高考数学复数的概念及运算课件

第1章：复数与复变函数

§1 复数

1．复数域

形如iyxz的数，称为复数，其中yx,为实数。实数x和实数y分别称为复数iyxz的实部与虚部。记为

zxRe， zyIm

虚部为零的复数可看成实数，虚部不为零的复数称为虚数，实部为零虚部不为零的复数称为纯虚数。复数iyxz 和iyxz称为互为共轭复数，z的共轭复数记为z。

设，复数的四则运算定义为

加（减）法：

乘法：

除法：

相等： 当且仅当

复数的四则运算满足以下运算律

①加法交换律 1221zzzz

②加法结合律 321321)()(zzzzzz

③乘法交换律 1221zzzz

④乘法结合律 321321)()(zzzzzz

⑤乘法对加法的分配律 3121321)(zzzzzzz

全体复数在引入相等关系和运算法则以后，称为复数域. 在复数域中，复数没有大小. 正如所有实数构成的集合用R表示，所有复数构成的集合用C表示。 例 设i3,i5221zz，求21zz．

分析：直接利用运算法则也可以，但那样比较繁琐，可以利用共轭复数的运算结果。

解 为求21zz，在分子分母同乘2z，再利用1i2，得 i101710110i171)i3)(i52(2222121zzzzzzz

2．复平面

一个复数iyxz本质上由一对有序实数唯一确定。于是能够确定平面上全部的点和全体复数间一一对应的关系。如果把x和y当作平面上的点的坐标，复数z就跟平面上的点一一对应起来，这个平面叫做复数平面或z平面，x轴称为实轴，y轴称为虚轴.

在复平面上，从原点到点所引的矢量与复数z也构成一一对应关系，且复数的相加、减与矢量相加、减的法则是一致的，即满足平行四边形法则，例如：

这样，构成了复数、点、矢量之间的一一对应关系.

3． 复数的模与辐角

复数整数指数幂的运算法则

主标题：复数整数指数幂的运算法则

副标题：为学生详细的分析复数的整数指数幂的高考考点、命题方向以及规律总结。

关键词：复数，整数指数幂，知识总结

难度：3

重要程度：4

考点剖析：本考点包括复数整数指数幂的运算法则，考纲明确要求学生要了解复数的整数指数幂的意义，能进行简单的计算。

命题方向：

1.利用虚数单位ninN的周期性求值是近几年高考的热点．

2.题型以选择题和填空题为主，属于基础题.

规律总结：

1.复数整数指数幂的运算法则规律总结

一个规定：

01i

两个防范

(1)复数的指数只能是整数，不能是分数．

(2)在复数的整数指数幂的运算中，不能把整数化为分数与整数乘积的形式．

复数整数指数幂的运算法则

*1212,,,nmmmnmnmnmmzzzzzzzzzmnN

ninN的周期性：

44142431,,1,,nnnniiiiiiiN

复数

基础知识

1．复数的定义：设i为方程x2=-1的根，i称为虚数单位，由i与实数进行加、减、乘、除等运算。便产生形如a+bi（a,b∈R）的数，称为复数。所有复数构成的集合称复数集。通常用C来表示。

2．复数的几种形式。对任意复数z=a+bi（a,b∈R），a称实部记作Re(z),b称虚部记作Im(z).

z=ai称为代数形式，它由实部、虚部两部分构成；若将(a,b)作为坐标平面内点的坐标，那么z与坐标平面唯一一个点相对应，从而可以建立复数集与坐标平面内所有的点构成的集合之间的一一映射。因此复数可以用点来表示，表示复数的平面称为复平面，x轴称为实轴，y轴去掉原点称为虚轴，点称为复数的几何形式；如果将(a,b)作为向量的坐标，复数z又对应唯一一个向量。因此坐标平面内的向量也是复数的一种表示形式，称为向量形式；另外设z对应复平面内的点Z，见图15-1，连接OZ，设∠xOZ=θ,|OZ|=r，则a=rcosθ,b=rsinθ,所以z=r(cosθ+isinθ)，这种形式叫做三角形式。若z=r(cosθ+isinθ)，则θ称为z的辐角。若0≤θ<2π，则θ称为z的辐角主值，记作θ=Arg(z). r称为z的模，也记作|z|，由勾股定理知|z|=22ba.如果用eiθ表示cosθ+isinθ，则z=reiθ，称为复数的指数形式。

3．共轭与模，若z=a+bi，（a,b∈R）,则za-bi称为z的共轭复数。模与共轭的性质有：（1）2121zzzz；（2）2121zzzz；（3）2||zzz；（4）2121zzzz；（5）||||||2121zzzz；（6）||||||2121zzzz；（7）||z1|-|z2||≤|z1±z2|≤|z1|+|z2|；（8）|z1+z2|2+|z1-z2|2=2|z1|2+2|z2|2；（9）若|z|=1，则zz1。

4．复数的运算法则：（1）按代数形式运算加、减、乘、除运算法则与实数范围内一致，运算结果可以通过乘以共轭复数将分母分为实数；（2）按向量形式，加、减法满足平行四边形和三角形法则；（3）按三角形式，若z1=r1(cosθ1+isinθ1), z2=r2(cosθ2+isinθ2)，则z1••z2=r1r2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)]；若21212,0rrzzz[cos(θ1-θ2)+isin(θ1-θ2)]，用指数形式记为z1z2=r1r2ei(θ1+θ2),.)(212121ierrzz

考点总结之复数的概念与复数的运算

【原题】已知2iz,则

izz

（）

A.62iB.42iC.62iD.42i

【答案】C

【解析】

解法一：因为2iz,所以2iz,

所以



2i2i22i=4+4i2i2i62izz

故选C.

解法二：因为2iz

,2

ii=5+2i+1=6+2izzzz

,故选C.

【就题论题】去年新高考试卷复数考查的是复数的除法运算,考查内容单一,今年把共轭复数与复数的运算结

合在一起考查,背景有所创新,为降低难度,把除法运算改为乘法运算,可见新高考试卷入手依然比较容易.

【命题意图】本题考查共轭复数及复数的乘法运算,考查数学运算与数学抽象的核心素养.难度：容易.

【考情分析】复数是高考每年必考知识点,一般以容易题面目呈现,位于选择题的前3题的位置上,考查热点一

是复数的概念与复数的几何意义,如复数的模、共轭复数、纯虚数、复数的几何意义等,二是复数的加减乘除

运算.

【得分秘籍】

1.解决复数概念问题及复数的几何意义应注意的问题

(1)复数的分类,复数的相等,复数的模,共轭复数的概念都与复数的实部与虚部有关,所以解答与复数概念有

关的问题时,需把所给复数化为代数形式,即a＋bi(a,b∈R)的形式,再根据题意求解．

(2)(其中a,b∈R),|z|表示复数z对应的点与原点的距离．|z

1－z

2|表示两点的距离,即表示

复数z

1与z

2对应的点的距离．

2.求解复数运算问题的常见类型及解题策略

(1)复数的乘法．复数的乘法类似于多项式的四则运算,可将含有虚数单位i的看作一类同类项,不含i的看作

另一类同类项,分别合并即可．

(2)复数的除法．除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数,解题中要注意把i的幂写成最简形式.

(3)复数的运算与复数概念的综合题．先利用复数的运算法则化简,一般化为a＋bi(a,b∈R)的形式,再结合相关

定义解答．

(4)复数的运算与复数几何意义的综合题．先利用复数的运算法则化简,一般化为a＋bi(a,b∈R)的形式,再结合