北师大版九年级数学下册第三章圆第5节确定圆的条件课堂练习

北师大版数学九年级下册第3章第5节确定圆的条件同步检测一、选择题1.下列命题中，正确的是（）A．平面上三个点确定一个圆B．等弧所对的圆周角相等C．平分弦的直径垂直于这条弦D．与某圆一条半径垂直的直线是该圆的切线答案：B解析：解答：A．三个点不共线的点确定一个平面，故A不正确；B．由圆心角、弧、弦的关系及圆周角定理可知：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对圆周角相等，故选项B正确；C．平分弦的直径垂直于弦，被平分的弦不能是直径，故此选项错误；D．与某圆一条半径垂直的直线是该圆的切线，错误，正确的应该是：一条直线垂直于圆的半径的外端，这条直线一定就是圆的切线．故此选项错误；故选：B．分析：根据在一条直线上的三点就不能确定一个圆可以判断A，再利用圆心角定理得出B 正确；由当弦为直径时不垂直也平分，以及利用切线的判定对D进行判定．2.下列说法错误的是（）A．直径是弦B．最长的弦是直径C．垂直弦的直径平分弦D．经过三点可以确定一个圆答案：D解析：解答：A．直径是弦，根据弦的定义是连接圆上两点的线段，∴故此选项正确，但不符合题意，B．最长的弦是直径，根据直径是圆中最长的弦，∴故此选项正确，但不符合题意，C．垂直弦的直径平分弦，利用垂径定理即可得出，故此选项正确，但不符合题意，D．经过三点可以确定一个圆，利用经过不在同一直线上的三点可以作一个圆，故此选项错误，符合题意，故选：D．分析：根据弦的定义，以及经过不在同一直线上的三点可以作一个圆可判断和垂径定理分别得出即可．3.下列命题中的假命题是（）A．三点确定一个圆B．三角形的内心到三角形各边的距离都相等C．同圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等D．同圆中，相等的弧所对的弦相等答案：A解析：解答：A.应为不在同一直线上的三点确定一个圆，故本选项错误；B.三角形的内心到三角形各边的距离都相等，是三角形的内心的性质，故本选项正确；C.同圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，正确；D.同圆中，相等的弧所对的弦相等，正确．故选A．分析：根据确定圆的条件，三角形内心性质，以及圆心角、弧、弦的关系，对各选项分析判断后利用排除法求解．4.如图，在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别为（1，4）、（5，4）、（1，-2），则△ABC外接圆的圆心坐标是（）A．（2，3）B．（3，2）C．（1，3）D．（3，1）答案：D解析：解答：如图：根据垂径定理的推论，则作弦AB、AC的垂直平分线，交点O1即为圆心，且坐标是（3，1）．故选D．分析：根据垂径定理的推论“弦的垂直平分线必过圆心”，作两条弦的垂直平分线，交点即为圆心．5.小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图所示，为配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是（）A．第①块B．第②块C．第③块D．第④块答案：B解析：解答：第②块出现一段完整的弧，可在这段弧上任做两条弦，作出这两条弦的垂直平分线，就交于了圆心，进而可得到半径的长．故选：B．分析：要确定圆的大小需知道其半径．根据垂径定理知第②块可确定半径的大小．6.到三角形各顶点的距离相等的点是三角形（）A．三边的垂直平分线的交点B．三条高的交点C．三条角平分线的交点D．三条中线的交点答案：A解析：解答：因为到三角形各顶点的距离相等的点，需要根据垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，只有分别作出三角形的两边的垂直平分线，交点才到三个顶点的距离相等．故选：A分析：根据三角形外心的作法，确定到三定点距离相等的点．7.小红的衣服被铁钉划了一个呈直角三角形的洞，其中三角形的两边长分别为1cm和2cm，若用同色圆形布将此洞全部覆盖，那么这块圆布的直径最小应等于（）A．2cm B．3cm C．2cm或3cm D．2cm或cm答案：A解析：解答：由题意，若圆布的直径最小，那么2cm必为直角三角形的斜边长；由于直角三角形的外接圆等于斜边的长，所以圆布的最小直径为2cm，故选A．分析：由于已知的三角形两边没有明确是直角边还是斜边，因此有两种情况：①1cm、2cm同为直角边，②1cm为直角边，2cm为斜边；由于直角三角形的外接圆直径等于斜边的长，若外接圆直径最小，那么直角三角形的斜边最小，显然①是不符合题意，因此直角三角形的斜边为2cm，即圆布的最小直径是2cm．8.下列说法中错误的是（）A．三角形的外心不一定在三角形的外部B．圆的两条非直径的弦不可能互相平分C．两个三角形可能有公共的外心D．任何梯形都没有外接圆答案：D解析：解答：A.根据三角形的外心是三角形三条垂直平分线的交点，则三角形的外心的位置有三种情况．正确；B.根据垂径定理的推论可以运用反证法证明可知，该选项错误；C.因为一个圆有无数个内接三角形，所以两个三角形可能有公共的外心．正确；D.等腰梯形一定有外接圆．错误．故选D ．分析：本题根据三角形的外接圆与外心的位置及其性质特点，逐项进行分析即可求解．9.如图，已知△ABC 的外接圆⊙O 的半径为1，D ，E 分别为AB ，AC 的中点，则sin ∠BAC 的值等于线段（ ）A ．BC 的长B ．DE 的长C ．AD 的长 D ．AE 的长答案：B 解析：解答：如图：过B 作⊙O 的直径BF ，交⊙O 于F ，连接FC ，则∠BCF =90°，Rt △BCF 中，sinF =2BC BC BF = ∵D 、E 分别是AB 、AC 的中点，∴DE 是△ABC 的中位线，即DE =，∴sinA =sinF =2BC =DE ． 故选B ．分析：本题需将∠BAC 构建到直角三角形中求解，过B 作⊙O 的直径，交⊙O 于点F ，由圆周角定理，知∠F =∠A ；在Rt △BCF 中，易求得sinF =2BC BC BF =，而DE 是△ABC 的中位线，即DE =2BC ，由此得解． 10.如图，AD 是△ABC 的高，AE 是△ABC 的外接圆⊙O 的直径，且AC =5，DC =3，AB =42 ，则⊙O 的直径AE =（ ）A ．52B ．5C ．42D ．32答案：A 解析：解答： 如图：连接BE ，则∠BEA =∠ACB ，且三角形ABE 是直角三角形．在Rt △ACD 中，AC =5，DC =3，则AD =2222534AC DC -=-= sin ∠BEA =sin ∠ACB =45AD AC = 故⊙O 的直径52sin AB AE BEA ==Ð 故选A ．分析：连接BE ．易知∠BEA =∠ACB ，解直角三角形ABE 即可求出AE ．11.如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，连接OA 、OC ，⊙O 的半径R =2，sinB =4，则弦AC 的长为（ ）A ．3B ．C ．D ．答案：A解析：解答：延长AO 交圆于点D ，连接CD ，由圆周角定理，得：∠ACD=90°，∠D=∠B∴sinD=sinB=，Rt△ADC中，sinD=，AD=2R=4，∴AC=AD•sinD=3．故选A．分析：若想利用∠B的正弦值，需构建与它相等的圆周角，延长AO交⊙O于D，在Rt△ADC 中，由圆周角定理，易得∠D=∠B，即可根据∠D的正弦值和直径AD的长，求出AC的长．12.三角形的外心是三角形中（）A．三边垂直平分线的交点B．三条中线的交点C．三条角平分线的交D．三条高的交点答案：A解析：解答：三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点．故选：A．分析：根据三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，解答即可．13、有下列四个命题，其中正确的有（）①圆的对称轴是直径；②经过三个点一定可以作圆；③三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等；④半径相等的两个半圆是等弧．A．4个B．3个C．2个D．1个答案：C解析：解答：①圆的对称轴是直径所在的直线；故此选项错误；②当三点共线的时候，不能作圆，故此选项错误；③三角形的外心是三角形三边的垂直平分线的交点，所以三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等，故此选项正确；④在同圆或等圆中，能够互相重合的弧是等弧，所以半径相等的两个半圆是等弧，故此选项正确．故选：C．分析：根据圆中的有关概念、定理进行分析判断．14、若一个三角形的外心在它的一条边上，那么这个三角形一定是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．钝角三角形答案：B解析：解答：锐角三角形的外心在三角形的内部，直角三角形的外心是其斜边的中点，钝角三角形的外心在其三角形的外部；由此可知若三角形的外心在它的一条边上，那么这个三角形是直角三角形．故选：B．分析：根据直径所对的圆周角是直角得该三角形是直角三角形．15.如图，△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的三边分别记为a，b，c，O是△ABC的外心，OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，则OD：OE：OF=（）A．a：b：c B．111::a b cC．cosA：cosB：cosC D．sinA：sinB：sinC答案：C解析：解答：设三角形的外接圆的半径是R．连接OB，OC．∵O是△ABC的外心，且OD⊥BC．∴∠BOD=∠COD=∠A在直角△OBD中，OD=OB•cos∠BOD=R•cosA．同理，OE=R•cosB，OF=R•cosC．∴OD：OE：OF=cosA：cosB：cosC．故选C．分析：设三角形的外接圆的半径是R，根据垂径定理，在直角△OBD中，利用三角函数即可用外接圆的半径表示出OD的长，同理可以表示出OE，OF的长，即可求解．二、填空题16.当点A（1，2），B（3，-3），C（m，n）三点可以确定一个圆时，m，n需要满足的条件.答案：5m+2n≠9．解析：解答：设直线AB的解析式为y=kx+b，∵A（1，2），B（3，-3），∴解得：k=-2.5 ，b=4.5 ，∴直线AB的解析式为y=-2.5 x+4.5 ，∵点A（1，2），B（3，-3），C（m，n）三点可以确定一个圆时，∴点C不在直线AB上，∴5m+2n≠9，故答案为：5m+2n≠9．分析：能确定一个圆就是不在同一直线上，首先确定直线AB的解析式，然后点C不满足求得的直线即可．17.平面直角坐标系内的三个点A（1，0）、B（0，-3）、C（2，-3）确定一个圆（填“能”或“不能”）．答案：能解析：解答：∵B（0，-3）、C（2，-3），∴BC∥x轴，而点A（1，0）在x轴上，∴点A、B、C不共线，∴三个点A（1，0）、B（0，-3）、C（2，-3）能确定一个圆．故答案为：能．分析：根据三个点的坐标特征得到它们不共线，于是根据确定圆的条件可判断它们能确定一个圆．18.如图△ABC中外接圆的圆心坐标是.答案：（6，2）．解析：解答：如图：分别做三角形的三边的垂直平分线，可知相交于点（6，2），即△ABC中外接圆的圆心坐标是（6，2）．故答案为：（6，2）．分析：本题可借助网格在网格中根据三角形三边的位置作出它们的垂直平分线，垂直平分线相交于一点，该点就是圆心，根据网格中的单位长度即可求解．19.已知△ABC的边BC=4cm，⊙O是其外接圆，且半径也为4cm，则∠A的度数是. 答案：30°或150°．解析：解答：如图：连接BO，CO，∵△ABC的边BC=4cm，⊙O是其外接圆，且半径也为4cm，∴△OBC是等边三角形，∴∠BOC=60°，∴∠A=30°．若点A在劣弧BC上时，∠A=150°．∴∠A=30°或150°．故答案为：30°或150°．分析：利用等边三角形的判定与性质得出∠BOC=60°，再利用圆周角定理得出答案．20.我们把两个三角形的外心之间的距离叫做外心距．如图，在Rt△ABC和Rt△ACD中，∠ACB=∠ACD=90°，点D在边BC的延长线上，如果BC=DC=3，那么△ABC和△ACD的外心距是.答案：3解析：解答：∵∠ACB=∠ACD=90°，∴Rt△ABC和Rt△ACD分别是AB，AD的中点，∴两三角形的外心距为△ABD的中位线，即为12BD=3．故答案为：3．分析：利用直角三角形的性质得出两三角形的外心距为△ABD的中位线，即可得出答案．三、证明题21.如图所示，BD，CE是△ABC的高，求证：E，B，C，D四点在同一个圆上．答案：见解析解析：解答：如图所示，取BC的中点F，连接DF，EF．∵BD，CE是△ABC的高，∴△BCD和△BCE都是直角三角形．∴DF，EF分别为Rt△BCD和Rt△BCE斜边上的中线，∴DF=EF=BF=CF．∴E，B，C，D四点在以F点为圆心，12BC为半径的圆上．分析：求证E，B，C，D四点在同一个圆上，△BCD是直角三角形，则三个顶点在斜边中点为圆心的圆上，因而只要再证明F到BC的中点的距离等于BC的一半就可以．22.如图，AD为△ABC外接圆的直径，AD⊥BC，垂足为点F，∠ABC的平分线交AD于点E，连接BD，CD．（1）求证：BD=CD；（2）请判断B，E，C三点是否在以D为圆心，以DB为半径的圆上？并说明理由．答案：略解析：解答：（1）证明：∵AD为直径，AD⊥BC，∴»»BD CD=∴BD=CD．（2）B，E，C三点在以D为圆心，以DB为半径的圆上．理由：由（1）知：BD＝CD，∴∠BAD=∠CBD，又∵BE平分∠ABC，∴∠CBE=∠ABE，∵∠DBE=∠CBD+∠CBE，∠DEB=∠BAD+∠ABE，∠CBE=∠ABE，∴∠DBE=∠DEB，∴DB=DE．由（1）知：BD=CD∴DB=DE=DC．∴B，E，C三点在以D为圆心，以DB为半径的圆上．分析：（1）利用等弧对等弦即可证明．（2）利用等弧所对的圆周角相等，∠BAD=∠CBD再等量代换得出∠DBE=∠DEB，从而证明DB=DE=DC，所以B，E，C三点在以D为圆心，以DB为半径的圆上．23.如图，在△ABC中，AB=AC，⊙O是△ABC的外接圆，AE⊥AB交BC于点D，交⊙O于点E，F在DA的延长线上，且AF=AD．若AF=3，tan∠ABD=34，求⊙O的直径．答案：20 3解析：解答：如图，连接BE．∵AF=AD，AB⊥EF，∴BF=BD．是直径∵AB=AC，∴∠FBA=∠ABC=∠C=∠E．∵tan∠ABD=3 4，∴tanE=tan∠FBA=3 4．在Rt△ABF中，∠BAF=90°．∵tan∠FBA=AFAB=34，AF=3，∴AB=4．∵∠BAE=90°，∴BE是⊙O的直径．∵tanE=tan∠FBA=34，AB=4，∴设AB=3x，AE=4x，∴BE=5x，∵3x=4，∴BE=5x=203，即⊙O的直径是203．分析：如图，连接BE．利用等腰三角形“三线合一”的性质得到BF=BD；然后根据圆周角定理推知∠FBA=∠ABC=∠C=∠E，BE是⊙O的直径．利用锐角三角函数的定义可以来求BE的长度．24.已知在△ABC中，AB=AC=10，BC=16，求△ABC外接圆的半径．答案：25 3解析：解答：过A作AD⊥BC于D，连接BO，△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，则AD必过圆心O，Rt△ABD中，AB=10，BD=8∴AD=6，设⊙O的半径为x，Rt△OBD中，OB=x，OD=6-x根据勾股定理，得：，即：，解得：x=253，则△ABC外接圆的半径为：253．分析：已知△ABC是等腰三角形，根据等腰三角形的性质，若过A作底边BC的垂线，则AD必过圆心O，在Rt△OBD中，用半径表示出OD的长，即可用勾股定理求得半径的长．25.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AD平分∠BAC，过A，C，D三点的圆与斜边AB 交于点E，连接DE．（1）求证：AC=AE；（2）若AC=6，CB=8，求△ACD外接圆的直径．答案：(1)略；(2)35解析：解答：（1）证明：∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，∴AD为圆的直径，∴∠AED =90°，∵AD 是△BAC 的∠CAB 的角平分线，∴∠CAD =∠EAD ，Rt △ACD 与Rt △ADE 中，∠CAD =∠BAD ， ∠ACB =∠AED ，AD =AD ，∴Rt △ACD ≌Rt △ADE （AAS ），∴AC =AE ．（2）∵在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AC =6，CB =8，∴10AB = ∵由（1）知，AC =AE ，CD =DE ，∠ACD =∠AED =90°，∴设CD =x ，则BD =8-x ，BE =AB -AE =10-6=4，在Rt △BDE 中，222BE DE BD +=，即2224(8)x x +=-解得x =3．在Rt △ACD 中222AC CD AD +=即22263AD +=解得AD =分析：（1）由Rt △ABC 中，∠ACB =90°，可得AD 是直径，可得△ADE 为直角三角形，在两个直角三角形中，利用AAS 可得两三角形全等，得到答案；（2）先根据勾股定理求出AB 的长，由（1）知，AC =AE ，CD =DE ，设CD =x ，则BD =8-x ，在Rt △BDE 中，根据勾股定理求出x 的值，同理，在Rt ∠ACD 中求出AD 的长，进而可得出结论．。

3.5确定圆的条件课后练习一、选择题1．三角形的外心是这个三角形的（）A．三条中线的交点B．三条角平分线的交点C．三边的中垂线的交点D．三条高的交点2．△ABC的外心在三角形的外部，则△ABC是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．无法判断3．Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3cm，BC＝4cm，则它的外心与直角顶点的距离是为（）A．2cm B．2.5cm C．3cm D．4cm4．若一个三角形的外心在这个三角形的一边上，那么这个三角形是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不能确定5．下列语句中：①三角形的三条中线的交点是三角形的外心．②三角形两条角平分线的交点是三角形的内心．③三角形的外心到三个顶点的距离相等．④三角形的内心不一定在三角形的内部．其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个6．已知⊙O的半径为5，若PO＝4，则点P与⊙O的位置关系是（）A．点P在⊙O内B．点P在⊙O上C．点P在⊙O外D．无法判断7．已知⊙O的半径为4cm，点A到圆心O的距离为3cm，则点A与⊙O的位置关系是（）A．点A在⊙O内B．点A在⊙O上C．点A在⊙O外D．不能确定8．如图，已知矩形中ABCD中，AB＝3cm，BC＝4cm，若以A为圆心、5cm长为半径画⊙A，则点C与⊙A的位置关系为（）A．点C在⊙A上B．点C在⊙A外C．点C在⊙A内D．无法判断9．如图，已知△ABC中，AB＝2，BC＝3，∠B＝90°，以点B为圆心作半径为r的⊙B，要使点A、C在⊙B外，则r的取值范围是（）A．0＜r＜2 B．0＜r＜3 C．2＜r＜3 D．r＞310．如图，△ABC为直角三角形，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，以点C为圆心，以CA为半径作⊙C，则△ABC斜边的中点D与⊙C的位置关系是（）A．点D在⊙C上B．点D在⊙C内C．点D在⊙C外D．不能确定二、填空题11．如图，在直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别为（0，3）、（4，3）、（0，﹣1），则△ABC外接圆的圆心坐标为．12．如图，⊙O是△ABC的外接圆，已知∠B＝60°，则∠CAO的度数是＝度．13．①直径是弦；②经过三个点一定可以作圆；③三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等；④半径相等的两个半圆是等弧．其中正确的有．14．如图，将△ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A、B、C均落在格点上，用一个圆面去覆盖△ABC，能够完全覆盖这个三角形的最小圆面的半径是．三、解答题15．如图，已知等腰直角三角形ABC，点P是斜边BC上一点（不与B，C重合），PE是△ABP的外接圆⊙O的直径．（1）求证：△APE是等腰直角三角形；（2）若⊙O的直径为2，求PC2+PB2的值．16．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，CB＝8，AD是△ABC的角平分线，过A，D，C三点的圆与斜边AB交于点E，连接DE．（1）求证：AC＝AE；（2）求△ACD外接圆的直径．。

教学资料范本【2019-2020】九年级数学下册第三章圆3-5确定圆的条件同步练习新版北师大版编辑：__________________时间：__________________课时作业(二十四)[第三章 5 确定圆的条件]一、选择题1．下列四个命题中正确的有( )①经过三角形顶点的圆是三角形的外接圆；②任何一个三角形一定有一个外接圆，并且只有一个外接圆；③任何一个圆一定有一个内接三角形，并且只有一个内接三角形；④三角形的外心是三角形三条边的垂直平分线的交点．A．1个B．2个C．3个D．4个2．三角形的外心具有的性质是( )A．到三个顶点的距离相等B．到三条边的距离相等C．是三角形三条角平分线的交点D．是三角形三条中线的交点图K－24－13．20xx·××市三模如图K－24－1，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为(0，3)，点B的坐标为(2，1)，点C的坐标为(2，－3)．则经画图操作可知：△ABC的外心坐标应是( )A．(0，0) B．(1，0)C．(－2，－1) D．(2，0)4．如图K－24－2，AC，BE是⊙O的直径，弦AD与BE交于点F，下列三角形中，外心不是点O的是( )图K －24－2A ．△ABEB ．△ACFC ．△ABD D ．△ADE5．如图K －24－3，AB 是△ABC 的外接圆⊙O 的直径，D 为⊙O 上一点，OD ⊥AC ，垂足为E ，BC ＝5，AE ＝6，则DE 的长为( )图K －24－3 A ．4 2 B ．3 3 C ．4 D .726．若点O 是△ABC 的外心，且∠BOC ＝70°，则∠BAC 的度数为( ) A ．35° B ．110°C ．35°或145°D ．35°或140° 二、填空题7．已知△ABC 的三条边长分别为6 cm ，8 cm ，10cm ，则这个三角形的外接圆的面积为________cm 2.(结果用含π的代数式表示)8．20xx·十堰模拟如图K －24－4，△ABC 是⊙O 的内接三角形，连接OB ，OC ，若∠BAC ＋∠BOC ＝180°，BC ＝2 3 cm ，则⊙O 的半径为________cm .图K －24－49．直角三角形两边的长分别为16和12，则此三角形的外接圆半径是________.链接听课例2归纳总结10．20xx·内江已知△ABC 的三边长a ，b ，c 满足a ＋b 2＋|c －6|＋28＝4 a－1＋10b ，则△ABC 的外接圆半径为________． 三、解答题11．如图K －24－5，已知弧上三点A ，B ，C.(1)用尺规作图法，找出BAC ︵所在圆的圆心O(保留作图痕迹，不写作法)； (2)设△ABC 为等腰三角形，底边BC ＝16 cm ，腰AB ＝10 cm ，求圆片的半径R. 链接听课例1归纳总结图K－24－512.20xx·安徽如图K－24－6，在四边形ABCD中，AD＝BC，∠B＝∠D，AD不平行于BC，过点C作CE∥AD交△ABC的外接圆⊙O于点E，连接AE.(1)求证：四边形AECD为平行四边形；(2)连接CO，求证：CO平分∠BCE.图K－24－613．如图K－24－7，O为平面直角坐标系的原点，点A的坐标为(6，8)，点B 的坐标为(12，0)．(1)求证：AO＝AB；(2)用直尺和圆规作出△AOB的外心P；(3)求点P的坐标．图K－24－714．如图K－24－8，D是△ABC 的边BC的中点，过AD延长线上的点E作AD的垂线EF，E为垂足，EF与AB的延长线相交于点F，点O在AD 上，AO＝CO，BC∥EF.(1)求证：AB＝AC；(2)求证：点O是△ABC外接圆的圆心；(3)当AB＝5，BC＝6时，连接BE，若∠ABE＝90°，求AE的长．图K－24－8探究题我们知道：过任意一个三角形的三个顶点都能作一个圆，那么我们来探究过四边形四个顶点作圆的条件．(1)分别测量图K－24－9①②③中四边形的内角．如果过某个四边形的四个顶点能作一个圆，那么其相对的两个角之间有什么关系？图K－24－9(2)如果过某个四边形的四个顶点不能作一个圆，那么其相对的两个角之间有上面的关系吗？试结合图K－24－9④⑤说明其中的道理(提示：考虑∠B＋∠D 与180°之间的关系)；(3)由上面的探究，试归纳出判定过四边形的四个顶点能作一个圆的条件．详解详析【课时作业】[课堂达标]1．[答案] B2．[答案] A3．[解析] C∵△ABC的外心就是三角形三边垂直平分线的交点，∴作图如图，∴EF与MN的交点O′就是所求的△ABC的外心，∴△ABC的外心坐标是(－2，－1)．故选C.4．[解析] B只有△ACF的三个顶点不都在圆上，故外心不是点O的是△ACF.5．[解析] C∵OD⊥AC，∴AE＝CE＝6.∵AB是△ABC的外接圆⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴AB＝BC2＋AC2＝52＋122＝13.∵OA＝OB，AE＝CE，∴OE为△ABC的中位线，∴OE＝1 2BC＝2.5，∴DE＝OD－OE＝12×13－2.5＝4.故选C.6．[解析] C①当点O在三角形的内部时，如图①所示，则∠BAC＝12∠BOC＝35°；②当点O在三角形的外部时，如图②所示，则∠BAC＝1 2(360°－70°)＝145°.故选C.7．[答案] 25π[解析] 因为62＋82＝102，所以△ABC为直角三角形，且斜边长为10 cm，则其外接圆的半径为5 cm，所以外接圆的面积为25πcm2.8．[答案] 2[解析] 如图，过点O作OE⊥BC于点E.∵∠BAC ＋∠BOC ＝180°，∠BOC ＝2∠BAC ， ∴∠BOC ＝120°，∠BAC ＝60°. ∵OE ⊥BC ，∴BE ＝EC ＝3，∠BOE ＝∠COE ＝60°，∴∠OBE ＝30°，∴OB ＝2OE. 设OE ＝x cm ，则OB ＝2xcm ，∴4x 2＝x 2＋(3)2，∴x ＝1(负值已舍去)，∴OB ＝2 cm .9．[答案] 10或8 [解析]分类讨论：①当16和12是两直角边长时，可得此直角三角形的斜边长为20，其外接圆的半径为10；②当16和12分别是斜边长和直角边长时，可由直角三角形的外接圆半径为直角三角形斜边长的一半，知其外接圆的半径为8.10．[答案]258[解析] 原式整理，得b 2－10b ＋25＋a －1－4 a－1＋4＋|c －6|＝0，即(b －5)2＋(a－1)2－4 a－1＋4＋|c －6|＝0，(b －5)2＋(a－1－2)2＋|c －6|＝0.∵(b －5)2≥0，(a－1－2)2≥0，|c －6|≥0，∴b ＝5，a ＝5，c ＝6，∴△ABC 为等腰三角形．如图所示，过点C 作CD ⊥AB ，设O 为外接圆的圆心，则OA ＝OC ＝R ，∵AC ＝BC ＝5，AB ＝6，∴AD ＝BD ＝3，∴CD ＝AC2－AD2＝4，∴OD ＝CD －OC ＝4－R.在Rt △AOD 中，R 2＝32＋(4－R)2，解得R ＝258.11．[解析](1)作AB ，AC 的中垂线即得圆心O ；(2)已知BC 和AB 的长度，所以可以构造直角三角形，利用勾股定理可求得半径R.解：(1)如图，作AB ，AC 的垂直平分线，垂直平分线的交点就是圆心，标出圆心O.(2)连接AO 交BC 于点E ，连接BO.∵AB ＝AC ，∴AB ︵＝AC ︵， ∴AE ⊥BC ，∴BE ＝12BC ＝8 cm .在Rt△ABE中，AE＝AB2－BE2＝100－64＝6(cm)．在Rt△OBE中，R2＝82＋(R－6)2，解得R＝253cm，即圆片的半径R为253cm.12．证明：(1)由圆周角定理，得∠B＝∠E.又∠B＝∠D，∴∠E＝∠D.∵CE∥AD，∴∠D＋∠ECD＝180°，∴∠E＋∠ECD＝180°，∴AE∥CD，∴四边形AECD为平行四边形．(2)如图，过点O作OM⊥BC于点M，ON⊥CE于点N，∵四边形AECD为平行四边形，∴AD＝CE.又AD＝BC，∴CE＝BC，∴OM＝ON.又OM⊥BC，ON⊥CE，∴CO平分∠BCE.13．解：(1)证明：过点A作AC⊥x轴于点C.∵A(6，8)，∴OC＝6，AC＝8.∵B(12，0)，∴OB＝12，∴BC＝6＝OC，∴AC是OB的垂直平分线，∴AO＝AB.(2)如图，作OA的垂直平分线交AC于点P，点P就是所求的外心．(3)连接PO.∵点P是△AOB的外心，∴PA＝PO＝r.∵AC＝8，∴PC＝8－r. 在Rt△POC中，PO2＝OC2＋PC2，∴r2＝62＋(8－r)2，解得r＝254，∴PC＝74，∴P⎝⎛⎭⎪⎫6，74.14．解：(1)证明：∵AE⊥EF，EF∥BC，∴AD⊥BC.又∵D是BC的中点，∴AD是BC的垂直平分线，∴AB＝AC.(2)证明：连接BO，由(1)知AD是BC的垂直平分线，∴BO＝CO. 又∵AO＝CO，∴AO＝BO＝CO，∴点O是△ABC外接圆的圆心．(3)解法1：∵∠ABE＝∠ADB＝90°，∴∠ABD＋∠BAD＝∠AEB＋∠BAE＝90°，∴∠ABD＝∠AEB.又∵∠BAD＝∠EAB，∴△ABD∽△AEB，∴ABAE＝ADAB.在Rt△ABD中，∵AB＝5，BD＝12BC＝3，∴AD＝4，∴AE＝254.解法2：由(2)得AO＝BO，∴∠ABO＝∠BAO. ∵∠ABE＝90°，∴∠ABO＋∠OBE＝∠BAO＋∠OEB＝90°，∴∠OBE＝∠OEB，∴OB＝OE.在Rt△ABD中，∵AB＝5，BD＝12BC＝3，∴AD＝4.设 OB＝x, 则 OD＝4－x，由32＋(4－x)2＝x2，解得x＝25 8，∴AE＝2OB＝254.[素养提升]解：(1)对角互补(对角之和等于180°)．(2)没有．题图④中，∠B＋∠D＜180°；题图⑤中，∠B＋∠D＞180°.(3)过四边形的四个顶点能作一个圆的条件是：四边形的对角互补(对角之和等于180°)．。

35确定圆的条件一、选择题1．若△ABC 的外接圆的圆心在△ABC 的外部，则△ABC 是 ( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．无法确定2．可以作圆且只可以作一个圆的条件是 ( )A ．已知圆心B ．已知半径C ．过三个已知点D ．过不在同一条直线上的三个点3．半径为R 的圆内接正三角形的面积是 ( )A ．232RB ． πR 2C ．2332RD ．2334R 4．如图3－81所示，△ABC 内接于⊙O ，∠C ＝45°．AB ＝4，则⊙O的半径为 ( )A ．22B ．4C ．23D ．55．（2014•山西，第8题3分）如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，连接OA 、OB ，∠OBA=50°，则∠C 的度数为（ ）A ． 30°B． 40°C． 50°D．80°6 （2014•丽水，第9题3分）如图，半径为5的⊙A 中，弦BC ，ED 所对的圆心角分别是∠BAC，∠EAD．已知DE=6，∠BAC+∠EAD=180°，则弦BC 的弦心距等于（ ）A．B．C．4 D．3二、填空题7．等腰三角形ABC内接于半径为 5 c的⊙O，若底边BC＝8 c，则△ABC的面积是．8．若等边三角形的边长为4 c，则它的外接圆的面积为．9．已知Rt△ABC的两条直角边长为a和b，且a，b是方程x2－3x＋1＝0的两根，则Rt△ABC的外接圆面积为．10 （2014•黑龙江龙东,第6题3分）直径为10c的⊙O中，弦AB=5c，则弦AB所对的圆周角是30°或150°．11 （2014•湖南衡阳,第17题3分）如图，AB为⊙O直径，CD为⊙O的弦，∠ACD=25°，∠BAD的度数为65°．三、作图与解答题12．如图3－82所示，已知两点A，B及直线l，求作经过A，B两点，且圆心在直线l 的圆．13．先阅读，再解答．我们在判断点(－7，20)是否在直线y＝2x＋6上时，常用的方法是：把x＝－7代入y ＝2x＋6中，由2×(－7)＋6＝－8≠20，判断出点(－7，20)不在直线y＝2x＋6上．小明由此方法并根据“两点确定一条直线”，推断出点A(1，2)，B(3，4)，C(－1，6)三点可以确定一个圆，你认为他的推断正确吗?请你利用上述方法说明理由．14．如图3－83所示，等腰三角形ABC内接于半径为5的⊙O中，AB＝AC，且tan B＝13．(1)求BC的长；(2)求AB边上的高．参考答案1．C2．D［提示：D既固定了圆的位置，又固定了圆的大小，保证了所要求的唯一性．] 3．D4．A[提示：连接OA，OB．∵∠C＝45°，∴∠AOB＝90°，∴在Rt△AOB中，OA＝OB ＝22．故选A．]5B6D7．8 c2或32 c28．163π c2 [提示：作弦心距，易求r＝433．]9．74π [提示：a＋b＝3，ab＝1，c2＝(a＋b)2－2ab＝7，2724cSππ⎛⎫==⎪⎝⎭．]10解答：解：连接OA、OB，∵AB=OB=OA，∴∠AOB=60°，∴∠C=30°，∴∠D=180°﹣30°=150°．故答案为30°或150°．11解答：解：∵AB为⊙O直径∴∠ADB=90°∵∠B=∠ACD=25°∴∠BAD=90°﹣∠B=65°．故答案为：65°．点评：考查了圆周角定理的推论．构造直径所对的圆周角是圆中常见的辅助线之一．12．提示：连接AB，作线段AB的垂直平分线l′交直线l于O；以O为圆心，OA长为半径作圆，则⊙O就是所求作的圆．图略．13．分析判断A，B，C三点是否可以确定一个圆，只需求出过任意两点的直线，再看第三点是否在所求直线上，若不在，说明三点不在同一条直线上，可以确定一个圆．解：他的推断是正确的．因为“两点确定一条直线”，设经过A，B两点的直线的解析式为y＝kx＋b．由A(1，2)，B(3，4)，得2,34,k bk b+=⎧⎨+=⎩解得1,1,kb=⎧⎨=⎩∴经过A，B两点的直线的解析式为y＝x＋1．把x＝－1代入y＝x＋1中，由－1＋1≠6，可知点C(－1，6)不在直线AB上，即A，B，C三点不在同一条直线上．所以A，B，C三点可以确定一个圆．【解题策略】掌握“不在同一条直线上的三个点确定一个圆”是解此题的关键．14．解：(1)连接OA交BC于D，连接OB，OC，则AO垂直平分线段BC．设AD＝x，∵tan B＝13，∴BD＝3x．在Rt△ODB中，(5－x)2＋(3x)2＝52，解得x＝1，∴BC＝2BD＝6． (2)过C作CE⊥AB交BA的延长线于E，∵tan B＝13，BC＝6，∴CE2＋(3CE)2＝62，∴CE＝3105．【若缺失公式、图片现象属于系统读取不成功，文档内容齐全完整，请放心下载。

北师大版九年级数学下第三章5 确定圆的条件（含答案）一、选择题1．下列四个命题中，正确的有()①经过三角形顶点的圆是三角形的外接圆；②任何一个三角形一定有一个外接圆，并且只有一个外接圆；③任何一个圆一定有一个内接三角形，并且只有一个内接三角形；④三角形的外心是三角形三条边的垂直平分线的交点．A．1个B．2个C．3个D．4个2．下列关于三角形的外心的说法中，正确的是()A．到三角形三个顶点的距离相等B．到三角形三条边的距离相等C．是三角形三条角平分线的交点D．是三角形三条中线的交点3．如图1，点A，B，C在同一条直线上，点D在直线AB外，过这四个点中的任意三个点，能画圆的个数是()图1A．1 B．2C．3 D．44．如图2，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为(0，3)，点B的坐标为(2，1)，点C的坐标为(2，－3)，则经画图操作可知，△ABC的外心的坐标应是()图2A．(0，0) B．(1，0)C．(－2，－1) D．(2，0)5．如图3，AC，BE是⊙O的直径，弦AD与BE交于点F，下列三角形中，外心不是点O的是()图3A．△ABE B．△ACF C．△ABD D．△ADE6．小明不慎把家里的圆形镜子打碎了，其中三块碎片如图4所示，利用三块碎片中的一块最有可能配到与原来一样大小的圆形镜子的碎片是()图4A．①B．②C．③D．均不可能7．若点O是△ABC的外心，且∠BOC＝70°，则∠BAC的度数为()A．35°B．110°C．35°或145°D．35°或140°二、填空题8．如图5，将△ABC放在每个小正方形的边长均为1的网格中，点A，B，C均落在格点上，用一个圆面去覆盖△ABC，能够完全覆盖这个三角形的最小圆面的半径是________．图59．如图6，△ABC是⊙O的内接三角形，且AB是⊙O的直径，P为⊙O上的动点，且∠BPC＝60°，⊙O 的半径为6，则点P到AC的距离的最大值是________．图610．若点O 是等腰三角形ABC 的外心，且∠BOC ＝60°，底边BC ＝2，则△ABC 的面积为________________________________________________．三、解答题11．如图7，已知圆弧上有三点A ，B ，C.(1)用尺规作图法，找出BAC ︵所在圆的圆心O(保留作图痕迹，不写作法)；链接听P34例1归纳总结 (2)若△ABC 为等腰三角形，底边BC ＝16 cm ，腰AB ＝10 cm ，求圆片的半径R.图712.如图8，O 为平面直角坐标系的原点，点A 的坐标为(6，8)，点B 的坐标为(12，0)． (1)求证：AO ＝AB ；(2)用直尺和圆规作出△AOB 的外心P ； (3)求点P 的坐标．图813．如图9①，在△ABC中，BA＝BC，D是平面内不与点A，B，C重合的任意一点，∠ABC＝∠DBE，BD＝BE.(1)求证：△ABD≌△CBE；(2)如图②，当点D是△ABC的外接圆圆心时，请判断四边形BECD的形状，并证明你的结论．图9附加题我们知道：过任意一个三角形的三个顶点都能作一个圆，那么我们来探究过四边形的四个顶点作圆的条件．(1)分别测量图10①②③中四边形的内角，如果过某个四边形的四个顶点能作一个圆，那么其相对的两个角之间有什么关系？图10(2)如果过某个四边形的四个顶点不能作一个圆，那么其相对的两个角之间有上面的关系吗？试写出图④⑤中∠B＋∠D与180°之间的关系；(3)由上面的探究，试归纳出判定过四边形的四个顶点能作一个圆的条件．。

答卷时应注意事项１、拿到试卷，要认真仔细的先填好自己的考生信息。

２、拿到试卷不要提笔就写，先大致的浏览一遍，有多少大题，每个大题里有几个小题，有什么题型，哪些容易，哪些难，做到心里有底；３、审题，每个题目都要多读几遍，不仅要读大题，还要读小题，不放过每一个字，遇到暂时弄不懂题意的题目，手指点读，多读几遍题目，就能理解题意了；容易混乱的地方也应该多读几遍，比如从小到大，从左到右这样的题；４、每个题目做完了以后，把自己的手从试卷上完全移开，好好的看看有没有被自己的手臂挡住而遗漏的题；试卷第１页和第２页上下衔接的地方一定要注意，仔细看看有没有遗漏的小题；５、中途遇到真的解决不了的难题，注意安排好时间，先把后面会做的做完，再来重新读题，结合平时课堂上所学的知识，解答难题；一定要镇定，不能因此慌了手脚，影响下面的答题；６、卷面要清洁，字迹要清工整，非常重要；７、做完的试卷要检查，这样可以发现刚才可能留下的错误或是可以检查是否有漏题，检查的时候，用手指点读题目，不要管自己的答案，重新分析题意，所有计算题重新计算，判断题重新判断，填空题重新填空，之后把检查的结果与先前做的结果进行对比分析。

亲爱的小朋友，你们好!经过两个月的学习，你们一定有不小的收获吧，用你的自信和智慧，认真答题，相信你一定会闯关成功。

相信你是最棒的！课时练第3单元圆5确定圆的条件一、基础训练1.下列说法错误的是()A.过一点有无数多个圆B.过两点有无数多个圆C.过三点只能确定一个圆D.过直线上两点和直线外一点,可以确定一个圆2.小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了,其中四块碎片如图所示,为配到与原来大小一样的圆形玻璃,小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是()A.第①块B.第②块C.第③块D.第④块3.A,B,C为平面内的三点,AB=2,BC=3,AC=5,则()A.可以画一个圆,使A,B,C都在圆上B.可以画一个圆,使A,B在圆上,C在圆内C.可以画一个圆,使A,C在圆上,B在圆外D.可以画一个圆,使A,C在圆上,B在圆内4.如图,AC,BE是☉O的直径,弦AD与BE交于点F,下列三角形中,外心不是点O的是()A.△ABEB.△ABDC.△ACFD.△ADE5.在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6cm,BC=8cm,则它的外心与点C的距离为()A.5cmB.6cmC.7cmD.8cm二、填空题6．如图所示，点A，B，C在直线l上，点D在l外，过这四点中的任意3个点，则能画圆的个数是______个．7.[2020北京西城区一模]如图,在平面直角坐标系xOy中,点A,B,C的坐标分别是(0,4),(4,0),(8,0),☉M是△ABC的外接圆,则圆心M的坐标为.8．(黄冈中考)如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，∠CAB＝60°，弦AD平分∠CAB，若AD＝6，则AC＝_____________.9．直角三角形的两边长分别为16和12，则此三角形外接圆的半径是______________.10．(成都中考)如图，△ABC内接于⊙O，AH⊥BC于点H，若AC＝24，AH＝18，⊙O的半径OC＝13，则AB＝_____________.11.如图,将△ABC放在每个小正方形的边长都为1的网格中,点A,B,C 均落在格点(网格线的交点)上,用一个圆面去覆盖△ABC,能够完全覆盖这个三角形的最小圆面的半径是.三、解答题12.如图,小明家的房前有一块空地,空地上有三棵树A,B,C,小明想建一个圆形花坛,使三棵树都在花坛的边上.(1)请你帮小明把花坛画出来;(尺规作图,不写作法,保留作图痕迹)(2)若△ABC中,AB=8m,AC=6m,∠BAC=90°,试求小明家圆形花坛的面积.13．(永州中考)如图，已知△ABC内接于⊙O，且AB＝AC，直径AD 交BC于点E，F是OE上的一点，使CF∥BD.(1)求证：BE＝CE；(2)试判断四边形BFCD的形状，并说明理由；(3)若BC＝8，AD＝10，求CD的长．14.[2021浙江杭州拱墅区月考]如图,已知☉O是△ABC的外接圆,圆心O在△ABC的外部,AB=AC=4,BC=43,求☉O的半径.参考答案一、选择题1.C2.B3.D4.C5.A二、填空题6.37.(6,6)8.239.10或810.39 2三、解答题11.5【解析】能够完全覆盖这个三角形的最小圆面即该三角形的外接圆,外接圆的圆心是三边的垂直平分线的交点,如图所示,在网格中作出AC与AB的垂直平分线,相交于点O,连接OA,则OA即能完全覆盖这个三角形的最小圆面的半径.由图可知OA=22+12=5.12.【解析】(1)要把圆形花坛画出来,必须先找到圆心O.可用尺规分别作出AB,BC的垂直平分线,两条垂直平分线的交点即圆心O,然后以O为圆心、OA的长为半径作☉O,则☉O即所求作的花坛.如图所示. (2)∵∠BAC=90°,AB=8m,AC=6m,∴BC为☉O的直径,且BC=2+2=10m,)2=25π(m2),π×(102∴小明家圆形花坛的面积为25πm2.13.解：(1)∵AD是⊙O的直径，∴∠ABD＝∠ACD＝90°.∵AB＝AC，AD＝AD，∴Rt△ABD≌Rt△ACD.∴BD＝CD.∵AB＝AC，BD＝CD，∴点A，D都在线段BC的垂直平分线上．∴AD垂直平分BC，∴BE＝CE(2)四边形BFCD是菱形．理由：∵AD垂直平分BC，∴BF＝CF.∵CF∥BD，∴∠DBE＝∠FCE，∠BDE＝∠CFE.又∵BE＝CE，∴△BDE≌△CFE，∴BD＝CF.∵BD＝CD，BF＝CF，BD＝CF，∴BD＝CD＝CF＝BF，∴四边形BFCD是菱形(3)∵BC＝8，∴BE＝CE＝4.∵CE2＝AE·DE，AE＝AD－DE＝10－DE，∴42＝(10－DE)·DE.解得DE＝2或8.但DE＝8不合题意，应舍去．∴CD＝CE2＋DE2＝42＋22＝2514.【解析】如图,连接AO,交BC于点D,连接BO.∵AB=AC,∴=,又∵AO是半径,∴AO⊥BC,BD=CD,又∵BC=43,∴BD=23.在Rt△ABD中,∠ADB=90°,AB=4,∴BD2+AD2=AB2,即(23)2+AD2=42,∴AD=2.设☉O的半径为r,在Rt△BDO中,BD2+DO2=BO2,∴(23)2+(r-2)2=r2,∴r=4.。