第6讲 MCMC(2007)

格式：ppt
大小：333.50 KB
文档页数：7

下载文档原格式

mcmc算法置信区间

mcmc算法置信区间Markov Chain Monte Carlo (MCMC) Algorithm and Its Confidence IntervalsMCMC, or Markov Chain Monte Carlo, is a computational method used in Bayesian statistics to sample from a probability distribution. This method constructs a Markov chain that has the desired distribution as its equilibrium distribution.MCMC算法，即马尔科夫链蒙特卡洛算法，是贝叶斯统计中用于从概率分布中抽样的计算方法。

该方法构建一个马尔科夫链，使其平衡分布为所需分布。

The key idea behind MCMC is to generate a sequence of random samples from a Markov chain that converges to the target distribution. This allows for the estimation of integrals, expectations, and other quantities related to the target distribution.MCMC的核心思想是从收敛到目标分布的马尔科夫链中生成一系列随机样本。

这有助于估计与目标分布相关的积分、期望和其他量。

One common application of MCMC is in the estimation of posterior distributions in Bayesian inference. By sampling from the posterior distribution, we can obtain confidence intervals for the parameters of interest.MCMC的一个常见应用是在贝叶斯推断中估计后验分布。

武汉大学密码学课件-张焕国教授

二、分组密码的工作模式
2、密文反馈链接模式（CBC）
①明密文链接方式（Plaintext and Ciphertext Block Chaining）
• 设明文 M=（M1 ，M2 ，…，Mn ）,
密钥为K，
密文 C = ( C1 ，C2 ，…，Cn ),
其中 Ci=
E（Mi ⊕Z ，K）， E（Mi ⊕Mi-1 ⊕Ci-1，K）,
二、分组密码的工作模式
5、X CBC (Extended Cipher Block
Chaining Encryption)模式
• X CBC模式的主要优点：
• 可以处理任意长度的数据。 • 适于计算产生检测数据完整性的消息认证码
MAC。
• X CBC模式的主要缺点：
• 有填充，不适合文件和数据库加密。 • 使用3个密钥，需要传填充长度，复杂。
Cn ＝
E（Mn ⊕Cn -1 ⊕K2，K1），当Mn 不是短块；
E（PAD（Mn）⊕Cn -1 ⊕K3，K1），当Mn是短块。
二、分组密码的工作模式
5、X CBC (Extended Cipher Block
Chaining Encryption)模式
• X CBC与CBC区别：
♣CBC要求最后一个数据块是标准块，不是短块。 ♣ X CBC既允许最后一个数据块是标准块，也允许是短块。 ♣最后一个数据块的加密方法与 CBC不同。 ♣ 因为有填充，需要传输填充长度信息。
一、计算机数据的特殊性
1、存在明显的数据模式：
• 根据明文相同、密钥相同，则密文相同的道理，这些固有的数据模式将在密文中表现出来。
• 掩盖明文数据模式的方法：预处理技术(随机掩盖) 链接技术

基于MCMC方法的统计模型的参数估计

Monte Carlo 方法可以解决各种类型的问题，但总的来说，视其是否涉及随机过
程的性态和结果，用 Monte Carlo 方法处理问题可以分为两类：第一类是确定性的数学问题。用 Monte Carlo 方法求解这类问题的方法是，首先建立一个与所求解有关的概率模型，使所求的解就是我们所建立的模型的概率分布或数学期望；然后对这个模型进行随机抽样观察，即产生随机变量；最后用其算术平均值作为所求解的近似估计值。计算多重积分、求逆矩阵、解线性代数方程组、解积分方程、解某些偏微分方程边值问题等都属于这一类。第二类是随机性问题。对于这类问题，虽然有时可表示为多重积分或某些函数方程，并进而可考虑用随机抽样方法求解，然而一般情况下都不采用这种间接模拟方法，而是采用直接模拟方法，即根据实际物理情况的概率法则，用电子计算机进行抽样试验。本文所要讨论的就是这一类。在应用 Monte Carlo 方法解决实际问题的过程中，大体上有如下几个内容：（1）（2）（3）（4）对求解的问题建立简单而又便于实现的概率统计模型，使所求的解恰好是所建立模型的概率分布或数学期望。根据概率统计模型的特点和计算实践的需要，尽量改进模型，以便减小方差和降低费用，提高计算效率。建立对随机变量的抽样方法，其中包括建立产生伪随机数的方法和建立对所遇到的分布产生随机变量的随机抽样方法。给出获得所求解的统计估计值及其方差或标准误差的方法。无论从方法的步骤方面讲，还是从结果精度和收敛性方面讲， Monte Carlo 方法都是一种具有独特风格的数值计算方法。 Monte Carlo 方法的优点及与一般数值方法的不同点，可以归纳为以下三个方面：（1） Monte Carlo 方法及其程序结构简单。Monte Carlo 方法计算积分是通过大量的简单的重复抽样实现的，因而方法和程序都很简单。（2）收敛的概率性和收敛速度与问题维数无关。（3） Monte Carlo 方法的适应性强。最显见的是在解题时受问题条件限制的影

MCMC方法研究

ｈｉｅｒ舡ｃｈｉｃａｌＢａｖｅｓｉａｎｎｌｏｄｅ．Ｔｈｅ矗ｒｓｔｓｅｃｔｉｏｎｎｌａｉｎｌｙｉｎｔｒｏｄｕｃｅｓｔｈｅｓｔ砒ｉｃｓｔａｔｅＭｏｎｔｅ
Ｃ盯ｌｏｍｅｔｈｏｄｓｍａｉｌｌｌｙｉｎｔｒｏｄｕｃｅｓｆｒｅｑｕｅｎｃｙＩＩｌｅｔｈｏｄｓａｎｄｅｘｐｅｃｔａｔｉｏＩｌｍｅｔｈｏｄｓａｌｓｏ
Ｃｈ咖，ｄｉｓｃｕｓｓａｎａｌｖｚｅｔｈｅｃｏＩｌｖｅｒｇｅｎｃｅｏｆｔｈｅＭａｒｋｏｖ
ｔｈｅｐｒｏｂｌｅｍｏｆａｓ８ｅｓｓｉｎｇｔｈｅ
ｅｒｒｏｒｏｆＭＣＭＣｍｅｔｈｏｄｓ。ＩｎｔｈｅｅｎｄｗｅｄｉｓｃｕｓｓｔｈｅａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｏｆＭＣＭＣｍｅｔｈｏｄｓｉｎ
丝丝关于学位论文使用授权的声明本人完全了解山东大学有关保留使用学位论文的规定同意学校保留或向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版允许论文被查阅和借阅
山东大学硕士学位论文 MCMC方法研究姓名：赵琪申请学位级别：硕士专业：概率论与数理统计指导教师：嵇少林
20070428
ＭＣＭＣ方法研究
但是由此我们得到一个启示，即９（ｚ）与，（ｚ）越近似，估计的精确度越高。这就是重要
抽样法的基本思想。在实践中往往灵活地寻找常用的已知类型的密度ｇ，使它在峰值
附近与ｌ，（ｚ）Ｉ较接近，以便达到降低估计方差的目的。从直观上看（１１）式给出的Ｊ是
采用均匀抽样，诸ｑ对ｊ．的贡献是１ｉ同的，，（戤）大则贡献大。但在抽样时这种差别未
ａＩｌｄＧｉｂｂｓａｌｇｏｒｉｔｈｍ，ｉｎｃｌｕｄｅｔｈｅｄｅｔａｉｌｅｄｐｒｏｃｅ８ｓｏｆｔｈｅｓｅｄｇｏｒｉｔｈｍａＩｌｄｔ１１ｅｒｅｌａｔｉｏｎｏｆｔｈｅｓｅａｌｇｏｒ扎ｈＩｎ．ｗｅａｌｓｏｄｉｓｃｕｓｇｈｏｗｔｏｉｍｐｒｏｖｅｔｈｅｓｅａｌｇｏｒｉｔｈｎｌｉｎａｐｐｌｉｃａ上ｉｏｎＴｈｅｔｈｉＴｄｓｅｃｔｉｏｎｍａｉｎｌｙｍｔ∞ｄｕｃｅｓｔｈｒＥ！ｅａｓｐｅｃｔｏｆＭＣＭＣｍｅｔｈｏｄｉ．ｅ．ｃｏＩⅣｅｒｇｅｎｃｅ、ｅｒｒｏｒ

国内中介效应的方法学研究

心理科学进展 2022, Vol. 30, No. 8, 1692–1702 © 2022 中国科学院心理研究所Advances in Psychological Sciencehttps:///10.3724/SP.J.1042.2022.016921692国内中介效应的方法学研究*温忠麟1 方杰2 谢晋艳1 欧阳劲樱1(1华南师范大学心理学院/心理应用研究中心, 广州 510631) (2广东财经大学新发展研究院/应用心理学系, 广州 510320)摘要中介效应可以分析自变量对因变量的影响过程和作用机制, 已成为分析多个变量之间关系的一种重要统计方法。

最近20年, 中介效应成了研究方法的一个热点。

从中介效应的检验方法、效应量、类别变量的中介效应检验、纵向数据的中介效应检验和模型拓展(包括多重中介、多层中介、有调节的中介和有中介的调节模型)五个方面系统总结了国内中介效应的方法学研究的发展历程。

最后对中介效应的国外方法学研究进展和中介效应的未来研究方向做了讨论和拓展。

关键词中介效应, 检验方法, 效应量, 模型拓展, 类别变量, 纵向数据分类号B841揭示变量间的关系是量化研究的一个重要目标。

中介(mediation)效应分析能解释自变量X 对因变量Y 的影响是如何通过中介变量(mediator) M 实现的, 已成为多变量研究的重要统计方法(杜岸政等, 2014; 甘怡群, 2014; 温忠麟, 叶宝娟, 2014a)。

中介变量在社会科学研究中已有近百年的历史。

例如, Woodworth (1928)在“刺激−反应” (S-R)理论的基础上提出了“刺激−机体−反应” (S-O-R)模型, 说明了刺激对于反应的作用是通过有机体内部的转化过程而发生的, “机体”就是一个中介变量。

但是直到20世纪80年代, 中介变量才受到重视, 有了分析简单中介效应模型(即一个自变量、一个中介变量、一个因变量的简单中介模型)的逐步法(Baron & Kenny, 1986; Judd & Kenny, 1981)。

统计模拟

11
Monte Carlo方法简史

2、1930年，Enrico Fermi利用Monte Carlo方法研究中子的扩散，并设计了一个Monte Carlo机械装臵， Fermiac,用于计算核反应堆的临界状态 3、Von Neumann是Monte Carlo方法的正式奠基者,他与 Stanislaw Ulam合作建立了概率密度函数、反累积分布函数的数学基础，以及伪随机数产生器。在这些工作中，Stanislaw Ulam意识到了数字计算机的重要性

合作起源于Manhattan工程：利用 ENIAC(Electronic Numerical Integrator and Computer)计算产额 Nhomakorabea
4、随着计算机和统计技术的快速发展，Monte Carlo方法不断丰富、应用也越来越广泛
13
Monte Carlo模拟的应用：

自然现象的模拟：宇宙射线在地球大气中的传输过程；高能物理实验中的核相互作用过程；实验探测器的模拟数值分析：利用Monte Carlo方法求积分金融工程：股票期权的模拟定价离散事件的模拟 ……
例子： >3+5 >3-5 >3/5 >3^5 >x=5 >?plot >help(plot)
32

向量

向量是R中最为基本的类型一个向量中元素的类型必须相同，包括
统计模拟
主讲教师：刘洪伟 E-mail: liuhungwei@
1
目录

第一章第二章第三章第四章第五章第六章第七章第八章

mcmc法 -回复

mcmc法-回复MCMC法，全称为马尔可夫链蒙特卡洛法(Markov Chain Monte Carlo Method)，是一种用于估计复杂概率分布的数学方法。

它结合了马尔可夫链和蒙特卡洛模拟的概念，通过模拟样本的状态转移过程以及蒙特卡洛方法的采样，从而对概率分布进行估计和推断。

本文将一步一步回答有关MCMC法的相关问题，希望对读者有所启发。

第一步-理解MCMC法首先，我们需要了解MCMC法的基本概念。

MCMC法是一种基于马尔可夫链的随机模拟方法，其核心思想是通过构建一个马尔可夫链，并使其收敛到目标概率分布。

简单来说，MCMC法可以通过迭代过程中的状态转移来模拟概率分布的抽样。

第二步-基本原理MCMC法的基本原理是利用转移概率矩阵和平稳分布来实现样本的模拟。

首先，我们需要定义一个转移概率矩阵，该矩阵描述了从一个状态转移到另一个状态的概率。

然后，通过迭代过程，我们可以产生一系列的状态，并最终收敛到平稳分布。

这意味着当迭代次数足够大时，产生的状态可以看作从目标概率分布中随机抽样。

第三步-具体步骤MCMC法的具体步骤如下：1. 选择初始状态：首先，我们需要选择一个初始状态，该状态可以是任意选取的。

初始状态的选择通常是基于经验或先验知识。

2. 进行状态转移：通过转移概率矩阵，我们根据当前状态转移到下一个状态。

这个转移过程是基于条件概率进行的，即当前状态决定了下一个状态的概率分布。

3. 接受或拒绝新状态：在进行状态转移后，我们需要根据一定的准则接受或拒绝新状态。

这个准则可以是接受概率、拒绝概率或其他判据。

接受或拒绝新状态的目的是保证马尔可夫链收敛到平稳分布。

4. 迭代过程：重复步骤2和步骤3，直到满足停止准则。

停止准则可以是迭代次数达到一定阈值，或者马尔可夫链收敛到平稳分布。

第四步-应用范围MCMC法在统计学和计算机科学领域有广泛的应用。

它可以用于参数估计、模型选择、贝叶斯推断等问题。

对于复杂的概率分布，MCMC法可以提供可靠的估计结果，而且不受维度灾难等问题的限制。

2007美国大学生数学建模竞赛A题特等奖论文翻译

1.序言定义的国会选区在美国长期以来一直是争论的来源。

由于district-drawers都是由当前的执政者选择，边界被用来将不支持的少数人口和支持的大多数分成一组来影响未来的选举，这一过程称为徇私。

各选区普遍呈现出奇特的形状，以一种随意的方式跨多城市和农村的纤细部门，唯一合法的立法边界的限制规定选区必须含有相同的人群，但各区的构造是完全留给district-drawers。

在英国和加拿大，各地区都更加紧凑和直观的。

他们在缓解徇私上的成功归因于将边界划分任务交给无党派顾问小组。

然而，这些独立的委员会可以采取2-3年才能最终确定一个新的划分方案，要求其有效性问题。

它似乎很清楚，美国应该建立类似的公正委员会，但应做出一些努力，以提高这些群体的效率。

因此，我们的目标是过程中，开发有助于选区重划得一个小的工具箱。

具体来说，我们将创建一个模型，使用简单的几何结构划定合理的边界。

1.1当前模型大多数用于创建选区的方法可分为两类：一是依赖于当前分界线布局（最常用县）和另一是那些不依赖于当前的分界线。

多数属于前一类。

通过使用当前的选区分界，问题归结为通过使用多种数学程序将选区分界以一个理想的方式分组。

特拉等人使用图形分割理论来聚集总人口的变化在2％左右的平均选区规模。

赫斯和韦弗使用一个迭代的过程来定义人口的重心，使用整数规划将各县分组成相等人口的选区，然后重复上述过程，直到的质心达到一个极限。

Garfinkel和Nemhauser的使用迭代矩阵操作搜索的选区组合，是连续和紧凑。

凯撒开始系统地用当前选区和相邻地区进行人口交换。

所有这些方法都使用县为他们的分界，因为它们将国家分割成数量相对较少的部分。

这是必要的，因为当使用更多分界时，大多数的他们使用的数学工具变得缓慢，不精确。

（这就像是说，当国家被划分为更多的连续部门，在极限状态下他们变得不可用。

）因此，使用小的部门，如邮政编码，平均比纽约的一个县小5倍，变得不切实际。

MCMC方法

1.非周期性：对于i ∈ S , 若正整数集 n ≥ 1 : pij
{
(n )
>0
}
对于每个状态i的最大公因子是1, 则称状态i是非周期的。 2.不可约性：对于任意状态(i, j )都存在正整数nij 使得p iijjij > 0。即所有的状态是互通的。
n
3.遍历性：一般，设齐次马氏链的状态空间为S，如果对于所有的ai , a j ∈ S，转移概率Pij (n )存在极限 lim Pij (n ) = π j (不依赖于i ) 或 π j＝∑ π j Pij
的一步转移概率矩阵。 (见黑板）
Chapman-Kolmogorov方程方程
• C-K方程方程: 方程
• 利用利用C-K方程我们容易确定步转移概率方程我们容易确定n步转移概率方程我们容易确定 • 事实上，在上式中令＝1，n＝n-1，得递推关系：事实上，在上式中令m＝，＝，得递推关系： • P(n)=P(1)P(n-1)=PP(n-1)=Pn • 就是说，对齐次马氏链而言，n步转移概率矩阵是就是说，对齐次马氏链而言，步转移概率矩阵是一步转移概率矩阵的n次方次方。一步转移概率矩阵的次方。 • 进而可知，一个进而可知，一个Markov链的概率分布完全由它的链的概率分布完全由它的一步概率矩阵与初始分布决定。一步概率矩阵与初始分布决定。 •
示另一次试验的结果，即另一条阶梯曲线。总之，面，对每一固定的t0 , X (ω , t0 )表示了一随机变量，它的取值范围就是直线t = t0与所有的这类阶梯曲线的交点的纵坐标值的集合。 X (ω , t )表示了一族阶梯曲线（或函数）。另一方
数集T ⊂ R ，若对每一t (∈ T )，均有定义在

MCMC

x* )
t
f (x )g(x x )
}
x
t +1
=x
x
t +1
*
否则
= x
t
M-H算法几点注意的问题
第一点 M-H算法虽然简单，但需要认真设计提案分布第二点第三点链的个数马氏链的长度n多大才算合适？
提案分布
提案分布的选取对于M-H抽样是非常关键的，现在比较流行的采样方案有： a . 独立马氏链采样提案分布为某个固定的密度函数g ，使得满 g( x* xt ) = g( x* ) ,由提案分布产生一个独立链，足其中抽取的每一个候选值与前面的候选值相互独立，在这种情况下
t j
−
则J个链的链内方差估计的平均值为
1 W = J s2 ∑ j
j =1 J
最后令统计量
R=
L −1 1 W+ B L L W
a.但如果链间有显著的差异，则分子将会比分母大。随着L → ∞ , R → 1 。 b.实际应用中可以接受 R < 1.2 。 c.如果选定的预烧期不能得到令人接受的结果，则或者增大D,或者增大L,或者两者同时增加。 d.一个保守的做法是将迭代的前一半都当做预烧期。
独立马氏链采样提案分布为某个固定的密度函数g使得满由提案分布产生一个独立链其中抽取的每一个候选值与前面的候选值相互独立在这种情况下实际中遇到链是否长期停留在一个或多个目标函数的峰附近
MCMC方法
—— Markov Chain Monte Carlo 方法
——马尔科夫链蒙特卡洛方法
蒙特卡洛方法
1.也称为静态的计算机随机模拟方法. 2.它从目标分布f 中随机抽取的 x1, x2 ,.....xn 的模拟。 3.在推断性的统计分析中很多感兴趣的量能够表示为某随机变量的函数的期望E{h(X)} 通过弱大数定理：

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

给定初试点 (θ ,η
(0)
(0)
(0) (0) , z1 , z2 )
(t −1)
假定在第t次迭代开始
(t −1) (t −1) , z1 , z2 )
时,已有第步的t-1值 (θ 代如下实现: (1)*
,η
(t −1)
则第t次迭
( π y (θ | η (t −1) , z (t −1) ) = (1 −η (t −1) ) Be( z1t −1) + y2 + 1, y5 + 1) 从
…… * 从 π (x | x(t ) , x(t ) ,...,x(t ) , x(t−1) ...,x(t−1) ) 中抽取x (t) (i) i 1 2 i−1 i+1 n i …… (i)*
( ( (− π (xn | x1t) , x2t) ,...,xnt−11) ) 中抽取xn(t) 从
( ( ( 记 x(t) = (x1t) , x2t) ,...,xnt) ) 则 x(1) , x(2) ,...,x(t) ,... 是Markov的实现值.
∫I
f ( x)π ( x)dx
对某个m和大的n, 做如下估计
ˆ f mn
n 1 (t ) = ∑ f (x ) n − m t =m+1
Gibbs抽样设I⊂Rn, 欲计算积分 ∫ f ( x)π ( x)dx 计算
π (x1 | x2,...,xn ),π (x2 | x1, x3,...,xn ),...,π (xn | x1, x2,...,xn−1)
如下产生Markov链的实现值x(1),…,x(n), 给定初试点
(0) (0) (0) (x1 , x2 ,...,xn )
Markov Chain Monte Carlo(MCMC)方法在许多问题, 需要计算如下积分
∫I
f ( x)π ( x)dx
其中π (x)是概率密度。当被积函数较简单，或是低维情形，可以应用以前讨论的方法做近似计算；但是，对于复杂的、高维的被积函数，以前的方法精度都不高，或难以实施，此时必须讨论新的计算方法。MCMC就是最近发展起来的一种简单且行之有效的计算方法。MCMC方法在统计物理学中得到广泛应用已有四十多年的历史，但是它在统计学，以及其他相关领域内的应用则是近十年内的事情。
例1 计算如下积分
θˆ = ∫ θπ y (θ ,η , z1 , z2 )dθdηdν z dν , z1, z2 ) ∝ ( )
4
θ
z1 + y1
1 y1 − z1 η z2 + y3 3 y4 − z2 1 − θ −η y5 ( ) ( ) ( ( ) ) 8 4 8 2
ˆ θ mn
n 1 = θ (t ) ∑ n − m t = m+1
假定在第t次迭代开始
( ( ( (x1t−1) , x2t−1) ,...,xnt−1) ) 则第t次迭时,已有第步的t-1值
代如下实现:
( ( (1)* 从 π (x1 | x2t−1) ,...,xnt−1) ) 中抽取x1(t)
(2)*
( ( ( π (x2 | x1t) , x3t−1)...,xnt−1) ) 中抽取x2(t) 从
2η (t ) ( (4)* 从 π y ( z2 | θ (t ) ,η (t ) , z1t ) ) = b( y4 , (t ) ) 2η + 3 ( z2t) 中抽取
( ( (θ (t) ,η(t) , z1t) , z2t) ),t ≥1, 迭代得到Markov的实现值
取 m=5000, n=5020,计算
中抽取 θ (t) (2)*
( π y (η | θ (t ) , z (t −1) ) = (1 − θ (t ) ) Be( z2t −1) + y3 + 1, y5 + 1) 从
中抽取 η
(t )
2θ (t ) ( (3)* 从 π y ( z1 | θ (t ) ,η (t ), z2t −1) ) = b( y1, (t ) ), 2θ + 1 ( z1t) 中抽取
利用概率统计知识,可得
π y (θ | η , z1, z2 ) = (1 −η ) Be( z1 + y2 + 1, y5 + 1) π y (η | θ , z1, z2 ) = (1 − θ ) Be( z2 + y3 + 1, y5 + 1)
2η 2θ π y ( z1 | θ ,η , z1 ) = b( y1, ), π y ( z2 | θ ,η , z1 ) = b( y4 , ) 2η + 3 2θ + 1