直角三角形相似的判定PPT精品文档

已知：△ABC∽△A′B′C′，相似比为k，
AB BC CA k. A'B' B'C' C'A'
AE、A′E'分别是边
∠ABC和∠A′B'C'的角平分线.
A
求证： BE k
E
B'E'
证明：∵△ABC∽△A'B'C'，
B
D
C
又∴∵∠AEB、ACA=′E∠'分B'A别'C是' .边∠ABC和∠A′B'C'的角平分线，
AE A' E'
k
A
A
'
一般地，我们有：
B F DE
C B' F' D E' C' 相似三角形对应线段的比等于相似比.
'
例题讲解
①
②
例1 如图，在△ABC中A，EAD3⊥BC,垂足为D，EF//BC,分别交
AB,AC,AD于点E,F,G，AB③ 5 , AD④=15.求AG的长.
E B
A
①
②
G F③
A
解：如图，分别作出△ABC 和 表示k的比例式是什么？
△A' B' C' 的高 AD 和 A' D' ． 则∠ADB =∠A' D' B'=90°.
AB , AC , BC A' B' A'C' B'C'
BD A '
B' D'
C ∵△ABC ∽△A′B′C′，
∴∠B＝∠B' ， ∴△ABD ∽△A' B' D' . AD AB k C' A' D' A' B'

两个三角形如果一个对 应角和一组对应边成比 例，则这两个三角形相似。
两个三角形如果一组对 应边和一个对应角成比 例，则这两个三角形相似。
02
CATALOGUE
三角形相似的判定条件
角角角（AAA）判定条件
总结词
不满足相似三角形的判定条件
详细描述
AAA条件仅表明三个角度相等，但边长不一定成比例，因此不能判定三角形相似。
在解决实际问题中的应用
建筑设计
在建筑设计中，可以利用相似三 角形来计算建筑物的尺寸和比例。
机械设计
在机械设计中，可以利用相似三角 形来计算零件的尺寸和比例。
物理学
在物理学中，可以利用相似三角形 来解释和计算物理现象，如光学、 力学等。
04
CATALOGUE
三角形相似的证明方法
直接证明法
定义法
根据相似三角形的定义，证明两 个三角形三边对应成比例，且三 角对应相等，从而判定两个三角
题目2
两个等腰三角形，一个 底角为30°，另一个底 角为45°，如果一个三 角形的顶角为120°，另 一个三角形的顶角为 90°，则这两个三角形 是否相似？
进阶练习题
总结词
考察三角形相似的复杂判定方法和综合应用
题目1
两个等腰三角形，一个底角为45°，另一个底角为60°，如果一个三角形的顶角为90°，另 一个三角形的顶角为120°，则这两个三角形是否相似？
相似比
两个相似三角形的对应边 之间的比例称为相似比。
相似三角形的性质
相似三角形对应角相等， 对应边成比例，面积比等 于相似比的平方。
相似三角形的判定定理
角角判定定理
两个三角形如果两个对 应角相等，则这两个三
角形相似。

第三章 图形的类似
3.4.1 类似三角形判定的基本定理
复习导入
定义
全等三
角形
三角、三边对应相等
的两个三角形全等
类似三 三角对应相等, 三边对应
角形
成比例的两个三角形类似
判定方法
边
角
边
角
边
角
角
角
边
边
边
边
斜边与直角边
(直角三角形）
探究新知
如图，在△ABC中，D为AB上任意一点，过点D作BC的平行线DE，交AC于点E.

∴
=
=
∠EAO=∠BAC，

∠AEO=∠B，
∠AOE=∠ACB，
当堂练习
2. 如图，已知点O在四边形ABCD的对角线AC上，OE∥CB，OF∥CD.试判
断四边形AEOF与四边形ABCD是否类似，并说明理由.
∵OF∥CD，∴△AFO∽△ADC，

∴
=
=
∠FAO=∠DAC，
DE至点F，使DE=EF. 求证：△CFE∽△ABC.
证明 ∵DE∥BC，点D为△ABC的边AB的中点，
∴AE=CE.
又∵DE=FE，∠AED=∠CEF，
∴△ADE≌△CEF.
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC.
∴△CFE∽△ABC.
知识要点
平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的三角形与原
三角形类似．
求证：只要DE//BC，△ADE与△ABC始终类似.
证明：在△ADE与△ABC中，∠A=∠A.
∵DE∥BC，
分析：根据类似三角形的定
义去证明，三角对应相等，
三边对应成比例。

通过已知条件推导出新的相似关系，逐步 构建完整的相似三角形体系。
强调逻辑推理的严密性和条理性，培养学 生分析问题和解决问题的能力。
分析法证明
从结论出发，逆向分析， 寻找使结论成立的条件。
通过分析已知条件和结论 之间的关系，找到证明相 似三角形的关键步骤。
培养学生的逆向思维能力 和分析问题的能力。
构造法证明
相似三角形在几何变换中的应用
在平移、旋转、轴对称等几何变换中，相似三角形可以保持其形状不变，因此具有一些重要的应用。例 如，在建筑设计、地图制作等领域中，常常需要利用相似三角形进行比例缩放和形状保持。
谢谢您的聆听
THANKS
04
相似三角形在代数中的应用
比例性质在方程求解中应用
利用相似三角形的比例性质，可以建立方 程求解未知数。
通过已知两边比例关系，可以推导出第三 边的长度，进而求解方程。
在复杂几何图形中，利用相似三角形的比 例关系可以简化计算过程。
比例中项在数列求和中应用
比例中项的概念可以 应用于等比数列的求 和问题。
性质
相似三角形的对应边成比例，对 应角相等。
判定方法
预备定理
SSS相似
平行于三角形的一边，并且和其他两边相 交的直线，所截得的三角形的三边与原三 角形三边对应成比例。
如果两个三角形的三组对应边的比相等， 那么这两个三角形相似。
SAS相似
AA相似
如果两个三角形的两组对应边的比相等， 并且夹角相等，那么这两个三角形相似。
在证明两个三角形相似时，要严 格按照相似三角形的判定定理进
行推导，避免出现逻辑错误。
拓展延伸：更高阶相似性质探讨
相似多边形
对应角相等，对应边成比例的两个多边形相似。相似多边形具有与相似三角形类似的性质。

与向量结合应用
向量是数学中的重要工具之一，而相似三角形与向量也有着紧密的联系。在解决一些与向量 相关的问题时，可以利用相似三角形的性质来简化计算或证明过程。
2024/3/28
与不等式结合应用
在一些复杂的数学问题中，可能需要将相似三角形的性质与不等式知识结合起来应用。例如， 在证明一些与线段长度或面积相关的不等式时，可以利用相似三角形的性质来构造不等式并 进行证明。
14
练习题与答案
答案
1. 是。因为$frac{DE}{D'E'} = frac{4}{2} = 2$，$frac{EF}{E'F'} = frac{5}{3}$且 $frac{DF}{D'F'} = frac{6}{4} = frac{3}{2}$，三边对应比例相等。
2. 是。因为$frac{GH}{G'H'} = frac{7.5}{6} = frac{5}{4}$，$frac{HI}{H'I'} = frac{10}{8} = frac{5}{4}$且$frac{GI}{G'I'} = frac{12.5}{10} = frac{5}{4}$，三边对应比例相等。
相似三角形定义及性质
2024/3/28
定义
对应角相等，对应边成比例的两个 三角形叫做相似三角形。
性质
相似三角形的对应角相等，对应边 成比例，且对应高、对应中线、对 应角平分线等也成比例。
4
对应角与对应边关系
对应角
两个相似三角形中，相等的角是对应 角。
对应边
两个相似三角形中，成比例的边是对应 边。在写对应边成比例时，要注意写清 对应边的顺序。
2024/3/28

中等难度习题解析
总结词
提高解题技巧
详细描述
涉及一些较为复杂的计算问题等。
总结词
强化综合应用
详细描述
通过一些综合性的题目，让学生综合运用相似性质和判定定理解决复 杂问题，培养学生的逻辑思维和数学应用能力。
高难度习题解析
总结词
随着科技的发展，直角三角形相 似原理将在更多领域得到应用和
推广。
教育方式的创新
随着教育技术的发展，将出现更 多创新的教育方式和方法，以帮 助学生更好地学习和掌握直角三
角形相似的知识。
如何更好地学习和掌握直角三角形相似的知识
理解基本概念
首先需要深入理解直角三角形 相似的基本概念和原理，包括 相似的定义、性质和判定方法
直角三角形相似ppt课件
目 录
• 直角三角形相似的基本概念 • 直角三角形相似的性质 • 直角三角形相似的应用 • 直角三角形相似的习题与解析 • 总结与展望
01
直角三角形相似的基本概 念
相似三角形的定义
相似三角形
两个三角形对应角相等，对应边 成比例，则这两个三角形相似。
相似比
相似三角形对应边的比值，即相 似比。
相似三角形的性质
对应角相等
两个相似三角形的对应角相等。
对应边成比例
两个相似三角形的对应边成比例，即相似比。
面积比等于相似比的平方
两个相似三角形的面积比等于它们的相似比的平方。
相似三角形的判定方法
01
02
03
角角判定
两个三角形有两个对应角 相等，则这两个三角形相 似。
边边判定
两个三角形有三边对应成 比例，则这两个三角形相 似。
如果一个直角三角形的两个锐角与另 一个直角三角形的两个锐角对应相等 ，那么这两个直角三角形相似。

大～侵略军。③（事情）失败（跟“成”相对）：功～垂成｜不计成～。④毁坏；搞坏（事情）：身～名裂｜伤风～俗｜成事不足，～事有余。⑤解除；消 除：～度｜～火。⑥破；硬质氧化设备 阳极氧化设备 钛合金阳极氧化设备 硬质氧化设备 阳极氧化设备 钛合金阳极氧化设备 ；旧； 腐烂：～絮｜～肉。⑦动凋谢；枯萎：～叶｜塘里的荷花都～了。⑧动败落：好好的一个家～在他手里了。⑨动使败落：～家。 【败北】动打败仗（“北” 本来是二人相背的意思，因此军队打败仗背向敌人逃跑叫败北）：身经百战，未尝～◇客队决赛中以二比三～。 【败笔】名写字写得不好的一笔；绘画中画 得不好的部分；诗文中写得不好的词句。 【败兵】ī名打了败仗的兵；打败仗溃散的兵。 【败果】名失败的苦果；失败的结局。 【败坏】①动损害；破坏 （名誉、风气等）：～门风｜～声誉｜～纪律。②形（道德、纪律等）极坏：道德～｜纪律～。 【败火】∥动中医指清热、凉血、解度等：～｜绿豆汤能清 心～。也说清火。 【败绩】①动原指在战争中大败，现多指在比赛或竞争中失败：屡遭～。②名在比赛或竞争中失败的结果：多次比赛，无一～。 【败家】 ∥动使家业败落：由投机起家的，也会因投机而～。 【败家子】（～儿）名不务正业、挥霍家产的子弟。现常用来比喻挥霍浪费集体或国家财产的人。 【败 将】名打了败仗的将领，多用来指较量中输的一方：手下～。 【败局】名失败的局势：～已定｜挽回～。 【败军】①动使军队打败仗：～亡国。②名打了败 仗的军队：～之将。 【败类】名集体中的堕落或变节分子：无耻～｜民族～。 【败露】动（隐蔽的事）被人发觉：阴谋～｜事情～，无法隐瞒了。 【败落】 动由盛而衰；破落；衰落：家道～。 【败诉】动诉讼中当事人的一方受到不利的判决。 【败退】动战败而退却：节节～。 【败亡】动失败而灭亡。 【败胃】 动伤害胃使胃口变坏：这东西吃多了～。 【败象】名失败或衰败的迹象：赛程刚过半，这个队就露出了～。 【败谢】动凋谢◇青春常在，永不～。 【败兴】 ∥形①因遇到不如意的事而情绪低落；扫兴：乘兴而来，～而归。②〈方〉晦气；倒霉。 【败絮】名破烂的棉絮：金玉其外，～其中（比喻外表很好，实质 很糟）。 【败血症】名病，由细菌、真菌等侵入血液而引起。症状是寒战，发热，皮肤和黏膜有出血点，脾大，严重时可出现休克。 【败叶】名干枯凋落的 叶子：枯枝～。 【败因】ī名失败的原因。 【败仗】名失利的战役或战斗：

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两角对应相等，则两三角形相似。
总结相似三角形的判定方法及应用
• 两边对应成比例且夹角相等，则两三角形相似。
总结相似三角形的判定方法及应用
应用
在几何图形中，利用相似三角形可以求解线段长度、角度大小等问题。
在物理、工程等领域，相似三角形的应用也十分广泛，如利用相似三角 形测量高度、距离等。
展望相似三角形在数学领域的发展前景
需要注意的是，必须 是两个对应的角分别 相等，而不是任意两 个角相等。
此判定方法基于角的 相等性，无需考虑三 角形的边长。
两边成比例且夹角相等的两个三角形相似
如果两个三角形的两边成比例，并且 夹角相等，则这两个三角形相似。
需要注意的是，必须是两边成比例且 夹角相等，而不是任意两边和任意夹 角。
此判定方法同时考虑了边长和角度的 因素。
定义上的联系
相似三角形和全等三角形都是基于三角形的形状和大小进行比较的概念。全等 三角形是形状和大小都完全相同的三角形，而相似三角形则是形状相同但大小 不一定相同的三角形。
性质上的联系
相似三角形和全等三角形都具有一些共同的性质。例如，它们都遵循三角形的 内角和为180°的规则，以及对应角相等、对应边成比例等性质。
三边成比例的两个三角形相似
如果两个三角形的三边成比例，则这两 个三角形相似。
此判定方法仅考虑三角形的边长，无需 考虑角度。
需要注意的是，必须是三边成比例，而 不是任意两边或一边。同时，由于浮点 数计算的精度问题，在实际应用中需要 设定一定的误差范围来判断三边是否成
比例。
03 相似三角形的应用
测量高度和距离
求解角度问题

G H I
C
相似三角形的定义 相似比的性质 相似三角形判定的预备定理
第14页/共56页
第15页/共56页
1. 对应角___相__等__, 对应边—成——比—例——的两个三角形, 叫做相似三角形 .
2. 相似三角形的—对—应——角—相——等, 各对应边——成—比——例—。 3.如何识别两三角形是否相似?
F
A
B E
第29页/共56页
（1）∠A=120°,AB=7cm,AC=14cm, ∠A`=120°,A`B`=3cm,A`C`=6cm;
(2) ∠A＝45°，AB=12cm， AC=15cm ∠A’＝45°，A’B’＝16cm，A’C’＝20cm
第30页/共56页
2、判断图中△AEB和△FEC是否相似？
∴△ADE∽△ABC
结论:三角形的中位线截得的三角形与原三角形相似
A E C
第6页/共56页
2. 如图,DE//BC, △ADE与△ABC有什么关系?说明理由.
相似
证明:在△ADE与△ABC中 ∠A= ∠A
∵ DE//BC ∴∠ADE=∠B, ∠AED=∠C
AD AE A
AB AC
过E作EF//AB交BC于F 则 AE BF
证明:在△ADE与△ABC中 ∠A= ∠A
∵ DE//BC ∴∠ADE=∠B, ∠AED=∠C
AD AE 1 过E作EF//AB交BC于F AB AC
D
可证DBFE是平行四边形 △ADE≌△EFC ∴DE=BF,DE=FC DE 1
B
F
BC 2
AD AE DE 1 AB AC BC 2
(1)AB＝6 cm， BC＝8 cm，AC＝10 cm，

2024/1/27
5
相似三角形性质总结
对应边成比例
相似三角形的对应边之比等于相似比。
对应高、中线、角平分线成比例
相似三角形的对应高、中线、角平分线之 比也等于相似比。
周长比等于相似比
相似三角形的周长之比等于相似比。
2024/1/27
面积比等于相似比的平方
相似三角形的面积之比等于相似比的平方 。
6
02
相似三角形的判定全ppt课件
2024/1/27
1
目 录
2024/1/27
• 相似三角形基本概念及性质 • 判定方法一：两边成比例且夹角相等 • 判定方法二：三边成比例 • 判定方法三：直角三角形中斜边和一直角边成
比例 • 综合运用及拓展延伸 • 课堂小结与作业布置
2
01
相似三角形基本概念及性质
2024/1/27
判定方法一：两边成比例且夹角 相等
2024/1/27
7
定理内容阐述
01
02
03
定理描述
如果两个三角形有两边成 比例，并且夹角相等，则 这两个三角形相似。
2024/1/27
定理条件
两个三角形中，任意两边 长度之比等于另两边长度 之比，且这两边所夹的角 相等。
定理
8
18
05
综合运用及拓展延伸
2024/1/27
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不同判定方法之间的联系与区别
角角角（AAA）相似
三个内角分别相等，则两个三角形相 似。此方法简单易行，但需注意AAA 相似不能推出边长成比例。
边角边（BAB）相似
两边成比例且夹角相等，则两个三角 形相似。此方法结合了边的长度和角 的大小，较为常用。