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（完整版）概率论习题答案随机变量的数字特征第3章随机变量的数字特征1，在下列句⼦中随机地取⼀单词，以X 表⽰取到的单词所包含的字母个数，试写出X 的分布律并求)(X E .“They found Peking greatly changed ”解：根据题意，有1/5的可能性取到5个单词中的任意⼀个。
它们的字母数分别为4，5，6，7，7。
所以分布律为5/29)77654(51)(=++++=X E .2，在上述句⼦的29个字母中随机地取⼀个字母，以Y 表⽰取到的字母所在的单词所包含的字母数，写出Y 的分布律并求)(Y E 。
解：５个单词字母数还是４，５，６，７，７。
这时，字母数更多的单词更有可能被取到。
分布律为29/175)147665544(291)(=?+?+?+?=Y E .3，在⼀批12台电视机中有2台是次品，若在其中随即地取3台，求取到的电视机中包含的次品数的数学期望。
解：根据古典概率公式，取到的电视机中包含的次品数分别为0，1，2台的概率分别为1163123100==C C p ， 229312210121==C C C p ， 221312110222==C C C p 。
所以取到的电视机中包含的次品数的数学期望为)(21222112290116台=?+?+?=E 。
4，抛⼀颗骰⼦，若得6点则可抛第⼆次，此时得分为6+（第⼆次所抛的点数），否则得分就是第⼀次所抛的点数，不能再抛。
求所得分数的分布律，并求得分的数学期望。
解：根据题意，有1/6的概率得分超过6，⽽且得分为7的概率为两个1/6的乘积（第⼀次6点，第2次1点），其余类似；有5/6的概率得分⼩于6。
分布律为得分的数学期望为)(1249)121110987(361)54321(61点=++++++++++=E 。
5，（1）已知)(~X λπ，}6{}5{===X P X P ，求)(X E 。
（2）设随机变量X 的分布律为Λ,4,3,2,1,6}{22--===k k k X P π，问X 的数学期望是否存在？解：（1）根据)(~X λπ，可得}6{!6!5}5{65=====--X P e e X P λλλλ，因此计算得到6=λ，即)6(~X π。
第三章、随机变量的数字特征一、选择题：1．设随机变量X 的分布函数为40,1(),011,1x F x x x x <⎧⎪=≤≤⎨⎪>⎩，则EX= （ C ）A ．140x dx ⎰ B ．15014x dx ⎰ C ．1404x dx ⎰ D ．1401x dx xdx +∞+⎰⎰2．设X 是随机变量，0x 是任意实数，EX 是X 的数学期望，则 （ B ）A ．220()()E X x E X EX -=-B ．220()()E X x E X EX -≥-C ．220()()E X x E X EX -<-D ．20()0E X x -=3．已知~(,)X B n p ，且EX=2.4，EX=1.44，则参数,n p 的值为 （ B ）A ．n = 4，p = 0.6B ．n = 6，p = 0.4C ．n = 8，p = 0.3D ．n = 24，p = 0.14．设X 是随机变量，且EX a =，2EX b =，c 为常数，则D （CX ）=（ C ）A ．2()c a b -B ．2()c b a -C ．22()c a b -D ．22()c b a -5．设随机变量X 在[a ，b ]上服从均匀分布，且EX=3，DX=4/3，则参数a ，b 的值为 （ B ）A ．a = 0，b = 6B ．a = 1，b = 5C ．a = 2，b = 4D ．a = -3，b = 36．设ξ服从指数分布()e λ，且D ξ=0.25，则λ的值为 （ A ）A ．2B ．1/2C ．4D ．1/47．设随机变量ξ~N （0，1），η=2ξ+1 ，则 η~ （ A ）A ．N （1，4）B ．N （0，1）C ．N （1，1）D ．N （1，2）8．设随机变量X 的方 差DX =2σ，则()D aX b += （ D ）A ．2a b σ+B ．22a b σ+C ．2a σD ．22a σ9．若随机变量X 的数学期望EX 存在，则[()]E E EX = （ B ）A ．0B ．EXC ．2()EXD ．3()EX10．若随机变量X 的方差DX 存在，则[()]D D DX = （ A ）A ．0B ．DXC ．2()DXD ．3()DX11．设随机变量X 满足D （10X ）=10，则DX= （ A ）A ．0.1B ．1C ．10D ．10012．已知1X ，2X ，3X 都在[0，2]上服从均匀分布，则123(32)E X X X -+= （ D ）A ．1B ．2C ．3D ．413．若1X 与2X 都服从参数为1泊松分布P （1），则12()E X X += （ B ）A ．1B ．2C ．3D ．414．若随机变量X 的数学期望与方差均存在，则 ( B )A ．0EX ≥B ．0DX ≥C ．2()EX DX ≤D ．2()EX DX ≥15．若随机变量2~(2,2)X N ，则1()2D X = （ A ）A ．1B ．2C ．1/2D ．316．若X 与Y 独立，且DX=6，DY=3，则D(2X-Y ）= （ D ）A ．9B ．15C ．21D ．2717．设DX = 4，DY = 1，XY ρ= 0.6，则D(2X-2Y) = （ C ）A ．40B ．34C ．25.6D ．17.618．设X 与Y 分别表示抛掷一枚硬币n 次时，出现正面与出现反面的次数，则XY ρ为（ B ）A ．1B ．-1C ．0D ．无法确定19．如果X 与Y 满足D(X+Y) = D(X-Y), 则 （ B ）A ．X 与Y 独立B ．XY ρ= 0C ．DX-DY = 0D ．D X DY=020．若随机变量X 与Y 的相关数XY ρ=0，则下列选项错误的是 （ A ）A ．X 与Y 必独立B ．X 与Y 必不相关C ．E (XY ) = E(X) EYD ．D (X+Y ) = DX+DY二、填空题：1. 设X 表示10次独立重复射击命中的次数，每次射击命中目标的概率为0.4，则2EX = 18.4 .2. 若随机变量X ~ B （n, p ），已知EX = 1.6，DX = 1.28，则参数n = 8 ，P = 0.2 .3. 若随机变量X 服从参数为p 的“0—1”分布，且DX = 2/9，21,92DX EX =<，则EX = 1/3 .4. 若随机变量X 在区间 [a , b]服从均匀分布，EX = 3，DX = 1/3，则a = 2 ,b = 4 .5. 若随机变量X 的数学期望与方差分别为EX = 2，DX = 4，则2EX = 8 .6. 若随机变量X 服从参数为λ泊松分布 ~()X P λ，且EX = 1，则DX = 1 .7. 若随机变量X 服从参数为λ指数分布~()X e λ，且EX = 1，则DX = 1 .8. 若随机变量X 服从参数为2与2σ的正态分布2~(2,)X N σ，且P{2 < X < 4} = 0.3, 则P{X<0} = 0.2 .9. 若X 是一随机变量，EX = 1，DX = 1，则D （2X - 3）= 4 .10. 若X 是一随机变量，D （10X ）= 10，则DX = 0.1 .11. 若X 是一随机变量，2(1)2X E -= 2，1(1)22X D -=，则EX = 2或—2 . 12. 若随机变量X 服从参数为n 与p 的二项分布X ~ B （n, p ），EX = 2.4，DX = 1.44，则{1}p X < = .13. 若随机变量X 服从参数为2与22的正态分布X ~ 2(2,2)N ，则1()2D X = . 14. 若随机变量X 服从参数为2指数分布X ~e （2），则2()E X X += 1 .15. 若随机变量X 的概率密度为 2,01()0,x x f x ≤≤⎧=⎨⎩其他，则EX = 2/3 ，DX = 1/18 . 16. 若随机变量X 的分布函数为300(),011,1y F x y y y <⎧⎪=<<⎨⎪>⎩， ，则EX = 3/4 .17. 若随机变量1X 与2X 都在区间 [0 ，2]上服从均匀分布，则12()E X X += 2 .18. 人的体重是随机变量X ，EX = a, DX = b, 10个人的平均重量记为Y ，则EY = a .19. 若X 与Y 独立，且DX = 6，DY = 3，则D （2X-Y ）= 21 .20. 若随机变量X 与Y 独立，则X 与Y 的相关系数为R （X ，Y ）= 0 。
随机变量的数字特征随机变量是概率论中的重要概念，描述了在一定概率分布下可能取得的不同取值。
在实际问题中，我们常常需要对随机变量的数字特征进行分析，以揭示其分布规律和潜在规律。
本文将介绍随机变量的数字特征及其应用。
1. 期望值期望值是描述随机变量平均取值的一个重要数字特征。
对于离散型随机变量，期望值的计算公式为：$$ E[X] = \\sum_{i} x_i \\cdot P(X = x_i) $$其中，X表示随机变量，x i为X可能取得的值，P(X=x i)为X取值为x i的概率。
对于连续型随机变量，期望值的计算公式为：$$ E[X] = \\int_{-\\infty}^{\\infty} x \\cdot f(x) dx $$其中，f(x)为X的概率密度函数。
2. 方差方差是描述随机变量取值分散程度的数字特征。
对于离散型随机变量，方差的计算公式为：Var[X]=E[(X−E[X])2]对应连续型随机变量的方差计算公式为：$$ Var[X] = \\int_{-\\infty}^{\\infty} (x - E[X])^2 \\cdot f(x) dx $$3. 协方差协方差描述了两个随机变量之间的线性相关性。
对于两个随机变量X和Y，其协方差的计算公式为：Cov[X,Y]=E[(X−E[X])(Y−E[Y])]协方差的正负值表示了两个随机变量的相关性程度，当协方差为正时，表示两个随机变量正相关，为负时表示负相关。
4. 相关系数相关系数是协方差标准化后的结果，用以衡量两个随机变量之间的线性相关性强弱。
相关系数的计算公式为：$$ \\rho_{X,Y} = \\frac{Cov[X,Y]}{\\sigma_X \\cdot \\sigma_Y} $$其中，$\\sigma_X$和$\\sigma_Y$分别为X和Y的标准差。
相关系数的取值范围在-1到1之间，绝对值越接近1表示相关性越强。
5. 大数定律大数定律是概率论中的一个重要定理，指出在独立重复试验中，随着试验次数的增多，样本平均值将趋近于总体期望值。
第三章 随机变量的数字特征第一节 数学期望一、选择1. 掷6颗骰子，令X 为6颗骰子的点数之和，则()E X =（ D ）（A ）42 （B ）21/2 （C ）7/2 （D ） 212. 对离散型随机变量X ，若有()k k P X x p == (1,2,3,)k = ，则当（ B ）时，1k k k x p ∞=∑称为X 的数学期望。
（A ）1k k k x p ∞=∑收敛 （B ）1k k k x p ∞=∑收敛 （C ）{}k x 为有界函数 （D ）lim 0k k k x p →∞=二、填空1. 设随机变量X 的概率密度为1,10,()1,01,0,x x f x x x +-≤≤⎧⎪=-<≤⎨⎪⎩其它，则()E X= 0 。
2. 设连续型随机变量X 的概率密度为,01,()0,,kx x f x α⎧<<=⎨⎩其它 其中,0k α>，又已知()0.75E X=，则k = 3 ，α= 2 。
三、简答题1.把4个球随机地放入4个盒子中去，设X 表示空盒子的个数，求()E X 。
解： ()44460464A P X ===，()1234434361464C C A P X ===()2444(22)212464C P X -===，()34413464C P X ===所以 ()6362118101236464646464E X =⨯+⨯+⨯+⨯=2.设(,)X Y 的联合概率密度为212,01,(,)0,y y x f x y ⎧≤≤≤=⎨⎩其它，，求()(),E X E Y 。
解：()12014(,)125xy x E X xf x y dxdy xdx y dy ≤≤≤===⎰⎰⎰⎰，同理()35E Y =。
第二节 随机变量函数的数学期望一、填空1. 设随机变量X 服从参数为1的指数分布，则数学期望()2X E X e -+=4/3。
2. 设随机变量X 服从二项分布(3,0.4)B ，则()2E X= 2.16 。
二、简答题1.设随机变量X 和Y 相互独立，概率密度分别为 ,0,()0,0,x X e x f x x -⎧>=⎨≤⎩ ,0,()0,0,y Y e y f y y -⎧>=⎨≤⎩ 求随机变量函数Z X Y =+的数学期望。
解：因为X 和Y 相互独立，所以,0,0,(,)()()0,,x y X Y e x y f x y f x f y --⎧>>==⎨⎩其它()()0()x yE Z E X Y x y edxdy +∞+∞--=+=+⎰⎰xyxyxe dx e dy e dx yedy +∞+∞+∞+∞----=+⎰⎰⎰⎰112=+=。
2.按季节出售某种应时商品，每售出1 kg 获利润6元,如到季末尚有剩余商品，则每kg 净亏损2元，设某商店在季节内这种商品的销售量X （以kg 计）是一随机变量，X 在区间()8,16内服从均匀分布，为使商店所获得利润最大，问商品应进多少货？解： 设t 表示进货量，易知应取816t <<，进货t 所得利润记为()t W X ，且有 62(),8,()()6,16,()t X t X X t W X t t X --<<⎧=⎨<<⎩有积压，无积压 利润()t W X 是随机变量，如何获得最大利润？自然取“平均利润”的最大值，即求t 使得[]()t E W X 最大。
X 的概率密度为1,016,(,)80,x f x y ⎧<<⎪=⎨⎪⎩其它， []1681()()()()8t t t E W X W x f x dx W x dx +∞-∞==⎰⎰[]16821162()68814322ttx t x dx tdxtt =--+=--⎰⎰令[]()140,t d W X t dt=-= 得 14t =。
而[]22()10,t d E W X dt=-<故知当14t =时，[]()t E W X 取得极大值，且可知这也是最大值。
所以，进货14kg 时平均利润最大。
第三节 关于数学期望的定理一、填空1. 已知离散型随机变量X 服从参数为2的泊松分布22(),0,1,2,,!k k eP X x k k -===则随机变量32Z X =-的数学期望()E Z = 4 。
2. 设X 服从泊松分布，已知[](1)(2)1E X X --=，则()E X = 1 。
3.设X 表示10次独立重复射击命中目标的次数，，每次射中目标的概率为0.4，则2X 的数学期望()2E X= 18.4 。
二、简答题1. 设(,)X Y 在A 上服从均匀分布，其中A 为x 轴，y 轴及直线10x y ++=所围成的区域，求()32E X Y -+。
解：因为A 的面积为12，所以(,)X Y 的概率密度为2,10,10,(,)0,x y f x y -<<-<<⎧=⎨⎩其它， 31)23(31)(31)(=+--=-=Y X E Y E X E2.一民航送客车载有20位旅客自机场开出，旅客有10个车站可以下车，如到达一个车站没有旅客下车就不停车，以X 表示停车的次数，求()E X 。
（设每位旅客在各个车站下车是等可能的，并设旅客是否下车相互独立） 解： 引入随机变量0,1,i i X i ⎧=⎨⎩在第站没有人下车，在第站有人下车，，i =1,2,,10.易知1210X X X X =+++ ，现在来求()E X 。
按照题意，{}209010i P X ⎛⎫== ⎪⎝⎭{}2091110i P X ⎛⎫==- ⎪⎝⎭所以()2091,1,2,,1010i E X i ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭进而 ()()20121091018.78410E X E X X X ⎡⎤⎛⎫=+++=-=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦第四节 方差与标准差二、选择1. 对于任意两个随机变量X 和Y ，若()()()E XY E X E Y =，则（ B ）（A ）()()()D XY D X D Y = （B ）()()()D X Y D X D Y +=+（C ）X 和Y 独立 （D ）X 和Y 不独立 2. 设两个相互独立的随机变量X 和Y 的方差分别是4和2，则随机变量32X Y -的方差是（ D ） 。
（A ）8 （B ）16 （C ）28 （D ）44 3. 设随机变量ξ和η相互独立,又25X ξ=+，38Y η=-，则下列结论不正确的是（ B ）（A ）()4()9()D X Y D D ξη+=+ （B ）()4()9()D X Y D D ξη-=- （C ）()()()E X Y E X E Y +=+ （D ）()()()E XY E X E Y =二、填空1. 设随机变量X 在区间[]1,2-上服从均匀分布，随机变量1,0,0,0,1,0X Y X X >⎧⎪==⎨⎪-<⎩， 则方差()D Y =8/9。
2. 设X 是一随机变量, ()1E X =，[](1)4E X X -=， 则()D X = 4 。
三、简答题1. 设(,)X Y 的联合概率密度为215,01,(,)0,xy y x f x y ⎧≤≤≤=⎨⎩其它，，求()D X 。
解：()1225(,)156xE X xf x y dxdy x dx y dy +∞+∞-∞-∞===⎰⎰⎰⎰， ()122325(,)157xE Xx f x y dxdy x dx y dy +∞+∞-∞-∞===⎰⎰⎰⎰，()()()225255736252D XE XE X =-=-=⎡⎤⎣⎦。
第五节 某些常用分布的数学期望与方差三、选择1. 设X 服从 （ C ）分布，则()()E X D X =。
（A ） 正态 （B ） 指数 （C ）泊松 （D ）二项2. 已知X 服从二项分布，且() 2.4E X =，() 1.44D X =，则二项分布的参数为（ B ）（A ）4,0.6n p == （B ）6,0.4n p ==（C ）8,0.3n p == （D ）24,0.1n p == 二、填空1. 已知随机变量X 在[]0,2上服从均匀分布，则 ()2E X=4/3 .2. 设()()12P X P X ===，且X 服从参数为λ的泊松分布，则()E X = 2()D X = 2 。
三、简答题1. 设二维随机变量(,)X Y 在区域:01,R x y x <<<内服从均匀分布，试求 （1）X 的边缘概率密度；（2）随机变量函数21Z X =+的方差()D Z 。
解：因为区域R 的面积为1，所以(,)X Y 的联合概率密度为1,01,,(,)0,x y x f x y ⎧<<<⎪=⎨⎪⎩其它，（1）当0x <或1x >时，()0X f x =，当01x ≤≤时，()2x X xf x dx x -==⎰，所以X 的边缘概率密度为2,01,()0,X x x f x ≤≤⎧=⎨⎩其它。
（2）()10223E X x xdx ==⎰，()122122E Xx xdx ==⎰()()()2222144()(())9D Z D X D XE X E X ⎡⎤=+==-=⎣⎦第四章 正态分布第一节 正态分布的概率密度与分布函数四、选择1. 设),(~2σμN X ,那么当σ增大时，则)(σμ<-X P （ C ） (A) 增大 (B) 减少 (C) 不变 (D) 增减不定2. 随机变量~(,1),X N μ且{2}{2},P X P X >=≤则μ=（ B ） (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4二、填空1. 设随机变量),100(~2σN X ,且3085.0)103(=>X P ,则=<<)10397(X P 0.383 2.设随机变量),50(~2σN X ,且6826.0)5347(=<<X P ,则=>)53(X P 0.1587三、计算题1. 某地区的月降水量X （单位：mm ）服从正态分布)4,40(2N ,试求该地区连续10个月降水量都不超过50mm 的概率.9396.09938.010Y P 9938.010B Y mm 50Y 10mm 50109938.0)5.2()44050440P )50P A P mm 50A 10＝）＝＝（），（～的月数”，则过＝“该地区降水量不超设天贝努利试验，相当做超过个月该地区降水量是否观察（（）＝（”＝“某月降水量不超过解：设==-≤-=≤φx x第二节 正态分布的数字特征一、选择1. 设随机变量X 与Y 独立，)4.0,10(~,)2.0,10(~B Y B X ，则=+)2(Y X E （ D ） (A) 6 (B) 4 (C) 10 (D) 8二、填空___2______;1____e1)(.1122的方差为的数学期望为则，的概率密度函数为已知连续型随机变量X X x f X x x -+-=π.___2___))21(,0(,.22π=--Y X E Y X N Y X 的数学期望则随机变量的随机变量，正态分布是两个相互独立且服从设三、计算题.d )(d )()2(;)1(e61)(.16442c x x p x x p DX EX x x p X cc x x ，求常数若已知，求，的概率密度函数为已知连续型随机变量⎰⎰∞+∞-+--=+∞<<∞-=π.203221)32()32(1)32()32(12132321)()32(2132321)()2(3)(,2)(),3,2(~32161)()1(32232)2(23232)2(32)2(644222222==-=-Φ-Φ-=-Φ-Φ-=-==-Φ=-======⎰⎰⎰⎰⎰⎰∞+--∞+⨯--∞+--∞-∞-⨯--∞-⨯--+--c c c c c c dt ex t dx e dx x P c dt ex t dx edx x P X D X E N X eex P c tcx ctc c x c x x x 所以，，从而，知所以，得从而，知所以，由于解ππππππ第三节 二维正态分布一、计算题1.已知矢径OP 的终点的坐标为),(Y X 服从二维正态分布 22221),(y x e y x f +-=π求矢径OP 的长度OP Z =的概率密度 解 22YXOP Z +==)()()(22z YXP z Z P z F Z ≤+=≤=当0≤z 时，显然有0)(=z F Z ；当0>z 时dxdye z F y x zy x Z 2222221)(+≤+-=⎰⎰π.121222022zrzedr red ---==⎰⎰πθπ所以，Z 的分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧≤>-=-.0,0;0,1)(22z z e z F zZ对z 求导数，即得Z 的概率密度⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-.0,0;0,)(22z z zez f z Z 第四节 正态随机变量的线性函数的分布一、选择1.设X ，Y 是相互独立的随机变量，且),(~,),(~222211σμσμN Y N X ，则下列结论正确的是（B ）(A ))(,(~22121σσμμ+++N Y X (B)),(~222121σσμμ+++N Y X (C)))(,(~22121σσμμ---N Y X (D)),(~222121σσμμ---N Y X{}{}212121212122,)D (,)C (,)B (,)A ()(,5,4);5,(~),4,(~,.2p p p p p p p p A Y P p X P p N Y N X Y X >=<=-≥=-≤=都有对任何实数才有的个别值只对都有对任何实数都有对任何实数则记均服从正态分布与设随机变量μμμμμμμμ二、填空1.设随机变量X 与Y 独立，且)2,1(~,)1,0(~2N Y N X ，则32+-=Y X Z 的概率密度为+∞<<-∞=--z ez f z z ,41)(16)2(2π2.设随机变量X 与Y 独立，且)1,1(~,)1,0(~N Y N X ，则)1(≤+Y X P = 0.5.___21___,21}1{).21,(.3＝则如果分布相互独立且都服从正态与已知随机变量μμ=≤+Y X P N Y X第五节 中心极限定理一、填空____21___}2)({2.1≤≥-X E X P X 式有估计，则根据切比雪夫不等的方差为设随机变量二、计算题1.已知一本书有500页，每一页的印刷错误的个数服从泊松分布)2.0(P .各页有没有错误是相互独立的，求这本书的错误个数多于88个的概率.((1.2)0.8849Φ=) 解：设i X 表示第i 页上的错误个数，)500,2,1(， =i 则)2.0(~P X i ，因此2.0)(,2.0)(==i i X D X E )500,2,1(， =i设X 表示这本书上的错误总数，由列维中心极限定理知)100,100(~5001N X X i i ∑==因此{}{}10012881881(1.2)0.884910X P X P X P --⎫>=-≤=-≤=Φ=⎬⎭2.某保险公司多年的统计资料表明，在索赔户中被盗索赔户占20%，以X 表示在随意抽查的100个索赔户中因被盗向保险公司索赔的户数.求被盗索赔户不小于14户且不多于30户的概率近似值. ( 利用棣莫弗--拉普拉斯定理近似计算. 933.0)5.1(,994.0)5.2(=Φ=Φ )解: ）（2.0,100~B X ， 因为 100=n 较大,所以X 近似服从正态分布. 20=np , 16=npq . (p q -=1) ）（）（42014)42030(3014-Φ--Φ=≤≤X P )5.1)5.2(-Φ-Φ=（927.0)933.01(994.0=--=3.某品牌家电三年内发生故障的概率为0.2,且各家电质量相互独立.某代理商发售了一批此品牌家电,三年到期时进行跟踪调查：（1）抽查了四个家电用户,求至多只有一台家电发生故障的概率； （2）抽查了100个家电用户,求发生故障的家电数不小于25的概率( (2)利用棣莫弗---拉普拉斯定理近似计算. 8944.0)25.1(=Φ )解:设X 表示发生故障的家电数,则 (1) ）（2.0,4~B X）（1≤X P =）（0=X P +）（1=X P=48.0+8192.08.02.0314=⨯⨯C(2) ）（2.0,100~B X ， 因为 100=n 较大,所以X 近似服从正态分布. 20=np , 16=npq . (p q -=1) ）（）（420251)25(125-Φ-=≤-=≥X P X P )25.11（Φ-=1056.08944.01=-=。
