9.数学 第8讲 一元一次不等式(组)
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1 第8讲 一元一次不等式(组)
1. (2019，河北)语句“x的18与x的和不超过5”可以表示为(A)
A. x8＋x≤5 B. x8＋x≥5 C. 8x＋5≤5 D. x8＋x＝5
【解析】 “不超过”表示为“≤”，用不等式表示为18x＋x≤5.
2. (2013，河北)定义新运算：对于任意实数a，b，都有ab＝a(a－b)＋1，比如： 25＝2×(2－5)＋1＝2×(－3)＋1＝－6＋1＝－5.
(1)求(－2)3的值；
(2)若3x的值小于13，求x的取值范围，并在数轴上表示出来．
第2题图
解：(1)(－2)3＝(－2)×[(－2)－3]＋1
＝(－2)×(－5)＋1
＝10＋1
＝11.
(2)∵3x＜13，
∴3(3－x)＋1＜13.
∴9－3x＋1＜13.
∴－3x＜3.
∴x＞－1.
解集在数轴上表示如答图所示．
第2题答图
3. (2012，河北)下列各数中，为不等式组2x－3＞0，x－4＜0的解的是(C)
A. －1 B. 0 C. 2 D. 4
【解析】 验证：当x＝－1时，2x－3＞0不成立，选项A不符合题意．当x＝0时，2x－3＞0不成立，选项B不符合题意．当x＝4时，x－4＜0不成立，选项D不符合题意．只有选项C符合题意．
4. (2010，河北)把不等式－2x< 4的解集表示在数轴上，正确的是(A)
A
B
C D
【解析】 不等式的解集是x>－2，在数轴上表示时，注意折线向右，空心． 2
不等式的基本性质
例1 (2019，唐山路南区二模)若a＜b，则下列结论不一定成立的是(B)
A. a＋1＜b＋1 B. a2＜b2 C. a3＜b3 D. 2a＜2b
【解析】 根据不等式的基本性质，对不等式a
针对训练1 (2019，广安)若m＞n，下列不等式不一定成立的是(D)
A. m＋3＞n＋3 B. －3m＜－3n C. m3＞n3 D. m2＞n2
【解析】 根据不等式的基本性质，对不等式m>n两边同时加3，不等号方向不变；两边同时乘－3，不等号方向改变；两边同时除以3，不等号方向不变．故选D.
针对训练2 (2019，桂林)如果a＞b，c＜0，那么下列不等式成立的是(D)
A. a＋c＞b B. a＋c＞b－c
C. ac－1＞bc－1 D. a(c－1)＜b(c－1)
【解析】 ∵c＜0，∴c－1＜0.∵a＞b，∴a(c－1)＜b(c－1)．故选D.
一元一次不等式(组)的解法
例2 (2019，湘西州)解不等式组x－2＜1，4x＋5＞x＋2，并把解集在数轴上表示出来．
例2题图
解：解不等式x－2＜1，得x＜3.
解不等式4x＋5＞x＋2，得x＞－1.
所以不等式组的解集为－1＜x＜3.
解集在数轴上表示如答图所示．
例2答图
针对训练3 (2019，攀枝花)解不等式x－25－x＋42>－3，并把它的解集在数轴上表示出来．
训练3题图
解：去分母，得2(x－2)－5(x＋4)>－30.
去括号，得2x－4－5x－20>－30.
移项、合并同类项，得－3x>－6.
系数化为1，得x<2.
解集在数轴上表示如答图所示． 3
训练3答图
针对训练4 (2019，宜昌)解不等式组x＞1－x2，3x－73＜x＋1，并求此不等式组的整数解．
解：x＞1－x2①，3x－73＜x＋1②.
解不等式①，得x＞13.
解不等式②，得x＜4.
所以不等式组的解集为13＜x＜4.
所以该不等式组的整数解为1，2，3.
根据不等式组的解集求字母系数的取值范围
例3 (2019，廊坊广阳区模拟)关于x的不等式组2x＜3（x－3）＋1，3x＋24＞x＋a有三个整数解，则a的取值范围是(A)
A. －52≤a＜－94 B. －52＜a＜－94
C. －52≤a≤－94 D. －52＜a≤－94
【解析】 解不等式2x<3(x－3)＋1，得x>8.解不等式3x＋24>x＋a，得x<2－4a.所以不等式组的解集为8
针对训练5 (2019，聊城)若不等式组x＋13＜x2－1，x＜4m无解，则m的取值范围为(A)
A. m≤2 B. m＜2 C. m≥2 D. m＞2
【解析】 分别解两个不等式得x>8，x<4m.因为不等式组无解，所以根据“大大小小解没了”，可得4m≤8.解得m≤2.
一元一次不等式的应用
例4 (2019，赤峰)某校开展校园艺术节系列活动，派小明到文体超市购买若干个文具 4 袋作为奖品．这种文具袋标价每个10元，请认真阅读结账时老板与小明的对话：
例4题图
(1)结合两人的对话内容，求小明原计划购买文具袋多少个；
(2)学校决定，再次购买钢笔和签字笔共50支作为补充奖品，两次购买奖品总支出不超过400元．其中钢笔标价每支8元，签字笔标价每支6元，经过沟通，这次老板给予八折优惠，那么小明最多可购买钢笔多少支？
解：(1)设小明原计划购买文具袋x个，则实际购买了(x＋1)个．
依题意，得10(x＋1)×0.85＝10x－17.
解得x＝17.
答：小明原计划购买文具袋17个．
(2)设小明可购买钢笔y支，则购买签字笔(50－y)支．
依题意，得[8y＋6(50－y)]×0.8≤400－10×17＋17.
解得y≤4.375.
取最大整数解y＝4.
答：小明最多可购买钢笔4支．
针对训练6 (2019，辽阳)为了进一步丰富校园活动，学校准备购买一批足球和篮球．已知购买7个足球和5个篮球的费用相同，购买40个足球和20个篮球共需3 400元．
(1)每个足球和篮球各多少元？
(2)如果学校计划购买足球和篮球共80个，总费用不超过4 800元，那么最多能买多少个篮球？
解：()1设每个足球x元，每个篮球y元．
根据题意，得7x＝5y，40x＋20y＝3 400.解得x＝50，y＝70.
答：每个足球50元，每个篮球70元．
(2)设买篮球m个，则买足球(80－m)个．
根据题意，得70m＋50()80－m≤4 800.
解得m≤40.
∵m为整数，
∴m最大取40.
答：最多能买40个篮球．
一、 选择题
1. (2019，嘉兴)已知四个实数a，b，c，d，若a＞b，c＞d，则(A) 5 A. a＋c＞b＋d B. a－c＞b－d C. ac＞bd D. ac＞bd
【解析】 ∵a>b，c>d，∴ a＋c>b＋d.选项A正确．若a＝3，b＝1，c＝2，d＝－2, 则a－c＝1，b－d ＝3，此时a－c
ac＝－6，bd ＝－4，此时ac
2. (2019，南京)实数a，b，c满足a＞b且ac＜bc，它们在数轴上的对应点的位置可以是(A)
A
B
C D
【解析】 据a＞b且ac＜bc可推断出c＜0，数轴上点的位置满足a在b右边且c在0左边即可．
3. (2019，唐山路北区二模)一元一次不等式x＋1＜2的解集在数轴上表示为(B)
A
B
C D
【解析】 不等式的解集是x<1，故选B.
4. (2019，宿迁)不等式x－1≤2的非负整数解有(D)
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【解析】 不等式的解集是x≤3，其中非负整数解是0，1，2，3.
5. (2019，秦皇岛海港区模拟)下列各数中，为不等式组2x－3＞0，x－4＜0的解的是(C)
A. －1 B. 0 C. 2 D. 4
【解析】 不等式组的解集是32
6. (2019，天门)不等式组x－1＞0，5－2x≥1的解集在数轴上表示正确的是(C)
A
B
6 C D
【解析】 不等式组的解集是1
7. (2019，唐山丰润区二模)下列四个不等式组中，其中一个不等式组的解集在数轴上的正确表示如图所示，这个不等式组是(D)
第7题图
A. x≥2，x>－3 B. x≤2，x<－3 C. x≥2，x<－3 D. x≤2，x>－3
【解析】 数轴表示的不等式组的解集是－3
8. (2019，德州)不等式组5x＋2＞3（x－1），12x－1≤7－32x的所有非负整数解的和是(A)
A. 10 B. 7 C. 6 D. 0
【解析】 不等式组的解集是－52
9. (2019，唐山丰南区二模)已知关于x的不等式3x－m＋1＞0的最小整数解为2，则实数m的取值范围是(A)
A. 4≤m＜7 B. 4＜m＜7 C. 4≤m≤7 D. 4＜m≤7
【解析】 不等式的解集是x>m－13.因为最小整数解是2，所以1≤m－13<2.解得4≤m<7.
10. (2019，保定莲池区一模)已知关于x的不等式组x－a＞0，2－2x＞0的整数解共有6个，则a的取值范围是(B)
A. －6＜a＜－5 B. －6≤a＜－5 C. －6＜a≤－5 D. －6≤a≤－5
【解析】 不等式组的解集为a
11. (2019，常德)小明网购了一本《好玩的数学》，同学们想知道书的价格，小明让他们猜．甲说：“至少15元．”乙说：“至多12元．”丙说：“至多10元．”小明说：“你们三个人都说错了”．这本书的价格x(元)所在的范围为(B)
A. 10＜x＜12 B. 12＜x＜15 C. 10＜x＜15 D. 11＜x＜14
【解析】 三人说的价格范围是x≥15，x≤12，x≤10.因为都说错了，所以就取其反面，即x<15，x>12，x>10，公共部分为12
12. (2019，重庆B)某次知识竞赛共有20题，答对一题得10分，答错或不答扣5分．小华得分要超过120分，他至少要答对的题数为(C)
A. 13 B. 14 C. 15 D. 16
