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《认识有理数》讲义一、有理数的定义在数学的世界里，有理数是一个非常基础且重要的概念。
那什么是有理数呢？有理数是能够表示为两个整数之比的数，包括整数、有限小数和无限循环小数。
比如说，整数 5 可以写成 5/1，－3 可以写成－3/1；有限小数 025可以写成 1/4，07 可以写成 7/10；无限循环小数 0333 可以写成 1/3。
这里要注意的是，像圆周率π（约等于 314159）和自然常数 e（约等于 271828）这样的无限不循环小数就不是有理数，它们被称为无理数。
二、有理数的分类有理数可以分为正有理数、零和负有理数三大类。
正有理数包括正整数和正分数。
正整数就是我们平常说的1、2、3、4、5……正分数则是大于 0 的分数，比如 1/2、3/4 等等。
零是一个特殊的有理数，它既不是正数也不是负数。
负有理数包括负整数和负分数。
负整数是像－1、－2、－3 这样的数，负分数则是小于 0 的分数，比如－1/2、－3/4 等等。
我们可以用下面这个图来更直观地表示有理数的分类：（此处可以插入一个简单的分类图）三、有理数的性质1、有理数的运算性质有理数的加、减、乘、除运算都有明确的规则。
加法：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；异号两数相加，取绝对值较大的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。
减法：减去一个数，等于加上这个数的相反数。
乘法：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。
除法：除以一个数等于乘以这个数的倒数。
2、有理数的大小比较在数轴上，右边的数总比左边的数大。
正数都大于 0，负数都小于 0，正数大于负数。
两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的反而小。
四、有理数在生活中的应用有理数在我们的日常生活中有着广泛的应用。
比如，在购物时，商品的价格就是有理数。
如果一件商品的价格是155 元，这就是一个有理数。
在计算路程和速度时，比如汽车以每小时 60 千米的速度行驶了 25 小时，我们通过计算 60×25 ＝ 150 千米，这里的速度、时间和路程都是有理数。
《有理数比较大小》讲义一、有理数的基本概念在数学的世界里，有理数是一个重要的概念。
有理数包括整数和分数，整数可以看作是分母为 1 的分数。
例如，5 可以写成 5/1。
有理数可以用数轴来表示，数轴上的点与有理数一一对应。
在数轴上，越往右的数越大，越往左的数越小。
二、正数和负数正数是大于 0 的数，负数是小于 0 的数。
0 既不是正数，也不是负数。
正数通常前面没有符号，或者前面有“＋”号，例如 5 或者+5。
负数前面一定有“”号，例如－3。
三、有理数比较大小的方法1、借助数轴比较在数轴上，右边的点表示的数总比左边的点表示的数大。
例如，在数轴上表示－2 和 3，我们可以清晰地看到 3 在－2 的右边，所以 3 ＞－2 。
2、直接比较正数、负数和 0正数都大于 0，负数都小于 0 。
例如，7 是正数，所以 7 ＞ 0 ；－5 是负数，所以－5 ＜ 0 。
3、两个正数比较大小两个正数比较大小，数值大的数大。
比如 8 和 5 ，因为 8 的数值大于 5 的数值，所以 8 ＞ 5 。
4、两个负数比较大小两个负数比较大小，绝对值大的反而小。
先求出负数的绝对值，绝对值大的那个负数反而小。
例如，比较－7 和－5 。
｜－7| ＝ 7 ，｜－5| ＝ 5 。
因为 7 ＞ 5 ，所以－7 ＜－5 。
四、比较大小的实际应用在日常生活中，有理数比较大小有着广泛的应用。
比如，在温度计上，我们可以通过比较温度的有理数大小来判断天气的冷热。
如果今天的温度是－5℃，明天的温度是－2℃，那么明天比今天暖和，因为－2 ＞－5 。
再比如，在财务方面，盈利为正，亏损为负。
如果一家公司这个月盈利 1000 元记作＋1000 元，上个月亏损 500 元记作－500 元，那么很明显这个月的财务状况比上个月好，因为＋1000 ＞－500 。
五、练习题为了更好地掌握有理数比较大小的方法，我们来做一些练习题。
1、比较－3 和－5 的大小。
｜－3| ＝ 3 ，｜－5| ＝ 5 ，因为 3 ＜ 5 ，所以－3 ＞－5 。
第1讲有理数教学目标1、掌握有理数的分类,学会把有理数对应的点画在数轴上；2、掌握相反数、绝对值、倒数的求法,会比较有理数的大小；3、掌握有理数的大小比较；4、掌握有理数的加减乘除幂的运算法则，并会灵活解题。
正数和负数⒈正数和负数的概念负数：比0小的数正数：比0大的数 0既不是正数，也不是负数注意：①字母a可以表示任意数，当a表示正数时，-a是负数；当a表示负数时，-a是正数；当a表示0时，-a仍是0。
（如果出判断题为：带正号的数是正数，带负号的数是负数，这种说法是错误的，例如+a,-a就不能做出简单判断）②正数有时也可以在前面加“+”，有时“+”省略不写。
所以省略“+”的正数的符号是正号。
2.具有相反意义的量若正数表示某种意义的量，则负数可以表示具有与该正数相反意义的量，比如：零上8℃表示为：+8℃；零下8℃表示为：-8℃3.0表示的意义⑴0表示“没有”，如教室里有0个人，就是说教室里没有人；⑵0是正数和负数的分界线，0既不是正数，也不是负数。
有理数1.有理数的概念⑴正整数、0、负整数统称为整数（0和正整数统称为自然数）⑵正分数和负分数统称为分数⑶正整数，0，负整数，正分数，负分数都可以写成分数的形式，这样的数称为有理数。
理解：只有能化成分数的数才是有理数。
①π是无限不循环小数，不能写成分数形式，不是有理数。
②有限小数和无限循环小数都可化成分数，都是有理数。
注意：引入负数以后，奇数和偶数的范围也扩大了，像-2,-4,-6,-8…也是偶数，-1,-3,-5…也是奇数。
2.有理数的分类⑴按有理数的意义分类⑵按正、负来分正整数正整数整数 0 正有理数负整数正分数有理数有理数0（0不能忽视）正分数负整数分数负有理数负分数负分数总结：①正整数、0统称为非负整数（也叫自然数）②负整数、0统称为非正整数③正有理数、0统称为非负有理数④负有理数、0统称为非正有理数数轴⒈数轴的概念规定了原点，正方向，单位长度的直线叫做数轴。
第一讲：有理数【概念精讲】1、三个重要的定义：（1）正数：像1、2.5、这样大于0的数叫做 ；（2）负数：在正数前面加上“－”号，表示比0小的数叫做 ；（3） 即不是正数也不是负数。
2、有理数的分类：（1）按定义分类： （2）按性质符号分类：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧负分数正分数分数负整数正整数整数有理数0 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧负分数负整数负有理数正分数正整数正有理数有理数0 3、数轴数轴有三要素： 。
画一条水平直线，在直线上取一点表示0（叫做原点），选取某一长度作为单位长度，规定直线上向右的方向为正方向，就得到数轴。
在数轴上的所表示的数，右边的数总比左边的数大，所以正数都大于0，负数都小于0，正数大于负数。
4、相反数如果两个数只有符号不同，那么其中一个数就叫另一个数的相反数。
0的相反数是 ，互为相反的两上数，在数轴上位于原点的两则，并且与原点的距离 。
5、绝对值（1）绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是数轴上表示该数的点与原点的 。
（2）绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；0的绝对值是0；一个负数的绝对值是它的相反数，可用字母a 表示如下：⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=)0()0(0)0(a a a a a a（3）两个负数比较大小，绝对值大的 。
【例题祥解】1，－0.1，－789，25，0，－20，－3.14，－590，87正整数集｛ …｝；正有理数集｛ …｝；负有理数集｛ …｝；负整数集｛ …｝；自然数集｛ …｝；正分数集｛ …｝；负分数集｛ …｝；2．如图所示的图形为四位同学画的数轴，其中正确的是（ ）3．在数轴上画出表示下列各数的点，并按从大到小的顺序排列，用“>”号连接起来。
4，－|－2|， －4.5， 1， 04.下列语句中正确的是（ ）Ａ.数轴上的点只能表示整数 Ｂ.数轴上的点只能表示分数Ｃ.数轴上的点只能表示有理数 Ｄ.所有有理数都可以用数轴上的点表示出来5. －5的相反数是 ；－（－8）的相反数是 ；－ =0的相反数是 ； a 的相反数是 ；6. 若a 和b 是互为相反数，则a+b= 。
《有理数比较大小》讲义一、有理数的概念在数学的世界里，有理数是一个非常重要的概念。
有理数是整数（正整数、0、负整数）和分数的统称。
整数很好理解，像－3、－2、－1、0、1、2、3 等等这样的数就是整数。
而分数呢，就是把一个整体平均分成若干份，表示这样一份或几份的数。
比如 1/2、3/4 等等。
有理数可以用两个整数的比来表示，例如 3 可以写成 3/1，－05 可以写成－1/2 。
二、有理数比较大小的方法1、正数和 0 大于负数正数总是大于 0，而 0 又大于负数。
这是因为正数表示的是在数轴上位于 0 右边的数，负数则在 0 的左边。
所以，比如 3 大于 0，0 大于－2 。
2、数轴比较法我们可以把有理数在数轴上表示出来。
在数轴上，右边的数总是大于左边的数。
举个例子，我们画出数轴，标出－3、－1、0、2 这几个数。
很明显就能看出 2 在最右边，所以 2 最大；－3 在最左边，所以－3 最小。
3、绝对值比较法对于两个负数来说，绝对值大的反而小。
什么是绝对值呢？绝对值就是一个数在数轴上所对应点到原点的距离。
比如，｜－5| ＝ 5，｜－2| ＝ 2 。
因为－5 的绝对值 5 大于－2 的绝对值 2 ，所以－2 大于－5 。
4、作差比较法对于两个有理数 a 和 b ，计算 a b 。
如果 a b 大于 0 ，那么 a 大于 b ；如果 a b 等于 0 ，那么 a 等于 b ；如果 a b 小于 0 ，那么 a 小于 b 。
例如，比较 3 和 5 ，计算 3 5 ＝－2 ，因为－2 小于 0 ，所以 3 小于 5 。
5、作商比较法当两个有理数同号时（同为正或同为负），可以用作商比较法。
对于两个正数 a 和 b ，计算 a÷b 。
如果 a÷b 大于 1 ，那么 a 大于 b ；如果 a÷b 等于 1 ，那么 a 等于 b ；如果 a÷b 小于 1 ，那么 a 小于 b 。
有理数概念知识点1、具有相反意义的量相反意义的量具有两个条件：（1）具有相反意义的词；（2）表示同一类的量 注意：具有相反意义的量是成对出现的，且要带单位例题1、一个物体作左右方向的运动，规定向右运动4m 记作+4m ，那么向左运动4m 记作 。
2、如果+10%表示提高10%，那么-6%表示 。
3、在下面的横线上填上适当的词语，使每句话前后构成具有相反意义的量：（1）收入8元， 6元；（2）高于海平面760米， 海平面280米；（3）减少30kg ， 50kg ；（4） 4760元，存入1000元。
知识点2、正数与负数的意义A. 的数叫做正数.为了明确表达意义，在正数前面加上 “ ” （读作 ）.B. 在正数前加上符号 “ ”（读作 ）的数叫做 .C. 数0既不是正数，也不是负数,例题1、下列关于“0”的叙述，正确的有①0是正数与负数的分界； ②0只表示没有； ③0常用来表示某种量的基准。
2、把下列各数分别填入相应的括号中：1，-31，0.5，0，-6.4，-9，136，π，5%，-26 正数：{ }负数：{ }3、数学竞赛成绩100分以上为优秀，以100分为标准，高于标准分数记为正，低于标准分数记为负，老师将三名同学的成绩记为（单位：分）：+10，-6，0，这三名同学的实际成绩分别是 。
4、有甲、乙、丙三个村子，甲村旁有一条南北走向的柏油公路，如果乙村在甲村南1km 处，丙村在甲村北2km 处，怎样用正数、负数和0表示这三个村子的位置？5、一种零件的直径表标明的要求是0.020.02-10+（单位：mm ）。
现有5个零件，量得它们的直径比标准直径分别超过+0.015mm ，-0.016mm ，+0.021mm ，0mm ，+0.017mm 。
（1）这5个零件的直径分别是多少？（2）这5个零件的合格率是多少？6、观察下面一列数：1，-2，-3，4，-5，-6，7，-8，-9，…。
（1）请写出这一列数中的第100个数和第1009个数；（2）在前2010个数中，正数和负数分别有多少个？（3）请判断2019和-2019是否在这一列数中，并说明理由。
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有理数
一、正数与负数：
1.正数：像+1.8，+420、+30、+10%等带有理数“+”号的数叫做正数。
为了强调正数，前面加上“+”号，也可以省略不写。
2.负数：像－3、－4754、－50、－0.6、－15%等带有“－”号的数叫做负数。
而负数前面的“－”号不能省略。
3.零既不是正数也不是负数，它是正数与负数的分界点。
注意：对于正数与负数，不能简单地理解为：带“+”号的数是正数，带“－”号的数是负数。
例如－a 不一定是负数，因为字母a 代表任何一个有理数，当a 是0时，－a 是0，当a 是负数时，－a 是正数；能用正数与负数表示相反意义的量，习惯上把增加、盈利等规定为正，它们相反意义的量规定为负，正、负是相对而言有理数。
二、有理数及其分类：
有理数：整数与分数统称为有理数。
整数包括三类：正整数、零、负整数。
分数包括两类：正分数和负分数。
注意：小学学过的零表示没有，而引入负数后，就不能把“零”完全当作没有了，如0℃就是一个特定的温度；现在我们学过的数，除π和与π有关的数外，其他的数都是有理数；引入负数后，数的范围扩大为有理数，奇数和偶数的外延也由自然数扩大到整数。
按整数、分数的关系分类： 按正数、负数、零的关系分类：
⎧⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎨⎩⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正整数整数零负整数有理数正分数分数负分数 ⎧⎧⎨⎪⎩⎪⎪⎨⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩
正整数正有理数正分数有理数零负整数负有理数负分数 三、数轴：
1.数轴的概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴。
注意：①数轴是一条直线，可以向两端无限延伸；②数轴有三要素：原点、正方向、单位长度三者缺一不可；③原点的位置、正方向的取向、单位长度的大
小的选定，都是根据实际需要而定的。
2.数轴的画法：①画一条水平的直线；②在直线的适当位置选取一点作为原点，并用0表示这点；③确定向右为正方向，用箭头表示出来；④选取适当的长度作为单位长度，从原点向右，每隔一个单位长度取一点，依次为1，2，3，…；从原点向左，每隔一个单位长度取一点，依次为－1，－2，－3，…。
如图1所示。
四、相反数：
只有符≧号不同的两个数互为相反数。
规定零的相反数是零。
从数轴上看，表示互为相反数的两个数，分别位于原点的两侧，且与原点的距离相等，如图1，3与－3互为相反数。
注意：相反数是成对出现的，不能单独存在，如+2与－2互为相反数，说明+2的相反数是－2，－2的相反数是+2，单独一个数不能说相反数；“只有”的含义说明像+5与－3这样的两个数不是互为相反数。
五、绝对值：
绝对值的几何定义：在数轴上，表示一个数a的点到原点的距离叫做这个数a的绝对值，记作|a|。
绝对值的代数定义：一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0.
注意：①绝对值的求法：先判断这个数是正数、负数、还是零，再根据绝对值的代数定义去掉绝对符号；②绝对值的非负性：无论是绝对值的几何定义，还是绝对值的代数定义都揭示了绝对值的重要性质—非负性。
也就是说，任何一个
有理数的绝对值都是非负数，即|a≥
|0，
(0)
|0 (0)
(0)
a a
a a
a a
>
⎧
⎪
==
⎨
⎪-<
⎩
|。
六、非负数
若数a≧0，则称a为非负数。
非负数的性质：任何非负数的和仍为非负数；如果几个非负数的和为0，则这几个非负数均为0。
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七、倒数
乘积为1的两个有理数互为倒数。
倒数的求法：求一个数的倒数，直接可写成这个数分之一；求一个分数的倒数，只要将分子、分母颠倒即可；求一个带分数的倒数，应先将带分数化成假分数，再将分子、分母颠倒；求一个小数的倒数，应先将小数化成分数，然后再求倒数。
只有零没有倒数，其他任何有理数都有倒数。
正数的倒数为正数，负数的倒数为负数。
八、有理数大小的比较：
1.利用数轴比较大小：数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。
于是：正数大于0，
0大于负数，
正数大于一切负数。
2任意有理数大小的比较法则：正数都大于零，负数都小于零，正数大于一切负数，两个负数，绝对值大的反而小。
比较两个负数大小的步骤是：首先分别求出两个负数的绝对值；再比较两个绝对值的大小；最后根据“两个负数，绝对值大的反而小”作出正确判断。
九、基本运算
1、有理数的加法法则：同号两数相加，取相同的符号，并把其绝对值相加；异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反数的两个数相加得零；一个数与零相加，仍得这个数。
2、有理数的减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数。
3、有理数的乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把其绝对值相乘；任何数与零相乘，都得零；几个不等于零的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数的个数为奇数个时，积为负；当负因数的个数为偶数个时，积为正。
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4、有理数的除法法则：两数相除，同号得正，异号得负，并把其绝对值相除；零除以任何一个不为零的数，都得零；除以一个数等于乘以这个数的倒数（零不能作除数）。
十、乘方
乘方的定义：求几个相同因数积的运算。
乘方的结果叫做幂。
在a n中a叫做底数，n叫做指数。
读作a的n次方，看作是a的n次方的结果时，也可读作a 的n次幂。
根据乘方的意义转化为乘方，再根据乘法法则进行计算；根据乘方的性质，先判断幂的符号，再计算幂的绝对值。
十一、有理数运算律
①加法的交换律a+b=b+a；
②加法的结合律a+(b+c)=(a+b)+c；
③存在数0，使0+a=a+0=a；
④对任意有理数a，存在一个加法逆元，记作-a，使a+(-a)=(-a)+a=0；
⑤乘法的交换律ab=ba；
⑥乘法的结合律a(bc)=(ab)c；
⑦分配律a(b+c)=ab+ac；
⑧存在乘法的单位元1≠0，使得对任意有理数a，1a=a；
⑨对于不为0的有理数a，存在乘法逆元1/a，使a(1/a)=(1/a)a=1。
⑩0a＝0 文字解释：一个数乘0还于0。
十二、有理数的运算顺序
先乘方、开方，后乘除，最后加减；有括号时，先算括号里面的；同级运算按从左至右的顺序进行，同时注意运算律的灵活应用。
说明：加减是一级运算，乘除是二级运算，乘方、开方是三级运算。
十三、近似数、有效数字与科学计数法
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近似数：一个与实际数比较接近的数，称为近似数。
有效数字：对于一个近似数，从左边第一个不是0的数字开始，到最末一个数字止，都是这个近似数的有效数字。
科学计数法：把一个数记作a×10n形式（其中1≤ a ≤10，n为整数。
）
例：下列由四舍五入得到的近似数各精确到哪一位？各有哪几个有效数字？
（1） 132.4 （2） 0.0572
（3） 2.40万（4）4
3.2
10
例：用四舍五入，按括号中的要求对下列各数取近似数。
（1） 0.34082（精确到千分位）
（2） 64.8（精确到个位）
（3） 1.5046（精确到0.01）
（4） 0.0692（保留2个有效数字）
（5） 30542（保留3个有效数字）
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