立体几何基础题题库251-300(有详细答案)

立体几何基础题题库2501-300（有详细答案）251. 已知两平面α，β相交于直线a ，直线b 在β内与直线a 相交于A 点，直线c 在平面α内与直线a 平行，请用反证法论证b,c 为异面直线.解析：这题规定用反证法，提出与结论相反的假定后，要注意分可能的几种情况讨论. 证：用反证法.假设b,c 共面，则b ∥c 或b,c 相交.(1)若b ∥c,∵ c ∥a, ∴ a ∥b 这与b ∩a ＝A 的已知条件矛盾；(2)若b ∩c ＝P,∵ b ⊂β，∴ P ∈β.又∵ c ⊂α，∴ P ∈α. ∴ P ∈α∩β而α∩β＝a.∴ P ∈a ，这样c,a 有了公共点P ，这与a ∥c 的已知条件矛盾.综上所述，假设不成立，所以b 、c 为异面直线.说明 本题如不指明用反证法，也可以考虑用平面直线的判定定理来证明.252. 如图，在棱长为a 的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，异面直线AA 1和1BD 的中点分别是E 、F.(1)证明EF 是AA 1与BD 1的公垂线段；(2)求异面直线AA 1和BD 1间的距离.解析：(1)连接ED 1、EB ，则显然ED 1＝EB ＝25a 又F 为BD 1之中点.∴ EF ⊥BD 1；连接FA 1，FA.∵ F 为正方体的中心，∴ FA ＝FA 1，又E 为AA 1之中点，∴ EF ⊥A 1A.故EF 为AA 1与BD 1的公垂线段.(2)在Rt ΔEFD 1中EF ＝2121FD ED -＝a a a 22434522=-. 故AA 1到BD 1间的距离是a 22. 评析：今后学习了线面的位置关系之后，可以利用“转化”的思想求距离.253. 如图所示，正三棱锥S —ABC 的侧棱与底面的边长相等，如果E 、F 分别为SC 、AB 的中点，求异面直线EF 与SA 所成的角.解析：计算EF 、SA 所成的角，可把SA 平移，使其角的顶点在EF 上.为此取SB 之中点G ，连GE 、GF 、BE 、AE ，由三角形中位线定理：GE ＝21BC ，GF ＝21SA ，且GF ∥SA ，所以∠GFE 就是EF 与SA 所成的角.若设此正三棱锥棱长为a ，那么GF ＝GE ＝21a,EA ＝EB ＝23a,EF ＝22)21(AB EA -＝22a ，因为ΔEGF 为等腰直角三角形.∠EFG ＝45°，所以EF 与SA 所成的角为45°.说明 异面直线所成角的求法：利用定义构造角，可固定一条，平移另一条，或同时平移到某个特殊的位置，顶点选在特殊的位置上，通过证明所作的角就是所求的角或者补角，解三角形，可求.254. 在空间四边形ABCD 中，M 、N 、P 、Q 分别是四边上的点，且满足MB AM ＝NB CN ＝QD AQ ＝PDCP ＝k. (1)求证：M 、N 、P 、Q 共面.(2)当对角线AC ＝a,BD ＝b ，且MNPQ 是正方形时，求AC 、BD 所成的角及k 的值(用a,b 表示) 解析：(1)∵ MB AM ＝QDAQ ＝k ∴ MQ ∥BD ，且MB AM AM +＝1+k k ∴ BDMQ ＝AB AM ＝1+k k ∴ MQ ＝1+k k BD 又 NB CN ＝PDCP ＝k ∴ PN ∥BD ，且NB CN CN +＝1+k k ∴ BD NP ＝CB CN ＝1+k k 从而NP ＝1+k k BD ∴ MQ ∥NP ，MQ ，NP 共面，从而M 、N 、P 、Q 四点共面. (2)∵ MA BM ＝k1，NC BN ＝k 1 ∴ MABM ＝NC BN ＝k 1,MA BM BM +＝11+k ∴ MN ∥AC ，又NP ∥BD.∴ MN 与NP 所成的角等于AC 与BD 所成的角.∵ MNPQ 是正方形，∴ ∠MNP ＝90°∴ AC 与BD 所成的角为90°，又AC ＝a ，BD ＝b ，AC MN ＝BA BM ＝11+k ∴ MN ＝11+k a 又 MQ ＝11+k b,且MQ ＝MN ， 1+k k b ＝11+k a ，即k ＝ba . 说明：公理4是证明空间两直线平行的基本出发点.255.已知：直线a 和直线b 是异面直线，直线c ∥a ，直线b 与c 不相交，求证：b 、c 是异面直线.证：因为b,c 不相交，b 、c 的位置关系有b ∥c 或b 、c 异面两种可能.假设b ∥c,∵ c ∥a,∴ a ∥b ，这与已知a,b 是异面直线矛盾.所以b 与c 不能平行，又b 、c 不相交所以b,c 是异面直线.256.分别和两条异面直线AB 、CD 同时相交的两条直线AC 、BD 一定是异面直线，为什么? 证明：假设AC 、BD 不异面，则它们都在某个平面α内，这时A 、B 、C 、D 四点都在α上，由公理1知A 、B 、C 、D ⊂α，这与已知AB 与CD 异面矛盾，所以AC 、BD 一定是异面直线.257. 如图，ABCD —A 1B 1C 1D 1是正方体，B 1E 1＝D 1F 1＝411B A ，则BE 1与DF 1所成角的余弦值是( ) A.1715 B.21 C. 178 D. 23解析：过A 点在平面ABB 1A 1内作AF ，使A 1F ＝D 1F 1，则ADF 1F 是平行四边形，∴FA ∥DF 1，再过E 1在平面ABB 1A 1内作E 1E ∥FA ，则∠BE 1E 即是BE 1与DF 1所成的角，由已知BE 1＝DF 1＝411B A ，ABCD —A 1B 1C 1D 1是正方体，∴ E 1E ＝417A 1B 1， 又DF 1＝AF ＝E 1E ，DF 1＝BE 1.∴ E 1E ＝417A 1B 1，EB ＝21A 1B 1 在ΔBE 1E 中，cos ∠BE 1E ＝11221212BE E E BE BE E E ⋅⋅-+＝1715. ∴ 应选A.258. 在棱长为1的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 和N 分别为A 1B 1和BB 1的中点，那么直线AM 与CN 所成角的余弦值是( ) A.23 B.1010 C.53 D.52解析：由图所示，AM 与CN 是异面直线，过N 作平行于AM 的平行线NP ，交AB 于P ，由定义可知∠PNC 就是AM 与CN 所成的角.因ΔPBC ，ΔPBN ，ΔCBN 皆为直角三角形，且BP ＝41，BN ＝21，BC ＝1，故PN 2＝(41)2+(21)2＝165，CN 2＝(21)2+12＝45，PC 2＝(41)2+12＝1617，在ΔPCN 中cos ∠PNC ＝CN PN PC CN PN ⋅-+2222，所以cos ∠PNC ＝52，因此应选D. 259. 已知异面直线a 与b 所成的角为50°，P 为空间一定点，则过点P 且与a 、b 所成的角都是30°的直线有且仅有( )A.1条B.2条C.3条D.4条解析： 过P 点分别作直线a ′∥a,b ′∥b,则a ′与b ′的夹角为50°，由异面直线所成的角的定义可知，过P 点与a ′,b ′成30°角的条数，就是所求的条数.画图可知，过P 点与a ′、b ′成30°角的直线只有两条.∴ 应选B.260. .若a 、b 为异面直线，P 为空间一点，过P 且与a 、b 所成角均为3π的直线有( ) A.二条B.二条或三条C.二条或四条D.二条、三条或四条 解析：D261. 已知空间四边形ABCD ，E 、H 分别是AB 、AD 的中点，F 、G 分别是边BC 、DC 的三等分点.求证：①对角线AC 、BD 是异面直线，②EF 和HG 必交于一点，且交点在AC 上.解析：①提示：用反证法，或者用判定定理.②提示：先证EH ∥FG ，EH ＜FG ，设FE ∩GH ＝0又 0∈GH.GH ⊂平面ADC.∴O ∈平面ADC.同理O ∈平面ABC.∴O 在平面ADC 和平面ABC 的交线AC 上.262.如果直线a 垂直于直线b ，那么直线a 与平行于直线b 的任意一条直线b ′互相垂直 解析：在a 上任取一点A ，过A 作b 1∥b ，则a 与b 1垂直.∵b ∥b ′，b ∥b 1 ∴b 1∥b ′∴直线a 与b 1和a 与b ′所成的角相等.∴a ⊥b ′263. 在一块长方形木块的面上有一点P ，木匠师傅要用锯子从P 和CD 将木块分成两块，问怎样画线.解析：过P 作C 1D 1的平行线EF ，连DE 、CF.264.异面直线l 1、l 2，它们之间的距离为1，所成角是3，它们的公垂线是AB ，A ∈l 1,B ∈l 2.E ∈l 1,F ∈l 2,AE ＝BF ＝1，求EF 的长.解析：如图，用异面直线l 1、l 2作为长方体的上、下底面的对角线，公垂线AB 为高. ①EF 的长即是正方形PEE ′F 的对角线长，为2.②侧面G F EE ''的对角线E F '，用勾股定理得E F '＝2，即为所求.265.试证：两两相交且不全过同一点的四条直线共面.解析：(1)设a 、b 、c 、d 四条直线两两相交，且不过同一点，并且无三线共点.记 a ∩b ＝A,a ∩c ＝C,c ∩b ＝B,∵ a ∩b ＝A,∴ a 、b 确定平面α.∴ B ∈b,C ∈a. ∴ B 、C ∈α.∴ BC ⊂α，即c ⊂α，同理d ⊂α从而 a 、b 、c 、d 共面(2)若有三线共点，不妨设b 、c 、d 相交于A ，a ∩b ＝B ，a ∩c ＝C,a ∩d ＝D.∴ a 与A 可确定平面α.∵ B ∈a. ∴B ∈α，于是b ⊂α.同理，c ⊂α，d ⊂α.从而a 、b 、c 、d 共面.266. 正方体的两条体对角线所夹角的正弦值为______________。

232 解析：易知A D BC 11//，故A C BD 11与两条体对角线相交，设交点为O （如图），则∠∠BOC AOB 或即为所成的角。

设正方体棱长为1，则A B A C 1123==，，BC =1，所以tg BA C ∠=122，而∠=∠BOC BA C 21，故 tg BOC ∠=⨯-=222122222()，即cos 221119∠=+∠=BOC tg BOC ， s i n s i n 289232∠=∴∠=B O C B O C267.长方体ABCD A B C D -1111中，BC CD DD ===2214251，，，则A C B D 111和所成角的大小为______________。

60︒解析：如图所示，将B D 11平移到A F 1，则在∆A FC 1中A F A C CF FA C FA C 11122212372372231260===∠=+-⨯⨯=∴∠=︒；；，故cos () 268. 根据叙述作图，指出二面角α -l -β 的平面角，并证明．（1）已知α ∩β =l ，A ∈l （图9-39）．在α 内作P A ⊥l 于A ，在β 内作QA ⊥l 于A ．图9-39（2）已知α ∩β =l ，A ∈α ，l A ∉（图9-40）．作AP ⊥β 于P ，在α 内作AQ ⊥l 于Q ，连结PQ ．图9-40（3）已知α ∩β =l ，α∉A ，β∉A （图9-41）．作AP ⊥α 于P ，AQ ⊥β 于Q ，l ∩平面P AQ =H ，连结PH 、QH ．解析：（1）P A α ，QA β ，P A ⊥l ，QA ⊥l ，∴ ∠P AQ 为二面角的平面角．（2）∵ AP ⊥β ，∴ PQ 为AQ 在平面β 内的射影，∵ AQ ⊥l ，根据三垂线定理，有PQ ⊥l ，∴ ∠AQP 为二面角的平面角（如图答9-35）．（3）∵ AP ⊥α ，∴ AP ⊥l ，∵ AQ ⊥β ，∴ AQ ⊥l ，∴ l ⊥平面P AQ ，∵ PH ·QH 平面P AQ ，∴ l ⊥PH ，l ⊥QH ，∴ ∠PHQ 为二面角的平面角（如图答9-36）．269.如图9-42，立体图形A-BCD中，AC=AD，BC=BD．求作二面角A-CD-B的平面角，并说明理由．解析：取CD中点E，连结AE、BE，∵AC=AD，∴AE⊥CD．∵BC=BD，∴BE⊥CD，∴∠AEB为二面角A-CD-B的平面角．270.若二面角α -l-β 的一个半平面α 上有一个点A，点A到棱l的距离是它到另一个平面β 的距离的2倍，则这个二面角的大小为（）．A．90°B．60°C．45°D．30°解析：D．作AH⊥β 交β 于H，作HB⊥l于B，连结AB，由三垂线定理，HB⊥l，∴∠ABH 为二面角α -l-β 的平面角，由已知在Rt△ABH中，AB=2AH，∴∠ABH=30°．271.下列命题中正确的是（）．A．平面α 和β 分别过两条互相垂直的直线，则α ⊥βB．若平面α 内的一条直线垂直于平面β 内的两条平行直线，则α ⊥βC．若平面α 内的一条直线垂直于平面β 内的两条相交直线，则α ⊥βD．若平面α 内的一条直线垂直于平面β 内的无数条直线，则α ⊥β解析：C．α 内的直线l垂直β 内的相交直线a、b，则l⊥β ．∵lα ，∴α ⊥β ．272. 设两个平面互相垂直，则（ ）．A ．一个平面内的任何一条直线都垂直于另一个平面B ．过交线上一点垂直于一个平面的直线必在另一个平面上C ．过交线上一点垂直于交线的直线，必垂直于另一个平面D ．分别在两个平面内的两条直线互相垂直 解析：B ．如图答9-38，在正方体1111D C B A ABCD -中，平面D D AA 11⊥平面ABCD ，其中D A 1平面D D AA 11，但D A 1不垂直平面ABCD ，故A 不正确．点D 在交线AD 上，AD D C ⊥1，但D C 1不垂直平面ABCD ，故C 不正确．1AD 平面D D AA 11，AC 平面ABCD ，但1AD 与AC 不垂直，故D 不正确．273. 如图9-43，∠AOB 是二面角α -CD -β 的平面角，AE 是△AOB 的OB 边上的高，回答下列问题，并说明理由：（1）CD 与平面AOB 垂直吗?（2）平面AOB 与α 、β 垂直吗?（3）AE 与平面β 垂直吗?解析：（1）∵ ∠AOB 是二面角α -CD -β 的平面角，∴ OB ⊥CD ，OA ⊥CD ，∴ CD ⊥平面AOB ．（2）∵ CD ⊥平面AOB ，CD α ，∴ α ⊥平面AOB ．同理β ⊥平面AOB ．（3）∵ CD ⊥平面AOB ，∵ AE ⊂平面AOB ，∴ CO ⊥AE ，又∵ AE ⊥OB ，CD ∩OB =O ，∴ AE ⊥平面BCD ，即AE ⊥β ．274. 如图9-44，以等腰直角三角形的斜边BC 上的高AD 为折痕，使△ABD 和△ACD 折成相垂直的两个面．求证：BD ⊥CD ，∠BAC =60°．图9-44解析：∵ AD 是等腰△ABC 底边BC 上的高线，∴ AD ⊥BD ，AD ⊥DC ，∴ ∠BDC 是二面角B -AD -C 的平面角，∵ 平面ABD ⊥平面ACD ，∴ ∠BDC =90°，即BD ⊥DC ．连结BC ，设AD =a ，则BD =DC =AD =a ，a AB 2=，a AC 2=，a BC 2=，∴ △ABC是正三角形，∴ ∠BAC =60°275. 直线a 、b 是异面直线，a ⊥平面α，b ⊥平面β，a ⊥b ，求证：α⊥β.证明 过b 上任意一点作直线a ′，使a ∥a ′.∵a ⊥b,∴a ⊥b.设相交直线a ′、b 确定一个平面γ,γ∩β＝c.∵b ⊥β,c ⊂β,∴b ⊥c.在平面γ内，b ⊥c,b ⊥a ′,∴a ′∥c.∴a ∥a ′∥c.又∵a ⊥α,∴c ⊥α,c ⊂β，∴β⊥α 276. 在三棱锥S —ABC 中，∠ASB ＝∠BSC ＝60°，∠ASC ＝90°，且SA ＝SB ＝SC ，求证：平面ASC ⊥平面ABC.证明 取AC 的中点O ，连SO 、BO ，由已知，得ΔSAB 、ΔSBC 都是正三角形.∴BC ＝AB ＝a,SA ＝SC ＝a,又SO ⊥AC ，BO ⊥AC ，∴∠SOB 就是二面角S —AC —B 的平面角.又∵SA ＝AB ＝a,SC ＝BC ＝a,AC ＝AC,∴ΔACS ≌ΔACB.∴SO ＝BO ＝22a.在ΔSOB 中，∵SB ＝a,∴∠SOB ＝90°. 即平面SAC ⊥平面ABC.另证：过S 作SO ⊥平面ABC ，垂足是O.∵SA ＝SB ＝SC ，∴S 在平面内的射影是ΔABC 的外心，同前面的证明，可知ΔABC 是直角三角形，∴O 在斜边AC 上.又∵平面SAC 经过SO ，∴平面SAC ⊥平面ABC说明 证明“面面垂直”的常用方法是根据定义证明平面角是90°，或利用判定定理证明一个平面经过另一个平面的垂线.277. 如图，四面体ABCD 的棱BD 长为2，其余各棱的长均是2，求：二面角A—BD —C 、A —BC —D 、B —AC —D 的大小.解析：(1)取BD 的中点O ，连AO 、OC.在ΔABD 中，∵AB ＝AD ＝2，BD ＝2，∴ΔABD 是等腰直角三角形，AO ⊥BD ，同理OC ⊥BD.∴∠AOC 是二面角A —BD —C 的平面角又AO ＝OC ＝1，AC ＝2，∴∠AOC ＝90°.即二面角A —BD —C 为直二面角.(2)∵二面角A —BD —C 是直二面角，AO ⊥BD ，∴AO ⊥平面BCD.∴ΔABC 在平面BCD 内的射影是ΔBOC.∵S ΔOCB ＝21,S ΔABC ＝23,∴cos θ＝33.即二面角A —BC —D 的大小是arccos 33. (3)取AC 的中点E ，连BE 、DE.∵AB ＝BC ，AD ＝DC ，∴BD ⊥AC ，DE ⊥AC ，∴∠BED 就是二面角的平面角.在ΔBDE 中，BE ＝DE ＝26，由余弦定理，得cos α＝-31 ∴二面角B —AC —D 的大小是π-arccos 31. 评析 本例提供了求二面角大小的方法：先作出二面角的平面角，再利用其所在的三角形算出角的三角函数值，或利用面积的射影公式S ′＝S ·cos θ求得.278. 如图所示，在三棱锥S —ABC 中，SA ⊥底面ABC ，AB ⊥BC ，DE 垂直平分SC ，且分别交AC 、SC 于D 、E.又SA ＝AB ，SB ＝SC.求以BD 为棱，以BDE 与BDC 为面的二面角的度数.解法一：由于SB ＝BC ，且E 是SC 中点，因此BE 是等腰三角形SBC 的底边SC的中线，所以SC ⊥BE.又已知SC ⊥DE ，BE ∩DE ＝E ，∴SC ⊥平面BDE ，∴SC ⊥BD ，又∵SA ⊥底面ABC ，BD 在底面ABC 上，∴SA ⊥BD.而SA ∩SC ＝S ，所以BD ⊥平面SAC.∵DE ＝平面SAC ∩平面BDE ，DC ＝平面SAC ∩平面BDC ，∴BD ⊥DE ，BD ⊥DC.∴∠EDC 是所求二面角的平面角.∵SA ⊥底面ABC ，∴SA ⊥AB ，SA ⊥AC.设SA ＝a,则AB ＝a,BC ＝SB ＝2a.又AB ⊥BC ，所以AC ＝3a.在Rt ΔSAC 中tg ∠ACS ＝AC SA ＝31，所以∠ACS ＝30°. 又已知DE ⊥SC ，所以∠EDC ＝60°，即所求的二面角等于60°.解法二：由于SB ＝BC ，且E 是SC 的中点，因此BE 是等腰ΔSBC 的底边SC 的中线，所以SC ⊥BE.又已知SC ⊥DE ，BE ∩DE ＝E.∴SC ⊥平面BDE ，SC ⊥BD.由于SA ⊥底面ABC ，且A 是垂足，所以，AC 是SC 在平面ABC 上的射影，由三垂线定理的逆定理得BD ⊥AC ；又E ∈SC ，AC 是SC 在平面内的射影，所以E 在平面ABC 内的射影在AC 上，由于D ∈AC ，所以DE 在平面ABC 内的射影在AC 上，根据三垂线定理得BD ⊥DE.∵DE ⊂平面BDE ，DC ⊂平面BDC.∴∠EDC 是所求二面角的平面角.以下解法同解法一.279. 在直三棱柱ABC —A ′B ′C ′中，∠BAC ＝90°，AB ＝BB ′＝1，直线B ′C 与平面ABC 成30°的角.(如图所示)(1)求点C ′到平面AB ′C 的距离；(2)求二面角B －B ′C —A 的余弦值.解析：(1)∵ABC —A ′B ′C ′是直三棱柱，∴A ′C ′∥AC ，AC ⊂平面AB ′C ，∴A ′C ′∥平面AB ′C ，于是C ′到平面AB ′C 的距离等于点A ′到平面AB ′C 的距离，作A ′M ⊥AB ′于M.由AC ⊥平面AB ′A ′得平面AB ′C ⊥平面AB ′A ′，∴A ′M ⊥平面AB ′C ，A ′M 的长是A ′到平面AB ′C 的距离.∵AB ＝B ′B ＝1，⊥B ′CB ＝30°，∴B ′C ＝2，BC ＝3，AB ′＝2，A ′M ＝A A A A B A ''⨯''＝22.即C ′到平面AB ′C 的距离为22； (2)作AN ⊥BC 于N ，则AN ⊥平面B ′BCC ′，作NQ ⊥B ′C 于Q ，则AQ ⊥B ′C ，∴∠AQN 是所求二面角的平面角，AN ＝BCAC AB ⨯＝36，AQ ＝C B B A AC ''⨯＝1.∴sin ∠AQN ＝AQ AN ＝36,cos ∠AQN ＝33. 说明 利用异面直线上两点间的距离公式，也可以求二面角的大小，如图，AB ＝BB ′＝1，∴AB ′＝2，又∠B ′CB ＝30°，∴BC ＝3,B ′C ＝2,AC ＝2.作AM ⊥B ′C 于M ，BN ⊥B ′C 于N ，则AM ＝1，BN ＝23， CN ＝23，CM ＝1，∴MN ＝21.∵BN ⊥B ′C,AM ⊥B ′C ，∴BN 与AM 所成的角等于二面角B —B ′C —A 的平面角.设为θ.由AB 2＝AM 2+BN 2+MN 2-2AM ×BN ×cos θ得cos θ＝31＝33.280 如图所示，四棱锥P —ABCD 的底面是边长为a 的菱形，∠A ＝60°，PC ⊥平面ABCD ，PC ＝a,E 是PA 的中点.(1)求证平面BDE ⊥平面ABCD.(2)求点E 到平面PBC 的距离.(3)求二面角A —EB —D 的平面角大小.解析：(1)设O 是AC ，BD 的交点，连结EO.∵ABCD 是菱形，∴O 是AC 、BD 的中点，∵E 是PA 的中点，∴EO ∥PC ，又PC ⊥平面ABCD ，∴EO ⊥平面ABCD ，EO ⊂平面BDE ，∴平面BDE ⊥平面ABCD.(2)EO ∥PC ，PC ⊂平面PBC ，∴EO ∥平面PBC ，于是点O 到平面PBC 的距离等于E 到平面PBC 的距离.作OF ⊥BC 于F ，∵EO ⊥平面ABCD ，EO ∥PC ，PC ⊂平面PBC ，∴平面PBC ⊥平面ABCD ，于是OF ⊥平面PBC ，OF 的长等于O 到平面PBC 的距离.由条件可知，OB ＝2a ,OF ＝2a ×23＝43a ，则点E 到平面PBC 的距离为43a. (3)过O 作OG ⊥EB 于G ，连接AG ∵OE ⊥AC ，BD ⊥AC ∴AC ⊥平面BDE∴AG ⊥EB(三垂线定理) ∴∠AGO 是二面角A —EB —D 的平面角∵OE ＝21PC ＝21a,OB ＝23a ∴EB ＝a.∴OG ＝EB OB OE ⋅＝43a 又AO ＝21a. ∴tan ∠AGO ＝OGAO ＝332∴∠AGO ＝arctan 332. 评析 本题考查了面面垂直判定与性质，以及利用其性质求点到面距离，及二面角的求法，三垂线定理及逆定理的应用.281. 如图，矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝23，以AC 为轴翻折半平面，使二平面角B —AC —D 为120°，求：(1)翻折后，D 到平面ABC 的距离；(2)BD 和AC 所成的角.解析：研究翻折问题，通常要画出翻折前的平面图形和翻折后的空间图形，对应点的字母要相同.解 分别过B 、D 作AC 的垂线，垂足是E 、F ，过F 作FB ′∥BE ，过B 作BB ′∥AC ，交点B ′，则四边形EFB ′B 是矩形.∵AC ⊥DF ，AC ⊥B ′F ，∴AC ⊥平面B ′FD ，即∠DF ′B 就是二面角B —AC —D 的平面角，亦即∠DFB ′＝120°.过D 作DO ⊥B ′F ，垂足为O.∵DO ⊂平面DFB ′，AC ⊥平面DFB ′.∴DO ⊥AF ，DO ⊥平面ABC. 在Rt ΔADC 中，CD ＝2，AD ＝23，∴DF ＝3，OD ＝DF ·sin60°＝23. (2)在ΔDFB ′中，DB ′＝︒⋅'⋅⋅-'+120cos 22F B DF F B DF ＝3.又由(1)可知，AC ∥BB ′，AC ⊥平面DFB ′⊥平面DFB ′.∴BB ′⊥平面DFB ′，∴ΔDB B ′是直角三角形，又BB ′＝EF ＝2.∴tan ∠DBB ′＝23. ∵AC ∥BB ′,∴AC 与BD 所成的角就是∠DBB ′，即为arctan23. 说明 处理翻折问题，只要过不在棱上的点作棱的垂直相交的线段，就可以化成基本题型处理，本题也可以这样考虑，即利用异面直线DF 、BE 上两点B 、D 间的距离，先求出BD 2＝EF 2+DF 2+BE 2-2DF ·BE ·cos120°＝13，从而得出∠DBB ′＝arccos 132. 282. 判断下列命题是否正确，并说明理由．（1）若两个平面有无数个公共点，则这两个平面重合；（2）在一个平面内有三条直线和另一个平面平行，那么这两个平面平行；（3）若两个平面相交，那么分别在这两个平面内的两条直线也相交；（4）如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线也平行；（5）一条直线与两个平行平面所成的角相等；（6）一条直线与两个平行平面中的一个平行，那么一定平行于另一个平面．解析：（1）不正确．两个平面还可能相交于一条直线；（2）不正确．两个平面可能相交，这三条直线均与交线平行；（3）不正确．分别在两个相交平面内的两条直线也可能平行，它们都平行于交线；（4）不正确．两条直线还可能异面；（5）正确．无论直线与两个平面相对位置如何，直线与两个平面所成的角都相等；（6）不正确．直线可能在另一个平面上．283. 平面α ∥平面β ，a α ，b β ，则a 、b 一定是（ ）．A ．两条平行直线B ．异面直线C ．相交直线D ．无公共点的两条直线解析：D ．α ∥β ，则平面α 与β 无公共点，a 、b 一定无公共点．284. 下列命题中，不正确的是（ ）．A ．一直线和两个平面α 、β 所成的角相等，那么α ∥βB ．平面α ∥平面β ，则α 内的任意直线平行于平面βC ．一个三角形有两条边所在直线平行一个平面，那么三角形所在平面与这个平面平行D ．分别在两个平行平面内的两条直线只能是平行直线或异面直线解析：A ．直线与两平面所成的角相等，这两个平面可能相交，故A 命题不正确．三角形两边必相交，这两条相交直线平行于一个平面，那么三角形所在平面与这个平面平行，所以C 命题正确，分别在两个平行平面内的两条直线一定没有公共点，它们的位置关系是平行或异面．285. 若a ∥b ，a ⊥α ，b ⊥β ，则α 、β 这两个平面的位置关系是________．解析：平行．． ////βαβαα⇒⎭⎬⎫⊥⊥⇒⎭⎬⎫⊥b b b a a286. 夹在两平行平面α 、β 间的线段AB =8，AB 与α 所成的角为45°，那么α 、β 间的距离等于________． 解析：24．如图答9-27，过A 作AH ⊥α ，交α 于H ，AH 为平面α 与β 间的距离．连结BH ，则BH 是AB 在平面α 内的射影，∴ ∠ABH =45°．∵ AB =8，∴ ︒⋅=45sin AB AH ．24228=⨯= 287. ．三个不同平面α ，β ，γ 满足α ∥β ，β ∩γ =l ，则α 与γ 的位置关系是________；若三个平面满足α ∥β ，β ∥γ ，则α 与γ 的位置关系是________．解析：相交；平行．作直线l ⊥β ，∵ α ∥β ，∴ l ⊥α ，∵ β ∥γ ，∴ l ⊥γ ．∴ α ∥γ ．当α ∥β ，β ∩γ =l ，假设α 与γ 不相交，则α ∥γ ，∵ α ∥β ，由前面证明可知β ∥γ ，这与β 、γ 相交矛盾．∴ α 与γ 相交．288. 已知直线a 平面α ，直线b 平面β ，α b ，a ∥β ，b ∥α ．求证：α ∥β ．解析：如图答9-29，在b 上任取一点P ，由点P 和直线a 确定的平面γ 与平面β 交于直线c ，则c 与b 相交于点P ．．//////////βααααγβγβa P cb bc c a ca c a a ⇒⎪⎭⎪⎬⎫=⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊆/≠⊂⇒⎪⎭⎪⎬⎫=≠⊂图答9-29289.．B．A不正确是因为直线b可以在平面α 内，也可能与α 平行，还可能与α 相交但不成直角，C中的直线b只与β 内的直线a垂直，不能得出垂直β 的结论．D中α 、β 可能相交，α 内的两条直线均与交线平行290.给出以下命题：①平行于同一条直线的两条直线平行；②垂直于同一条直线的两条直线平行；③平行于同一个平面的两条直线平行；④垂直于同一个平面的两条直线平行；⑤平行于同一条直线的两个平面平行；⑥垂直于同一条直线的两个平面平行；⑦平行于同一个平面的两个平面平行．其中正确的命题是________（把你认为正确的命题的序号都写上）．解析：①、④、⑥、⑦．由公理4知①正确．由直线与平面垂直的性质定理知④正确．由两个平面平行判定定理可以推导出⑥、⑦正确．垂直于同一条直线的两条直线的位置关系是平行、相交、或异面；平行于同一个平面的两条直线的位置关系是平行、相交、或异面；平行于同一条直线的两个平面的位置关系是平行或相交．291.给出下列命题，错误的命题是（）．A．若直线a平面α ，且α ∥平面β ，则直线a与平面β 的距离等于平面α 、β 间的距离B．若平面α ∥平面β ，点A∈α ，则点A到平面β 的距离等于平面α 、β 间的距离C ．两条平行直线分别在两个平行平面内，则这两条直线间的距离等于这两个平行平面间的距离D ．两条异面直线分别在两个平行平面内，则这两条直线间的距离等于这两个平行平面间的距离解析：C ．以下按顺序说明，对A 中，在a 上任取一点P ，作PH ⊥β ，PH 为直线a 与平面β 的距离．∵ α ∥β ，PH ⊥α ，∴ PH 又为α 、β 间的距离．对于B ，作AH ⊥β ，AH 的长为点A 到β 的距离．又∵ α ∥β ，∴ AH ⊥α ，于是AH 的长是α 、β 两个平行平面间的距离．对于C ，设a ∥b ，a α ，b β ，过a 上任一点P 作PQ ⊥b 于Q ，则PQ 的长为a 、b 两平行直线间的距离．因为PQ 与α 、β 不一定垂直，所以PQ 的长一般不是α 、β 间的距离，一般地说，a 、b 间的距离不小于α 、β 间的距离．对于D ．设1AA 是异面直线a 、b 的公垂线段，A ∈a ，b A ∈'，a α ，b β ，过A 和b 的平面与α 相交于b '，则b b //'，于是b A A '⊥'．∴ α⊥'A A ．同理β⊥'A A ．故A A '的长又是α 、β 两个平面间的距离（如图答9-30）．292. 设α 、β 是两个平面，l 和m 是两条直线，那么α ∥β 的一个充分条件是（ ）．A ．l α ，m α ，且l ∥β ，m ∥βB ．l α ，m β ，且l ∥mC ．l ⊥α ，m ⊥β ，且l ∥mD ．l ∥α ，m ∥β ，且l ∥m解析：C ．可参看图答9-31．图答9-31293. 平面α ∥平面β ，过平面α 、β 外一点P 引直线P AB 分别交α 、β 于A 、B 两点，P A =6，AB =2，引直线PCD 分别交α 、β 于C 、D 两点．已知BD =12，则AC 的长等于（ ）．A ．10B ．9C ．8D ．7解析：B ．如图答9-32，平面PBD ∩α =AC ，平面PBD ∩β =BD ，∵ α ∥β ，∴ AC ∥BD ．由平面几何知识知，BD AC PD PC PB PA ==．∵ P A =6，AB =2，BD =12，∴ 12266AC =+，∴ AC =9．294. 已知AC ，BD 是夹在两平行平面α 、β 间的线段，A ∈α ，B ∈α ，C ∈β ，D ∈β ，且AC =25cm ，BD =30cm ，AC 、BD 在平面β 内的射影的和为25cm ，则AC 、BD 在平面β 内的射影长分别为________，AC 与平面β 所成的角的正切值为________，BD 与平面β 所成的角的正切值为________．解析：设α 、β 间的距离为h ，AC 在平面β 内的射影x C A ='，BD 在平面β 内的射影y D B ='，根据已知条件可得②-①得22222530-=-x y ，即222530))((-=-+x y y x ，把③代入得y -x =11，∴ ⎩⎨⎧=-=+．，1125x y y x 解得⎩⎨⎧==．，187y x 即cm 7='C A ，cm 18='D B ．又h =24cm ，AC 与平面β 所成的角为A AC '∠，='∠A AC tan 724='C A h ，同理．341824tan =='='∠D B h D BD 295. 已知空间不共面的四个点，与此四个点距离都相等的平面有________个．解析：与不共面的四个点距离相等的平面分为两类，一类是四个点中一个点位于平面的一侧，另外三个点在平面的另一侧，这样的平面有4个；另一类是四个点中的两个点位于平面一侧，另外两个点在平面的另一侧，这样的平面有3个，故一共7个平面到这四个点距离相等． 296. 如图9-35，平面α ∥平面β ，△ABC 、△C B A '''的分别在α 、β 内，线段A A '、B B '、C C '相交于点O ，O 在α 、β 之间．若AB =2，AC =1，∠ABC =60°，OA ∶A O '=3∶2，则△C B A '''的面积为________．解析：图9-35∵ O B B A A ='' ，∴ A A '、B B '确定平面B A AB ''，平面B A AB ''∩α =AB ，平面B A B A AB ''=''β ，∵ α ∥β ，∴ B A AB ''//，同理C B BC ''//，A C CA ''//．由于方向相反，∴ △ABC 与△C B A '''的三内角相等，∴ △ABC ∽△C B A '''．且32='=''OA A O AB B A ． ∵2360sin 1221=︒⨯⨯⨯=∆ABC S ，∴ ．39223322=⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛='''∆C B A S 297. 如图9-37，两条异面直线AB 、CD 与三个平行平面α 、β 、γ 分别相交于A 、E 、B ，及C 、F 、D ，又AD 、BC 与平面β 的交点为H 、G ．求证：EHFG 为平行四边形．解析：．同理平面平面．HF AC EG ABC AC ABC EG AC ////// ⇒⎪⎭⎪⎬⎫==βαβα 是平行四边形．故同理．．EHFG FG EH HF EG HF AC FG AC ////////⇒⎭⎬⎫ 298. 如图9-38，已知平面α ∥平面β ，A 、C ∈α ，B 、D ∈β ，E 、F 分别为AB 、CD 的中点．求证：EF ∥α ，EF ∥β ．解析：当AB 、CD 共面时，平面ABCD ∩α =AC ，平面ABCD ∩β =BD ．∵ α ∥β ，∴ AC ∥BD ．∵ E 、F 分别为AB 、CD 的中点，∴ EF ∥AC ．∵AC α ，EF α ，∴ EF ∥α ，同理EF ∥β ．当AB 、CD 异面时，∵ CD E ∉，∴ 可在平面ECD 内过点E 作CD D C //''，与α ，β 分别交于C '，D '．平面C A D B C A '=''α ，平面D B D B C A '=''β ，∵ α ∥β ，∴ D B C A ''//．∵ E 是AB 中点，∴ E 也是D C ''的中点．平面C C D D C C '=''α ，平面D D D D C C '=''β ，∵ α ∥β ，∴ D D C C ''//，∵ E 、F 分别为D C ''、CD 中点，∴ C C EF '//，D D EF '//．∵ C C'α ，EF α ，∴ EF∥α ，同理EF∥β ．299.已知矩形ABCD，过A作SA⊥平面AC，再过A作AE⊥SB交SB于E，过E作EF⊥SC交SC于F(1)求证：AF⊥SC(2)若平面AEF交SD于G，求证：AG⊥SD解析：如图，欲证AF⊥SC，只需证SC垂直于AF所在平面，即SC⊥平面AEF，由已知，欲证SC⊥平面AEF，只需证AE垂直于SC所在平面，即AE⊥平面ABC，再由已知只需证AE⊥BC，而要证AE⊥BC，只需证BC⊥平面SAB，而这可由已知得证证明 (1)∵SA⊥平面AC，BC⊂平面AC，∴SA⊥BC∵矩形ABCD，∴AB⊥BC∴BC⊥平面SAB∴BC⊥AE又SB⊥AE ∴AE⊥平面SBC∴SC⊥平面AEF∴AF⊥SC(2)∵SA⊥平面AC ∴SA⊥DC，又AD⊥DC∴DC⊥平面SAD ∴DC⊥AG又由(1)有SC⊥平面AEF，AG 平面AEF∴SC⊥AG ∴AG⊥平面SDC ∴AG⊥SD300.已知四面体A—BCD，AO1⊥平面BCD，且O1为ΔBCD的垂心.BO2⊥平面ACD，求证：O2是ΔACD的垂心.证明如图所示，连结BO1，AO2，∵AO1⊥平面BCD，O1为ΔBCD的垂心，∴BO1⊥CD，由三垂线定理得AB⊥CD.又BO2⊥平面ACD，由三垂线逆定理得AO2⊥CD.同理连结DO1，CO2可证BC⊥AD，即CO2⊥AD.∴O2是ΔACD垂心.。