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【最新】数学《不等式选讲》期末复习知识要点一、141．已知不等式()222cos 54sin 0m m θθ+-+≥恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A ．04m ≤≤ B ．14m ≤≤C ．4m ≥或0m ≤D ．m 1≥或0m ≤【答案】C 【解析】试题分析：原不等式可转化为, 令，所以所以在上恒成立所以，，解得4m ≥或0m ≤.考点：不等式的恒成立问题.2．设集合{}1,R A x x a x =-<∈，{}15,R B x x x =<<∈．若A B =∅I ，则实数a 的取值范围是（）A ．{}06a a ≤≤B ．{}64a a a ≤≥或C ．{}06a a a ≤≥或D ．{}24a a ≤≤【答案】C 【解析】 【分析】根据公式()0x a a a x a <>⇔-<<解出集合A ，再根据交集的运算即可列出关系式，求解即可。
【详解】由111x a x a -<⇔-<-<，解得11a x a -<<+，因为A B =∅I ， 所以11a +≤或15a -≥，解得0a ≤或6a ≥，即实数a 的取值范围是{}06a a a ≤≥或，故选：C. 【点睛】本题主要考查集合的交集运算应用以及绝对值不等式的解法。
3．若不等式23x a x -≤+对任意[]0,2x ∈恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．()1,3- B ．[]1,3-C ．()1,3D ．[]1,3【答案】B 【解析】 【分析】将不等式去掉绝对值符号，然后变量分离转为求函数的最值问题. 【详解】不等式23x a x -≤+去掉绝对值符号得323x x a x --≤-≤+， 即3223x x ax a x --≤-⎧⎨-≤+⎩对任意[]0,2x ∈恒成立，变量分离得333a x a x ≤+⎧⎨≥-⎩，只需min max (33)(3)a x a x ≤+⎧⎨≥-⎩，即31a a ≤⎧⎨≥-⎩所以a 的取值范围是[]1,3- 故选：B 【点睛】本题考查绝对值不等式的解法和恒成立问题的处理方法，属于基础题.4．不等式2124x x a a +--≥-的解集为R ，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(][),13,-∞+∞U B ．()(),13,-∞⋃+∞ C ．[]1,3 D ．()1,3【答案】C 【解析】 【分析】令()12f x x x =+--，通过对x 的取值范围的讨论，去掉绝对值符号，可求得()min 3f x =，依题意，即可求得实数a 的取值范围.【详解】令()12f x x x =+--，当1x <-时，()()123f x x x =----+=-；当12x -≤≤时，()()[]12213,3f x x x x =+--+=-∈-； 当2x >时，()()123f x x x =+--=； ∴()min 3f x =-.∵不等式2124x x a a +--≥-的解集为R ， ∴()2min 43a a f x -≤=-，即实数a 的取值范围是[]1,3.故选C. 【点睛】本题考查绝对值不等式的解法，考查函数恒成立问题，解题方法是转化为求函数最值，然后解不等式．5．若函数()(0)1af x ax a x =+>-在(1,)+∞上的最小值为15，函数()1=+++g x x a x ,则函数()g x 的最小值为（ ）.A ．2B ．6C ．4D ．1【答案】C 【解析】 【分析】当1x >，0a >时，由基本不等式可得()3≥f x a ，又()f x 最小值为15，可得出5a =，再由绝对值三角不等式()()()g =5151=4+++≥+-+x x x x x ，即可得出结果. 【详解】当1x >，0a >时，()()111=+=+-+--a a f x ax a x a x x≥a 3=a ，当且仅当2x =时等号成立，由题可得315a =，即5a =，所以()1=+++g x x a x ()()=5151=4+++≥+-+x x x x ，当且仅当()()510++≤x x 即51x -≤≤-时等号成立，所以函数()g x 的最小值为4.故选：C 【点睛】本题主要考查基本不等式：)0,0a b ab +?>，当且仅当a b =时等号成立，绝对值的三角不等式： +≥-a b a b ，当且仅当0ab ≤时等号成立.6．设2sin1sin 2sin 222n n na =++⋅⋅⋅+，对任意正整数m 、n （m >n ）都成立的是（ ）. A ．12n m m a a -< B ．12n m m a a ->C ．12n m n a a -<D ．12n m n a a ->【答案】C 【解析】 【分析】先作差，再根据三角函数有界性放缩，进而根据等比数列求和确定选项. 【详解】212sin1sin 2sin sin(1)sin(2)sin 222222n m n n n n mn n n ma a a ++++=++⋅⋅⋅+∴-=++⋅⋅⋅+Q 12sin(1)sin(2)sin ||||222m n n n mn n ma a ++++∴-=++⋅⋅⋅+ 12sin(1)sin(2)sin ||||||222n n mn n m ++++≤++⋅⋅⋅+11211(1)11111122122222212n m n n n m n m n +-++-≤++⋅⋅⋅+==-<- 故选：C 【点睛】本题考查三角函数有界性、等比数列求和以及放缩法，考查综合分析求解与论证能力，属中档题.7．关于x 不等式2x x a a -+-≥在R 上恒成立，则实数a 的最大值是 A ．0 B ．1C ．－1D ．2【答案】B 【解析】由于|x －2|＋|x －a |≥|a －2|，∴等价于|a －2|≥a ，即a ≤1.故实数a 的最大值为1.8．2018年9月24日，英国数学家.M F 阿帝亚爵在“海德堡论坛”展示了他“证明”黎曼猜想的过程，引起数学界震动，黎曼猜想来源于一些特殊数列求和，记222111123S n =+++++L L ，则（ ） A ．413S << B ．4332S << C ．322S << D ．2S >【答案】C 【解析】 【分析】由题意，可知21111111(2,)1(1)(1)1n n N n n n n n n n n n+-=<<=-≥∈++--，利用放缩法和极限，即可得到答案. 【详解】由题意，可知21111111(2,)1(1)(1)1n n N n n n n n n n n n+-=<<=-≥∈++--， 所以2221111111113111()()()232334121n S n n n n =+++++>+-+-++-=-++L L L22211111111111(1)()()2232231n S n n n nL L =++++<+-+-++-=--， 当n →+∞且n N +∈时，101n →+，且10n →，所以322S <<，故选C. 【点睛】本题主要考查了数列思想的应用问题，其中解答中，认真审题，利用21n 进行合理放缩，再利用极限求解是解答本题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及放缩思想的应用，属于中档试题.9．已知函数()f x 是定义在[1,2]a a -上的偶函数,且当0x >时,()f x 单调递增，则关于x 的不等式(1)()f x f a ->的解集为 （ ） A ．45[,)33B ．2112(,][,)3333--⋃ C ．12[,)33⋃45(,]33D ．随a 的值而变化【答案】C 【解析】试题分析：∵函数()f x 是定义在[1,2]a a -上的偶函数，∴1-a=2a ，∴a=13，故函数()f x 的定义的定义域为22[,]33-，又当203x <≤时,()f x 单调递增，∴11113(1)()(1)(){23313x f x f f x f x ->->⇔->⇔-≤，解得1233x ≤<或4533x <≤，所以不等式(1)()f x f a ->的解集为12[,)33⋃45(,]33，故选C考点：本题考查了抽象函数的运用点评：此类问题往往利用偶函数的性质()()f x f x =避免了讨论，要注意灵活运用10．已知集合{}|11A x x =-<，1|10B x x ⎧⎫=-≥⎨⎬⎩⎭，则A B =∩（ ） A ．{}|12x x ≤< B ．{}|02x x << C ．{}|01x x <≤ D ．{}|01x x <<【答案】A1111102x x x -<⇔-<-<⇔<<，()1011100{0x x x x x x -≥--≥⇒≥⇒≠，解得0,1x x <≥，故[)1,2A B ⋂=.点睛：本题主要考查绝对值不等式的解法，考查分式不等式的解法，考查集合交集等知识.解含有一个绝对值不等式，只需要按照口诀“大于在两边，小于在中间”来解即可.解分式不等式主要方法就是通过通分后，转化为整式不等式来求解，在转化的过程中要注意分母不为零这个特殊情况.11．已知数列{}n a ，{}n b 满足11132n n n a a b +=+，11132n n n b a b +=-.设数列{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为n S ，n T ，则存在正常数M ，对任意*n N ∈都有（ ） A ．n S M <且n T M > B ．n S M <且n T M < C ．n S M >且n T M < D ．n S M >且n T M >【答案】B 【解析】 【分析】设{}max ,n n n c a b =，则0n c ≥，根据三角不等式结合已知可得115566n nn n a c b c ++≤≤，进而有156n n c c +≤，求出{}n c 的前n 项和的范围，即可求出结论.【详解】设{}max ,n n n c a b =，则0n c ≥，由三角不等式可知11111532326n n n n n n a a b a b c +=+≤+≤， 11111532326n n n n n n b a b a b c +=-≤+≤， 所以156n n c c +≤，设{}n c 的前n 项和为n H ， 若0n c =时，则0n n n S T H ===， 存在0M >，使得n n S T M =<，若0n c ≠时，则156n n c c +≤，115[1()]66516nn c H c -≤<-， 取16M c =，,n n S M T M ∴<<.【点睛】本题考查数列的前n 项和，构造数列转化为等比数列是解题的关键，作为选择题或直接取0,0n n a b ==即可得出答案，要注意特殊方法的选取，属于中档题.12．不等式222log 2log x x x x -<+的解集为（ ） A ．()1,2 B ．()0,1C ．()1,+∞D ．()2,+∞【答案】C 【解析】 【分析】由题意得出0x >，分2log 0x >和2log 0x ≤两种情况讨论，结合222log 2log x x x x -<+可得出2log 0x >，解出该不等式即可.【详解】由题意得出0x >，当2log 0x ≤时，则222log 2log x x x x -=+. 当2log 0x >时，222log 2log x x x x -<+，解不等式2log 0x >得1x >. 因此，不等式222log 2log x x x x -<+的解集为()1,+∞. 故选：C. 【点睛】本题考查绝对值不等式的求解，同时也考查绝对值三角不等式的应用，考查推理能力与运算求解能力，属于中等题.13．已知()()31f x x x R =+∈，若()4f x a -<的充分条件是()1,0x b a b -<>，则a 、b 之间的关系是（ ）A ．3b a ≤B ．3a b ≤C ．3a b >D ．3b a >【答案】B 【解析】 【分析】解出不等式()4f x a -<和1x b -<，根据题中充分条件关系得出两解集之间的包含关系，然后得出不等式组，即可得出a 、b 之间的关系. 【详解】()31f x x =+Q ，且0a >，0b >，解不等式()4f x a -<，即33x a -<，解得1133a a x -<<+， 解不等式1xb -<，得11b x b -<<+.由于()4f x a -<的充分条件是1x b -<，则()1,11,133a a b b ⎛⎫-+⊆-+ ⎪⎝⎭， 113113a b ab ⎧-≥-⎪⎪∴⎨⎪+≤+⎪⎩，可得3a b ≤.故选：B. 【点睛】本题考查绝对值不等式的求解，同时也考查了利用充分条件关系求参数之间的关系，一般转化为集合的包含关系来处理，考查化归与转化思想的应用，属于中等题.14．设全集U =R ，已知23{|0}2x A x x +=>-，{||1|2}B x x =-<，则()U A B =I ð（ ） A ．3(,1)2-- B ．(12]-， C ．(23]， D ．[2)3，【答案】B 【解析】 【分析】解分式不等式求得集合A ，由此求得U A ð，解绝对值不等式求得集合B ，由此求得()U A B I ð.【详解】由A 中不等式变形得：()()2320x x +->， 解得：32x <-或2x >，即3,(2,)2A ⎛⎫=-∞-+∞ ⎪⎝⎭U ，∴U 3A ,22⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦ð，由B 中不等式变形得：212x -<-<，解得：13x -<<，即1()3B =-，， ∴()(]12U A B =-I ，ð， 故选：B ． 【点睛】本小题主要考查集合交集交集、补集的概念和运算，考查分式不等式、绝对值不等式的解法，属于基础题.15．已知函数()f x 是R 上的增函数，它的图像经过点()0,2A -，()3,2B，则不等式()2f x ≥的解集为（ ）A ．[]0,3B ．(),3-∞C ．[)3,+∞D ．(][),03,-∞⋃+∞【答案】D 【解析】 【分析】首先不等式等价于()2f x ≥或()2f x ≤-，然后再根据函数的单调性解不等式. 【详解】不等式()()22f x f x ≥⇒≥或()2f x ≤-Q 函数()f x 是R 上的增函数，它的图像经过点()0,2A -，()3,2B ，()23f x x ∴≥⇒≥，()20f x x ≤-⇒≤∴不等式的解集是(][),03,-∞⋃+∞.故选：D 【点睛】本题考查根据函数的单调性解不等式，意在考查含绝对值不等的解法，考查基本计算能力，属于基础题型.16．“31a -<<”是“存在x ∈R ，使得|||1|2x a x -++<”的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既非充分又非必要条件【答案】C 【解析】 【分析】设:31p a -<<，1:,|||2x R x a x q ∃∈-++<，考虑命题“若p 则q ”及其逆命题的真假后可得两者之间的条件关系. 【详解】设:31p a -<<，||:|1|2q x a x -++<，当31a -<<时，|||1|1x a x a -++≥+总成立，而12a +<， 故|||1|2x a x -++<在R 上有解，故,|||1|2x R x a x ∃∈-++<， 所以“若p 则q ”为真命题.若,|||1|2x R x a x ∃∈-++<，则()min21x a x >-++，由绝对值不等式可知11x a x a -++≥+，当且仅当()()10x a x --≤时等号成立， 所以1x a x -++的最小值为1a +，故21a >-即31a -<<，所以“若q 则p ”为真命题.综上，“31a -<<”是“存在x ∈R ，使得|||1|2x a x -++<”的充要条件. 故选：C.【点睛】充分性与必要性的判断，可以依据命题的真假来判断，若“若p 则q ”是真命题，“若q 则p ”是假命题，则p 是q 的充分不必要条件；若“若p 则q ”是真命题，“若q 则p ”是真命题，则p 是q 的充分必要条件；若“若p 则q ”是假命题，“若q 则p ”是真命题，则p 是q 的必要不充分条件；若“若p 则q ”是假命题，“若q 则p ”是假命题，则p 是q 的既不充分也不必要条件.17．不等式230x x -<的解集为（ ）A ．{}03x x << B ．{}3003x x x -<<<<或C ．{}30x x -<<D ．{}33x x -<<【答案】B 【解析】 【分析】将不等式表示为230x x -<，得出03x <<，再解该不等式可得出解集. 【详解】将原不等式表示为230x x -<，解得03x <<，解该不等式可得30x -<<或03x <<.因此，不等式230x x -<的解集为{}3003x x x -<<<<或，故选：B.【点睛】本题考查二次不等式的解法与绝对值不等式的解法，考查运算求解能力，属于中等题.18．曲线312ln 3y x x =+上任意一点处的切线斜率的最小值为（ ） A ．3 B ．2 C ．32D ．1【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，求导后结合基本不等式，即可求出切线斜率3k ≥，即可得出答案. 【详解】 解：由于312ln 3y x x =+，根据导数的几何意义得：()()2221130k f x x x x x x x '==+=++≥=>， 即切线斜率3k ≥， 当且仅当1x =等号成立，所以312ln 3y x x =+上任意一点处的切线斜率的最小值为3. 故选：A.【点睛】 本题考查导数的几何意义的应用以及运用基本不等式求最值，考查计算能力.19．已知x+3y+5z=6,则x 2+y 2+z 2的最小值为( )A ．65B ．635 C ．3635 D ．6【答案】C【解析】【分析】由题意结合柯西不等式的结论求解x 2+y 2+z 2的最小值即可.【详解】由柯西不等式,得：x 2+y 2+z 2=(12+32+52)(x 2+y 2+z 22221)135++ ≥(1×x+3×y+5×z )2135⨯=26136.3535⨯= 当且仅当x 6186,,35357y z ===时等号成立. 即x 2+y 2+z 2的最小值为3635. 本题选择C 选项.【点睛】根据题目特征，想到利用向量方法或利用柯西不等式想法比较自然.利用柯西不等式代数形式及其向量形式解题的方法是一致的.选择哪种方法进行解题，可能会因解题者的知识解构、思维特征及对问题与方法的熟悉程度做出选择.20．设a ＞0，b ＞0，且ab －(a ＋b)≥1，则( )A ．a ＋＋1)B ．a ＋＋1C ．a －1)2D ．a ＋b ＞＋1)【答案】A【解析】【分析】2a b +.所以ab≤14 (a ＋b)2,所以14(a ＋b)2－(a ＋b)≥ab －(a ＋b)≥1，再解不等式 (a ＋b) 2－4(a ＋b)－4≥0得解.【详解】2a b .所以ab≤14 (a ＋b)2. 所以14(a ＋b)2－(a ＋b)≥ab －(a ＋b)≥1. 所以(a ＋b) 2－4(a ＋b)－4≥0.因为a ＞0，b ＞0，所以a ＋b≥2＋故答案为：A【点睛】本题主要考查基本不等式和不等式的解法，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.。
高三数学不等式选讲复习资料
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1.理解绝对值的几何意义，并能利用含绝对值不等式的几何意义证明以下不等式
(1)|a＋b|≤|a|＋|b|；
(2)|a－b|≤|a－c||＋|c－b|
(3)会利用绝对值的.几何意义求解以下类型的不等式：
|ax＋b|≤c，|ax＋b|≥c；|x－c|＋|x－b|≤a
2．了解柯西不等式的不同形式，理解他们的几何意义，并会证明
(1)柯西不等式向量形式：|α||β|≥|α·β|
(2) x1－x2 2＋ y1－y2 2＋ x2－x3 2＋ y2－y3 2
≥ x1－x3 2＋ y1－y3 2(通常称作平面三角不等式)
3．会用上述不等式证明一些简单问题．能够利用平均值不等式、柯西不等式求一些特定函数的极值．
4．了解证明不等式的根本方法：比拟法、综合法、分析法、反证法、缩放法.
近几年的高考试题增强了对密切联系生产和实际的应用性问题的考查力度．主要有两种方式：
1．线性规划问题：求给定可行域的面积；求给定可行域的最优解；求目标函数中参数的范围．
2．根本不等式的应用：用于求函数或数列的最值，侧重"正"、"定"、"等"条件的满足条件.。
第42练 不等式选讲[题型分析·高考展望] 本部分主要考查绝对值不等式的解法.求含绝对值的函数的值域及求含参数的绝对值不等式中参数的取值范围，不等式的证明等，结合集合的运算、函数的图象和性质、恒成立问题及基本不等式，绝对值不等式的应用成为命题的热点，主要考查基本运算能力与推理论证能力及数形结合思想、分类讨论思想.体验高考1.(2016·课标全国甲)已知函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪x －12＋⎪⎪⎪⎪x ＋12，M 为不等式f (x )<2的解集. (1)求M ；(2)证明：当a ，b ∈M 时，|a ＋b |<|1＋ab |.(1)解 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ，x ≤－12，1，－12<x <12，2x ，x ≥12.当x ≤－12时，由f (x )<2得－2x <2，解得x >－1，所以－1<x ≤－12；当－12<x <12时，f (x )<2；当x ≥12时，由f (x )<2得2x <2，解得x <1， 所以，－12<x <1.所以f (x )<2的解集M ＝{x |－1<x <1}.(2)证明 由(1)知，当a ，b ∈M 时，－1<a <1，－1<b <1，从而(a ＋b )2－(1＋ab )2＝a 2＋b 2－a 2b 2－1＝(a 2－1)(1－b 2)<0，即(a ＋b )2<(1＋ab )2， 因此|a ＋b |<|1＋ab |.2.(2016·课标全国丙)已知函数f (x )＝|2x －a |＋a . (1)当a ＝2时，求不等式f (x )≤6的解集；(2)设函数g (x )＝|2x －1|.当x ∈R 时，f (x )＋g (x )≥3，求a 的取值范围.解 (1)当a ＝2时，f (x )＝|2x －2|＋2. 解不等式|2x －2|＋2≤6得－1≤x ≤3. 因此f (x )≤6的解集为{x |－1≤x ≤3}. (2)当x ∈R 时，f (x )＋g (x )＝|2x －a |＋a ＋|1－2x | ≥|2x －a ＋1－2x |＋a ＝|1－a |＋a ， 当x ＝12时等号成立，所以当x ∈R 时，f (x )＋g (x )≥3等价于|1－a |＋a ≥3.① 当a ≤1时，①等价于1－a ＋a ≥3，无解. 当a ＞1时，①等价于a －1＋a ≥3， 解得a ≥2.所以a 的取值范围是[2，＋∞).高考必会题型题型一 含绝对值不等式的解法 含有绝对值的不等式的解法 (1)|f (x )|>a (a >0)⇔f (x )>a 或f (x )<－a ； (2)|f (x )|<a (a >0)⇔－a <f (x )<a ；(3)对形如|x －a |＋|x －b |≤c ，|x －a |＋|x －b |≥c 的不等式，可利用绝对值不等式的几何意义求解.例1 已知函数f (x )＝|x －a |，其中a ＞1. (1)当a ＝2时，求不等式f (x )≥4－|x －4|的解集；(2)已知关于x 的不等式|f (2x ＋a )－2f (x )|≤2的解集为{x |1≤x ≤2}，求a 的值. 解 (1)当a ＝2时，f (x )＋|x －4|＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋6，x ≤2，2，2＜x ＜4，2x －6，x ≥4.当x ≤2时，由f (x )≥4－|x －4| 得－2x ＋6≥4， 解得x ≤1；当2＜x ＜4时，f (x )≥4－|x －4|无解； 当x ≥4时，由f (x )≥4－|x －4|得2x －6≥4，解得x ≥5；所以f (x )≥4－|x －4|的解集为{x |x ≤1或x ≥5}. (2)记h (x )＝f (2x ＋a )－2f (x )， 则h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2a ，x ≤0，4x －2a ，0＜x ＜a ，2a ，x ≥a .由|h (x )|≤2，解得a －12≤x ≤a ＋12.又已知|h (x )|≤2的解集为{x |1≤x ≤2}， 所以⎩⎨⎧a －12＝1，a ＋12＝2，于是a ＝3.点评 (1)用零点分段法解绝对值不等式的步骤：①求零点；②划区间、去绝对值号；③分别解去掉绝对值的不等式；④取每个结果的并集，注意在分段时不要遗漏区间的端点值.(2)用图象法、数形结合可以求解含有绝对值的不等式，使得代数问题几何化，既通俗易懂，又简洁直观，是一种较好的方法.变式训练1 已知函数f (x )＝|x －2|－|x －5|. (1)证明：－3≤f (x )≤3；(2)求不等式f (x )≥x 2－8x ＋15的解集.(1)证明 f (x )＝|x －2|－|x －5|＝⎩⎪⎨⎪⎧－3，x ≤2，2x －7，2<x <5，3，x ≥5.当2<x <5时，－3<2x －7<3. 所以－3≤f (x )≤3. (2)解 由(1)可知，当x ≤2时，f (x )≥x 2－8x ＋15的解集为空集；当2<x <5时，f (x )≥x 2－8x ＋15的解集为{x |5－3≤x <5}； 当x ≥5时，f (x )≥x 2－8x ＋15的解集为 {x |5≤x ≤6}.综上，不等式f (x )≥x 2－8x ＋15的解集为{x |5－3≤x ≤6}. 题型二 不等式的证明 1.含有绝对值的不等式的性质 |a |－|b |≤|a ±b |≤|a |＋|b |.2.算术—几何平均不等式定理1：设a ，b ∈R ，则a 2＋b 2≥2ab .当且仅当a ＝b 时，等号成立. 定理2：如果a 、b 为正数，则a ＋b2≥ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立.定理3：如果a 、b 、c 为正数，则a ＋b ＋c 3≥3abc ，当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立.定理4：(一般形式的算术—几何平均不等式)如果a 1，a 2，…，a n 为n 个正数，则a 1＋a 2＋…＋a nn ≥na 1a 2…a n ，当且仅当a 1＝a 2＝…＝a n 时，等号成立.例2 (1)已知x ，y 均为正数，且x >y .求证：2x ＋1x 2－2xy ＋y 2≥2y ＋3.(2)已知实数x ，y 满足：|x ＋y |<13，|2x －y |<16，求证：|y |<518. 证明 (1)因为x >0，y >0，x －y >0， 2x ＋1x 2－2xy ＋y 2－2y＝2(x －y )＋1(x －y )2＝(x －y )＋(x －y )＋1(x －y )2≥33(x －y )21(x －y )2＝3， 所以2x ＋1x 2－2xy ＋y 2≥2y ＋3.(2)因为3|y |＝|3y |＝|2(x ＋y )－(2x －y )|≤2|x ＋y |＋|2x －y |， 由题设知|x ＋y |<13，|2x －y |<16，从而3|y |<23＋16＝56，所以|y |<518.点评 (1)作差法应该是证明不等式的常用方法.作差法证明不等式的一般步骤：①作差；②分解因式；③与0比较；④结论.关键是代数式的变形能力. (2)在不等式的证明中，适当“放”“缩”是常用的推证技巧. 变式训练2 (1)若a ，b ∈R ，求证：|a ＋b |1＋|a ＋b |≤|a |1＋|a |＋|b |1＋|b |.(2)已知a ，b ，c 均为正数，a ＋b ＝1，求证：a 2b ＋b 2c ＋c 2a ≥1.证明 (1)当|a ＋b |＝0时，不等式显然成立.当|a ＋b |≠0时，由0<|a ＋b |≤|a |＋|b |⇒1|a ＋b |≥1|a |＋|b |，所以|a ＋b |1＋|a ＋b |＝11|a ＋b |＋1≤11＋1|a |＋|b |＝|a |＋|b |1＋|a |＋|b |≤|a |1＋|a |＋|b |1＋|b |. (2)因为a 2b ＋b ≥2a ，b 2c ＋c ≥2b ，c 2a ＋a ≥2c ，故a 2b ＋b 2c ＋c 2a ＋(a ＋b ＋c )≥2(a ＋b ＋c )， 即a 2b ＋b 2c ＋c 2a ≥a ＋b ＋c ， 所以a 2b ＋b 2c ＋c 2a ≥1.题型三 柯西不等式的应用 柯西不等式(1)设a ，b ，c ，d 均为实数，则(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2，当且仅当ad ＝bc 时等号成立.(2)设a 1，a 2，a 3，…，a n ，b 1，b 2，b 3，…，b n 是实数，则(a 21＋a 22＋…＋a 2n )(b 21＋b 22＋…＋b 2n )≥(a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n )2，当且仅当b i ＝0(i ＝1，2，…，n )或存在一个数k ，使得a i ＝kb i (i ＝1，2，…，n )时，等号成立.例3 (2015·福建)已知a ＞0，b ＞0，c ＞0，函数f (x )＝|x ＋a |＋|x －b |＋c 的最小值为4. (1)求a ＋b ＋c 的值； (2)求14a 2＋19b 2＋c 2的最小值.解 (1)因为f (x )＝|x ＋a |＋|x －b |＋c ≥|(x ＋a )－(x －b )|＋c ＝|a ＋b |＋c ，当且仅当－a ≤x ≤b 时，等号成立.又a ＞0，b ＞0，所以|a ＋b |＝a ＋b . 所以f (x )的最小值为a ＋b ＋c . 又已知f (x )的最小值为4， 所以a ＋b ＋c ＝4.(2)由(1)知a ＋b ＋c ＝4，由柯西不等式得⎝⎛⎭⎫14a 2＋19b 2＋c 2(4＋9＋1) ≥⎝⎛⎭⎫a 2×2＋b3×3＋c ×12 ＝(a ＋b ＋c )2＝16， 即14a 2＋19b 2＋c 2≥87.当且仅当12a 2＝13b 3＝c1，即a ＝87，b ＝187，c ＝27时等号成立.故14a 2＋19b 2＋c 2的最小值为87. 点评 (1)使用柯西不等式证明的关键是恰当变形，化为符合它的结构形式，当一个式子与柯西不等式的左边或右边具有一致形式时，就可使用柯西不等式进行证明. (2)利用柯西不等式求最值的一般结构为(a 21＋a 22＋…＋a 2n )(1a 21＋1a 22＋…＋1a 2n )≥(1＋1＋…＋1)2＝n 2.在使用柯西不等式时，要注意右边为常数且应注意等号成立的条件.变式训练3 已知定义在R 上的函数f (x )＝|x ＋1|＋|x －2|的最小值为a . (1)求a 的值；(2)若p ，q ，r 是正实数，且满足p ＋q ＋r ＝a ，求证：p 2＋q 2＋r 2≥3.(1)解 因为|x ＋1|＋|x －2|≥|(x ＋1)－(x －2)|＝3，当且仅当－1≤x ≤2时，等号成立， 所以f (x )的最小值等于3，即a ＝3. (2)证明 由(1)知p ＋q ＋r ＝3， 又因为p ，q ，r 是正实数，所以(p 2＋q 2＋r 2)(12＋12＋12)≥(p ×1＋q ×1＋r ×1)2＝(p ＋q ＋r )2＝9， 即p 2＋q 2＋r 2≥3.高考题型精练1.如果关于x 的不等式|x －3|－|x －4|<a 的解集不是空集，求实数a 的取值范围. 解 设y ＝|x －3|－|x －4|， 则y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－1，x ≤3，2x －7，3<x <4，1，x ≥4的图象如图所示：若|x －3|－|x －4|<a 的解集不是空集， 则(|x －3|－|x －4|)min <a .由图象可知当a >－1时，不等式的解集不是空集. 即实数a 的取值范围是(－1，＋∞).2.设x >0，y >0，若不等式1x ＋1y ＋λx ＋y ≥0恒成立，求实数λ的最小值.解 ∵x >0，y >0，∴原不等式可化为－λ≤(1x ＋1y )·(x ＋y )＝2＋y x ＋xy .∵2＋y x ＋xy≥2＋2y x ·xy＝4， 当且仅当x ＝y 时等号成立. ∴[(1x ＋1y)(x ＋y )]min ＝4，∴－λ≤4，λ≥－4.即实数λ的最小值是－4.3.若不等式|2x －1|＋|x ＋2|≥a 2＋12a ＋2对任意实数x 恒成立，求实数a 的取值范围.解 设y ＝|2x －1|＋|x ＋2|＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x －1，x <－2，－x ＋3，－2≤x <12，3x ＋1，x ≥12.当x <－2时，y ＝－3x －1>5； 当－2≤x <12时，y ＝－x ＋3>52；当x ≥12时，y ＝3x ＋1≥52，故函数y ＝|2x －1|＋|x ＋2|的最小值为52.因为不等式|2x －1|＋|x ＋2|≥a 2＋12a ＋2对任意实数x 恒成立，所以52≥a 2＋12a ＋2.解不等式52≥a 2＋12a ＋2，得－1≤a ≤12，故a 的取值范围为[－1，12].4.设不等式|x －2|<a (a ∈N *)的解集为A ，且32∈A ，12∉A ，(1)求a 的值；(2)求函数f (x )＝|x ＋a |＋|x －2|的最小值. 解 (1)因为32∈A ，且12∉A ，所以⎪⎪⎪⎪32－2<a ，且⎪⎪⎪⎪12－2≥a ， 解得12<a ≤32.又因为a ∈N *，所以a ＝1.(2)因为|x ＋1|＋|x －2|≥|(x ＋1)－(x －2)|＝3， 当且仅当(x ＋1)(x －2)≤0，即－1≤x ≤2时取到等号，所以f (x )的最小值为3. 5.已知f (x )＝|x ＋1|＋|x －1|，不等式f (x )<4的解集为M . (1)求M ；(2)当a ，b ∈M 时，证明：2|a ＋b |<|4＋ab |. (1)解 f (x )＝|x ＋1|＋|x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ，x <－1，2，－1≤x ≤1，2x ，x >1.当x <－1时，由－2x <4，得－2<x <－1； 当－1≤x ≤1时，f (x )＝2<4； 当x >1时，由2x <4，得1<x <2. ∴综上可得－2<x <2，即M ＝(－2，2). (2)证明 ∵a ，b ∈M ， 即－2<a <2，－2<b <2，∴4(a ＋b )2－(4＋ab )2＝4(a 2＋2ab ＋b 2)－(16＋8ab ＋a 2b 2)＝(a 2－4)(4－b 2)<0， ∴4(a ＋b )2<(4＋ab )2， ∴2|a ＋b |<|4＋ab |.6.已知a 2＋2b 2＋3c 2＝6，若存在实数a ，b ，c ，使得不等式a ＋2b ＋3c >|x ＋1|成立，求实数x 的取值范围. 解 由柯西不等式知[12＋(2)2＋(3)2][a 2＋(2b )2＋(3c )2] ≥(1·a ＋2·2b ＋3·3c )2 即6×(a 2＋2b 2＋3c 2)≥ (a ＋2b ＋3c )2. 又∵a 2＋2b 2＋3c 2＝6， ∴6×6≥(a ＋2b ＋3c )2， ∴－6≤a ＋2b ＋3c ≤6，∵存在实数a ，b ，c ，使得不等式a ＋2b ＋3c >|x ＋1|成立. ∴|x ＋1|<6，∴－7<x <5. ∴x 的取值范围是{x |－7<x <5}. 7.设函数f (x )＝|x －a |＋3x ，其中a >0.(1)当a ＝1时，求不等式f (x )≥3x ＋2的解集； (2)若不等式f (x )≤0的解集为{x |x ≤－1}，求a 的值. 解 (1)当a ＝1时，f (x )≥3x ＋2可化为|x －1|≥2.由此可得x ≥3或x ≤－1.故不等式f (x )≥3x ＋2的解集为{x |x ≥3或x ≤－1}. (2)由f (x )≤0得|x －a |＋3x ≤0.此不等式化为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥a ，x －a ＋3x ≤0或⎩⎪⎨⎪⎧x <a ，a －x ＋3x ≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥a ，x ≤a 4或⎩⎪⎨⎪⎧x <a ，x ≤－a 2.因为a >0，所以不等式组的解集为{x |x ≤－a 2}.由题设可得－a2＝－1，故a ＝2.8.(2015·课标全国Ⅰ)已知函数f (x )＝|x ＋1|－2|x －a |，a >0. (1)当a ＝1时，求不等式f (x )>1的解集；(2)若f (x )的图象与x 轴围成的三角形面积大于6，求a 的取值范围. 解 (1)当a ＝1时，f (x )>1化为|x ＋1|－2|x －1|－1>0.当x ≤－1时，不等式化为x －4>0，无解； 当－1<x <1时，不等式化为3x －2>0， 解得23<x <1；当x ≥1时，不等式化为－x ＋2>0，解得1≤x <2.所以f (x )>1的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪23<x <2. (2)由题设可得，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1－2a ，x <－1，3x ＋1－2a ，－1≤x ≤a ，－x ＋1＋2a ，x >a .所以函数f (x )的图象与x 轴围成的三角形的三个顶点分别为A ⎝⎛⎭⎫2a －13，0，B (2a ＋1，0)，C (a ，a ＋1)，△ABC 的面积为23(a ＋1)2.由题设得23(a ＋1)2>6，故a >2.所以a 的取值范围为(2，＋∞).。
不等式选讲一、绝对值不等式1．绝对值三角不等式定理 1：假如 a,b 是实数，则 |a+b| ≤ |a|+|b|,当且仅当ab≥ 0 时，等号成立。
r r r r r 注：（1）绝对值三角不等式的向量形式及几何意义：当 a ， b 不共线时，| a +b |≤| a r|+| b | ，它的几何意义就是三角形的两边之和大于第三边。
（ 2）不等式 |a|-|b|≤ |a±b|≤ |a|+|b|中“ =”成立的条件分别是：不等式|a|-|b|≤|a+b| ≤ |a|+|b|，在侧“ =”成立的条件是ab≥ 0，左边“ =”成立的条件是ab≤ 0 且|a| ≥|b|;不等式|a|-|b|≤ |a-b|≤ |a|+|b|，右边“ =”成立的条件是ab≤ 0，左边“ =”成立的条件是 ab≥ 0 且 |a| ≥ |b| 。
定理 2：假如 a,b,c是实数，那么|a-c|≤ |a-b|+|b-c|,当且仅当(a-b)(b-c)≥ 0时，等号成立。
2．绝对值不等式的解法（ 1）含绝对值的不等式|x| ＜ a 与|x| ＞ a 的解集不等式a＞ 0a=0a＜ 0|x| ＜ a{x|-a＜x＜a}|x| ＞ a{x|x ＞ a 或 x＜ -a }{x|x ∈ R 且 x≠ 0}R注： |x| 以及 |x-a|± |x-b|表示的几何意义（|x| 表示数轴上的点x 到原点O的距离； | x-a |± |x-b|）表示数轴上的点x 到点 a,b 的距离之和（差）（2） |ax+b| ≤ c(c ＞ 0) 和|ax+b| ≥c(c ＞ 0) 型不等式的解法① |ax+b| ≤ c-c ≤ ax+b≤c;② | ax+b|≥ c ax+b ≥ c 或 ax+b≤-c.（ 3） |x-a|+|x-b|≥ c(c＞0)和|x-a|+|x-b|≤ c(c＞0)型不等式的解法方法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，表现了数形联合的思想；方法二：利用“零点分段法”求解，表现了分类议论的思想；方法三：经过构造函数，利用函数的图象求解，表现了函数与方程的思想。
【高中数学】数学高考《不等式选讲》复习资料一、141．不等式的解集是 ( )A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】 【分析】利用绝对值三角不等式，得到，恒成立.【详解】恒成立.故答案选B 【点睛】本题考查了解绝对值不等式，利用绝对值三角不等式简化了运算.2．已知函数()f x 是定义在[1,2]a a -上的偶函数,且当0x >时,()f x 单调递增，则关于x 的不等式(1)()f x f a ->的解集为 （ ） A ．45[,)33B ．2112(,][,)3333--⋃ C ．12[,)33⋃45(,]33D ．随a 的值而变化【答案】C 【解析】试题分析：∵函数()f x 是定义在[1,2]a a -上的偶函数，∴1-a=2a ，∴a=13，故函数()f x 的定义的定义域为22[,]33-，又当203x <≤时,()f x 单调递增，∴11113(1)()(1)(){23313x f x f f x f x ->->⇔->⇔-≤，解得1233x ≤<或4533x <≤，所以不等式(1)()f x f a ->的解集为12[,)33⋃45(,]33，故选C考点：本题考查了抽象函数的运用点评：此类问题往往利用偶函数的性质()()f x f x =避免了讨论，要注意灵活运用3．若不等式23x a x -≤+对任意[]0,2x ∈恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．()1,3-B ．[]1,3-C ．()1,3D ．[]1,3【答案】B 【解析】 【分析】将不等式去掉绝对值符号，然后变量分离转为求函数的最值问题. 【详解】不等式23x a x -≤+去掉绝对值符号得323x x a x --≤-≤+， 即3223x x ax a x --≤-⎧⎨-≤+⎩对任意[]0,2x ∈恒成立，变量分离得333a x a x ≤+⎧⎨≥-⎩，只需min max (33)(3)a x a x ≤+⎧⎨≥-⎩，即31a a ≤⎧⎨≥-⎩所以a 的取值范围是[]1,3- 故选：B 【点睛】本题考查绝对值不等式的解法和恒成立问题的处理方法，属于基础题.4．若关于x 的不等式222213x t x t t t +-+++-<无解，则实数t 的取值范围是（ ） A ．1,15⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．(],0-∞C ．(],1-∞D ．(],5-∞ 【答案】C 【解析】 【分析】先得到当0t ≤时，满足题意，再当0t >时，根据绝对值三角不等式，得到22221x t x t t +-+++-的最小值，要使不等式无解，则最小值需大于等于3t ，从而得到关于t 的不等式，解得t 的范围 【详解】关于x 的不等式222213x t x t t t +-+++-<无解， 当0t ≤时，可得此时不等式无解， 当0t >时，()2222221221x t x t t x t x t t +-+++-+--++-≥21t =--，所以要使不等式无解，则213t t --≥， 平方整理后得20541t t ≤--， 解得115t ≤≤-，所以01t <≤，综上可得t 的范围为(],1-∞， 故选：C. 【点睛】本题考查绝对值的三角不等式的应用，根据不等式的解集情况求参数的范围，属于中档题.5．不等式2124x x a a +--≥-的解集为R ，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(][),13,-∞+∞U B ．()(),13,-∞⋃+∞ C ．[]1,3 D ．()1,3【答案】C 【解析】 【分析】令()12f x x x =+--，通过对x 的取值范围的讨论，去掉绝对值符号，可求得()min 3f x =，依题意，即可求得实数a 的取值范围.【详解】令()12f x x x =+--，当1x <-时，()()123f x x x =----+=-；当12x -≤≤时，()()[]12213,3f x x x x =+--+=-∈-； 当2x >时，()()123f x x x =+--=； ∴()min 3f x =-.∵不等式2124x x a a +--≥-的解集为R ， ∴()2min 43a a f x -≤=-，即实数a 的取值范围是[]1,3.故选C. 【点睛】本题考查绝对值不等式的解法，考查函数恒成立问题，解题方法是转化为求函数最值，然后解不等式．6．已知命题p ：不等式11x m ->-的解集为R ，命题q ：()(52)x f x m =--是减函数，若p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，则实数m 的取值范围是（ ） A ．1≤m≤2 B ．1≤m<2C ．1<m≤2D ．1<m<2【答案】B 【解析】 【分析】若p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题,可知p 真q 假或p 假q 真，化简p,q 为真时，对应m 的取值范围，然后按p 真q 假或p 假q 真求解即可.【详解】若p 为真时，10m -<，即1m < ，若q 为真时，521m ->，即2m <，若p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题,可知p 真q 假或p 假q 真，当p 真q 假时，12m m <⎧⎨≥⎩，无解，若p 假q 真时，12m m ≥⎧⎨<⎩，即 12m ≤<，故选B. 【点睛】本题主要考查了含且、或命题的真假，及含绝对值不等式恒成立，指数型函数的增减性，属于中档题.7．设n *∈N） A>BC=D ．不能确定【答案】B 【解析】 【分析】把两个代数式进行分子有理化，比较分母的大小可以比较出大小关系． 【详解】22-===.22-===.*n N∈ 42,31n n n n +>++>+>>><<成立，因此本题选B ． 【点睛】对于二次根式的加減运算，分母有理化是常见的运算要求，但是有时分子有理化会起到意想不到的作用，尤其是在比较二个二次根式减法算式之间的大小关系时，经常会用到分子有理化这个方法．当然不等式的性质也是很重要的．8．已知,,x y z ∈R ，若234x y z -+=，则222(5)(1)(3)x y z ++-++的最小值为( )A ．37200B ．2007C ．36D ．40【答案】B 【解析】 【分析】根据柯西不等式得到不等式关系，进而求解. 【详解】根据柯西不等式得到()()()()()()2222221(2)352135313x y z x y z ⎡⎤+-+≥++-+++--++⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()()()2222511423164030x y z x y z ⎡⎤++-++≥-++=⎣⎦进而得到最小值是：2007故答案为B. 【点睛】这个题目考查了柯西不等式的应用，比较基础.9．已知1a >，且函数()2224f x x x a x x a =-++-+．若对任意的()1,x a ∈不等式()()1f x a x ≥-恒成立，则实数a 的取值范围为（ ）A ．[]4,25B ．(]1,25C ．(]1,16D ．[]4,16【答案】C 【解析】 【分析】由题目得已知函数和要求解的不等式中都含有待求的参数，且已知函数中含有两个绝对值符号，直接求解难度很大，因此考虑用排除法，代值验证可得解. 【详解】当25a =时，()22252425f x x x x x =-++-+且22250,4250x x x x -+≥-+≥ 所以()23975f x x x =-+，此时()()1f x a x ≥-化为()24f x x ≥，即2397524x x x -+≥，所以212250x x -+≥在()1,25x ∈不是恒成立的.故A 、B 不对；当3a =时，()223243f x x x x x =-++-+，当()1,3x ∈时，2230,430x x x x -+>-+<，所以()()222324373f x x x x x x x =-+--+=-+-，此时()()1f x a x ≥-化成()27331x x x -+-≥-，即2530x x -+-≥满足()1,3x ∈恒成立，所以当3a =时成立， 故D 不对，C 正确； 故选C. 【点睛】本题考查了含绝对值不等式恒成立的问题，考查了小题小做的技巧方法，属于中档题.10．设0x 为函数()sin f x x π=的零点，且满足001()112x f x ++<，则这样的零点有（ ） A ．18个 B ．19个C ．20个D ．21个【答案】D 【解析】从题设可得00()x k x k k Z ππ=⇒=∈，又001()sin()sin()(1)222k f x x k ππππ+=+=+=-，故(1)11k k +-<，当k 取奇数时，12k <，则1,3,5,7,9,11k =±±±±±±，共12个数；当k 取偶数时，10k <，则0,2,4,6,8k =±±±±，共9个数，所以这样的零点的个数共有21个，应选答案D 。
数学《不等式选讲》高考知识点一、141．不等式222log 2log x x x x -<+的解集为（ ） A ．()1,2 B ．()0,1C ．()1,+∞D ．()2,+∞【答案】C 【解析】 【分析】由题意得出0x >，分2log 0x >和2log 0x ≤两种情况讨论，结合222log 2log x x x x -<+可得出2log 0x >，解出该不等式即可.【详解】由题意得出0x >，当2log 0x ≤时，则222log 2log x x x x -=+. 当2log 0x >时，222log 2log x x x x -<+，解不等式2log 0x >得1x >. 因此，不等式222log 2log x x x x -<+的解集为()1,+∞. 故选：C. 【点睛】本题考查绝对值不等式的求解，同时也考查绝对值三角不等式的应用，考查推理能力与运算求解能力，属于中等题.2．已知点(3,1)P 在椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上，点(,)M a b 为平面上一点，O 为坐标原点，则当OM 取最小值时，椭圆的离心率为（ ）A ．3B ．13C ．2D ．3【答案】D 【解析】 【分析】点(3,1)P 在椭圆22221(0)x y a b a b +=>>上，可得22911a b +=，(,)M a b 为平面上一点，||OM =a ，b 关系，代入即可．【详解】解：点(3,1)P 在椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上，可得22911a b +=，(,)M a b 为平面上一点，||OM =所以||4OM ==，当且仅当223a b =时，取等号，222213b e a =-=，e =． 故选D ． 【点睛】考查椭圆的性质，柯西不等式的应用，求椭圆的离心率，中档题．3．已知命题p ：不等式11x m ->-的解集为R ，命题q ：()(52)x f x m =--是减函数，若p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，则实数m 的取值范围是（ ） A ．1≤m≤2 B ．1≤m<2C ．1<m≤2D ．1<m<2【答案】B 【解析】 【分析】若p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题,可知p 真q 假或p 假q 真，化简p,q 为真时，对应m 的取值范围，然后按p 真q 假或p 假q 真求解即可. 【详解】若p 为真时，10m -<，即1m < ，若q 为真时，521m ->，即2m <，若p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题,可知p 真q 假或p 假q 真，当p 真q 假时，12m m <⎧⎨≥⎩ ，无解，若p 假q 真时，12m m ≥⎧⎨<⎩，即 12m ≤<，故选B.【点睛】本题主要考查了含且、或命题的真假，及含绝对值不等式恒成立，指数型函数的增减性，属于中档题.4．已知f (x )＝|x ＋2|＋|x －4|的最小值为n ，则二项式1nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中x 2项的系数为( ) A ．11 B ．20 C ．15 D ．16 【答案】C 【解析】 【分析】由题意利用绝对值三角不等式求得n=6，在二项展开式的通项公式中，令x 的幂指数等于0，求出r 的值，即可求得展开式中x 2项的系数． 【详解】∵f （x ）=|x+2|+|x ﹣4|≥|（x+2）﹣（x ﹣4）|=6，故函数的最小值为6， 再根据函数的最小值为n ，∴n=6．则二项式（x ﹣1x ）n =（x ﹣1x）6 展开式中的通项公式为 T r+1=6r C •（﹣1）r •x 6﹣2r ， 令6﹣2r=2，求得r=2，∴展开式中x 2项的系为26C =15， 故选：C ． 【点睛】本题主要考查绝对值三角不等式的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数，属于中档题．5．325x -≥不等式的解集是（ ） A ．{|1}x x ≤- B ．{|14}x x -≤≤C ．{|14}x x x ≤-≥或D ．{|4}x x ≥【答案】C 【解析】 【分析】根据绝对值定义化简不等式，求得解集. 【详解】因为325x -≥，所以325x -≥或325x -≤-，即14x x ≤-≥或，选C. 【点睛】本题考查含绝对值不等式解法，考查基本求解能力.6．设|a|<1,|b|<1,则|a+b|+|a-b|与2的大小关系是 ( ) A ．|a+b|+|a-b|>2 B ．|a+b|+|a-b|<2 C ．|a+b|+|a-b|=2 D ．不能比较大小【答案】B 【解析】选B.当(a+b)(a-b)≥0时,|a+b|+|a-b|=|(a+b)+(a-b)|=2|a|<2, 当(a+b)(a-b)<0时,|a+b|+|a-b|=|(a+b)-(a-b)|=2|b|<2.7．已知a ，b 均为正数，且20ab a b --=，则22214a b a b-+-的最小值为（ ）A ．6B ．7C ．8D ．9 【答案】B 【解析】 【分析】a ，b 均为正数，且ab ﹣a ﹣2b ＝0，可得21a b+=1，根据柯西不等式求出代数式的最小值即可． 【详解】∵a ，b 均为正数，且ab ﹣a ﹣2b ＝0， ∴21a b+=1． 则22214a b a b-+- 24a =+b 2﹣1， 又因为2a +b ＝（21a b +）（2a +b ）22b a a b=++2≥2+2＝4，当且仅当a ＝4，b ＝2时取等号．∴（24a +b 2）（1+1）≥（2a +b ）2≥16，当且仅当a ＝4，b ＝2时取等号． ∴24a +b 2≥8， ∴224a a-+b 2214a b -=+b 2﹣1≥7．故选：B ． 【点睛】本题考查“乘1法”、基本不等式的性质、柯西不等式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．8．空间中两条不相交的直线与另外两条异面直线都相交，则这两条直线的位置关系是（ ） A ．平行或垂直 B ．平行C ．异面D ．垂直【答案】C 【解析】 【分析】利用反证法证明得解. 【详解】不妨设空间中不相交的两条直线为a b ，，另外两条异面直线为c d ，， 由于a b ，不相交，故a b ，平行或异面， 设a c ，确定的平面为α.不妨设a b ∥，①当b α⊂时，则a b ，与直线d 的交点都在α内，故d α⊂，而这与c d ，为异面直线矛盾；②当b α⊄时，由a b ∥可知b P α，又c α⊂，故b c ，没有公共点，与b c ，相交矛盾. 由①②知假设a b ∥错误，故a b ，为异面直线. 故选C. 【点睛】本题主要考查异面直线的判定和反证法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.9．设集合{}1,R A x x a x =-<∈，{}15,R B x x x =<<∈．若A B =∅I ，则实数a 的取值范围是（）A ．{}06a a ≤≤B ．{}64a a a ≤≥或C ．{}06a a a ≤≥或D ．{}24a a ≤≤【答案】C 【解析】 【分析】根据公式()0x a a a x a <>⇔-<<解出集合A ，再根据交集的运算即可列出关系式，求解即可。
数学《不等式选讲》复习资料一、141．函数()f x 的定义域为A ,若存在非零实数t ，使得对于任意()x C C A ∈⊆有,x t A +∈且()()f x t f x +≤，则称()f x 为C 上的t 度低调函数.已知定义域为[)0+∞，的函数()=3f x mx --，且()f x 为[)0+∞，上的6度低调函数，那么实数m 的取值范围是（ ）A ．[]0,1B ．[)1+∞，C ．(],0-∞D ．][(),01,-∞⋃+∞ 【答案】D【解析】试题分析：由题意得， ()()6633f x f x mx m mx +≤⇒+-≥-对任意0x ≥都成立.当0m ≤时， 633633|m mx m mx -≤-⇒+-≥-恒成立；当0m >时，结合图象可知，要633mx m mx +-≥-对任意0x ≥都成立，只需0x =时633mx m mx +-≥-成立即可，即6331m m -≥-⇒≥.选D.考点：1、新定义函数；2、绝对值不等式.2．不等式2124x x a a +--≥-的解集为R ，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(][),13,-∞+∞U B ．()(),13,-∞⋃+∞ C ．[]1,3 D ．()1,3【答案】C 【解析】 【分析】令()12f x x x =+--，通过对x 的取值范围的讨论，去掉绝对值符号，可求得()min 3f x =，依题意，即可求得实数a 的取值范围.【详解】令()12f x x x =+--，当1x <-时，()()123f x x x =----+=-；当12x -≤≤时，()()[]12213,3f x x x x =+--+=-∈-； 当2x >时，()()123f x x x =+--=； ∴()min 3f x =-.∵不等式2124x x a a +--≥-的解集为R ， ∴()2min 43a a f x -≤=-，即实数a 的取值范围是[]1,3.故选C. 【点睛】本题考查绝对值不等式的解法，考查函数恒成立问题，解题方法是转化为求函数最值，然后解不等式．3．关于x 不等式2x x a a -+-≥在R 上恒成立，则实数a 的最大值是 A ．0 B ．1C ．－1D ．2【答案】B 【解析】由于|x －2|＋|x －a |≥|a －2|，∴等价于|a －2|≥a ，即a ≤1.故实数a 的最大值为1.4．设|a|<1,|b|<1,则|a+b|+|a-b|与2的大小关系是 ( ) A ．|a+b|+|a-b|>2 B ．|a+b|+|a-b|<2 C ．|a+b|+|a-b|=2 D ．不能比较大小【答案】B 【解析】选B.当(a+b)(a-b)≥0时,|a+b|+|a-b|=|(a+b)+(a-b)|=2|a|<2, 当(a+b)(a-b)<0时,|a+b|+|a-b|=|(a+b)-(a-b)|=2|b|<2.5．设n *∈N） A>BC=D ．不能确定【答案】B 【解析】 【分析】把两个代数式进行分子有理化，比较分母的大小可以比较出大小关系． 【详解】22-===.22-===.*n N∈42,31n n n n+>++>+>>><<成立，因此本题选B．【点睛】对于二次根式的加減运算，分母有理化是常见的运算要求，但是有时分子有理化会起到意想不到的作用，尤其是在比较二个二次根式减法算式之间的大小关系时，经常会用到分子有理化这个方法．当然不等式的性质也是很重要的．6．已知各项均为正数的数列{}n a的前n项和为n S，且()2*21221n na a S n n N+==++∈，，若对任意的*n N∈，1211120nn a n a n aλ++⋯+-≥+++恒成立，则实数λ的取值范围为（）A．(]2∞-，B．(]1∞-，C．14∞⎛⎤- ⎥⎝⎦，D．12，∞⎛⎤-⎥⎝⎦【答案】C【解析】【分析】2212,21n na a S n+==++()*n N∈，可得2n≥时，()221121210n n n n n na a S S a a+--=-+=+>，．可得11n na a+=+时，212224a a+==，解得1a．利用等差数列的通项公式可得na．通过放缩即可得出实数λ的取值范围．【详解】2212,21n na a S n+==++Q()*n N∈，2n∴≥时，()22112121n n n n na a S S a+--=-+=+，化为：222121(1)n n n na a a a+=++=+，0na>．11n na a+∴=+，即11n na a+-=，1n=时，212224a a+==，解得11a=．∴数列{}n a为等差数列，首项为1，公差为1．11n a n n ∴=+-=． 1211111112n n a n a n a n n n n∴++⋯+=++⋯+++++++. 记11112n b n n n n =++⋯++++，1111111211n b n n n n +=++⋯++++++++. ()()11111022*******n n b b n n n n n +-=+-=>+++++. 所以{}n b 为增数列，112n b b ≥=,即121111111122n n a n a n a n n n n ++⋯+=++⋯+≥++++++. Q 对任意的*n N ∈，1211120nn a n a n a λ++⋯+-≥+++恒成立， 122λ∴≤，解得14λ≤ ∴实数λ的取值范围为14∞⎛⎤- ⎥⎝⎦，．故选C ． 【点睛】本题考查了数列递推关系、等差数列的通项公式、放缩法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．7．如果关于x 的不等式34x x a -+-<的解集不是空集，则参数a 的取值范围是（ ） A ．()1,+∞ B ．[)1,+∞C ．(),1-∞D ．(],1-∞ 【答案】A 【解析】 【分析】先求|x-3|+|x-4|的最小值是1，即得解. 【详解】由题得|x-3|+|x-4|＜a 有解，由绝对值三角不等式得|x-3|+|x-4|≥|x -3-x+4|=1， 所以|x-3|+|x-4|的最小值为1， 所以1＜a,即a ＞1. 故选：A 【点睛】本题主要考查绝对值三角不等式求最值，考查不等式的有解问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.8．不等式21x x a <-+的解集是区间()3,3-的子集，则实数a 的取值范围是（ ）A ．5a ≤B ．554a -≤≤C ．574a -≤≤D ．7a ≤【答案】A 【解析】 【分析】原不等式等价于210x x a ---<，设()21f x x x a =---，则由题意得()()350370f a f a ⎧-=-≥⎪⎨=-≥⎪⎩，解之即可求得实数a 的取值范围. 【详解】不等式等价于210x x a ---<，设()21f x x x a =---，因为不等式21x x a <-+的解集是区间()3,3-的子集，所以()()350370f a f a ⎧-=-≥⎪⎨=-≥⎪⎩，解之得5a ≤.故选：A. 【点睛】本题主要考查绝对值不等式的解法、二次函数的性质，体现化归与等价转化思想，属中等难度题.9．已知函数()1f x x x a =++-，若()2f x ≥恒成立，则a 的取值范围是（ ） A ．(][),22,-∞-+∞U B ．(][),31,-∞-+∞U C ．(][),13,-∞-+∞U D ．(][),04,-∞+∞U【答案】B 【解析】 【分析】利用绝对值三角不等式确定()f x 的最小值；把()2f x ≥恒成立的问题，转化为其等价条件去确定a 的范围。
专题 35 不等式选讲 十年大数据x 全景展示年 份题号考 点考 查 内 容不等式选 讲 2011文理 24绝对值不等式的解法不等式选 讲 2023 文理 24文理 24绝对值不等式的解法，不等式恒成立参数取值范围问题的解法绝对值不等式的解法，不等式恒成立参数取值范围问题的解法多元不等式的证明不等式选 讲 卷 12023不等式选讲 卷 2文理 24卷 1文理 24卷 2文理 24卷 1文理 24卷 2文理 24卷 1 文理 24不等式选讲 根本不等式的应用20232023不等式选讲 绝对值不等式的解法不等式选讲 绝对值不等式的解法，不等式恒成立参数取值范围问题的解法不等式的证明不等式选讲 不等式选讲 分段函数的图像，绝对值不等式的解法绝对值不等式的解法，绝对值不等式的证明绝对值不等式的解法，不等式恒成立参数取值范围问题的解法绝对值不等式的解法，不等式恒成立参数取值范围问题的解法不等式的证明不等式选 讲 2023 卷 2 文理 24卷 3 文理 24 不等式选 讲 不等式选讲 卷 1 文理 23不等式选 讲 2023 卷 2 文理 23不等式选讲 卷 3文理 23 绝对值不等式的解法，绝对值不等式解集非空的参数取值范围问题 绝对值不等式的解法，不等式恒成立参数取值范围问题的解法2023卷 1文理 23不等式选讲不等式选讲卷2 文理23卷3 文理23 绝对值不等式的解法，不等式恒成立参数取值范围问题的解法绝对值函数的图象，不等式恒成立参数最值问题的解法三元条件不等式的证明不等式选讲不等式选讲2023 卷1 文理23卷2 文理23 不等式选讲绝对值不等式的解法，不等式恒成立参数取值范围问题的解法三元条件最值问题的解法，三元条件不等式的证明绝对值函数的图像，绝对值不等式的解法不等式选讲卷3 文理23不等式选讲卷1 文理23不等式选讲2023 卷2 文理23卷3 文理23 绝对值不等式的解法，不等式恒成立参数取值范围问题的解法三元条件不等式的证明不等式选讲大数据分析x预测高考出现频率考点2023 年预测考点120 绝对值不等式的求解23 次考4 次2023 年主要考查绝对值不等式的解法、绝对值考点121 含绝对值不等式的恒成立问题23 次考12 次不等式的证明，不等式恒成立参数取值范围问题的解法等．考点122 不等式的证明23 次考7 次十年真题分类x探求规律考点120绝对值不等式的求解f x 3x 1 2 x 11．(2023 全国Ⅰ文理22)已知函数．y f x(1)画出的图像；(2)求不等式 f x f x 1 的解集．x 1 x 3,1 x 1 ，作出图像，如下图： f x5x 1, （解析）(1)∵ 31 x 3, x3 (2)将函数的图像向左平移1个单位，可得函数f x 1的图像，如下图：f x 7 76x 3 5 x 1 1, x ，∴不等式的解集为 ．由 ，解得 62．(2023 江苏 23)设 x R ，解不等式2 | x 1| | x | 4 ．2 32, （答案）（思路导引）依据绝对值定义化为三个不等式组，解得结果．x 1 1 x 0 x 0或（解析） 或 ， 2x 2 x 4 2x 2 x 4 2x 2 x 4222 x 1或 1 x 0或0 x 2, ，∴解集为 ．33 3．(2023 全国 I 文理)已知函数 f (x ) | x 1| | 2x 3|．(I)在图中画出 y f (x ) 的图像； (II)求不等式| f (x ) | 1的解集．（解析）(1)如下图：4，x ≤ 1 x3 2， f x 1．(2) f x 3x 2， 1 x 3 24 x ，x ≥当 x ≤ 1， x 4 1，解得 x 5 或 x 3 ，∴x ≤ 1；31 3 1 3 3 2当 1 x ， 3x 2 1，解得 x 1或 x，∴ 1 x 或1 x ； 2 3 3当 x ≥ ， 4 x 1，解得 x 5 或 x 3 ，∴ ≤x 3或 x 5 ．2 2 11 ， ，， ．综上， x 或1 x 3 或 x 5 ， f x∴，解集为 1 1 3 5 3 31 4．(2023 全国 II 文理)设函数 f x = x x a (a 0)a(Ⅰ)证明： f x ≥2；(Ⅱ)假设 f 3 5，求a 的取值范围．11 1 （解析）(I)由a 0，有 f (x ) x x a x (x a ) a 2，∴ f (x ) ≥2．a a a1 (Ⅱ) f (3) 3 3 a ．a15 21当时a ＞3 时， f (3) = a ，由 f (3) ＜5 得 3＜ ＜ a； a 21 1 5当 0＜a ≤3 时， f (3) = 6 a ，由 f (3) ＜5 得＜a ≤3． a 21 5 5 21综上：a 的取值范围是(， )． 2 25．(2011 新课标文理)设函数 f (x ) x a 3x ，其中 f (x ) 3x 2的解集；a 0 ．(Ⅰ)当a 1时，求不等式(Ⅱ)假设不等式 f (x ) 0的解集为 x | x f (x ) 3x 2可化为| x 1| 2，由此可得 x 3 或 x 11，求 a 的值．（解析）(Ⅰ)当a 1时， ．故不等式 f (x ) 3x 2的解集为（x | x 3或 x 1）．x a ( Ⅱ) 由 f (x ) 0 得 x a 3x 0 ，此不等式化为不等式组 x aa x 3x 0 或， x a 3x 0x ≥a x ≤ax |x ，由题设可得 a =1，故a 2a 即 a 或 x ≤ 4 a ，因为a 0 ，∴不等式组的解集为 ． x ≤ 2 2 2 考点 121 含绝对值不等式的恒成立问题6．(2023 全国Ⅱ文理 22)已知函数 f x x 2 x 2a 1 ．a (1)当a 2时，求不等式 f x 4 的解集； (2)假设 f x 4 ，求a 的取值范围．3 2 11 2 x xx ；(2) , 1 3,．（答案）(1) 或 （思路导引）(1)分别在x 3、3 x 4和 x 4三种情况下解不等式求得结果；2(2)利用绝对值三角不等式可得到 f x a 1 ，由此构造不等式求得结果． f x x 4 x 3（解析）(1)当a 2时，．3 x 当x 3时， f x 4 x 3 x 7 2x 4 ，解得： ，无解； ； ； 2f x 4 x x 3 1 4当3 x 4时， 112f x x 4 x 3 2x 7 4 当 x 4 时， x ，解得：4的解集为 3 2 112 f xx 或 x x ． 综上所述： 2f x x a 2 x 2a 1 x a 2 x 2a 1 a 2 2a 1 a 1 (当且仅当 (2) 2a 1 x a 2 时取等号)， a 1 2，解得：a 1或a 3， a 的取值范围为 , 1 3, ． 47．(2023 全国 II 文理 23)选修 4-5：不等式选讲](10 分) f (x ) | x a | x | x 2 | (x a ). 已知 (1)当a 1时，求不等式 f (x ) 0 的解集； x ( ,1) 时， f (x ) 0a，求 的取值范围．(2)假设（解析）(1)当 a=1 时， f (x )=|x 1| x +|x 2|(x 1) ．当 x 1时， f (x ) 2(x 1) 0 ；当 x 1时， f (x ) 0，∴不等式 f (x ) 0的解集为( ,1)．2(2)因为 f (a )=0 ，∴a 1．当a 1， x ( ,1) 时， f (x )=(a x ) x +(2 x )(x a )=2(a x )(x 1)<0 ∴a 的取值范围是1, ) ． 8．(2023 全国Ⅰ文理)已知 f (x ) | x 1| | ax 1|．(1)当a 1时，求不等式 f (x ) 1的解集；(2)假设x (0,1)时不等式 f (x ) xa成立，求 的取值范围．2, x ≤ 1,（解析）(1)当a 1时， f (x ) | x 1| | x 1|f (x ) 2x , 1 x 1, ，即2, x ≥1.1 故不等式f (x ) 1的解集为（x | x ） ．2(2)当 x (0,1)时| x 1| | ax 1| x 成立等价于当 x (0,1)时| ax 1| 1成立． 假设a ≤0，则当 x (0,1)时| ax 1|≥1；2 2，假设a 0 | ax 1| 1的解集为 (0, 2． 0 x，∴ ≥1，故0 a ≤2． a aa综上， 的取值范围为9．(2023 全国Ⅱ文理)设函数 f (x ) 5 | x a | | x 2 |． (1)当a 1时，求不等式 f (x )≥0 的解集； (2)假设 f (x )≤1，求a 的取值范围．2x 4, x ≤ 1,（解析）(1)当a 1时， f (x ) 2, 1 x ≤2,2x 6, x 2.可得 f (x )≥0 的解集为（x | 2≤ x ≤3）． (2) f (x )≤1等价于| x a | | x 2 |≥4．而| x a | | x 2 |≥| a 2 | ，且当 x 2时等号成立．故 f (x )≤1等价于| a 2 |≥4． 由| a 2 |≥4可得a ≤ 6或a ≥2，∴a 的取值范围是( , 6] 2, )． 10．(2023 全国Ⅲ文理)设函数 f (x ) | 2x 1| | x 1| ． (1)画出 y f (x ) 的图像；(2)当x 0, )时，f(x)≤ax b，求a b的最小值．13x, x ,21f(x) x 2, ≤x 1,（解析）(1)23x, x≥1.y f(x) 的图像如下图．(2)由(1)知，y f(x) 的图像与y轴交点的纵坐标为2，且各局部所在直线斜率的最大值为3，故当且仅当a≥3且b≥2 时，f(x)≤ax b在0, ) 成立，因此a b的最小值为5．211．(2023 江苏)假设x，y，z为实数，且x 2y 2z 6，求x2 y z2 的最小值．（解析）由柯西不等式，得(x 2y 2 z 2 )(1 22 2 2 2)≥(x 2y 2z ) ．2x y z 2 4 4 因为 x 2y 2z =6 ，∴ x2y 2 z 2 ≥4，当且仅当 时，不等式取等号，此时 x ，y ，z ，1 2 2 3 3 3∴ x 2 y 2 z 的最小值为 4．2 f (x ) x ax 4 ， g (x ) | x 1| | x 1|．212．(2023 全国Ⅰ文理)已知函数 (1)当a 1时，求不等式 f (x )≥ g (x ) 的解集；(2)假设不等式 f (x )≥ g (x ) 的解集包含 1,1]，求a 的取值范围． （解析）(1)当a 1时，不等式 f (x )≥ g (x ) 等价于 2x x | x 1| | x 1| 4 ≤0 ．①当 x 1时，①式化为2x 3x 4≤0 ，无解；当 1≤x ≤1时，①式化为 x 2x 2≤0，从而 1≤x ≤1；1 17当 x 1时，①式化为 x 2x 4≤0 ，从而1 x ≤，∴ f (x )≥ g (x ) 的解集为 21 17（x | 1 x ≤）． 2(2)当 x 1,1]时， g (x ) 2 ，∴ f (x )≥ g (x ) 的解集包含 1,1]，等价于当 x 1,1]时 f (x )≥2 ． 又 f (x ) 在 1,1]的最小值必为 f ( 1)与 f (1)之一，∴ f ( 1)≥2且 f (1)≥2，得 1≤a ≤1，∴a 的取 值范围为 1,1]．13．(2023 全国Ⅲ文理)已知函数 f (x ) | x 1| | x 2 |． (1)求不等式 f (x )≥1的解集；f (x )≥x x m 的解集非空，求m 的取值范围．2(2)假设不等式 3, x 1（解析）(1) f (x ) 2x 1, 1≤x ≤2 ，3, x 2当 x 1时， f x ≥1无解；当 1≤x ≤2时，由 f x ≥1得，2x 1≥1，解得1≤ ≤2；x 当 x ＞2时，由 f x ≥1解得 ＞2． x∴ f x ≥1的解集为 x x ≥1 ．x m 得m ≤ x 1 x 2 x(2)由 f x ≥ x 2 2x ，而23 5 5 x 1 x 2 x 2x ≤ x +1+ x 2 x 2x =- x - + ≤ ，2 4 4355 4且当 x 时， x 1 x 2 x 2x = ，故 m 的取值范围为 - ， ． 2 4 14．(2023 全国 III 文理)已知函数 f (x ) | 2x a | a (Ⅰ)当 a=2 时，求不等式 f (x )≤6 的解集；(Ⅱ)设函数 g (x ) | 2x 1| ，当 x R 时， f (x ) g (x )≥3，求 a 的取值范围． （解析）(Ⅰ)当a 2时， f (x ) | 2x 2 | 2．解不等式| 2x 2 | 2 6 ，得 1 x 3，因此 f (x ) 6的解集为（x | 1 x 3）． (Ⅱ)当 x R 时， f (x ) g (x ) | 2x a | a |1 2x |1| 2x a 1 2x | a |1 a | a ，当 x 时等号成立，2∴当 x R 时， f (x ) g (x ) 3等价于|1 a | a 3． ① 当a 1时，①等价于1 a a 3 ，无解． 当a 1时，①等价于a 1 a 3 ，解得a 2 ． ∴a 的取值范围是2, ) ．15．(201 5 全国 I 文理)已知函数 f (x ) | x 1| 2 | x a | ，a 0． (Ⅰ)当a 1时，求不等式 f (x ) 1的解集；(Ⅱ)假设 f (x ) 的图像与 x 轴围成的三角形面积大于 6，求a 的取值范围． （解析）(Ⅰ)当a 1时，不等式 f (x ) 1化为| x 1| 2 | x 1| 1 0， 当 x ≤ 1时，不等式化为 x 4 0，无解；2 当 1 x 1时，不等式化为3x 2 0 ，解得 x 1； 3当 x ≥1时，不等式化为 x 2 0，解得1≤x 2． 2 ∴ f (x ) 1的解集为（x | x 2）．3x 1 2a , x 1 (Ⅱ)有题设可得， f (x ) 3x 1 2a , 1≤ x ≤a ，∴函数 f (x ) 图象与 x 轴围成的三角形的三个顶点分别x 1 2a , x a2a 1 2 2 3, 0), B (2a 1, 0),C (a ,a 1) ， (a 1) 6 ，故a 2．∴ 2 为 A ( ABC 的面积为 (a 1) 2 ．有题设得 3 3 a 的取值范围为(2, ) ．1 116．(2023 全国 I 文理)假设a 0,b 0 ，且 ab ．a b a 3 b 3 的最小值；(Ⅰ)求 (Ⅱ)是否存在a ,b ，使得2a 3b 6？并说明理由．1 1 （解析）(I)由 ab a b 2，得ab 2 ，且当a b 2 时取等号．ab 故a ∴a 3 3 b 3 2 a 3 b 3 4 2 ，且当a b 2 时取等号．b 3 的 最小值为4 2 ．(II)由(I)知，2a 3b 2 6 ab 4 3 ．由于4 3 6 ，从而不存在a ,b ，使得2a 3b 6 ．f (x ) | 2x 1| | 2x a |g (x ) x 3 ．16．(2023 全国 I 文理)已知函数 = ， = a f (x ) ＜ g (x ) (Ⅰ)当 =-2 时，求不等式 的解集；a 1 2 a x ，求 的取值范围．f (x ) ≤g (x ) a(Ⅱ)设 ＞-1，且当 ∈ ， )时， 2 a =f (x ) ＜g (x ) 化为| 2x 1| | 2x 2 | x 3 0 ，（解析）(Ⅰ)当 2时，不等式 125x , x 1 x 1，设函数 y =| 2x 1| | 2x 2 | x 3 y x 2, ， = 23x 6, x 1x (0, 2) y时， ＜0， 其图像如下图，从图像可知，当且仅当∴原不等式解集是（x | 0 x 2） ． a 1 2x f (x ) =1 a f (x ) ≤ g (x ) 化为1 a ≤x 3， (Ⅱ)当 ∈ ， )时， ，不等式 2a 1 a 4 ∴ x ≥a 2 对 ∈ x ， )都成立，故 ≥a 2 ，即a ≤ ， 2 2 2 34 3a 1， ∴ 的取值范围为( ]． 17．(2023 新课标文理)已知函数 f (x ) | x a | | x 2 | ．(Ⅰ)当a 3|时，求不等式 f (x ) 3的解集；(Ⅱ)假设 f (x ) | x 4 | 的解集包含1,2]，求a 的取值范围．（解析）(1)当a 3时， f (x ) 3 x 3 x 2 3 x 2 2 x 3 x 3 x 3 x 2 33或 3 x x 2 3 或 3 x 2 x x 1或 x 4．(2)原命题 f (x ) x 4 在1, 2]上恒成立x a 2 x 4 x 在1, 2]上恒成立2 x a 2 x 在1, 2]上恒成立3 a 0．考点 122 不等式的证明18．(2023 全国Ⅲ文理 23)设a , b , c R , a b c 0 , abc 1．(1)证明：ab bc ca 0 ；(2)用max a , b , c 表示a , b , c 的最大值，证明：max a , b , c 4 ．3 （答案）(1)证明见解析(2)证明见解析．（思路导引）(1)依据题设条件a b c 0,两边平方，再利用均值不等式证明即可；max （a ,b ,c ） a ，由题意得出a 0,b ,c 0 (2)思路一：不妨设 ，2 b c b 2 c 2 2bc 由a3 a 2 a ，结合根本不等式，即可得出证明． bc bc思路二：假设出a ,b ,c 中最大值，依据反证法与根本不等式推出矛盾，即可得出结论． （解析）(1)证明：0,a b c a b c 2 0. a 2 b 2 c 2 2ab 2ac 2ca 0, 即2ab 2bc 2ca a2 b 2 c 2 2ab 2bc 2ca 0, ab bc ca 0.(2)证法一：不妨设max （a ,b ,c ） a ，由a b c 0,abc 1可知，a 0,b 0,c 0 ，1 2 b c 2bc 2bc 2bc b c 2 2 a b c ,a ， a 3 a 2 a ， 4 bc bc bc bc当且仅当b c 时，取等号， a，即max （a ,b ,c ） 4 ． 3 3 4 11 3 , a b c 3 4, 而 证法二：不妨设a b 0 c 4 ，则ab c 3 42 13 214 矛盾，∴命题得证．3 4 a b 2 ab 3 6 4 19．(2023 全国 I 文理 2 3)已知 a ，b ，c 为正数，且满足 abc=1．证明：1 1 1a ab c2 b 2 c 2 (1) (2) ； (a b ) (b c )3 3 (c a ) b 2ab ,b ab bc ca 3 24 ．（解析）(1)因为a 2 2 2 c2 2bc ,c 2 a 2 2ac ，又abc 1， 1 1 1 1 ab bc ca 1 1 故有a 2 b 2 c 2 ，∴ a 2 b c 2 ．2 abc a b c a b c (2)因为a , b , c 为正数且abc 1，故有(a b ) (b c ) (c a ) 3 (a b ) 3 (2 ab ) (2 bc ) (2 ac ) =24．(b c ) (c a ) 24．3 3 3 3 3 (b c ) 3 (a c ) =3(a +b )(b +c )(a +c ) 3 ∴(a b ) 3 3 3x , y , z R ，且 x y z 1．20．(2023 全国 III 文理 23)设 (x 1) 2 (y 1) 2 (z 1)2 的最小值； (1)求 (2)假设 1(x 2) 2 (y 1) 2 (z a ) 2 成立，证明：a 3 或a 1 ．3 （解析）(1)由于(x 1) (y 1) (z 1)] 2 (x 1) 2 (y 1) 2 (z 1) 2(x 1)(y 1) (y 1)(z 1) (z 1)(x 1)]2 3 (x 1) 2 (y 1) 2 (z 1) 2， 4 35 1 z 1 故由已知得(x 1) 2 (y 1) 2 (z 1) 2 ，当且仅当x= ，y=– ， 时等号成立． 3 3 3 4 ∴(x 1) (2)由于(x 2) (y 1) (z a )] (x 2) (y 1) (z a ) 2(x 2)(y 1) (y 1)(z a ) (z a )(x 2)] 2 (y 1) 2 (z 1)2 的最小值为 ． 322 2 23 (x 2)2 (y 1) 2 (z a ) 2 ， (2 a ) 2 4 a 1 a 2a 2 故由已知(x 2) 2 2 (y 1) 2 (z a ) 2，当且仅当 x y z ， ， 时等号成 3 3 3 3 (2 a ) 2 立，因此(x 2) (y 1) 2 (z a )2 的最小值为． 3 (2 a ) 2 1 ，解得a 3 或a 1． 由题设知 3 321．(2023 全国Ⅱ文理)已知a 0，b 0， a3 b 2 ，证明： 34 ； (1) a b a b(2) a b 2．（解析）(1)(a b )(a 5 524．5 b 5 ) a6 2 ab 5 a 5 b b 6 (a 3 b 3 ) 2 2a 3 b 3 ab (a 4 b 4 ) 4 ab a 2 b 2 3(a b ) 2 3(a b ) 3 (a b ) 3 a 3 3a 2 b 3ab b 3 2 3ab (a b ) 2 (a b ) 2 ， (2)∵ 4 4∴(a b ) 8 ，因此a b 2． 3 22．(2023 江苏)已知a ，b ，c ，d 为实数，且 a 2 b2 4 ，c 2 d 16 ，证明ac bd 8． 2（解析）证明：由柯西不等式可得：(ac bd ) 2 ≤(a 2 b 2 )(c 2 d 2 ) ， 因为a 2 b 2 4,c 2 d 2 16, ∴(ac bd ) 2 ≤64 ，因此 ac bd 8．≤ 1 1 2 x ，M 为不等式 f x 2的解集．23．(2023 全国 II 文理)已知函数 f x x 2 (I)求 M ；(II)证明：当 a ，b M 时， a b 1 ab ． 1 f x x x 2x 1 1 ，假设 1 x 1 （解析）(I)当 x 时， ； 2 2 2 21 1 1 1 当 ≤ x ≤ 时， f x x x 12 恒成立；2 2 2 2 1 1 当 x 时， f x 2x ，假设 f x 2， < x 1． 22 综上可得，Mx | 1 x 1．， ， 时，有 a (Ⅱ)当a b 1 1 2 1 b 2 1 0 ，即a 2 b 2 1 a 2 b ， 2 2 b 2 2ab 1 a 2 2ab b 2 ，则 ab 1 2 a b ，即 a b ab 1 ，证毕． 2则a 24．(2023 全国 II 文理)设a ,b ,c ,d 均为正数，且a b c d ，证明： (Ⅰ)假设ab > cd ，则 a b c d ；(Ⅱ) a b c d 是| a b | | c d | 的充要条件． （解析）(Ⅰ)∵( a b ) 由题设a b c d ，ab cd 得( a b ) (ab ) (cd )2 ，即(a b ) 因为a b c d ，∴ab cd ，由(Ⅰ) 得 a b c d ． ( a b ) ( c d )2 ，即a b 2 ab c d 2 cd ． (a b ) 4ab (c d ) 4cd (c d )2 ． 2 a b 2 ab ，( c d ) ( c d )2 ，因此 a b c d ．4ab (c d ) 4cd ． 2 c d 2 cd ，2 (Ⅱ)(ⅰ)假设| a b | | c d |，则 2 2 2 (ⅱ)假设 a b c d ， 则 因为a +b =c +d ，∴ab >cd ，于是(a b )因此| a b | | c d |．综上 a b c d 是| a b | | c d |的充要条件．a ,b ,c 2 2 2 2 25．(2023 全国 II 文理)设 均为正数，且 a b c 1，证明：1 3ab bc ca (Ⅰ) ； a 2 b 2 c 2 (Ⅱ) 1． b c a（解析）(Ⅰ) a 2 b 2 2ab ,b 2 c 2 2bc ,c 2 a 2 2ca 得a 2 b 2 c ab bc ca ，2 由题设得 a b c2 2 2 2 1，即a bc 2ab 2bc 2ca 1， 1 ∴3 ab bc ca 1，即ab bc ca． 3a 2b 2c 2 a 2 b 2 c 2 (Ⅱ)∵ b 2a , c 2b , a 2c ，∴ (a b c ) 2(a b c ) ， b c a b c aa 2b 2c 2 a 2 b 2 c 2 即 a b c ，∴ 1． b c a b c a。
增分强化练(四十三)考点一 绝对值不等式的解法已知函数f (x )＝|2x ＋1|＋|x －1|.(1)求不等式f (x )≥3的解集；(2)若直线y ＝x ＋a 与y ＝f (x )的图象所围成的多边形面积为92，求实数a 的值．解析：(1)由题意，可得函数f (x )＝⎩⎨⎧ 3x ，x ≥1x ＋2，－12＜x ＜1－3x ，x ≤－12，由f (x )≥3可知：①当x ≥1时，3x ≥3，即x ≥1； ②当－12＜x ＜1时，x ＋2≥3，即x ≥1，与－12＜x ＜1矛盾，舍去； ③当x ≤－12时，－3x ≥3，即x ≤－1； 综上可知，不等式f (x )≥3的解集为{x |x ≤－1或x ≥1}．(2)画出函数y ＝f (x )的图象，如图所示，其中A ⎝⎛⎭⎫－12，32，B (1,3)，由k AB ＝1，知y ＝x ＋a 图象与直线AB 平行，若要围成多边形，则a ＞2.易得y ＝x ＋a 与y ＝f (x )图象交于两点C ⎝⎛⎭⎫a 2，3a 2，D ⎝⎛⎭⎫－a 4，3a 4， 则|CD |＝2·⎪⎪⎪⎪a 2＋a 4＝324a . 平行线AB 与CD 间的距离d ＝|a －2|2＝a －22， 且|AB |＝322，∴梯形ABCD 的面积S ＝322＋324a 2·a －22＝32＋34a 2·(a －2)＝92，(a ＞2)． 即(a ＋2)(a －2)＝12，∴a ＝4，故所求实数a 的值为4.考点二 与绝对值有关的参数范围问题(2019·淮南模拟)已知函数f (x )＝|x －2|＋2.(1)解不等式f (x )＋f (x ＋1)>f (7)；(2)设g (x )＝|2x －a |＋|2x ＋3|，若对任意x 1∈R ，都有x 2∈R ，使得g (x 1)＝f (x 2)成立，求实数a 的取值范围．解析：(1)不等式f (x )＋f (x ＋1)>f (7)等价于|x －2|＋|x －1|>3，①当x >2时，原不等式即为2x －3>3，解得x >3，所以x >3；②当1<x ≤2时，原不等式即为1>3，解得x ∈∅，所以x ∈∅；③当x ≤1时，原不等式即为－2x ＋3>3，解得x <0，所以x <0；所以不等式f (x )＋f (x ＋1)>f (7)的解集为{x |x <0或x >3}．(2)对任意x 1∈R ，都有x 2∈R ，使得g (x 1)＝f (x 2)成立，则{y |y ＝g (x )}⊆{y |y ＝f (x )}．因为g (x )＝|2x －a |＋|2x ＋3|≥ |(2x －a )－(2x ＋3)|＝ |a ＋3|，当且仅当(2x －a )(2x ＋3)≤0时取等号，又f (x )＝|x －2|＋2≥2，所以|a ＋3|≥2，从而a ≥－1或a ≤－5，所以实数a 的取值范围(－∞，－5]∪[－1，＋∞)．考点三 不等式的证明(2019·泉州质检)已知函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪x －14＋⎪⎪⎪⎪x ＋14，M 为不等式f (x )≤2的解集． (1)求M ；(2)证明：当a ，b ∈M 时，21－ab ≥a －b .解析：(1)f (x )＝⎪⎪⎪⎪x －14＋⎪⎪⎪⎪x ＋14＝⎩⎪⎨⎪⎧ －2x ，x ≤－1412，－14<x <142x ，x ≥14， 所以不等式的解集为M ＝[－1,1]． (2)证明：要证21－ab ≥a －b ， 只需证21－ab ≥|a －b |, 即证4(1－ab )≥|a －b |2, 只需证4－4ab ≥a 2－2ab ＋b 2， 即4≥a 2＋2ab ＋b 2, 即证4≥(a ＋b )2, 只需证2≥|a ＋b |，因为a ，b ∈M ，所以|a ＋b |≤2， 所以所证不等式成立．。
