高中数学必修二北师大版学案1.1 简单的旋转体(学生版)

辽宁省丹东市振安区高级中学高中数学 1.1.7柱锥台和球的体积一学案 北师大版必修2自主学习

学习目标

1．了解柱、锥、台的体积计算公式，并学会运用这些公式解决一些简单问题．

2．结合祖暅原理等内容的学习，了解我国古代数学家在数学发展上做出的杰出贡献，培养爱国主义思想，逐步培养热爱科学的态度．

自学导引

1．祖暅原理

(1)祖暅原理：____________，则积不容异，这就是说，夹在两个________平面间的两个几何体，被__________这两个平面的________平面所截，如果截得的两个截面的面积总________，那么这两个几何体的体积相等．

(2)应用祖暅原理可以说明：等__________、等______的两个柱体或锥体的体积相等．

2．柱、锥、台、球的体积

(1)柱体的体积等于它的底面积S和高h的积，即V柱体＝______.底面半径是r，高是h的圆柱体的体积的计算公式是V圆柱＝__________.

(2)如果一个锥体的底面积是S，高是h，那么它的体积是V锥体＝__________.如果圆锥的底面半径是r，高是h，则它的体积是V圆锥＝__________.

(3)如果一个台体的上、下底面面积分别为S′、S，高为h，那么它的体积是V台体＝__________________.

如果圆台的上、下底面半径分别是r′、r，高是h，则它的体积是V圆台＝________________.

对点讲练

知识点一 求台体的体积

例1 已知正三棱台(上、下底是正三角形，上底面的中心在下底面的投影是下底面中心)的上、下底面边长分别是2 cm与4 cm，侧棱长是6 cm，试求该三棱台的体积与表面积．

点评 在解决棱锥、棱台的侧面积、表面积及体积问题时往往将已知条件归结到一个直角三角形中求解，为此在解此类问题时，要注意直角三角形的应用．

变式训练1 一个正四棱台的斜高为12 cm，侧棱长为13 cm，侧面积为720 cm2，求它的体积．

课题：直线与平面垂直的判定☆学生版☆

学习目标、理解直线与平面垂直的定义和判定定理；

、能运用定义和判定定理证明一些简单的线面位置关系；

学习重点：对直线与平面垂直的定义和判定定理的理解及其简单应用；

学习难点：探究、归纳直线与平面垂直的判定定理，体会定义和定理中所包含的转化思想.

学法指导：根据“自主学习”中的问题，阅读教材内容，进行知识梳理，熟记基础知识。将预习中不能解决的问题标出来，并填写到后面的“我的疑惑”处。

一、自主学习

、问题提出：

（）操场地面上竖立的旗杆与地面的位置关系给人以什么感觉？

（）将书页打开直立在桌面上,观察书脊和桌面的位置关系,给人以什么感觉？

书脊和每页书与桌面的交线的位置关系如何？

此时，书脊和桌面内的每条直线都垂直吗？

、归纳概括：

直线与平面垂直的定义：

如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直，那么称这条直线和这个平面垂直。

、探究思考：

显然，根据定义判定直线与平面垂直，需要判定直线与平面内“任一条直线”即 “所有直线”都垂直。而事实上这是难以实现的，我们可否寻求一个更为简便的方法，用有限条直线来代替所有直线？

思考：如果一条直线和一个平面内的一条直线垂直，此直线是否和该平面垂直？

思考：如果一条直线和一个平面内的两条直线都垂直，此直线是否和该平面垂直？

思考：如果一条直线和一个平面内的无数条直线都垂直，此直线是否和该平面垂直？

思考：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，此直线是否和该平面垂直？

、抽象概括：

直线与平面垂直的判定定理：

如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直。

符号语言表示： 图形语言表示：

强调：线不在多，重在相交 二、我的疑惑（请你将预习中未能解决的问题和有疑惑的问题写下来，在课堂上与老师和同学们探究解决。）

1．1 简单旋转体

1．以半圆的直径所在的直线为旋转轴，将半圆旋转所形成的曲面叫作球面．球面所围成的几何体叫作球体，简称球．半圆的圆心叫作球心．连接球心和球面上任意一点的线段叫作球的半径．连接球面上两点并且过球心的线段叫作球的直径．

2．分别以矩形的一边、直角三角形的一条直角边、直角梯形垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体分别叫作圆柱、圆锥、圆台．

在旋转轴上这条边的长度叫作它们的高，垂直于旋转轴的边旋转而成的圆面叫作它们的底面，不垂直于旋转轴的边旋转而成的曲面叫作它们的侧面，无论转到什么位置，这条边都叫作侧面的母线．

圆台也可以看作是用平行于圆锥底面的平面截这个圆锥而得到的．

3．一条平面曲线绕着它所在的平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫作旋转面；封闭的旋转面围成的几何体叫作旋转体．

判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)在圆柱的上、下两底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线．( )

(2)圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线．( )

(3)在圆台上、下两底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线. ( )

(4)圆柱的任意两条母线相互平行．( )

(5)球和球面是两个不同的概念．球面指球的表面，而球不仅包括球的表面，还包括球面包围的空间．( )

[★答案☆] (1)× (2)√ (3)× (4)√ (5)√

题型一 旋转体的结构特征

【典例1】 给出下列说法：①圆柱的底面是圆面；②经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形面；③圆台的母线长大于高；④夹在圆柱的两个截面间的几何体还是一个旋转体；⑤圆锥侧面的母线长有可能大于圆锥底面圆的直径．

其中说法正确的是________．

[思路导引] 根据圆柱、圆台、圆锥的几何特征判断．

[解析] ①正确，圆柱的底面是圆面；

②正确，如图(1)所示，经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形面；

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第一章 立体几何初步

一、知识结构

二、重点难点

重点：空间直线，平面的位置关系。柱、锥、台、球的表面积和体积的计算公式。平行、垂直的定义，判定和性质。

难点：柱、锥、台、球的结构特征的概括。文字语言，图形语言和符号语言的转化。平行，垂直判定与性质定理证明与应用。

第一课时 棱柱、棱锥、棱台

【学习导航】

知识网络

学习要求 1．初步理解棱柱、棱锥、棱台的概念。掌握它们的形成特点。 空间几何体

简单的空间几何体

基本元素(点、线、面)关系

多面体(棱柱、棱锥、棱台) 旋转体（圆柱、圆锥、圆台） 直线与直线 直线与平面 平面与平面

结构特征，图形表示，侧面积，体积 平行、垂直、夹角、距离

三视图，直观图，展开图 判定、性质

综合应用

棱柱、棱锥、棱台 棱柱的结构特征

棱锥的结构特征

棱台的结构特征 高中数学必修2全册教案学案同步练习课堂巩固

第 2 页 共 2 页 2．了解棱柱、棱锥、棱台中一些常用名称的含义。

3．了解棱柱、棱锥、棱台这几种几何体简单作图方法

4．了解多面体的概念和分类．

【课堂互动】

自学评价

1． 棱柱的定义：

表示法：

思考:棱柱的特点：.

【答】

2． 棱锥的定义：

表示法：

思考:棱锥的特点：.

【答】

3．棱台的定义：

表示法：

思考:棱台的特点：.

【答】

4．多面体的定义：