启东中学提前招生数学试卷及答案详解

2023年江苏省南通市启东市小升初数学试卷一、问卷选择题（根据实际情况，从四个选项中选择一个答案填涂到答题卡上）。

1．（3分）马上要进入中学了，我对自己能学好数学，（）有信心。

A．从来没B．很少C．有时D．总是2．（3分）学习数学时，我更愿意（）A．听老师讲解B．自己看书思考C．与同学讨论D．多做练习题3．（3分）上课时，老师（）让我们带一些或为我们准备一些动手操作的材料。

A．从不B．很少C．有时D．常常4．（3分）数学课上，我们（）开展小组合作。

A．从不B．很少C．有时D．常常5．（3分）学习数学新知识时，老师一般会（）A．先通过讲解帮我们弄懂，再布置做练习。

B．以老师提问学生回答的方式讲解，再布置做练习。

C．先让我们尝试独立解答，再听老师讲解。

D．先让我们尝试独立解答，再请会做的同学交流。

6．（3分）数学课上，老师提问最多的是（）的学生。

A．积极主动B．基础薄弱C．注意力不集中D．学习能力强7．（3分）《大树有多高》这节课，我们（）A．没有上。

B．把教材读了一遍，并划出重要知识点。

C．听老师讲解。

D．小组合作进行测量，并发现规律。

8．（3分）我国古代的《九章算术》记载的“周自相乘，以高乘之，十二而一”是（）的体积计算方法。

A．长方体B．正方体C．圆柱D．圆锥9．（3分）在学习“圆锥的体积”时，为了弄清圆锥和圆柱的关系，我们是（）A．只看课件演示B．只看老师用实物（水或沙子等）演示C．只听老师讲解D．小组合作用实物（水或沙子等）操作10．（3分）数学《补充习题》上遇到较难的题，我们通常（）完成。

A．独立思考B．老师讲解后C．同学间讨论后D．以上都有可能二、选择题（选择正确答案填涂在答题卡上，每题2分，共20分）。

11．（2分）截止到2022年底，启东市总人口达107.79万人。

如果要呈现汇龙镇、吕四港镇、寅阳镇等12个乡镇各自的人口总数，使用（）统计图比较好。

A．条形B．折线C．扇形D．以上三种都可以12．（2分）直线上P点表示的数（如图），可能是算式（）的结果。

江苏省启东市吕四中学2025届高考全国统考预测密卷数学试卷注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。

2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。

第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。

3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．()f x 是定义在()0,∞+上的增函数，且满足：()f x 的导函数存在，且()()f x x f x '<，则下列不等式成立的是（ ） A ．()()221f f < B ．()()3344ff <C ．()()2334f f <D ．()()3223f f <2．函数()sin 3f x x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭（0>ω），当[]0,x π∈时，()f x 的值域为3,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，则ω的范围为（ ） A ．53,62⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．55,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．14,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．50,3⎛⎤ ⎥⎝⎦3．已知随机变量X 服从正态分布()1,4N ，()20.3P X >=，()0P X <=（ ） A ．0.2B ．0.3C ．0.7D ．0.84．如图所示，直三棱柱的高为4，底面边长分别是5，12，13，当球与上底面三条棱都相切时球心到下底面距离为8，则球的体积为 ( )A ．B ．C ．D ．5．已知空间两不同直线m 、n ，两不同平面α，β，下列命题正确的是（ ） A ．若m α且n α，则m n B ．若m β⊥且m n ⊥，则n βC ．若m α⊥且m β，则αβ⊥D ．若m 不垂直于α，且n ⊂α，则m 不垂直于n6．已知定义在R 上的奇函数()f x 和偶函数()g x 满足()()2x xf xg x a a -+=-+（0a >且1a ≠），若(2)g a =，则函数()22f x x +的单调递增区间为（ ） A ．(1,1)-B ．(,1)-∞C ．(1,)+∞D ．(1,)-+∞7．已知函数21,0()ln ,0x x f x x x +≤⎧=⎨>⎩,则方程[]()3f f x =的实数根的个数是（ ） A ．6B ．3C ．4D ．58．已知函数()22cos sin 4f x x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，则()f x 的最小值为( )A ．212+B ．12C ．212-D ．214-9．如图所示点F 是抛物线28y x =的焦点，点A 、B 分别在抛物线28y x =及圆224120x y x +--=的实线部分上运动， 且AB 总是平行于x 轴， 则FAB ∆的周长的取值范围是（ ）A ．(6,10)B ．(8,12)C ．[6,8]D ．[8,12]10．2021年某省将实行“312++”的新高考模式，即语文、数学、英语三科必选，物理、历史二选一，化学、生物、政治、地理四选二，若甲同学选科没有偏好，且不受其他因素影响，则甲同学同时选择历史和化学的概率为 A ．18B ．14C ．16D ．1211．如图，正方形网格纸中的实线图形是一个多面体的三视图，则该多面体各表面所在平面互相垂直的有（ ）A ．2对B ．3对C ．4对D ．5对12．我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，用现代式子表示即为：在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，则ABC ∆的面积222221()42a b c S ab ⎡⎤⎛⎫+-⎢⎥=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦.根据此公式，若()cos 3cos 0a B b c A ++=，且2222a b c --=，则ABC ∆的面积为（ ）A ．2B ．22C ．6D ．23二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

江苏省启东中学2019年创新人才培养实验班自主招生考试数学试卷一、选择题（本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置．．．．．．．上） 1． 把2232x y xy y -+分解因式正确的是 A ．()222y x xy y -+B ．()2y x y -C ．()22y x y -D ．()2y x y +2． 已知a ，b 为一元二次方程2290x x +-=的两个根，那么2a a b +-的值为A ．﹣7B ．0C ．7D ．113． 如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝4，BC ＝3，O 是△ABC 的内心，以O 为圆心，r 为半径的圆与线段AB 有交点，则r 的取值范围是 A ．r ≥1B ．1≤r ≤ 5C ．1≤r ≤10D ．1≤r ≤44． 如图，等边△ABC 中，AC ＝4，点D ，E ，F 分别在三边AB ，BC ，AC 上，且AF ＝1，FD ⊥DE ，且∠DFE ＝60°，则AD 的长为 A ．0.5B ．1C ．1.5D ．25． 如图，△ABC 中，AB ＝BC ＝4cm ，∠ABC ＝120°，点P 是射线AB 上的一个动点，∠MPN ＝∠ACP ，点Q 是射线PM 上的一个动点．则CQ 长的最小值为 AB ．2C．D ．4（第3题）B C（第4题）（第5题）NMQPCAB6． 二次函数228y x x m =-+满足以下条件：当21x -<<-时，它的图象位于x 轴的下方；当67x << 时，它的图象位于x 轴的上方，则m 的值为 A ．8 B ．10-C ．42-D ．24-二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置．．．．．．．上） 7． 计算－82015×(－0.125)2016＝ ▲ ．8． 市政府为了解决老百姓看病贵的问题，决定下调药品的价格．某种药品经过两次降价，由每盒72元调至56元．若每次平均降价的百分率为x ，由题意，可列方程为 ▲ ．9． 在平面直角坐标系中，点A ，B 的坐标分别A (3，0)，B (8，0)，若点P 在y 轴上，且△P AB 是等腰三角形，则点P 的坐标为 ▲ ． 10．关于x 的方程2101x ax +-=-的解是正数，则a 的取值范围是 ▲ ． 11．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC 是边长为8的正方形，M (8，s )，N (t ，8)分别是边AB ，BC 上的两个动点，且OM ⊥12．如图，△ABC 在第一象限，其面积为5．点P 从点A 出发，沿△ABC 的边从A —B —C —A运动一周，作点P 关于原点O 的对称点Q ，再以PQ 为边作等边三角形PQM ，点M 在第二象限，点M 随点P 的运动而运动，则点M 随点P 运动所形成的图形的面积为 ▲ ．三、解答题（本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）图113．（本小题满分15分）阅读下面材料，并解决问题．材料：如图1，在平面直角坐标系xOy 中，直线1y ax b =+与双曲线2ky x=交于 A （1，3）和B （－3，－1①当3x =-或1时，12y y =；②当30x -<<或x 即通过观察函数的图象，可以得到不等式ax b +>问题：求不等式32440x x x +-->的解集．下面是他的探究过程，请将（2），（3），（4（1）将不等式按条件进行转化当x ＝0时，原不等式不成立；当x ＞0时，原不等式可以转化为2441x x x +->； 当x ＜0时，原不等式可以转化为2441x x x+-<． （2）构造函数，画出图象设2341y x x =+-，44y x=，在同一坐标系中分别画出这两个函数的图象． 双曲线44y x=如图2画出抛物线．．．．．2341y x x =+-．（3）确定两个函数图象公共点的横坐标代入函数解析式验证可知满足34y y =所有x 的值为 ▲ ； （4）借助图象，写出解集结合（1可知不等式32440x x x +-->如图，“元旦”期间，学校在综合楼上从点A 到点B 悬挂了一条宣传条幅，小明和小芳所在的教学楼正好在综合楼的对面．小明在四楼D 点测得条幅端点A 的仰角为30 o ，测得条幅端点B 的俯角为45o ；小芳在三楼C 点测得条幅端点A 的仰角为45o ，测得条幅端点B 的俯角为30 o ．若楼层高度CD 为3米，请你根据小明和小芳测得的数据求出条幅AB 的长．（结果保留根号）15．（本小题满分14分）如图1，A ，B ，C ，D 四点都在⊙O 上，AC 平分∠BAD ，过点C 的切线与AB 的延长线交于点E ．（1）求证：CE ∥BD ；（2）如图2，若AB 为⊙O 的直径，AC =2BC ，BE ＝5，求⊙O 的半径．（第14题）（第15题）图1图2惠民超市试销一种进价为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于进价，且获利不得高于40%．经试销发现，销售量y （件）与销售单价x （元）满足一次函数y ＝kx ＋b ，且当x ＝70时，y ＝50；当x ＝80时，y ＝40． （1）求一次函数y ＝kx ＋b 的解析式；（2）设该超市获得的利润为W 元，试写出利润W 与销售单价x 之间的关系式；销售单价定为多少元时，超市可获得最大利润，最大利润是多少元？ （3）若该超市预期的利润不低于500元，试确定销售单价x 的取值范围．17．（本小题满分16分）如图，已知抛物线223y x x =-++的图象与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，抛物线的顶点为D ． （1）求直线B C 的解析式；（2）点M 在抛物线上，且△BMC 的面积与△BCD 的面积相等，求点M 的坐标； （3）若点P 在抛物线上，点Q 在y 轴上，以P ，Q ，B ，D 四个点为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点P 的坐标．（第如图，在平面直角坐标系xOy中，已知矩形OACB的边OA，OB分别在x轴和y轴上，OA＝8，OB＝6．点P从点O开始沿OA边匀速移动，点M从点B开始沿BO边匀速移动，点P，点M同时出发，它们移动的速度均为每秒一个单位长度，设两个点运动的时间为t秒（0≤t≤6）．（1）连接矩形的对角线AB，当t为何值时，以P，O，M为顶点的三角形与△AOB 相似；（2）在点P，点M运动过程中，线段PM的中点Q也随着运动，请求出CQ的最小值；（3）将△POM沿PM所在直线翻折后得到△PDM，试判断D点能否在对角线AB上，如果能，求出此时t的值，如果不能，请说明理由．数学答案一、选择题（本大题共6小题，每小题5分，共30分） 1． B2． D3． C4． C5． A6． D二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分） 7．－0.1258． ()272156x -= 9．（0，4），（0，－4） 10． a ＜－1且a ≠－211． 1012． 15三、解答题（本大题共6小题，共90分） 13．（本小题满分15分）（2）抛物线如图所示； ……………………5分（3）x =4-，1-或1；……………………11分 （4）41x -<<-或1x >．…………………15分14．（本小题满分12分）过D 作DM ⊥AE 于M ，过C 作CN ⊥AE 于N ，则DM ＝CN ，MN ＝CD ＝3米， 设AM ＝x ，则AN ＝x ＋3，由题意：∠ADM ＝30ｏ， ∴∠MAD ＝60ｏ． 在Rt △ADM 中，DM ＝AM ·tan60ｏ．在Rt △ANC 中，CN ＝AN ＝x ＋3， ………6分＝x ＋3，解之得，)312x =，…………10分∵MB ＝MD ，∴AB ＝AM ＋MB ＝x＝6＋．……12分EF15．（1）连接OC ，∵CE 为⊙O 的切线，∴OC ⊥CE ．……………………………………2分 ∵AC 平分∠BAD ，∴点C 平分弧BD ．∴OC ⊥BD ……………………………4分 ∵BD ∥CE ． ………………………6分 （2）∵BD ∥CE ，∴∠CBD ＝∠BCE ．∵∠CBD ＝∠CAD ，∠CAD ＝∠CAE ， ∴∠CAE ＝∠BCE ． ∵∠E ＝∠E ，∴△ACE ∽△CBE ． ………………10分 ∴AC AE CE CBCEBE==．∴25AE CE CE==．∴CE =10，AE =20， ………………………12分 ∴AB =15，⊙O 的半径为7.5． ………………………14分16．（1）根据题意得7050,8040.k b k b ì+=ïí+=ïî解得k ＝－1，b ＝120．所求一次函数的表达式为y ＝－x ＋120． ………………………4分 （2）()()60120W x x =--+21807200x x =-+-()290900x =--+．…………………8分抛物线的开口向下，∴当x ＜90时，W 随x 的增大而增大， 而60≤x ≤84，∴当x ＝84时，()28490900864W =--+=．∴当销售单价定为84元时，商场可获得最大利润，最大利润是864元．……10分（3）由W ＝500，得500＝－x 2＋180x －7200，整理得，x 2－180x ＋7700＝0，解得，x 1＝70，x 2＝110． ……………………13分 由图象可知，要使该商场获得利润不低于500元，销售单价应在70元到110元之 间．而60≤x ≤84，所以，销售单价x 的取值范围是70≤x ≤84．…………………15分17．（1）易得A (－1，0)，B (3，0)，C (0，3) ，D (1，4)，所以直线BC 的解析式为 y ＝－x ＋3 …………………4分 （2）过点D 作直线BC 的平行线交y 轴于点E ，直线DE 与抛物线的交点即为所求的点M ．易得直线DE 的解析式为y ＝－x ＋5，所以点E 的坐标为（0，5）．解25,23y x y x x ì=-+ïí=-++ïî 得点M 的坐标为（2，3）． …………………6分 在y 轴上取F (0，1)，则CE ＝CF ，所以过F 且平行于BC 的直线与抛物线的交点也是所要求的M 点． 解21,23y x y x x ì=-+ïí=-++ïî得点M 的坐标为：． …………………………10分 综合得点M 的坐标为： （2，3），．（3）符合要求的点P 有三个：（4，－5），（－2，－5），（2，3）． ……………16分（第17题）18．（1）由题意得OM ＝6－t ，OP ＝t ．若△POM ∽△AOB ，则624,867t tt -==解得； ……………3分若△POM ∽△BOA ，则618,687t tt -==解得． ……………6分 （2）过点Q 作QH ⊥OP ，垂足为易得1122OH OP t ==，QH ∴点Q （6,22t t-）．过点Q 作QG ⊥AC ，垂足为则182QG t =-,662t CG -=-∴CQ ∴当t =5时，CQ 有最小值2． ……… ……12分 （3）不能．理由如下：设OD 与PM 相交于点E ，则OE ⊥PM ，OD ＝2OE ．在Rt △POM 中， PM 则OE ＝2OP OM PM ?当t ＝3时，2(3)9t --+有最大值9， 所以，当t ＝3时，OE 所以OD 有最大值O 到AB 的最短距离为684.810´=． 因为 4.8，所以，点D 不可能在AB 上． ……………18分。

2024年江苏省启东中学创新人才培养实验班自主招生考试数学模拟试题一、单选题1．设12211112a =++，22211123a =++，32211134a =++，……，22111(1)n a n n =+++．其中n）A ．201920202020B ．202020202021C ．202020212021D ．2021202120222．点I 为ABC V 的内心，连AI 交ABC V 的外接圆于点D ，若2AI CD =，点E 为弦AC 的中点，连接,EI IC ，若6,5IC ID ==，则IE 的长为（ ）A ．5B ．4.5C ．4D ．3.53．如图，一次函数y x =x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，把直线AB 绕点B 顺时针旋转30︒交x 轴于点C ，则线段AC 长为（ ）AB ．C ．2D 4．如图，点A 在反比例函数()20y x x=>的图像上，以OA 为一边作等腰直角三角形OAB ，其中∠OAB =90°，AO AB =，则线段OB 长的最小值是（ ）A ．1BC ．D ．45．如图，四边形ABCD 为正方形，将EDC △绕点C 逆时针旋转90︒至HBC V ，点D ，B ，H在同一直线上，HE 与AB 交于点G ，延长HE 与CD 的延长线交于点F ，2HB =，3HG =．以下结论：①135EDC ∠=︒；②2EC CD CF =⋅；③HG EF =；④sin CED ∠=．其中正确结论的个数为（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个6．已知二次函数223y ax ax =-+（其中x 是自变量），当03x <<时对应的函数值y 均为正数，则a 的取值范围为（ ）A ．01a <<B ．1a <-或3a >C ．30a -<<或0<<3aD ．10a -≤<或0<<3a二、填空题7．第19届亚运会将于今年9月23日到10月08日在杭州举行．其吉祥物是一组名为“江南忆”的机器人．三个吉祥物分别取名“琮琮”、“莲莲”和“宸宸”，分别代表世界遗产“良渚古城遗址”、“西湖”、“京杭大运河”．某校开展了一系列的“迎亚运”活动，其中一项是由志愿者扮演吉祥物和同学们合影留念．甲乙两位同学和三个吉祥物一起合影，站成一行，要求甲乙不相邻，且甲乙均不站在两端，则不同的站法种数为 ．8．如图，将两个边长分别为a 和b 的正方形拼在一起，B ，C ，G 三点在同一直线上，连接BD 和BF ，若这两个正方形的边长满足a +b =10，ab =20，则阴影部分的面积为．9．如图，已知在△ABC 中，∠B=45º，∠C=60º，将△ABC 绕点A 旋转，点B 、C 分别落在点B 1、C 1处，如果BB 1//AC ，联结C 1B 1交边AB 于点D ，那么1BD B D的值为．10．如图，E 是线段AB 上一点，ADE V 和BCE V 是位于直线AB 同侧的两个等边三角形，点,P F 分别是,CD AB 的中点．若4AB =，则PA PB +的最小值为．11．若一个点的纵坐标是横坐标的3倍，则称这个点为“三倍点”，如：()()()1,3,2,6,0,0A B C --等都是“三倍点”．在31x -<<的范围内，若二次函数2y x x c =--+的图象上至少存在一个“三倍点”，则c 的取值范围是．120.618≈这个数叫做黄金比，著名数学家华罗庚优选法中的“0.618法”就应用了黄金比．设a =b =11111S a b =+++，2222211S a b =+++，…，10010010010010011S a b=+++，则12100S S S +++=L ．三、解答题13．若a 、b 、c 为正有理数，证明：(1)(2)14．若直角三角形的边长,x y 都是质数，且使得代数式21x y -及23y x+的值都是正整数，求此直角三角形的三边长．15．如图，以AB 为直径的O e 与AH 相切于点A ，点C 在AB 左侧圆弧上，弦CD AB ⊥交O e 于点D ，连接,AC AD ．点A 关于CD 的对称点为E ，直线CE 交O e 于点F ，交AH 于点G ．(1)求证：CAG AGC ∠=∠；(2)当点E 在AB 上，连接AF 交CD 于点P ，若25EF CE =，求DP CP的值； (3)当点E 在线段AB 上，2AB =，以点A ，C ，O ，F 为顶点的四边形中有一组对边平行时，求AE 的长．16．如图，已知正方形ABCD ，点P 是边BC 上的一个动点（不与点B 、C 重合），点E 在DP 上，满足AE AB =，延长BE 交CD 于点F ．(1)求证：135BED ∠=o ；(2)连接CE ．①当CE BF ⊥时，求BP PC的值； ②如果CEF △是以CE 为腰的等腰三角形，求FBC ∠的正切值．17．以下虚线框中为一个合作学习小组在一次数学实验中的过程记录，请阅读后完成虚线框下方的问题1~4．（1）在Rt ABC V 中，90,C AB ∠=︒=集到，组数据如下表：（单位：厘米）（2）根据学习函数的经验，选取上表中BC 和AC BC +的数据进行分析；①设BC x AC BC y =+=,，以(,)x y 为坐标，在图①所示的坐标系中描出对应的点； ②连线；观察思考（3）结合表中的数据以及所面的图像，猜想．当x =时，y 最大；（4）进一步C 猜想：若Rt MBC V 中，90C ∠=︒，斜边(2AB a a =为常数，0a >），则BC =时，AC BC +最大．推理证明（5）对（4）中的猜想进行证明．问题1．在图①中完善()2的描点过程，并依次连线；问题2．补全观察思考中的两个猜想：()3 _______ ()4 _______问题3．证明上述()5中的猜想：问题4．图②中折线B E F G A ----是一个感光元件的截面设计草图，其中点,A B 间的距离是4厘米，1AG BE ==厘米，90,E F G ∠=∠=∠=o 平行光线从AB 区域射入，60,BNE ∠=o线段FM FN 、为感光区域，当EF 的长度为多少时，感光区域长度之和最大，并求出最大值．18．若关于x 的函数y ，当1122t x t -≤≤+时，函数y 的最大值为M ，最小值为N ，令函数2M N h -=，我们不妨把函数h 称之为函数y 的“共同体函数”． (1)①若函数4044y x =，当1t =时，求函数y 的“共同体函数”h 的值；②若函数y kx b =+（0k ≠，k ，b 为常数），求函数y 的“共同体函数”h 的解析式；(2)若函数21y x x=≥（），求函数y 的“共同体函数”h 的最大值； (3)若函数24y x x k =-++，是否存在实数k ，使得函数y 的最大值等于函数y 的“共同体函数”h 的最小值．若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由．。

江苏省启东中学2024~2025学年度第一学期期初反馈检测高二数学一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分）1.已知复数z 满足1i 2i z z +=-，则z =（）A.32B.52C.2D.2.过点()2,1-且与直线2390x y -+=平行的直线的方程是（）A.2370x y --=B.2310x y +-= C.3240x y +-= D.2370x y -+=3.已知3sin 5x =，其中π,π2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则tan 24πx ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A .1- B.49C.3117D.1731-4.在区间[]5,10-上任取一个整数m ，则使函数()222f x x mx m =--存在两个不同零点的概率为（）A.116B.316C.1316D.15165.已知直线l ：0ax by c ++=与直线l '关于直线0x y +=对称，则l '的方程为（）A.bx ay c +-= B.bx ay c -+=C.0bx ay c ++= D.0bx ay c --=6.已知空间向量()1,2,3m = ，空间向量n 满足//m n u r r 且7⋅=m n ，则n ＝（）A.13,1,22⎛⎫⎪⎝⎭ B.13,1,22⎛⎫--- ⎪⎝⎭ C.31,1,22⎛⎫--- ⎪⎝⎭ D.31,1,22⎛⎫⎪⎝⎭7.点P 在直线:10l x y --=上运动，()()2,3,2,0A B ，则PA PB -的最大值是（）A.B.C.3D.48.如图，正四面体ABCD 的顶点A ，B ，C 分别在两两垂直的三条射线Ox ，Oy ，Oz 上，则在下列命题中，错误的是A.O ABC -是正三棱锥B.直线OB ∥平面ACDC.直线AD 与OB 所成的角是45D.二面角D OB A --为45 .二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．）9.下列命题正确的是（）A.若存在实数x ，y ，使p xa yb =+ ，则p 与,a b 共面B.若p与,a b共面，则存在实数x ，y ，使p xa yb=+C.若存在实数x ，y ，使MP xMA yMB =+，则M ，P ，A ，B 共面D.若M ，P ，A ，B 共面，则存在实数x ，y ，使MP xMA yMB=+10.对于直线()12:230,:3130l ax y a l x a y a ++=+-+-=.以下说法正确的有（）A.1l ∥2l 的充要条件是3a =B.当25a =时，12l l ⊥C.直线1l 一定经过点()3,0M D.点()1,3P 到直线1l 的距离的最大值为511.已知P 、Q 分别为棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -棱1DD 、1BC 上的动点，则下列说法正确的是（）A.线段PQ 长度的最小值为2B.三棱锥11P A BC -的外接球体积的最大值为C.直线1AQ 与直线BC 所成角的余弦值的范围为0,2⎡⎢⎣⎦D.当P 、Q 为中点时，平面1B PQ 截正方体1111ABCD A B C D -所形成的图形的面积为94三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.若()()3a b c b c a bc +++-=，且sin 2sin cos A B C =，那么ABC V 是____________三角形13.如果三条直线280ax y ++=，4310x y +=和210x y -=将平面分为六个部分，那么实数a 的取值集合为___________.14.已知R m ∈，若过定点A 的动直线1:20l x my m -+-=和过定点B 的动直线2:240l mx y m ++-=交于点P （P 与A ，B 不重合），则PA PB ⋅的最大值为_____________；2PA PB +的最大值为_____________．四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.已知点(1,3)A ，(3,1)B ，(1,0)C -，求：（1）BC 边上的高所在直线方程；（2）ABC V 的外心坐标；（3）ABC V 的面积．16.在ABC V 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知2sin 3sin ,3,cos 3b Ac B a B ===.（1）求b 的值；（2）求πcos 24A ⎫⎛+⎪⎝⎭的值.17.某新能源汽车制造公司，为鼓励消费者购买其生产的新能源汽车，约定从今年元月开始，凡购买一辆该品牌汽车，在行驶三年后，公司将给予适当金额的购车补贴．某调研机构对已购买该品牌汽车的消费者，就购车补贴金额的心理预期值进行了抽样调查，得其样本频率分布直方图如图所示．其中0.15a =．（1）估计已购买该品牌汽车的消费群体对购车补贴金额的心理预期值的平均数（同一组数据用该区间的中点值作代表）和中位数；（精确到0.01）（2）现在要从购车补贴金额的心理预期值在[)3,5间用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取2人进行调查，求抽到2人中购车补贴金额的心理预期值都在[)3,4间的概率．18.已知点()1,2M -，直线:250l x y +-=（1）求点M 关于点()3,1F 对称点N 的坐标（2）求点M 关于直线l 的对称点Q 的坐标.（3）已知点()0,2R -，点P 在直线l 上，问使22PM PR +取得最小值时P 点的坐标与使PM PR +取得最小值时P 点的坐标是否相同？请说明理由.19.如图，四边形ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，DE ⊥平面ABCD ，1,2AB DE AD PA ====，点F 在棱PA 上.（1）求证：//BF 平面CDE ；（2）求直线BP 与平面PEC 所成角的正弦值；（3）若点F 到平面PCE 的距离为13，求线段AF 的长.江苏省启东中学2024~2025学年度第一学期期初反馈检测高二数学一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分）1.已知复数z 满足1i 2i z z +=-，则z =（）A.32B.52C.2D.【答案】C 【解析】【分析】根据复数的除法运算化简复数，即可根据模长公式求解.【详解】由1i 2i z z +=-可得()()()()12i 1i 12i 13i1i 1i 1i 2z +++-+===--+，所以2z ，故选：C2.过点()2,1-且与直线2390x y -+=平行的直线的方程是（）A.2370x y --= B.2310x y +-= C.3240x y +-= D.2370x y -+=【答案】A 【解析】【分析】利用直线的平行系方程及点在直线上即可求解.【详解】设与直线2390xy -+=平行的直线的方程为230x y λ-+=，将点()2,1-代入得()22310λ⨯-⨯-+=，解得7λ=-，所以所求直线的方程为2370x y --=.故选：A.3.已知3sin 5x=，其中π,π2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则tan 24πx ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A.1- B.49C.3117D.1731-【答案】C 【解析】【分析】先利用三角函数的基本关系式求得3tan 4x =-，再利用正切的倍角公式和两角差的正切公式，即可求解.【详解】因为3sin 5x =，其中π,π2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则4cos 5x =-，可得sin 3tan cos 4x x x ==-，又因为22tan 24tan21tan 7x x x ==--，所以tan2131tan 241tan217x x x π-⎛⎫-== ⎪+⎝⎭．故选：C.4.在区间[]5,10-上任取一个整数m ，则使函数()222f x x mx m =--存在两个不同零点的概率为（）A.116 B.316C.1316D.1516【答案】C 【解析】【分析】利用2(2)41(2)0m m ∆=--⨯⨯->，可求有两个零点的m 的范围，进而可求概率.【详解】因为函数()222f x x mx m =--存在两个不同零点，所以()2220f x x mx m =--=有两个不同的根，所以2(2)41(2)0m m ∆=--⨯⨯->，解得2m <-或0m >，在区间[]5,10-上任取一个整数m ，共有16种取法，能使使函数()222f x x mx m =--存在两个不同零点的取法有13种，所以使函数()222f x x mx m =--存在两个不同零点的概率为1316.故选：C.5.已知直线l ：0ax by c ++=与直线l '关于直线0x y +=对称，则l '的方程为（）A.0bx ay c +-= B.0bx ay c -+= C.0bx ay c ++= D.bx ay c --=【答案】A 【解析】【分析】根据对称性的性质，用x -代y ，以y -代x 进行求解即可.【详解】因为直线l ：0ax by c ++=与直线l '关于直线0x y +=对称，所以在方程0ax by c ++=中，用x -代y ，以y -代x ，得0ay bx c --+=，化简，得0bx ay c +-=，故选：A6.已知空间向量()1,2,3m = ，空间向量n 满足//m n u r r 且7⋅=m n ，则n ＝（）A.13,1,22⎛⎫⎪⎝⎭B.13,1,22⎛⎫--- ⎪⎝⎭C.31,1,22⎛⎫--- ⎪⎝⎭ D.31,1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】A 【解析】【分析】由空间向量共线的坐标表示与数量积的坐标表示求解即可.【详解】∵()1,2,3m=，且空间向量n满足//m n u r r ，∴可设(),2,3n m λλλλ== ，又7⋅= m n，∴1233147λλλλ⨯+⨯+⨯==，得12λ=．∴113,1,222n m ⎛⎫== ⎪⎝⎭，故A 正确.故选：A.7.点P 在直线:10l x y --=上运动，()()2,3,2,0A B ，则PA PB-的最大值是（）A.B.C.3D.4【答案】A 【解析】【分析】作出点关于直线的对称点，然后利用两点距离公式求解即可.【详解】设B 关于:10l x y --=的对称点为(),C m n ，则1221022nm m n ⎧=-⎪⎪-⎨+⎪--=⎪⎩，解得11m n =⎧⎨=⎩，即()1,1C 故AC ==PA PB PA PC AC -=-≤=,当且仅当，,,P A C 三点共线时，等号成立.故选：A8.如图，正四面体ABCD 的顶点A ，B ，C 分别在两两垂直的三条射线Ox ，Oy ，Oz 上，则在下列命题中，错误的是A.O ABC -是正三棱锥B.直线OB ∥平面ACDC.直线AD 与OB 所成的角是45 D.二面角D OB A --为45 .【答案】B 【解析】【详解】试题分析：由正四面体的性质知ABC 是等边三角形，且OA OB OC 、、两两垂直，所以A 正确；借助正方体思考，把正四面体ABCD 放入正方体，很显然直线OB 与平面ACD 不平行，B 错误.考点：正四面体的性质、转化思想的运用.二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．全选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分）9.下列命题正确的是（）A.若存在实数x ，y ，使p xa yb =+，则p 与,a b 共面B.若p 与,a b 共面，则存在实数x ，y ，使p xa yb=+ C.若存在实数x ，y ，使MPxMA yMB =+，则M ，P ，A ，B 共面D.若M ，P ，A ，B 共面，则存在实数x ，y ，使MPxMA yMB=+【答案】AC 【解析】【分析】由平面向量基本定理逐项判断即可.【详解】选项A ，根据共面向量基本定理可知，若存在实数x ，y ，使p xa yb =+ ，则p 与,a b 共面，所以A 正确；选项B ，若向量p 与,a b共面，如果,a b 共线，不一定有p xa yb =+ ，只有a 与b 不共线时，{},a b可以作为一组基底，存在唯一确定的有序实数对(),x y ，使任意向量p xa yb =+，所以B 错误；选项C ，根据共面向量基本定理可知，,,MP MA MB uuu r uuu r uuu r共面，由于它们有公共点M ，所以M ，P ，A ，B 共面，所以C 正确；选项D ，若,MA MB共线，MP不与,MA MB共线，则不存在实数x ，y ，使MPxMA yMB =+，所以D 错误.故选：AC10.对于直线()12:230,:3130l ax y a l x a y a ++=+-+-=.以下说法正确的有（）A.1l ∥2l 的充要条件是3a =B.当25a=时，12l l ⊥C .直线1l 一定经过点()3,0M D.点()1,3P 到直线1l 的距离的最大值为5【答案】BD 【解析】【分析】求出1l ∥2l 的充要条件即可判断A;验证25a =时，两直线斜率之积是否为-1，判断B;求出直线1l 经过的定点即可判断C;判断何种情况下点()1,3P 到直线1l 的距离最大，并求出最大值，可判断D.【详解】当1l ∥2l 时，(1)60a a--=解得3a =或2a =-，当2a =-时，两直线为530,03x y x y -+=-+=，符合题意；当3a =时，两直线为3290,320x y x y ++=+=，符合题意，故A 错误；当25a=时，两直线为530,153130x y x y ++=-+=，121515l l k k ⋅=-⨯=-，所以12l l ⊥，故B 正确；直线1:230l ax y a ++=即直线(3)20a x y ++=，故直线过定点()3,0-，C 错误；因为直线1:230l ax y a ++=过定点()3,0-，当直线1:230l ax y a ++=与点()1,3P 和()3,0-的连线垂直时，()1,3P 到直线1l 的5=，故D 正确，故选：BD .11.已知P 、Q 分别为棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -棱1DD 、1BC 上的动点，则下列说法正确的是（）A.线段PQ 长度的最小值为2B.三棱锥11P A BC -的外接球体积的最大值为C.直线1AQ 与直线BC 所成角的余弦值的范围为0,2⎡⎢⎣⎦D.当P 、Q 为中点时，平面1B PQ 截正方体1111ABCD A B C D -所形成的图形的面积为94【答案】ABC 【解析】【分析】先建立空间直角坐标系，写出点和向量的坐标；根据空间两点间距离公式可判断选项A ；先求出该正方体外接球的体积；再根据点P 为棱1DD 上的动点，点P 在正方体外接球内运动，即可确定三棱锥11P A BC -外接球体积的最大值，可判断选项B ；利用空间直线与直线所成角的向量计算方法表示出直线1AQ 与直线BC 所成角的余弦值，再分两种情况，求出每种情况下的取值范围即可判断选项C ；先根据确定平面的依据判断截面形状，进而求出面积即可判断选项D .【详解】以点A 为坐标原点，AD 、AB 、1AA 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示：因为正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2.则0,0,0，()0,2,0B ，()2,2,0C ，()2,0,0D ，()10,0,2A ，()10,2,2B ，()12,2,2C ，()12,0,2D .所以()10,0,2DD = ，()12,0,2BC = ，()112,2,0A C = ，()10,2,2A B =-.因为P 、Q 分别为棱1DD 、1BC 上的动点，令()101DP DD λλ=≤≤ ，()101BQ BC μμ=≤≤.所以()2,0,2P λ，()2,2,2Q μμ.对于选项A ：因为2PQ ==≥，当且仅当1λμ==时，等号成立.所以线段PQ 长度的最小值为2，故选项A 正确；对于选项B ：由正方体的性质可得三角形11A BC为边长为的正三角形，1BD ==.所以该正方体的外接球球心O 为正方体的中心，球半径为12BD R ==，外接球体积的为34π3R =.因为点P 为棱1DD 上的动点，所以点P 在正方体外接球内运动.故正方体外接球的体积就是三棱锥11PA BC -外接球体积的最大值，为，此时点P 与点1D （或点D ）重合.故选项B 正确；对于选项C ：因为()12,2,22A Q μμ=- ，()2,0,0BC =，所以直线1AQ 与直线BC所成角的余弦值为11A Q BC A Q BC ⋅==.当0μ=时，110A Q BC A Q BC⋅=.当01μ<≤时，有11μ≥，11AQ BC AQ BC ⋅==因为当11μ≥时，2113124μ⎛⎫-+≥ ⎪⎝⎭，则1102A Q BC A Q BC⋅<≤.所以直线1AQ 与直线BC 所成角的余弦值的范围为0,2⎡⎢⎣⎦，故选项C 正确；对于选项D ：取11A D 中点M，连接PM，PC ，1B C ，1B M .因为正方体棱长为2则PM =PC =，1B M =1B C =当P 、Q 为中点时，1B C PM∥，所以平面1B PQ 截正方体1111ABCD A B C D -所形成的图形为梯形1PMB C .因为在等腰梯形1PMB C 2=.所以截面面积为19222⨯+⨯=，故选项D 错误.故选：ABC.【点睛】关键点点睛：本题考查空间线线、线面的位置关系，几何体外接球及截面问题，属于难题.解题关键在于：建立空间直角坐标系，写出点和向量的坐标，利用对于空间两点间距离公式和直线与直线所成角的向量计算方法可判断选项A 、C ；对于选项B ，关键在于根据点P 为棱1DD 上的动点判断点P 在正方体外接球内运动，正方体外接球的体积就是三棱锥11P A BC -的外接球体积的最大值；对于选项D ，关键在于根据确定平面的依据判断截面形状.三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.若()()3ab c b c a bc +++-=，且sin 2sin cos A B C =，那么ABC V 是____________三角形【答案】等边三角形【解析】【分析】根据余弦定理得到3A π=，再根据正弦定理结合余弦定理得到bc =，得到答案.【详解】由题设可得222b c a bc +-=，故2221cos 22b c a A bc +-==，故3A π=，根据正弦定理得到：2cos a b C =，故22222a b c a b ab+-=⋅，即220b c -=，即b c =，即该三角形是等边三角形．故答案为：等边三角形.【点睛】本题考查了利用正弦定理和余弦定理判断三角形形状，意在考查学生的计算能力和应用能力.13.如果三条直线280ax y ++=，4310x y +=和210x y -=将平面分为六个部分，那么实数a 的取值集合为___________.【答案】{4-，1-，8}3【解析】【分析】根据三条直线把平面分为六个部分，分析直线的位置关系，分别求出a 的值.【详解】若是三条直线两两相交，且交点不重合，则这三条直线把平面分成7部分；如果这三条直线将平面划分为六部分包括两种情况能够成立，①是280ax y ++=过另外两条直线的交点，由4310x y +=和210x y -=的交点是(4,2)-，代入解得：1a =-；②是这条直线与另外两条直线平行，当280ax y ++=和4310x y +=平行，只需284310a =≠，解得83a =；当280ax y ++=和210x y -=平行，只需282110a =≠--此时4a =-.综上，a 的取值集合是{4-，1-，8}3.故答案为：{4-，1-，8}3.【点睛】解析几何中判断直接利用两直线平行的方法:(1)若两直线斜率都不存在,两直线平行；(2)两直线的斜率都存在,且k 1=k 2,b 1≠b 2,则两直线平行；(3)若用一般式表示的直线,不用讨论斜率是否存在,只要A 1B 2=A 2B 1,B 1C 2≠B 2C 1.14.已知R m ∈，若过定点A 的动直线1:20l x my m -+-=和过定点B 的动直线2:240l mx y m ++-=交于点P （P 与A ，B 不重合），则PA PB ⋅的最大值为_____________；2PA PB+的最大值为_____________．【答案】①.252##12.5②.【解析】【分析】根据直线方程确定12l l ⊥，利用勾股定理得到22225PA PB AB +==，结合基本不等式即可求出PA PB ⋅的最大值，再利用三角函数即可求出2PA PB +的最大值.【详解】1:20l x my m -+-=可以转化为(1)20m y x -+-=，故直线恒过定点A 2,1，2l ：240mx y m ++-=，即()42y m x -=-+，恒过定点B ()2,4-，由1:20l x my m -+-=和2l ：240mx y m ++-=，满足()110m m ⨯+-⨯=，所以12l l ⊥,可得PA PB ⊥,所以()()22222221425PA PB AB +==++-=,且22252PA PB PA PB+=≥⋅，故252PA PB ⋅≤，当且仅当PA PB =时，等号成立；因为PA PB ⊥，设PAB θ∠=为锐角，则5cos ,5sin PA PB θθ==，所以()()252cos sin PA PB θθθϕ+=+=+，所以当()sin 1θϕ+=时,2PA PB+取最大值.故答案为：252；四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.已知点(1,3)A ，(3,1)B ，(1,0)C -，求：（1）BC 边上的高所在直线方程；（2）ABC V 的外心坐标；（3）ABC V 的面积．【答案】（1）470xy +-=（2）99(,1010（3）5【解析】【分析】（1）首先求出直线BC 的斜率，由互相垂直的直线间斜率关系得出BC 边上的高线的斜率，由高线过(1,3)A ，即可得出BC 边上的高所在直线方程；（2）分别求出边,AB BC 的垂直平分线，联立即可得出ABC V 的外心坐标；（3）先写出直线BC 的方程，由点到直线的距离公式得出点A 到直线BC 的距离，再由两点之间的距离公式求出边BC 的长，由三角形面积公式计算即可．【小问1详解】由(3,1)B ，(1,0)C -得，14BCk=，所以BC 边上的高线的斜率为4k =-，且高线过点(1,3)A ，所以BC 边上的高线的直线方程为：34(1)y x -=--，即470x y +-=．【小问2详解】由(1,3)A ，(3,1)B 得，1AB k =-，边AB 的中点为1331(,)22++，即(2,2)，所以边AB 的垂直平分线的直线方程为：22y x -=-，即y x =；由(3,1)B ，(1,0)C -，得14BCk=，边BC 的中点为1(1,)2，所以边BC 的垂直平分线的直线方程为：14(1)2y x -=--，即942y x =-+，由942y x y x =⎧⎪⎨=-+⎪⎩，得910910x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以ABC V的外心坐标为99(,1010．【小问3详解】由（1）知，14BCk=，则直线BC 的方程为：1(1)4y x =+，即410x y -+=，边BC上的高为：17d ==，BC ==所以1152217ABCSBC d =⋅⋅=⨯= ．16.在ABC V 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知2sin 3sin ,3,cos 3b Ac B a B ===.（1）求b 的值；（2）求πcos 24A ⎫⎛+⎪⎝⎭的值.【答案】（1（2）6-【解析】【分析】（1）借助正弦定理可得3ac =，结合余弦定理可得b 的值；（2）借助正弦定理及同角三角函数关系得sin 6A =，由余弦定理得cos6A =-，再代入二倍角公式和两角和的余弦公式求解即可.【小问1详解】由sin 3sin b A c B =结合正弦定理可得：3ab cb =，即3a c =，所以1c =，由2cos 3B=及余弦定理可得b ===【小问2详解】由2cos 3B =得sin 3B ==，由正弦定理sin sin a b A B=得3sin sin 6a B A b ==，由余弦定理得222cos 26b c a A bc +-==-，所以sin22sin cos 2663AA A ⎛⎫==⨯⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭，22cos212sin 3A A =-=-，所以πππcos 2cos2cos sin2sin 444A A A ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭232326⎛⎫=-⨯--⨯= ⎪ ⎪⎝⎭.17.某新能源汽车制造公司，为鼓励消费者购买其生产的新能源汽车，约定从今年元月开始，凡购买一辆该品牌汽车，在行驶三年后，公司将给予适当金额的购车补贴．某调研机构对已购买该品牌汽车的消费者，就购车补贴金额的心理预期值进行了抽样调查，得其样本频率分布直方图如图所示．其中0.15a =．（1）估计已购买该品牌汽车的消费群体对购车补贴金额的心理预期值的平均数（同一组数据用该区间的中点值作代表）和中位数；（精确到0.01）（2）现在要从购车补贴金额的心理预期值在[)3,5间用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取2人进行调查，求抽到2人中购车补贴金额的心理预期值都在[)3,4间的概率．【答案】（1）平均数的估计值为3.5万元，中位数的估计值为3.33万元；（2）25．【解析】【分析】（1）由于0.15a =，利用频率分布直方图中每组数据区间的中点值乘以相应频率相加可求得平均数，判断中位数对应的区间，求出频率0.5对应的值即为中位数；（2）先算出从购车补贴金额的心理预期值在[)3,5的6人中，在[)3,4间的有4人，然后根据列举法列出所有可能的基本事件15种，选出都在预期值[)3,4间的情况6种，利用古典概型计算公式，即可求解．【小问1详解】解：根据题意，因为0.15a =，结合频率分布直方图中的平均数的计算公式，可得数据的平均数的估计值为：0.1 2.50.3 3.50.3 4.50.15 5.50.1 6.50.0.5 3.155x ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯==+⨯万元，因为0.10.30.50.10.30.3+<<++，则中位数在区间()3,4内，设中位数为3x +，则0.10.30.30.5x ++=，解得10.333x =≈，所以中位数的估计值为3.33万元．【小问2详解】解：从购车补贴金额的心理预期值在[3，5）间用分层抽样的方法抽取6人，则购车补贴金额的心理预期值在[3，4）间的有4人，记为a ，b ，c ，d ，购车补贴金额的心理预期值在[4，5）间的有2人，记为A ，B ，则基本事件有（a ，b ），（a ，c ），（a ，d ），（a ，A ），（a ，B ），（b ，c ），（b ，d ），（b ，A ），（b ，B ），（c ，d ），（c ，A ），（c ，B ）（d ，A ），（d ，B ），（A ，B ），共15种情况，其中购车补贴金额的心理预期值都在[3，4）间有（a ，b ），（a ，c ），（a ，d ），（b ，c ），（b ，d ），（c ，d ），共6种情况，所以抽到2人中购车补贴金额的心理预期值都在[3,4)间的概率62155P ==．18.已知点()1,2M -，直线:250l x y +-=（1）求点M 关于点()3,1F 对称点N 的坐标（2）求点M 关于直线l 的对称点Q 的坐标.（3）已知点()0,2R -，点P 在直线l 上，问使22PM PR +取得最小值时P 点的坐标与使PM PR+取得最小值时P 点的坐标是否相同？请说明理由.【答案】（1）（7，0）；（2）（3，4）；（3）不同，详见解析．【解析】【分析】（1）由F 是MN 的中点可求得N点坐标；（2）由MQ 与直线l 垂直且MQ 的中点在直线l 上可求得Q 点坐标；（3）设出P 点坐标为(,52)x x -，表示出22PM PR+和PM PR+，然后求最小值即可得利结论．【详解】（1）设(,)N x y ，则1622x y -=⎧⎨+=⎩，则7x y =⎧⎨=⎩，∴(7,0)N ．（2）设(,)Q x y ，则21121225022y x x y -⎧=⎪⎪+⎨-+⎪⨯+-=⎪⎩，解得34x y =⎧⎨=⎩，即(3,4)Q ．（3）两P 点坐标不相同．证明如下：由题意，设(,52)P x x -，则222222(1)(522)(522)PM PR x x x x +=++--++-+=2103859x x -+，显然当1910x =时，22PM PR +取得最小值22910，1965252105x -=-⨯=，此时196(,105P 由（2）PM PR +PQ PR QR=+≥，当P 是QR 与直线l 的交点时，等号成立，443(2)5QR k ==--，直线QR 的方程为425y x =-，代入l 的方程解得52x =，520x -=，即5(,0)2P ．两个P 点不相同．【点睛】本题考查对称问题和与直线有关的最值问题．点M 关于点F 对称点N ，则F 是线段MN 的中点，点M 关于直线l 的对称点Q ，则MQ l ⊥，MQ 的中点在直线l 上．,M R 在直线l 的同一侧，求直线l 上一点P 使MP PR+最小，一般是求出M 点关于直线l 的对称点Q 的坐标，而使MP PR+最小的P 点就是QR 与直线l 的交点．19.如图，四边形ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，DE ⊥平面ABCD ，1,2AB DE AD PA ====，点F 在棱PA 上.（1）求证：//BF 平面CDE ；（2）求直线BP 与平面PEC 所成角的正弦值；（3）若点F 到平面PCE 的距离为13，求线段AF 的长.【答案】（1）证明见解析（2）15（3）32AF =【解析】【分析】（1）证明平面PAB ∥平面CDE ，利用面面平行的性质可证得BF ∥平面CDE ；（2）以点A 为坐标原点，AB 、AD 、AP 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系A xyz -，利用空间向量法求值即可；（3）设AF t =，则()[]0,0,,0,2F t t ∈，利用空间向量法可得出关于t 的方程，结合t 的范围可求得t 的值.【小问1详解】在矩形ABCD 中，AB CD ∥，因为AB ⊄平面CDE ，CD ⊂平面CDE ，所以AB P 平面CDE .因为PA ⊥平面ABCD ，DE ⊥平面ABCD ，所以PA DE ∥，因为PA ⊄平面CDE ，DE ⊂平面CDE ，所以PA ∥平面CDE .又因为PA ⊂平面PAB ，AB ⊂平面PAB ，PA AB A = ，所以平面PAB ∥平面CDE .因为BF ⊂平面PAB ，所以BF ∥平面CDE .【小问2详解】因为PA ⊥平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，所以,PA AD PA AB ⊥⊥，又因为ABCD 是矩形，AD AB ⊥，所以AD 、AB 、AP 两两垂直，以点A 为坐标原点，AB 、AD 、AP 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系A xyz -，则()1,2,0C 、()0,0,2P 、()()0,2,1,1,0,0E B ，所以()()()1,0,1,0,2,1,1,0,2CE PE BP =-=-=-，设平面PEC 的一个法向量为=s s ，则020n CE x z n PE y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-=⎪⎩，取2x =，可得()2,1,2n =，设直线BP 与平面PEC 所成角为θ，所以2425sin 1553BP n BP nθ⋅-+===⨯ .【小问3详解】设AF t =，2AP =，则()[]0,0,,0,2F t t ∈，所以()1,2,CF t =--，因为点F 到平面PCE 的距离222241333CF n t t d n ⋅--+-====，因为[]0,2t ∈，解得32t =，故32AF =.。

2017年江苏南通启东市启东中学初三自主招生数学试卷-学生用卷一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）1、【来源】 2017年江苏南通启东市启东中学初三自主招生第1题4分已知y=√x−3中，自变量x的取值范围是（）．A. x⩾3B. x⩾−3C. x>3D. x>−32、【来源】 2017年江苏南通启东市启东中学初三自主招生第2题4分在Rt△ABC中，若∠C=90°，AC=1，BC=2，则下列结论中正确的是（）．A. sin⁡B=√55B. cos⁡B=25C. tan⁡B=2D. cot⁡B=123、【来源】 2017年江苏南通启东市启东中学初三自主招生第3题4分如图，已知DE//BC，CD与BE相交于点O，并且S△DOE:S△COB=4:9，则AE:AC为（）．A. 4:9B. 2:3C. 3:2D. 9:44、【来源】 2017年江苏南通启东市启东中学初三自主招生第4题4分2018~2019学年6月四川成都高新区电子科技大学实验中学初一下学期月考第8题3分2018~2019学年5月陕西西安西咸新区清华大学附属中学秦汉学校初一下学期月考第7题3分2020~2021学年甘肃兰州城关区兰州树人中学初一下学期期末第8题3分2014年四川成都高新区初三中考二模第9题3分如图，将一个矩形纸片ABCD，沿着BE折叠，使C、D点分别落在点C1、D1处．若∠C1BA=50°，则∠ABE的度数为（）．A. 15°B. 20°C. 25°D. 30°5、【来源】 2017年江苏南通启东市启东中学初三自主招生第5题4分2015年河北沧州东光县河北省东光县第二中学初三中考二模第2题3分2017~2018学年江苏无锡宜兴市初三上学期期末第6题3分2016年安徽安庆初三中考一模第5题4分由6个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，关于它的视图，说法正确的是（）．A. 主视图的面积最大B. 左视图的面积最大C. 俯视图的面积最大D. 三个视图的面积一样大6、【来源】 2017年江苏南通启东市启东中学初三自主招生第6题4分2020~2021学年江苏苏州姑苏区平江中学初三上学期期中第8题3分2019年山东青岛市北区青岛第五十中学中考二模第7题3分2019年山东青岛市北区青岛第五十中学初三中考二模第7题3分的正数根的个数为（）．方程x2+2x+1=2xA. 0B. 1C. 2D. 37、【来源】 2017年江苏南通启东市启东中学初三自主招生第7题4分2013~2014学年辽宁沈阳铁西区初三上学期期中第8题3分2015年广西南宁青秀区南宁市十四中初三中考一模第11题3分(x>如图，正方形OABC，ADEF的顶点A，D，C在坐标轴上，点F在AB上，点B，E在函数y=4x0)的图象上，则点E的坐标是（）．A. (√5+1,√5−1)B. (3+√5,3−√5)C. (√5−1,√5+1)D. (3−√5,3+√5)8、【来源】 2017年江苏南通启东市启东中学初三自主招生第8题4分观察图中正方形四个顶点所标的规律，可知2012应标在（）．A. 第502个正方形的左下角B. 第502个正方形的右下角C. 第503个正方形的左上角D. 第503个正方形的左下角9、【来源】 2017年江苏南通启东市启东中学初三自主招生第9题4分用12根等长的火柴棒拼成一个三角形（火柴棒不允许剩余、重叠和折断），则这个三角形不可能是（）．A. 等边三角形B. 等腰三角形C. 直角三角形D. 等腰直角三角形10、【来源】 2017年江苏南通启东市启东中学初三自主招生第10题4分100个人共有2000元人民币，其中任意10个人的钱数的和不超过380元．那么一个人最多能有（）元．A. 216B. 218C. 238D. 236二、填空题（共8小题，每小题4分，共32分）11、【来源】 2017年江苏南通启东市启东中学初三自主招生第11题4分计算：√12−3√13+(12)2=．12、【来源】 2017年江苏南通启东市启东中学初三自主招生第12题4分如图，某计算装置有一数据输入口A和一运算结果的输出口B，下表是小明输入的一些数据和这些数据经该装置计算后输出的相应结果：按照这个计算装置的计算规律，若输入的数是10，则输出的数是．13、【来源】 2017年江苏南通启东市启东中学初三自主招生第13题4分如图，AB为⊙O的直径，其长度为2cm，点C为半圆弧的中点，若⊙O的另一条弦AD的长为√3cm，∠CAD的度数为．14、【来源】 2017年江苏南通启东市启东中学初三自主招生第14题4分已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标(−1,−3.2)及部分图象（如图），由图象可知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根分别是x1=1.3和x2=．15、【来源】 2017年江苏南通启东市启东中学初三自主招生第15题4分2017~2018学年3月天津河西区天津市第四十二中学初二下学期月考第12题3分2016~2017学年10月湖南衡阳耒阳市耒阳市冠湘中学初三上学期月考第18题3分初一下学期单元测试《平面直角坐标系》坐标方法的简单应用第38题如图所示，一束光线从y轴上点A(0,1)射出，经过x轴上点C反射后过点B(3,3)，则光线从点A到B所经过的路线长是．16、【来源】 2017年江苏南通启东市启东中学初三自主招生第16题4分A，B，C，D，E，F，G，H是⊙O上的八个等分点，任取三点能构成直角三角形的概率是．17、【来源】 2017年江苏南通启东市启东中学初三自主招生第17题4分2005年第22届全国初中数学联赛竞赛初赛第9题7分P是⊙O的直径AB的延长线上的一点，PC与⊙O相切于点C，∠APC的平分线交AC于点Q，则∠PQC=．18、【来源】 2017年江苏南通启东市启东中学初三自主招生第18题4分设N=23x+92y为完全平方数，且不超过2392，则满足上述条件的一切正整数对(x,y)共有对．三、解答题（共6小题，共48分）19、【来源】 2017年江苏南通启东市启东中学初三自主招生第19题6分当a=√3，b=2时，计算：a 2−aba2÷(ab−ba)的值．20、【来源】 2017年江苏南通启东市启东中学初三自主招生第20题6分已知正方形和圆的面积均为S，求正方形的周长l1和圆的周长l2（用含S的代数式表示，并指出它们的大小）．21、【来源】 2017年江苏南通启东市启东中学初三自主招生第21题8分如图，在△ABC中，∠B=36°，D为BC上一点，AB=AC=BD=1，(1) 求DC的长．(2) 利用此图求sin⁡18°的精确值．22、【来源】 2017年江苏南通启东市启东中学初三自主招生第22题8分2016~2017学年3月浙江杭州萧山区萧山区朝晖初级中学初一下学期月考第23题12分已知甲、乙两辆汽车同时、同方向从同一地点A出发行驶．(1) 若甲车的速度是乙车的2倍，甲车走了90千米后立即返回与乙车相遇，相遇时乙车走了1小时，求甲、乙两车的速度．(2) 假设甲、乙每辆车最多只能带200升汽油，每升汽油可以行驶10千米，途中不能再加油，但两车可以互相借用对方的油，若两车都必须沿原路返回到出发点A，请你设计一种方案使甲车尽可能地远离出发点A，并求出甲车一共行驶了多少千米？23、【来源】 2017年江苏南通启东市启东中学初三自主招生第23题10分2017~2018学年陕西西安新城区西安华山中学初三上学期期末第25题12分如图，平面直角坐标系中，四边形OABC为矩形，点A、B的坐标分别为(6,0)，(6,8)，动点M、N 分别从O、B同时出发，以每秒1个单位的速度运动，其中，点M沿OA向终点A运动，点N沿BC向终点C运动，过点N作NP⊥BC，交AC于点P，连接MP，已知动点运动了x秒．(1) P点的坐标为多少．（用含x的代数式表示）(2) 试求△MPA面积的最大值，并求此时x的值．(3) 请你探索：当x为何值时，△MPA是一个等腰三角形？你发现了几种情况？写出你的研究成果．24、【来源】 2017年江苏南通启东市启东中学初三自主招生第24题10分浙江宁波镇海区镇海中学自主招生已知：关于x的方程①x2−(m+2)x+m−2=0有两个符号不同的实数根x1，x2，且x1>|x2|>0；关于x的方程②mx2+(n−2)x+m2−3=0有两个有理数根且两根之积等于2．求整数n的值．1 、【答案】 A;2 、【答案】 A;3 、【答案】 B;4 、【答案】 B;5 、【答案】 C;6 、【答案】 B;7 、【答案】 A;8 、【答案】 D;9 、【答案】 D;10 、【答案】 B;;11 、【答案】√3+1412 、【答案】 101;13 、【答案】 15°或75°;14 、【答案】 −3.3;15 、【答案】 5;16 、【答案】 37;17 、【答案】 45°;18 、【答案】 27;19 、【答案】 2(2−√3)．;20 、【答案】 l 1=4√S ；l 2=2√Sπ；l 1>l 2．;21 、【答案】 (1) −1+√52． ;(2) −1+√54． ;22 、【答案】 (1) 甲的速度为120千米/小时；乙的速度为60千米/小时． ;(2) 3000千米．;23 、【答案】 (1) (6−x,43x)．;(2) S 的最大值为6，此时x =3．;(3) 当x =2，或x =10843，或x =94时△MPA 是一个等腰三角形，共三种情况． ;24 、【答案】 n =5或−1．;。

江苏省南通市启东中学2023-2024学年高二上学期10月考试数学试题一、单选题1．若方程x 2＋y 2－x ＋y ＋m ＝0表示一个圆，则实数m 的取值范围是（ ）A ．m ＜12B ．m ≤12C ．m ＜2D ．m ≤22．已知双曲线2213x y m +=的焦距为4，则m 的值为（ ）A ．1B ．1-C ．7D ．7-3．已知两点()()1,3,2,3M N ---，直线l 过点()11P ，且与线段MN 相交，则直线的斜率k 的取值范围是（ ）A ．4k -≥或2k ≥B ．42k -≤≤C ．2k ≥D ．4k -≤4．已知数列{}n a 满足()2*sin N 4n n a n π=∈，则{}n a 的前10项的和为（ ） A ．132B ．6C ．5D ．1125．直线:4320l x y +-=关于点()1,1A 对称的直线方程为（ ） A ．4x ＋3y －4＝0 B ．4x ＋3y －12＝0 C ．4x －3y －4＝0D ．4x －3y －12＝06．已知数列{}n a 和2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭均为等差数列，n S 是数列{}n a 的前n 项和，则510S a =（ ） A ．1B ．32C ．2D ．527．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左右焦点为1F 、2F ，O 为坐标原点，M 为椭圆上一点，1F M 与y 轴交于一点N，且2OM OF ==，则椭圆C 的离心率为（ ） A ．13BCD18．若圆()()22:cos sin 1M x y θθ-+-=02θπ≤<（）与圆22:240N x y x y +--=交于A 、B 两点，则tan ∠ANB 的最大值为（ ）A ．12B ．34C ．45D ．43二、多选题9．已知直线l 过()1,2P ，且()2,3A ，()4,5B -到直线l 的距离相等，则l 的方程可能是（ ） A ．460x y +-= B ．460x y +-=C ．3270x y +-=D ．2370x y +-=10．已知等差数列{}n a 的前n 项和为S n ，且公差0d ≠，若对于任意正整数n ，2022n S S ≥，则（ ）A ．10a >B ．0d >C ．20220a =D ．40450S ≥11．圆22:20F x y x +-=，抛物线2:4C y x =，过圆心F 的直线l 与两曲线的四个交点自下向上依次记为,,,P M N Q ，若,,PM MN NQ 构成等差数列，则直线l 的方程可能是（ ）A ．10x y --=B ．10x y +-=C 0y -=D 0y +12．泰戈尔说过一句话：世界上最远的距离，不是树枝无法相依，而是相互了望的星星，却没有交汇的轨迹；世界上最远的距离，不是星星之间的轨迹，而是纵然轨迹交汇，却在转瞬间无处寻觅.已知点()1,0F ，直线:4l x =，动点P 到点F 的距离是点P 到直线l 的距离的一半.若某直线上存在这样的点P ，则称该直线为“最远距离直线”，则下列结论中正确的是（ ）A ．点P 的轨迹方程是22143x y +=B ．直线1l ：240x y +-=是“最远距离直线”C ．平面上有一点()1,1A -，则2PA PF +的最小值为5.D ．点P 的轨迹与圆C ：2220x y x +-=是没有交汇的轨迹（也就是没有交点）三、填空题13．双曲线22124y x -=的渐近线方程为．14．等差数列{}n a 中，53710a a a -=-，则{}n a 的前9项和为15．已知点()()2,0,2,0A B -，若圆()223()4a x y -+-=上存在点,P 使得90APB ∠=o ，则实数a 的取值范围是．16．P 是抛物线24x y =准线为l 上一点，,A B 在抛物线上，,PA PB 的中点也在抛物线上，直线AB 与l 交于点Q ，则PQ 的最小值为.四、解答题17．等差数列{}n a 中，102030,50a a ==. (1)求数列的通项公式； (2)若242n S =，求n .18．已知点()1,0A -，()3,0B ，动点P 满足2226PB PA =+．(1)求动点P 的轨迹方程；(2)直线l 过点()2,3Q -且与点P 的轨迹只有一个公共点，求直线l 的方程．19．记n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知11,n n S a a ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭是公差为13的等差数列．(1)求{}n a 的通项公式； (2)证明：121112na a a +++<L ． 20．已知椭圆C :22221x y a b+=（a >b > 0）的离心率e =，过左焦点F 的直线l 与椭圆交于点M 、N .当直线l 与x 轴垂直时，MON △（O 为坐标原点）. (1)求椭圆C 的标准方程:(2)设直线l的倾斜角为锐角且满足OM ON ⋅=uuu r uuu rl 的方程.21．已知正项数列{}n a ，对任意*n ∈N ，都有22,n nn n S a a S =+为数列{}n a 的前n 项和． (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设13(1)2n an n n b λ-=+-⋅⋅，若数列{}n b 是递增数列，求实数λ的取值范围．22．已知C ：221x y a b+=12，过椭圆左焦点1F 作不与x 轴重合的直线与椭圆C 相交于M 、N 两点，直线m 的方程为：2x a =-，过点M 作ME 垂直于直线m 交直线m 于点E . (1)求椭圆C 的标准方程；(2)求证线段NE 必过定点P ，并求定点P 的坐标.。

2024年江苏省南通市启东市中考数学一模试卷一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.的绝对值等于()A. B. C. D.22.如图是某种榫卯构件的示意图，其中榫的主视图为()A. B.C. D.3.据《2023年南通市国民经济和社会发展统计公报》可知：2023年末全市常住人口万人，比上年末增加万人.数据“万”用科学记数法表示为()A. B. C. D.4.实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示.把a，b，，按照从小到大的顺序排列，正确的是()A. B.C. D.5.如图，，若，则的度数是()A.B.D.6.如图，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，再将剩下的阴影部分剪开，拼成如图的长方形，则可以验证下列等式成立的是()A. B.C. D.7.某数学兴趣小组借助无人机测量一条河流的宽度如图，无人机在P处测得正前方河流的点B处的俯角，点C处的俯角，点A，B，C在同一条水平直线上.若，，则河流的宽度BC为()A.30mB.25mC.20mD.15m8.如图，AB是直径，点C，D将分成相等的三段弧，点P在上．已知点Q在上且，则点Q所在的弧是()A. B. C. D.9.如图，P为正方形ABCD内一点，，延长DP交BC于点若，则正方形的边长为()B.C.D.10.定义：在平面直角坐标系xOy 中，若经过x 轴上一点P 的直线l 与双曲线m 相交于M ，N 两点点M 在点N 的左侧，则把的值称为直线l 和双曲线m 的“适配比”.已知经过点的直线与双曲线的“适配比”不大于2，则k 的取值范围为()A.B.C.D.二、填空题：本题共8小题，共30分。

11.在实数范围内有意义，则x 的取值范围是______.12.分解因式：______.13.如图，与是以点O 为位似中心的位似图形，，若，则______.14.如图，以的速度将小球沿与地面成角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线.如果不考虑空气的阻力，小球的飞行高度单位：与飞行时间单位：之间具有函数关系，则小球从飞出到落地要用______15.如图，在矩形ABCD 中，，动点E ，F 分别从点D ，B 同时出发，以相同的速度分别沿DA ，BC 向终点A ，C 移动.当四边形AECF 为菱形时，EF 的长为______.16.图1是我国古代传说中的洛书，图2是其数字表示.洛书是一个三阶幻方，就是将已知的9个数填入的方格中，使每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的数字之和都相等.如图3是一个不完整的幻方，根据幻方的规则，的值等于______.17.若关于x的不等式组无解，则a的取值范围为______.18.如图，在四边形ABCD中，，，点M和点N分别是BD和AC的中点，BA和CD的延长线交于点P，则面积的最大值等于______.三、解答题：本题共8小题，共90分。

江苏省启东一中2018年创新人才培养实验班自主招生考试数学试卷注意事项1.本试卷共 6 页，满分为150 分，考试时间为120 分钟。

2.答案必须按要求填涂、书写在答题卡上，在试卷、草稿纸上答题一律无效．一、选择题（本大题共6小题，每小题5分,共30分.在每小题所给出的四个选项中,恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1.把x2y-2xy2+y3分解因式正确的是( )A.y(x2-2xy+y2)B.y(x-y)2C.y(x-2y)2D.y(x+y)22.已知a,b为一元二次方程x2+2x-9=0的两个根,那么a2+a-b的值为( )A.-7B.0C.7D.113.如图,在R△ABC中,∠C=900,AC=4,BC=3,O是△ABC的内心,以O为圆心,r为半径的圆与线段AB有交点，则r的取值范围是（）A.r≥1B.1≤r≤5C.1≤r≤10D.1≤r≤44.如图,等边△ABC中，AC=4,点D,E,F分别在三边AB，BC，AC上,且AF=1,FD⊥DE,且∠DFE=600,则AD长为( )A.0.5B.1C.1.5D.25.如图,△ABC中,AB=BC=4cm,∠ABC=1200,点P是射线AB上的一个动点,∠MPN=∠ACP,点Q是射线PM上的一个动点.则CQ长的最小值为( )A.3B.2C.23D.46.二次函数y=2x2-8x+m满足以下条件:当-2<x<-1时，它的图象位于x轴的下方;当6<x<7时，它的图象位于x轴的上方，则m的值为( )A.8B.-10C.-42D.-24写在答题卡相应位置上）7.计算-82015×(-0.125)2016= ．8.市政府为了解决老百姓看病贵的问题,决定下调药品的价格.某种药品经过两次降价，由每盒72元调至56元．若每次平均降价的百分率为x ，由题意，可列方程为 ．9.在平面直角坐标系中，点A ，B 的坐标分别A(3，0)，B(8，0)，若点P 在y 轴上,且△PAB 是等腰三角形，则点P 的坐标为 ． 10.关于x 的方程0112=--+x ax 的解是正数，则a 的取值范围是 ． 11.如图,在平面直角坐标系中,四边形OABC 是边长为8的正方形，M(8，s)，N(t ，8)分别是边AB,BC 上的两个动点,且OM ⊥MN,当ON 最小时，s ＋t= ．12.如图,△ABC 在第一象限,其面积为5.点P 从点A 出发,沿△ABC 的边从A —B —C —A 运动一周,作点P 关于原点O 的对称点Q,再以PQ 为边作等边三角形PQM,点M 在第二象限,点M 随点P 的运动而运动,则点M 随点P 运动所形成的图形的面积为 ．三、解答题（本大题共6小题,共90分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）13.(本小题满分15分)阅读下面材料，并解决问题．材料：如图1,在平面直角坐标系xOy 中,直线y 1=ax+b 与双曲线xky =2交于A （1,3）和B （-3,-1）两点.观察图象可知：①当x=-3或1时,y 1=y 2 ；②当-3<x<0或x>1时,y 1>y 2.即通过观察函数的图象，可以得到不等式ax+b>xk 的解集．问题：求不等式x 3+4x 2-x-4>0的解集．小聪同学通过以上的阅读材料，对上述问题进行了探究．下面是他的探究过程，请将（2）,（3）,（4）补充完整： （1）将不等式按条件进行转化 当x ＝0时,原不等式不成立；当x ＞0时,原不等式可以转化为:x 2+4x-1>x4; 当x ＜0时,原不等式可以转化为:x 2+4x-1<x4. （2）构造函数，画出图象:设y 3=x 2+4x -1,y 4=x 4,在同一坐标系中分别画出这两个函数的图象．双曲线y 4=x4如图2所示，请在此坐标系中,画出抛物线y 3=x 2+4x-1.（不用列表）（3）确定两个函数图象:公共点的横坐标,观察所画两个函数的图象，猜想并通过代入函数解析式验证可知满足y 3=y 4 的所有x 的值为 ；（4）借助图象，写出解集:结合（1）的讨论结果，观察两个函数的图象可知不等式x 3+4x 2-x-4>0的解集为 ．14.(本小题满分12分)如图,“元旦”期间,学校在综合楼上从点A 到点B 悬挂了一条宣传条幅,小明和小芳所在的教学楼正好在综合楼的对面.小明在四楼D 点测得条幅端点A 的仰角为300,测得条幅端点B 的俯角为450;小芳在三楼C 点测得条幅端点A 的仰角为450,测得条幅端点B 的俯角为300.若楼层高度CD 为3米,请你根据小明和小芳测得的数据求出条幅AB 的长.（结果保留根号）15.（本小题满分14分）如图1，A ，B ，C ，D 四点都在⊙O 上，AC 平分∠BAD ，过点C 的切线与AB 的延长线交于点E ．（1）求证：CE ∥BD ；（2）如图2，若AB 为⊙O 的直径，AC=2BC ，BE=5，求⊙O 的半径．16.(本小题满分15分)惠民超市试销一种进价为每件60元的服装,规定试销期间销售单价不低于进价,且获利不得高于40%.经试销发现,销售量y(件)与销售单价x(元)满足一次函数y=kx＋b,且当x=70时,y=50；x=80时,y=40．（1）求一次函数y=kx＋b的解析式；（2）设该超市获得的利润为W元，试写出利润W与销售单价x之间的关系式；销售单价定为多少元时，超市可获得最大利润，最大利润是多少元？（3）若该超市预期的利润不低于500元，试确定销售单价x的取值范围．17.（本小题满分16分）如图,已知抛物线y=-x2+2x+3的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，抛物线的顶点为D．（2）点M在抛物线上,且△BMC的面积与△BCD的面积相等，求点M的坐标；（3）若点P在抛物线上，点Q在y轴上，以P，Q，B，D四个点为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点P 的坐标．18.（本小题满分18分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知矩形OACB的边OA，OB分别在x轴和y轴上，OA=8，OB=6．点P从点O开始沿OA边匀速移动，点M从点B开始沿BO边匀速移动，点P,点M同时出发，它们移动的速度均为每秒一个单位长度，设两个点运动的时间为t秒（0≤t≤6）．（1）连接矩形的对角线AB，当t为何值时，以P，O，M为顶点的三角形与△AOB相似；（2）在点P，点M运动过程中，线段PM的中点Q也随着运动，请求出CQ的最小值；（3）将POM沿PM所在直线翻折后得到△PDM，试判断D点能否在对角线AB上，如果能，求出此时t的值，如果不能，请说明理由．。