．9D ．1241．（2015年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标Ⅰ））已知00(,)M x y 是双曲线C ：2212x y -=上的一点，1F ，2F 是C 的两个焦点，若120MF MF ⋅<，则0y 的取值范围是A ．(,)33- B ．(66-C ．(,33-D ．(,33-42．（2015年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标Ⅰ））已知A ，B 为双曲线E 的左，右顶点，点M 在E 上，∆ABM 为等腰三角形，且顶角为120°，则E 的离心率为A B ．2C D43．（2014年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标Ⅰ）已知双曲线的离心率为2，则A ．2B ．C ．D ．144．（2014年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标Ⅰ））已知抛物线C ：的焦点为,是C 上一点，，则A ．1B ．2C ．4D ．845．（2014年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标Ⅰ））已知抛物线C ：的焦点为F ，准线为，P 是上一点，Q 是直线PF 与C 得一个交点，若4FP FQ =，则A ．B ．C ．D ．46．（2014年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（全国Ⅰ卷））设F 为抛物线2:3C y x =的焦点，过F 且倾斜角为30的直线交C 于A ，B 两点，则AB =A B ．6 C ．12 D ．47．（2014年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（全国Ⅰ卷））设点()0,1M x ，若在圆22:+1O x y =上存在点N ，使得45OMN ∠=︒，则0x 的取值范围是（ ）A ．[]1,1- B ．11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．⎡⎣D ．22⎡-⎢⎣⎦48．（2014年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（全国Ⅰ卷））设F 为抛物线C:23y x =的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C 于A,B 两点，O 为坐标原点，则 ⅠOAB 的面积为A B C ．6332D ．9449．（2013年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标1卷））为坐标原点，为抛物线的焦点，为上一点，若，则的面积为 A ．B ．C ．D ．50．（2013年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标1卷）已知椭圆22x a＋22y b ＝1(a>b>0)的右焦点为F(3,0)，过点F 的直线交椭圆于A 、B 两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为A ．245x ＋236y ＝1B ．236x ＋227y ＝1C ．227x ＋227x ＝1D ．218y ＋218x ＝151．（2012年全国普通高等学校招生统一考试理科数学）设1F 、2F 是椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点，P 为直线32ax =上一点，21F PF ∆是底角为30的等腰三角形，则E 的离心率为 A ．12B ．23C ．34D ．45二、填空题52．（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ））已知F 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点，A 为C 的右顶点，B 为C 上的点，且BF 垂直于x 轴.若AB 的斜率为3，则C 的离心率为______________.53．（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））设双曲线C ：22221x y a b-= (a >0，b >0)的一条渐近线为y x ，则C 的离心率为_________．54．（2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ））已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点．若1F A AB =，120F B F B ⋅=，则C 的离心率为____________．55．（2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））设12F F ，为椭圆22:+13620x y C =的两个焦点，M为C 上一点且在第一象限.若12MF F △为等腰三角形，则M 的坐标为___________.56．（2018年全国卷Ⅰ理数高考试题）已知点()11M ，-和抛物线24C y x =：，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点．若90AMB ∠=︒，则k =________．57．（2017年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标1卷））已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的右顶点为A ，以A 为圆心，b 为半径作圆A ，圆A 与双曲线C 的一条渐近线于交M 、N 两点，若60MAN ∠=，则C 的离心率为__________．58．（2017年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标2卷））已知F 是抛物线C:28y x =的焦点，M 是C 上一点，F M 的延长线交y 轴于点N ．若M 为F N 的中点，则F N =____________．59．（2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标3卷））（2017新课标全国III 文科）双曲线22219x y a -=（a >0）的一条渐近线方程为35y x =，则a =______________．60．（2016年全国普通高等学校招生统一考试））设直线2y x a =+与圆C ：x 2+y 2-2ay -2=0相交于A ，B 两点，若AB =，则圆C 的面积为________61．（2016年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标3卷））已知直线l ：60x -+=与圆2212x y +=交于,A B 两点，过,A B 分别作l 的垂线与x 轴交于,C D 两点.则CD =_________.62．（2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（全国3卷））已知直线l ：30mx y m ++=与圆2212x y +=交于A ，B 两点，过A ，B 分别作l 的垂线与x 轴交于C ，D 两点，若||AB =，则||CD =__________．63．（2015年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标Ⅰ））已知F 是双曲线22:18y C x -=的右焦点，P 是C 左支上一点，(A ，当APF ∆周长最小时，该三角形的面积为 ．64．（2015年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标Ⅰ））一个圆经过椭圆221164x y +=的三个顶点，且圆心在x 轴的正半轴上，则该圆的标准方程为___________.65．（2014年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（全国Ⅰ卷带解析））设点M （0x ,1），若在圆O:221x y +=上存在点N ，使得ⅠOMN=45°，则0x 的取值范围是________.三、解答题66．（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））已知A 、B 分别为椭圆E ：2221x y a+=（a >1）的左、右顶点，G 为E 的上顶点，8AG GB ⋅=，P 为直线x =6上的动点，P A 与E 的另一交点为C ，PB 与E 的另一交点为D ． （1）求E 的方程； （2）证明：直线CD 过定点.67．（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））已知椭圆C 1：22221x y a b+=(a >b >0)的右焦点F 与抛物线C 2的焦点重合，C 1的中心与C 2的顶点重合．过F 且与x 轴垂直的直线交C 1于A ，B 两点，交C 2于C ，D 两点，且|CD |=43|AB |． （1）求C 1的离心率；（2）若C 1的四个顶点到C 2的准线距离之和为12，求C 1与C 2的标准方程．68．（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ））已知椭圆C 1：22221x y a b+=(a >b >0)的右焦点F 与抛物线C 2的焦点重合，C 1的中心与C 2的顶点重合.过F 且与x 轴垂直的直线交C 1于A ，B 两点，交C 2于C ，D 两点，且|CD |=43|AB |. （1）求C 1的离心率；（2）设M 是C 1与C 2的公共点，若|MF |=5，求C 1与C 2的标准方程.69．（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ））已知椭圆222:1(05)25x y C m m +=<<，A ，B 分别为C 的左、右顶点．（1）求C 的方程；（2）若点P 在C 上，点Q 在直线6x =上，且||||BP BQ =，BP BQ ⊥，求APQ 的面积．70．（2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））已知点A ，B 关于坐标原点O 对称，│AB │ =4，ⅠM 过点A ，B 且与直线x +2=0相切．（1）若A 在直线x +y =0上，求ⅠM 的半径．（2）是否存在定点P ，使得当A 运动时，│MA │－│MP │为定值？并说明理由．71．（2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ））已知抛物线C ：y 2=3x 的焦点为F ，斜率为32的直线l 与C 的交点为A ，B ，与x 轴的交点为P ．（1）若|AF |+|BF |=4，求l 的方程； （2）若3AP PB =，求|AB |．72．（2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））已知12,F F 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的两个焦点，P 为C 上一点，O 为坐标原点．（1）若2POF 为等边三角形，求C 的离心率；（2)如果存在点P ，使得12PF PF ⊥，且12F PF △的面积等于16，求b 的值和a 的取值范围. 73．（2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ））已知点A (−2,0)，B (2,0)，动点M (x ,y )满足直线AM 与BM 的斜率之积为−12.记M 的轨迹为曲线C . （1）求C 的方程，并说明C 是什么曲线；（2）过坐标原点的直线交C 于P ，Q 两点，点P 在第一象限，PE Ⅰx 轴，垂足为E ，连结QE 并延长交C 于点G .（i ）证明：PQG 是直角三角形；（ii ）求PQG 面积的最大值.74．（2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ））已知曲线C ：y =22x ，D 为直线y =12-上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别为A ，B . （1）证明：直线AB 过定点： （2）若以E (0，52)为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求四边形ADBE 的面积.75．（2018年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标I 卷））设抛物线22C y x =：，点()20A ，，()20B -，，过点A 的直线l 与C 交于M ，N 两点．（1）当l 与x 轴垂直时，求直线BM 的方程； （2）证明：ABM ABN ∠=∠．76．（2018年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标I 卷））设椭圆22:12x C y +=的右焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于,A B 两点，点M 的坐标为(2,0). （1）当l 与x 轴垂直时，求直线AM 的方程； （2）设O 为坐标原点，证明：OMA OMB ∠=∠.77．（2018年全国普通高等学校招生统一考试理数（全国卷II ））设抛物线24C y x =：的焦点为F ，过F 且斜率为(0)k k >的直线l 与C 交于A ，B 两点，||8AB =．（1）求l 的方程；（2）求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程．78．（2018年全国卷Ⅰ文数高考试题）已知斜率为k 的直线l 与椭圆22143x y C +=：交于A ，B 两点．线段AB的中点为(1,)(0)M m m >． （1）证明：12k <-； （2）设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点，且0FP FA FB ++=．证明：2FP FA FB =+．79．（2018年全国卷Ⅰ理数高考试题）已知斜率为k 的直线l 与椭圆22143x y C +=：交于A ，B 两点，线段AB的中点为()()10M m m >，． （1）证明：12k <-； （2）设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点,且0FP FA FB ++=．证明：FA ，FP ，FB 成等差数列，并求该数列的公差．80．（2017年全国卷文数高考试题）设A ，B 为曲线C ：24x y =上两点，A 与B 的横坐标之和为4.(1)求直线AB 的斜率；(2)设M 为曲线C 上一点，C 在M 处的切线与直线AB 平行，且AM ⅠBM ，求直线AB 的方程．81．（2017年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标1卷））已知椭圆C ：2222=1x y a b+（a>b>0），四点P 1（1,1），P 2（0,1），P 3（–1，P 4（1C 上. （Ⅰ）求C 的方程；（Ⅰ）设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ，B 两点.若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为–1，证明：l 过定点.82．（2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标2卷））设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C 22:12x y +=上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足2NP NM =.（1）求点P 的轨迹方程；（2）设点Q 在直线3x =-上，且1OP PQ ⋅=.证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F .83．（2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标3卷））在直角坐标系xOy 中，曲线22y x mx =+-与x 轴交于A ，B 两点，点C 的坐标为(0,1).当m 变化时，解答下列问题：（1）能否出现AC ⅠBC 的情况？说明理由；（2）证明过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值.84．（2017年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标3卷））已知抛物线C ：y 2=2x ，过点（2,0）的直线l 交C 于A ,B 两点，圆M 是以线段AB 为直径的圆. （1）证明：坐标原点O 在圆M 上；（2）设圆M 过点()4,2P -，求直线l 与圆M 的方程.85．（2016新课标全国卷Ⅰ文科）在直角坐标系xOy 中，直线l :y =t (t ≠0)交y 轴于点M ，交抛物线C ：22(0)y px p =>于点P ，M 关于点P 的对称点为N ，连结ON 并延长交C 于点H .（Ⅰ）求OH ON；（Ⅰ）除H 以外，直线MH 与C 是否有其它公共点？说明理由.86．（2016新课标全国卷Ⅰ）设圆222150x y x ++-=的圆心为A ，直线l 过点B （1,0）且与x 轴不重合，l 交圆A 于C ，D 两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E . （I ）证明EA EB +为定值，并写出点E 的轨迹方程；（II ）设点E 的轨迹为曲线C 1，直线l 交C 1于M ,N 两点，过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于P ,Q 两点，求四边形MPNQ 面积的取值范围.87．（2016新课标全国卷）已知A 是椭圆E ：22143x y +=的左顶点，斜率为()0k k >的直线交E 于A ，M两点，点N 在E 上，MA NA ⊥.（Ⅰ）当AM AN =时，求AMN 的面积（Ⅰ） 当2AM AN =2k <<.88．（2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标2卷））已知椭圆E:2213x y t +=的焦点在x轴上，A 是E 的左顶点，斜率为k （k > 0）的直线交E 于A ，M 两点，点N 在E 上，MAⅠNA ． （Ⅰ）当t=4，AM AN =时，求ⅠAMN 的面积； （Ⅰ）当2AM AN =时，求k 的取值范围.89．（2016年全国普通高等学校招生统一考试）已知抛物线C ：22y x =的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线12,l l 分别交C 于A B ，两点，交C 的准线于P Q ，两点． （Ⅰ）若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明//AR FQ ； （Ⅰ）若PQF ∆的面积是ABF ∆的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程.90．（2015年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标Ⅰ））已知过点A (0，1)且斜率为k 的直线l 与圆C ：(x －2)2＋(y －3)2＝1交于M ，N 两点． (1)求k 的取值范围；(2)若OM ON ⋅＝12，其中O 为坐标原点，求|MN |.91．（2015年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标Ⅰ））在直角坐标系xoy 中，曲线C ：y=24x 与直线(),0y kx a a =+>交与M,N 两点，（Ⅰ）当k =0时，分别求C 在点M 和N 处的切线方程；（Ⅰ）y 轴上是否存在点P ，使得当k 变动时，总有ⅠOPM =ⅠOPN ？说明理由.92．（2015年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标Ⅰ））已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为2，点在C 上 （1）求C 的方程（2）直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点,A B ，线段AB 的中点为M .证明：直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值.93．（2015年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标Ⅰ））已知椭圆222:9(0)C x y m m +=>,直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M ． （Ⅰ）证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值； （Ⅰ）若l 过点(,)3mm ，延长线段OM 与C 交于点P ，四边形OAPB 能否为平行四边形？若能，求此时l 的斜率，若不能，说明理由．94．（2014年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标Ⅰ））已知点，圆:，过点的动直线与圆交于两点，线段的中点为，为坐标原点.(1)求的轨迹方程；(2)当时，求的方程及的面积95．（2014年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标Ⅰ））已知点A (0，－2)，椭圆E ：22221x y a b+=(a >b >0)F 是椭圆E 的右焦点，直线AF ，O 为坐标原点.(1)求E 的方程；(2)设过点A 的动直线l 与E 相交于P ，Q 两点.当ⅠOPQ 的面积最大时，求l 的方程.96．（2014年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（全国Ⅰ卷））设12,F F 分别是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左右焦点，M 是C 上一点且2MF 与x 轴垂直，直线1MF 与C 的另一个交点为N ． （1）若直线MN 的斜率为34，求C 的离心率； （2）若直线MN 在y 轴上的截距为2，且15MN F N =，求,a b ．97．（2013年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标1卷））(本小题满分12分)已知圆()22:11M x y ++=，圆()22:19N x y -+=，动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线C ．（Ⅰ）求C 的方程；（Ⅰ）l 是与圆P ，圆M 都相切的一条直线，l 与曲线C 交于A ，B 两点，当圆P 的半径最长时，求AB ． 98．（2013年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标1卷））已知圆M ：(x ＋1)2＋y 2=1，圆N ：(x －1)2＋y 2=9，动圆P 与圆M 外切并与圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线 C （1）求C 的方程；（2）l 是与圆P ，圆M 都相切的一条直线，l 与曲线C 交于A ，B 两点，当圆P 的半径最长时，求|AB|.99．（2012年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（课标卷））设抛物线C ：22x py =（p ＞0）的焦点为F ，准线为l ，A 为C 上一点，已知以F 为圆心，FA 为半径的圆F 交l 于B ,D 两点.(Ⅰ)若090BFD ∠=,ABD ∆的面积为p 的值及圆F 的方程；(Ⅰ)若A ，B ，F 三点在同一条直线m 上，直线n 与m 平行，且n 与C 只有一个公共点，求坐标原点到m ，n 距离的比值.100．（2012年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（课标卷））设抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点为F ，准线为,l A C ，已知以F 为圆心，FA 为半径的圆F 交l 于,B D 两点；（1）若90,BFD ABD ∠=︒△的面积为p 的值及圆F 的方程；（2）若,,A B F 三点在同一直线m 上，直线n 与m 平行，且n 与C 只有一个公共点，求坐标原点到,m n 距离的比值.。

T 专题01 集合【2021 年】1．（2021 年全国高考乙卷数学（文）试题）已知全集U={1,2,3,4,5}，集合M={1,2},N={3,4}，则U(M ⋃N ) =（）A．{5} B．{1, 2} C．{3, 4} D．{1, 2,3, 4}【答案】A 由题意可得：M N ={1, 2,3, 4}，则U (M U N )={5}.故选：A.2．（2021 年全国高考乙卷数学（理）试题）已知集合S={s s=2n+1,n∈Z}，T={t t=4n+1,n∈Z}，则S （）A．∅B．S C．T D．Z【答案】C【分析】任取t ∈T ，则t = 4n +1 = 2⋅(2n)+1，其中n ∈Z ，所以，t ∈S ，故T ⊆S ，因此，S I T =T .故选：C.3．（2021 年全国高考甲卷数学（文）试题）设集合M={1,3,5,7,9},N={x2x>7}，则M I N =（）A．{7,9} B．{5, 7,9} C．{3,5, 7,9} D．{1,3,5, 7,9}【答案】B【分析】N =⎛7, +∞⎫，故M ⋂N ={5, 7,9}，2 ⎪⎝⎭故选：B.（2021 年全国高考甲卷数学（理）试题）设集合M ={x 0 <x < 4}, N =⎧ 1x ≤ 5⎫，则M I N =（）⎬A．⎧x 0 <x ≤1 ⎫⎭B．⎧x1≤x < 4⎫⎨3⎬⎨3⎬⎩⎭C．{x 4 ≤x < 5}⎩⎭D．{x 0 <x ≤ 5}【答案】B【分析】因为 M ={x | 0 <x < 4}, N ={x | 1≤x ≤ 5} ，所以 M ⋂N =⎧x|1≤x < 4⎫, 3⎨3⎬⎩⎭故选：B.5．（2021 年全国新高考Ⅰ卷数学试题）设集合A={x-2<x<4}，B={2,3,4,5}，则AIB =（）A．{2} B．{2,3} C．{3, 4} D．{2,3, 4}【答案】B【分析】由题设有A ⋂B ={2,3}，故选：B .【2012 年——2020 年】1．（2020 年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））已知集合A={x|x2-3x-4<0},B={-4,1,3,5}，则A IB =（）A．{-4,1} B．{1,5}C．{3,5} D．{1,3}【答案】D【分析】由x2 -3x - 4 < 0 解得-1 <x < 4 ，所以A ={x | -1 <x < 4}，又因为B ={-4,1,3,5}，所以A I B ={1,3}，故选：D.2．（2020 年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ））设集合A={x|x2–4≤0}，B={x|2x+a≤0}，且A∩B={x|–2≤x≤1}，则a=（）A．–4 B．–2 C．2 D．4【答案】B【分析】求解二次不等式x2 - 4 ≤ 0 可得：A ={x | -2 ≤x ≤ 2}，求解一次不等式2x + a ≤ 0 可得： B = ⎧x | x ≤ -a ⎫ . ⎨ 2 ⎬ ⎩⎭由于 A ⋂ B ={x | -2 ≤ x ≤1} ，故： - a= 1，解得： a = -2 . 2故选：B.3．（2020 年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ））已知集合 A ={x ||x |<3，x ∈Z }，B ={x ||x |>1，x ∈Z }，则 A ∩B =（ ）A ． ∅B ．{–3，–2，2，3）C ．{–2，0，2}D ．{–2，2}【答案】D因为 A = {x x < 3, x ∈ Z} = {-2, -1, 0,1, 2} ，B = {x x > 1, x ∈ Z} = {x x > 1或 x < -1, x ∈ Z }，所以 AI B ={2, -2}.故选：D.4．（2020 年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ））已知集合U ={−2，−1，0，1，2，3}，A ={−1，0，1}，B ={1，2}，则 = （）A ．{−2，3}B ．{−2，2，3}C ．{−2，−1，0，3}D ．{−2，−1，0，2，3}【答案】A【分析】由题意可得： A ⋃ B ={-1, 0,1, 2}，则U ( A U B ) ={-2,3} .故选：A.5．（2020 年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅲ））已知集合A = {1，2，3，5，7，11} ，B = {x | 3 < x < 15} ，则 A ∩B 中元素的个数为（）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】B【分析】由题意， A⋂ B = {5,7,11}，故 A IB 中元素的个数为 3.故选：B6．（2020 年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ））已知集合 A ={(x , y ) | x , y ∈ N * , y ≥ x }，U ( A ⋃ B )⎩ B = {(x , y ) | x + y = 8}，则 A I B 中元素的个数为（）A ．2B ．3C ．4D ．6【答案】C【分析】由题意， A I B 中的元素满足⎧y ≥ x，且 x , y ∈ N * ，由 x + y = 8 ≥ 2x ，得 x ≤ 4 ，⎨x + y = 8所以满足 x + y = 8 的有(1,7),(2,6),(3,5),(4,4) ，故 A I B 中元素的个数为 4.故选：C.7．（2019 年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））已知集合U = {1, 2,3, 4,5, 6, 7}，A ={2,3, 4,5}，B ={2,3, 6, 7} ，则 B I C U AA ．{1, 6}B ．{1, 7}C ．{6, 7}D ．{1, 6, 7}【答案】C【分析】由已知得C U A = {1, 6, 7}，所以 B ⋂ C U A = {6, 7}，故选 C ． 8．（2019 年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ））已知集合M = {x -4 < x < 2}，N = {x x 2 - x - 6 < 0} ，则 M ⋂ N =A ．{x -4 < x <3}B ．{x -4 < x <-2}C ．{x -2 < x < 2}D ．{x 2 < x <3}【答案】C【分析】【详解】由题意得， M = {x -4 < x < 2}, N = {x -2 < x < 3} ，则M ⋂ N = {x -2 < x < 2}．故选 C ．9．（2019 年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ））已知集合 A ={x | x > -1}，B ={x | x < 2}，则 A ∩B = A ．(–1，+∞) B ．(–∞，2) C ．(–1，2) D ． ∅【答案】C【分析】本题借助于数轴，根据交集的定义可得．【详解】R A =由题知，A I B = (-1, 2) ，故选C．10．（2019 年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ））设集合A={x|x2-5x+6>0}，B={ x|x-1<0}，则A∩B= A．(-∞，1) B．(-2，1)C．(-3，-1) D．(3，+∞)【答案】A【分析】由题意得， A ={x x2或x3}, B ={x x < 1}，则A ⋂B ={x x < 1}．故选A．11．（2019 年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅲ））已知集合A={-1,0,1,2}，B={x x2 ≤1}，则A I B =A．{-1, 0,1} B．{0,1} C．{-1,1} D．{0,1, 2}【答案】A【分析】Q x2 ≤ 1,∴-1 ≤x ≤ 1，∴B ={x -1 ≤x ≤1}，则A I B ={-1, 0,1}，故选A．12．（2018 年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标I 卷））已知集合A={0，2}，B={-2，-1，0，1，2}，则A I B=A．{0，2} B．{1，2} C．{0} D．{-2，-1，0，1，2}【答案】A【分析】详解：根据集合交集中元素的特征，可以求得A B ={0, 2}，故选A.13．（2018 年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标I 卷））已知集合A={x x2 -x-2>0}，则A．{x -1 <x < 2} C．{x |x <-1}⋃{x x 2} B．{x -1 ≤x ≤ 2} D．{x | x ≤-1}⋃{x | x ≥ 2}【答案】B【详解】：解不等式x2 -x - 2 > 0 得x <-1或x > 2 ，所以A ={x | x <-1或x > 2}，所以可以求得C R A ={x | -1≤x ≤ 2}，故选B.14．（2018 年全国普通高等学校招生统一考试文数（全国卷II））已知集合A={1,3,5,7}，B={2,3,4,5}，则 A I B =A．{3} B．{5} C．{3, 5} D．{1, 2,3, 4,5,7}【答案】C【详解】详解：Q A ={1,3,5,7}, B ={2,3, 4,5},∴A⋂B ={3,5},故选C15．（2018 年全国卷Ⅲ文数高考试题）已知集合A={x|x-1≥0}，B={0,1,2}，则A I B=A．{0} B．{1} C．{1, 2} D．{0,1, 2}【答案】C【分析】：由集合 A 得x ≥1,所以A ⋂B ={1, 2}故答案选C.16．（2018 年全国普通高等学校招生统一考试理数（全国卷II））已知集合A={(x，y)x2 +y2 ≤3，x∈Z，y∈Z}，则A 中元素的个数为（）A．9 B．8 C．5 D．4【答案】A【分析】Q x2 +y2 ≤ 3∴x2≤3,Q x∈Z∴x=-1,0,1当x =-1时，y=-1,0,1；当x=0时，y=-1,0,1；当x = 1 时，y =-1,0,1；所以共有9 个，故选：A.17．（2018 年全国卷Ⅲ理数高考试题）已知集合A={x|x-1≥0}，B={0，1，2}，则A I B=A．{0} B．{1} C．{1，2} D．{0，1，2}【答案】C【解析】详解：由集合A 得x ≥1,所以A ⋂B ={1, 2}故答案选 C.（2017 年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标1 卷））已知集合A= {x|x<2}，B= {x|3-2x>0}，则A ．A IB = ⎧x |x < 3 ⎫B ．A I B =∅⎨ 2 ⎬⎩ ⎭ C ．A U B = ⎧x |x < 3 ⎫D ．A U B=R⎨ 2 ⎬⎩⎭ 【答案】A【详解】由3 - 2x > 0 得 x < 3 ，所以 A I 2 B ={x | x < 2}I {x | x < 3} ={x | x < 3}，选 A ．2 219．（2017 年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标 1 卷））已知集合A ={x |x <1}，B ={x | 3x < 1}，则A. A IB ={x | x < 0}B. A U B = RC. A U B ={x | x >1}D. A I B =∅【答案】A【解析】∵集合 B ={x | 3x< 1}∴ B = {x x < 0}∵集合 A ={x | x <1}∴ A ⋂ B = {x x < 0} ， A ⋃ B ={x | x <1} 故选A20．（2017 年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标 2 卷））设集合A ={1, 2,3},B ={2,3, 4}，则 A U B = A ．{1，2，3, 4} B ．{1，2，3} C ．{2，3，4} D ．{1，3，4}【答案】A【详解】由题意 A ⋃ B = {1,2,3,4}，故选 A.21．（2017 年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标 2 卷））设集合 A = {1, 2, 4}， B ={x x 2 - 4x + m = 0}．若 A ⋂ B = {1}，则 B =( )A ．{1, -3}B ．{1, 0}C ．{1, 3}D ．{1, 5}【答案】C【详解】∵ 集合 A = {1，2，4}， B = {x | x 2 - 4x + m = 0}， A IB = {1}∴ x = 1 是方程 x 2 - 4x + m = 0 的解，即1- 4 + m = 0 ∴ m = 3∴B = {x | x 2- 4x + m = 0} = {x | x 2- 4x + 3 = 0}= {1，3}，故选 C2 2 2 2 3, ) 22．（2017 年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标3 卷））已知集合 A={1,2,3,4}，B={2,4,6,8}，则 A I B 中元素的个数为 A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【详解】由题意可得 A IB ={2, 4}，故 A IB 中元素的个数为 2，所以选 B. 23．（2017 年全国普通高等学校招生统一考试文科数学）已知集合A = {(x , y ) x 2 + y 2= 1}， B = {(x , y ) y = x } ，则 A IB 中元素的个数为（ ）A ．3B ．2C ．1D ．0【答案】B【解析】试题分析：集合中的元素为点集，由题意，可知集合 A 表示以(0, 0)为圆心，1为半径的单位圆上所有点组成的集合，集合 B 表示直线 y = x 上所有的点组成的集合，又圆x 2 + y 2 = 1 与直线 y = x⎛ ⎫ ⎛ 相交于两点, ， - , - ⎫ ，则 A I B 中有 2 个元素.故选 B. 2 2 ⎪ 2 2 ⎪ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭24．（2016 年全国普通高等学校招生统一考试文科数学）设集合 A = {1,3,5, 7} ， B ={x | 2 ≤ x ≤ 5}，则 A ⋂ B =A ．{1,3}B ．{3,5}C ．{5,7}D ．{1,7}【答案】B【解析】试题分析：集合 与集合 的公共元素有3，5，故，故选B.25．（2016 年全国普通高等学校招生统一考试文科数学）设集合 A ={x | x 2 - 4x + 3 < 0}，B ={x | 2x -3 > 0}，则 A I B =A ． (-3, - 3) 2B ． (- 32 3． (1, )2 3 ． ( , 3)2【答案】D【详解】：集合A = {x | ( x -1)( x - 3) < 0}= {x |1 < x < 3}，集合 ，所以C DA BA ⋂B =⎧x |3<x <⎫,故选D.⎨2 3⎬⎩⎭．2016 年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标2 卷）已知集合A={1,2,3},B ={x | x2 < 9}，则A⋂B =A．{-2, -1,0,1, 2,3} B．{-2, -1,0,1, 2}C．{1,2,3} D．{1, 2}【答案】D【解析】试题分析：由x2< 9 得-3<x<3，所以B={x|-3<x<3}，因为A={1,2,3}，所以A⋂B={1,2}，故选D.27．（2016 年全国普通高等学校招生统一考试文科数学）已知集合A={1,2,3}，B ={x | (x +1)(x - 2) < 0, x ∈Z}，则 A⋃B =A．{1}B．{1，2} C．{0，1，2，3}D．{-1，0，1，2，3}【答案】C【详解】试题分析：集合B ={x | -1 <x < 2, x ∈Z} ={0,1}，而A ={1, 2,3}，所以A⋃B ={0,1, 2,3}，故选C.（2016 年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标3 卷））设集合A={0,2,4,6,8,10},B={4,8}，则=A．{4,8}B．{0，2,6}C．{0，2，6,10}D．{0，2，4，6，8,10}【答案】C【详解】试题分析：由补集的概念，得A B ={0, 2, 6,10}，故选C．29．（2016 年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标3））设集合S ={x|(x - 2)(x -3) ≥ 0},T ={x|x > 0} ，则S ⋂T=A．[2,3] B．（−∞,2] ⋃[3,+ ∞）C．[3,+ ∞）D．（0,2] ⋃[3,+ ∞）【答案】D【详解】：由(x - 2)(x -3) ≥ 0 解得x ≥ 3 或x ≤ 2 ，所以S ={x | x ≤ 2或x ≥ 3}，所以S ⋂T ={x | 0 <x ≤ 2或x ≥ 3}，故选D．30．（2015 年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标Ⅰ））已知集合A ={x | x = 3n + 2, n ∈N},B ={6,8,10,12,14}，则集合A⋂B 中的元素个数为A．5 B．4 C．3 D．2【答案】D【详解】由已知得 A⋂B中的元素均为偶数，∴n应为取偶数，故 A⋂B ={8,14}，故选D.31．（2015 年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标Ⅱ））已知集合A ={x | -1 <x < 2},B ={x | 0 <x < 3}, 则A U B =（）A．(-1,3) B．(-1, 0) C．(0, 2) D．(2,3)【答案】A【详解】因为A ={x | -1<x < 2}, B ={x | 0 <x < 3},所以A U B={x | -1 <x < 3}. 故选A. 32．（2015 年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标Ⅱ））已知集合A=｛-2，-1,0，1,2｝，B ={x | (x -1)(x +2) <0},则A I B =（）A．{-1, 0} B．{0,1} C．{-1, 0,1} D．{0,1, 2}【答案】A【详解】已知得B={x|-2<x<1}，因为A=｛-2，-1,0，1,2｝，所以A⋂B={-1,0}，故选A．33．（2014 年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标Ⅰ））已知集合M ={x | -1<x < 3}, N ={x | -2 <x <1}，则 M ⋂N =A． B． C． D．【答案】B【详解】试题分析：根据集合的运算法则可得：M ⋂N ={x | -1 <x < 1}，即选B．34．（2014 年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标Ⅰ卷））已知集合，则A． B． C． D．【答案】A【详解】试题分析：由已知得，A ={x | x ≤-1或x ≥ 3}，故A⋂B ={x | -2 ≤x ≤-1}，选A．35．（2014 年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（全国Ⅱ卷））设集合A ={-2, 0, 2},B ={x | x2 -x - 2 = 0} ,则 A⋂B =A．∅B． C．{0}【答案】B【详解】：由已知得，B={2，-1}，故A⋂B={2}，选B．D．{-2}36．（2013 年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标1 卷））已知集合A=｛1，2，3，4｝，B ={x | x =n2 , n ∈A} ，则A∩B=A．｛1,4｝B．｛2，3｝C．{9，16} D．｛1,2}【答案】A【分析】依题意，，故A⋂B ={1, 4}.37．（2013 年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标1 卷）已知集合A＝{x|x2－2x＞0}，B＝{x|—5 ＜x＜5 }，则()．A．A∩B＝B．A∪B＝R C．B ⊆A D．A ⊆B【答案】B【详解】依题意 A ={x | x 0或x2}，又因为B＝{x|－5 ＜x＜5 }，由数轴可知A∪B＝R，故选B.38．（2013 年全国普通高等学校招生统一考试文科数学）已知集合M=｛x|-3<x<1｝，N=｛-3，-2，-1，0，1｝，则M∩N=A．｛-2，-1，0,1｝B．｛-3，-2，-1，0｝C．{-2，-1，0} D．{-3，-2，-1 }【答案】C【详解】因为集合M=，所以M∩N=｛0，-1，-2｝，故选C.39．（2013 年全国普通高等学校招生统一考试理科数学）已知集合M＝{x|(x－1)2＜4，x∈R}，N＝{－1，0，1，2，3}，则M∩N＝A．{0，1，2} B．{－1，0，1，2} C．{－1，0，2，3} D．{0，1，2，3}【答案】A【详解】：由（x﹣1）2＜4，解得：﹣1＜x＜3，即M={x|﹣1＜x＜3}，∵N={﹣1，0，1，2，3}，∴M∩N={0，1，2}．故选A40．（2012 年全国普通高等学校招生统一考试文科数学）已知集合A={x|x2－x－2<0}，B={x|－1<x<1}，则A． B．C．A=B D．A∩B=Æ【答案】B【详解】集合，又，所以B 是A 的真子集，选B.41．（2012 年全国普通高等学校招生统一考试理科数学）已知集合A={1,2,3,4,5}, B ={(x, y) x ∈A, y ∈A, x -y ∈A},则B 中所含元素的个数为A．3 B．6 C．8 D．10【答案】D【详解】列举法得出集合B={(2,1)，(3，1)，(4，1)，(5，1)，(3，2)，(4，2)，(5，2)，(4，3)，(5，3)，(5，4)}，共含10 个元素．故答案选D .。

2020年全国卷1文科数学高考十年真题（2010-2019）及2020年高考模拟题汇编含答案详解历年高考真题汇编1．【2015年新课标1文科07】已知{a n}是公差为1的等差数列，S n为{a n}的前n项和，若S8＝4S4，则a10＝（）A．B．C．10D．122．【2013年新课标1文科06】设首项为1，公比为的等比数列{a n}的前n项和为S n，则（）A．S n＝2a n﹣1B．S n＝3a n﹣2C．S n＝4﹣3a n D．S n＝3﹣2a n3．【2012年新课标1文科12】数列{a n}满足a n+1+（﹣1）n a n＝2n﹣1，则{a n}的前60项和为（）A．3690B．3660C．1845D．18304．【2019年新课标1文科14】记S n为等比数列{a n}的前n项和．若a1＝1，S3，则S4＝．5．【2015年新课标1文科13】在数列{a n}中，a1＝2，a n+1＝2a n，S n为{a n}的前n项和，若S n＝126，则n＝．6．【2012年新课标1文科14】等比数列{a n}的前n项和为S n，若S3+3S2＝0，则公比q＝．7．【2019年新课标1文科18】记S n为等差数列{a n}的前n项和．已知S9＝﹣a5．（1）若a3＝4，求{a n}的通项公式；（2）若a1＞0，求使得S n≥a n的n的取值范围．8．【2018年新课标1文科17】已知数列{a n}满足a1＝1，na n+1＝2（n+1）a n，设b n．（1）求b1，b2，b3；（2）判断数列{b n}是否为等比数列，并说明理由；（3）求{a n}的通项公式．9．【2017年新课标1文科17】记S n为等比数列{a n}的前n项和．已知S2＝2，S3＝﹣6．（1）求{a n}的通项公式；（2）求S n，并判断S n+1，S n，S n+2是否成等差数列．10．【2016年新课标1文科17】已知{a n}是公差为3的等差数列，数列{b n}满足b1＝1，b2，a n b n+1+b n+1＝nb n．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）求{b n}的前n项和．11．【2014年新课标1文科17】已知{a n}是递增的等差数列，a2，a4是方程x2﹣5x+6＝0的根．（1）求{a n}的通项公式；（2）求数列{}的前n项和．12．【2013年新课标1文科17】已知等差数列{a n}的前n项和S n满足S3＝0，S5＝﹣5．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{}的前n项和．13．【2011年新课标1文科17】已知等比数列{a n}中，a1，公比q．（Ⅰ）S n为{a n}的前n项和，证明：S n（Ⅱ）设b n＝log3a1+log3a2+…+log3a n，求数列{b n}的通项公式．14．【2010年新课标1文科17】设等差数列{a n}满足a3＝5，a10＝﹣9．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）求{a n}的前n项和S n及使得S n最大的序号n的值．考题分析与复习建议本专题考查的知识点为：数列的概念与简单表示法，等差数列及其前n 项和，等比数列及其前n 项和，数列求和，数列求通项等.历年考题主要以选择填空或解答题题型出现.重点考查的知识点为：等差数列及其前n 项和，等比数列及其前n 项和，数列求和，数列求通项等.预测明年本考点题目会比较稳定，备考方向以知识点等差数列及其前n 项和，等比数列及其前n 项和，数列求和，数列求通项为重点较佳.最新高考模拟试题1．等差数列，等比数列，满足，，则能取到的最小整数是（ ） A ．B ．C ．D ．2．中国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问題:今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰:“我羊食半马、“马主曰:“我马食半牛，”今欲衰偿之，问各出几何?此问题的译文是:今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿5斗粟、羊主人说:“我羊所吃的禾苗只有马的一半，”马主人说:“我马所吃的禾苗只有牛的一半，“打算按此比例偿还，他们各应偿还多少？该问题中，1斗为10升，则马主人应偿还( )升粟？ A ．B ．C ．D ．3．我国古代的《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方：如图，将1，2，…，9填入的方格内，使三行，三列和两条对角线上的三个数字之和都等于15.一般地，将连续的正整数填入个方格中，使得每行，每列和两条对角线上的数字之和都相等，这个正方形叫做阶幻方.记阶幻方的对角线上的数字之和为，如图三阶幻方的，那么 的值为（ ）A ．41B ．45C ．369D ．321{}n a {}n b 111a b ==53a b =9a 1-023253503507100733⨯21,2,3,,n n n ⨯n n n N 315N =9N4．设数列的前项和为，且 ，则数列的前10项的和是（ ） A ．290B ．C ．D ．5．意大利数学家列昂那多·斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：，即，此数列在现代物理“准晶体结构”、化学等都有着广泛的应用．若此数列被2整除后的余数构成一个新数列，则数列的前2019项的和为（ ） A ．672B ．673C ．1346D ．20196．已知数列是等比数列，数列是等差数列，若，则的值是（ ）A ．1B ．C． D ．7．已知数列满足，设数列满足：，数列的前项和为，若恒成立，则实数的取值范围为（ ） A ．B ．C ．D ．8．已知函数的定义域为，当时，且对任意的实数，等式成立，若数列满足，且，则下列结论成立的是（ ）A ．B ．{}n a n n S 11a =2(1)()nn S a n n N n *=+-∈13n S n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭92051110111,1,2,3,5,8,13,21,34,55,()()()()()121,12F F F n F n F n ===-+-()3,n n N *≥∈{}n a {}n a {}n a {}n b 2610a a a ⋅⋅=16117b b b π++=21039tan1b b a a +-⋅2{}n a 2*123111()23n a a a a n n n N n++++=+∈{}n b 121n n n n b a a ++={}n b n n T *()1nn N T n nλ<∈+λ1[,)4+∞1(,)4+∞3[,)8+∞3(,)8+∞()y f x =R 0x <()1f x >,x y R ∈()()()f x f y f x y =+{}n a ()()1111n n f a f n N a *+⎛⎫=∈⎪+⎝⎭()10a f =()()20162018f a f a >()()20172020f a f a >C ．D ．9．在数列中，，则的值为______． 10．已知正项等比数列满足，若存在两项，，使得，则的最小值为__________． 11．已知数列满足对，都有成立，，函数，记，则数列的前项和为______． 12．已知数列的前项和为，满足，则=_____．13．等差数列中，且，，成等比数列，数列前20项的和____14．已知正项等比数列的前项和为．若，则取得最小值时，的值为_______．15．设数列的前项和为，且满足，则____．16．已知数列满足，则数列的前项和为___________.17．定义：从数列中抽取项按其在中的次序排列形成一个新数列，则称为的子数列；若成等差（或等比），则称为的等差（或等比）子数列.（1）记数列的前项和为，已知.①求数列的通项公式；()()20182019f a f a >()()20162019f a f a >{}n a 1111,,(*)2019(1)n n a a a n N n n +==+∈+2019a {}n a 5432a a a +=m a na 1a =91m n+{}n a *,m n N ∀∈m n m n a a a ++=72a π=()f x =2sin 24cos 2xx +()n n y f a ={}n y 13{}n a n n S 22()n n S a n n N *=+∈n a {}n a 410a =3a 6a 10a {}n a 20S ={}n a n n S 9362S S S =+631S S +9S {}n a n n S 11222n n a a a n -++⋯+=5S ={}n a 112(1)0,4n n n a na a ++-==(1)(2)na n n ⎧⎫⎨⎬++⎩⎭n {}n a (,3)m m N m ∈≥{}n a {}n b {}n b {}n a {}n b {}n b {}n a {}n a n n S 21nn S =-{}n a②数列是否存在等差子数列，若存在，求出等差子数列；若不存在，请说明理由. （2）已知数列的通项公式为，证明：存在等比子数列.18．在等差数列中，已知公差，是与的等比中项 （1）求数列的通项公式； （2）若数列满足，求数列的通项公式； （3）令，数列的前项和为. {}n a {}n a ()n a n a a Q +=+∈{}n a {}n a 2d =2a 1a 4a {}n a {}n b 3122331313131nn n b b b ba =++++++++{}n b ()*4n nn a b c n N =∈{}n c n n T19．已知等差数列满足，等比数列满足，且.（1）求数列，的通项公式；（2）记数列的前项和为，若数列满足，求{}n a 32421,7a a a =-={}n b ()35242b b b b +=+()2*22n n b b n =∈N{}n a {}n b {}n a n n S {}n c ()*1212n n nc c c S n b b b ++⋯+=∈N的前项和为.20．等差数列前项和为，且，．（1）求的通项公式；（2）数列满足且，求的前项和．{}n c n n T{}n a n n S 432S =13221S ={}n a n a {}n b ()*1n n n b b a n N +-=∈13b =1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭n n T21．设是单调递增的等比数列，为数列的前项和．已知，且，，构成等差数列．（1）求及；（2）是否存在常数．使得数列是等比数列?若存在，求的值；若不存在，请说明理由．{}n a n S {}n a n 313S =13a +23a 35a +n a n S λ{}n S λ+λ22．对于无穷数列，，若，，则称是的“收缩数列”.其中，分别表示中的最大数和最小数.已知为无穷数列，其前项和为，数列是的“收缩数列”.（1）若，求的前项和；{}n a {}n b {}{}1212max ,,,min ,,,k k k b a a a a a a =-1,2,3,k ={}n b {}n a {}12max ,,,k a a a {}12min ,,,k a a a 12,,,k a a a {}n a n n S {}n b {}n a 21n a n =+{}n b n（2）证明：的“收缩数列”仍是；（3）若且，，求所有满足该条件的.答案解析1．【2015年新课标1文科07】已知{a n }是公差为1的等差数列，S n 为{a n }的前n 项和，若S 8＝4S 4，则a 10＝（ ）A ．B ．C ．10D ．12【解答】解：∵{a n }是公差为1的等差数列，S 8＝4S 4，{}n b {}n b 121(1)(1)(1,2,3,)22n n n n n n S S S a b n +-+++=+=11a =22a ={}n a∴8a11＝4×（4a1），解得a1．则a109×1．故选：B．2．【2013年新课标1文科06】设首项为1，公比为的等比数列{a n}的前n项和为S n，则（）A．S n＝2a n﹣1B．S n＝3a n﹣2C．S n＝4﹣3a n D．S n＝3﹣2a n【解答】解：由题意可得a n＝1，∴S n33﹣23﹣2a n，故选：D．3．【2012年新课标1文科12】数列{a n}满足a n+1+（﹣1）n a n＝2n﹣1，则{a n}的前60项和为（）A．3690B．3660C．1845D．1830【解答】解：由于数列{a n}满足a n+1+（﹣1）n a n＝2n﹣1，故有a2﹣a1＝1，a3+a2＝3，a4﹣a3＝5，a5+a4＝7，a6﹣a5＝9，a7+a6＝11，…a50﹣a49＝97．从而可得a3+a1＝2，a4+a2＝8，a7+a5＝2，a8+a6＝24，a11+a9＝2，a12+a10＝40，a15+a13＝2，a16+a14＝56，…从第一项开始，依次取2个相邻奇数项的和都等于2，从第二项开始，依次取2个相邻偶数项的和构成以8为首项，以16为公差的等差数列．{a n}的前60项和为15×2+（15×8）＝1830，故选：D．4．【2019年新课标1文科14】记S n为等比数列{a n}的前n项和．若a1＝1，S3，则S4＝．【解答】解：∵等比数列{a n}的前n项和，a1＝1，S3，∴q≠1，，整理可得，，解可得，q，则S4．故答案为：5．【2015年新课标1文科13】在数列{a n}中，a1＝2，a n+1＝2a n，S n为{a n}的前n项和，若S n＝126，则n＝．【解答】解：∵a n+1＝2a n，∴，∵a1＝2，∴数列{a n}是a1＝2为首项，以2为公比的等比数列，∴S n2n+1﹣2＝126，∴2n+1＝128，∴n+1＝7，∴n＝6．故答案为：66．【2012年新课标1文科14】等比数列{a n}的前n项和为S n，若S3+3S2＝0，则公比q＝．【解答】解：由题意可得，q≠1∵S3+3S2＝0∴∴q3+3q2﹣4＝0∴（q﹣1）（q+2）2＝0∵q≠1∴q＝﹣2故答案为：﹣27．【2019年新课标1文科18】记S n为等差数列{a n}的前n项和．已知S9＝﹣a5．（1）若a3＝4，求{a n}的通项公式；（2）若a1＞0，求使得S n≥a n的n的取值范围．【解答】解：（1）根据题意，等差数列{a n}中，设其公差为d，若S9＝﹣a5，则S99a5＝﹣a5，变形可得a5＝0，即a1+4d＝0，若a3＝4，则d2，则a n＝a3+（n﹣3）d＝﹣2n+10，（2）若S n≥a n，则na1d≥a1+（n﹣1）d，当n＝1时，不等式成立，当n≥2时，有d﹣a1，变形可得（n﹣2）d≥﹣a1，又由S9＝﹣a5，即S99a5＝﹣a5，则有a5＝0，即a1+4d＝0，则有（n﹣2）a1，又由a1＞0，则有n≤10，则有2≤n≤10，综合可得：n的取值范围是{n|1≤n≤10，n∈N}．8．【2018年新课标1文科17】已知数列{a n}满足a1＝1，na n+1＝2（n+1）a n，设b n．（1）求b1，b2，b3；（2）判断数列{b n}是否为等比数列，并说明理由；（3）求{a n}的通项公式．【解答】解：（1）数列{a n}满足a1＝1，na n+1＝2（n+1）a n，则：（常数），由于，故：，数列{b n}是以b1为首项，2为公比的等比数列．整理得：，所以：b1＝1，b2＝2，b3＝4．（2）数列{b n}是为等比数列，由于（常数）；（3）由（1）得：，根据，所以：．9．【2017年新课标1文科17】记S n为等比数列{a n}的前n项和．已知S2＝2，S3＝﹣6．（1）求{a n}的通项公式；（2）求S n，并判断S n+1，S n，S n+2是否成等差数列．【解答】解：（1）设等比数列{a n}首项为a1，公比为q，则a3＝S3﹣S2＝﹣6﹣2＝﹣8，则a1，a2，由a1+a2＝2，2，整理得：q2+4q+4＝0，解得：q＝﹣2，则a1＝﹣2，a n＝（﹣2）（﹣2）n﹣1＝（﹣2）n，∴{a n}的通项公式a n＝（﹣2）n；（2）由（1）可知：S n[2+（﹣2）n+1]，则S n+1[2+（﹣2）n+2]，S n+2[2+（﹣2）n+3]，由S n+1+S n+2[2+（﹣2）n+2][2+（﹣2）n+3]，[4+（﹣2）×（﹣2）n+1+（﹣2）2×（﹣2）n+1]，[4+2（﹣2）n+1]＝2×[（2+（﹣2）n+1）]，＝2S n，即S n+1+S n+2＝2S n，∴S n+1，S n，S n+2成等差数列．10．【2016年新课标1文科17】已知{a n}是公差为3的等差数列，数列{b n}满足b1＝1，b2，a n b n+1+b n+1＝nb n．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）求{b n}的前n项和．【解答】解：（Ⅰ）∵a n b n+1+b n+1＝nb n．当n＝1时，a1b2+b2＝b1．∵b1＝1，b2，∴a1＝2，又∵{a n}是公差为3的等差数列，∴a n＝3n﹣1，（Ⅱ）由（I）知：（3n﹣1）b n+1+b n+1＝nb n．即3b n+1＝b n．即数列{b n}是以1为首项，以为公比的等比数列，∴{b n}的前n项和S n（1﹣3﹣n）．11．【2014年新课标1文科17】已知{a n}是递增的等差数列，a2，a4是方程x2﹣5x+6＝0的根．（1）求{a n}的通项公式；（2）求数列{}的前n项和．【解答】解：（1）方程x2﹣5x+6＝0的根为2，3．又{a n}是递增的等差数列，故a2＝2，a4＝3，可得2d＝1，d，故a n＝2+（n﹣2）n+1，（2）设数列{}的前n项和为S n，S n，①S n，②①﹣②得S n，解得S n2．12．【2013年新课标1文科17】已知等差数列{a n}的前n项和S n满足S3＝0，S5＝﹣5．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{}的前n项和．【解答】解：（Ⅰ）设数列{a n}的首项为a1，公差为d，则．由已知可得，即，解得a1＝1，d＝﹣1，故{a n}的通项公式为a n＝a1+（n﹣1）d＝1+（n﹣1）•（﹣1）＝2﹣n；（Ⅱ）由（Ⅰ）知．从而数列{}的前n项和S n．13．【2011年新课标1文科17】已知等比数列{a n}中，a1，公比q．（Ⅰ）S n为{a n}的前n项和，证明：S n（Ⅱ）设b n＝log3a1+log3a2+…+log3a n，求数列{b n}的通项公式．【解答】证明：（I）∵数列{a n}为等比数列，a1，q∴a n，S n又∵S n∴S n（II）∵a n∴b n＝log3a1+log3a2+…+log3a n＝﹣log33+（﹣2log33）+…+（﹣n log33）＝﹣（1+2+…+n）∴数列{b n }的通项公式为：b n14．【2010年新课标1文科17】设等差数列{a n }满足a 3＝5，a 10＝﹣9． （Ⅰ）求{a n }的通项公式；（Ⅱ）求{a n }的前n 项和S n 及使得S n 最大的序号n 的值． 【解答】解：（1）由a n ＝a 1+（n ﹣1）d 及a 3＝5，a 10＝﹣9得 a 1+9d ＝﹣9，a 1+2d ＝5 解得d ＝﹣2，a 1＝9，数列{a n }的通项公式为a n ＝11﹣2n （2）由（1）知S n ＝na 1d ＝10n ﹣n 2．因为S n ＝﹣（n ﹣5）2+25． 所以n ＝5时，S n 取得最大值． 考题分析与复习建议本专题考查的知识点为：数列的概念与简单表示法，等差数列及其前n 项和，等比数列及其前n 项和，数列求和，数列求通项等.历年考题主要以选择填空或解答题题型出现.重点考查的知识点为：等差数列及其前n 项和，等比数列及其前n 项和，数列求和，数列求通项等.预测明年本考点题目会比较稳定，备考方向以知识点等差数列及其前n 项和，等比数列及其前n 项和，数列求和，数列求通项为重点较佳.最新高考模拟试题1．等差数列{}n a ，等比数列{}n b ，满足111a b ==，53a b =，则9a 能取到的最小整数是（ ）A ．1-B ．0C ．2D ．3【答案】B 【解析】等差数列{}n a 的公差设为d ，等比数列{}n b 的公比设为q ，0q ≠，由111a b ==，53a b =，可得214d q +=， 则2291812(1)211a d q q =+=+-=->-，可得9a 能取到的最小整数是0． 故选：B ．2．中国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问題:今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰:“我羊食半马、“马主曰:“我马食半牛，”今欲衰偿之，问各出几何?此问题的译文是:今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿5斗粟、羊主人说:“我羊所吃的禾苗只有马的一半，”马主人说:“我马所吃的禾苗只有牛的一半，“打算按此比例偿还，他们各应偿还多少？该问题中，1斗为10升，则马主人应偿还( )升粟？ A ．253B ．503C ．D ．1007【答案】D 【解析】因为5斗=50升，设羊、马、牛的主人应偿还的量分别为123,,a a a ， 由题意可知其构成了公比为2的等比数列，且350S =则31(21)5021a -=-，解得1507a =， 所以马主人要偿还的量为：2110027a a ==， 故选D.3．我国古代的《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方：如图，将1，2，…，9填入33⨯的方格内，使三行，三列和两条对角线上的三个数字之和都等于15.一般地，将连续的正整数21,2,3,,n 填入n n ⨯个方格中，使得每行，每列和两条对角线上的数字之和都相等，这个正方形叫做n 阶幻方.记n 阶幻方的对角线上的数字之和为n N ，如图三阶幻方的315N =，那么 9N 的值为（ ）A ．41B ．45C ．369D ．321【答案】C 【解析】根据题意可知，幻方对角线上的数成等差数列， 31(123456789)153N =++++++++=，41(12345678910111213141516)344N =+++++++++++++++=，51(12345678910111213141516171819202122232425)655N =++++++++++++++++++++++++=， …211(12345)n N n n n ∴=+++++⋯+=故299(91)9413692N +==⨯=.故选：C4．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a = 2(1)()nn S a n n N n *=+-∈，则数列13n S n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前10项的和是（ ） A ．290 B ．920C ．511D ．1011【答案】C 【解析】 由()2(1)nn S a n n N n*=+-∈得2(1)n n S na n n =--， 当2n ≥时，11(1)4(1)n n n n n a S S na n a n --=-=----，整理得14n n a a --=，所以{}n a 是公差为4的等差数列，又11a =， 所以()43n a n n N*=-∈，从而()2133222(1)2n n n a a S n n n n n n ++=+=+=+， 所以1111132(1)21n S n n n n n ⎛⎫==- ⎪+++⎝⎭，数列13n S n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前10项的和115121111S ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭.故选C .5．意大利数学家列昂那多·斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,，即()()()()()121,12F F F n F n F n ===-+-()3,n n N *≥∈，此数列在现代物理“准晶体结构”、化学等都有着广泛的应用．若此数列被2整除后的余数构成一个新数列{}n a ，则数列{}n a 的前2019项的和为（ ） A ．672 B ．673C ．1346D ．2019【答案】C 【解析】由数列1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,...各项除以2的余数， 可得{}n a 为1,1,0,1,1,0,1,1,0,1,1,0,...， 所以{}n a 是周期为3的周期数列， 一个周期中三项和为1102++=， 因为20196733=⨯，所以数列{}n a 的前2019项的和为67321346⨯=， 故选C.6．已知数列{}n a 是等比数列，数列{}n b 是等差数列，若2610a a a ⋅⋅=16117b b b π++=，则21039tan1b b a a +-⋅的值是（ ）A ．1 BC．2-D．【答案】D 【解析】{}n a 是等比数列326106a a a a ∴⋅⋅==6a ∴={}n b 是等差数列 1611637b b b b π∴++== 673b π∴=2106239614273tan tan tan tan tan 111333b b b a a a πππ+∴===-=-=-⋅--本题正确选项：D 7．已知数列{}n a 满足2*123111()23n a a a a n n n N n++++=+∈，设数列{}n b 满足：121n n n n b a a ++=，数列{}n b 的前n 项和为n T ，若*()1n n N T n nλ<∈+恒成立，则实数λ的取值范围为（ ） A ．1[,)4+∞ B ．1(,)4+∞C ．3[,)8+∞D ．3(,)8+∞【答案】D 【解析】解：数列{}n a 满足212311123n a a a a n n n ++++=+，① 当2n ≥时，21231111(1)(1)231n a a a a n n n -+++⋯+=-+--，② ①﹣②得：12n a n n=，故：22n a n =，数列{}n b 满足：22121214(1)n n n n n b a a n n +++==+221114(1)n n ⎡⎤=-⎢⎥+⎣⎦， 则：2222211111114223(1)n T n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦21114(1)n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭， 由于*()1n n N T n nλ<∈+恒成立， 故：21114(1)1n n n λ⎛⎫-< ⎪++⎝⎭， 整理得：244n n λ+>+，因为211(1)4441n y n n +==+++在*n N ∈上单调递减， 故当1n =时，max 213448n n +⎛⎫= ⎪+⎝⎭ 所以38λ>． 故选：D ．8．已知函数()y f x =的定义域为R ，当0x <时()1f x >，且对任意的实数,x y R ∈，等式()()()f x f y f x y =+成立，若数列{}n a 满足()()1111n n f a f n N a *+⎛⎫=∈ ⎪+⎝⎭，且()10a f =，则下列结论成立的是（ ）A ．()()20162018f a f a >B ．()()20172020f a f a >C ．()()20182019f a f a >D ．()()20162019f a f a >【答案】A 【解析】由()()()f x f y f x y =+，令0x =，1y =-，则()()()011f f f -=-0x <时，()1f x > ()11f ∴-> ()01f ∴= 11a ∴=当0x >时，令y x =-，则()()()01f x f x f -==，即()()1f x f x =-又()1f x -> ∴当0x >时，()01f x << 令21x x >，则21>0-x x()()()1212f x f x x f x ∴-=，即()()()()22110,1f x f x x f x =-∈ ()f x ∴在R 上单调递减又()()11111011n n n n f a f f a f a a ++⎛⎫⎛⎫=+== ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭ 111n na a +∴=-+ 令1n =，212a =-；令2n =，32a =-；令3n =，41a = ∴数列{}n a 是以3为周期的周期数列201632a a ∴==-，201711a a ==，2018212a a ==-，201932a a ==-，202011a a ==()f x 在R 上单调递减 ()()1212f f f ⎛⎫∴->-> ⎪⎝⎭()()20162018f a f a ∴>，()()20172020f a f a =，()()20182019f a f a <，()()20162019f a f a =本题正确选项：A 9．在数列{}n a 中，1111,,(*)2019(1)n n a a a n N n n +==+∈+，则2019a 的值为______． 【答案】1 【解析】 因为11,(*)(1)n n a a n N n n +=+∈+所以1111(1)1n n a a n n n n +-==-++，2111,2a a -=-3211,23a a -=-...,201920181120182019a a -=-,各式相加，可得20191112019a a -=-， 201911120192019a -=-，所以，20191a =，故答案为1.10．已知正项等比数列{}n a 满足5432a a a +=，若存在两项m a ，n a ，使得1a =，则91m n+的最小值为__________． 【答案】2 【解析】正项等比数列{}n a 满足5432a a a +=，432111=+2a q a q a q ∴，整理，得210+2q q -=，又0q >，解得，12q =， 存在两项m a ，n a 使得1m n a a =，2221164m n a q a +-∴=， 整理，得8m n +=，∴9119119()()(10)88m n m n m n m n n m+=++=++ 19(10)28m n n m+=， 则91m n+的最小值为2． 当且仅当9m n n m=取等号，但此时m ，*n N ∉．又8m n +=， 所以只有当6m =，2n =时，取得最小值是2． 故答案为：211．已知数列{}n a 满足对*,m n N ∀∈，都有m n m n a a a ++=成立，72a π=，函数()f x =2sin 24cos 2xx +，记()n n y f a =，则数列{}n y 的前13项和为______． 【答案】26 【解析】 解：对*,m n ∀∈N ，都有m n m n a a a ++=成立，可令1m =即有11n n a a a +-=，为常数， 可得数列{}n a 为等差数列， 函数2()sin 24cos 2xf x x =+sin 22(1cos )x x =++， 由()()()sin 221cos f x fx x x π+-=++()()()sin 221cos 4x x ππ+-++-=，可得()f x 的图象关于点,22π⎛⎫⎪⎝⎭对称，113212a a a a +=+=6872a a a π=+==，∴()()()()113212f a f a f a f a +=+=()()()6874,2f a f a f a =+==，∴可得数列{}n y 的前13项和为46226⨯+=．故答案为：26．12．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足22()n n S a n n N *=+∈，则n a =_____．【答案】122n +- 【解析】由题意，数列{}n a 满足22()n n S a n n N *=+∈， 则1122(1)(2,)n n S a n n n N *--=+-≥∈，两式相减可得11222,(2,)n n n n S S a a n n N *--+≥∈-=-， 即1222,(2,)n n n a a a n n N *-=+≥∈-整理得122,(2)n n a a n -=-≥，即12(2),(22)n n a a n -=-≥-，即12,(2)22n n a n a -=≥--， 当1n =时，1122S a =+，即1122a a =+，解得12a =-，所以数列{}2n a -表示首项为124a -=-，公比为2的等比数列，所以112422n n n a -+-=-⨯=-，所以122n n a +=-.13．等差数列{}n a 中，410a =且3a ，6a ，10a 成等比数列，数列{}n a 前20项的和20S =____ 【答案】200或330 【解析】设数列{}n a 的公差为d ，则3410a a d d =-=-，641042102,6106a a d d a a d d =+=+=+=+，由3610,,a a a 成等比数列，得23106a a a =，即()()()210106102d d d -+=+，整理得210100d d -=，解得0d =或1d =， 当0d =时，20420200S a ==；当1d =时，14310317a a d =-=-⨯=， 于是2012019202071903302S a d ⨯=+=⨯+=， 故答案为200或330.14．已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ．若9362S S S =+，则631S S +取得最小值时，9S 的值为_______．【答案】3【解析】由9362S S S =+，得：q≠1，所以936111(1)(1)(1)2111a q a q a q q q q---=+---，化简得：936112(1)q q q -=-+-，即963220q q q --+=，即63(1)(2)0q q --=，得32q =，化简得631S S +＝6131(1)11(1)a q qq a q --+--＝11311a q q a -+≥- 当11311a q q a -=-，即1a =时，631S S +取得最小值， 所以919(1)1a q S q -==-9(1)1q q --＝315．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足11222n n a a a n -++⋯+=，则5S =____．【答案】3116【解析】 解：11222n n a a a n -+++=，可得1n =时，11a = ，2n ≥时，2121221n n a a a n --++⋯+=-，又11222n n a a a n -++⋯+=，两式相减可得121n n a -=，即112n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭，上式对1n =也成立，可得数列{}n a 是首项为1，公比为12的等比数列， 可得551131211612S -==-． 故答案为：3116．16．已知数列{}n a 满足112(1)0,4n n n a na a ++-==，则数列(1)(2)na n n ⎧⎫⎨⎬++⎩⎭的前n 项和为___________.【答案】2222n n +-+【解析】由12(1)0n n n a na ++-=，得121n n a an n+=⨯+， 所以数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1141a a ==为首项，2为公比的等比数列，于是11422n n na n-+=⨯=， 所以12n n a n +=⋅，因为12(1)(2)(1)(2)n n a n n n n n +⋅=++++212221n n n n ++=-++， 所以(1)(2)na n n ⎧⎫⎨⎬++⎩⎭的前n 项和324321222222324321n n n S n n ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭2222n n +=-+. 17．定义：从数列{}n a 中抽取(,3)m m N m ∈≥项按其在{}n a 中的次序排列形成一个新数列{}n b ，则称{}n b 为{}n a 的子数列；若{}n b 成等差（或等比），则称{}n b 为{}n a 的等差（或等比）子数列.（1）记数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知21n n S =-. ①求数列{}n a 的通项公式；②数列{}n a 是否存在等差子数列，若存在，求出等差子数列；若不存在，请说明理由. （2）已知数列{}n a 的通项公式为()n a n a a Q +=+∈，证明：{}n a 存在等比子数列. 【答案】（1）①12n n a ；②见解析；（2）见证明【解析】解：（1）①因为21n n S =-，所以当1n =时，11211a =-=，当2n ≥时，1121n n S --=-，所以()()1121212nn n n a --=---=.综上可知：12n na .②假设从数列{}n a 中抽3项,,()k l m a a a k l m <<成等差， 则2l k m a a a =+，即1112222l k m ---⨯=+， 化简得：2212l k m k --⨯=+.因为k l m <<，所以0l k ->，0m k ->，且l k -，m k -都是整数， 所以22l k -⨯为偶数，12m k -+为奇数，所以2212l k m k --⨯=+不成立. 因此，数列{}n a 不存在三项等差子数列.若从数列{}n a 中抽(,4)m m N m ∈≥项，其前三项必成等差数列，不成立. 综上可知，数列{}n a 不存在等差子数列.（2）假设数列{}n a 中存在3项0n a +，0n a k ++，0()n a l k l ++<成等比. 设0n a b +=，则b Q +∈，故可设b =（p 与q 是互质的正整数）. 则需满足()()()2000n a k n a n a l ++=+++，即需满足2()()b k b b l +=+，则需满足2222k pk l k k b q=+=+. 取k q =，则2l k pq =+.此时222222()2q q q b q q q p p p ⎛⎫+=+=++ ⎪⎝⎭，2222()22q q q q b b l q pq q p p pp ⎛⎫+=++=++ ⎪⎝⎭.故此时2()()b k b b l +=+成立.因此数列{}n a 中存在3项0n a +，0n a k ++，0()n a l k l ++<成等比， 所以数列{}n a 存在等比子数列.18．在等差数列{}n a 中，已知公差2d =，2a 是1a 与4a 的等比中项（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若数列{}n b 满足3122331313131nn nb b b ba =++++++++，求数列{}n b 的通项公式； （3）令()*4n nn a b c n N =∈，数列{}n c 的前n 项和为n T . 【答案】（1）2n a n =；（2）2(31)nn b =+；（3）()()12133142n n n n n T +-⨯++=+. 【解析】（1）因为2a 是1a 与4a 的等比中项，所以21111(2)(6)2a a a a +=+∴=，∴数列{}n a 的通项公式为2n a n =.（2）∵()31223131313131n n n b b b ba n =+++++≥++++① ∴311212313131313131n n n n n b b b b ba +++=+++++++++++② ②－①得：111231n n nn b a a +++=-=+，()11231n n b ++=+，故()()*231n n b n N =+∈。

2012-2021十年全国高考数学（文科）真题分类汇编解析逻辑与推理（解析版）一、选择题1．(2021年全国高考乙卷文科)已知命题:,sin 1p x x ∃∈<R ﹔命题:q x ∀∈R ﹐||e 1x ≥，则下列命题中为真命题的是 ( )A ．p q ∧B ．p q ⌝∧C ．p q ∧⌝D ．()p q ⌝∨【答案】A解析：由于1sin 1x -≤≤，所以命题p 为真命题； 由于0x ≥，所以||e 1x ≥，所以命题q 真命题；所以p q ∧为真命题，p q ⌝∧、p q ∧⌝、()p q ⌝∨为假命题．故选：A ．2．(2019年高考数学课标Ⅲ卷文科)记不等式组62x y x y +⎧⎨-⎩，≥≥0表示的平面区域为D ．命题p ：(,)29x y D x y ∃∈+，≥；命题q ：(,)212x y D x y ∀∈+，≤．下面给出了四个命题①p q ∨②p q ⌝∨③p q ∧⌝④p q ⌝∧⌝这四个命题中，所有真命题的编号是( )A ．①③B ．①②C ．②③D ．③④【答案】A【解析】作出等式组6,20x y x y +⎧⎨-⎩的平面区域为D ．在图形可行域范围内可知： 命题:(,)p x y D ∃∈，29x y +；是真命题，则p ⌝假命题；命题:(,)q x y D ∀∈，212x y +．是假命题，则q ⌝真命题；所以：由或且非逻辑连词连接的命题判断真假有：①p q⌝∨假；③p q∨真；②p q∧⌝真；④p q⌝∧⌝假；故答案①③真，正确．故选：A．3．(2019年高考数学课标Ⅱ卷文科)在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测．甲：我的成绩比乙高．乙：丙的成绩比我和甲的都高．丙：我的成绩比乙高．成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为( )A．甲、乙、丙B．乙、甲、丙C．丙、乙、甲D．甲、丙、乙【答案】A【解析】若甲预测正确，则乙、丙预测错误，则甲比乙成绩高，丙比乙成绩低，故3人成绩由高到低依次为甲，乙，丙；若乙预测正确，则丙预测也正确，不符合题意；若丙预测正确，则甲必预测错误，丙比乙的成绩高，乙比甲成绩高，即丙比甲，乙成绩都高，即乙预测正确，不符合题意，故选A．【点评】本题将数学知识与时政结合，主要考查推理判断能力．题目有一定难度，注重了基础知识、逻辑推理能力的考查．4．(2017年高考数学课标Ⅱ卷文科)甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩,老师说,你们四人中有2位优秀,2位良好,我现在给甲看乙、丙的成绩,给乙看丙的成绩,给丁看甲的成绩,看后甲对大家说:我还是不知道我的成绩,根据以上信息,则( )A．乙可以知道两人的成绩B．丁可能知道两人的成绩C．乙、丁可以知道对方的成绩D．乙、丁可以知道自己的成绩【答案】D【解析】由甲的说法可知乙、丙一人优秀一人良好,则甲丁一人优秀一人良好,乙看到丙的结果则知道自己的结果,丁看到甲的结果则知道自己的结果,故选D ．【考点】推理【点评】推理实际考查数据处理能力,从众多数据中,挑选关键数据进行分类讨论,一般利用反证法、类比法、分析法得到结论．5．(2013年高考数学课标Ⅰ卷文科)已知命题:p x R ∀∈，23x x <；命题:q x R ∃∈，321x x =-，则下列命题中为真命题的是： ( )A ．p q ∧B ．p q ⌝∧C ．p q ∧⌝D ．p q ⌝∧⌝【答案】B解析：由指数函数的性质知，命题p 是假命题．而命题q 是真命题．故选B ．考点：（1）命题真假的判断；（2）真值表的运用难度：B备注：高频考点二、填空题6．(2016年高考数学课标Ⅱ卷文科)有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3．甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是_________．【答案】()1,3【解析】由题意得：丙不拿()2,3，若丙()1,2，则乙()2,3，甲()1,3满足，若丙()1,3，则乙()2,3，甲()1,2不满足，故甲()1,3，7．(2014年高考数学课标Ⅰ卷文科)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A 、B 、C 三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；乙说：我没去过C城市；丙说：我们三人去过同一城市；由此可判断乙去过的城市为________．【答案】A解析：∵丙说：三人同去过同一个城市，甲说没去过B城市，乙说：我没去过C城市∴三人同去过同一个城市应为Ａ，∴乙至少去过Ａ，若乙再去城市B，甲去过的城市至多两个，不可能比乙多，∴可判断乙去过的城市为Ａ．考点：1．简单的逻辑关系；难度：A。

一、1977年高考数学试卷1977年是我国恢复高考的第一年，数学试卷如下：1. （1）求函数y=2x-1在x=2时的函数值。

（2）已知等差数列的前三项分别为2，5，8，求该数列的通项公式。

2. （1）若三角形ABC的三边长分别为a，b，c，且a=3，b=4，c=5，求该三角形的面积。

（2）已知函数y=x^2-4x+4，求该函数的顶点坐标。

二、1980年高考数学试卷1980年高考数学试卷如下：1. （1）已知等差数列的前三项分别为3，5，7，求该数列的通项公式。

（2）若等比数列的首项为2，公比为3，求该数列的前5项。

2. （1）已知圆的方程为x^2+y^2=4，求该圆的面积。

（2）若函数y=3x-2，求该函数在x=1时的导数。

三、1990年高考数学试卷1990年高考数学试卷如下：1. （1）已知等差数列的前三项分别为1，4，7，求该数列的通项公式。

（2）若等比数列的首项为1，公比为2，求该数列的前4项。

2. （1）已知圆的方程为x^2+y^2=9，求该圆的半径。

（2）若函数y=e^x，求该函数在x=0时的导数。

四、2000年高考数学试卷2000年高考数学试卷如下：1. （1）已知等差数列的前三项分别为2，5，8，求该数列的通项公式。

（2）若等比数列的首项为1，公比为3，求该数列的前5项。

2. （1）已知圆的方程为x^2+y^2=16，求该圆的面积。

（2）若函数y=lnx，求该函数在x=1时的导数。

五、2010年高考数学试卷2010年高考数学试卷如下：1. （1）已知等差数列的前三项分别为3，6，9，求该数列的通项公式。

（2）若等比数列的首项为2，公比为4，求该数列的前4项。

2. （1）已知圆的方程为x^2+y^2=25，求该圆的半径。

（2）若函数y=sinx，求该函数在x=π/2时的导数。

通过以上历届高考数学试卷，我们可以看出高考数学试卷的题型和难度逐年递增，考察的知识点也越来越广泛。

考生在备考过程中，需要掌握基础知识，提高解题能力，才能在高考中取得优异成绩。

数学与日常生活
总结词
数学在日常生活中无处不在，从购物决策到 建筑设计，都涉及到数学的应用。
详细描述
购物时比较不同商品的价格和性价比需要进 行简单的算术计算；建筑设计需要考虑几何 学原理；时间管理则涉及到线性规划等数学 知识。此外，天气预报、股票交易等领域也 大量使用了数学工具。
04
CATALOGUE
现代中国数学
中国现代数学在几何学、拓扑学、概率论和统计学等方面取得了一定的成就， 逐渐与国际数学界接轨。
02
CATALOGUE
数学与文学艺术
数学与诗歌
总结词
数学概念和原理经常被用作诗歌的主题，以增加其深度和复 杂性。
详细描述
数学与诗歌的结合可以追溯到古代文明，如毕达哥拉斯学派 用诗歌来表达数学理念。在现代，也有许多诗人运用数学概 念和原理，如分形、无限等，来创作出富有哲理和美感的诗 歌。
近现代数学文化题解析
总结词
考察近现代数学的重要分支和应用
详细描述
近现代数学文化题主要涉及19世纪和20世纪的数学发展 ，如微积分、线性代数、概率论和统计学等分支的进展 。这些题目要求考生了解近现代数学的基本概念、定理 和思想，并能够运用这些知识解决实际问题。同时，这 些题目还要求考生了解数学与其他学科的交叉融合，如 数学与物理、经济和计算机科学等领域的联系。
高考数学文化题汇 总
contents
目录
• 数学历史与文化 • 数学与文学艺术 • 数学与社会生活 • 高考数学文化题解析
01
CATALOGUE
数学历史与文化
古代数学的发展
01
02
03
古埃及数学
古埃及人发展了数学符号 系统，用于解决日常生活 和建筑、农业等方面的问 题。

过去一年数学高考试卷真题考生注意：请在规定时间内完成以下试题。

本试卷包含选择题、填空题和解答题三种类型。

请仔细审题，认真作答。

一、选择题（每题5分，共30分）1. 下列哪个数是无理数？A. 0.33333…（循环）B. πC. √2D. 1/32. 已知函数f(x) = 2x^2 + 3x - 5，求f(-1)的值。

A. -4B. -2C. 0D. 23. 如果一个三角形的三边长分别为a、b、c，且满足a^2 + b^2 =c^2，那么这个三角形是：A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 不规则三角形4. 已知集合A = {1, 2, 3}，B = {2, 3, 4}，求集合A和B的交集。

A. {1}B. {2, 3}C. {3, 4}D. {1, 2, 3, 4}5. 函数y = sin(x)的周期是：A. πB. 2πC. 3πD. 4π6. 下列哪个不等式是正确的？A. |-2| > |-3|B. |-2| < |-3|C. |-2| = |-3|D. |-2| ≤ |-3|二、填空题（每题4分，共20分）7. 计算 (1/2)^3 的结果是 _________。

8. 如果一个圆的半径为5，那么它的面积是 _________。

9. 将方程3x + 5 = 14 化简后，x的值是 _________。

10. 已知向量a = (3, 4) 和向量b = (-1, 2)，向量a与向量b的点积是 _________。

11. 如果一个数的平方根是4，那么这个数是 _________。

三、解答题（每题15分，共50分）12. 解不等式组：\[\begin{cases}x + 2 > 4 \\3x - 5 < 14\end{cases}\]13. 证明：如果一个数列是等差数列，那么它的任意两项的和等于它相邻两项的和的两倍。

14. 已知椭圆方程为 \( \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \)，其中a > b > 0，求椭圆的焦点坐标。

历年高考数学文化题集锦一. 数学名著中的立几题，例如：2015年全国1卷文6理6题6、《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书屮有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问''积及为米几何？”其意思为广在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？"已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3,估算出堆放的米约有（）（A） 14斛（B） 22 斛（C） 36斛（D） 66 斛答案：B2012年湖北理科数学第10题10.我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径.“开立圆术”相当于给出了已知球的体积〃，求其直径〃的一个近似公式d 珂尹.人们还用过一些类似的近似公式.根据71=3.14159…判断，下列近似公式中最精确的一个是A. B. d =何 C・d = J型7—vV 9 V157考点分析：考察球的体积公式以及估算.解析：由卩二彳龙上几削二:胚‘设选项中常数为纟，则好④；力中代入得好空=3.375,3 2 V 7C b a163中代入得K空=3, C中代入得好空卫=3.14,科代入得好空丄3.142857,2 300 21曲于I）中值最接近加勺真实值，故选择D。

二、数学名著中的数列题，例如：2011年湖北卷文9理13题;13.《九章算术》“竹九节”问题：现有1根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面四节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为【解析】设该数列的杵项为公筮为依题总应该疇（8）右边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术"。

执行该程序框图，若输入a,b分别为14,18,则输出的玄= ___________【答幻B晦】師atWTil®中，a, 6的值依次为a = 14. 6 = 18； 6 = 4； a = 10； a = 6； a=2 b = 2・d匕时a = b = 2程牌抹,输岀a的值为2・故选B・数学名著中的统计题，例如：2015年湖北卷文2理2题2. （5分）（2015-湖北）我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（A. 134 石)B. 169 石C. 338 石D. 1365 石升。

一、1977年恢复高考1. 题目：求函数f(x) = x^2 - 4x + 3的零点。

解析：此题考查了二次方程的求解，属于基础题。

2. 题目：已知等差数列{an}的首项为a1，公差为d，求第10项an。

解析：此题考查了等差数列的通项公式，属于基础题。

二、1980年代1. 题目：已知等比数列{an}的首项为a1，公比为q，求第5项an。

解析：此题考查了等比数列的通项公式，属于基础题。

2. 题目：已知函数f(x) = (x-1)^2 + 2x，求f(x)的最小值。

解析：此题考查了二次函数的最值问题，属于基础题。

三、1990年代1. 题目：已知函数f(x) = ax^2 + bx + c，若a > 0，且f(0) = 1，f(1) = 3，求a、b、c的值。

解析：此题考查了二次函数的性质和解析几何，属于中档题。

2. 题目：已知函数f(x) = log2(x+1)，求f(x)的单调性。

解析：此题考查了对数函数的性质，属于中档题。

四、21世纪初1. 题目：已知数列{an}的前n项和为Sn，若Sn = n^2 + n，求第10项an。

解析：此题考查了数列的前n项和与通项公式的求解，属于中档题。

2. 题目：已知函数f(x) = e^x + 1，求f(x)在区间[0, 1]上的最大值。

解析：此题考查了指数函数的性质和最值问题，属于中档题。

五、21世纪10年代1. 题目：已知函数f(x) = x^3 - 3x + 2，求f(x)的极值点。

解析：此题考查了导数的应用，属于中档题。

2. 题目：已知函数f(x) = sin(x) + cos(x)，求f(x)的周期。

解析：此题考查了三角函数的性质，属于中档题。

六、21世纪20年代1. 题目：已知函数f(x) = x^4 - 4x^3 + 6x^2 - 4x + 1，求f(x)的零点。

解析：此题考查了多项式的因式分解，属于中档题。

2. 题目：已知数列{an}的通项公式为an = n^2 - n + 1，求数列的前n项和Sn。

12．(2017年高考数学课标Ⅲ卷文科)如图,四面体 中, 是正三角形, ．
(1)证明: ;
(2)已知 是直角三角形, ．若 为棱 上与 不重合的点,且 ,求四面体 与四面体 的体积比．
【答案】（1）略；（2） ．
【解析】（1）证明：取 中点 ，连
∵ ， 为 中点
∴
又∵ 是等边三角形，∴
又∵ ，∴ 平面 ， 平面
．
【点睛】本题主要考查了证明线线平行和面面垂直，及其求四棱锥的体积，解题关键是掌握面面垂直转为求证线面垂直的证法和棱锥的体积公式，考查了分析能力和空间想象能力，属于中档题．
5．(2020年高考数学课标Ⅲ卷文科)如图， 长方体 中，点 ， 分别在棱 ， 上，且 ， ．证明：
(1)当 时， ；
(2)点 在平面 内．
2．(2021年全国高考乙卷文科)如图，四棱锥 的底面是矩形， 底面 ，M为 的中点，且 ．
(1)证明：平面 平面 ；
(2)若 ，求四棱锥 的体积．
【答案】（1）证明见解析；（2） ．
解析：（1）因为 底面 ， 平面 ，所以 ，又 ， ，所以 平面 ，而 平面 ，所以平面 平面 ．
（2）由（1）可知， 平面 ，所以 ，从而 ，设 ， ，则 ，即 ，解得 ，所以 ．因为 底面 ，故四棱锥 的体积为 ．
(1)证明：AA1//MN，且平面A1AMN⊥平面EB1C1F；
(2)设O为△A1B1C1的中心，若AO=AB=6，AO//平面EB1C1F，且∠MPN= ，求四棱锥B–EB1C1F的体积．
【答案】（1）证明见解析；（2） ．
【解析】（1） 分别为 ， 的中点，
又
在等边 中， 为 中点，则
又 侧面 为矩形，
(2)在线段 上是否存在点 ，使得 平面 ？说明理由．

绝密★启用前2019年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题文科数学注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合A={1,2,3,4}，B={2,4,6,8}，则A ⋂B 中元素的个数为 A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】由题意可得：{}2,4A B = .本题选择B 选项.2．复平面内表示复数z=i(–2+i)的点位于 A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B【解析】由题意：12z i =-- .本题选择B 选项.3．某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图.根据该折线图，下列结论错误的是A．月接待游客逐月增加B．年接待游客量逐年增加C．各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月D．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳【答案】A【解析】由折线图，7月份后月接待游客量减少，A错误；本题选择A选项.4．已知4sin cos3αα-=，则sin2α=A．79- B．29-C．29D．79【答案】A【解析】()2sin cos17sin22sin cos19ααααα--===--.本题选择A选项.5．设x，y满足约束条件3260x yxy+-≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩，则z=x-y的取值范围是A．–3,0] B．–3,2] C．0,2] D．0,3] 【答案】B【解析】绘制不等式组表示的可行域，结合目标函数的几何意义可得函数在点()0,3A 处取得最小值033z =-=- . 在点()2,0B 处取得最大值202z =-= . 本题选择B 选项.6．函数f (x )= sin(x +3π)+cos(x −6π)的最大值为 A ．65B ．1C ．D ．【答案】A【解析】由诱导公式可得：cos cos sin 6233x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ， 则：()16sin sin sin 53353f x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ,函数的最大值为65.本题选择A 选项.7．函数y =1+x +2sin xx 的部分图像大致为 A ． B ．C ．D ．【答案】D【解析】当1x =时，()111sin12sin12f =++=+>，故排除A,C,当x →+∞时，1y x →+，故排除B,满足条件的只有D,故选D.8．执行下面的程序框图，为使输出S 的值小于91，则输入的正整数N 的最小值为A ．5B ．4C ．3D ．2【答案】D【解析】若2N =,第一次进入循环，12≤成立，100100,1010S M ==-=-，2i =2≤成立，第二次进入循环，此时101001090,110S M -=-==-=，3i =2≤不成立，所以输出9091S =<成立，所以输入的正整数N 的最小值是2，故选D.9．已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为 A ．πB ．3π4C ．π2D ．π4【解析】如果，画出圆柱的轴截面11,2AC AB ==，所以2r BC ==，那么圆柱的体积是22314V r h πππ==⨯⨯=⎝⎭，故选B.10．在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱CD 的中点，则A ．11A E DC ⊥B ．1A E BD ⊥C ．11A E BC ⊥D ．1AE AC ⊥【答案】C11．已知椭圆C ：22221x y a b+=，（a >b >0）的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，则C 的离心率为A B C D ．13【答案】A【解析】以线段12A A 为直径的圆是222x y a +=，直线20bx ay ab -+=与圆相切，所以圆心到直线的距离d a ==，整理为223a b =，即()22222323a a c a c =-⇒=，即2223c a = ，3c e a ==，故选A.12．已知函数211()2()x x f x x x a ee --+=-++有唯一零点，则a =A ．12- B ．13C ．12D ．1【答案】C二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

绝密★启用前2021年普通高等学校招生全国统一考试〔天津卷〕数学〔文史类〕本试卷分为第一卷〔选择题〕和第二卷〔非选择题〕两局部，共150分，考试用时120分钟。

第一卷1至2页，第二卷3至5页。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题考上，并在规定位置粘贴考试用条形码。

答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

祝各位考生考试顺利！第一卷考前须知：1．每题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

2．本卷共8小题，每题5分，共40分。

参考公式：·如果事件 A ，B 互斥，那么 P (A ∪B )=P (A )+P (B )． ·棱柱的体积公式V =Sh . 其中S 表示棱柱的底面面积，h 表示棱柱的高． ·棱锥的体积公式13V Sh =，其中S 表示棱锥的底面积，h 表示棱锥的高. 一．选择题：在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的. 〔1〕设集合{1,2,3,4}A =，{1,0,2,3}B =-，{|12}C x x =∈-≤<R ，那么()A B C =〔A 〕{1,1}-〔B 〕{0,1}〔C 〕{1,0,1}-〔D 〕{2,3,4}〔2〕设变量,x y 满足约束条件52410x y x y x y y +≤⎧⎪-≤⎪⎨-+≤⎪⎪≥⎩，，，，那么目标函数35z x y =+的最大值为〔A 〕6 〔B 〕19 〔C 〕21〔D 〕45〔3〕设x ∈R ，那么“38x >〞是“||2x >〞 的〔A 〕充分而不必要条件 〔B 〕必要而不充分条件 〔C 〕充要条件〔D 〕既不充分也不必要条件〔4〕阅读如下图的程序框图，运行相应的程序，假设输入N 的值为20，那么输出T 的值为〔A 〕1〔B 〕2〔C 〕3〔D 〕4〔5〕13313711log ,(),log 245a b c ===，那么,,a b c 的大小关系为〔A 〕a b c >> 〔B 〕b a c >> 〔C 〕c b a >>〔D 〕c a b >>〔6〕将函数sin(2)5y x π=+的图象向右平移10π个单位长度，所得图象对应的函数 〔A 〕在区间[,]44ππ- 上单调递增 〔B 〕在区间[,0]4π上单调递减〔C 〕在区间[,]42ππ 上单调递增 〔D 〕在区间[,]2ππ 上单调递减〔7〕双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>> 的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于,A B 两点.设,A B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为1d 和2d ，且126,d d += 那么双曲线的方程为〔A 〕22139x y -=〔B 〕22193x y -=〔C 〕221412x y -=〔D 〕221124x y -= 〔8〕在如图的平面图形中， 1.2,120OM ON MON ==∠=,2,2,BM MA CN NA ==那么·BC OM 的值为〔A 〕15- 〔B 〕9- 〔C 〕6-〔D 〕0第二卷考前须知：1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。

，则．．．．．某学校为了解1 000名新生的身体素质，将这些学生编号为1，2，…A ．A =12A+10．双曲线C ：2222x y a b-A ．2sin40°11．△ABC 的内角A cos A =-，则=14bcA ．612．已知椭圆C 的焦点为，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点.若12(1,0),(1,0)F F -，，则C 的方程为22||2||AF F B =1||||AB BF =A ．B ．C ．D ．2212x y +=22132x y +=22143x y +=22154x y +=二、填空题本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．曲线在点处的切线方程为___________．2)3(e xy x x =+(0,0)14．记S n 为等比数列{a n }的前n 项和.若，则S 4=___________．13314a S ==，15．函数的最小值为___________．3π()sin(2)3cos 2f x x x =+-16．已知∠ACB=90°，P 为平面ABC 外一点，PC =2，点P 到∠ACB 两边AC ，BC 的距离均为，那么P 到平面ABC 的距离为___________．3三、解答题共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。

第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：60分。

17．（12分）某商场为提高服务质量，随机调查了50名男顾客和50名女顾客，每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评价，得到下面列联表：满意不满意男顾客4010女顾客3020（1）分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率；（2）能否有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异？附：．22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++（1）证明：MN∥平面C1DE；（2）求点C到平面C1DE的距离．20．（12分）21.（12分）已知点A ，B 关于坐标原点O 对称，│AB │=4，⊙M 过点A ，B 且与直线x +2=0相切．（1）若A 在直线x +y =0上，求⊙M 的半径；（2）是否存在定点P ，使得当A 运动时，│MA │-│MP │为定值？并说明理由．（二）选考题共10分。

四川省2019年普通高校职教师资班和高职班对口招生统一考试数 学本试题卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)㊂第Ⅰ卷1 3页,第Ⅱ卷3 4页,共4页㊂考生作答时,须将答案答在答题卡上,在本试题卷㊁草稿纸上答题无效㊂满分150分㊂考试时间120分钟㊂考试结束后,将本试题卷和答题卡一并交回㊂第Ⅰ卷(共60分)注意事项:1.必须使用2B 铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑㊂2.第Ⅰ卷共1大题,15小题,每小题4分,共60分㊂一㊁选择题(本大题共15小题,每小题4分,共60分㊂在每小题列出的四个选项中,只有一个是符合题目要求的)1.设集合A ={-2,2},B ={-1,2},则A ɣB =( )A.{2}B .{-2,-1}C .{-2,2} D.{-2,-1,2}2.函数f (x )=11-x 2的定义域是( )A.(-1,1)B .(-1,+ɕ)C .(-ɕ,1) D.(1,+ɕ)3.已知角α的终边经过点(-1,1),则c o s α=( )A.-22B .22C .-12 D.124.已知平面向量a =(5,4),b =(3,2),c =(7,6),则a +b -c =( )A.(0,0)B .(1,0)C .(0,1) D.(1,1)5.绝对值不等式|x -3|<4的解集为( )A.(-ɕ,-1)B .(7,+ɕ)C .(-1,7) D.(-ɕ,-1)ɣ(7,+ɕ)6.函数f (x )=s i n 2x +π3æèçöø÷在区间[-π,π]上的图象大致为( )7.与直线3x -2y -7=0垂直的直线的斜率是( )A.-23B .23C .-32 D.328.椭圆x 24+y 23=1的焦点坐标是( )A.(-1,0),(1,0)B .(-3,0),(3,0)C .(-2,0),(2,0) D.(-7,0),(7,0)9.已知球的半径为6c m ,则它的体积为( )A.36πc m 3B .144πc m 3C .288πc m 3D.864πc m 310.计算:116æèçöø÷-14+l g 5+l g 20=( )A.1B .2C .3 D.411. x >0 是 x >1的( )A.充分且不必要条件B .必要且不充分条件C .充要条件 D.既不充分又不必要条件12.某科技公司从银行贷款500万元,贷款期限为6年,年利率为5.76%,利息按 复利计息法 (把当年的本金与利息的和作为次年的本金来计算利息的方法)计算.如果6年后一次性还款,那么这家科技公司应偿还银行的钱是( )A.500ˑ0.94245万元B .500ˑ0.94246万元C .500ˑ1.05765万元 D.500ˑ1.05766万元13.已知a =l n12,b =2-3,c =l o g 1213,则a ,b ,c 的大小关系为( )A.b >c >a B .b >a >c C .c >b >a D.c >a >b14.已知甲㊁乙两个城市相距120千米,小王开汽车以100千米/时匀速从甲城市驶往乙城市,到达乙城市后停留1小时,再以80千米/时匀速返回甲城市.汽车从甲城市出发时,时间x (小时)记为0.在这辆汽车从甲城市出发至返回到甲城市的这段时间内,该汽车离甲城市的距离y (千米)表示成时间x (小时)的函数为( )A.y =100x ,0ɤx ɤ1.2,80x ,x >1.2.{B .y =100x ,0ɤx ɤ1.2,120-80x ,x >1.2.{C .y =100x ,0ɤx ɤ1.2,120,1.2<x ɤ2.2,120-80x ,2.2<x ɤ3.7.ìîíïïïï D.y =100x ,0ɤx ɤ1.2,120,1.2<x ɤ2.2,296-80x ,2.2<x ɤ3.7.ìîíïïïï15.函数f (a )=(a -1)2+(a -2)2+(a -3)2+ +(a -10)2的单调递增区间为( )A.[5,+ɕ)B .[5.5,+ɕ)C .[6,+ɕ) D.[6.5,+ɕ)第Ⅱ卷(共90分)注意事项:1.必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答㊂作图题可先用铅笔绘出,确认后再用0.5毫米黑色墨迹签字笔描清楚㊂答在试题卷㊁草稿纸上无效㊂2.第Ⅱ卷共2大题,11小题,共90分㊂二㊁填空题(本大题共5小题,每小题4分,共20分)16.已知平面向量a =(2,-1),b =(-3,-2),则a ㊃b =.17.双曲线x 2-y 23=1的离心率为.18.二项式x 2+1x æèçöø÷6展开式中的常数项为.(用数字作答)19.为落实精准扶贫工作,某单位计划从7名优秀干部中任选3名到贫困村驻村工作,不同的选派方案有种.20.计算:t a n 20ʎ+t a n 40ʎ+3t a n 20ʎt a n 40ʎ=.(用数字作答)三㊁解答题(本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明㊁证明过程或演算步骤)21.(本小题满分10分)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,a 5=2a 4,S 9=108,求数列{a n }的通项公式.22.(本小题满分12分)为弘扬勤俭节约的中华传统美德,某校开展了节约用水教育与问卷调查.调查得知某地区300名居民某月的用水量(单位:吨),将这些数据按照[0,1),[1,2),[2,3),[3,4),[4,5),[5,6]分成6组,制成了如图所示的频率直方图.(Ⅰ)求频率直方图中a 的值;(Ⅱ)若每组中各居民的用水量用该组的中间值来估计(如[0,1)的中间值为0.5),试估计该地区居民这个月的人均用水量(单位:吨).23.(本小题满分12分)在әA B C 中,内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且a =2,t a n C =-2,әA B C 的面积为2.(Ⅰ)求边b 的长;(Ⅱ)求c o s B 的值.24.(本小题满分12分)如图,已知在长方体A B C D A1B1C1D1中,A B=1,B C=2,A A1= 3,E为A A1的中点.(Ⅰ)证明:A1Cʊ平面B D E;(Ⅱ)求A1C与平面A B C D所成的角的大小.第24题图25.(本小题满分12分)设圆O的方程是x2+y2=1,三点A(2,2),B(b,b2-2),C(c,c2-2)互不重合,直线A B与圆O相切.(Ⅰ)证明:3b2+4b-1=0;(Ⅱ)若直线A C与圆O相切,证明:直线B C与圆O也相切.26.(本小题满分12分)已知函数f(x)的定义域为R,并且对一切实数x都有f(-x)+f(x) =0,f(-x-2)=-f(x)成立,当xɪ(0,1)时f(x)=s i nπx+1.(Ⅰ)求f(0),f(1)的值;(Ⅱ)当xɪ(11,13)时,求f(x)的解析式.２０１９年普通高校职教师资班和高职班对口招生统一考试数学一、选择题1.D2.A3.A4.B5.C6.B7.A8.A9.C 10.D 11.B 12.D 13.C 14.D 15.B二、填空题１６．－４１７．２１８．１５１９．３５２０．√３三、解答题２１．【解】 解法一：设等差数列（ａ。