函数与方程思想在不等式中的应用

九年级数学中考第一轮复习学案 第三章 函数及其图象

第14讲：方程、不等式与函数的综合应用（1）

【学习目标】

1．函数、方程、不等式的结合．

2．体现了函数图像与方程、不等式的内在联系．

【巩固练习】

一、选择题：

1．(10潍坊) 关于x的一元二次方程x26x2k=0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是 （ ）

A． k29 B． k<29 C． k29 D． k>29

2．(10十堰)方程x2+2x－1=0的根可看成函数y=x+2与函数1yx的图象交点的横坐标，

此方法可推断方程x3+x－1=0的实根x的个数为 （ ）

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

3．（07日照）已知二次函数y=x2-x+a(a＞0)，当自变量x取m时，其相应的函数值小于0，那么下列结论中正确的是 （ ）

A． m-1的函数值小于0 B． m-1的函数值大于0

C． m-1的函数值等于0 D． m-1的函数值与0的大小关系不确定

4．(10 甘肃兰州) 抛物线cbxaxy2图像如图所示，则一次函数24bacbxy与反比例函数abcyx在同一坐标系内的图像大致为（

）

二、填空题：

5．(10金华)若二次函数kxxy22的部分图象如图所示，

则关于x的一元二次方程022kxx的一个解31x，

另一个解2x ．

6．（10日照）如图，是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴为直线x=1，若其与x轴一交点为A（3，0），则由图象可知，不等式ax2+bx+c＜0的解集是 ．

第 1 页 共 3 页 简单方程与不等式的运用

简单方程与不等式是数学中比较基础的知识点，但它在现实生活中的应用却是十分广泛的。本文将以实际例子为基础，探讨简单方程与不等式的运用。

一、方程的运用

方程是用符号表示的等式，在实际运用中，很多问题都可以用方程来描述和解决。下面分别从几个生活中的例子进行探讨。

1、电费的计算

电费的计算是我们生活中必不可少的一项费用，一般情况下，电费的计算是按照电表读数来计算的。所以我们需要知道每个月的起始电表读数和终止电表读数，并且要知道电费的单价，才可以计算出电费。电费的计算可以用以下的方程式进行计算：电费=（终止电表读数-起始电表读数）×单价。

如果我们现在知道了终止电表读数和起始电表读数分别是5000和4000，单价为0.5元/度，那么根据以上的公式，我们可以得出以下的简单方程式：

电费= (5000-4000）×0.5 = 500元。

通过以上的方程，我们可以方便快捷的进行电费的计算。

2、速度的计算

很多时候，我们需要知道一辆车的速度，那么如何计算车辆的速度呢？速度的计算公式是 移动的路程÷用时。例如，如果一辆车行驶了100公里，用时是2小时，那么根据上述公式，可以计算出该车的速度为 100 ÷ 2 = 50公里/小时。 第 2 页 共 3 页 在现代交通运输中，不仅有汽车，还有高铁、飞机等运输途径。例如，一列高铁从北京到上海的总长度为1318公里，行驶时间为4小时40分钟，那么根据以上的公式，我们可以得出以下的简单方程式：

速度= 1318 ÷（4*60 + 40）=393.65km/h。

通过以上的方程，我们可以方便快捷的计算高铁的速度。

二、不等式的运用

不等式是数学中另一个重要的知识点，它和方程一样，在生活中也具有广泛的应用。下面，我们同样以实例进行解释。

1、食品安全的保障

在食品加工和储存过程中，温度的控制非常关键。温度过高或过低都会影响食品的质量，甚至会导致食品变质。因此，在食品储存或运输过程中，我们要通过不等式的方式来控制温度。例如，对于冷冻食品的保鲜和质量控制，我们需要将温度控制在-18℃以下。我们可以写出以下的不等式：

1

专题2《函数与方程、不等式的关系》

破解策略

1．函数与方程的关系

（1）关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的解抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）与x轴交点的横坐标的值；

（2）关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝mx＋n（am≠0）的解抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）与直线y＝mx＋n（m≠0）交点的横坐标的值．

2．函数与不等式的关系

（1）关于x的不等式ax2＋bx＋c＞0（a≠0）的解集抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）位于x轴上方的所有点的横坐标的值；

（2）关于x的不等式ax2＋bx＋c＜0（a≠0）的解集抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）位于x轴下方的所有点的横坐标的值；

（3）关于x的不等式ax2＋bx＋c＞mx＋n（ma≠0）的解集抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）位于直线y＝mx＋n（m≠0）上方的所有点的横坐标的值；

（4）关于x的不等式ax2＋bx＋c＜mx＋n（ma≠0）的解集抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）位于直线y＝mx＋n（m≠0）下方的所有点的横坐标的值．

例题讲解

例1 在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝mx2－2mx－2（m≠0）与y轴交于点A，其对称轴与x轴交于点B．若该抛物线在－2＜x＜－1这一段位于直线l：y＝－2x＋2的上方，并且在2＜x＜3这一段位于直线AB的下方，求该抛物线的表达式．

解：如图，因为抛物线的对称轴是x＝1，且直线l与直线AB关于对称轴对称．

所以抛物线在－1＜x＜0这一段位于直线l的下方． 2

又因为抛物线在－2＜x＜－1这一段位于直线l的上方，所以抛物线与直线l的一个交点的横坐标为－1．

当x＝－1时，y＝－2×（－1）＋2＝4，则抛物线过点（－1，4），将（－1，4）代入y＝mx2－2mx－2，得m＋2m－2＝4，则m＝2．所以抛物线的表达式为y＝2x2－4x－2．

例2 已知y＝ax²＋bx＋c（a≠0）的自变量x与函数值y满足：当－1≤x≤1时，－1≤y≤1，且抛物线经过点A（1，－1）和点B（－1，1）．求a的取值范围．

蛰　Ｆｏｒｕｍ　麓鞠ＩＴｅａｃｈＩｎｇ　ａｎｄ　Ｒｅｓｅａｆｃｈ　函数与方程思想在高中数学解题中的应用　【贵州省遵义市正安县第一中学，贵州遵义５６３４００】　．　……　．　数　姜．　篓套　耄，霆　襄　．　毒篙　分析、转化、解决有关求值、解（证）不等式、解方程以及讨论参数的取值范　寺Ｉ口Ｊ咫；刀任　僻　竹　咫　州。姒　

＂ｆｆ￣Ｌ是函数和方程思想？简单地说，就是学会用　函数和变量来思考，学会转化已知与未知的关系，对　数和方程思想的考查，主要是考查能不能用函数和　方程思想指导解题，在用函数和方程思想指导解题时　要经常思考下面一些问题：是否需要把一个代数式看　成一个函数，是否需要把字母看作变量，如果把一个　代数式看成了函数，把一个或几个字母看成了变量，　那么这个两数有什么性质，如果一个问题从表面上看　不是一个函数问题，能否构造一个函数来帮助解题，　是否需要把一个等式看作为一个含未知数的方程，如　果是一个方程，那么这个方程的根（例如根的虚实，正　负，范隔等）有什么要求？　一、把字母看作变量或把代数式看作函数　【例１】　已知两条曲线：椭网Ｃ・：　１和　圆Ｃ　：　２＋（ｖ＋１）　：ｒ　（ｒ＞０），若两条曲线没有公共　点，求ｒ的取值范闱　，　／　一一　～～＼、　，　一＼　ｅ　、　～　一　－，　【分析及解】　一般的解法是：从Ｃ．和Ｃｚ的方　程中？肖去一个未知数，比如消去ｘ．得到一个关于Ｙ的　方程一÷ｙ　＋２ｙ＋１０一ｒ　＝０，①　因为两条曲线没有公共点，所以方程①没有实数　根，即判别式小于零，即　△＝４—４（一÷）（１０一　＜０，解得ｒ＞√　或ｒ　＜一　（自ｒ＞ｏ＇ｒ＜一　舍去）．　这就是说，若两条曲线没有公共点，ｒ的取值范嗣　．　这个结果是否正确呢？我们可以ｌ　一个图来观　・５Ｏ・　察，如图，以（０，一１）为圆心，０＜ｒ＜１为半径的圆Ｃ２　与椭圆　没有公共点，但是０＜ｒ＜１这一结果在一ｔ－　面的计算中，并没有出现，显然，这种解法出了毛病！　我们换一个思路：由方程①变形为　ｒ　＝一　。＋２ｙ＋１０・　把　２：一÷　＋２ｙ＋１０看作ｙ的函数，由椭圆　ｃ　可知，一２≤ｙ≤２，因此，求使圆ｃ　与椭圆ｃ　有公　共点的ｒ的集合，等价于在定义域为ｙ　【一２，２】的　情况下，求函数Ｆ２＝ｌ厂（ｙ）＝一÷　十２ｙ＋ｌＯ值域．　由ｌ，　一２）：１　２）：９，４４１＝　，可得ｌ厂（ｙ）的　值域是ｒ２　【ｌ，詈】，即ｒ　【ｌ，√　】，它的补集就是　圆Ｃ　与椭圆Ｃ　没有公共点的ｒ的集合，因此，两条　曲线没有公共点的ｒ的取值范围是０＜ｒ＜１或ｒ＞　／５４　５　【例２　１　（Ｉ）若关于ｘ的不等式ｌ　＋１　Ｉ＋　ｌ　一１｝＞ｍ对所有　Ｒ都成立，求ｍ的取值范围．　（ＩＩ）若关于ｘ的不等式ｌ　＋１　ｌ＋Ｉ　一１　Ｉ＜ｍ有　解，求ｉｑｑ的取值范同．　【分析及解】把式子ｌ　＋１　Ｉ＋Ｉ　一１　Ｉ看作函数・　殴　）＝ｌ　＋１　ｉ＋Ｉ　一１　Ｉ，则　：Ｉ２－２　一　ｘ≤＜　≤－１　，　Ｌ　２ｘ．　＞１．　（１）若关于ｘ的不等式１　＋１　１＋　一１　ｍ对　所有　ＥＲ都成立，则　。　（　）＞ｍ，又　（　）：２，则ｍ　＜２．　（Ⅱ）若关于ｘ的不等式ｌ　＋１　ｌ＋Ｉ　—ｌ　ｌ＜ｍ有　解，则Ｙｍ　（　）＜ｍ，即ｍ＞２．　【例３１　已知数列｛ａ　｝各项都是正数，且满足ｎ。　：１，　：÷。　（４一ｒｚ　），　∈Ｎ．证明口　＜　１＜２，ｎ　∈Ｎ：