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4.3协方差与相关系数4.4矩与协方差矩阵

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第四章 随机变量的数学期望

第四章 随机变量的数学期望

1 dxdy y xe 2 x
x
x2 y2 2
dxdy
dy


e
x2 2
dx
ye
y2 2
1 dy 2



e
y2 2
y
xe
x2 2
dx

1

4.1.4
数学期望的性质
（1） EC＝C，(C为常数) （2） E(CX)＝CEX ，(C为常数) （3） E(X+Y)＝EX＋EY E(aX+b)＝aEX＋b， E(
2 2
2 2
2


0
(x ) e


( x )2 2 2
dx
( x )2 2 2
2 x 2 e 0 2 2 2
2 2

(x ) d 2 2
2
3 2 1 ( ) 2 2 2
4.2.3

EZ Eg ( X , Y ) g ( xi , y j ) pij
j 1 i 1
（2）若（X，Y）是二维连续型随机变量，有
EZ



g ( x , y ) f ( x , y ) dx dy
例1：设 X～B（n，p），求EX(X－1)。 解：因X～B（n，p），则X的分布律为
1 x2 y2 f ( x, y ) exp{ } 2 2 1 x2 y2 E[max{ X , Y }] max{ X , Y }exp{ 2 }dxdy 2
1 2
1 2
x y
解：由题设，(X，Y)的联合密度为
ye

矩与协方差矩阵

矩与协方差矩阵
第四章 数字特征
4.1 数学期望 4.2 方差 4.3 协方差与相关系数 4.4 矩与协方差矩阵
§4.3 矩与协方差矩阵
4.4.1 矩
设X和Y(Xk) 为X 的 k 阶原点矩； E{[X-E(X)]k} 为X的 k 阶中心矩。
E(Xk) 为X 的 k 阶原点矩； E{[X-E(X)]k} 为X的 k 阶中心矩。
E(X) 是 X 的一阶原点矩， Var(X) 是 X 的二阶中心矩。
E(XkYm) 为X与Y的 k+m 阶混合原点矩； E{[X-E(X)]k [Y-E(Y)]m} 为X与Y的 k+m 阶混合中心矩。
Cov(X,Y)=E{[X-E(X)] [Y-E(Y)]} 为X与Y的 2阶混合中心矩。
小结
本讲首先介绍二维随机向量 (X,Y) 的分量X与Y 的协方差及相关系数的概念、性质和计算；然后介 绍随机变量的各种矩(k 阶原点矩、 k 阶中心矩、 k+m 阶混合原点矩、k+m 阶混合中心矩)，n 维随机 向量的协方差阵的概念、性质和计算；最后简单介 绍了n 元正态分布的概念和三条重要性质。

概率论方差

概率论方差

第四章数字特征4.1 数学期望4.2 方差4.3 协方差与相关系数4.4 矩与协方差矩阵()()22()Var X E XE X =−⎡⎤⎣⎦证明:()Var X =()()222E X XE X EX ⎡⎤=−+⎣⎦()()222[()][]E XE EX X E EX =−+()()()()()222c E X E X E X E X E X ==−+⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦代回()()E X E X c==为常数设)()(222c E cX E EX +−()()(),E cX cE X E c c ==⎡⎤⎣⎦()()222E XcE X c =−+()()22.E X E X =−⎡⎤⎣⎦()()()2222E X E X E X =−+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()0Var X ≥()()22.E XE X ∴≥⎡⎤⎣⎦注：由知：()2E X EX ⎡⎤−⎣⎦()()22().Var X E XE X ∴=−⎡⎤⎣⎦（方差的简算公式）x y=1x= 0594.()()().E XY E X E Y =⋅随机变量X 与Y 相互独立，则(与数学期望对比来学习)n X X Y X ,,,,1⋯设为随机变量，c 为常数。

().0=c Var 性质1性质2 性质3,()()()2cov(,)X Y Var X Y Var X Var Y X Y ±=+±对于任意、有如果记:()()()EY Y EX X E Y X −−=),cov(的协方差与为称Y X Y X ),cov(().c c E =性质1 ()().E kX c kE X c +=+性质2(),,X Y E X Y EX EY∀+=+有性质3性质4()).()(Y Var X Var Y X Var +=+性质44.2.2 方差的性质随机变量X 与Y 相互独立,则()2+().Var kX c k Var X =().0=c Var 性质1()2+().Var kX c k Var X =性质2 证明:()Var c =0Ec c==()2E c Ec −()Var kX c +=证明:[]2()kX k E c c X E E +−−[]{}22()E k X E X =−2().k Var X =[]2()E c k kX X E c =+−−()2kX c kX E c E −=⎡⎤⎣⎦++[]2()E k X E k X =−证明:=+)(,Y X Var Y X 有和对于任意()(){}{}2E X EY X E Y =+⎡⎤⎡⎣−⎤⎦⎣⎦−()()()(){}222E X E X Y E Y X E X Y E Y =−+−+−−⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦()()()()222E X E X E Y E Y E X E X X E X =−+−+−−⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦),cov(2)()(Y X Y Var X Var ++=(同理可得到减法的公式)记:()()()()cov(,)X Y E X E X Y E Y ⎡⎤=−−⎣⎦，的协方差与为称Y X Y X ),cov(性质3),cov(2)()()(,Y X Y Var X Var Y X Var Y X ±+=±有和对于任意{}2([()])E E Y X X Y −++。

4.3 协方差与相关系数及矩与协方差矩阵

4.3 协方差与相关系数及矩与协方差矩阵
2 1 y2 y 1 同理, fY ( y ) , 0 其它
由f ( x , y ) f X ( x ) fY ( y )可得X与Y不独立.
注意 1、设有随机变量X,Y，下列事实是等价的：
(1) cov( X ,Y ) 0
( 2) X与Y不相关
( 3) E ( XY ) E ( X ) E (Y ) (4) D( X Y ) D( X ) D(Y )
性质6 若X ,Y相互独立, 则cov( X ,Y ) 0;
性质7 若U ,V为随机变量, 且E (U 2 ), E (V 2 )都存在, 则
[ E (UV )]2 E (U 2 ) E (V 2 );
取U X E ( X ),V Y E (Y ), 则有 [cov( X ,Y )]2 D( X ) D(Y ).
定义3 若 cov( X ,Y ) 0或 XY 0,
则称随机变量X与Y不相关.
几点说明:
(1) cov( X ,Y ) E ( XY ) E ( X ) E (Y ), cov( X , X ) D( X ).
( 2)离散型 : cov( X ,Y ) [ xi E ( X )][ y j E (Y )] pij .
定义2
设( X ,Y )是二维随机变量 若 cov( X ,Y ), D( X ), D(Y )都 , cov( X ,Y ) 存在, 且D( X ) 0, D(Y ) 0, 则称 为随 D( X ) D(Y ) 机变量X与Y的相关系数或标准协方 , 记为 XY ,即 差
XY
cov( X ,Y ) . D( X ) D(Y )
ex3.设随机变量X的概率分布密度为 1 x f ( x) e x , 2 (1)求X的数学期望E(X)和方差D(X). (2)求cov(X,|X|)，并问X与|X|是否不相关？ (3)问X与|X|是否相互独立？为什么？ 1 x 解 (1) EX xf ( x )dx x e dx 0, 2 DX E[ X E ( X )]2 E ( X 2 )

大学数学概率篇之随机变量的数字特征——协方差与相关系数概要

大学数学概率篇之随机变量的数字特征——协方差与相关系数概要
e L(X)=a0+b0X 2 a 2 bE ( X ) 2 E ( Y ) 0 a e 2bE ( X 2 ) 2 E ( XY ) 2aE ( X ) 0 b
解得
Cov( X ,Y ) b0 D( X )
a0 E (Y ) b0 E ( X )
特别地， 当 X与 Y 独立时，有 cov( X ,Y ) 0. 完
二、协方差的性质 1. 协方差的基本性质
(1) cov( X , X ) D( X ); (2) cov( X ,Y ) cov(Y , X ); (3) cov( aX , bY ) ab cov( X ,Y ), 其中 a , b 是 常数； (4) cov(C , X ) 0, C 为任意常数； (5) cov( X1 X 2 ,Y ) cov( X1 ,Y ) cov( X 2 ,Y ); (6) 当 X 与 Y 相互独立， 则 cov( X ,Y ) 0.
X 与 Y 不相关.
例1 设X服从(-1/2, 1/2)内的均匀分布,而 Y=cos X, 不难求得，
Cov(X,Y)=0，
（请课下自行验证）
因而 =0， 即X和Y不相关 .
但Y与X有严格的函数关系，
即X和Y不独立 .
性质3. 若 D( X ) 0, D(Y ) 0, 则
XY 1
i 1 i 1 n n 1 i j n
cov( X , X
i
j
);
② 若 X 1 , X 2 ,, X n 两两独立， 则有
D( X i ) D( X i );
i 1 i 1
n
n
③ 可以证明： 若 X ,Y 的方差存在，则协方差

§4.3 协方差、相关系数及矩

§4.3 协方差、相关系数及矩
(2) ρXY = 1 的充要条件是 : 存在常数 a , b 使 P{Y = a + bX } = 1.
证明
(1) min e = E[(Y − (a + bX ))2 ]
a ,b
= (1 − ρ
2 XY 2 XY
) D(Y ) ≥ 0 ≥0
⇒ 1− ρ
⇒ ρXY ≤ 1.
( 2) ρXY = 1 的充要条件是 , 存在常数 a , b 使 P {Y = a + bX } = 1.
d y d x.
x − µ1 1 y − µ2 x − µ1 , 令t= −ρ , u = 2 σ1 σ1 1 − ρ σ2
Cov( X ,Y ) 1 +∞ +∞ (σ1σ 2 1 − ρ2 tu + ρσ1σ 2 u 2 )e dtdu = ∫−∞ ∫−∞ 2π u2 t2 + ∞ − ρσ1σ 2 + ∞ 2 − 2 u e d u ∫ e 2 d t = − ∞ 2 π ∫− ∞ u2 t2 2 + ∞ − σ1 σ 2 1 − ρ + ∞ − 2 ue d u ∫ te 2 d t + ∫− ∞ − ∞ 2π ρσ1σ 2 2π ⋅ 2π , = 2π 故有 Cov( X ,Y ) = ρσ 1σ 2 .
(1) 问题的提出
问 a , b 应如何选择 , 可使 aX + b 最接近 Y ? 接近的程度又应如何来 衡量 ? 设 e = E[(Y − (a + bX ))2 ]
则 e 可用来衡量 a + bX 近似表达 Y 的好坏程度 .
当 e 的值越小 , 表示 a + bX 与 Y 的近似程度越好 .

13讲协方差,相关系数,矩,正态分布


§4.4 n元正态分布的几条重要性质： 元正态分布的几条重要性质： (1). X =(X1, X2, …, Xn) ' 服从 n 元正态分布
对一切不全为 0 的实数 a1, a2, …, an， a1X1+ a2 X2+ …+ an Xn 服从正态分布。 服从正态分布。
(2). 若 X=(X1,X2, …,Xn)'服从 元正态分布， 服从n 服从 元正态分布， Y1,Y2,…,Yk 是 Xj (j=1, 2,…, n)的线性组合 的线性组合, … … 的线性组合 服从k 则(Y1,Y2, …, Yk)'服从 元正态分布。 服从 元正态分布。 这一性质称为正态变量的线性变换不变性。 这一性质称为正态变量的线性变换不变性。
i=1 i=1
n
n
协方差的大小在一定程度上反映了X 协方差的大小在一定程度上反映了 和Y 相互间的关系，但它还受X 相互间的关系，但它还受 和Y 本身度量单位 的影响。 例如： 的影响。 例如： Cov(aX, bY) = ab Cov(X, Y). 为了克服这一缺点， 为了克服这一缺点，对协方差进行标准 化，这就引入了相关系数 。
x2 +y2 ≤ 1 − 1 1
1−y xdx dy =π ∫−1 y ∫− 1−y
2 2
= ∫−10 dy = 0.
1
所以，Cov(X, Y)= E(XY)-E(X) E(Y) = 0 . 所以， 此外， 此外，Var(X) > 0, Var(Y) > 0 . 不相关。 所以， ， 所以，ρXY = 0，即 X 与 Y 不相关。 但是， 与 不独立 不独立。 但是，X与Y不独立。
Cov( X,Y) ρ= = 0； Var( X )Var(Y)

数学期望


引例2 有甲、乙两射手，他们的射击技术用下表给 出
甲 射 手 击中环数 X甲 8 概 率 0.3 乙 射 手 击中环数 X 乙 8 概 率 0.2 9 0.1 9 0.5 10 0.6 10 0.3
问甲和乙谁的射击水平较高？
解 “射击水平”一般用平均击中环数来反映。所以， 只要对他们的平均击中环数进行比较即可。 问题：已知随机变量的概率分布, 如何计算其平均值？
击中环数 X甲 概 率 击中环数 X 乙 概 率
8 0.3 8 0.2
9 0.1 9 0.5
10 0.6 10 0.3
分析：若甲射击N次, 设击中8环, 9环和10环的次数分 别为 N1、 2和N3 次，则甲在N次射击中，平均每次击中 N 的环数为
N3 N1 N2 8 N1 9 N 2 10 N3 8 f1 9 f2 10 f3 8 9 10 N N N N
p (x) = 0.2 e – 0.2 x ， x ＞ 0
问这个人的平均等车时间是几分钟？ 解. 平均等车时间即是数学期望 E X ，因此

EX
5 ye y dy 5
0



xp( x ) dx
0.2 xe 0.2 x dx
0
即平均需要等待 5 分钟。
□
例 5 设在某一规定的时间内，一电气设备用于最大负荷的 时间X（单位：min）是一个随机变量，概率密度函数为
定理1 设二维离散型随机变量(X,Y)的联合概率分布为
P{X xi , Y y j } pi j , i, j 1, 2,

则
E ( X ) xi pi j ,
i 1 j 1

§4.3 协方差、相关系数与矩


第4章
§4.3 协方差、相关系数与矩
第10页
4.3.2 独立性与不相关性
定义4.3.2 当 XY = 0 时，称 X 和 Y不相关. 不相关 独立 但也有例外 例如二维正态分布,独立与不相关等价
“独立” 必然导致 “不相关”, 而“不相关”不一定导致 “独立”
第4章
§4.3 协方差、相关系数与矩
（3）Cov(X1+X2, Y) = Cov(X1,Y) + Cov(X2,Y)
第4章 §4.3 协方差、相关系数与矩 例1 设二维随机变量的联合分布律为 X 0 1 Y 0 q 0 1 0 p 其中p+q=1，求相关系数XY． 解 由(X,Y)的联合分布律，可得X与Y的边缘分布律为
X P 0 q 1 p Y P 0 q
注 （1）若 X与Y独立,则Cov(X, Y)=0 （2）D(X±Y) = D(X) + D(Y)±2Cov(X, Y)
第4章
§4.3 协方差、相关系数与矩
第5页
4. 协方差的性质 （1）Cov(X, Y) = Cov(Y, X) （2）Cov(aX, bY) = abCov(X, Y), a,b 为常数
第4章
§4.3 协方差、相关系数与矩
第7页
例2 设二维（X，Y）随机变量的密度函数为
1 cos( x y )， 0 x , y 0 f ( x, y ) 2 2 2 0， 其它 求 cov( X , Y )
1 2 0 解 因为 E ( X ) x cos( x y)dxdy 0.7854, 2 0 -2 4
E (Y ) / 4,
0 1 2 E ( XY ) xy cos( x y)dxdy 1 0.5708, 2 0 2 2

4_3_协方差与相关系数


为(X1,X2, …,Xn) 的协方差矩阵.
《概率统计》
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例2. 设随机变量X的方差D(X)≠0, 且Y=aX+b(a≠0), 求X和Y的相关系数ρXY .
解：D(Y ) D(aX b) a2D(X ) .
Cov(X ,Y ) E{[X E(X )][Y E(Y )]}
E{[X E(X )][aX b E(aX b)]} aE[X E(X )]2 aD(X ).
《概率统计》
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1）相关系数的计算 X
1 例1. 设(X,Y)的联合分布 2
如右表，求Cov(X,Y) ,ρXY . 3
Y1 2 0 1/6
1/6 1/6 1/12 1/6
1/4 1/2
解：计算得 E(X) = 2 , E(Y) = 2 ,
3 1/12 1/4 1/6 1/2
0 1/4
1/4
1
1x2
1
同理 E(Y) = 0 .
Cov(X ,Y ) E(XY ) E(X )E(Y ) E(XY )
11
1 x2
xyf (x, y)dxdy xdx
ydy 0 ,
1
1x2
于是 ρXY= 0 ，所以 X与Y不相关.
《概率统计》
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结束
例5．设随机向量(X,Y)的概率密度如下,试证X与Y既不相关
§4.3 协方差和相关系数
前面我们介绍了随机变量的数学期望和方差,对 于多维随机变量，反映分量之间关系的数字特征中， 最重要的，就是本讲要讨论的“协方差和相关系数”.
1. 协方差 2. 相关系数 §4.4 矩和协方差矩阵
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例2: (X,Y)的分布律为： 验证X和Y是不相关的，
X -1 Y 0 1
0
1
p. j
3/8
－1 1/8 1/8 1/8
但X和Y不是相互独立的.
解: X与Y的分布律为：
1/8 0 1/8 2/8 1/8 1/8 1/8 3/8
E(X)=E(Y)=0, E(XY)=0,
pi 3/8 2/8 3/8
XY
Cov ( X ,Y ) 1 / 36 1 D( X ) D(Y ) 11 / 36 11
D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X,Y)=5/9. 例4: 设D(X)=1, D(Y)=4,Cov(X,Y)=1,记
X 2Y , 2 X Y
求与的相关系数. 解: Cov( , ) Cov( X 2Y , 2 X Y )
注意：
[X-E(X)][Y-E(Y)]
＝XY-E(X)Y-XE(Y)+E(X)E(Y) (1)协方差的计算公式： Cov(X,Y)＝E(XY)- E(X)E(Y)
(2)Cov(X,X)＝Var(X)
(3)Cov(X,C)＝0
协方差性质:
(1) Cov(X, Y) = Cov(Y, X)； (2)设 a, b, c, d 是常数，则 Cov( aX+b, cY+d ) = ac Cov(X, Y) ； (3)Cov(X1+X2, Y)= Cov(X1, Y) + Cov(X2, Y) ； (4)Cov(X, Y) =E(XY)-[E(X)][E(Y)] ， 当 X 和 Y 相互独立时，Cov(X, Y)=0； (5)Var(X±Y)=Var(X)+Var(Y) ±2Cov(X, Y).
d y d x.
x μ1 1 y μ2 x μ1 , , u 令t ρ 2 σ1 σ1 1 ρ σ2
Cov( X ,Y ) 1 (σ1σ 2 1 ρ2 tu ρσ1σ 2 u2 )e 2 π
u2 t 2 2 2
而 Cov( X ,Y )
e
( x μ1 )( y μ2 ) f ( x , y ) d x d y
1
2

2 πσ 1σ 2 1 ρ e
( x μ1 )( y μ2 )
2

( x μ1 )2 y μ2 1 x μ1 ρ 2 σ1 2 σ1 2 ( 1 ρ 2 ) σ 2
Cov( X , 2 X Y ) 2Cov (Y , 2 X Y )
2Cov( X , X ) Cov( X ,Y ) 4Cov( X ,Y ) 2Cov (Y ,Y ) ＋ 2 D( X ) 5Cov( X ,Y ) 2 D(Y ) ＋
2 1 5 1 2 4 5
2 2 例5：设( X ,Y ) ~ N ( μ1 , μ2 , σ1 , σ 2 , ρ), 试求 X 与 Y 的
相关系数. （课本P83 例4.19） 1 解：由 f ( x , y ) 2 πσ 1 σ 2 1 ρ 2
1 ( x μ1 )2 ( x μ1 )( y μ2 ) ( y μ2 )2 exp 2ρ 2 2 2 σ 1σ 2 σ2 2(1 ρ ) σ1
dtdu
ρσ1σ 2 u e 2π
ρσ1σ 2 2
d u e d t u2 t2 2 σ1σ 2 1 ρ 2 ue d u te 2 d t 2π 2 2 ,
注：(1) 相关系数的意义
当 ρXY 较大 , 表明 X ,Y 的线性关系的联系较紧密.
当 ρXY 较小时, X ,Y 线性相关的程度较差.
当 ρXY 0 时, 称 X 和 Y 不相关.
| XY | 1 X与Y之间有线性关系.
(2)X 和Y 独立时, ρ=0，但其逆不真； 由于当 X 和 Y 独立时，Cov(X, Y)= 0 . 所以，
D( ) D( X 2Y ) D( X ) 4Cov( X ,Y ) 4 D(Y ) 13 D( ) D( 2 X Y ) 4 D( X ) 4Cov( X ,Y ) D(Y ) 4

Cov ( , ) 5 13 D( ) D( ) 26
பைடு நூலகம்
课本P83例4.20.
§4.4 矩与协方差矩阵
4.4.1 矩
定义1：设X是随机变量, 若E(Xk) 存在 (k =1, 2, …), 则称其为X 的 k 阶原点矩；若 E{[X-E(X)]k} 存在(k = 1,2, …), 则称其为X 的 k 阶中心矩。 易知：X 的期望 E(X) 是 X 的一阶原点 矩，方差Var(X) 是 X 的二阶中心矩。
f X ( x) fY ( y ) 1 e 2 πσ1 1 e 2 πσ 2
( x μ1 )2 2 2 σ1 ( y μ2 ) 2 2 2σ2
, x , , y .
2 2 E ( X ) μ1 , E (Y ) μ2 , D( X ) σ1 , D(Y ) σ 2 .
1 y xdx dy 1 y 1 y
2 2
1 0 dy 0.
1
所以，Cov(X, Y)= E(XY)-E(X) E(Y) = 0 . 又，Var(X) > 0, Var(Y) > 0 . 所以，XY = 0，即 X 与 Y 不相关。 但是，在前面已计算过: X与Y不独立。？
内容小结及基本要求：
1.协方差与相关系数的计算公式及性质 2.要求会计算协方差与相关系数 3.掌握X与Y不相关与独立的关系，二维正态 随机变量独立性与不相关的等价性. 预习：第五章 极限定理

Cov( X , Y ) 0； Var( X )Var(Y )
但ρ=0 并不一定能推出 X 和 Y 独立。
例 1：设 (X,Y) 服从单位 D={ (x, y): x2+y2≤1} 上的均匀分布，证明X与Y不相关也不独立。
证明:
（课本P82例4.18）
1/ , ( x, y ) D, f ( x, y ) ( x, y ) D. 0,
2x y 解: dy , 0 x 2 0 f X ( x) 8 0 , 其它
x 1 ,0 x 2 4 0 , 其它
y 1 ,0 y 2 （X与Y同分布） 同理 fY ( y ) 4 0 , 其它 2 x 1 7 E( X ) x dx E (Y ) 0 4 6 2 5 2 2 x 1 E( X ) x dx 0 4 3 5 49 11 D( X ) D(Y ) 3 36 36 2 2 4 x y E ( XY ) dx xy dy 0 0 3 8 Cov(X,Y)＝E(XY)-E(X)E(Y)＝－1/36
Cov(X,Y)=0, 所以X和Y不相关. 1 3 3 p11 p1. p1 , 所以X和Y不独立. 8 8 8 相互独立 不相关
例3:设（X，Y）的概率密度为
( x y ) / 8, 0 x 2, 0 y 2, f ( x, y) , 其它 0 求E(X),E(Y),Cov(X,Y),D(X+Y), XY .
E( X )
x 2 y 2 1 1 1
x/
dxdy
2
1 y x dx dy 1 1 y
2
1 0dy 0,
1
同样，得 E(Y)=0, E ( XY ) ( xy/ ) dxdy
x 2 y 2 1 1 1
§4.3 协方差与相关系数
对于二维随机向量(X,Y)， 除了其分量X 和Y 的期望与方差之外, 还有一些数字特征, 用以刻画X与Y之间的相关程度，其中最主要 的就是下面要讨论的协方差和相关系数。 4.3.1 协方差 定义1：若 E{[ X-E(X)][Y-E(Y)]} 存在， 则称其为X 与Y 的协方差，记为Cov(X,Y), 即 Cov(X, Y) = E{[ X-E(X)][Y-E(Y) ]}. (1)
u2 2 2 t2 2
故有 Cov( X ,Y ) ρσ 1σ 2 .
于是 XY
Cov( X ,Y ) . D( X ) D(Y )
结论
) 二维正态分布密度函数中, 参数 ρ 代表了X (1 与 Y 的相关系数; ) 二维正态随机变量 X 与 Y 相关系数为零 (2 等价于 X 与 Y 相互独立.
4.3.2 相关系数 定义2: 设Var(X) > 0, Var(Y) > 0, 则称
XY
Cov( X , Y ) Var ( X ) Var (Y )
为随机变量X 和Y 的相关系数 。 在不致引起混淆时，记 XY 为 。
性质： | XY | 1, 当且仅当X与Y之间有线性关系时 等号成立。