2011石景山高三期末(数学文)有答案

石景山区2011—2012学年第一学期期末考试试卷高三数学（文科）第Ⅰ卷 选择题一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合{}4,3,2,1=U ，{}2,1=A ,{}4,2=B ,则=⋃)(B A C U （ ）A ． }3{B ． }2{C ．}4,2,1{D ．}4,1{2．已知复数i1i1z -+=，则复数z 的模为（ ） A ． 2B ． 2C ．1D ．03．设)(x f 是定义在R 上的奇函数，当0≤x 时，x x x f -=22)(，则=)1(f （ ）4．如图，一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图 为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角 边长为2，那么这个几何体的体积为（ ）A ．38 B ．34 C ．4 D ．25．执行右面的框图，若输入实数2=x ，则输出结果为（ ）A ．22 B ．41 A ．-3 B ．-1 C ．1 D ．3正视图侧视图俯视图C ．12-D ．216.设抛物线x y 82=上一点P 到y 轴的距离是4，则点P 到该抛物线准线的距离为（ ）A ．4B ．6C ．8D ．127.以下四个命题中，真命题的个数是（ ） ①命题“若0232=+-x x ，则1=x ”的逆否命题为“若1≠x ，则0232≠+-x x ”； ②若q p ∨为假命题，则p 、q 均为假命题；③命题p ：存在R x ∈,使得012<++x x ，则p ⌝：任意R x ∈,都有012≥++x x ；④在ABC ∆中,B A <是B A sin sin <的充分不必要条件. A ．1 B ．2 C ．3 D ．48.对于使M x x ≤+-22成立的所有常数M 中，我们把M 的最小值1叫做22x x -+的 上确界,若+∈R b a 、，且1=+b a ，则122a b--的上确界为（ ） A ．92B ．92-C ．41 D ．-4第Ⅱ卷 非选择题二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分．9．在ABC ∆中，若32,120,2=︒=∠=a A c ，则=∠B ．10．统计某校1000名学生的数学会考成绩，得到样本频率分布直方图如下图，规定不低于60分为及格，不低于80分为优秀．则及格人数是 ；优秀率为 ．11．已知向量)1,3(=a，)1,0(=b ，)3,(k c = ，若b a 2+与c 垂直，则=k ．12．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若4518a a =-，则8S = ．13．若实数,x y 满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+≥+-.1,2,01x y x y x 则2x y +的最大值为 ．14.已知函数)1,0(log )(≠>+-=a a b x x x f a 且，当2131<<a 且43<<b 时， 函数)(x f 的零点*0),1,(N n n n x ∈+∈，则=n ．三、解答题：本大题共6个小题，共80分．应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）已知函数x x x f 2sin 21cos 3)(2+=．（Ⅰ）求)(x f 的最小正周期； （Ⅱ）求)(x f 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-46ππ，上的最大值和最小值．16．（本小题满分13分）甲、乙两名篮球运动员在四场比赛中的得分数据以茎叶图记录如下：甲 乙 1 8 6 0 02 4 4 23（Ⅰ）求乙球员得分的平均数和方差；（Ⅱ）分别从两人得分中随机选取一场的得分，求得分和超过55分的概率．FCA（注：方差[]222212)()()(1x x x x x x ns n -++-+-=其中x 为1x ，2x ，⋯n x 的平均数）17．（本小题满分13分）如图，矩形ADEF 与梯形ABCD 所在的平面互相垂直，AD CD ⊥，AB ∥CD ，2AB AD ==，4CD =，M 为CE 的中点．（Ⅰ）求证：BM ∥平面ADEF ； （Ⅱ）求证：BC ⊥平面BDE ．18．（本小题满分14分）已知椭圆12222=+by a x （0>>b a ）过点M （0，2），离心率36=e .（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设直线1+=x y 与椭圆相交于B A 、两点，求AMB S ∆.19．（本小题满分14分） 已知.,ln )(R a x ax x f ∈-=（Ⅰ）当2=a 时，求曲线)(x f 在点))1(,1(f 处的切线方程； （Ⅱ）若)(x f 在1=x 处有极值，求)(x f 的单调递增区间；（Ⅲ）是否存在实数a ，使()f x 在区间(]e ,0的最小值是3，若存在，求出a 的值； 若不存在，说明理由.20．（本小题满分13分）对于给定数列{}n c ，如果存在实常数,p q 使得1n n c pc q +=+对于任意*n N ∈都成立，我们称数列{}n c 是 “κ类数列”．（Ⅰ）若n a n 2=，32n n b =⋅，*n N ∈，数列{}n a 、{}n b 是否为“κ类数列”？若是，指出它对应的实常数,p q ，若不是，请说明理由；（Ⅱ）证明：若数列{}n a 是“κ类数列”，则数列}{1++n n a a 也是“κ类数列”；（Ⅲ）若数列{}n a 满足12a =，)(23*1N n t a a n n n ∈⋅=++，t 为常数．求数列{}n a 前2012项的和．并判断{}n a 是否为“κ类数列”，说明理由．石景山区2011—2012学年第一学期期末考试试卷高三数学（文科）参考答案一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分．二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分． 注：两空的题第1个空3分，第2个空2分.三、解答题：本大题共6个小题，共80分．应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）x x x f 2sin 2122cos 13)(++∙=232sin 212cos 23++=x x 23)32sin(++=πx ……………5分π=T ……………7分（Ⅱ）因为46ππ≤≤-x ，所以ππ65320≤+≤x …………9分当232ππ=+x 时，即12π=x 时，)(x f 的最大值为231+；………11分当032=+πx 时，即6π-=x 时，)(x f 的最小值为23. ………13分16．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由茎叶图可知，乙球员四场比赛得分为18,24,24,30，所以平均数24430242418=+++=x ； ……………………2分[]18)2430()2424()2424()2418(4122222=-+-+-+-=s . ……5分（Ⅱ）甲球员四场比赛得分为20,20,26,32，分别从两人得分中随机选取一场的 得分，共有16种情况：（18，20）（18，20）（18，26）（18，32） （24，20）（24，20）（24，26）（24，32） （24，20）（24，20）（24，26）（24，32）（30，20）（30，20）（30，26）（30，32） …………9分 得分和超过55分的结果有：（24，32）（24，32）(30，26)（30，32） …………11分求得分和超过55分的概率为41. ………13分17．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）证明：取DE 中点N ，连结,MN AN ．在△EDC 中，,M N 分别为,EC ED 的中点， ………2分所以MN ∥CD ，且12MN CD =． 由已知AB ∥CD ，12AB CD =， 所以MN ∥AB ，且MN AB =．所以四边形ABMN 为平行四边形． ………4分所以BM ∥AN ．又因为AN ⊂平面ADEF ，且BM ⊄平面ADEF ，所以BM ∥平面ADEF ． ………………………………6分 （Ⅱ）证明：在矩形ADEF 中，ED AD ⊥．又因为平面ADEF ⊥平面ABCD ，且平面ADEF 平面ABCD AD =，所以ED ⊥平面ABCD ．所以ED BC ⊥． ………………………………9分 在直角梯形ABCD 中，2AB AD ==，4CD =，可得BC = 在△BCD中，4BD BC CD ===， 因为222BD BC CD +=，所以BC BD ⊥．因为BD DE D ⋂=,所以BC ⊥平面BDE ．………………………13分18．（本小题满分14分） 解：（Ⅰ）由题意得36,2==a c b 结合222c b a +=，解得122=a所以，椭圆的方程为141222=+y x . ………………5分 （Ⅱ）由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+==+1141222x y y x 得12)1(322=++x x ………………6分即09642=-+x x ，经验证0>∆.设),(),,(2211y x B y x A . 所以49,232121-=⋅-=+x x x x ， ………………8分 221221221)2)()AB x x y y x x -=-+-=（（，2103]4)[2AB 21221=-+=x x x x （ ………………11分 因为点M 到直线AB 的距离222120=+-=d ， ………………13分 所以4532221032121=⨯⨯=⨯⨯=∆d AB S AMB . ………………14分19．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由已知得)(x f 的定义域为(0)+∞，， 因为()ln f x ax x =-，所以'1()f x a x =-当2a =时，()2ln f x x x =-，所以(1)2f =， 因为'1 ()2f x x =-，所以'1 (1)211f =-=……………………2分 所以曲线)(x f 在点))1(,1(f 处的切线方程为2(1)(1)y f x '-=-，即10x y -+=. …………………………4分 （Ⅱ）因为)(x f 在1=x 处有极值，所以(1)0f '=， 由（Ⅰ）知(1)1f a '=-，所以1a =经检验，1a =时)(x f 在1=x 处有极值． …………………………5分 所以()ln f x x x =-，令'1()10f x x=->解得10x x ><或； 因为)(x f 的定义域为(0)+∞，，所以'()0f x >的解集为(1)+∞，， 即)(x f 的单调递增区间为(1)+∞，. …………………………………………8分（Ⅲ）假设存在实数a ，使x ax x f ln )(-=（],0(e x ∈）有最小值3， ① 当0≤a 时，因为(]e x ,0∈，所以0)('<x f ， 所以)(x f 在],0(e 上单调递减，31)()(min =-==ae e f x f ，解得ea 4=，舍去. ……………………10分 ②当e a <<10时，)(x f 在)1,0(a 上单调递减，在],1(e a上单调递增，3ln 1)1()(min =+==a a f x f ，解得2e a =，满足条件. …………………12分③ 当e a≥1时，因为(]e x ,0∈，所以0)('<x f ， 所以)(x f 在],0(e 上单调递减，31)()(min =-==ae e f x f ，解得ea 4=，舍去. 综上，存在实数2e a =，使得当],0(e x ∈时()f x 有最小值3. ……………14分20．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为2,n a n =则有12,n n a a +=+*n N ∈故数列{}n a 是“κ类数列”，对应的实常数分别为1,2； …………… 1分因为32n n b =⋅，则有12n n b b +=，*n N ∈. 故数列{}n b 是“κ类数列”，对应的实常数分别为2,0. ……………3分（Ⅱ）证明：若数列{}n a 是“κ类数列”，则存在实常数q p 、，使得1n n a pa q +=+对于任意*n N ∈都成立，且有21n n a pa q ++=+对于任意*n N ∈都成立， 因此()()1212n n n n a a p a a q ++++=++对于任意*n N ∈都成立，故数列{}1n n a a ++也是“κ类数列”．对应的实常数分别为,2p q ． ……………6分 （Ⅲ）因为 *132()n n n a a t n N ++=⋅∈ 则有1232a a t +=⋅，33432a a t +=⋅， 20092009201032a a t +=⋅20112011201232a a t +=⋅故数列{}n a 前2012项的和2012S =()12a a ++()34a a +++()20092010a a ++()20112012a a +()320092011201232323232221t t t t t =⋅+⋅++⋅+⋅=-……………9分若数列{}n a 是“κ类数列”，则存在实常数q p 、使得1n n a pa q +=+对于任意*n N ∈都成立， 且有21n n a pa q ++=+对于任意*n N ∈都成立，因此()()1212n n n n a a p a a q ++++=++对于任意*n N ∈都成立，而*132()n n n a a t n N ++=⋅∈，且)(23*121N n t a a n n n ∈⋅=++++，则有132322n n t t p q +⋅=⋅+对于任意*n N ∈都成立，可以得到(2)0,0t p q -==，当2,0p q ==时，12n n a a +=，2n n a =，1t =，经检验满足条件. 当0,0t q == 时，1n n a a +=-，12(1)n n a -=-，1p =-经检验满足条件. 因此当且仅当1t =或0t =时，数列{}n a 是“κ类数列”.对应的实常数分别为2,0或1,0-． ………………… 13分注：若有其它解法，请酌情给分．。

石景山区2013—2014学年第一学期期末考试试卷高三数学（文科）本试卷共6页，满分为150分，考试时间为120分钟.请务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效，考试结束后上交答题卡.第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合{}31M x x =∈-≤≤R ，{}10N x x =∈+<R ，那么M N = （ ）A ．{101}-，，B ．{321}---，，C ．{11}x x -≤≤D ．{31}x x -≤<-2．复数1ii =-（ ） A ．122i + B ．122i -C ．122i-+ D ．122i --3．已知向量1)=a ，(1)c =，b .若⋅a b 0=，则实数c 的值为（ ）A ．BC ．3D ．3-4．已知数列}{n a 为等差数列，4724a a ==-，，那么数列}{n a 的通项公式为（ ）A ．210n a n =-+B ．25n a n =-+C ．1102n a n =-+ D ．152n a n =-+5．执行如图所示的程序框图，若输入的x 的值为2， 则输出的x 的值为（ ） A ．3 B ．126 C ．127 D ．1286．已知直线3450x y +-=与圆224x y +=相交于A B ，两点，那么弦AB 的长等于 （ ）A． B． CD ．17．设数列{}n a 是等比数列，则“123a a a <<”是“数列{}n a 为递增数列”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件8．已知函数()()1xf x x x=-∈+R ，区间[]()M a b a b =<，，集合{}()N y y f x x M ==∈，，则使M N =成立的实数对()a b ，有（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．无数个第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．已知3sin =5α，且()2παπ∈，，则cos α= ． 10．函数1()1f x x x =+-(1)x >的最小值为 ．11．二元一次不等式组1020x y x y ≤⎧⎪≥⎨⎪-+≥⎩，，，所表示的平面区域的面积为 ，z x y =+的最大值为 ．12．某四棱锥的三视图如下图所示，该四棱锥的侧面积为 ．13．已知抛物线24y x =的焦点为F ，准线为直线l ，过抛物线上一点P 作PE l ⊥于E ，若直线EF 的倾斜角为o150，则||PF =______． 14．已知三角形ABC ，2AB =，AC =，那么三角形ABC 面积的最大值为 ．俯视图主视图左视图三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题满分13分）已知函数()cos cos 21()f x x x x x =++∈R ． （Ⅰ）求函数)(x f 的最小正周期； （Ⅱ）求函数()f x 在44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，上的最小值，并写出()f x 取最小值时相应的x 值．16．（本小题满分13分）北京市各级各类中小学每年都要进行“学生体质健康测试”，测试总成绩满分为100分，规定测试成绩在[85100]，之间为体质优秀；在[7585)，之间为体质良好；在[6075)，之间为体质合格；在[060)，之间为体质不合格．现从某校高三年级的300名学生中随机抽取30名学生体质健康测试成绩，其茎叶图如下：9 1 3 5 68 0 1 1 2 2 3 3 3 4 4 5 6 6 7 7 9 7 0 5 6 6 7 9 6 4 5 8 5 6（Ⅰ）试估计该校高三年级体质为优秀的学生人数；（Ⅱ）根据以上30名学生体质健康测试成绩，现采用分层抽样的方法，从体质为优秀和良好的学生中抽取5名学生，再从这5名学生中选出3人．（ⅰ）求在选出的3名学生中至少有1名体质为优秀的概率；（ⅱ）求选出的3名学生中体质为优秀的人数不少于体质为良好的人数的概率．M APEBDCF17.（本小题满分14分）如图，已知PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是矩形，1PA AB ==，AD =点E ，F 分别是BC ，PB 的中点．（Ⅰ）求三棱锥P ADE -的体积； （Ⅱ）求证：AF ⊥平面PBC ；（Ⅲ）若点M 为线段AD 中点，求证：PM ∥平面AEF ．18．（本小题满分13分）已知函数()2xf x e x =-（e 为自然对数的底数）. （Ⅰ）求曲线()f x 在点(0(0))f ，处的切线方程； （Ⅱ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅲ）若存在．．122x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使不等式()f x mx <成立，求实数m 的取值范围.19．（本小题满分14分）已知椭圆C ：22221x y a b +=（0a b >>）过点(20)，，且椭圆C 的离心率为12.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若动点P 在直线1x =-上，过P 作直线交椭圆C 于M N ，两点，且P 为线段MN 中点，再过P 作直线l MN ⊥.证明：直线l 恒过定点，并求出该定点的坐标.20．（本小题满分13分）已知集合{101}A =-，，，对于数列{}n a 中(123)i a A i n ∈= ，，，，. （Ⅰ）若三项数列{}n a 满足1230a a a ++=，则这样的数列{}n a 有多少个？ （Ⅱ）若各项非零数列{}n a 和新数列{}n b 满足首项10b =，11i i i b b a ---=（23i n = ，，，），且末项0n b =，记数列{}n b 的前n 项和为n S ，求n S 的最大值．石景山区2013—2014学年第一学期期末考试高三数学（文科）参考答案一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．(两空的题目第一空2分,第二空3分)三、解答题共6小题，共80分． 15．（本小题共13分）解：（Ⅰ）()f x 2cos 2+1x x =+ …………2分 2sin2+16x π=+（）， ……………4分所以函数)(x f 的最小正周期π ……………6分 （Ⅱ）因为44x ππ-≤≤，22363xπππ-≤+≤， ……………8分 sin(2)126x π-≤+≤， ……………10分 12sin 2+136x π≤+≤（）， ……………11分所以当2=63x ππ+-，即=4x π-时，函数)(x f 取得最小值1+．……………13分所以，从体质为良好的学生中抽取的人数为3535⨯=，从体质为优秀的学生中抽取的人数为2525⨯=． ……………6分 （ⅰ）设在抽取的5名学生中体质为良好的学生为1a ，2a ，3a ，体质为优秀的学生为1b ，2b ．则从5名学生中任选3人的基本事件有123()a a a ，，，121()a a b ，，，122()a a b ，，，131()a a b ，，，132()a a b ，，，231()a a b ，，，232()a a b ，，，112()a b b ，，，212()a b b ，，，312()a b b ，，10个，其中“至少有1名学生体质为优秀”的事件有121()a a b ，，，122()a a b ，，，131()a a b ，，，132()a a b ，，，231()a a b ，，，232()a a b ，，，112()a b b ，，， 212()a b b ，，，312()a b b ，，9个． 所以在选出的3名学生中至少有1名学生体质为优秀的概率为910． ……………10分 （ⅱ）“选出的3名学生中体质为优秀的人数不少于体质为良好的人数”的事件有112()a b b ，，，212()a b b ，，，312()a b b ，，3个．（Ⅰ）解：因为PA ⊥平面ABCD ，所以PA 为三棱锥P ADE -的高． ……………2分1122ADE S ∆==，所以113P ADE V -==……………4分 （Ⅱ）证明：因为PA ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ， 所以PA BC ⊥，因为AB BC ⊥，AB PA A = ， 所以BC ⊥平面PAB 因为AF ⊂平面PAB ，所以BC AF ⊥． ……………6分 因为PA AB =，点F 是PB 的中点， 所以PB AF ⊥ 又因为BC PB B = ，所以AF ⊥平面PBC ． ……………8分 （Ⅲ）证明：连结BM 交AE 于N ，连结PM ，FN ． 因为四边形ABCD 是矩形， 所以//AD BC ，且=AD BC ， 又M ，E 分别为AD ，BC 的中点， 所以四边形AMEB 是平行四边形， 所以N 为BM 的中点， 又因为F 是PB 的中点，所以PM ∥FN ， ……………13分因为PM ⊄平面AEF ，NF ⊂平面AEF ，所以PM ∥平面AEF . ……………14分18.（本小题共13分）解：（Ⅰ）(0)1f =. ……………1分()2x f x e '=-得(0)1f '=-， ……………2分所以曲线()f x 在点(0(0))f ，处的切线方程为1y x =-+. ……………3分M A PEB DCFN（Ⅱ）()2xf x e '=-.令()0f x '=，即2=0xe -，解得ln 2x =. ……………5分(ln 2)x ∈-∞，时，()0f x '<，(ln 2)x ∈+∞，时，()0f x '>，此时()f x 的单调递减区间为(ln 2)-∞，，单调递增区间为(ln 2)+∞，. ……………7分（Ⅲ）由题意知1[2]2x ∃∈，使()f x mx <成立，即1[2]2x ∃∈，使2x e x m x ->成立； ……………8分所以min 2x e xm x ->（） ……………9分令()2x e g x x =-，2(1)()xx e g x x -'=， 所以()g x 在1[1]2，上单调递减，在[12]，上单调递增， 则min ()(1)2g x g e ==-， ……………12分 所以(2)m e ∈-+∞，. ……………13分 19．（本小题共14分）解：（Ⅰ）因为点(20)，在椭圆C 上，所以22401a b +=， 所以24a =， ……………1分 因为椭圆C 的离心率为12， 所以12c a =，即22214a b a -= ， ……………2分 解得23b =， ……………4分所以椭圆C 的方程为22143x y +=. ……………5分 （Ⅱ）设0(1)P y -，，033()22y ∈-，， ①当直线MN 的斜率存在时，设直线MN 的方程为0(1)y y k x -=+，11()M x y ，，22()N x y ，，由2203412(1)x y y y k x ⎧+=⎨-=+⎩，，得22222000(34)(88)(48412)0k x ky k x y ky k ++++++-=， ……………7分 所以2012288+34ky k x x k+=-+， ……………8分 因为P 为MN 中点， 所以12=12x x +-，即20288=234ky k k +--+. 所以003(0)4MN k y y =≠， ……………9分 因为直线l MN ⊥，所以043l y k =-， 所以直线l 的方程为004(1)3y y y x -=-+， 即041()34y y x =-+ ， 显然直线l 恒过定点1(0)4-，. ……………11分 ②当直线MN 的斜率不存在时，直线MN 的方程为1x =-，此时直线l 为x 轴，也过点1(0)4-，. ……………13分综上所述直线l 恒过定点1(0)4-，. ……………14分 20．（本小题共13分） 解：（Ⅰ）满足1230a a a ++=有两种情形：0000++=，这样的数列只有1个；1(1)00+-+=，这样的数列有6个，所以符合题意的数列{}n a 有7个． ……………3分 （Ⅱ）因为数列{}n b 满足11i i i b b a ---=，所以1211(23)i i b a a a b i n -=++++= ，，，， ……………5分 因为首项10b =，所以121(23)i i b a a a i n -=+++= ，，，． 根据题意有末项0n b =，所以1210n a a a -+++= ， ……………6分而{11}i a ∈-，，于是n 为正奇数，且121n a a a - ，，，中有12n -个1和12n -个1-． ……………8分 121121210()()n n n S b b b a a a a a a -=+++=++++++++121(1)(2)n n a n a a -=-+-++要求n S 的最大值，则要求121n a a a - ，，，的前12n -项取1，后12n -项取1-． ……………11分 所以max ()(1)(2)(3)(3)(2)(1)n S n n n =-+-+-++-+-+-2(1)(2)(4)(6)14n n n n -=-+-+-++= ． 所以2max (1)()4n n S -= （n 为正奇数）． ……………13分 【注：若有其它解法，请酌情给分．】。

石景山区2010—2011学年第一学期期末考试试卷高三数学（文科）第Ⅰ卷 选择题一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合{}21M x x =∈≤Z ，{}12N x x =∈-<<R ，则M N = （ ）A ． {}1,0,1-B ．{}0,1C ．{}1,0-D ．{}12．已知复数1iz i=＋，则复数z 的模为（ ）A ．2B ．C ．12D ．12+12i 3．一个几何体的三视图如右图所示（单位长度：cm ），则此几何体的体积是（ ） A ．1123cm B ．32243cm C ．963cmD ．2243cm4.在一盒子里装有i 号球i 个（1i =，2，3），现从盒子 中每次取一球，记完号码后放回，则两次取出的球的号码 之积为6的概率是（ ） A ．12B ．15C ．13D ．165．下列说法中，正确的是（ ） A ．命题“若22am bm <，则a b <”的逆命题是真命题B ．命题“x R ∃∈，02>-x x ”的否定是：“x R ∀∈，02≤-x x ” C ．命题“p 或q ”为真命题，则命题“p ”和命题“q ”均为真命题D ．已知R x ∈，则“1x >”是“2x >”的充分不必要条件6．已知函数32()f x x bx cx =++的图象如图所示，则2221x x +等于（ ） A ．32B ．34 C ．38D ．3167．已知O 为坐标原点，点A ),(y x 与点B 关于x轴对称，(0,1)j =，则满足不等式20OA j AB +⋅≤的点A 的集合用阴影表示为（ ）8．已知1)1,1(=f ，*),(N n m f ∈（m 、*)N n ∈，且对任意m 、*N n ∈都有： ①2),()1,(+=+n m f n m f ；②)1,(2)1,1(m f m f =+．给出以下三个结论：（1）9)5,1(=f ；（2）16)1,5(=f ；（3）26)6,5(=f ． 其中正确的个数为（ ） A ．3 B ．2C ．1D ．0第Ⅱ卷 非选择题二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分． 9．已知(,0)2πα∈-，3sin 5α=-，则cos()πα-＝ ． 10．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，如果 输入100，则输出的结果为 ， 如果输入2-，则输出的结果为 ．11．已知直线220x y -+=经过椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的一个顶点和一个焦点，那么这个椭圆的方程为 ，离心率为_______．12．已知△ABC 的三边长分别为7AB =，5BC =， 6CA =，则A B B C ⋅的值为________．13．从某校随机抽取了100名学生，将他们的体重（单位：kg ）数据绘制成频率分布直方图（如图），由图中数据可知m 是 ．14．已知数列{}n a 满足122a =，a 的通项公式为 ，na n的最小值为 ．三、解答题：本大题共6个小题，共80分．解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）已知函数23cos sin sin 3)(2-+=x x x x f ()R x ∈． （Ⅰ）求)4(πf 的值；（Ⅱ）若)2,0(π∈x ，求)(x f 的最大值；（Ⅲ）在ABC ∆中，若B A <，21)()(==B f A f ，求ABBC 的值．16．（本小题满分13分）已知数列{}n a 的各项均为正数，其前n 项和为n S ，且满足)(2*2N n a a S n n n ∈+=．（Ⅰ）求321,,a a a ；（Ⅱ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅲ）若1()2na nb n =，求数列}b {n 的前n 项和n T ．17．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P -ABCD 中，PD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为正方形，PD =DC ，E ，F 分别是AB ，PB 的中点．（Ⅰ）求证：//EF 平面PAD ； （Ⅱ）求证：EF CD ⊥；（Ⅲ）若G 是线段AD 上一动点，试确定G 点位置，使GF ⊥平面PCB ，并证明你的结论．18．（本小题满分13分）已知椭圆C 中心在原点，焦点在x 轴上，焦距为2，短轴长为 （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）若直线l ：()0y kx m k =+≠与椭圆交于不同的两点M N 、（M N 、不是椭圆的左、右顶点），且以MN 为直径的圆经过椭圆的右顶点A ． 求证：直线l 过定点，并求出定点的坐标．19．（本小题满分14分）已知函数ln ()()a xf x a R x+=∈． （Ⅰ）若4=a ，求曲线)(x f 在点))(,(e f e 处的切线方程； （Ⅱ）求)(x f 的极值；（Ⅲ）若函数)(x f 的图象与函数1)(=x g 的图象在区间],0(2e 上有公共点，求实数a 的取值范围．20．（本小题满分13分）如图111(,)P x y ，222(,)P x y ， ，(,)n n n P x y ，12(0,)n y y y n N *<<<<∈是曲线2:3(0)C y x y =≥上的n 个点，点(,0)(1,2,3,,)i i A a i n = 在x 轴的正半轴上，1i i i A A P -∆是正三角形(0A 是坐标原点) .（Ⅰ）求123,,a a a ；（Ⅱ）求出点n A (,0)(*)n a n N ∈的横坐标n a 关于n 的表达式.石景山区2010—2011学年第一学期期末考试试卷高三数学（文科）参考答案一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分．二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分． 注：两空的题第1个空3分，第2个空2分.三、解答题：本大题共6个小题，共80分．解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）234cos4sin4sin 3)4(2-+=ππππf 21=． ……………4分 （Ⅱ）2)2cos 1(3)(x x f -=+232sin 21-x x x 2cos 232sin 21-=)32sin(π-=x ． ……………6分20π<<x ， 32323πππ<-<-∴x ． ∴当232x ππ-=时，即125π=x 时，)(x f 的最大值为1． …………8分 （Ⅲ） )32sin()(π-=x x f ， 若x 是三角形的内角，则π<<x 0，∴35323π<π-<π-x ．令21)(=x f ，得21)32sin(=π-x ，∴632π=π-x 或6532π=π-x ，解得4π=x 或127π=x ． ……………10分由已知，B A ,是△ABC 的内角，B A <且21)()(==B f A f ， ∴4π=A ，127π=B ， ∴6π=--π=B A C ． ……………11分又由正弦定理，得22226sin 4sinsin sin ==π==C A AB BC ． ……………13分16．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）3,2,1321===a a a ． ……………3分 （Ⅱ） n n n a a S +=22， ①12112---+=n n n a a S ， （n ≥2 ） ② ……………5分①—②即得 0))(1(11=+----n n n n a a a a ， ……………6分 因为01≠+-n n a a ， 所以n a a a n n n ==--所以,11（n ∈*N ）…………8分 （Ⅲ）nn n b )21(=n n T )21(n )21(2212⨯+⋯+⨯+=， 132)21(n )21(2)21(21+⨯+⋯+⨯+=n n T ． 两式相减得，112221)21(n )21()21(2121+++-=⨯-+⋯++=n n n n n T所以 nn nT 222+-=． ……………13分17．（本小题满分14分）（Ⅰ）证明： E,F 分别是,AB PB 的中点，//.EF AP ∴,EF PAD AP PAD ⊄⊂ 又平面平面，//EF PAD ∴平面． ……………………4分 （Ⅱ）证明： 四边形ABCD 为正方形，AD CD ∴⊥．PD ABCD ⊥ 又平面，=PD CD AD PD D ∴⊥ ，且．CD PAD ∴⊥平面， PA PAD ⊂ 又平面， CD PA ∴⊥． //EF PA 又，EF CD ∴⊥． ……………………8分 （Ⅲ）解：G 是AD 的中点时，.GF PCB ⊥平面证明如下： ……………………9分取PC 中点H ，连结DH ，HF ． ,.PD DC DH PC =∴⊥又,,.BC PDC BC DH DH PCB ⊥∴⊥∴⊥ 平面平面1////,2HF BC DG DGFH ==∴ 四边形为平行四边形，//DH GF ∴，.GF PCB ∴⊥平面 ……………………14分18．（本小题满分13分）解: （Ⅰ）设椭圆的长半轴为a ，短半轴长为b ，半焦距为c ，则22222,2,c b a b c =⎧⎪=⎨⎪=+⎩解得2,a b =⎧⎪⎨=⎪⎩ ∴ 椭圆C 的标准方程为 22143x y +=． ………………… 4分 （Ⅱ）由方程组22143x y y kx m⎧⎪+=⎨⎪=+⎩ 消去y ，得()2223484120k x kmx m +++-=． ………………… 6分由题意△()()()22284344120km km=-+->，整理得：22340k m +-> ① ………………7分 设()()1122,,M x y N x y 、，则122834km x x k +=-+， 212241234m x x k -=+ ． ………………… 8分由已知，AM AN ⊥， 且椭圆的右顶点为A (2,0)， ∴()()1212220x x y y --+=．………………… 10分即 ()()()2212121240k x x km x x m ++-+++=，也即 ()()22222412812403434m kmk km m k k--+⋅+-⋅++=++， 整理得2271640m mk k ++=． 解得2m k =- 或 27km =-，均满足① ……………………… 11分 当2m k =-时，直线l 的方程为 2y kx k =-，过定点(2,0)，不符合题意舍去；当27k m =-时，直线l 的方程为 27y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，过定点2(,0)7， 故直线l 过定点，且定点的坐标为2(,0)7． ……………………… 13分19．（本小题满分14分） 解：（Ⅰ） ∵4=a ， ∴x x x f 4ln )(+=且ee f 5)(=． ……………………… 1分 又∵22ln 3)4(ln )4(ln )(xxx x x x x x f --='+-'+='， ∴223ln 4()e f e e e --'==-． ……………………… 3分 ∴)(x f 在点))(,(e f e 处的切线方程为：)(452e x ee y --=-，即0942=-+e y e x ． ……………………… 4分（Ⅱ）)(x f 的定义域为),0(+∞，2)(ln 1)(xa x x f +-='，……………………… 5分 令0)(='x f 得ae x -=1．当),0(1ae x -∈时，0)(>'xf ，)(x f 是增函数；当),(1+∞∈-aex 时，0)(<'x f ，)(x f 是减函数； …………………… 7分∴)(x f 在ae x -=1处取得极大值，即11)()(--==a ae ef x f 极大值．……… 8分（Ⅲ）（i ）当21e ea<-，即1->a 时，由（Ⅱ）知)(x f 在),0(1a e -上是增函数，在],(21e e a -上是减函数，∴当aex -=1时，)(x f 取得最大值，即1max )(-=a e x f ． 又当aex -=时，0)(=x f ，当],0(a e x -∈时，0)(<x f ，当],(2e e x a -∈时，],0()(1-∈a e x f ，所以，)(x f 的图像与1)(=x g 的图像在],0(2e 上有公共点， 等价于11≥-a e ，解得1≥a ，又因为1->a ，所以1≥a ． ……………… 11分（ii ）当21e ea ≥-，即1-≤a 时，)(x f 在],0(2e 上是增函数，∴)(x f 在],0(2e 上的最大值为222)(e ae f +=， ∴原问题等价于122≥+ea ，解得22-≥e a ， 又∵1-≤a ∴无解综上，a 的取值范围是1≥a ． ……………… 14分20．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）1232,6,12a a a ===. …………………………… 6分 （Ⅱ）依题意11(,0),(,0)n n n n A a A a --，则12n n n a a x -+=，n y =在正三角形1n n n P A A -中，有11||)22n n n n n y A A a a --==-. 1)n n a a -=-. 1n n a a -∴-= ………………………… 8分 2211122()(2,*)n n n n n n a a a a a a n n N ---∴-+=+≥∈ ①，同理可得2211122()(*)n n n n n n a a a a a a n N +++-+=+∈ ②.②-①并变形得1111()(22)0(2,*)n n n n n a a a a a n n N +-+--+--=≥∈ 11n n a a +-> ，11220n n n a a a +-∴+--= 11()()2(2,*)n n n n a a a a n n N +-∴---=≥∈ . ∴数列{}1n n a a +-是以214a a -=为首项，公差为2的等差数列. ………… 10分 12(1),(*)n n a a n n N +∴-=+∈ ，n a ∴12132431()()()()n n a a a a a a a a a -=+-+-+-++- ，2(123)n =++++ 2n n =+.(1)(*)n a n n n N ∴=+∈ …………… 13分注：若有其它解法，请酌情给分．。

石景山区2012—2013第一学期期末考试试卷高三数学（文）本试卷共6页，150分.考试时长120分钟.请务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后上交答题卡.第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．设集合{}4,3,2,1=U ，{}2,1=A ,{}4,2=B ,则=⋃B A C U ）（（ ） A ． {}2,1 B ． {}4,32，C ．{}4,3D ．{}4,3,2,1 2. 若复数i Z =1, i Z -=32,则=12Z Z （ ） A ． 13i --B ．i +2C ．13i +D ．i +33．AC 为平行四边形ABCD 的一条对角线，(2,4),(1,3),AB AC AD ===则（ ）A ．(2,4)B ．(3,7)C ．(1,1)D ．(1,1)--4．下列函数中，既是偶函数，又是在区间(0,)+∞上单调递减的函数是（ ）A ．ln y x =B ．2y x =C ．cos y x =D ．||2x y -=5．设,m n 是不同的直线，,αβ是不同的平面，下列命题中正确的是（ ）A ．若//,,m n m n αβ⊥⊥，则αβ⊥B ．若//,,m n m n αβ⊥⊥，则//αβC ．若//,,//m n m n αβ⊥，则α⊥βD ．若//,,//m n m n αβ⊥，则//αβ6．执行右面的框图，若输出结果为3，则可输入的实数x 值的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．47．某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积是（ ）A ．38B ．4C ．2D ．348. 在整数集Z 中，被5除所得余数为k 的所有整数组成一个“类”，记为[]k ， 即[]{}5k n k n =+∈Z ，0,1,2,3,4k =．给出如下四个结论： ① []20133∈； ② []22-∈；③ [][][][][]01234Z =∪∪∪∪；④ 整数,a b 属于同一“类”的充要条件是“[]0a b -∈”． 其中，正确结论的个数为（ ）．A ．1B ．2C ．3D ．4第二部分（非选择题 共110分）正（主）视图 侧（左）视图俯视图22 3231开始输出y 输入x否是结束>2x2=-1y x 2=log y x二、填空题共6小题，每小题5分，共30分． 9. 不等式2560x x -+≤的解集为 .10．直线+0x y =被圆22+4+0x x y =截得的弦长为 ．11．已知不等式组y x y x x a ≤⎧⎪≥-⎨⎪≤⎩，，表示的平面区域S 的面积为4，则=a ；若点S y x P ∈),(，则y x z +=2 的最大值为 . 12． 在等比数列{}n a 中，141=,=42a a ，则公比=q ；123++++=n a a a a ．13．在ABC ∆中，若2,60,7a B b =∠=︒=c = ．14. 给出定义：若11< +22m x m -≤ (其中m 为整数)，则m 叫做离实数x 最近的整数，记作{}x ，即{}=x m . 在此基础上给出下列关于函数()={}f x x x -的四个命题：①=()y f x 的定义域是R ，值域是11(,]22-； ②点(,0)k 是=()y f x 的图像的对称中心，其中k Z ∈； ③函数=()y f x 的最小正周期为1；④ 函数=()y f x 在13(,]22-上是增函数． 则上述命题中真命题的序号是 ．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题共13分）已知函数sin 2(sin cos )()cos x x x f x x+=．（Ⅰ）求)(x f 的定义域及最小正周期； （Ⅱ）求)(x f 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-46ππ，上的最大值和最小值．16．（本小题共14分）如图1，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，36BC AC ==，．D 、E 分别是AC AB 、上的点，且//DE BC ，将ADE ∆沿DE 折起到1A DE ∆的位置，使1A D CD ⊥，如图2． （Ⅰ）求证： //BC 平面1A DE ； （Ⅱ）求证： BC ⊥平面1A DC ；（Ⅲ） 当D 点在何处时，1A B 的长度最小，并求出最小值．ACDE图1 图2A 1B CDE17．（本小题共13分）一个盒子中装有4张卡片，每张卡片上写有1个数字，数字分别是1､2､3､4．现从盒子中随机抽取卡片．（Ⅰ）若一次抽取3张卡片，求3张卡片上数字之和大于7的概率；（Ⅱ）若第一次抽1张卡片，放回后再抽取1张卡片，求两次抽取中至少一次抽到数字3的概率．18．（本小题共13分）已知函数()=ln +1,f x x ax a R -∈是常数．（Ⅰ）求函数=()y f x 的图象在点(1,(1))P f 处的切线l 的方程； （Ⅱ）证明函数=()(1)y f x x ≠的图象在直线l 的下方； （Ⅲ）若函数=()y f x 有零点，求实数a 的取值范围．19．（本小题共14分）已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率为32，长轴长为5:=+l y x m 交椭圆于不同的两点A B 、．（Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）求m 的取值范围；（Ⅲ）若直线l 不经过椭圆上的点(4,1)M ，求证：直线MA MB 、的斜率互为相反数．20．（本小题共13分）定义：如果数列{}n a 的任意连续三项均能构成一个三角形的三边长，则称{}n a 为“三角形”数列．对于“三角形”数列{}n a ，如果函数()y f x =使得()n n b f a =仍为一个“三角形”数列，则称()y f x =是数列{}n a 的“保三角形函数”(*)n N ∈． （Ⅰ）已知{}n a 是首项为2，公差为1的等差数列，若()(1)xf x k k =>是数列{}n a 的“保三角形函数”，求k 的取值范围；（Ⅱ）已知数列{}n c 的首项为2013，n S 是数列{}n c 的前n 项和，且满足+1438052n n S S -=，证明{}n c 是“三角形”数列；（Ⅲ）若()lg g x x =是（Ⅱ）中数列{}n c 的“保三角形函数”，问数列{}n c 最多有多少项?(解题中可用以下数据 :lg20.301,lg30.477,lg2013 3.304≈≈≈)石景山区—第一学期期末考试高三数学（文）参考答案一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B A D D CCBC二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．三、解答题共6小题，共80分． 15．（本小题共13分）（Ⅰ）因为cos 0x ≠，所以+,2x k k Z ππ≠∈.所以函数)(x f 的定义域为{+,}2x x k k Z ππ≠∈｜ ……………2分sin 2sin cos ()cos x x x f x x+=（）()2sin sin +cos =2sin +sin2x x x x x =２ 2-)14x π=+ ……………5分π=T ……………7分（Ⅱ）因为46ππ≤≤-x ，所以7-2-1244x πππ≤≤ ……………9分当2-44x ππ=时，即4x π=时，)(x f 的最大值为2； ……………11分当2--42x ππ=时，即8x π=-时，)(x f 的最小值为-2+1. ………13分题号 91011 12 13 14 答案[]2,3222；611222n； 3①③16．（本小题共14分） （Ⅰ）证明：11//,,DE BC DE A DE BC A DE ⊂⊄面面1//BC A DE ∴面 …………………………4分（Ⅱ）证明： 在△ABC 中，90,//,C DE BC AD DE ∠=︒∴⊥1A D DE ∴⊥.又11,,A D CD CD DE D A D BCDE ⊥⋂=∴⊥面.由1,.BC BCDE A D BC ⊂∴⊥面1,,BC CD CD BC C BC A DC ⊥⋂=∴⊥面. …………………………9分（Ⅲ）设DC x =则16A D x =-由（Ⅱ）知，△1A CB ，△1A DC 均为直角三角形．22222111=A B AC BC A D DC BC +=++22213(6)A B x x =++-221245x x =-+………………12分当=3x 时,1A B 的最小值是33即当D 为AC 中点时, 1A B 的长度最小,最小值为3314分 17．（本小题共13分）（Ⅰ）设A 表示事件“抽取3张卡片上的数字之和大于7”，任取三张卡片，三张卡片上的数字全部可能的结果是(1,2,3)，(1,2,4)，(1,3,4)，(2,3,4)． 其中数字之和大于7的是(1,3,4)，(2,3,4)， 所以1()2P A =． …………………6分 （Ⅱ）设B 表示事件“至少一次抽到3”，第一次抽1张，放回后再抽取一张卡片的基本结果有： (1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(2,1)(2,2)(2,3)(2,4)(3,1)(3,2)(3,3)(3,4)(4,1)(4,2)(4,3)(4,4)，共16个基本结果．事件B 包含的基本结果有(1,3)(2,3)(3,1)(3,2)(3,3)(3,4)(4,3)， 共7个基本结果．所以所求事件的概率为7()16P B =． …………………13分18.（本小题共13分） （Ⅰ）1()=f x a x'- …………………2分 (1)=+1f a -，=(1)=1l k f a '-，所以切线 l 的方程为(1)=(1)l y f k x --，即=(1)y a x -． …………………4分（Ⅱ）令()=()(1-)=ln +1>0F x f x a x x x x --，，则11()=1=(1)()=0=1.F x x F x x x x''--， 解得x )1 , 0( 1) , 1(∞+ ()F x ' +-)(x F↗最大值↘(1)<0F ，所以>0x ∀且1x ≠，()<0F x ，()<(1)f x a x -，即函数=()(1)y f x x ≠的图像在直线 l 的下方． …………………9分 （Ⅲ）=()y f x 有零点，即()=ln +1=0f x x ax -有解，ln +1=x a x. 令ln +1()=x g x x，22ln +11(ln +1)ln ()=()==x x xg x x x x -''-，解()=0g x '得=1x . …………………11分则()g x 在(0,1)上单调递增，在(1,+)∞上单调递减， 当=1x 时，()g x 的最大值为(1)=1g ，所以1a ≤. …………………13分19．（本小题共14分）（Ⅰ）由题意知, 245a =32e =，解得=25,=5,=15a b c 故椭圆方程为221205x y +=． …………………4分 （Ⅱ）将y x m =+代入221205x y +=并整理得22584200x mx m ++-=， 22=(8)-20(4-20)>0m m ∆，解得55m -<<． …………………7分（Ⅲ）设直线,MA MB 的斜率分别为1k 和2k ，只要证明120k k +=．设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则212128420,55m m x x x x -+=-=． …………………9分 12122112121211(1)(4)(1)(4)44(4)(4)y y y x y x k k x x x x ----+--+=+=----122112122(1)(4)(1)(4)2(5)()8(1)2(420)8(5)8(1)055x m x x m x x x m x x m m m m m =+--++--=+-+----=---=分子所以直线MA MB 、的斜率互为相反数． …………………14分 20．（本小题共13分）（Ⅰ）显然121,n n n n a n a a a ++=++>对任意正整数都成立，即{}n a 是三角形数列．因为1k >，显然有12()()()n n n f a f a f a ++<<<，由12()()()n n n f a f a f a +++>得12n n n k k k +++> 1-515k +<. 所以当15k +∈时， ()x f x k =是数列{}n a 的保三角形函数. …………………3分 （Ⅱ）由1438052n n s s +-=，得1438052n n s s --=，两式相减得1430n n c c +-=，所以1320134n n c -⎛⎫= ⎪⎝⎭…………………5分 经检验，此通项公式满足1438052n n s s +-=. 显然12n n n c c c ++>>, 因为1112332132013201344164n n n n n n c c c +-+++==⋅>（）+2013(）（）, 所以{}n c 是三角形数列. …………………8分 （Ⅲ）133()lg[2013]=lg2013+(n-1)lg 44n n g c -⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 所以(n g c ）是单调递减函数. 由题意知，3lg 2013+(n-1)lg >04⎛⎫ ⎪⎝⎭①且12lg lg lg n n n c c c --+>②, 由①得3-1lg >-lg 20134n （），解得27.4n <, 由②得3lg >-lg 20134n ，解得26.4n <. 即数列{}n b 最多有26项. …………………13分【注：若有其它解法，请酌情给分．】。

石景山区2012—2013学年第一学期期末考试试卷 高三数学（文） 本试卷共6页，150分.考试时长120分钟.请务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后上交答题卡. 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．设集合，,,则（ ） A． B． C． D．2. 若复数, ,则（ ） A． B．C．D． 3．为平行四边形的一条对角线，（ ） A． B． C．D．4．下列函数中，既是偶函数，又是在区间上单调递减的函数是（ ） A．B．C．D． 5．设是不同的直线，是不同的平面，下列命题中正确的是 A．若，则 若，则 若，则⊥ 若，则 6．执行右面的框图，若输出结果为3， 则可输入的实数值的个数为（ ） A．1B．2C．3D．4 7．某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积是（ ） A．B．C．D． 8. 在整数集中，被除所得余数为的所有整数组成一个类，记为，即．给出如下四个结论： ①； ②　； ③　； ④　整数属于同一类的充要条件是”． 其中，正确结论的个数为（ ）． A． B． C． D． 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分． 9. 不等式的解集为 10．直线被圆截得的弦长为 ． 11．已知不等式组表示的平面区域的面积为， ；若点，则 的最值为 12． 在等比数列中，，则公比； 13．在中，若，则 ． 14. 给出定义：若为整数)，则叫做离实数最近的整数，记作，即. 在此基础上给出下列关于函数的四个命题 ①的定义域是，值域是； 是的图像； 函数最小正周期； 函数在上是增函数 则中真命题是 三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题共13分） 已知函数． （Ⅰ）求的定义域及最小正周期； （Ⅱ）求在区间上的最大值和最小值． 16．（本小题共14分） 如图1，中，，D、E上的点，，沿折起到的位置，，2． （Ⅰ）求证： ； ： ； 当点在何处时，的长度最小，并求出最小值 17．（本小题共13分） 一个盒子中装有张卡片，每张卡片上写有个数字，数字分别是?．现从盒子中随机抽取卡片． （Ⅰ）若一次抽取张卡片，求张卡片上数字之和大于的概率； （Ⅱ）若第一次抽张卡片，放回后再抽取张卡片，求两次抽取中至少一次抽到数字的概率． 18．（本小题共13分） 已知函数是常数． （Ⅰ）求函数的图象在点处的切线的方程； （Ⅱ）证明函数的图象在直线的下方； （Ⅲ）若函数有零点，求实数的取值范围． 19．（本小题共14分） 已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率为，长轴长为，直线交椭圆于不同的两点． （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）求的取值范围； （Ⅲ）若直线不经过椭圆上的点，求证：直线的斜率互为相反数． 20．（本小题共13分） 定义：如果数列的任意连续三项均能构成一个三角形的三边长，则称为“三角形”数列．对于“三角形数列使得仍为一个“三角形”数列，则称是数列的“保三角形函数”． （Ⅰ）已知是首项为，公差为的等差数列，若是数列的“保三角形函数”，求的取值范围； （Ⅱ）已知数列的首项为，是数列的前n项和，且满足，证明是“三角形”数列； （Ⅲ）若是（Ⅱ）中数列的“保三角形函数”，问数列最多有多少项? (解题中可用以下数据 :) 石景山区2012—2013学年第一学期期末考试 高三数学（文）参考答案 一、选择题共8小题，每小题5分，共40分． 题号12345678答案BADDCCBC 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分． 题号91011121314答案2；63 ①③(9题、11题第一空2分,第二空3分) 三、解答题共6小题，共80分． 15．（本小题共13分） （Ⅰ）因为，所以. 所以函数的定义域为 ………2分 ……………5分 ……………7分 （Ⅱ）因为，所以 ……………9分 当时，即时，的最大值为； ……………11分 当时，即时，的最小值为. ………13分 16．（本小题共14分） （Ⅰ）证明： …………………………4分 （Ⅱ）证明： 在△中， .又. 由 . …………………………9分 （Ⅲ）设则 由（Ⅱ）知，△，△均为直角三角形． ………………12分 当时, 的最小值是． 即当为中点时, 的长度最小,最小值为．…………………14分 17．（本小题共13分） （Ⅰ）设表示事件“抽取张卡片上的数字之和大于”，任取三张卡片，三张卡片上的数字全部可能的结果是，，，． 其中数字之和大于的是，， 所以． …………6分 （Ⅱ）设表示事件“至少一次抽到”， 第一次抽1张，放回后再抽取一张卡片的基本结果有： ，共个基本结果． 事件包含的基本结果有， 共个基本结果． 所以所求事件的概率为． …………………13分 18.（本小题共13分） （Ⅰ） …………………2分 ，，所以切线的方程为 ，即． …………………4分 （Ⅱ）令则 最大值，所以且，，，即函数的图像在直线的下方． …………………9分 （Ⅲ）有零点，即有解， . 令 ，， 解得. ………11分 则在上单调递增，在上单调递减， 当时，的最大值为， 所以. …………………13分 19．（本小题共14分） （Ⅰ）由题意知, ，又因为，解得 故椭圆方程为． …………………4分 （Ⅱ）将代入并整理得， 解得． …………………7分 （Ⅲ）设直线的斜率分别为和，只要证明．设，， 则． …………9分 所以直线的斜率互为相反数． …………………14分 20．（本小题共13分） （Ⅰ）显然对任意正整数都成立，即是三角形数列． 因为，显然有， 由得 解得. 所以当时， 是数列的保三角形函数. …………………3分 （Ⅱ）由，得， 两式相减得，所以 …………5分 经检验，此通项公式满足. 显然, 因为, 所以是三角形数列. …………………8分 （Ⅲ）, 所以是单调递减函数. 由题意知，①且②, 由①得，解得, 由②得，解得. 即数列最多有26项. ………13分 【注：若有其它解法，请酌情给分．】 高考学习网： 高考学习网： B A1 图2 图1 E D C B A 1 3 2 3 2 2 俯视图 侧（左）视图 正（主）视图 结束 是 否 输入x 输出y 开始 C D E。

石景山区2012—2013学年第一学期期末考试试卷高三数学（文）本试卷共6页，150分.考试时长120分钟.请务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后上交答题卡.第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．设集合{}4,3,2,1=U ，{}2,1=A ,{}4,2=B ,则=⋃B A C U ）（（ ） A ． {}2,1B ． {}4,32，C ．{}4,3D ．{}4,3,2,12. 若复数i Z =1, i Z -=32,则=12Z Z （ ） A ． 13i --B ．i +2C ．13i +D ．i +33．AC 为平行四边形ABCD 的一条对角线，(2,4),(1,3),AB AC AD ===则（ ）A ．(2,4)B ．(3,7)C ．(1,1)D ．(1,1)--4．下列函数中，既是偶函数，又是在区间(0,)+∞上单调递减的函数是（ ）A ．ln y x =B ．2y x =C ．cos y x =D ．||2x y -=5．设,m n 是不同的直线，,αβ是不同的平面，下列命题中正确的是（ ）A ．若//,,m n m n αβ⊥⊥，则αβ⊥B ．若//,,m n m n αβ⊥⊥，则//αβC ．若//,,//m n m n αβ⊥，则α⊥βD ．若//,,//m n m n αβ⊥，则//αβ6．执行右面的框图，若输出结果为3， 则可输入的实数x 值的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4开始输入x 否是>2x2=log y x7．某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积是（ ）A ．38 B ．4C ．2D ．348. 在整数集Z 中，被5除所得余数为k 的所有整数组成一个“类”，记为[]k ， 即[]{}5k n k n =+∈Z ，0,1,2,3,4k =．给出如下四个结论： ① []20133∈； ② []22-∈；③ [][][][][]01234Z =∪∪∪∪；④ 整数,a b 属于同一“类”的充要条件是“[]0a b -∈”．其中，正确结论的个数为（ ）．A ．1B ．2C ．3D ．4第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分． 9. 不等式2560x x -+≤的解集为 .10．直线+0x y =被圆22+4+0x x y =截得的弦长为 ．11．已知不等式组y x y x x a ≤⎧⎪≥-⎨⎪≤⎩，，表示的平面区域S 的面积为4，则=a ；若点S y x P ∈),(，则y x z +=2 的最大值为 .正（主）视图侧（左）视图俯视图2 2 323112． 在等比数列{}n a 中，141=,=42a a -，则公比=q ；123++++=n a a a a L ．13．在ABC ∆中，若2,60,7a B b =∠=︒=，则c = ． 14. 给出定义：若11< +22m x m -≤ (其中m 为整数)，则m 叫做离实数x 最近的整数，记作{}x ，即{}=x m . 在此基础上给出下列关于函数()={}f x x x -的四个命题： ①=()y f x 的定义域是R ，值域是11(,]22-； ②点(,0)k 是=()y f x 的图像的对称中心，其中k Z ∈； ③函数=()y f x 的最小正周期为1； ④ 函数=()y f x 在13(,]22-上是增函数． 则上述命题中真命题的序号是 ．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题共13分）已知函数sin 2(sin cos )()cos x x x f x x+=．（Ⅰ）求)(x f 的定义域及最小正周期； （Ⅱ）求)(x f 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-46ππ，上的最大值和最小值．16．（本小题共14分）如图1，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，36BC AC ==，．D 、E 分别是AC AB 、上的点，且//DE BC ，将ADE ∆沿DE 折起到1A DE ∆的位置，使1A D CD ⊥，如图2． （Ⅰ）求证： //BC 平面1A DE ；（Ⅱ）求证： BC ⊥平面1A DC ；（Ⅲ） 当D 点在何处时，1A B 的长度最小，并求出最小值．17．（本小题共13分）一个盒子中装有4张卡片，每张卡片上写有1个数字，数字分别是1､2､3､4．现从盒子中随机抽取卡片．（Ⅰ）若一次抽取3张卡片，求3张卡片上数字之和大于7的概率；（Ⅱ）若第一次抽1张卡片，放回后再抽取1张卡片，求两次抽取中至少一次抽到数字3的概率．18．（本小题共13分）已知函数()=ln +1,f x x ax a R -∈是常数．（Ⅰ）求函数=()y f x 的图象在点(1,(1))P f 处的切线l 的方程； （Ⅱ）证明函数=()(1)y f x x ≠的图象在直线l 的下方； （Ⅲ）若函数=()y f x 有零点，求实数a 的取值范围．A BCD E图1图2A 1B CDE19．（本小题共14分）已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率为32，长轴长为45，直线:=+l y x m 交椭圆于不同的两点A B 、． （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）求m 的取值范围；（Ⅲ）若直线l 不经过椭圆上的点(4,1)M ，求证：直线MA MB 、的斜率互为相反数．20．（本小题共13分）定义：如果数列{}n a 的任意连续三项均能构成一个三角形的三边长，则称{}n a 为“三角形”数列．对于“三角形”数列{}n a ，如果函数()y f x =使得()n n b f a =仍为一个“三角形”数列，则称()y f x =是数列{}n a 的“保三角形函数”(*)n N ∈．（Ⅰ）已知{}n a 是首项为2，公差为1的等差数列，若()(1)xf x k k =>是数列{}n a 的“保三角形函数”，求k 的取值范围；（Ⅱ）已知数列{}n c 的首项为2013，n S 是数列{}n c 的前n 项和，且满足+1438052n n S S -=，证明{}n c 是“三角形”数列；（Ⅲ）若()lg g x x =是（Ⅱ）中数列{}n c 的“保三角形函数”，问数列{}n c 最多有多少项?(解题中可用以下数据 :lg20.301,lg30.477,lg2013 3.304≈≈≈)石景山区2012—2013学年第一学期期末考试高三数学（文）参考答案一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案BADDCCBC二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．(9题、11题第一空2分,第二空3分) 三、解答题共6小题，共80分． 15．（本小题共13分）（Ⅰ）因为cos 0x ≠，所以+,2x k k Z ππ≠∈.所以函数)(x f 的定义域为{+,}2x x k k Z ππ≠∈｜ ……………2分sin 2sin cos ()cos x x x f x x+=（）()2s i n s i n +c o s =2s i n +s i n 2x x x x x =２ 2s i n (2-)14x π=+ ……………5分π=T ……………7分 （Ⅱ）因为46ππ≤≤-x ，所以7-2-1244x πππ≤≤ ……………9分 当2-44x ππ=时，即4x π=时，)(x f 的最大值为2； ……………11分当2--42x ππ=时，即8x π=-时，)(x f 的最小值为-2+1. ………13分16．（本小题共14分）（Ⅰ）证明：11//,,DE BC DE A DE BC A DE ⊂⊄ 面面1//BC A DE ∴面 …………………………4分（Ⅱ）证明： 在△ABC 中，90,//,C DE BC AD DE ∠=︒∴⊥1A D DE ∴⊥.又11,,A D CD CD DE D A D BCDE ⊥⋂=∴⊥面.由1,.BC BCDE A D BC ⊂∴⊥面1,,BC CD CD BC C BC A DC ⊥⋂=∴⊥面. …………………………9分（Ⅲ）设DC x =则16A D x =-由（Ⅱ）知，△1ACB ，△1A DC 均为直角三角形．22222111=A B AC BC A D DC BC +=++题号 91011 121314 答案[]2,3222；611222n ；---3①③22213(6)A B x x =++-221245x x =-+ ………………12分当=3x 时,1A B 的最小值是33．即当D 为AC 中点时, 1A B 的长度最小,最小值为33．…………………14分 17．（本小题共13分）（Ⅰ）设A 表示事件“抽取3张卡片上的数字之和大于7”，任取三张卡片，三张卡片上的数字全部可能的结果是(1,2,3)，(1,2,4)，(1,3,4)，(2,3,4)． 其中数字之和大于7的是(1,3,4)，(2,3,4)， 所以1()2P A =． …………………6分 （Ⅱ）设B 表示事件“至少一次抽到3”，第一次抽1张，放回后再抽取一张卡片的基本结果有： (1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(2,1)(2,2)(2,3)(2,4)(3,1)(3,2)(3,3)(3,4)(4,1)(4,2)(4,3)(4,4)，共16个基本结果．事件B 包含的基本结果有(1,3)(2,3)(3,1)(3,2)(3,3)(3,4)(4,3)， 共7个基本结果．所以所求事件的概率为7()16P B =． …………………13分18.（本小题共13分） （Ⅰ）1()=f x a x'- …………………2分 (1)=+1f a -，=(1)=1l k f a '-，所以切线 l 的方程为(1)=(1)l y f k x --，即=(1)y a x -． …………………4分（Ⅱ）令()=()(1-)=ln +1>0F x f x a x x x x --，，则11()=1=(1)()=0=1.F x x F x x x x''--， 解得 x)1 , 0(1) , 1(∞+()F x ' +-)(x F↗最大值↘(1)<0F ，所以>0x ∀且1x ≠，()<0F x ，()<(1)f x a x -，即函数=()(1)y f x x ≠的图像在直线 l 的下方． …………………9分 （Ⅲ）=()y f x 有零点，即()=ln +1=0f x x ax -有解，ln +1=x a x. 令 ln +1()=x g x x ，22ln +11(ln +1)ln ()=()==x x xg x x x x -''-，解()=0g x '得=1x . …………………11分则()g x 在(0,1)上单调递增，在(1,+)∞上单调递减， 当=1x 时，()g x 的最大值为(1)=1g ，所以1a ≤. …………………13分19．（本小题共14分）（Ⅰ）由题意知, 245a =，又因为32e =，解得=25,=5,=15a b c 故椭圆方程为221205x y +=． …………………4分 （Ⅱ）将y x m =+代入221205x y +=并整理得22584200x mx m ++-=， 22=(8)-20(4-20)>0m m ∆，解得55m -<<． …………………7分 （Ⅲ）设直线,MA MB 的斜率分别为1k 和2k ，只要证明120k k +=．设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则212128420,55m m x x x x -+=-=． …………………9分 12122112121211(1)(4)(1)(4)44(4)(4)y y y x y x k k x x x x ----+--+=+=----122112122(1)(4)(1)(4)2(5)()8(1)2(420)8(5)8(1)055x m x x m x x x m x x m m m m m =+--++--=+-+----=---=分子所以直线MA MB 、的斜率互为相反数． …………………14分 20．（本小题共13分）（Ⅰ）显然121,n n n n a n a a a ++=++>对任意正整数都成立，即{}n a 是三角形数列．因为1k >，显然有12()()()n n n f a f a f a ++<<< ， 由12()()()n n n f a f a f a +++>得12nn n k kk +++>解得1-515<22k +<. 所以当15(1,)2k +∈时， ()x f x k =是数列{}n a 的保三角形函数. …………………3分（Ⅱ）由1438052n n s s +-=，得1438052n n s s --=，两式相减得1430n n c c +-=，所以1320134n n c -⎛⎫= ⎪⎝⎭…………………5分经检验，此通项公式满足1438052n n s s +-=. 显然12n n n c c c ++>>,因为1112332132013201344164nn n n n n c c c +-+++==⋅>（）+2013(）（）, 所以{}n c 是三角形数列. …………………8分（Ⅲ）133()lg[2013]=lg2013+(n-1)lg 44n n g c -⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭,所以(n g c ）是单调递减函数.由题意知，3lg2013+(n-1)lg >04⎛⎫⎪⎝⎭①且12lg lg lg n n n c c c --+>②,由①得3-1lg >-lg 20134n （），解得27.4n <,由②得3lg>-lg20134n，解得26.4n .即数列{}nb最多有26项.…………………13分【注：若有其它解法，请酌情给分．】。

2011-2012学年北京市石景山区高三（上）期末数学试卷（文科）一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 设集合U={1, 2, 3, 4}，A={1, 2}，B={2, 4}，则∁U(A∪B)=()A.{3}B.{2}C.{1, 2, 4}D.{1, 4}2. 已知复数z=1+i1−i，则复数z的模为（）A.2B.√2C.1D.03. 设f(x)是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f(x)=2x2−x，则f(1)=()A.−3B.−1C.1D.34. 如图，一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角边长为2，那么这个几何体的体积为（）A.8 3B.43C.4D.25. 执行右面的框图，若输入实数ρ√2，则输出结果为（）A.√22B.14C.√2−1D.126. 设抛物线y2=8x上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是( )A.4B.6C.8D.127. 以下四个命题中，真命题的个数是（）①命题“若x2−3x+2=0，则x=1”的逆否命题为“若x≠1，则x2−3x+2≠0”；②若p∨q为假命题，则p、q均为假命题；③命题p：存在x∈R，使得x2+x+1<0，则−p：任意x∈R，都有x2+x+1≥0④在△ABC中，A<B是sin A<sin B的充分不必要条件．A.1B.2C.3D.48. 对于使−x2+2x≤M成立的所有常数M中，我们把M的最小值1叫做−x2+2x的上确界，若a，b∈R+，且a+b=1，则−12a−2b的上确界为（）A.92B.−92C.−14D.−4二、填空题：本大题共6个小题，每小题0分，共30分．在△ABC中，已知c=2，∠A=120∘，a=2√3，则∠B=________．统计某校1000名学生的数学会考成绩，得到样本频率分布直方图如图示，规定不低于60分为及格，不低于80分为优秀，则及格人数是________；优秀率为________．已知向量a→=(√3,1)，b→=(0,1)，c→=(k,√3)，若a→+2b→与c→垂直，则k＝________．已知等差数列的前n项和为S n，若a4＝18−a5，则S8＝________．若实数x，y满足条件{x−y+1≥0x+y≥2x≤1，则2x+y的最大值为________．已知函数f(x)=log a x−x+b(a>0，且a≠1)，当13<a<12且3<b<4时，函数f(x)的零点x0∈(n, n+1)，n∈N∗，则n=________．三、解答题：本大题共6个小题，共80分．应写出文字说明，证明过程或演算步骤．已知函数f(x)=√3cos2x+12sin2x．(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在区间[−π6, π4]上的最大值和最小值．甲、乙两名篮球运动员在四场比赛中的得分数据以茎叶图记录如下：（1）求乙球员得分的平均数和方差；（2）分别从两人得分中随机选取一场的得分，求得分和超过55分的概率．（注：方差s2=1n[(x1−x¯)2+(x2−x¯)2+...+(x n−x¯)2其中x¯为x1，x2，x3...x n的平均数）如图，矩形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，AD⊥CD，AB // CD，AB=AD=2，CD=4，M为CE的中点．（1）求证：BM // 平面ADEF；（2）求证：BC⊥平面BDE．已知椭圆x2a+y2b=1(a>b>0)过点M(0, 2)，离心率e=√63．(1)求椭圆的方程；(2)设直线y=x+1与椭圆相交于A，B两点，求S△AMB．已知f(x)=ax−ln x，a∈R（1）当a=2时，求曲线f(x)在点（1, f(1)）处的切线方程；（2）若f(x)在x=1处有极值，求f(x)的单调递增区间；（3）是否存在实数a，使f(x)在区间(0, e]的最小值是3，若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．对于给定数列{c n}，如果存在实常数p，q使得c n+1=pc n+q对于任意n∈R∗都成立，我们称数列{c n}是“K类数列”．（1）若a n=2n，b n=3⋅2n，n∈N∗，数列{a n}，{b n}是否为“K类数列”？若是，指出它对应的实常数p，q，若不是，请说明理由；（2）证明：若数列{c n}是“K类数列”，则数列{a n+a n+1}也是“K类数列”；（3）若数列a n满足a1=2，a n+a n+1=3t⋅2n(n∈N∗)，t为常数．求数列{a n}前2012项的和．并判断{a n}是否为“K类数列”，说明理由．参考答案与试题解析2011-2012学年北京市石景山区高三（上）期末数学试卷（文科）一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.【答案】A【考点】交、并、补集的混合运算【解析】根据A与B求出两集合的并集，找出全集U中不属于并集的部分即可求出所求的集合．【解答】解：∵A={1, 2}，B={2, 4}，∴A∪B={1, 2, 4}，∵全集U={1, 2, 3, 4}，∴∁U(A∪B)={3}．故选A2.【答案】C【考点】复数代数形式的乘除运算【解析】利用两个复数代数形式的乘除法法则化简复数z为i，从而求得它的模．【解答】解：由于复数z=1+i1−i =(1+i)2(1−i)(1+i)=2i2=i，故复数z的模为1，故选C．3.【答案】A【考点】函数奇偶性的性质【解析】要计算f(1)的值，根据f(x)是定义在R上的奇函数，我们可以先计算f(−1)的值，再利用奇函数的性质进行求解，当x≤0时，f(x)=2x2−x，代入即可得到答案．【解答】解：∵当x≤0时，f(x)=2x2−x，∴f(−1)=2×(−1)2−(−1)=3，又∵f(x)是定义在R上的奇函数，∴f(1)=−f(−1)=−3.故选A.4. 【答案】B【考点】由三视图求体积【解析】由三视图可知该几何体为一个三棱锥，高为2，底面为腰长为2的等腰直角三角形，利用锥体体积公式计算即可．【解答】解：由三视图可知该几何体为一个三棱锥，高为2，底面为腰长为2的等腰直角三角形，体积V=13Sℎ=13×(12×2×2)×2=43故选B5.【答案】D【考点】程序框图【解析】由程序框图可知该程序利用分段函数求值的，分段函数为y={x−1,x≤1log2x，x>1，将x=√2代入分段函数即可．【解答】解：由程序框图可知，本程序是条件结构，对应的分段函数为y={x−1,x≤1log2x，x>1，因为√2>1，所以y=log2√2=12．故选D．6.【答案】B【考点】抛物线的性质【解析】先根据抛物线的方程求得抛物线的准线方程，根据点P到y轴的距离求得点到准线的距离进而利用抛物线的定义可知点到准线的距离与点到焦点的距离相等，进而求得答案．【解答】解：抛物线y2=8x的准线为x=−2，∵点P到y轴的距离是4，∴点P到准线的距离是4+2=6，根据抛物线的定义可知点到准线的距离与点到焦点的距离相等，所以点P到该抛物线焦点的距离是6.故选B.7.【答案】C【考点】命题的真假判断与应用【解析】根据逆否命题的定义，可得①是真命题；根据含有逻辑词“或”的命题真假的判断，可得②是真命题；根据含有量词的命题否定方法，可得③是真命题；根据正弦定理和充要条件的判断，可得④是假命题．由此可得答案．【解答】解：对于①，命题“若p则q”的逆否命题是“若非q则非p”故命题“若x2−3x+2=0，则x=1”的逆否命题为“若x≠1，则x2−3x+2≠0”，可得①正确；对于②，命题“p∨q”只要存在真命题它就是真命题而p∨q为假命题，说明p、q中没有真命题，得它们均为假命题，可得②正确；对于③，含有量词的命题“存在x∈R，p(x)”的否定是“任意x∈R，−p(x)”故命题p“存在x∈R，使得x2+x+1<0”的否定−p是“任意x∈R，都有x2+x+1≥0”，可得③正确；对于④，在△ABC中，A<B等价于a<b，根据正弦定理得到sin A<sin B故在△ABC中，A<B是sin A<sin B的充要条件，可得④不正确综上所述，真命题是①②③，共3个故选：C8.【答案】B【考点】基本不等式在最值问题中的应用【解析】由题意可知，求的是12a +2b的最小值，并且a，b>0，a+b=1，由此想到利用1的整体代换构造积为定值．【解答】解：∵12a +2b=a+b2a+2(a+b)b=52+b2a+2ab≥52+2√b2a⋅2ab=92，（当且仅当a=b=12时取到等号）∴−12a −2b≤−92（当且仅当a=b=12时取到上确界）故选B．二、填空题：本大题共6个小题，每小题0分，共30分．【答案】30∘【考点】正弦定理【解析】先根据正弦定理利用题设条件求得sin C，进而求得C，最后利用三角形内角和求得B．【解答】解：由正弦定理可知asin A =csin C∴sin C=c⋅sin Aa =2√322√3=12∴C=30∘∴∠B=180∘−120∘−30∘=30∘故答案为：30∘【答案】800,20%【考点】频率分布直方图【解析】由题意分析直方图可知：不低于60分或不低于80分的频率，又由频率、频数的关系可得：不低于60分段的频数，进而可得答案．【解答】解：根据题意可得：不低于80分的频率=(0.01+0.01)×10=0.2=20%，而不低于60分的频率=(0.025+0.035+0.01+0.01)×10=0.8，故不低于60分的频数=0.8×1000=800．故填：800；20%．【答案】−3【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系【解析】由向量a→=(√3,1)，b→=(0,1)，c→=(k,√3)，先求出a→+2b→=(√3, 3)，再由a→+2b→与c→垂直，求出k的值．【解答】∵向量a→=(√3,1)，b→=(0,1)，c→=(k,√3)，∴a→+2b→=(√3, 3)，∵a→+2b→与c→垂直，∴(√3,3)⋅(k, √3)=√3k+3√3=0，∴k＝−3．【答案】72【考点】等差数列的前n项和【解析】先根据a4＝18−a5求得a4+a5，进而求得a1+a8代入S8中答案可得．【解答】∵a4＝18−a5，∴a4+a5＝18，∴a1+a8＝18，∴S8=(a1+a8)×82=72【答案】4【考点】简单线性规划【解析】足约束条件{x −y +1≥0x +y ≥2x ≤1的平面区域，求出可行域中各个角点的坐标，分析代入后即可得到答案．【解答】解：满足约束条件{x −y +1≥0x +y ≥2x ≤1的平面区域如下图所示：由图可知：当x =1，y =2时，2x +y 取最大值4故答案为：4【答案】2【考点】 函数的零点 【解析】利用函数零点的判定定理及其单调性即可得出n ． 【解答】解：∵ 函数f(x)=log a x −x +b(a >0，且a ≠1)，当13<a <12时，函数f(x)单调递减．∵ 当13<a <12且3<b <4时，f(2)=log a 2−2+b >log 122−2+b =b −3>0；f(3)=log a 3−3+b <log 133−3+b =b −4<0．∴ f(2)f(3)<0．由函数零点的判定定理及其单调性可知：函数f(x)的零点x 0∈(2, 3)． 因此n =2． 故答案为2三、解答题：本大题共6个小题，共80分．应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 【答案】解：(1)由题意得，f(x)=√3(1+cos 2x)2+12sin 2x =√32cos 2x +12sin 2x +√32=sin (2x +π3)+√32; 则f(x)的最小正周期T =π .(2)∵ −π6≤x ≤π4，∴ 0≤2x +π3≤5π6，当2x +π3=π2时，即x =π12时，f(x)有最大值为1+√32， 当2x +π3=0时，即x =−π6时，f(x)有最小值为√32． 【考点】求二倍角的余弦 求二倍角的正弦 求两角和与差的正弦 正弦函数的定义域和值域 三角函数的周期性及其求法【解析】(1)根据二倍角的余弦、两角和的正弦公式化简解析式，再求出函数的最小正周期.(2)由x 的范围求出2x +π3的范围，再由正弦函数的最值求出此函数的最值，以及对应的x 的值．【解答】解：(1)由题意得，f(x)=√3(1+cos 2x)2+12sin 2x =√32cos 2x +12sin 2x +√32=sin (2x +π3)+√32; 则f(x)的最小正周期T =π . (2)∵ −π6≤x ≤π4，∴ 0≤2x +π3≤5π6，当2x +π3=π2时，即x =π12时，f(x)有最大值为1+√32， 当2x +π3=0时，即x =−π6时，f(x)有最小值为√32． 【答案】解：（1）由茎叶图可知，乙球员四场比赛得分为18，24，24，30，所以平均数x ¯=18+24+24+304=24； …s 2=14[(18−24)2+(24−24)2+(24−24)2+(30−24)2]=18．…（2）甲球员四场比赛得分为20，20，26，32，分别从两人得分中随机选取一场的 得分，共有16种情况：(18, 20)(18, 20)(18, 26)(18, 32) (24, 20)(24, 20)(24, 26)(24, 32) (24, 20)(24, 20)(24, 26)(24, 32) (30, 20)(30, 20)(30, 26)(30, 32)… 得分和超过5的结果有：(24, 32)(24, 32)(30, 26)(30, 32)…求得分和超过5的概率为14．…【考点】极差、方差与标准差 茎叶图众数、中位数、平均数【解析】（1）由茎叶图读出乙球员四场比赛得分，再按照平均数和方差公式计算即可．（2）本问是道古典概型问题．分别从两人得分中随机选取一场的 得分共有16种情况，得分和超过5的结果有(24, 32)(24, 32)(30, 26)(30, 32)，易求所求的概率为14 【解答】解：（1）由茎叶图可知，乙球员四场比赛得分为18，24，24，30，所以平均数x ¯=18+24+24+304=24； …s 2=14[(18−24)2+(24−24)2+(24−24)2+(30−24)2]=18．…（2）甲球员四场比赛得分为20，20，26，32，分别从两人得分中随机选取一场的 得分，共有16种情况： (18, 20)(18, 20)(18, 26)(18, 32) (24, 20)(24, 20)(24, 26)(24, 32) (24, 20)(24, 20)(24, 26)(24, 32) (30, 20)(30, 20)(30, 26)(30, 32)… 得分和超过5的结果有：(24, 32)(24, 32)(30, 26)(30, 32)… 求得分和超过5的概率为14．…【答案】 证明：（1）取DE 中点N ，连结MN ，AN ． 在△EDC 中，M ，N 分别为EC ，ED 的中点，… 所以MN // CD ，且MN =12CD ． 由已知AB // CD ，AB =12CD ，所以MN // AB ，且MN =AB ．所以四边形ABMN 为平行四边形． … 所以BM // AN ．又因为AN ⊂平面ADEF ，且BM ⊄平面ADEF ，所以BM // 平面ADEF ． …（2）在矩形ADEF 中，ED ⊥AD ． 又因为平面ADEF ⊥平面ABCD ， 且平面ADEF ∩平面ABCD =AD ， 所以ED ⊥平面ABCD ． 所以ED ⊥BC ． …在直角梯形ABCD 中，AB =AD =2，CD =4，可得BC =2√2． 在△BCD 中，BD =BC =2√2，CD =4， 因为BD 2+BC 2=CD 2，所以BC ⊥BD ． 因为BD ∩DE =D ，所以BC ⊥平面BDE ．… 【考点】直线与平面垂直的判定 直线与平面平行的判定【解析】（1）取DE 中点N ，连结MN ，AN ，证明四边形ABMN 为平行四边形，从而可证BM // 平面ADEF ；（2）先证明ED ⊥平面ABCD ，可得ED ⊥BC ，再利用勾股定理，证明BC ⊥BD ，利用线面垂直的判定定理，证明BC ⊥平面BDE ．【解答】 证明：（1）取DE 中点N ，连结MN ，AN ． 在△EDC 中，M ，N 分别为EC ，ED 的中点，… 所以MN // CD ，且MN =12CD ．由已知AB // CD ，AB =12CD ，所以MN // AB ，且MN =AB ．所以四边形ABMN 为平行四边形． … 所以BM // AN ．又因为AN ⊂平面ADEF ，且BM ⊄平面ADEF ，所以BM // 平面ADEF ． …（2）在矩形ADEF 中，ED ⊥AD ．又因为平面ADEF ⊥平面ABCD ， 且平面ADEF ∩平面ABCD =AD ， 所以ED ⊥平面ABCD ． 所以ED ⊥BC ． …在直角梯形ABCD 中，AB =AD =2，CD =4，可得BC =2√2． 在△BCD 中，BD =BC =2√2，CD =4， 因为BD 2+BC 2=CD 2，所以BC ⊥BD ． 因为BD ∩DE =D ，所以BC ⊥平面BDE ．… 【答案】解：(1)由题意得b =2,ca =√63结合a 2=b 2+c 2，解得a 2=12 所以，椭圆的方程为x 212+y 24=1．(2)由{x 212+y 24=1，y =x +1，得x 2+3(x +1)2=12，即4x 2+6x −9=0，经验证Δ>0． 设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)．所以x 1+x 2=−32，x 1⋅x 2=−94， |AB|=√(x 1−x 2)2+(y 1−y 2)2=√2(x 1−x 2)2=√2[(x 1+x 2)2−4x 1x 2] =3√102因为点M 到直线AB 的距离d =2=√22， 所以S △AMB =12×|AB|×d=12×3√102×√22=3√54．【考点】椭圆中的平面几何问题 椭圆的离心率直线与椭圆结合的最值问题 椭圆的标准方程 【解析】（1）利用椭圆过点M(0, 2)，离心率e =√63，求出几何量，即可得到椭圆的方程； （2）直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理，求出|AB|，计算M 到直线AB 的距离，即可求S △AMB ． 【解答】解：(1)由题意得b =2,ca =√63结合a 2=b 2+c 2，解得a 2=12 所以，椭圆的方程为x 212+y 24=1．(2)由{x 212+y 24=1，y =x +1，得x 2+3(x +1)2=12，即4x 2+6x −9=0，经验证Δ>0． 设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)．所以x 1+x 2=−32，x 1⋅x 2=−94， |AB|=√(x 1−x 2)2+(y 1−y 2)2=√2(x 1−x 2)2=√2[(x 1+x 2)2−4x 1x 2] =3√102因为点M 到直线AB 的距离d =√2=√22， 所以S △AMB =12×|AB|×d =12×3√102×√22=3√54．【答案】 解：（1）当a =2时，f(x)=2x −ln x ，函数的定义域为(0, +∞) 求导函数可得：f′(x)=2−1x∴ f′(1)=1，f(1)=2∴ 曲线f(x)在点（1, f(1)）处的切线方程为y −2=x −1，即x −y +1=0； （2）∵ f(x)在x =1处有极值，∴ f′(1)=0 ∵ f′(x)=a −1x ∴ a −1=0，∴ a =1 ∴ f′(x)=1−1x令f′(x)>0，可得x <0或x >1 ∵ x >0，∴ x >1∴ f(x)的单调递增区间为(1, +∞)；（3）假设存在实数a ，使f(x)在区间(0, e]的最小值是3，①当a ≤0时，∵ x ∈(0, e],∴ f′(x)<0，∴ f(x)在区间(0, e]上单调递减 ∴ f(x)min =f(e)=ae −1=3，∴ a =4e（舍去）；②当0<1a <e 时，f(x)在区间(0, 1a )上单调递减，在(1a , e]上单调递增 ∴ f(x)min =f(1a )=1+ln a =3，∴ a =e 2，满足条件；③当1a ≥e 时，∵ x ∈(0, e],∴ f′(x)<0，∴ f(x)在区间(0, e]上单调递减∴f(x)min=f(e)=ae−1=3，∴a=4e（舍去），综上所述，存在实数a=4e，使f(x)在区间(0, e]的最小值是3．【考点】导数求函数的最值利用导数研究函数的极值利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】（1）当a=2时，f(x)=2x−ln x，函数的定义域为(0, +∞)，求导函数，即可确定切点与切线的斜率，从而可得曲线f(x)在点（1, f(1)）处的切线方程；（2）利用f(x)在x=1处有极值，确定a的值，利用导数大于0，结合函数的定义域，即可得到f(x)的单调递增区间；（3）分类讨论，确定函数f(x)在区间(0, e]上的单调性，从而可得函数的最小值，利用最小值是3，建立方程，即可求得结论．【解答】解：（1）当a=2时，f(x)=2x−ln x，函数的定义域为(0, +∞)求导函数可得：f′(x)=2−1x∴f′(1)=1，f(1)=2∴曲线f(x)在点（1, f(1)）处的切线方程为y−2=x−1，即x−y+1=0；（2）∵f(x)在x=1处有极值，∴f′(1)=0∵f′(x)=a−1x∴a−1=0，∴a=1∴f′(x)=1−1x令f′(x)>0，可得x<0或x>1∵x>0，∴x>1∴f(x)的单调递增区间为(1, +∞)；（3）假设存在实数a，使f(x)在区间(0, e]的最小值是3，①当a≤0时，∵x∈(0, e],∴f′(x)<0，∴f(x)在区间(0, e]上单调递减∴f(x)min=f(e)=ae−1=3，∴a=4e（舍去）；②当0<1a <e时，f(x)在区间(0, 1a)上单调递减，在(1a, e]上单调递增∴f(x)min=f(1a)=1+ln a=3，∴a=e2，满足条件；③当1a≥e时，∵x∈(0, e],∴f′(x)<0，∴f(x)在区间(0, e]上单调递减∴f(x)min=f(e)=ae−1=3，∴a=4e（舍去），综上所述，存在实数a=4e ，使f(x)在区间(0, e]的最小值是3．【答案】（1）解：因为a n=2n，所以有a n+1=a n+2，n∈N∗故数列{a n}是“κ类数列”，对应的实常数分别为1，2；…因为b n=3⋅2n，所以有b n+1=2b n，n∈N∗．故数列{b n}是“κ类数列”，对应的实常数分别为2，0．…（2）证明：若数列{a n}是“κ类数列”，则存在实常数p、q，使得a n+1=pa n+q对于任意n∈N∗都成立，且有a n+2=pa n+1+q对于任意n∈N∗都成立，因此(a n+1+a n+2)=p(a n+a n+1)+2q对于任意n∈N∗都成立，故数列{a n+a n+1}也是“κ类数列”，对应的实常数分别为p，2q．…（3）因为a n+a n+1=3t⋅2n(n∈N∗)，所以有a1+a2=3t⋅2，a3+a4=3t⋅23…，a2009+a2010=3t⋅22009a2011+a2012=3t⋅22011故数列{a n}前2012项的和S2012=(a1+a2)+(a3+a4)+...+(a2009+a2010)+(a2011+a2012)=3t⋅2+3t⋅23+...+3t⋅22009+3t⋅22011=2t(22012−1)…若数列{a n}是“κ类数列”，则存在实常数p、q，使得a n+1=pa n+q对于任意n∈N∗都成立，且有a n+2=pa n+1+q对于任意n∈N∗都成立，因此(a n+1+a n+2)=p(a n+a n+1)+2q对于任意n∈N∗都成立，而a n+a n+1=3t⋅2n(n∈N∗)，且a n+1+a n+2=3t⋅2n+1(n∈N∗)，则有3t⋅2n+1=3t⋅p2n+2q对于任意n∈N∗都成立，可以得到t(p−2)=0，q=0，当p=2，q=0时，a n+1=2a n，a n=2n，t=1，经检验满足条件．当t=0，q=0时，a n+1=−a n，a n=2(−1)n−1，p=−1经检验满足条件．因此当且仅当t=1或t=0时，数列{a n}是“κ类数列”．对应的实常数分别为2，0或−1，0．…【考点】数列的应用【解析】（1）由数列通项，可得a n+1=a n+2，b n+1=2b n，对照新定义，即可得到结论；（2）若数列{a n}是“κ类数列”，则存在实常数p、q，使得a n+1=pa n+q对于任意n∈N∗都成立，且有a n+2=pa n+1+q对于任意n∈N∗都成立，从而可得(a n+1+a n+2)=p(a n+a n+1)+2q对于任意n∈N∗都成立，即可得到结论；（3）利用等比数列的求和公式，可求数列{a n}前2012项的和，利用新定义，可以判断{a n}是“K类数列”．【解答】（1）解：因为a n=2n，所以有a n+1=a n+2，n∈N∗故数列{a n}是“κ类数列”，对应的实常数分别为1，2；…因为b n=3⋅2n，所以有b n+1=2b n，n∈N∗．故数列{b n}是“κ类数列”，对应的实常数分别为2，0．…（2）证明：若数列{a n}是“κ类数列”，则存在实常数p、q，使得a n+1=pa n+q对于任意n∈N∗都成立，且有a n+2=pa n+1+q对于任意n∈N∗都成立，因此(a n+1+a n+2)=p(a n+a n+1)+2q对于任意n∈N∗都成立，故数列{a n+a n+1}也是“κ类数列”，对应的实常数分别为p，2q．…（3）因为a n+a n+1=3t⋅2n(n∈N∗)，所以有a1+a2=3t⋅2，a3+a4=3t⋅23…，a2009+a2010=3t⋅22009a2011+a2012=3t⋅22011故数列{a n}前2012项的和S2012=(a1+a2)+(a3+a4)+...+(a2009+a2010)+(a2011+a2012)=3t⋅2+3t⋅23+...+3t⋅22009+3t⋅22011=2t(22012−1)…若数列{a n}是“κ类数列”，则存在实常数p、q，使得a n+1=pa n+q对于任意n∈N∗都成立，且有a n+2=pa n+1+q对于任意n∈N∗都成立，因此(a n+1+a n+2)=p(a n+a n+1)+2q对于任意n∈N∗都成立，而a n+a n+1=3t⋅2n(n∈N∗)，且a n+1+a n+2=3t⋅2n+1(n∈N∗)，则有3t⋅2n+1=3t⋅p2n+2q对于任意n∈N∗都成立，可以得到t(p−2)=0，q=0，当p=2，q=0时，a n+1=2a n，a n=2n，t=1，经检验满足条件．当t=0，q=0时，a n+1=−a n，a n=2(−1)n−1，p=−1经检验满足条件．因此当且仅当t=1或t=0时，数列{a n}是“κ类数列”．对应的实常数分别为2，0或−1，0．…。

北京市石景山区2012-2013学年高三第一学期期末考试数学（文）试卷本试卷共6页，150分.考试时长120分钟.请务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后上交答题卡.第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．设集合{}4,3,2,1=U ，{}2,1=A ,{}4,2=B ,则=⋃B A C U ）（（ ） A ． {}2,1B ． {}4,32，C ．{}4,3D ．{}4,3,2,12. 若复数i Z =1, i Z -=32,则=12Z Z （ ） A ． 13i --B ．i +2C ．13i +D ．i +33．AC 为平行四边形ABCD 的一条对角线，(2,4),(1,3),AB AC AD ===则（ ）A ．(2,4)B ．(3,7)C ．(1,1)D ．(1,1)--4．下列函数中，既是偶函数，又是在区间(0,)+∞上单调递减的函数是（ ）A ．ln y x =B ．2y x =C ．cos y x =D ．||2x y -=5．设,m n 是不同的直线，,αβ是不同的平面，下列命题中正确的是（ ）A ．若//,,m n m n αβ⊥⊥，则αβ⊥B ．若//,,m n m n αβ⊥⊥，则//αβC ．若//,,//m n m n αβ⊥，则α⊥βD ．若//,,//m n m n αβ⊥，则//αβ 6．执行右面的框图，若输出结果为3， 则可输入的实数x 值的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．47．某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积是（）A．38B．4C．2D．348.在整数集Z中，被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为[]k，即[]{}5k n k n=+∈Z，0,1,2,3,4k=．给出如下四个结论：①[]20133∈；②[]22-∈；③[][][][][]01234Z=∪∪∪∪；④整数,a b属于同一“类”的充要条件是“[]0a b-∈”．其中，正确结论的个数为（）．A．B．2C．3D．4第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9. 不等式2560x x-+≤的解集为 .10．直线+0x y=被圆22+4+0x x y=截得的弦长为．11．已知不等式组y xy xx a≤⎧⎪≥-⎨⎪≤⎩，，表示的平面区域S的面积为4，则=a；若点SyxP∈),(，则yxz+=2的最大值为 .12．在等比数列{}na中，141=,=42a a-，则公比=q；123++++=na a a aL．13．在ABC∆中，若2,60,a B b=∠=︒=c=．14.给出定义：若11< +22m x m-≤(其中m为整数)，则m叫做离实数x最近的整数，记作{}x，即{}=x m.在此基础上给出下列关于函数()={}f x x x -的四个命题：①=()y f x 的定义域是R ，值域是11(,]22-； ②点(,0)k 是=()y f x 的图像的对称中心，其中k Z ∈； ③函数=()y f x 的最小正周期为；④ 函数=()y f x 在13(,]22-上是增函数． 则上述命题中真命题的序号是 ．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题共13分）已知函数sin 2(sin cos )()cos x x x f x x+=．（Ⅰ）求)(x f 的定义域及最小正周期； （Ⅱ）求)(x f 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-46ππ，上的最大值和最小值．16．（本小题共14分）如图1，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，36BC AC ==，．D 、E 分别是AC AB 、上的点，且//DE BC ，将ADE ∆沿DE 折起到1A DE ∆的位置，使1A D CD ⊥，如图2． （Ⅰ）求证： //BC 平面1A DE ； （Ⅱ）求证： BC ⊥平面1A DC ；（Ⅲ） 当D 点在何处时，1A B 的长度最小，并求出最小值．图1图2A 1BCDE17．（本小题共13分）一个盒子中装有4张卡片，每张卡片上写有个数字，数字分别是､2､､4．现从盒子中随机抽取卡片． （Ⅰ）若一次抽取张卡片，求张卡片上数字之和大于7的概率；（Ⅱ）若第一次抽张卡片，放回后再抽取张卡片，求两次抽取中至少一次抽到数字的概率． 18．（本小题共13分）已知函数()=ln +1,f x x ax a R -∈是常数．（Ⅰ）求函数=()y f x 的图象在点(1,(1))P f 处的切线的方程； （Ⅱ）证明函数=()(1)y f x x ≠的图象在直线的下方； （Ⅲ）若函数=()y f x 有零点，求实数a 的取值范围． 19．（本小题共14分）已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率为:=+l y x m 交椭圆于不同的两点A B 、． （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）求m 的取值范围；（Ⅲ）若直线不经过椭圆上的点(4,1)M ，求证：直线MA MB 、的斜率互为相反数． 20．（本小题共13分）定义：如果数列{}n a 的任意连续三项均能构成一个三角形的三边长，则称{}n a 为“三角形”数列．对于“三角形”数列{}n a ，如果函数()y f x =使得()n n b f a =仍为一个“三角形”数列，则称()y f x =是数列{}n a 的“保三角形函数”(*)n N ∈．（Ⅰ）已知{}n a 是首项为2，公差为的等差数列，若()(1)xf x k k =>是数列{}n a 的“保三角形函数”，求k 的取值范围；（Ⅱ）已知数列{}n c 的首项为2013，n S 是数列{}n c 的前n 项和，且满足+1438052n n S S -=，证明{}n c 是“三角形”数列；（Ⅲ）若()lg g x x =是（Ⅱ）中数列{}n c 的“保三角形函数”，问数列{}n c 最多有多少项?(解题中可用以下数据 :lg20.301,lg30.477,lg2013 3.304≈≈≈)石景山区2012—2013学年第一学期期末考试高三数学（文）参考答案一、选择题共二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．(9题、11题第一空2分,第二空3分) 三、解答题共6小题，共80分． 15．（本小题共13分）（Ⅰ）因为cos 0x ≠，所以+,2x k k Z ππ≠∈.所以函数)(x f 的定义域为{+,}2x x k k Z ππ≠∈｜ ……………2分sin 2sin cos ()cos x x x f x x+=（）()2sin sin +cos =2sin +sin2x x x x x =２s i n (2-)14x π=+ ……………5分π=T ……………7分（Ⅱ）因为46ππ≤≤-x ，所以7-2-1244x πππ≤≤ ……………9分 当2-44x ππ=时，即4x π=时，)(x f 的最大值为2； ……………11分当2--42x ππ=时，即8x π=-时，)(x f 的最小值为. ………13分16．（本小题共14分）（Ⅰ）证明：11//,,DE BC DE A DE BC A DE ⊂⊄ 面面 1//BC A DE ∴面 ……4分 （Ⅱ）证明：在△ABC 中，90,//,C DE BC AD DE ∠=︒∴⊥1A D DE ∴⊥.又11,,A D CD CD DE D A D BCDE ⊥⋂=∴⊥面.由1,.BC BCDE A D BC ⊂∴⊥面1,,BC CD CD BC C BC A DC ⊥⋂=∴⊥面. ……………9分 （Ⅲ）设DC x =则16A D x =-由（Ⅱ）知，△1ACB ，△1A DC 均为直角三角形．1A B =1A B =………………12分当=3x 时,1A B 的最小值是即当D 为AC 中点时, 1A B 的长度最小,最小值为14分 17．（本小题共13分）（Ⅰ）设A 表示事件“抽取张卡片上的数字之和大于7”，任取三张卡片，三张卡片上的数字全部可能的结果是(1,2,3)，(1,2,4)，(1,3,4)，(2,3,4)． 其中数字之和大于7的是(1,3,4)，(2,3,4)， 所以1()2P A =． …………………6分 （Ⅱ）设B 表示事件“至少一次抽到”，第一次抽1张，放回后再抽取一张卡片的基本结果有： (1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(2,1)(2,2)(2,3)(2,4)(3,1)(3,2)(3,3)(3,4)(4,1)(4,2)(4,3)(4,4)，共16个基本结果．事件B 包含的基本结果有(1,3)(2,3)(3,1)(3,2)(3,3)(3,4)(4,3)， 共7个基本结果．所以所求事件的概率为7()16P B =． …………………13分 18.（本小题共13分） （Ⅰ）1()=f x a x'- …………………2分 (1)=+1f a -，=(1)=1l k f a '-，所以切线 l 的方程为(1)=(1)l y f k x --，即=(1)y a x -． …………………4分（Ⅱ）令()=()(1-)=ln +1>0F x f x a x x x x --，，则11()=1=(1)()=0=1.F x x F x x ''--， 解得(1)<0F ，所以>0x ∀且1x ≠，()<0F x ，()<(1)f x a x -，即函数=()(1)y f x x ≠的图像在直线 l 的下方． …………………9分 （Ⅲ）=()y f x 有零点，即()=ln +1=0f x x ax -有解，ln +1=x a x.令 ln +1()=x g x x ，22ln +11(ln +1)ln ()=()==x x xg x x x x -''-，解()=0g x '得=1x . …………………11分则()g x 在(0,1)上单调递增，在(1,+)∞上单调递减， 当=1x 时，()g x 的最大值为(1)=1g ，所以1a ≤. …………………13分 19．（本小题共14分）（Ⅰ）由题意知,2a =2e =，解得a b c 故椭圆方程为221205x y +=． …………………4分 （Ⅱ）将y x m =+代入221205x y +=并整理得22584200x mx m ++-=， 22=(8)-20(4-20)>0m m ∆，解得55m -<<． …………………7分 （Ⅲ）设直线,MA MB 的斜率分别为1k 和2k ，只要证明120k k +=．设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则212128420,55m m x x x x -+=-=． …………………9分 12122112121211(1)(4)(1)(4)44(4)(4)y y y x y x k k x x x x ----+--+=+=----122112122(1)(4)(1)(4)2(5)()8(1)2(420)8(5)8(1)055x m x x m x x x m x x m m m m m =+--++--=+-+----=---=分子所以直线MA MB 、的斜率互为相反数． …………………14分 20．（本小题共13分）（Ⅰ）显然121,n n n n a n a a a ++=++>对任意正整数都成立，即{}n a 是三角形数列．因为1k >，显然有12()()()n n n f a f a f a ++<<< ，由12()()()n n n f a f a f a +++>得12n n n k k k +++>k <所以当k ∈时， ()x f x k =是数列{}n a 的保三角形函数. …………………3分（Ⅱ）由1438052n n s s +-=，得1438052n n s s --=，两式相减得1430n n c c +-=，所以1320134n n c -⎛⎫= ⎪⎝⎭…………………5分经检验，此通项公式满足1438052n n s s +-=. 显然12n n n c c c ++>>,因为1112332132013201344164n n n n n n c c c +-+++==⋅>（）+2013(）（）, 所以{}n c 是三角形数列. …………………8分（Ⅲ）133()lg[2013]=lg2013+(n-1)lg 44n n g c -⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭,所以(n g c ）是单调递减函数.由题意知，3lg2013+(n-1)lg >04⎛⎫⎪⎝⎭①且12lg lg lg n n n c c c --+>②,由①得3-1lg >-lg 20134n （），解得27.4n <, 由②得3lg>-lg 20134n ，解得26.4n <. 即数列{}n b 最多有26项. …………………13分 【注：若有其它解法，请酌情给分．】。