高考数学复习第一轮相关习题D3.10 三角形中三角等式证明

三角恒等式的证明与运用练习题三角恒等式在解决三角函数问题时起着至关重要的作用。

恒等式不仅为我们提供了简化复杂表达式的方法，还为我们在解决实际问题时提供了关键的工具。

本文将通过一系列练习题来帮助读者理解三角恒等式的证明与应用。

练习题一：证明sin^2θ + cos^2θ = 1解答：对于任意给定的角度θ，我们可以利用单位圆的概念来进行证明。

将角θ绘制在单位圆上，角θ的终边与单位圆交于点P(x, y)。

由三角形的定义可知，点P距离圆心的距离即为sinθ，而点P的横坐标即为cosθ。

根据单位圆的性质可知，点P到圆心的距离等于1，即x^2 + y^2 = 1。

由于sinθ = y，cosθ = x，代入得到sin^2θ + cos^2θ = y^2 + x^2 = 1，即恒等式成立。

练习题二：证明tanθ = sinθ / cosθ解答：我们可以采用恒等式sin^2θ + cos^2θ = 1来证明这个等式。

根据三角函数的定义可知，tanθ = sinθ / cosθ。

我们将这个表达式变形为tanθ * cosθ = sinθ。

再利用恒等式sin^2θ + cos^2θ = 1，我们对等式两边进行代换得到cosθ * (sin^2θ / cos^2θ) = sinθ。

化简上式得到cosθ * sin^2θ / cos^2θ = sinθ。

再次化简得到sin^2θ / cosθ = sinθ，即tanθ = sinθ / cosθ。

证毕。

练习题三：证明1 + tan^2θ = sec^2θ解答：我们可以通过组合使用三角函数之间的恒等式来证明这个等式。

首先，由于secθ = 1 / cosθ，我们可以将等式右边进行变形。

sec^2θ = (1 / cosθ)^2 = 1 / cos^2θ。

然后，我们利用tanθ = sinθ / cosθ的恒等式来将等式左边进行变形。

tan^2θ = (sinθ / cosθ)^2 = sin^2θ / cos^2θ。

高三数学复习（第3章三角函数与三角恒等变换）：3.9三角条件等式的证明一、选择题（共3小题，每小题5分，满分10分）1．（5分）已知第二象限角θ满足sinθ﹣12.5cos2θ﹣11.5＝0，则的值是（）A．B．﹣C．±D．±2．（5分）已知的值是（）A．B．2C．1D．3．（5分）（）A．充要条件B．必要不充分条件C．充分不必要条件D．即非充分又非必要条件二、填空题（共1小题，每小题4分，满分4分）4．（4分）的值为．三、解答题（共19小题，满分0分）5．求sin220°+cos280°+sin20°cos80°的值．6．已知．7．求证：﹣2cos（α+β）＝．8．已知α、β、γ∈（0，），sinα+sinγ＝sinβ，cosβ+cosγ＝cosα，求β﹣α的值．9．已知：α，β为锐角，且3sin2α+2sin2β＝1，3sin2α﹣2sin2β＝0．求证：．10．已知A、B、C同时满足sin A+sin B+sin C＝0，cos A+cos B+cos C＝0，求证：cos2A+cos2B+cos2C 为定值．11．已知：，cosαcosβ＝cosα+cosβ，求：的值．12．已知：a sin x+b cos x＝0①，A sin2x+B cos2x＝C②，其中a，b不同时为0，求证：2abA+（b2﹣a2）B+（a2+b2）C＝0．13．已知sin A+sin3A+sin5A＝a，cos A+cos3A+cos5A＝b．求证：（1）当b≠0时，tan3A＝．（2）（1+2cos2A）2＝a2+b2．14．已知α、β、γ都是锐角，且cos2α+cos2β+cos2γ＝1，求证：．15．已知（﹣）2＝tan2α﹣tan2β，求证cosθ＝16．已知，α、β为锐角，求证：．17．已知sin2（α+β）＝n sin2y，且sin2y≠0n≠1，求证：．18．设θ和φ是方程a cos x+b sin x＝c的二个根，且θ±φ≠2kπ（k∈Z），a、b、c≠0，求证：．19．已知sinθ+cosθ＝a，sinθ﹣cosθ＝b，求证：a2+b2＝2．20．已知α+β＝，求证：sin（2α+β）tanα+cos（α+2β）cotβ＝0．21．已知，求证：y＝x2﹣4x+5．22．已知．23．已知cot2α＝1+2cot2β，求证：sin2β＝2﹣2cos2α．高三数学复习（第3章三角函数与三角恒等变换）：3.9三角条件等式的证明参考答案与试题解析一、选择题（共3小题，每小题5分，满分10分）1．（5分）已知第二象限角θ满足sinθ﹣12.5cos2θ﹣11.5＝0，则的值是（）A．B．﹣C．±D．±【解答】解：sinθ﹣12.5cos2θ﹣11.5＝sinθ﹣12.5+25sin2θ﹣11.5＝25sin2θ+sinθ﹣24＝0解得sinθ＝或﹣1（排除）∵θ为第二象限角∴cosθ＝﹣＝∵θ为第二象限角∴第一或第三象限角∴＝±＝±故选：D．2．（5分）已知的值是（）A．B．2C．1D．【解答】解：＝＝＝2（4﹣3）＝2故选：B．3．（5分）（）A．充要条件B．必要不充分条件C．充分不必要条件D．即非充分又非必要条件【解答】解：∵a cos2θ+b sin2θ＝当时，a cos2θ+b sin2θ＝＝a当a＝b＝0时，a cos2θ+b sin2θ＝a成立，而不成立．故，是a cos2θ+b sin2θ＝a的充分不必要条件故选：C．二、填空题（共1小题，每小题4分，满分4分）4．（4分）的值为．【解答】解：∵sinα+sinβ＝，cosα+cosβ＝，∴①，②，①+②，得2+2（cosαcosβ+sinαsinβ）＝，即cos（α﹣β）＝，∴＝．故答案为．三、解答题（共19小题，满分0分）5．求sin220°+cos280°+sin20°cos80°的值．【解答】解：原式＝sin220°+sin210°+sin20°cos（60°+20°）＝sin220°+（1﹣cos20°）+sin20°cos20°﹣sin220°，＝（1﹣cos20°）+sin40°﹣＝﹣cos20°+（sin40°+cos40°）＝﹣cos20°+sin70°＝．故答案为．6．已知．【解答】证明：tan2＝＝＝＝•＝原式得证．7．求证：﹣2cos（α+β）＝．【解答】证明：∵sin（2α+β）﹣2cos（α+β）sinα＝sin[（α+β）+α]﹣2cos（α+β）sinα＝sin（α+β）cosα+cos（α+β）sinα﹣2cos（α+β）sinα＝sin（α+β）cosα﹣cos（α+β）sinα＝sin[（α+β）﹣α]＝sinβ．两边同除以sinα得﹣2cos（α+β）＝．∴原式得证8．已知α、β、γ∈（0，），sinα+sinγ＝sinβ，cosβ+cosγ＝cosα，求β﹣α的值．【解答】解：由已知，得sinγ＝sinβ﹣sinα，cosγ＝cosα﹣cosβ．平方相加得（sinβ﹣sinα）2+（cosα﹣cosβ）2＝1．∴﹣2cos（β﹣α）＝﹣1．∴cos（β﹣α）＝．∴β﹣α＝±．∵sinγ＝sinβ﹣sinα＞0，∴β＞α．∴β﹣α＝．9．已知：α，β为锐角，且3sin2α+2sin2β＝1，3sin2α﹣2sin2β＝0．求证：．【解答】解：由3sin2α+2sin2β＝1，得：3sin2α＝cos2β．．∴sin22β+cos22β＝9sin2αcos2α+9sin4α∴9sin2α＝1．∴sinα＝（α为锐角）∴sin（α+2β）＝sinαcos2β+cosαsin2β＝sinα（3sin2α）+cosα（3sinαcosα）＝3sinα（sin2α+cos2α）＝3sinα＝1∴．10．已知A、B、C同时满足sin A+sin B+sin C＝0，cos A+cos B+cos C＝0，求证：cos2A+cos2B+cos2C 为定值．【解答】证明：先两式变形sinα+sinβ＝﹣sinγ，cosα+cosβ＝﹣cosγ，再平方，（sinα+sinβ）2＝sin2γ，①（cosα+cosβ）2＝cos2γ，②①+②化简得cos（α﹣β）＝﹣，③②﹣①化简得，cos2γ＝cos2α+cos2β+2cos（α+β），④所以cos2α+cos2β+cos2γ＝++＝+，将④代入＝+cos2α+cos2β+cos（α+β）＝+cos[（α+β）+（α﹣β）]+cos[（α+β）﹣（α﹣β）]+cos（α+β）＝+2cos（α+β）cos（α﹣β）+cos（α+β），将③代入＝故cos2A+cos2B+cos2C为定值，值为．11．已知：，cosαcosβ＝cosα+cosβ，求：的值．【解答】解：cosαcosβ＝cosα+cosβ，可得[cos（α+β）+cos（α﹣β）]＝2即：[2cos2﹣1+2cos2﹣1]＝令＝t上式化为：t2﹣﹣＝0t＝．所以＝．12．已知：a sin x+b cos x＝0①，A sin2x+B cos2x＝C②，其中a，b不同时为0，求证：2abA+（b2﹣a2）B+（a2+b2）C＝0．【解答】证明：则①可写成cos y sin x﹣sin y cos x＝0，∴sin（x﹣y）＝0∴x﹣y＝kπ（k为整数），∴x＝y+kπ又sin2x＝sin2（y+kπ）＝sin2y＝2sin y cos y＝cos2x＝cos2y＝cos2y﹣sin2y＝代入②，得，∴2abA+（b2﹣a2）B+（a2+b2）C＝0．13．已知sin A+sin3A+sin5A＝a，cos A+cos3A+cos5A＝b．求证：（1）当b≠0时，tan3A＝．（2）（1+2cos2A）2＝a2+b2．【解答】证明：（1）sin A+sin3A+sin5A＝sin A+sin5A+sin3A＝2sin cos+sin3A＝2sin3A•cos2A+sin3A＝sin3A（1+2cos2A），∴sin3A（1+2cos2A）＝a①同理有cos3A（1+2cos2A）＝b②两式相除，即得tan3A＝（2）∵根据（1）sin3A（1+2cos2A）＝a，①cos3A（1+2cos2A）＝b，②∴①2+②2sin23A（1+2cos2A）2+cos23A（1+2cos2A）2＝a2+b2，∴（1+2cos2A）2（sin23A+cos23A）＝a2+b2，∴（1+2cos2A ）2＝a 2+b 2．14．已知α、β、γ都是锐角，且cos 2α+cos 2β+cos 2γ＝1，求证：．【解答】解：通过观察、联想：在长方体中，a 2+b 2+c 2＝l 2⇒∵α、β、γ是锐角，∴令＝cos α，＝cos β，＝cos γ∴tan α＝，tan β，tan γ，∴tan αtan βtan γ．15．已知（﹣）2＝tan 2α﹣tan 2β，求证cos θ＝【解答】解：因为（﹣）2＝tan 2α﹣tan 2β，所以tan 2α﹣2tan αtan βcos θ+tan 2βcos 2θ＝sin 2θ（tan 2α﹣tan 2β）即：tan 2α﹣2tan αtan βcos θ+tan 2β＝sin 2θtan 2α∴tan 2αcos 2θ﹣2tan αtan βcos θ+tan 2β＝0即（tan αcos θ﹣tan β）2＝0所以cos θ＝16．已知，α、β为锐角，求证：．【解答】证明：∵α、β为锐角，sin β＝，∴cos β＝＝，tan β＝，∴tan2β＝＝，又tan α＝＜1，则tan （α+2β）＝＝＝1，∵α+2β∈（0，），得到α+2β可以为或，根据tan α＝，得到α＜；tan β＝，得到β＜，所以α+2β＝17．已知sin2（α+β）＝n sin2y，且sin2y≠0n≠1，求证：．【解答】解：要证等式成立，只要证＝，只要证（n﹣1）sin（α+β+y）•cos（α+β﹣y）＝（n+1）sin（α+β﹣y）•cos（α+β+y），即证n{sin（α+β+y）•cos（α+β﹣y）﹣sin（α+β﹣y）•cos（α+β+y）}＝即证sin（α+β﹣y）•cos（α+β+y）+sin（α+β+y）•cos（α+β﹣y），即证n sin2y＝sin（2α+2β）＝sin2（α+β）．而n sin2y＝sin2（α+β）为已知条件，故要证的等式成立．18．设θ和φ是方程a cos x+b sin x＝c的二个根，且θ±φ≠2kπ（k∈Z），a、b、c≠0，求证：．【解答】解：∵θ和φ是方程a cos x+b sin x＝c的二个根∴a cosθ+b sinθ＝c①a cosφ+b sinφ＝c②①﹣②得a（cosθ﹣cosφ）+b（sinθ﹣sinφ）＝0∴﹣2a sin sin+2b cos sin＝sin（b cos﹣a sin）＝0∵θ±φ≠2kπ∴sin≠0∴b cos﹣a sin＝0，即＝③同理①+②得（a cos+b sin）cos＝c④把③代入④得＝故．19．已知sinθ+cosθ＝a，sinθ﹣cosθ＝b，求证：a2+b2＝2．【解答】证明：∵sinθ+cosθ＝a，sinθ﹣cosθ＝b，∴a2＝sin2θ+cos2θ+2sinθcosθ＝1+2sinθcosθ，b2＝sin2θ+cos2θ﹣2sinθcosθ＝1﹣2sinθcosθ，∴a2+b2＝1+2sinθcosθ+1﹣2sinθcosθ＝2；故原式得证．20．已知α+β＝，求证：sin（2α+β）tanα+cos（α+2β）cotβ＝0．【解答】证明：∵sin（2α+β）tanα+cos（α+2β）cotβ＝sin（α+α+β）tanα+cos（α+α+β）cotβ＝cosα﹣sinβ＝sinα﹣cosβ又∵α+β＝∴sinα﹣cosβ＝sinα﹣sin（﹣α）＝sinα﹣sinα＝021．已知，求证：y＝x2﹣4x+5．【解答】证明：由x＝2+tan得x﹣2＝tan＝，故（x﹣2）2＝＝＝＝﹣1又故（x﹣2）2＝y﹣1整理得y＝x2﹣4x+5证毕22．已知．【解答】证明：∵∴∴＝＝＝＝即＝证毕．23．已知cot2α＝1+2cot2β，求证：sin2β＝2﹣2cos2α．【解答】解：cot2α＝1+2cot2β可得就是cos2αsin2β﹣sin2αsin2β＝2cos2βsin2α∴cos2αsin2β﹣sin2αsin2β＝2（1﹣sin2β）sin2αcos2αsin2β+sin2αsin2β＝2sin2α∴sin2β＝2sin2α即：sin2β＝2﹣2cos2α．所以等式成立．第11页（共11页）。

g3.1051三角形中的有关计算和证明一、知识回顾本节公式中，,2a b cs ++=,r 为内切圆半径，R 为外接圆半径，Δ为三角形面积.（一).三角形中的各种关系设△ABC 的三边为a 、b 、c ，对应的三个角为A 、B 、C ． 1．角与角关系：A +B +C = π，2．边与边关系：a + b > c ，b + c > a ，c + a > b ，a －b <c ，b －c < a ，c －a > b ．3．边与角关系： 1）正弦定理R Cc Bb Aa 2s i n s i n s i n ===2）余弦定理 c 2 = a 2+b 2－2bc cos C ，b 2 = a 2+c 2－2ac cos B ，a 2 = b 2+c 2－2bc cos A ．它们的变形形式有：a = 2R sin A ，ba BA =sin sin ，bcacbA 2cos 222-+=．3）射影定理： a ＝b ·cos C ＋c ·cos B ，b ＝a ·cos C ＋c ·cos A ， c ＝a ·cos B ＋c ·cos A ．4）正切定理：22sin sin sin sin B A tg B A tg BA B A ba b a -+=-+=-+ …………….(轮换) 5）模尔外得公式：;2cos2sin,2sin 2cos C B A cb a C B A cb a -=--=+ 6）半角定理：bc c s b s A ))((2sin--=bca s s A )(2cos -=as r sc s b s a s as a s s c s b s A tg -=----=---=))()((1)())((2（以上公式均轮换）7）面积公式：))()((4222222sin sin sin 2)sin(2sin sin sin 21212222c s b s a s s R abc rs C ctg B ctg A ctg r C tg B tg A tg s CB A RC B CB aC ab ah a ---======+===∆ （二）、关于三角形内角的常用三角恒等式： 1.三角形内角定理的变形由A ＋B ＋C ＝π，知A ＝π－（B ＋C ）可得出： sin A ＝sin （B ＋C ），cos A ＝－cos （B ＋C ）． 而222C B A +-=π．有：2cos2sinC B A +=，2sin2cosC B A +=．2.常用的恒等式：（1）sin A ＋sin B ＋sin C ＝4cos 2A cos 2B cos 2C ．（2）cos A ＋cos B ＋cos C ＝1＋4sin 2A sin2Bsin 2C ．（3）sin A ＋sin B －sin C ＝4sin2A sin2B cos 2C ．（4）cos A ＋cos B －cos C ＝－1＋4cos2A cos 2B sin 2C ．（5）sin2A ＋sin2B ＋sin2C ＝4sin A sin B sin C ． （6）cos2A ＋cos2B ＋cos2C ＝－1－4cos A cos B cos C ． （7）sin 2A ＋sin 2B ＋sin 2C ＝2＋2cos A cos B cos C ． （8）cos 2A ＋cos 2B ＋cos 2C ＝1－2cos A cos B cos C ．二、基本训练1、在A B C ∆中，已知35513sin B ,cos A ==，则cos C ＝ .2、在A B C ∆中，A ＞B 是sin A sin B >成立的.条件.3、在A B C ∆中，若sin A sin B cos A cos B <，则A B C ∆的形状为 .4、在A B C ∆中， 112(tan A )(tan B )++=，则2log sin C ＝ .5、在A B C ∆中，a ,b ,c 分别是角A 、B 、C 所对的边，若(a b c )(sin A sin B +++ 3sin C )a sin B -=，则C ∠＝ .三、例题分析例1、在A B C ∆中，451a ,b c ,tan A tan B tan A tan B )=+=+=-，求sin A .例2、在A B C ∆中，已知22a tan B b tan A =，试判断A B C ∆的形状.例3、已知A 、C 是三角形ABC 的两个内角，且tan A,tan C 是方程2100x p x p (p )-+-=≠的两个实根。

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第23讲解三角形应用举例［解密考纲］本考点考查利用正弦定理、余弦定理求解三角形,解决实际应用问题.题型一般为填空题或解答题，题目难度中等偏难.一、选择题1．两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站北偏东40°，灯塔B在观察站南偏东60°,则灯塔A在灯塔B的（B）A．北偏东10°B．北偏西10°C．南偏东10°D．南偏西10°解析依题意作出图形可知，A在B北偏西10°的地方。

2．有一长为1千米的斜坡，它的倾斜角为20°,现要将倾斜角改为10°,则斜坡长为（C)A．1千米B．2sin 10° 千米C．2cos 10° 千米D．cos 20° 千米解析由题意知DC＝BC＝1,∠BCD＝160°，∴BD2＝DC2＋CB2－2DC·CB·cos 160°＝1＋1－2×1×1×cos（180°－20°）＝2＋2cos 20°＝4cos210°，∴BD＝2cos 10°。

决胜3．在中，角，，所对的边分别为，，，且，.ABC A B C a b c 23a c b +=3A C π-=(1)求；cos B (2)若，求的面积.5b =ABC 4．设()()()()πsin 2πcos 2cos sin πf ααααα⎛⎫++ ⎪⎝⎭=---(1)将化为最简形式；()f α(2)已知，求的值．()3f θ=-()sin 1sin2sin cos θθθθ++5．已知函数．()π1sin 232f x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭(1)求函数的单调递增区间，并解不等式；()f x ()0f x ≥(2)关于的方程在上有两个不相等的实数解，求实数的取x 11022m f x +⎛⎫+= ⎪⎝⎭[]0,πx ∈12,x x m 值范围及的值．()12f x x +6．已知角为第四象限角，且角的终边与单位圆交于点.αα1,3P y ⎛⎫ ⎪⎝⎭(1)求的值；sin α(2)求的值.()πtan sin 2sin cos παααα⎛⎫+ ⎪⎝⎭+7．在平面直角坐标系中，角以为始边，它的终边与单位圆交于第二象限内的点xOy αOx ．(),P x y (1)若，求及的值；255y =tan α7sin 2cos sin 4cos αααα+-(2)若，求点P 的坐标．sin 11cos 2αα=-(1)若，求；3BC =ADCD (2)若，求线段的长11cos 14A =AD(1)求函数在区间上的最大值和最小值；()f x ππ[,]64-(2)若函数在区间上恰有2个零点，求的值．5()()4g x f x =-π(0,)212,x x 12cos()x x -11．在中，，点D 在AB 边上，且为锐角，，的面积为ABC 25BC =BCD ∠2CD =BCD △4.(1)求的值；cos BCD ∠(2)若，求边AC 的长.30A =︒12．记三个内角的对边分别为，已知为锐角，ABC ,,A B C ,,a b c B ．sin sin sin 2sin sin a A b B c C a A B +-=(1)求；()sin A C -(2)求的最小值．sin sin A B 13．已知函数且的最小正周期为．()πsin 23f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()f x π(1)求函数的单调递减区间；()f x (2)若，求x 的取值范围．()22f x ≤14．已知函数在上单调递增．()sin (0)f x x ωω=>ππ,34⎡⎤-⎢⎥⎣⎦(1)求的取值范围：ω(2)当取最大值时，将的图象向左平移个单位，再将图象上所有点的横坐标变为原来ω()f x π9的3倍，得到的图象，求在内的值域．()g x ()g x ππ,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦15．在中，角所对的边分别为，已知．ABC ,,A B C ,,a b c sin cos cos cos cos sin sin A B C B C A B +=--(1)求；C (2)若外接圆的半径为，求的面积最大值．ABC 233ABC 16．已知函数.()()πe e sin ,32x xf x xg x --==(1)若，求；321π3f α⎛⎫+= ⎪⎝⎭32πf α⎛⎫- ⎪⎝⎭(2)设函数，证明：在上有且仅有一个零点，且()()ln h x x f x =+()h x ()0,∞+0x .()()034g f x >-17．在平面直角坐标系中，角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终xOy αO x 边与单位圆交于第三象限点.525,55P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭(1)求的值；sin cos αα-(2)若角的终边绕原点按逆时针方向旋转，与单位圆交于点，求点的坐标.αO π2Q Q 18．设函数，且．2()2cos 23sin cos (0)f x x x x m ωωωω=++>(0)1f =(1)求的值；m (2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在，求()f x 的值及的零点．ω()f x 条件①：是奇函数；()f x 条件②：图象的两条相邻对称轴之间的距离是；()f x π条件③：在区间上单调递增，在区间上单调递减．()f x π0,6⎡⎤⎢⎥⎣⎦ππ,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，0按第一个解答计分．答案：1．(1)1-(2)12-【分析】（1）根据点坐标求得.P tan α（2）根据点坐标求得，利用诱导公式求得正确答案.P sin ,cos αα【详解】（1）即，3π,cos π3sin 44P ⎛⎫ ⎪⎝⎭22,22P ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭所以.22tan 122α-==-（2）由（1）得，所以，22,22P ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭22222sin 22222α-==-⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，22222cos 22222α==⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()1617πsin πsin πsin sin 808π22αααα⎛⎫⎛⎫-+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭πsin sin sin cos 2αααα⎛⎫=+= ⎪⎝⎭.221222⎛⎫=-⨯=- ⎪ ⎪⎝⎭2．(1)，1tan 7α=1tan 3β=(2)π4【分析】（1）先根据同角三角函数平方关系求出，再根据商数关系和两角和正切公式cos α化简得结果；（2）根据二倍角公式得，，再根据两角和余弦公式得，最后根据sin 2,cos 2ββ()cos 2αβ+范围求结果.【详解】（1）因为为锐角，，所以，,αβ2sin 10α=272cos 1sin 10αα=-=所以，2sin 110tan cos 77210ααα===又因为，所以，tan tan 1tan()1tan tan 2αβαβαβ++==-1tan 3β=（2）因为为锐角，，所以，解得，,αβ1tan 3β=22sin 1cos 3sin cos 1ββββ⎧=⎪⎨⎪+=⎩10sin 10310cos 10ββ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以，sin 22sin cos 103103101052βββ==⨯=⨯，24cos 212sin 5ββ=-=所以，()724232cos 2cos cos 2sin sin 21051052αβαβαβ+=-=⨯-⨯=又因为为锐角，所以，,αβ3π022αβ<+<所以.π24αβ+=3．(1)78(2)111512【分析】（1）根据已知条件，利用正弦定理化为，结合23a c b +=sin sin 23sin A C B +=已知条件，有，，代入解三角形即可.3A C π-=32B C π=-232B A π=-sin sin 23sin A C B +=（2）根据（1）终结论，利用余弦定理，结合，，解得，利用面5b =23a c b +=443ac =积公式即可求得面积为.11115sin 212ABC S ac B ==△【详解】（1）因为，所以由正弦定理得，23a c b +=sin sin 23sin A C B +=因为，且，所以，，3A C π-=A B C π++=32B C π=-232B A π=-所以2sin sin 23sin 3232B B B ππ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即，22sin cos cos sin sin cos cos sin 23sin 32323232B B B B B ππππ-+-=所以，所以，3cos 23sin 2B B =cos 4sin cos 222B B B =因为，所以，所以；022B π<<1sin 24B =27cos 12sin 28B B =-=（2）由余弦定理可得，2222cos b a c ac B =+-即，得，得，()27524a c ac ac =+--()2155234b ac =-443ac =因为，所以，所以7cos 8B =15sin 8B =11115sin 212ABC S ac B ==△4．(1)tan α-(2)65【分析】（1）根据三角函数的诱导公式，结合同角三角函数的商式关系，可得答案；（2）利用正弦函数的二倍角公式以及同角三角函数的平方式，整理齐次式，可得答案.【详解】（1）.()()()()πsin 2πcos sin sin 2tan cos sin πcos sin f αααααααααα⎛⎫++ ⎪-⎝⎭===----（2）由，则，()tan 3f θθ=-=-tan 3θ=，()()()()()22222sin 1sin2sin (sin cos )tan (tan 1)sin cos sin cos sin cos tan 1tan 1θθθθθθθθθθθθθθθ+++==+++++.()()2223(31)34641053131⨯+⨯===⨯+⨯+5．(1)答案见解析(2)(()1212,3,2f x x ⎤--+=-⎦【分析】（1）由题意分别令，πππ2π22π,Z 232k x k k -+≤-≤+∈，解不等式即可得解.ππ5π2π22π,Z 366k x k k +≤-≤+∈（2）由题意得在上有两个不相等的实数解，结合三角()π2sin 3m x g x ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭[]0,πx ∈12,x x 函数单调性、最值即可求出的取值范围，结合对称性代入求值即可得的值.m ()12f x x +【详解】（1）由题意令，解得，πππ2π22π,Z 232k x k k -+≤-≤+∈π5πππ,Z 1212k x k k -+≤≤+∈即函数的单调递增区间为，()f x ()π5ππ,π,Z 1212k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦令，所以，()π1sin 2032f x x ⎛⎫=--≥ ⎪⎝⎭π1sin 232x ⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭所以，解得，ππ5π2π22π,Z 366k x k k +≤-≤+∈π7πZ 412ππ,k x k k +≤≤+∈所以不等式的解集为.()0f x ≥()π7ππ,π,Z 412k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦（2）由题意即，11022m f x +⎛⎫+= ⎪⎝⎭πsin 032m x ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭即在上有两个不相等的实数解，()π2sin 3m x g x ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭[]0,πx ∈12,x x 当时，，而在上单调递减，在上单[]0,πx ∈ππ2π,333t x ⎡⎤=-∈-⎢⎥⎣⎦2sin y t =-ππ,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦π2π,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦调递增，所以当即时，，ππ32t x =-=5π6x =()min 2g x =-当即时，，ππ33t x =-=-0x =()max 3g x =又即时，，π2π33t x =-=πx =()3g x =-所以若在上有两个不相等的实数解，()π2sin 3m x g x ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭[]0,πx ∈12,x x 则实数的取值范围为，m (2,3⎤--⎦因为，所以是的对称轴，()min 5π26g x g ⎛⎫==- ⎪⎝⎭5π6x =()g x所以.()125π5ππ112sin 263322f x x f ⎛⎫⎛⎫+=⨯=⨯--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭6．(1)223-(2)3-【分析】（1）将点代入单位圆后结合任意角三角函数定义求解即可.（2）利用诱导公式化简求值即可.【详解】（1）在单位圆中，解得，22113y ⎛⎫+= ⎪⎝⎭223y =±因为第四象限角，所以α223y =-22sin 3α∴=-（2）第四象限角22sin ,3αα=-1cos 3α∴=.()πtan sin 123sin cos πcos ααααα⎛⎫+ ⎪⎝⎭∴=-=-+7．(1)，；2-2(2).34(,)55-【分析】（1）根据给定条件，求出点的坐标及，再利用齐次式法计算即得.P tan α（2）利用同角公式，结合三角函数定义求解即得.【详解】（1）角以Ox 为始边，它的终边与单位圆交于第二象限内的点，α(),P x y 当时，，则，255y =22551()55x =--=-tan 2y x α==-所以．7tan 27(2)227ta 4sin 2cos sin 42c 4os n αααααα+⨯-++==---=-（2）依题意，，sin 0,cos 0αα><由，得，代入，sin 11cos 2αα=-cos 12sin αα=-22sin cos 1αα+=于是，解得，22sin (12sin )1αα+-=2sin ,cos 1sin 5543ααα==--=-即，所以点P 的坐标为．34,55x y =-=34(,)55-8．(1)；π3A =(2)．2AD =【分析】（1）由正弦定理化边为角，然后由三角恒等变换求解；（2）设，利用由余弦定理求得，从而由正弦定理求得AD x =πADB ADC ∠+∠=cos ADB ∠（用表示），再代入余弦定理的结论中求得值．AC x x 【详解】（1）由正弦定理及已知得2cos cos cos 2c a A B b A =-，sin 2sin cos cos sin cos 2sin 2cos sin cos 2sin(2)C A A B B A A B B A A B =-=-=-或，C 2A B =-2πC A B +-=又，所以，A B ≤22πC A B C B B C B +-≤+-=+<所以，从而，所以；C 2A B =-2πB C A A +==-π3A =（2）由余弦定理得，，2222cos AB BD AD AD BD ADB =+-⋅∠，2222cos AC CD AD AD CD ADC =+-⋅∠又是角平分线，所以，又，则，记，因为AD 2AC CD AB BD ==3a =2,1CD BD ==AD x =，πADB ADC ∠+∠=所以，所以，2244cos 412cos x x ADC x x ADC +-∠=++∠cos 4x ADC ∠=-，则，0πADC <∠<2sin 116x ADC ∠=-由正弦定理得，sin sin AC CD ADC CAD =∠∠所以，222116π16sin 6x AC x =⋅-=-所以，解得，即．221644()4x x x x -=+-⋅-2x =2AD =9．(1)263(2)677【分析】（1）利用正弦定理及其余弦定理求解；（2）利用三角形的面积公式求解.【详解】（1）因为平分，，故，AD BAC ∠3AB BC ==2C BAC θ∠=∠=在中，由正弦定理知：，ADC △sin sin 22cos sin sin AD ACD CD DAC θθθ∠===∠由余弦定理有，2222223231cos 2cos 22323CA CB BA C CA CB θ+-+-====⋅⨯⨯又因为，所以,21cos 22cos 13θθ==-6cos 3θ=即；262cos 3AD CDθ==（2）由，得，则，11cos 14A =11cos 214θ=cos 2157cos 214θθ+==又由，()11sin 2sin 22ABC ABD ACD S AB AC S S AB AC AD θθ=⋅=+=+△△△得.()sin 21267cos sin 57AB AC AD AB AC θθθ⋅===+10．(1)最大值和最小值分别为；2,1-(2).58【分析】（1）求出函数的解析式，再利用余弦函数的性质求解即得.()f x （2）利用余弦函数图象的对称性，结合诱导公式计算.12cos()x x -【详解】（1）由函数的最小正周期为，得，解得，()f x π2ππω=π2,()2cos(2)3x f x ω==-当时，，则当，即时，，ππ[,]64x ∈-π2ππ2[,]336x -∈-π2π233x -=-π6x =-min ()1f x =-当，即时，，π203x -=π6x =max ()2f x =所以函数在区间上的最大值和最小值分别为.()f x ππ[,]64-2,1-（2）()2222252cos 25222525BD BC CD BC CD BCD =+-⨯∠=+-⨯⨯⨯，故，204816=+-=4BD =有，故，22216420BD CD BC +=+==CD AB ⊥则，即.21sin sin 302CD A AC AC ==︒==4AC =12．(1)；()sin 1A C -=(2)无最小值；【分析】（1）利用正弦定理和余弦定理可得，结合为锐角可得，所sin cos A C =B π2A C =+以；()sin 1A C -=（2）利用诱导公式可得，再由导数判断出在3sin sin 2sin sin A B A A =-()32f t t t =-上单调递增，可得无最小值；2,12t ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭sin sin A B 【详解】（1）因为，sin sin sin 2sin sin a A b B c C a A B +-=由正弦定理得，2222sin a b c ab A +-=由余弦定理可得，2222cos a b c ab C +-=所以可得，解得或；sin cos A C =π2A C =-π2A C =+又为锐角，所以（舍），即，B π2A C =-π2A C =+因此；()πsin sin12A C -==（2）结合（1）中，又可得：π2A C =+πA B C ++=；33πsin sin sin sin 2sin cos 22sin sin 2A B A A A A A A ⎛⎫=-=-=- ⎪⎝⎭令，则，sin t A =()3sin sin 2A B f t t t ==-又为锐角，，所以，B 3ππ20,22A ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭π3π24A <<可得，212t <<所以，当时，恒成立，()261f t t '=-212t <<()2610f t t '=->即可得为单调递增，()32f t t t =-所以时，，所以无最值；2,12t ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭()()0,1f t ∈()f t 因此无最小值；sin sin A B 13．(1)答案见解析(2)答案见解析【分析】（1）根据最小正周期为求得，求出单调递减区间；π=1ω±（2）根据写出x 的取值范围．()22f x ≤【详解】（1）因为的周期为，()πsin 23f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭π故，所以.2ππ2ω==1ω±当时，，=1ω()πsin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭由，得到，ππ3π2π22π232k x k +≤+≤+π7πππ1212k x k +≤≤+故的递减区间为.()f x π7ππ,π,Z 1212k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦当时，，1ω=-()ππsin 2sin 233f x x x ⎛⎫⎛⎫=-+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭由，得到πππ2π22π232k x k -+≤-≤+π5πππ1212k x k -+≤≤+故的递减区间为.()f x π5ππ,π,Z 1212k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦（2）当时，，=1ω()π2sin 232f x x ⎛⎫=+≤ ⎪⎝⎭所以，5πππ2π22π434k x k -+≤+≤+解得.19ππππ,Z 2424k x k k -+≤≤-+∈当时，，1ω=-()ππ2sin 2sin 2332f x x x ⎛⎫⎛⎫=-+=--≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即，π2sin 232x ⎛⎫-≥- ⎪⎝⎭所以，ππ5π2π22π434k x k -+≤-≤+解得.π19πππ2424k x k +≤≤+综上：当时，；=1ω19ππππ2424k x k -+≤≤-+当时，.1ω=-π19πππ,Z 2424k x k k +≤≤+∈14．(1)302ω<≤(2)260,4⎡⎤+⎢⎥⎣⎦【分析】（1）由题设条件，列出不等式，求解即可.,32πππ4π2ωω-≥-≤（2）根据函数图像平移变换，写出函数，再结合区间和三角函数性质求1π()sin 26g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭出值域.【详解】（1）由，得 ，ππ,34x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦ππ,34x ωωω⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦又函数在上单调递增，()sin (0)f x x ωω=>ππ,34⎡⎤-⎢⎥⎣⎦所以，解得,32πππ4π2ωω-≥-≤32ω≤因为，所以．0ω>302ω<≤（2）由（1）知的最大值为，此时，ω323()sin 2f x x =根据题意，，31π1π()sin sin 23926g x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦当时，．ππ,32x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦1πππ02664x ≤+≤+所以，故值域为．ππ260()sin 644g x +⎛⎫≤≤+= ⎪⎝⎭260,4⎡⎤+⎢⎥⎣⎦15．(1)π3C =(2)3【分析】（1）利用正弦定理、三角恒等变换计算即可．（2）利用正余弦定理、三角形面积公式及基本不等式计算即可.【详解】（1）由已知可得：，222sin sin sin cos cos A A B B C -=-∴，()222sin sin sin 1sin 1sin A A B B C -=---∴，222sin sin sin sin sin A B C A B +-=根据正弦定理可知：，222a b c ab +-=∴．2221cos 22a b c C ab +-==又．π(0,π),3C C ∈∴=（2）∵外接圆的半径为，ABC 233r =∴，解得．432sin 3c r C==2c =又由（1）得，222a b c ab +-=故，∴，当且仅当时等号成立22424a b ab ab +-=≥-4ab ≤2a b ==∴，13sin 324ABC S ab C ab ==≤△∴的面积最大值为．ABC 316．(1)23(2)证明见解析【分析】（1）化简已知条件求得，利用诱导公式求得.πsin 3α⎛⎫+ ⎪⎝⎭32πf α⎛⎫- ⎪⎝⎭（2）先求得的表达式，然后对进行分类讨论，结合零点存在性定理证得在()h x x ()h x 上有且仅有一个零点，求得的表达式，然后利用函数的单调性证得不等()0,∞+0x()()0g f x 式成立.()()034g f x >-【详解】（1）由，则，321π3f α⎛⎫+= ⎪⎝⎭π2sin 33α⎛⎫+= ⎪⎝⎭所以32π2sin π3f αα⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.ππ2sin πsin 333αα⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦（2）证明：由题意得.()πln sin 3h x x x =+①当时，，所以单调递增.30,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦ππ0,32x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦()h x 又，由于，而，1πsin ln226h ⎛⎫=- ⎪⎝⎭π1sin 62=1ln2ln e 2>=所以.又，102h ⎛⎫< ⎪⎝⎭()3102h =>所以由零点存在定理得在内有唯一零点，使得.()h x 30,2⎛⎤ ⎥⎝⎦0x ()00h x =当时，，所以，则在上无零点；3,32x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦πln 0,sin 03x x >≥()0h x >()h x 3,32⎛⎤ ⎥⎝⎦当时，，所以，则在上无零点.()3,x ∈+∞πln 1,1sin 13x x >-≤≤()0h x >()h x ()3,+∞综上，在上有且仅有一个零点.()h x ()0,∞+0x ②由①得，且，0112x <<()00ln 0x f x +=则.()()()()00000011ln ,ln 2f x x g f x g x x x ⎛⎫=-=-=- ⎪⎝⎭由函数的单调性得函数在上单调递增，()000112x x x ϕ⎛⎫=-⎪⎝⎭1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭则，()01324x ϕϕ⎛⎫>=- ⎪⎝⎭故.()()034g f x >-求解已知三角函数值求三角函数值的问题，可以考虑利用诱导公式等三角恒等变换的公式来进行求解.判断函数零点的个数，除了零点存在性定理外，还需要结合函数的单调性来进行判断.17．(1)55-(2)255,55⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭【分析】（1）直接根据三角函数的定义求解；（2）利用诱导公式求出旋转后的角的三角函数值即可.【详解】（1）由三角函数的定义可得，5sin c 5o 255s αα-=-=，所以；5s 5in 5c 2os 555αα⎛⎫--=- ⎪ ⎪⎝⎭-=-（2）角的终边绕原点O 按逆时针方向旋转，得到角，απ2π2α+则，，π5sin cos 25αα⎛⎫+==- ⎪⎝⎭π25cos sin 25αα⎛⎫+=-= ⎪⎝⎭所以点Q 的坐标为.255,55⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭18．(1)1m =-(2)选择①，不存在；选择②，，；选择③，，12ω=ππ,Z 6k k -+∈1ω=ππ,Z 122k k -+∈【分析】（1）利用二倍角公式以及辅助角公式化简函数，根据，即可求解；(0)1f =（2）根据奇函数性质、三角函数图象的性质以及三角函数的单调性，即可逐个条件进行判断和求解.【详解】（1）2()2cos 23sin cos f x x x x m ωωω=++，πcos 23sin212sin 216x x m x m ωωω⎛⎫=+++=+++ ⎪⎝⎭又，所以.1(0)2112f m =⨯++=1m =-（2）由（1）知，，()π2sin 26f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭选择①：因为是奇函数，()f x 所以与已知矛盾，所以不存在.()00f =()f x 选择②：因为图象的两条相邻对称轴之间的距离是，()f x π所以，，，π2T =2πT =2π21T ω==12ω=则，()π2sin 6f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭令，()π2sin 06f x x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭解得.ππ,Z 6k x k -+∈=即零点为.()f x ππ,Z 6k k -+∈选择③：对于，，()π2sin 26f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭0ω>令，，πππ2π22π,Z 262k x k k ω-+≤+≤+∈ππ3π2π22π,Z 262k x k k ω+≤+≤+∈解得，，ππππ,Z 36k k x k ωωωω-+≤≤+∈ππ2ππ,Z 63k k x k ωωωω+≤≤+∈即增区间为，()f x ππππ,,Z 36k k k ωωωω⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦减区间为，()f x ππ2ππ,,Z 63k k k ωωωω⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦因为在区间上单调递增，在区间上单调递减，()f x π0,6⎡⎤⎢⎥⎣⎦ππ,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦所以时符合，0k =即在上单调递增，在上单调递减，()f x ππ,36ωω⎡⎤-⎢⎥⎣⎦π2π,63ωω⎡⎤⎢⎥⎣⎦所以且，π03ππ66ωω⎧-≤⎪⎪⎨⎪≥⎪⎩2ππ33ππ66ωω⎧≥⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩解得，则，1ω=()π2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭所以令，()π2sin 206f x x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭解得，ππ,Z 122k x k =-+∈即零点为.()f x ππ,Z 122k k -+∈。

高考数学一轮复习三角函数与解三角形多选题知识点及练习题及答案一、三角函数与解三角形多选题1．已知函数()sin()(0)f x x ωϕω=+>满足()()00112f x f x =+=-，且()f x 在()00,1x x +上有最小值，无最大值.则（ ）A ．0112f x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭B ．若00x =，则()sin 26f x x ππ⎛⎫=-⎪⎝⎭C ．()f x 的最小正周期为3D ．()f x 在(0,2019)上的零点个数最少为1346个 【答案】AC 【分析】根据正弦函数图象的对称性可判断A ；根据已知三角函数值求角的方法，可得052,6x k k Z ωϕππ+=-∈，0(1)2,6x k k Z πωϕπ++=-∈，两式相减可求出ω，进而求得周期，从而可判断B 和C 选项；因为3T =，所以函数()f x 在区间(0,2019)上的长度恰好为673个周期，为了算出零点“至少”有多少个，可取(0)0f =，进而可判断D ． 【详解】解：由题意得，()f x 在()00,1x x +的区间中点处取得最小值， 即0112f x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，所以A 正确； 因为()()00112f x f x =+=-， 且()f x 在()00,1x x +上有最小值，无最大值， 所以不妨令052,6k k Z ωϕππ+=-∈， ()012,6x k k Z πωϕπ++=-∈，两式相减得，23πω=， 所以23T πω==，即B 错误，C 正确；因为3T =，所以函数()f x 在区间(0,2019)上的长度恰好为673个周期， 当(0)0f =，即k ϕπ=时，()f x 在区间(0,2019)上的零点个数至少为673211345⨯-=个，即D 错误.故选:AC . 【点睛】本题考查与三角函数有关的命题的真假关系，结合三角函数的图象与性质，利用特殊值法以及三角函数的性质是解题的关键，综合性较强．2．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且::4:5:6a b c =，则下列结论正确的是（ ）A ．sin :sin :sin 4:5:6ABC = B ．ABC 是钝角三角形C ．ABC 的最大内角是最小内角的2倍D ．若6c =，则ABC【答案】ACD 【分析】由正弦定理可判断A ；由余弦定理可判断B ；由余弦定理和二倍角公式可判断C ；由正弦定理可判断D. 【详解】解：由::4:5:6a b c =，可设4a x =，5b x =，6c x =，()0x >， 根据正弦定理可知sin :sin :sin 4:5:6A B C =，选项A 描述准确；由c 为最大边，可得2222221625361cos 022458a b c x x x C ab x x +-+-===>⋅⋅，即C 为锐角，选项B 描述不准确；2222222536163cos 22564b c a x x x A bc x x +-+-===⋅⋅，291cos 22cos 121cos 168A A C =-=⨯-==， 由2A ，C ()0,π∈，可得2A C =，选项C 描述准确；若6c =，可得2sin 7c R C===，ABC外接圆半径为7，选项D 描述准确. 故选：ACD. 【点睛】本题考查三角形的正弦定理和余弦定理，二倍角公式，考查化简运算能力，属于中档题.3．已知函数()f x 的定义域为D ，若对于任意()()()a b c D f a f b f c ∈，，，，，分别为某个三角形的边长，则称()f x 为“三角形函数”，其中为“三角形函数”的函数是（ ） A ．()4sin f x x =-B ．()22sin 10cos 13f x x x =-++C ．()tan 2x f x = D ．()sin 20,34f x x x ππ⎛⎫⎡⎤=++∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦【答案】AD 【分析】结合三角形的性质有:两边之差小于第三边，得若()f x 为 “三角形函数”则()()()max min min f x f x f x <-恒成立，即()()max min 2f x f x <恒成立即可，根据条件求出函数的最大值和最小值，进行判断即可. 【详解】解:①()4sin f x x =-，则()max 415f x =+=，()min 413f x =-= 则()()max min 2f x f x <恒成立,则A 满足条件②()22532cos 10cos 112cos 22f x x x x ⎛⎫=++=+= ⎪⎝⎭当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，0cos 1x ≤≤∴当cos 0x =时，函数()f x 取得最小值()min 11f x =,当cos 1x =时，函数()f x 取得最大值，()max 23f x =则()()max min 2f x f x <不恒成立，则B 不满足条件 ③()()()tan ,00,2xf x =∈-∞⋃+∞，则不满足条件()()max min 2f x f x <恒成立，故C 不是④()sin 23f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，52,336x πππ⎡⎤∴+∈⎢⎥⎣⎦，则()max sin12f x π=+=+()min 51sin62f x π=+=+则()min 21f x =+，则()()max min 2f x f x <恒成立，故D 满足条件 故选AD 【点睛】本题考查了三角形的性质及“三角形函数”的概念，根据条件转化为()()max min 2f x f x <恒成立是解决本题的关键，综合性较强，有一定的难度.4．将函数()2πsin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象向左平移π6个单位长度后得到函数()g x 的图象，则下列说法正确的是（ ）A ．π4g ⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．π,06⎛⎫⎪⎝⎭是函数()g x 图象的一个对称中心 C ．函数()g x 在π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增D ．函数()g x 在ππ,63⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域是22⎡-⎢⎣⎦【答案】BC 【分析】首先求得函数()sin 23g x x π=-⎛⎫ ⎪⎝⎭，再根据选项，整体代入，判断函数的性质.【详解】()2sin 2sin 2633g x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，1sin 462g ππ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故A 错误；sin 0633g πππ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故B 正确；0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，2,,33622x πππππ⎡⎤⎡⎤-∈-⊆-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，所以函数()g x 在0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π上单调递增，故C 正确；,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，22,333x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，当232x ππ-=-时，函数取得最小值-1，当233x ππ-=⎡-⎢⎣⎦.故选：BC 【点睛】思路点睛：本题考查()sin y A ωx φ=+的解析式和性质的判断，可以整体代入验证的方法判断函数性质：（1）对于函数()sin y A ωx φ=+，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心的横坐标一定是函数的零点，因此判断直线0x x =或点()0,0x 是否是函数的对称轴和对称中心时，可通过验证()0f x 的值进行判断；（2）判断某区间是否是函数的单调区间时，也可以求x ωϕ+的范围，验证此区间是否是函数sin y x =的增或减区间.5．函数()()()2sin 0,f x x ωϕωϕπ=+><的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）A ．1()2sin 36f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭ B ．若把()f x 的横坐标缩短为原来的23倍，纵坐标不变，得到的函数在[],ππ-上是增函数C ．若把函数()f x 的图像向左平移2π个单位，则所得函数是奇函数 D ．函数()y f x =的图象关于直线4x π=-对称【答案】ACD 【分析】根据函数的图象求出函数的解析式，得选项A 正确； 求出213263x πππ--得到函数在[],ππ-上不是增函数，得选项B 错误；求出图象变换后的解析式得到选项C 正确； 求出函数的对称轴方程，得到选项D 正确. 【详解】 A, 如图所示：1732422T πππ=-=， 6T π∴=，∴2163πωπ==，(2)2f π=，∴2(2)2sin()23f ππϕ=+=，即2sin()13πϕ+=， ∴22()32k k Z ππϕπ+=+∈， ∴2()6k k Z πϕπ=-∈，||ϕπ<，∴6πϕ=-，∴1()2sin()36f x x π=-，故选项A 正确；B, 把()y f x =的横坐标缩短为原来的23倍，纵坐标不变，得到的函数12sin()26y x π=-，[x π∈-，]π，∴213263x πππ--，∴12sin()26y x π=-在[π-，]π上不单调递增，故选项B 错误；C, 把()y f x =的图象向左平移2π个单位，则所得函数12sin[()]2sin 3223xy x ππ=-+=，是奇函数，故选项C 正确； D, 设1,,32,362x k k Z x k πππππ-=+∈∴=+当24k x π=-⇒=-，所以函数()y f x =的图象关于直线4x π=-对称，故选项D 正确.故选：ACD 【点睛】方法点睛：求三角函数的解析式，一般利用待定系数法，一般先设出三角函数的解析式sin()y A wx k ，再求待定系数,,,A w k ，最值确定函数的,A k ,周期确定函数的w ,非平衡位置的点确定函数的φ.6．已知函数()2sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，则（ ） A ．函数()f x 的最小正周期为π B ．()f x 的图像关于直线6x π=对称C ．()f x 的图象关于点,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称 D ．()f x 在区间(0,)π上有两个零点【答案】ABD 【分析】借助于()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像及y =sin x 的性质，对ABCD 四个选项一一验证： 对于A ：利用2T πω=求周期；对于B ：利用图像观察，也可以根据()26f π=判断；对于C ：利用图像观察，也可以根据()13f π=否定结论；对于D ：利用图像观察，可以得到()f x 在区间(0,)π上有两个零点. 【详解】对于A ：函数()y f x =的周期222T πππω===故A 正确； 对于B ：∵ ()2sin 22666f πππ⎛⎫=⨯+= ⎪⎝⎭，∴()f x 的图像关于直线6x π=对称，故B 正确；对于C ：∵ 5()2sin 22sin 13366f ππππ⎛⎫⎛⎫=⨯+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故()f x 的图像不经过点,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭，,03π⎛⎫⎪⎝⎭也不是其对称中心，故C 错误； 对于C ：由图像显然可以观察出，()f x 在区间(0,)π上有两个零点.也可以令()()00f x x π=<<，即2sin 206x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，解得：512x π=或1112π，故()f x 在区间(0,)π上有两个零点，故D 正确.故选：ABD 【点睛】三角函数问题通常需要把它化为“一角一名一次”的结构，即()sin y A x B ωϕ=++的结构：（1）画出图像，利用图像分析性质；（2）用t x ωϕ=+借助于sin y x =或cos y x =的性质解题.7．函数()cos |cos |f x x x =+，x ∈R 是（ ）A ．最小正周期是πB ．区间[0，1]上的减函数C ．图象关于点(k π，0)()k Z ∈对称D ．周期函数且图象有无数条对称轴 【答案】BD 【分析】根据绝对值的意义先求出分段函数的解析式，作出函数图象，利用函数性质与图象关系分别对函数的周期、单调区间、对称中心和对称轴进行判断求解. 【详解】2cos (22)22()30(22)22x k x k f x k x k ππππππππ⎧-+⎪⎪=⎨⎪+<≤+⎪⎩，则对应的图象如图：A 中由图象知函数的最小正周期为2π，故A 错误，B 中函数在[0,]2π上为减函数，故B 正确，C 中函数关于x k π=对称，故C 错误，D 中函数由无数条对称轴，且周期是2π，故D 正确 故正确的是B D 故选：BD【点睛】本题考查由有解析式的函数图象的性质. 有关函数图象识别问题的思路:①由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置； ②由函数的单调性，判断图象的变化趋势； ③由函数的奇偶性，判断图象的对称性； ④由函数的周期性，判断图象的循环往复．8．已知函数()()sin 22sin cos 644f x x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--++∈ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭R ，现给出下列四个命题，其中正确的是（ ）A ．函数()f x 的最小正周期为2πB ．函数()f xC ．函数()f x 在,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增 D ．将函数()f x 的图象向左平移512π个单位长度，得到的函数解析式为()()2g x x =【答案】BD 【分析】首先利用三角恒等变形化简函数()23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，再根据函数的性质依次判断选项，AB 选项根据解析式直接判断，C 选项可以先求23x π-的范围，再判断函数的单调性，D 选项根据平移规律直接求解平移后的解析式. 【详解】()12cos 2sin 222f x x x x π⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭132cos 2cos 22cos 222x x x x x =--=-23x π⎫⎛=- ⎪⎝⎭，函数()f x 的周期22T ππ==，故A 不正确；B.B 正确； C.,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，52,366x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，当52,362x πππ⎡⎤-∈--⎢⎥⎣⎦时函数单调递减，即,412x ππ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦时函数单调递减，,124x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，函数单调递增，故C 不正确；D. ()23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭向左平移512π个单位长度，得到()52221232g x x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-=+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故D 正确. 故选：BD 【点睛】思路点睛：本题考查()sin y A ωx φ=+的解析式和性质的判断，可以整体代入验证的方法判断函数性质：（1）对于函数()sin y A ωx φ=+，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心的横坐标一定是函数的零点，因此判断直线0x x =或点()0,0x 是否是函数的对称轴和对称中心时，可通过验证()0f x 的值进行判断；（2）判断某区间是否是函数的单调区间时，也可以求x ωϕ+的范围，验证此区间是否是函数sin y x =的增或减区间.二、数列多选题9．已知等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和0n S >，设2132n n n b a a ++=-，记{}n b 的前n 项和为n T ，则下列判断正确的是（ ） A ．若1q =，则n n T S = B ．若2q >，则n n T S > C ．若14q =-，则n n T S > D ．若34q =-，则n n T S > 【答案】BD 【分析】先求得q 的取值范围，根据q 的取值范围进行分类讨论，利用差比较法比较出n T 和n S 的大小关系. 【详解】由于{}n a 是等比数列，0n S >，所以110,0a S q =>≠， 当1q =时，10n S na =>，符合题意； 当1q ≠时，()1101n n a q S q-=>-，即101nq q ->-，上式等价于1010n q q ⎧->⎨->⎩①或1010n q q ⎧-<⎨-<⎩②.解②得1q >.解①，由于n 可能是奇数，也可能是偶数，所以()()1,00,1q ∈-.综上所述，q 的取值范围是()()1,00,-+∞.2213322n n n n b a a a q q ++⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，所以232n n T q q S ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以()2311222n n n n T S S q q S q q ⎛⎫⎛⎫-=⋅--=⋅+⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，而0n S >，且()()1,00,q ∈-⋃+∞.所以，当112q -<<-，或2q >时，0n n T S ->，即n n T S >，故BD 选项正确，C 选项错误. 当12(0)2q q -<<≠时，0n n T S -<，即n n T S <.当12q =-或2q 时，0,n n n n T S T S -==，A 选项错误.综上所述，正确的选项为BD.故选：BD【点睛】本小题主要考查等比数列的前n 项和公式，考查差比较法比较大小，考查化归与转化的数学思想方法，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题.10．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差为d .已知312a =，120S >，70a <则（ ）A ．60a >B ．数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是递增数列C ．0n S <时，n 的最小值为13D ．数列n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭中最小项为第7项 【答案】ACD【分析】由已知得()()612112712+12+220a a a a S ==>，又70a <，所以6>0a ，可判断A ；由已知得出2437d -<<-，且()12+3n a n d =-，得出[]1,6n ∈时，>0n a ，7n ≥时，0n a <，又()1112+3n a n d =-，可得出1na 在1,6n n N 上单调递增，1na 在7n n N ，上单调递增，可判断B ；由()313117713+12203213a a a S a ⨯==<=，可判断C ；判断 n a ，n S 的符号， n a 的单调性可判断D ；【详解】 由已知得311+212,122d a a a d ===-，()()612112712+12+220a a a a S ==>，又70a <，所以6>0a ，故A 正确；由7161671+612+40+512+3>0+2+1124+7>0a a d d a a d d a a a d d ==<⎧⎪==⎨⎪==⎩，解得2437d -<<-，又()()3+312+3n a n d n d a =-=-，当[]1,6n ∈时，>0n a ，7n ≥时，0n a <，又()1112+3n a n d=-，所以[]1,6n ∈时，1>0na ，7n ≥时，10n a <， 所以1n a 在1,6n n N 上单调递增，1n a 在7n n N ，上单调递增，所以数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭不是递增数列，故B 不正确； 由于()313117713+12203213a a a S a ⨯==<=，而120S >，所以0n S <时，n 的最小值为13，故C 选项正确 ；当[]1,6n ∈时，>0n a ，7n ≥时，0n a <，当[]1,12n ∈时，>0n S ，13n ≥时，0n S <，所以当[]7,12n ∈时，0n a <，>0n S ，0n n S a <，[]712n ∈，时，n a 为递增数列，n S 为正数且为递减数列，所以数列n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭中最小项为第7项，故D 正确； 【点睛】 本题考查等差数列的公差，项的符号，数列的单调性，数列的最值项，属于较难题.。

三角恒等式的证明练习三角恒等式是数学中常见的重要概念，用于表达三角函数之间的等式关系。

在解决三角函数相关问题时，恒等式的证明是关键一步。

本文将对三角恒等式的证明进行练习，并展示其中的推导过程。

一、基础恒等式证明1. 证明正弦函数的基础恒等式：sin²θ + cos²θ = 1首先，我们知道单位圆上的任意一点P(x, y)到原点的距离为1，根据勾股定理，可以得到公式 x² + y² = 1。

将点P的坐标表示为(x, y) = (cosθ, sinθ)，代入公式中得到cos²θ + sin²θ = 1，即为正弦函数的基础恒等式。

2. 证明余弦函数的基础恒等式：1 + tan²θ = sec²θ我们可以将余弦函数表示为cosθ = 1 / secθ，再将正切函数表示为tanθ = sinθ / cosθ，代入公式中得到1 + (sinθ / cosθ)² = (1 / cosθ)²，整理可得cos²θ + sin²θ = 1，等式左边即为正弦函数的基础恒等式。

二、三角恒等式的推导在基础恒等式的基础上，我们可以通过递推和换元等方法，进一步推导出其他的三角恒等式。

下面将以一些常见的三角恒等式为例进行推导。

1. 切比雪夫恒等式：cos(nθ) = Tn(cosθ)，其中Tn表示第n次切比雪夫多项式。

通过数学归纳法可以得到切比雪夫多项式的递推公式：Tn(cosθ) = 2cosθTn-1(cosθ) - Tn-2(cosθ)，其中T₀(cosθ) = 1，T₁(cosθ) = cosθ。

对于切比雪夫恒等式，我们可以使用递推公式进行推导。

2. 倍角恒等式：sin2θ = 2sinθcosθ，cos2θ = cos²θ - sin²θ倍角恒等式是三角恒等式中的一种重要形式，在解决一些特殊角度的三角函数计算时非常有用。

E B 1 2GCEG⎨⎩全等三角形证明过程训练（习题）例题示范例 1：已知：如图，在正方形 ABCD 中，AB =CB ，∠ABC =90°．E AD为正方形内一点，BE ⊥BF ，BE =BF ，EF 交 BC 于点 G ． 求证：AE =CF ．【思路分析】 A D ① 读题标注：BCF② 梳理思路： F要证 AE =CF ，可以把它们放在两个三角形中证全等．观察发现，放在△ABE 和△CBF 中进行证明． 要证全等，需要三组条件，其中必须有一组边相等． 由已知得，AB =CB ；BE =BF ；根据条件∠ABC =90°，BE ⊥BF ，推理可得∠1=∠2． 因此由 SAS 可证两三角形全等．【过程书写】（在演草部分先进行规划，然后书写过程） 证明：如图∵BE ⊥BF ∴∠EBF =90°∴∠2+∠EBC =90° ∵∠ABC =90°∴∠1+∠EBC =90° ∴∠1=∠2在△ABE 和△CBF 中⎧ A B = CB ⎪∠1 = ∠2 ⎪BE = BF （已知） （已证） （已知） ∴△ABE ≌△CBF （SAS ）∴AE =CF （全等三角形对应边相等）过程规划：1．准备不能直接用的条件： ∠1=∠22．证明△ABE ≌△CBF3．根据全等性质得，AE =CFE巩固练习1.如图，PD ⊥AB ，PE ⊥AC ，垂足分别为点 D ，E ，且 P D =PE ， 将上述条件标注在图中，易得 ≌ ， 从而 A D = ．ADB C第 1 题图 第 2 题图2.已知：如图，AB ⊥BD 于点 B ，CD ⊥BD 于点 D ，如果要使 △ABD ≌△CDB ，那么还需要添加一组条件， 这个条件可以是 ，理由是 ； 这个条件也可以是 ，理由是 ； 这个条件也可以是 ，理由是 ； 这个条件还可以是，理由是．3.已知：如图，C 为 BD 上一点，AC ⊥CE ，AC =CE ，∠ABC = ∠CDE =90°．若 A B =4，DE =2，则 B D 的长为 ．AC4.已知：如图，点 A ，E ，F ，B 在同一条直线上，CE ⊥AB 于点 E ，DF ⊥AB 于点 F ，BC =AD ，AE =BF ． 求证：△CEB ≌△DFA ．AC DF2 15.如图，点 C ，F 在 BE 上，∠1=∠2，BF =EC ，∠A =∠D ． 求证：△ABC ≌△DEF ．ADF6.已知：如图，点 A ，B ，C ，D 在同一条直线上，且 A C =BD ， BE ∥CF ，AE ∥DF ．求证：△ABE ≌△DCF ．过程规划：过程规划：EH7.已知：如图，在△ABC 中，AD ⊥BC ，CE ⊥AB ，垂足分别为 点 D ，E ，AD 与 C E 相交于点 H ，AE =CE ．A求证：AH =CB ．BDC思考小结1. 要证明边或者角相等，可以考虑边或者角所在的两个三角形；要证明三角形全等，需要准备 _组条件，其中 有一组必须是 相等．过程规划：2.阅读材料我们是怎么做几何题的？例 1：已知：如图，AB=AD，AC=AE，∠BAE=∠DAC．求证：∠B=∠D． EB 第一步：读题标注，把题目信息转移到图形上（请把条件标注在图上）第二步：分析特征走通思路 C A① 要求∠B=∠D，考虑放在两个三角形里面证全等，把∠B放在△ABC 中，把∠D 放在△ADE 中，只需要证明这两 D个三角形全等即可．② 要证明△ABC ≌△ADE ，需要找三组条件，由已知得AB=AD，AC=AE，还差一组条件，根据∠BAE=∠DAC，同时加上公共角∠CAE，可得∠BAC=∠DAE，利用 SAS 可得两个三角形全等．第三步：规划过程过程分成三块：① 由∠BAE=∠DAC，可得∠BAC=∠DAE；② 由SAS 得△ABC≌△ADE；③ 由全等得∠B=∠D．第四步：过程书写AB3 2 14 CD⎩⎨⎩ 【参考答案】 巩固练习1. Rt △ADP ，Rt △AEP ，AE2. AD =CB ，HLAB =CD ，SAS ∠A =∠C ，AAS∠ADB =∠CBD ，ASA 3. 64. 证明：如图，∵CE ⊥AB ，DF ⊥AB ∴∠CEB =∠DFA =90° ∵AE =BF∴AE +EF =BF +EF 即 AF =BE在 Rt △CEB 和 Rt △DFA 中 ⎧BC = AD （已知） ⎨BE = AF （已证） ∴Rt △CEB ≌Rt △DFA （HL ） 5. 证明：如图，∵BF =EC∴BF +FC =EC+FC 即 BC =EF在△ABC 和△DEF 中 ⎧∠A =∠∆ （已知） ⎪∠1 =∠2 （已知） ⎪BC = EF （已证） ∴△ABC ≌△DEF （AAS ） F6. 证明：如图，∵AC =BD∴AC -BC =BD -BC 即 AB =DC ∵BE ∥CF ∴∠1=∠2∵∠1+∠3=180°E3E4 H 21⎨ ⎩⎨ ⎩∠2+∠4=180° ∴∠3=∠4 ∵AE ∥DF ∴∠A =∠D在△ABE 和△DCF 中 ⎧∠3 =∠4 （已证） ⎪AB = DC （已证） ⎪∠A =∠∆ （已证） ∴△ABE ≌△DCF （ASA ） 7. 证明：如图，A∵AD ⊥BC ∴∠ADC =90° ∴∠1+∠2=90° ∵CE ⊥AB∴∠AEH =∠CEB =90° ∴∠3+∠4=90° ∵∠2=∠4 ∴∠1=∠3在△AEH 和△CEB 中⎧∠AEH =∠XEB （已证） ⎪AE = CE （已知） ⎪∠3 = ∠1 （已证） ∴△AEH ≌△CEB （ASA ）∴AH =CB （全等三角形对应边相等）思考小结1. 全等；3，边。

课 题三角恒等式证明专题 教学目标通过对三角函数的综合知识整理及复习达到熟练掌握基础知识，及灵活运用三角函数公式。

提高利用数型结合思想分析题意的能力， 重点、难点 三角函数图像及其性质，三角恒等式的证明考点及考试要求特点一:考小题,重在于基础.有关三角函数的小题,其考查的重点在于基础知识:其中,三角函数的解析式,图象和图象变换,两域(定义域,值域),四性(单调性,奇偶性,对称性,周期性),反函数, 以及简单的三角变换,(求值,化简,及比较大小),都突出了对三角函数基础知识的考查.特点二:考大题,难度略有降低.由于高中数学教材内容的重新修订,对三角函数的整体要求有所降低,体现在高考中对有关三角函数的大题(解答题),通过三角公式变形,转换等手段来考查学生思维能力的题目,其难度有所下降,而比较突出地考查了学生对基本知识,基本方法,基本技能的理解,掌握和应用情况.特点三:考应用,常融于三角形之中.高考中此类题型的考查既能考查解三角形的知识与方法,又能考查运用三角公式进行恒等变换的技能,故近年来备受命题者的青睐,主要解法是充分利用三角形的内角和定问题时,常常体现了三角的工具性作用。

教学内容知识框架 （1）公式的变形及应用运用三角函数公式的关键是熟记公式，我们不仅要记住公式，更重要的是抓住公式的特征，如角的关系，次数关系，三角函数名等抓住公式的结构特征对提高记忆公式的效率起到至关重要的作用，而且抓住了公式的结构特征，有利于在解题时观察分析题设和结论等三角函数式中所具有的相似性的结构特征，联想到相应的公式，从而找到解题的切入点。

（iii ）对公式的逆用公式，变形式也要熟悉，如:()()()()()()()()。

，，，βαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβααββαββα+=+++--+=++=-+=+++tan tan tan tan tan tan tan tan tan tan tan tan tan tan tan tan 1tan cos sin sin cos cos ，αααsin 22sin cos =22cos 1cos 2αα+=，22cos 1sin 2αα-=。