高一数学必修2《平面向量》测试

平面向量测试题一、选择题：1。

已知ABCD 为矩形,E 是ＤC 的中点,且−→−AB =→a ，−→−AD ＝→b ，则−→−BE =( ) (A) →b +→a 21 (Ｂ） →b －→a 21 (C ） →a ＋→b 21 （D) →a －→b 212．已知B 是线段A Ｃ的中点，则下列各式正确的是( ）（Ａ） −→−AB =-−→−BC (B) −→−AC =−→−BC 21（Ｃ） −→−BA ＝−→−BC (D ） −→−BC ＝−→−AC 213．已知ＡB ＣDEF 是正六边形，且−→−AB =→a ,−→−AE ＝→b ,则−→−BC ＝（ ） （A))(21→→-b a (B) )(21→→-a b (C) →a +→b 21 （D ） )(21→→+b a４．设→a ，→b 为不共线向量,−→−AB ＝→a +2→b ，−→−BC ＝－4→a -→b ,−→−CD = －5→a -3→b ,则下列关系式中正确的是 ( )（Ａ）−→−AD =−→−BC （Ｂ）−→−AD ＝2−→−BC (C)−→−AD ＝－−→−BC(D ）−→−AD =－2−→−BC5．将图形F 按→a ＝(h,k ）(其中h>0,k ＞0)平移，就是将图形F( ) （A ） 向x 轴正方向平移h 个单位,同时向ｙ轴正方向平移k 个单位。

（B ） 向x 轴负方向平移h 个单位,同时向y 轴正方向平移ｋ个单位。

（C ） 向x 轴负方向平移h 个单位，同时向ｙ轴负方向平移k 个单位。

（D ） 向x 轴正方向平移h 个单位，同时向y 轴负方向平移k 个单位。

６.已知→a ＝()1,21,→b =（),2223-，下列各式正确的是（ )(A) 22⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛→→b a (Ｂ） →a ·→b ＝1 (C ） →a =→b (D ） →a 与→b 平行 7．设→1e 与→2e 是不共线的非零向量,且k →1e +→2e 与→1e ＋k →2e 共线,则k 的值是（ ) （A ） 1 (B ） －１ （Ｃ） 1± (Ｄ) 任意不为零的实数８．在四边形AB ＣＤ中,−→−AB =−→−DC ，且−→−AC ·−→−BD =０，则四边形A ＢCD 是( ) （A) 矩形 (B) 菱形 (C) 直角梯形 (Ｄ） 等腰梯形9.已知M （－2,7)、N （１0,-２），点P 是线段MN 上的点,且−→−PN ＝-２−→−PM ，则P 点的坐标为（ )（A ） （-14,１６)(B ） （2２，－11）（C ） (6,1） （D ） (2,４）10.已知→a ＝（1,２），→b ＝(-2，3），且ｋ→a ＋→b 与→a －ｋ→b 垂直,则ｋ=( ) (A) 21±-(Ｂ) 12±（C)32±（D ） 23±11．把函数2)sin(3--=πx y 的图象经过按→a 平移得到x y sin =的图象，则→a =（ )(Ａ） ()2,3π-(B) ()2,3π（C ） ()2,3--π(Ｄ） ()2,3-π12.△ABC 的两边长分别为2、3，其夹角的余弦为31 ，则其外接圆的半径为（ ) (A ）229（Ｂ)429（C ）829（D ）922二、填空题：13.已知M 、N 是△A ＢC 的边BC 、CA 上的点，且−→−BM =31−→−BC ，−→−CN =31−→−CA ,设−→−AB ＝→a ,−→−AC ＝→b ，则−→−MN =14.△ABC 中,C A B cos sin sin =，其中A 、B 、Ｃ是△A ＢC 的三内角,则△ABC 是三角形。

专题6.15 平面向量及其应用全章综合测试卷（提高篇）-2022-2023学年高一数学举一反三系列（人教A 版2019必修第二册）第六章 平面向量及其应用全章综合测试卷（提高篇）【人教A 版2019】考试时间：90分钟；满分：150分姓名：___________班级：___________考号：___________考卷信息：本卷试题共22题，单选8题，多选4题，填空4题，解答6题，满分150分，限时90分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）（2022春·山西大同·高一期中） 1．下列命题中，正确的是（ ） A ．若a ⃑//b ⃑⃑，b ⃑⃑//c ⃑，则a ⃑//c ⃑ B ．若a ⃑=b ⃑⃑，b ⃑⃑=c ⃑，则a ⃑=c ⃑C ．若两个单位向量互相平行，则这两个单位向量相等D ．若a ⃑//b ⃑⃑，则a ⃑与b ⃑⃑方向相同或相反 （2022·高一课时练习）2．已知a ⃑，b ⃑⃑是不共线的向量，OA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=λa ⃑+μb ⃑⃑，OB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=3a ⃑−2b ⃑⃑，OC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=2a ⃑−3b ⃑⃑，若A,B,C 三点共线，则实数λ，µ满足（ ） A ．λ=μ−5B ．λ=μ+5C ．λ=μ−1D ．λ=μ+1（2023·全国·模拟预测）3．在△ABC 中，点D 在BC 边上，且BD =DC ，点E 在AC 边上，且AE =45AC ，连接DE ，若DE ⃑⃑⃑⃑⃑ =mAB ⃑⃑⃑⃑⃑ +nAC ⃑⃑⃑⃑⃑ ，则m +n =（ ） A ．−15B ．45C ．−45D ．15（2022秋·陕西渭南·高二期末）4．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，若a =2，b =3，∠A =30°，则解此三角形的结果有（ ）正确的是（9．有下列说法其中正确的说法为（ ） A ．若a ∥b ⃑ ,b ⃑ ∥c ，则a ∥cB ．若a ∥b ⃑ ，则存在唯一实数λ使得a =λb⃑ C ．两个非零向量a ,b ⃑ ，若|a −b ⃑ |=|a |+|b ⃑ |，则a 与b⃑ 共线且反向 D ．若2OA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+OB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+3OC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=0⃑ ,S △AOC ,S △ABC 分别表示△AOC,△ABC 的面积，则S △AOC :S △ABC =1:6（2023秋·重庆·高三学业考试）10．如图，M 是△ABC 所在平面内任意一点，O 是△ABC 的重心，则（ ）A ．AD ⃑⃑⃑⃑⃑ +BE⃑⃑⃑⃑⃑ =CF ⃑⃑⃑⃑⃑ B ．MA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ +MB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ +MC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =3MO ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ C ．MA⃑⃑⃑⃑⃑⃑ +MB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ +MC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =MD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ +ME ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ +MF ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ D ．BC⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅AD ⃑⃑⃑⃑⃑ +CA ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅BE ⃑⃑⃑⃑⃑ +AB ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅CF ⃑⃑⃑⃑⃑ =0 （2022春·云南昆明·高一期中）11．在边长为2的正方形ABCD 中，P ，Q 在正方形（含边）内，满足AP ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=xAB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+yAD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑，则下列结论正确的是（ ） A ．若点P 在BD 上时，则x +y =1 B ．x +y 的取值范围为[1,2] C ．若点P 在BD 上时，AP⃑⃑⃑⃑⃑⃑⋅AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=4 D ．若P ，Q 在线段BD 上，且|PQ |=2，则AP ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⋅AQ ⃑⃑⃑⃑⃑⃑的最小值为1 （2022春·江苏镇江·高一期末）12．已知△ABC 中，AB =1,AC =4,BC =√13,D 在BC 上，AD 为∠BAC 的角平分线，E 为AC 中点，下列结论正确的是（ ） A ．BE =√3B ．△ABC 的面积为√3 C ．AD =4√25D ．P 在△ABE 的外接圆上，则PB +2PE 的最大值为2√7三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）（2022春·高一课时练习）13．已知如图，在正六边形ABCDEF 中，与OA⃑⃑⃑⃑⃑⃑－OC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑＋CD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑相等的向量有 ．①CF ⃑⃑⃑⃑⃑⃑；②AD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑；③DA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑；④BE ⃑⃑⃑⃑⃑⃑；⑤CE ⃑⃑⃑⃑⃑⃑＋BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑；⑥CA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑－CD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑；⑦AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑＋AE ⃑⃑⃑⃑⃑⃑． （2022秋·新疆省·高三阶段练习）14．在△ABC 中，AB =5，AC =3，且AB ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅AC ⃑⃑⃑⃑⃑ =9，设P 为平面ABC 上的一点，则PA ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅(PB⃑⃑⃑⃑⃑ +PC ⃑⃑⃑⃑⃑ )的最小值是 ． （2022·全国·高三专题练习）15．根据毕达哥拉斯定理，以直角三角形的三条边为边长作正方形，从斜边上作出的正方形的面积正好等于在两直角边上作出的正方形面积之和．现在对直角三角形CDE 按上述操作作图后，得如图所示的图形，若AF⃑⃑⃑⃑⃑⃑=xAB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+yAD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑，则x −y = ．（2022·全国·高三专题练习）16．已知△ABC 中角A ，B ，C 所对的边为a ，b ，c ，AB =3√2，AC =3，点D 在BC 上，∠BAD +∠BAC =π，记△ABD 的面积为S 1，△ABC 的面积为S 2，S 1S2=23，则BC = ． 四．解答题（共6小题，满分70分）（2022·高一课时练习）17．如图所示，4×3的矩形(每个小方格都是单位正方形)，在起点和终点都在小方格的顶点处的向量中，试问：(1)与AB⃑⃑⃑⃑⃑⃑相等的向量共有几个； (2)与AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑平行且模为√2 的向量共有几个？ (3)与AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑方向相同且模为3√2 的向量共有几个？（2022秋·吉林四平·高三阶段练习）18．如图，在△OAB 中，P 为线段AB 上的一个动点（不含端点），且满足AP⃑⃑⃑⃑⃑ =λPB ⃑⃑⃑⃑⃑ .(1)若λ=13，用向量OA⃑⃑⃑⃑⃑ ,OB ⃑⃑⃑⃑⃑ 表示OP ⃑⃑⃑⃑⃑ ； (2)若|OA ⃑⃑⃑⃑⃑ |=6,|OB ⃑⃑⃑⃑⃑ |=2，且∠AOB =120°，求OP ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅AB ⃑⃑⃑⃑⃑ 的取值范围.（2022·高二课时练习）19．已知a =(1，2),b ⃑ =(−3，1) (1)求a −b⃑ ; (2)设a ，b⃑ 的夹角为θ，求cosθ的值; (3)若向量a +kb ⃑ 与a −kb ⃑ 互相垂直，求k 的值.（2022春·福建福州·高一期末）20．在如图所示的平面图形中，OM =1,ON =2，BM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑=2MA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑,CN ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=2NA⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑，求：(1)设BC⃑⃑⃑⃑⃑⃑=xOM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑+yON ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑，求x +y 的值； (2)若OM ∥CN 且∠MON ∈[π6,π4]，求AM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⋅AC⃑⃑⃑⃑⃑⃑的最小值.（2022秋·江苏徐州·高三期中）21．如图，某巡逻艇在A处发现北偏东30°相距√6+√2海里的B处有一艘走私船，正沿东偏南45°的方向以3海里/小时的速度向我海岸行驶，巡逻艇立即以2√2海里/小时的速度沿着正东方向直线追去，1小时后，巡逻艇到达C处，走私船到达D处，此时走私船发现了巡逻艇，立即改变航向，以原速向正东方向逃窜，巡逻艇立即加速以3√2海里/小时的速度沿着直线追击(1)当走私船发现了巡逻艇时，两船相距多少海里(2)问巡逻艇应该沿什么方向去追，才能最快追上走私船（2022秋·上海嘉定·高二阶段练习）22．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c．且2sinA−sinCsinC =a2+b2−c2a2+c2−b2．(1)求角B的大小；(2)求sinA+sinC的取值范围；(3)若C=π2，BC=2，O为BC中点，P为线段AO上一点，且满足BP⃑⃑⃑⃑⃑⃑⋅CP⃑⃑⃑⃑⃑⃑=0．求AP的值，并求此时△BPC的面积S．参考答案：1．B【分析】对ABC 选项找出反例，证明其错误，选项B 根据传递性很明显正确，即可求解. 【详解】对于A 选项：0⃑⃑ 平行于任何向量，若b ⃑⃑=0⃑⃑，满足a ⃑//b ⃑⃑，b ⃑⃑//c ⃑，但不一定满足a ⃑//c ⃑，故A 错；对于B 选项：根据向量传递性，正确；对于C 选项：两个单位向量互相平行，这两个单位向量相等或相反（大小相等，方向完全相反），故C 错；对于D 选项：零向量与任何非零向量都平行,且零向量的方向任意.如果a ⃑,b ⃑⃑中有一个是零向量,那么a ⃑,b ⃑⃑方向相同或相反,或者不同，故D 错. 故选：B. 2．B【解析】根据向量的线性运算方法，分别求得AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=(3−λ)a ⃑−(2+μ)b ⃑⃑，BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=−a ⃑−b ⃑⃑； 再由AB⃑⃑⃑⃑⃑⃑//BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑，得到3−λ=−(2+μ)，即可求解. 【详解】由OA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=λa ⃑+μb ⃑⃑，OB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=3a ⃑−2b ⃑⃑，OC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=2a ⃑−3b⃑⃑， 可得AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=OB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑−OA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=(3−λ)a ⃑−(2+μ)b ⃑⃑，BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=OC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑−OB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=−a ⃑−b ⃑⃑； 若A,B,C 三点共线，则AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑//BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑，可得3−λ=−(2+μ)，化简得λ=μ+5. 故选：B. 3．A【分析】由已知结合向量的线性表示及平面向量基本定理可求m ，n ，进而可求m +n ． 【详解】解：如图，连接AD则DE ⃑⃑⃑⃑⃑ =DA ⃑⃑⃑⃑⃑ +AE⃑⃑⃑⃑⃑ =−12(AB ⃑⃑⃑⃑⃑ +AC ⃑⃑⃑⃑⃑ )+45AC ⃑⃑⃑⃑⃑ =−12AB ⃑⃑⃑⃑⃑ +310AC ⃑⃑⃑⃑⃑ ， ∴m =−12，n =310，则m +n =−15. 故选：A. 4．C【分析】根据题意作出图形，推得CD<BC<AC，从而得到圆C与射线AE有两个交点，进而得到满足题意的三角形有两个，由此得解.【详解】依题意，作出∠A=30°，AC=b=3，B落在射线AE上，过C作CD⊥AE于D，如图，则在Rt△ACD中，由正弦定理CDsinA =ACsin∠CDA，得CD=ACsinAsin∠CDA=3×sin30°sin90°=32，因为BC=a=2，所以CD<BC<AC，故以C为圆心，半径为2的圆C与射线AE相交，即有两个交点B1,B2，显然，这个两交点B1,B2都可以作为点B，与A,C构造△ABC，且BC=2，所以满足题意的三角形有两个，即解此三角形的结果有两解.故选：C..5．B【分析】根据向量平行得到2m+n=4，再利用均值不等式计算得到答案.【详解】a+b⃑=(1,2)，c=(m−2,−n)，(a+b⃑)∥c，故−n=2(m−2)，即2m+n=4，当m≤0，n>0或n≤0，m>0时，mn≤0；当m>0且n>0时，2m+n=4≥2√2mn，mn≤2，当2m=n，即m=1，n=2时等号成立；综上所述：mn的最大值为2.故选：B6．B【分析】由题意可得|a+b⃑|=√102，设a+b⃑与c所成的角为θ，则有(a+b⃑)⋅c=√102cosθ，根据θ∈[0,π]求解即可.【详解】解：由题意可得|a |=|b⃑|=|c|=1，又因为a⋅b⃑=14，13．①【分析】直接利用平面向量加法与减法的运算法则以及相等向量的定义逐一判断即可. 【详解】化简OA⃑⃑⃑⃑⃑⃑−OC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+CD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=CA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+CD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=CF ⃑⃑⃑⃑⃑⃑，①合题意； 由正六边形的性质，结合图可得向量AD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑、DA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑、BE ⃑⃑⃑⃑⃑⃑与向量CF ⃑⃑⃑⃑⃑⃑方向不同， 根据向量相等的定义可得向量AD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑、DA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑、BE ⃑⃑⃑⃑⃑⃑与向量CF ⃑⃑⃑⃑⃑⃑不相等， ②③④不合题意；因为CE⃑⃑⃑⃑⃑⃑＋BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑＝BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+CE ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=BE ⃑⃑⃑⃑⃑⃑≠CF ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ，⑤不合题意； CA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑－CD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=DA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑≠CF⃑⃑⃑⃑⃑⃑，⑥不合题意； AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+AE ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=AD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑≠CF⃑⃑⃑⃑⃑⃑，⑦不合题意，故答案为①. 【点睛】本题主要考查平面向量加法与减法的运算法则以及相等向量的定义，属于基础题. 相等向量的定义：长度相等且方向相同的向量叫相等向量；两个向量只有当他们的模相等且方向相同时，才能称它们相等. 14．−132##−6.5【分析】根据数量积的运算律求出|AB ⃑⃑⃑⃑⃑ +AC ⃑⃑⃑⃑⃑ |，则PA ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅(PB ⃑⃑⃑⃑⃑ +PC ⃑⃑⃑⃑⃑ )=2PA ⃑⃑⃑⃑⃑ 2+PA ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅(AB ⃑⃑⃑⃑⃑ +AC ⃑⃑⃑⃑⃑ )，再根据数量积的定义及二次函数的性质计算可得.【详解】解：由题意得：(AB ⃑⃑⃑⃑⃑ +AC ⃑⃑⃑⃑⃑ )2=|AB ⃑⃑⃑⃑⃑ |2+|AC ⃑⃑⃑⃑⃑ |2+2AB ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅AC ⃑⃑⃑⃑⃑ =25+9+18=52， 则|AB⃑⃑⃑⃑⃑ +AC ⃑⃑⃑⃑⃑ |=2√13， ∵⟨PA⃑⃑⃑⃑⃑ ,AB ⃑⃑⃑⃑⃑ +AC ⃑⃑⃑⃑⃑ ⟩∈[0,π]， 则PA⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅(PB ⃑⃑⃑⃑⃑ +PC ⃑⃑⃑⃑⃑ )=PA ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅(PA ⃑⃑⃑⃑⃑ +AB ⃑⃑⃑⃑⃑ +PA ⃑⃑⃑⃑⃑ +AC ⃑⃑⃑⃑⃑ ) =2PA⃑⃑⃑⃑⃑ 2+PA ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅(AB ⃑⃑⃑⃑⃑ +AC ⃑⃑⃑⃑⃑ ) =2|PA⃑⃑⃑⃑⃑ |2+|PA ⃑⃑⃑⃑⃑ |×|AB ⃑⃑⃑⃑⃑ +AC ⃑⃑⃑⃑⃑ |×cos⟨PA ⃑⃑⃑⃑⃑ ,AB ⃑⃑⃑⃑⃑ +AC ⃑⃑⃑⃑⃑ ⟩ ≥2|PA ⃑⃑⃑⃑⃑ |2−|PA ⃑⃑⃑⃑⃑ |×|AB ⃑⃑⃑⃑⃑ +AC ⃑⃑⃑⃑⃑ |=2|PA ⃑⃑⃑⃑⃑ |2−2√13|PA ⃑⃑⃑⃑⃑ | =2(|PA⃑⃑⃑⃑⃑ |−√132)2−132≥−132，（当且仅当|PA⃑⃑⃑⃑⃑ |=√132时取等）． 故答案为：−132． 15．−12##-0.5【分析】建立平面直角坐标系，标出各个点的坐标，利用平面向量的坐标运算即可得解. 【详解】如图，以A 为原点，分别以AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑,AD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑为x,y 轴建立平面直角坐标系，16．6【分析】解法一：利用面积公式和已知面积比可以求得和△ABC中同时应用正弦定理并结合得到在△ABD和△ABC中同时应用余弦定理并结合，消角求值；解法二：把△ABD沿AB翻折到△）⃑⃑⃑⃑⃑⃑=0，∴PB⊥PC，∵BC=⋅CP答案第15页，共15页。

高一数学（必修二）平面向量的概念及其应用练习题及答案一、单选题1．下列说法错误的是（ ） A ．向量CD 与向量DC 长度相等 B ．单位向量都相等C ．0的长度为0，且方向是任意的D ．任一非零向量都可以平行移动2．设e 是单位向量，3AB e =，3CD e =-，3AD =，则四边形ABCD 是（ ） A ．梯形B ．菱形C ．矩形D ．正方形3．已知向量,a b 满足2π1,2,,3a b a b ===，则()a ab ⋅+=（ ） A ．2-B ．1-C ．0D ．24．已知向量a ，b 满足1a b ==，23a b +=，则向量a ，b 的夹角为（ ）A ．30B ．60C ．120D ．1505．如图，D 是AB 上靠近B 的四等分点，E 是AC 上靠近A 的四等分点，F 是DE 的中点，设AB a =，AC b =，则AF =（ ）A ．344a b - B ．344a b + C ．388a b + D ．388a b - 6．已知向量a ＝（－1，2），b ＝（3，m ），m ∈R ，则“m ＝－6”是“a ∥()a b +”的（ ） A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件7．在ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，已知45A =︒，2a =，2b =B 的大小为（ ） A ．30︒ B ．60︒ C ．30︒或150︒D ．60︒或120︒8．已知平面四边形ABCD 满足13AD BC =，平面内点E 满足52BE CE =，CD 与AE 交于点M ，若BM x AB y AD =+，则yx等于（ ） A ．52B ．52-C ．43D ．43-二、多选题9．下列说法正确的是（ ）A ．a 与b 是非零向量，则a 与b 同向是a b =的必要不充分条件B ．,,A BC 是互不重合的三点，若AB 与BC 共线，则,,A B C 三点在同一条直线上 C ．a 与b 是非零向量，若a 与b 同向，则a 与b -反向D ．设,λμ为实数，若a b λμ=，则a 与b 共线10．在ABC 中，已知π32A C ==，3CD DB =，则（ ） A ．+AB AC BC = B ．2AC AD = C ．13+44AD AB AC =D ．AD BC ⊥11．已知向量()()()1,3,2,,a b y a b a ==+⊥，则（ ） A ．()2,3b =- B ．向量,a b 的夹角为3π4C ．172a b +=D ．a 在b 方向上的投影向量是1,212．在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，下列说法中正确的是（ ） A ．“ABC 为锐角三角形”是“sin cos A B >”的充分不必要条件 B ．若sin 2sin 2A B =，则ABC 为等腰三角形 C ．命题“若A B >，则sin sin A B >”是真命题D ．若8a =，10c =，π3B =，则符合条件的ABC 有两个三、填空题13．P 在线段12PP 的反向延长线上（不包括端点），且12PP PP λ=，则实数λ的取值范围是___________.14．已知四边形ABCD 是边长为2的正方形，若3BC DE =，且F 为BC 的中点，则EA EF ⋅=______． 15．已知||1a =，()1,3b =，()b a a +⊥，则向量a 与向量b 的夹角为______．16．已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b sin A =2c sin B ，cos B =14，b =3，则△ABC 的面积为________．四、解答题17．设1e ，2e 是两个不共线的向量，如果1232AB e e =-，124BC e e =+，1289CD e e =-. (1)求证：A ，B ，D 三点共线；(2)试确定λ的值，使122e e λ+和12e e λ+共线； (3)若12e e λ+与12e e λ+不共线，试求λ的取值范围.18．化简：(1)()()532423a b b a -+-； (2)()()()111232342a b a b a b -----；(3)()()x y a x y a +--．19．已知4a =，2b =，且a 与b 夹角为120°，求： (1)2a b -；(2)a 与a b +的夹角；(3)若向量2a b λ-与3a b λ-平行，求实数λ的值．20．如图，在菱形ABCD 中，1,22CF CD CE EB ==.(1)若EF xAB y AD =+，求23x y +的值； (2)若6,60AB BAD ∠==，求AC EF ⋅.21．已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，3b =a c <，且ππ1sin cos 364A A ⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．(1)求A 的大小；(2)若sin sin 43sin a A c C B +=，求ABC 的面积．22．已知：a 、b 是同一平面内的两个向量，其中()1,2a =． (1)若5||2b =且a b +与b 垂直，求a 与b 的夹角θ ； (2)若()1,1b =且a 与a b λ+的夹角为锐角，求实数λ的取值范围．参考答案1．B 2．B 3．C 4．C 5．C 6．A 7．A 8．B 9．ABC 10．ABD 11．BD 12．AC 13．()1,0- 14．409 15．2π31691517．（1）证明：因为()121212124891284324BD BC CD e e e e e e e e AB=+=++-=-=-=，所以AB 与BD 共线.因为AB 与BD 有公共点B ， 所以A ，B ，D 三点共线.（2）因为122e e λ+与12e e λ+共线， 所以存在实数μ，使()12122e e e e λλμ=++. 因为1e ，2e 不共线，所以2,1,λμλμ=⎧⎨=⎩所以22λ=±. （3）假设12e e λ+与12e e λ+共线，则存在实数m ，使()1212e e m e e λλ+=+.因为1e ，2e 不共线，所以1,,m m λλ=⎧⎨=⎩所以1λ=±.因为12e e λ+与12e e λ+不共线， 所以1λ≠±.18．（1）()()()()532423*********a b b a a a b b a b -+-=-+-+=-. （2）()()()111131211232342342322a b a b a b a a a b b b ⎛⎫⎛⎫-----=--+-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 111123a b =-+.（3）()()()()2x y a x y a xa xa ya ya ya +--=-++=. 19．（1）解：因为()2224246844164a b a a b b -⋅+=-=++=，所以2221a b -=（2）因为()2222168412a b a a b b +=+⋅+=-+=，所以23a b +=，又()216412a b a a a b ⋅=+=-+⋅=， 所以()123cos ,43a ab a a b a a b⋅+<+>===⨯+ 所以a 与a b +的夹角为6π．（3）因为向量2a b λ-与3a b λ-平行， 所以()233a b k a b k a kb λλλ-=-=-， 因为向量a 与b 不共线，所以23k kλλ=⎧⎨=⎩，解得6λ=±20．（1）因为1122CF CD AB ==-，2CE EB =所以2233EC BC AD ==，所以21213232EF EC CF BC CD AD AB =+=+=-， 所以12,23x y =-=， 故231x y +=.（2）AC AB AD =+，()221211223263AC EF AB AD AB AD AB AB AD AD ⎛⎫∴⋅=+⋅-+=-+⋅+ ⎪⎝⎭，ABCD 为菱形，||||6,60AD AB BAD ∠∴===，所以66cos6018AB AD ⋅=⨯⨯=，2211261869263AC EF ∴⋅=-⨯+⨯+⨯=.21．（1）πππππ2sin cos cos cos 3636A A A A ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+=--+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦2πcos 21π13cos 624A A ⎛⎫++ ⎪⎛⎫⎝⎭=+== ⎪⎝⎭，∴π31cos 22A ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，因为0πA <<，得ππ7π2333A <+<，所以π2π233A +=或4323ππA +=，解得π6A =或π2A =，因为a c <，得π2A <，∴π6A =． （2）由（1）知，6A π=，sin sin 43sin a A c C B +=，由正弦定理，得22312a c b +==，由余弦定理，得2222cos a b c bc A =+-⋅，即22312323c c c -=+-， 整理，得22390c c --=，由0c >得3c =， 所以11133sin 33222ABC S bc A ==⨯=△ 22．（1）解：由()a b b +⊥得()0a b b +⋅=，即2+0a b b ⋅= ，所以254a b b ⋅=-=-，得514cos 2552a b a bθ-⋅===-⋅⨯，又[]0,πθ∈，所以2π3θ=； （2）解：因为()1,2a =，()1,1b =，所以()()()1,21,11,2a b λλλλ+=+=++ 所以()0a a b λ⋅+>，则512403λλλ+++>⇒>-， 由//a a b λ+得0λ=，由与a 与a b λ+的夹角为锐角，所以5,0(0,)3λ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭。

高一数学平面向量试题答案及解析1.已知，是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足，则的最大值是；【答案】【解析】略2.已知平面向量，且∥，则（）A．-3B．-9C．9D．1【答案】B【解析】由两向量平行坐标间的关系可知【考点】向量平行的性质3.（12分）已知向量，令且的周期为．（1）求函数的解析式；（2）若时，求实数的取值范围．【答案】（1）（2）．【解析】（1）本题考察的是求函数解析式，本题中根据平面向量的数量积，再结合辅助角公式进行化简，又的周期为，可以求出从而求出的解析式．（2）本题考察的是求参数的取值范围问题，本题中根据所给的定义域求出的值域，再根据不等式恒成立问题即可求出参数的取值范围．试题解析：（1）∵的周期为∴（2），则【考点】（1）辅助角公式（2）三角函数的值域4.在边长为的正三角形中，设，，若，则的值为A．B．C．D．【答案】D【解析】由已知可得：D为BC中点，，又因为在边长为的正三角形中，所以，故解得，故选择D【考点】平面向量的线性运算5.若向量满足：，，，则 .【答案】【解析】【考点】向量垂直与向量的坐标运算6.设，向量，，且，∥，则______________．【答案】【解析】因为，∥，所以有即，，所以【考点】向量坐标运算7.向量a=，b=，则A．a∥bB．C．a与b的夹角为60°D．a与b的夹角为30°【答案】B【解析】根据两向量平行坐标表示公式“”可得A错误；根据两向量垂直的坐标表示公式“”可得B正确；根据B可知两向量夹角为，所以C，D错误，故选择B【考点】向量线性关系8.如图所示，D是△ABC的边AB上的中点，则向量A．B．C．D．【答案】A【解析】因为，故选择A【考点】向量的加减法运算9.设是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三点，动点P满足，，则动点P的轨迹一定通过△ABC的（）A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心【答案】D【解析】,,,,则动点的轨迹一定通过的垂心．故C正确．【考点】1向量的加减法;2数量积;3向量垂直．10.已知向量则x=【答案】6【解析】由题意可得,解得．【考点】向量共线．11.（2015秋•友谊县校级期末）已知△ABC和点M满足+=﹣，若存在实数m使得m+m=成立，则m等于（）A．B．2C．D．3【答案】C【解析】作出图象，由向量加法的平行四边形法则可知M是△ABC的重心，故，代入m+m=可解出m．解：以MB，MC为邻边作平行四边形MBEC，连结ME交BC于D，如图．则，∵+=﹣，∴M在线段AD上，且|MA|=2|MD|，∵D是BC中点，∴=2=3，∵m+m=，∴3m=，∴m=．故选C．【考点】平面向量的基本定理及其意义．12.已知点（1）求证：恒为锐角；（2）若四边形为菱形，求的值【答案】（1）证明见解析（2）2【解析】（1）只需证明且三点不在一条直线上即可；（2）利用菱形的定义可求得坐标，进而求出所求的值.试题解析：（1）∵点∴∴.若A，P，B三点在一条直线上，则，得到，此方程无解，∴∴∠APB恒为锐角．（2）∵四边形ABPQ为菱形，∴，即，化简得到解得设Q（a，b），∵，∴，∴【考点】平面向量数量积的运算13.如图所示，是的边上的中点，则向量= （填写正确的序号）．①，②，③，④【答案】①【解析】．故选A．【考点】向量的线性运算．【名师】在向量线性运算时，要尽可能转化到平行四边形或三角形中，运用平行四边形法则、三角形法则，利用三角形中位线、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解．14. O为平面上的定点，A、B、C是平面上不共线的三点，若（﹣）•（+﹣2）=0，则△ABC是（）A．以AB为底边的等腰三角形B．以AB为斜边的直角三角形C．以AC为底边的等腰三角形D．以AC为斜边的直角三角形【答案】C【解析】将条件式展开化简，两边同时加上，根据向量的线性运算的几何意义即可得出答案．解：∵（﹣）•（+﹣2）=0，∴+﹣2=+﹣2．即﹣2=﹣2．两边同时加，得（）2=（）2，即AB2=BC2．∴AB=BC．∴△ABC是以AC为底边的等腰三角形．故选：C．【考点】平面向量数量积的运算．15.已知，，，则=（）A．﹣8B．﹣10C．10D．8【答案】B【解析】向量的数量积的运算和向量的模即可求出．解：，，，∴=+|+2=16+25+2=21，∴=﹣10，故选：B．【考点】平面向量数量积的运算．16.已知||=1，||=2，∠AOB=150°，点C在∠AOB的内部且∠AOC=30°，设=m+n，则=（）A．B．2C．D．1【答案】B【解析】可画出图形，由可得到，根据条件进行数量积的运算便可得到，从而便可得出关于m，n的等式，从而可以求出．解：如图，由的两边分别乘以得：；∴；∴得：；∴；∴．故选：B．【考点】向量在几何中的应用．17.已知正方形的边长为2，点是边上的中点，则的值为（）A．1B．2C．4D．6【答案】B【解析】以为原点，所在直线为轴建立直角坐标系，则，.【考点】向量数量积的坐标表示.18.=（2，3），=（﹣3，5），则在方向上的投影为．【答案】【解析】由已知向量的坐标求出与，代入投影公式得答案．解：∵=（2，3），=（﹣3，5），∴，，则=．故答案为：．【考点】平面向量数量积的运算．19.已知向量，满足||＝1，||＝2，与的夹角为120°．(1) 求及＋；(2)设向量＋与－的夹角为θ，求cosθ的值．【答案】(1);;(2).【解析】(1)根据向量的数量积的运算公式；以及；（2）根据公式，根据数量积公式，再根据公式试题解析：解析：(1)＝||||cos 120°θ＝1×2×(－)＝－1，所以|＋|2＝(＋)2＝2＋2＋2＝12＋22＋2×(－1)＝3.所以|＋|＝(2)同理可求得|－|＝.因为(＋)(－)＝2－2＝12－22＝－3，所以cosθ＝＝＝－．所以向量＋与－的夹角的余弦值为－．【考点】向量数量积20.（1）在直角坐标系中，已知三点，当为何值时，向量与共线？（2）在直角坐标系中，已知为坐标原点，，，当为何值时，向量与垂直？【答案】（1）；（2）.【解析】首先根据向量减法的线性运算得到向量与的坐标，当与共线时坐标交叉积的差等于零，当与垂直是数量积等于零，从而列出的方程，即可求得满足条件的的值.试题解析：（1）∵，又向量与共线，∴,解得（2）,当向量与垂直时，，即，解得【考点】向量的线性运算及平行与垂直的坐标表示.21.已知a，b为非零向量，且｜a＋b｜＝|a|＋|b|，则一定有（）A．a＝b B．a∥b，且a，b方向相同C．a＝－b D．a∥b，且a，b方向相反【答案】B【解析】根据向量加法的几何意义， a，b方向相同，方向相同即是共线向量.【考点】向量加法的几何意义．22.已知向量．（1）若点三点共线，求的值；（2）若为直角三角形，且为直角，求的值.【答案】（Ⅰ）-19；（Ⅱ）1.【解析】（Ⅰ）根据向量的减法运算和向量平行的充要条件即可解得；（Ⅱ）根据向量的减法运算和向量垂直的充要条件即可解得.试题解析：解：（Ⅰ）∴，.（Ⅱ），则，∴，【考点】向量的减法运算；向量平行和垂直的充要条件.23.平面内有一个和一点，线段的中点分别为的中点分别为，设.（1）试用表示向量；（2）证明线段交于一点且互相平分.【答案】（1），，；（2）证明见解析.【解析】（1）根据向量的加法、数乘的几何意义，以及向量加法的平行四边形法则，并进行向量的数乘运算便可得到，从而同理可以用分别表示出；（2）设线段、的中点分别为，用分别表示出，从而可得，即证得线段交于一点且互相平分．试题解析：（1），.（2）证明：设线段的中点为，则，设中点分别为，同理：，，∴，即其交于一点且互相平分.【考点】1、向量的三角形法则；2、向量的线性运算．【方法点睛】本题考查向量加法、数乘的几何意义，向量加法的平行四边形法则，以及向量的数乘运算，三角形中位线的性质，平行四边形的判定，平行四边形的对角线相交于一点且互相平分，考查学生逻辑推理能力，属于中档题．另一种解法：（1）；同理，；（2）证明：如图，连接，则，且，，且，∴，且，∴四边形为平行四边形，∴线段交于一点且互相平分，同理，线段交于一点且互相平分，∴线段交于一点且互相平分．24.已知是两个非零向量，当的模取最小值时.①求的值；②已知与共线且同向，求证：与垂直.【答案】①；②证明见解析.【解析】（1）设出两个向量的夹角，表示出两个向量的模长，对于模长形式，通常两边平方，得到与已知条件有关的运算，整理成平方形式，当底数为零时，结果最小；（2）本题要证明两个向量垂直，这种问题一般通过向量的数量积为零来证明，求两个向量数量积，根据上一问做出的结果，代入数量积的式子，合并同类项，得到数量积为零．得到垂直．试题解析：①令，则.当时，.②证明：与共线且同向，,,,.【考点】（1）向量的模；（2）数量积判断两个向量的垂直关系.【方法点晴】本题主要考查模长形式，通常两边平方以及证明两个向量垂直，这种问题一般通过向量的数量积为零来证明，因为在本题中主要是数学符号的运算，所以对学生的运算能力要求较高，属于难题.启发学生在理解数量积的运算特点的基础上，逐步把握数量积的运算律，引导学生注意数量积性质的相关问题的特点，以熟练地应用数量积的性质．25.已知，在方向上的投影为，则（）A．3B．C．2D．【答案】B【解析】由在方向上的投影为，则，所以，故选B.【考点】向量的数量积及向量的投影的应用.26.给出下列命题：（1）若，则；（2）向量不可以比较大小；（3）若则；（4）．其中真命题的个数为（）A．1B．2C．3D．4【答案】B【解析】由题意得，（1）中，例如，此时，但，所以不正确；（2）中，向量是既有大小又有方向的量，所示向量不能比较大小，所以（2）是正确的；（3）中，根据相等向量的概念，可得“若则”是正确的；（4）中，由，则是成立的，但由，则与是相等向量或相反向量，所以不正确，综上所述，正确命题的个数为个，故选B.【考点】向量的基本概念.【方法点晴】本题主要考查了平面向量的基本的概念——向量的模、相等向量、向量的概念、共线向量及相反向量的概念，其中牢记平面向量的基本概念是判断此类问题的关键，试题很容易出错，属于易错题，本题的解答中，（4）中，，容易忽视相反向量的概念，造成错解，应牢记向量是既有大小又有方向的量这一基本概念，防止出错.27.已知向量，若，则=（）A．B．C．D．【答案】A【解析】，．故选A．【考点】数量积的坐标运算．28.已知向量,．（1）若四边形ABCD是平行四边形，求的值；（2）若为等腰直角三角形，且为直角，求的值．【答案】（1）；（2）或．【解析】（1）根据四边形为平行四边形，利用，即可求解的值；（2）利用为等腰直角三角形，且为直角，则且，列出方程，即可求解的值．试题解析：（1），，由得x=-2,y=-5．（2），若为直角，则，∴，又，∴，再由，解得或．【考点】向量的运算及向量的垂直关系的应用．29.（1）已知，，且与的夹角为60°，求的值；（2）在矩形中，,点为的中点，点在边上，若,求的值．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）利用向量模的平方等于向量的平方，即可化简，即可求解的值；（2）设，利用，求得的值，又由，，即可运算的值．试题解析：（1） =169，得；（2）矩形ABCD中，∵点F在边CD上，∴设，，本小题也可建坐标系，用平面向量坐标运算解决．【考点】向量的模的计算及向量数量积的运算．30.已知三角形△ABC中，角A,B,C的对边分别为，若，则 =（）A．B．C．D．【答案】C【解析】【考点】向量的坐标运算31.已知向量与的夹角为，||=2,||=3,记,（1）若，求实数k的值。

高中数学必修二第六章平面向量及其应用专项训练题单选题1、定义空间两个向量的一种运算a⃑⊗b⃑⃑=|a⃑|⋅|b⃑⃑|sin⟨a⃑,b⃑⃑⟩，则关于空间向量上述运算的以下结论中恒成立的有（）A．λ(a⃑⊗b⃑⃑)=(λa⃑)⊗b⃑⃑B．(a⃑⊗b⃑⃑)⊗c⃑=a⃑⊗(b⃑⃑⊗c⃑)C．(a⃑+b⃑⃑)⊗c⃑=(a⃑⊗c⃑)+(b⃑⃑⊗c⃑)D．若a⃑=(x1,y1)，b⃑⃑=(x2,y2)，则a⃑⊗b⃑⃑=|x1y2−x2y1|答案：D分析：A．按λ的正负分类讨论可得，B．由新定义的意义判断，C．可举反例说明进行判断，D．与平面向量的数量积进行联系，用数量积求出两向量夹角的余弦值，转化为正弦值，代入计算可判断．A．(λa⃑)⊗b⃑⃑=|λa⃑||b⃑⃑|sin<λa⃑,b⃑⃑>，λ>0时，<λa⃑,b⃑⃑>=<a⃑,b⃑⃑>，(λa⃑)⊗b⃑⃑=λ|a⃑||b⃑⃑|sin<a⃑,b⃑⃑>=λ(a⃑⊗b⃑⃑)，λ=0时，λ(a⃑⊗b⃑⃑)=0,(λa⃑)⊗b⃑⃑=0，成立，λ<0时，<λa⃑,b⃑⃑>=π−<a⃑,b⃑⃑>，sin<λa⃑,b⃑⃑>=sin(π−<a⃑,b⃑⃑>)=sin<a⃑,b⃑⃑>(λa⃑)⊗b⃑⃑=−λ|a⃑||b⃑⃑|sin< a⃑,b⃑⃑>=−λ(a⃑⊗b⃑⃑)，综上，A不恒成立；B．a⃑⊗b⃑⃑是一个实数，(a⃑⊗b⃑⃑)⊗c⃑无意义，B不成立；C．若a⃑=(0,1),b⃑⃑=(1,0)，c⃑=(1,1)，则a⃑+b⃑⃑=(1,1)，<a⃑+b⃑⃑,c⃑>=0，(a⃑+b⃑⃑)⊗c⃑=|a⃑+b⃑⃑||c⃑|sin0=√2×√2×0=0，<a⃑,c⃑>=π4,<b⃑⃑,c⃑>=π4，(a⃑⊗c⃑)+(b⃑⃑⊗c⃑)=1×√2×sinπ4+1×√2×sinπ4=2，(a⃑+b⃑⃑)⊗c⃑≠(a⃑⊗c⃑)+(b⃑⃑⊗c⃑)，C错误；D．若a⃑=(x1,y1)，b⃑⃑=(x2,y2)，则|a⃑|=√x12+y12，|b⃑⃑|=√x22+y22，cos <a ⃑,b ⃑⃑>=1212√x 12+y 12×√x 22+y 22，sin <a ⃑,b ⃑⃑>=√1−cos 2<a ⃑,b ⃑⃑>=√1−(x 1x 2+y 1y 2)2(x 12+y 12)(x 22+y 22)=1221√(x 1+y 1)(x 2+y 2)， 所以a ⃑⊗b ⃑⃑=|a ⃑||b ⃑⃑|sin <a ⃑,b⃑⃑>=|x 1y 2−x 2y 1|，成立． 故选：D ．小提示：本题考查向量的新定义运算，解题关键是理解新定义，并能运用新定义求解．解题方法一种方法是直接利用新定义的意义判断求解，另一种方法是把新定义与向量的数量积进行联系，把新定义中的sin <a ⃑,b ⃑⃑>用cos <a ⃑,b⃑⃑>，而余弦可由数量积进行计算． 2、若|AB⃑⃑⃑⃑⃑⃑|=5，|AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|=8，则|BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|的取值范围是（ ） A ．[3,8]B ．(3,8)C ．[3,13]D ．(3,13)答案：C分析：利用向量模的三角不等式可求得|BC⃑⃑⃑⃑⃑⃑|的取值范围. 因为|BC⃑⃑⃑⃑⃑⃑|=|AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑−AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|，所以，||AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|−|AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑||≤|BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|≤|AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|+|AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|，即3≤|BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|≤13. 故选：C.3、已知非零平面向量a ⃗，b ⃑⃗，c ⃗，下列结论中正确的是（ ）（1）若a ⃗⋅c ⃗=b ⃑⃗⋅c ⃗，则a ⃗=b ⃑⃗；（2）若|a ⃗+b ⃑⃗|=|a ⃗|+|b ⃑⃗|，则a ⃗//b⃑⃗ （3）若|a ⃗+b ⃑⃗|=|a ⃗−b ⃑⃗|，则a ⃗⊥b ⃑⃗（4）若(a ⃗+b ⃑⃗)⋅(a ⃗−b ⃑⃗)=0，则a ⃗=b ⃑⃗或a ⃗=−b⃑⃗ A ．（1）（2）B ．（2）（3）C ．（3）（4）D ．（2）（3）（4）答案：B解析：根据向量的数量积运算，以及向量模的计算公式，逐项判断，即可得出结果.已知非零平面向量a ⃗，b ⃑⃗，c ⃗，（1）若a ⃗⋅c ⃗=b ⃑⃗⋅c ⃗，则(a ⃗−b ⃑⃗)⋅c ⃗=0，所以a ⃗=b ⃑⃗或(a ⃗−b ⃑⃗)⊥c ⃗，即（1）错；（2）若|a ⃗+b ⃑⃗|=|a ⃗|+|b ⃑⃗|，则a ⃗与b ⃑⃗同向，所以a ⃗//b⃑⃗，即（2）正确；（3）若|a ⃗+b ⃑⃗|=|a ⃗−b ⃑⃗|，则|a ⃗|2+|b ⃑⃗|2+2a ⃗⋅b ⃑⃗=|a ⃗|2+|b ⃑⃗|2−2a ⃗⋅b ⃑⃗，所以2a ⃗⋅b ⃑⃗=0，则a ⃗⊥b⃑⃗；即（3）正确；（4）若(a ⃗+b ⃑⃗)⋅(a ⃗−b ⃑⃗)=0，则|a ⃗|2−|b ⃑⃗|2=0，所以|a ⃗|=|b⃑⃗|，不能得出向量共线，故（4）错； 故选：B.小提示：本题主要考查向量数量积的运算，考查向量有关的判定，属于基础题型.4、已知向量a ⃑，b ⃑⃑满足|a ⃑|=√3，|b ⃑⃑|=2，且a ⃑⊥(a ⃑−b ⃑⃑)，则a ⃑与b⃑⃑的夹角为（ ） A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°答案：A分析：利用数量积的定义，即可求解.解：a ⃑⊥(a ⃑−b ⃑⃑),所以a ⃑⋅(a ⃑−b ⃑⃑)=0,即|a →|2−|a →||b →|cos <a →,b →>=0，解得cos <a →,b →>=√32,又因为向量夹角的范围为[0°,180°]，则a ⃑与b ⃑⃑的夹角为30°，故选：A. 5、在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且(a +b )2−c 2=4，C =120°，则△ABC 的面积为（ ）A ．√33B ．2√33C ．√3D ．2√3 答案：C解析：利用余弦定理可求ab 的值，从而可求三角形的面积.因为C =120°，故c 2=a 2+b 2−2abcos120°=a 2+b 2+ab ，而(a +b )2−c 2=4，故c 2=a 2+b 2+2ab −4=a 2+b 2+ab ，故ab =4，故三角形的面积为12×ab ×sin120°=√34×4=√3，故选：C.6、△ABC 内角A,B,C 的对边分别为a,b,c ，已知b 2+c 2−a 2=bc ，则A =（ ）A ．π6B ．5π6C ．π3D ．2π3答案：C分析：利用余弦定理求出cosA ，再求出A 即可.∵b 2+c 2−a 2=bc ,∴cosA =b 2+c 2−a 22bc =bc 2bc =12，∵0<A <π，∴A =π3. 故选：C7、已知向量a ⃑=(−1,m )，b ⃑⃑=(m +1,2)，且a ⃑⊥b⃑⃑，则m =（ ） A ．2B ．−2C ．1D ．−1答案：C分析：由向量垂直的坐标表示计算．由题意得a ⃑⋅b⃑⃑=−m −1+2m =0，解得m =1 故选：C ．8、已知直角三角形ABC 中，∠A =90°，AB =2，AC =4，点P 在以A 为圆心且与边BC 相切的圆上，则PB⃑⃑⃑⃑⃑⃑⋅PC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑的最大值为（ ）A ．16+16√55B ．16+8√55C ．165D ．565答案：D分析：建立如图所示的坐标系，根据PB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑·PC⃑⃑⃑⃑⃑⃑=|PD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|2−5可求其最大值. 以A 为原点建系，B (0,2),C (4,0)，BC:x 4+y 2=1，即x +2y −4=0，故圆的半径为r =√5 ∴圆A:x 2+y 2=165，设BC 中点为D (2,1)，PB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑·PC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=PD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑2−14BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑2=|PD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|2−14×20=|PD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|2−5， |PD |max =|AD |+r =√5+√5=√5，∴(PB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑·PC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑)max =815−5=565， 故选：D.多选题9、下列说法正确的有（ ）A ．若a ⃑//b ⃑⃑，b ⃑⃑//c ⃑，则a ⃑//c ⃑B ．若a ⃑=b ⃑⃑，b ⃑⃑=c ⃑，则a ⃑=c ⃑C ．若a ⃑//b ⃑⃑，则a ⃑与b⃑⃑的方向相同或相反D ．若AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑、BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑共线，则A 、B 、C 三点共线 答案：BD分析：取b⃑⃑=0⃑⃑可判断AC 选项的正误；利用向量相等的定义可判断B 选项的正误；利用共线向量的定义可判断D 选项的正误.对于A 选项，若b ⃑⃑=0⃑⃑，a ⃑、c ⃑均为非零向量，则a ⃑//b ⃑⃑，b ⃑⃑//c ⃑成立，但a ⃑//c ⃑不一定成立，A 错；对于B 选项，若a ⃑=b ⃑⃑，b ⃑⃑=c ⃑，则a ⃑=c ⃑，B 对；对于C 选项，若b ⃑⃑=0⃑⃑，a ⃑≠0⃑⃑，则b⃑⃑的方向任意，C 错； 对于D 选项，若AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑、BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑共线且AB 、BC 共点B ，则A 、B 、C 三点共线，D 对.故选：BD.10、下列说法正确的是（ ）A ．向量不能比较大小，但向量的模能比较大小B ．|a ⃑|与|b ⃑⃑|是否相等与a ⃑与b⃑⃑的方向无关 C ．若a ⃑//b ⃑⃑，b ⃑⃑//c ⃑，则a ⃑//c ⃑D ．若向量AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑与向量CD⃑⃑⃑⃑⃑⃑是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点在一条直线上 答案：AB分析：根据向量的定义以及向量模的定义可判断A ，B ；举反例b⃑⃑=0⃑⃑时可判断C ；由共线向量的定义可判断D ，进而可得正确选项.对于A ：向量即有大小又有方向不能比较大小，向量的模可以比较大小，故选项A 正确；对于B ：|a ⃑|与|b ⃑⃑|分别表示向量a ⃑与b ⃑⃑的大小，与a ⃑，b⃑⃑的方向无关，故选项B 正确； 对于C ：当b ⃑⃑=0⃑⃑时，向量a ⃑与c ⃑可以是任意向量都满足a ⃑//b ⃑⃑，b ⃑⃑//c ⃑，故选项C 不正确；对于D ：若向量AB⃑⃑⃑⃑⃑⃑与向量CD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑是共线向量，表示AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑与CD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑方向相同或相反，得不出A ，B ，C ，D 四点在一条直线上，故选项D 不正确；故选：AB.11、设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a 2cosAsinB =b 2sinAcosB ，则△ABC 的形状为（ ）A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形答案：AC分析：根据正弦定理和二倍角公式进行求解.∵a 2cosAsinB =b 2sinAcosB∴由正弦定理得sin 2AcosAsinB =sin 2BsinAcosB ，∵sinAcosA ≠0∴sinAcosA =sinBcosB ，即sin2A =sin2B∴2A =2B 或2A +2B =π，即该三角形为等腰三角形或直角三角形.故选：AC.填空题12、已知a ⃗,b ⃑⃑是空间两个向量，若|a ⃗|=2,|b ⃑⃗|=2,|a ⃗−b ⃑⃗|=√7，则cos 〈a ⃗,b⃑⃑〉＝________． 答案：18 分析：根据向量几何法的模长公式，可得向量数量积的值，根据向量夹角余弦值的公式，可得答案.由|a ⃑−b ⃑⃑|=√7，可知(a ⃑−b ⃑⃑)2=7，则|a ⃑|2−2a ⃑⋅b⃑⃑+|b ⃑⃑|2=7， ∵|a ⃑|=2,|b ⃑⃑|=2，∴a ⃑⋅b ⃑⃑=12，则cos⟨a ⃑⋅b ⃑⃑⟩=a ⃑⃑⋅b ⃑⃑|a ⃑⃑|⋅|b ⃑⃑|=18. 所以答案是：18. 13、如图，在矩形ABCD 中，AB =3，AD =2，DE =2EC ，M 为BC 的中点，若点P 在线段BD 上运动，则PE⃑⃑⃑⃑⃑⃗⋅PM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃗的最小值为______.答案：2352 分析：构建直角坐标系，令AP⃑⃑⃑⃑⃑⃗=λAB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗+(1−λ)AD ⃑⃑⃑⃑⃑⃗求P 的坐标，进而可得PE ⃑⃑⃑⃑⃑⃗，PM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃗，由向量数量积的坐标表示及二次函数的性质求最值即可.以A 为坐标原点，AB ，AD 分别为x ，y 建系，则E(2,2)，M(3,1)，又AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗=(3,0)，AD ⃑⃑⃑⃑⃑⃗=(0,2)，令AP⃑⃑⃑⃑⃑⃗=λAB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗+(1−λ)AD ⃑⃑⃑⃑⃑⃗=(3λ,2−2λ)，0≤λ≤1， 故P(3λ,2−2λ)，则PE⃑⃑⃑⃑⃑⃗=(2−3λ,2λ)，PM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃗=(3−3λ,2λ−1)， PE⃑⃑⃑⃑⃑⃗⋅PM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃗=(2−3λ)(3−3λ)+2λ(2λ−1) =13λ2−17λ+6， 所以λ=1726时，PE ⃑⃑⃑⃑⃑⃗⋅PM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃗取最小值2352. 所以答案是：2352.14、海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞．若要测量如图所示的蓝洞的口径A ，B 两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点C ，D ，测得CD =45m ，∠ADB =135°，∠BDC =∠DCA =15°，∠ACB =120°，则AB 两点的距离为______m ．答案：45√5分析：先将实际问题转化为解三角形的问题，再利用正、余弦定理求解。

（完整版）《平面向量》测试题及答案《平面向量》测试题一、选择题1.若三点P （1，1），A （2，-4），B （x,-9）共线，则（）A.x=-1B.x=3C.x=29D.x=512.与向量a=(-5,4)平行的向量是（）A.（-5k,4k ）B.(-k 5,-k 4)C.(-10,2)D.(5k,4k) 3.若点P 分所成的比为43，则A 分所成的比是（）A.73B. 37C.- 37D.-73 4.已知向量a 、b ，a ·b=-40，|a|=10,|b|=8，则向量a 与b 的夹角为（） A.60° B.-60° C.120° D.-120° 5.若|a-b|=32041-,|a|=4,|b|=5，则向量a ·b=（） A.103B.-103C.102D.106．(浙江)已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－3)．若向量c 满足(c ＋a )∥b ，c ⊥(a ＋b )，则c ＝( )A.? ????79，73B.? ????－73，－79C.? ????73，79D.? ????－79，－737.已知向量a=(3,4),b=(2,-1)，如果向量（a+x ）·b 与b 垂直，则x 的值为（） A.323B.233C.2D.-52 8.设点P 分有向线段21P P 的比是λ，且点P 在有向线段21P P 的延长线上，则λ的取值范围是（） A.(-∞,-1) B.(-1,0) C.(-∞,0) D.(-∞,-21) 9.设四边形ABCD 中，有DC =21，且||=|BC |，则这个四边形是（） A.平行四边形 B.矩形 C.等腰梯形 D.菱形10.将y=x+2的图像C 按a=(6,-2)平移后得C ′的解析式为（）A.y=x+10B.y=x-6C.y=x+6D.y=x-1011.将函数y=x 2+4x+5的图像按向量a 经过一次平移后，得到y=x 2的图像，则a 等于（） A.(2,-1) B.(-2,1) C.(-2,-1) D.(2,1)12.已知平行四边形的3个顶点为A(a,b),B(-b,a),C(0,0)，则它的第4个顶点D 的坐标是（） A.(2a,b) B.(a-b,a+b) C.(a+b,b-a) D.(a-b,b-a) 二、填空题13.设向量a=(2,-1)，向量b 与a 共线且b 与a 同向，b 的模为25，则b= 。

高一平面向量测试参考答案一.选择题ACCAC CBDAD AC二.填空题 1三.解答题17（1），．（2）向量在方向的投影18（1）平方得，1,23π∴⋅=⇒〈〉=a b a b ． （2）19（1），，(cos AC = ．由得．又，． （2）由，得，① 又， ()8,15-()()()2,62,24,4=+-=c ()()26416,16⋅=-=-⇒⋅=--b a b a c a b 32-=a b 2291247-⋅+=a a b b 3+=a b ()cos 3,sin AC αα=-()cos ,sin 3BC αα=-cos BC ==AC BC =sin cos αα=3,22αππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭54απ∴∈1AC BC ⋅=-()()cos 3cos sin sin 31αααα-+-=-2sin cos 3αα∴+=222sin sin 22sin 2sin cos 2sin cos sin 1tan 1cos αααααααααα++==++由①式两分平方得，，． 20（1）由题意得，∴，∴． （2）由题意知．∵， ∴，∴． ∵，∴， ∴()()()()2212161216190OA OB OA OB λλλλλλ+-⋅--=---+=， 21解：由已知得)2(sin 2)sin (sin )2(222b a B R C A R -=-，即2222b ab c a -=-.222cos 222=-+=∴ab c b a C ，4π=∴C . )43sin(sin 2sin sin 44242sin 2122A A R B A R ab C ab S -=⋅===π )sin cos (sin )sin 22cos 22(sin 2222A A A R A A A R +=+= 222221]21)42sin(22[)22cos 12sin 21(R A R A A R +≤+-=-+=π 时当83π=∴A ，面积S 有最大值2221R +. 22（1）由条件，两边平方得，又，，代入得， 412sin cos 9αα+=52sin cos 9αα∴=-22sin sin 251tan 9ααα+∴=-+13AP AB =()13OP OA OB OA -=-2133OP OA OB =+43cos606OA OB ⋅=⨯⨯︒=AP AB λ=()OP OA OB OA λ-=-()1OP OA OB λλ=-+OP AB ⊥()()10OP AB OA OB OB OA λλ⎡⎤⋅=-+⋅-=⎣⎦+=-p q p q 0⋅=p q ()sin ,A b c =+p (),sin sin －－ac C B =q ()()()sin sin sin 0a c A b c C B -++-=根据正弦定理，可化为，即， 又由余弦定理，所以，． （2），，， ()2112sin cos 22sin cos 22sin cos 3222k C k A C B k A A k A π⎛⎫⋅=++=++=+- ⎪⎝⎭m n ，而，， ①时，取最大值为，． ②时，当时取得最大值，解得或， （舍去）．③时，开口向上，对称轴小于0当取最大值，（舍去）， 综上所述，或．()()()0－a a c b c cb -++=222ac b ac +-=2222cos ＝a c b a B +-1cos 2B =3B π=1sin ,32C ⎛π⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭m ()2,cos 2n k A =()0k ≠2211sin 2sin sin 22k k k A A k A k k ⎛⎫=-++=--++ ⎪⎝⎭203A <<π(]sin 0,1A ∈01k <≤sin 1A =3222k -=1k =1k >1sin A k =1322k k +=1k =2k =1k =2k ∴=0k <sin 1A =3222k -=1k =1k =2k =。

第二章 平面向量及其应用——2024-2025学年高一数学北师大版必修二单元测试一、选择题1．已知向量,,若,则实数k 的值为( )A.3B.-B.-1C.3或-12．在中,角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,若,则角( )A. B. C. D.3．在中,角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c,且若,则的形状是( )A.等腰且非等边三角形B.直角三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形4．在中，已知，且满足，则的面积为( )A.1B.25．我国古代数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，后人称为“赵爽弦图”.他用数形结合的方法给出了勾股定理的证明，极富创新意识.“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形.如图，若大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，则( )A.9B.C.12D.6．平行四边形ABCD 中，点M 是线段BC 的中点，N 是线段CD 的中点，则向量为( )A. B.()1,1a k =- ()3,b k k =+ //a b ABC △45a b c ===，，C =120︒90︒60︒45︒ABC △222.b c a bc +=+2sin sin sin B C A =ABC △ABC △222sin sin sin sin sin A B A B C +-=4ab =ABC △AD GB ⋅= 9-12-MN1122MN AB AD =- 1344MN AD AB =+C. D.7．已知，，若，则( ).A. B. C. D.8．在中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若，( )A.60°B.75°C.60°或120°D.15°或75°二、多项选择题9．已知平行四边形的三个顶点的坐标分别是，，.则第四个顶点的坐标为( )A. B. C. D.10．下列等式一定正确的是( )A. B.C. D.11．关于平面向量，，，下列说法不正确的是( )A.B.C.若，且，则D.三、填空题12．直线的方向向量坐标可以是__________.（只需写出一个满足条件的一个向量）13．邯郸丛台又名武灵丛台,相传始建于战国赵武灵王时期,是赵王检阅军队与观赏歌舞之地,是古城邯郸的象征.如图,某学习小组为了测量邯郸丛台的高度AB,选取了与台底在同一水平面内的两个测量基点C,D,现测得,,米,在点D 处测得丛台台顶的仰角为,则丛台的高度为______米（结果精确到0.1米,取,）.(),2a x =- ()5,7b =- //a b 1122MN AD AB =- 1344MN AD AB =- x =145145-107107-ABC △45A ∠=︒a =b =C ∠=(3,7)A (4,6)B (1,2)C -(0,1)-(6,15)(2,3)-(2,3)+=+a b b a0AB BC CA ++= CA AC OA OC CA+=-+ AB BA +=0 a b c()()22·a b a b a b -+=- ()a b c a c b c+⋅=⋅+⋅ a b a c ⋅=⋅ 0a ≠ b c = ()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅ 2310x y +-=30BCD ∠=︒86BDC ∠=︒40CD =50︒tan 50 1.19︒=sin 640.90︒=14．已知点，，，()，试求当点P 在第三象限时，的取值范围________.四、解答题15．在中,已知,,,解这个三角形.16．已知点,,,则是什么形状?证明你的猜想.17．在中,角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,,且的面积为（1）求A;（2）求的周长.18．如图，在中，点P 满足，O 是线段的中点，过点O 的直线与边，分别交于点E ，F.（1）若，求的值；（2）若，，求的最小值.19．已知的内角A ，B ，C 所对的边分别为a，b ，c（1）求角B 的大小；（2）若，设的面积为S ，满足，求b 的值.ABC △30B =︒ABC △9sin sin 13A C =ABC △S =(2,3)A (5,4)B (7,10)C AP AB AC λ=+ λ∈R λb =2c =()1,2A ()2,3B ()2,5C -ABC △ABC △(sin sin )()(sin sin )A B a b c C B +-=⋅-a =ABC △ABC △2PC BP = AP AB AC AF AC = AE EB()0EB AE λλ=> ()0FC AF μμ=> 11λμ+ABC △tan A =参考答案1．答案：C解析：由题意得 ,解得或3 ,经检验, 均满足要求.故选：C.2．答案：A解析：由余弦定理可得,,．故选：A ．3．答案：C解析： ,所以,又, ,, ,,, ,从而,为等边三角形,故选：C ．4．答案：D解析：在中，已知，由正弦定理得，即，，即.，的面积为.故选D.5．答案：B解析：由题意可知，，，设，由勾股定理可得，解得，所以，所以，故选：B.6．答案：C解析：根据三角形中位线知：.故选：C.(1)(3)0k k k --+=1k =-2221cos 22a b c C ab +-==-0180C ︒<<︒ ∴120C =︒222b c a bc +=+ 2221cos 22b c a A bc +-==(0,π)A ∈π3A ∴=2sin sin sin B C A = 2bc a ∴=2222b c a bc bc +=+=b c =3B C π∴==a b c ==ABC △ABC △222sin sin sin sin sin A B A B C +-=∴222a b ab c +-=222a b c ab +-=2221cos 222a b c ab C ab ab +-∴===π3C =4ab ∴=ABC ∴△11sin 422ab C =⨯=5AD =1HE =AH x =()22215x x ++=3x =3sin 5ABH ∠=()3cos π5395AD GB BC GB GBC ⎛⎫⋅=⋅⋅-∠=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭()11112222MN BD AD AB AD AB ==-=-7．答案：C解析：由题意得，解得.故选：C.8．答案：D解析：在中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若，利用正弦定理：，整理得所以或120°.当时，，当时，.故选：D.9．答案：ABC解析：当平行四边形为时,,设点D 的坐标为.所以,所以,解得,所以点；当平行四边形为时,同理可得;当平行四边形为时,同理可得.综上可知点D 可能为,或.故选:ABC.10．答案：ABD解析：由向量加法运算律知，A ，B ，D 选项正确；，，所以选项C 错误.故选ABD.11．答案：CD710x -=-107x =ABC △45A ∠=︒a =b =sin sin a b A B =sin sin b A B a ===60B =︒60B =︒75C =︒120B =︒15C =︒ABCD AB DC = (,)x y (4,6)(3,7)(1,2)(,)x y -=--1121x y -=⎧⎨--=-⎩01x y =⎧⎨=-⎩(0,1)D -ABDC (2,3)D -ADBC (6,15)D (0,1)-(2,3)-(6,15)CA AC +=0 2OA OC CA CA -+=解析：对于A 、B ，根据向量的运算法则，及分配律，易知A 、B 正确；对于C ，当,反向且都与垂直时满足题设，但，故C 错误；对于D ，是与共线的向量，是与共线的向量，故D 错误.故选：CD.12．答案：（只需满足即可）解析：直线的斜率为，所以，直线的方向向量坐标可以为.故答案为：（只需满足即可）.13．答案：26.4解析：在中,,,则米.在中,,则米.14．答案：解析：解得，设点，则，于是，即又点P 在第三象限，所以解得.所以的取值范围为.15解析：由正弦定理,得,因为,,所以,于是或.①当时,,此时b c a b c ≠ ()a b c ⋅⋅ c ()a b c ⋅⋅ a ()3,2-()()3,20m m m -≠2310x y +-=23k =-2310x y +-=()3,2-()3,2-()()3,20m m m -≠BCD △180308664CBD ∠=︒-︒-︒=︒sin 64sin 30CD BD =︒︒202000.99BD ==ABD △tan 1.19AB ADB BD ∠==2381.1926.49AB BD =⨯=≈(),1-∞-(35,17)AP λλ=++ (,)P x y (2,3)AP x y =-- (2,3)(35,17)x y λλ--=++235,317.x y λλ-=+⎧⎨-=+⎩550,470,x y λλ=+<⎧⎨=+<⎩1λ<-λ(,1)-∞-1-sin sin c B C b ===c b >30B =︒30180C <<︒︒45C =︒135C =︒45C =︒105A =︒sin sin b A a B ====.②当时,.此时.16．答案：见解析解析：如图,在平面直角坐标系中画出点A,B,C,我们发现是直角三角形,证明如下:因为,,所以,于是,因此,是直角三角形.17．答案：（1）（2）解析：（1）因为,由正弦定理可得,整理为.由余弦定理得,因为,所以.12222112+⎝⎭==+135C =︒15A =︒sin sin b A a B ====12222112⎫⎪⎝⎭==-ABC △()()21,321,1AB =--= ()()21,523,3AC =---=- ()13130AB AC ⋅=⨯-+⨯= AB AC ⊥ ABC △π3A =10+(sin sin )()(sin sin )A B a b c C B +-=⨯-()()()a b a b c c b +-=-222b c a bc +-=1cos 2A =(0,π)A ∈π3A =（2）因为,所以.,所以.所以的周长为18．答案：（1）（2解析：（1）因为，所以，因为O 是线段的中点，所以，设，则有，因为C ，O ，E 三点共线，所以，解得，即，所以，所以；（2）因为，同理可得，由（1）可知，，所以，因为E ，O ，F 三点共线，所以，即，所以，当且仅当，即，时取等号，所以的最小值为.19．答案：（1）（2）1sin 2ABC S bc A ==△24bc =2222()328a b c bc b c bc =+-=+-=10b c +=ABC △10+232PC BP = ()11213333AP AB BP AB BC AB BA AC AB AC =+=+=++=+ AP 111236AO AP AB AC ==+ AB xAE = 136x AO AE AC =+ 1136x +=52x =25AE AB =35EB AB =23AE EB =()1AB AE EB AE AE AE λλ=+=+=+ ()1AC AF μ=+ 111236AO AP AB AC ==+ 1136AO AE AF λμ++=+ 11136λμ+++=23λμ+=()11111121233333μλλμλμλμλμ⎛⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝μ=3μ=λ=11λμ+π3B =b =解析：（1，.因为，所以，所以.因为，所以，所以.（2）由，得.又由正弦定理得，所以，解得tan A -=sin cos b A A =+sin sin cos C B A B A =+sin sin[π()]sin()C A B A B =-+=+sin sin cos )A B B A A B =+sin sin sin A B B A =(0,π)A ∈sin 0A ≠tan B =π3B =1sin 2S ac B ==12ac =sin sin sin a b c A B C ==2sin sin sin ac b A C B ⎛⎫= ⎪⎝⎭221312π9sin 3b ⨯=b =。

高一数学必修二《平面向量》单元综合测试卷(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知点A (0,1)，B (3,2)，向量AC →＝(－4，－3)，则向量BC →＝( )A ．(－7，－4)B ．(7,4)C ．(－1,4)D ．(1,4)【答案】 A2．设a ＝(1,2)，b ＝(1,1)，c ＝a ＋k b .若b ⊥c ，则实数k 的值等于( )A ．－32B ．－53C ．53D ．32【答案】 A3．已知菱形ABCD 的边长为a ，∠ABC ＝60°，则BD →·CD →＝( )A ．－32a 2B ．－34a 2C ．34a 2D ．32a 2 【答案】 D4．对任意向量a ，b ，下列关系式中不恒成立．．．．的是( ) A ．|a·b |≤|a ||b | B ．|a －b |≤||a |－|b || C ．(a ＋b )2＝|a ＋b |2 D ．(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2【答案】 B5．已知非零向量a ，b 满足|b|＝4|a|，且a ⊥(2a ＋b )，则a 与b 的夹角为( )A ．π3B ．π2C ．2π3D ．5π6【答案】 C6．△ABC 是边长为2的等边三角形，已知向量a ，b 满足AB →＝2a ，AC →＝2a ＋b ，则下列结论正确的是( )A ．|b |＝1B ．a ⊥bC ．a ·b ＝1D ．(4a ＋b )⊥BC →【答案】 D7．已知向量a ＝(2,1)，a·b ＝10，|a ＋b|＝50，则|b|＝( )A ．0B ．2C ．5D ．25【答案】 C8.已知AD ，BE 分别为△ABC 的边BC ，AC 上的中线，设AD →＝a ，BE →＝b ，则BC →等于( )A ．43a ＋23bB ．23a ＋43bC ．23a －43bD ．－23a ＋43b 【答案】 B9．设非零向量a ，b ，c 满足|a|＝|b|＝|c|，a ＋b ＝c ，则向量a ，b 的夹角为( )A ．150°B ．120°C ．60°D ．30°【答案】 B10．在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝1，E 是CD 上一点，且AE →·AB →＝1，则AE →·AC →的值为( )A ．3B ．2C ．32D ．33【答案】 B11．已知向量OA →＝(2,2)，OB →＝(4,1)，在x 轴上有一点P ，使AP →·BP →有最小值，则P 点坐标为( )A ．(－3,0)B ．(3,0)C ．(2,0)D ．(4,0)【答案】 B12．在△ABC 中，已知向量AB →与AC →满足⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|·BC →＝0且AB →·AC →|AB →||AC →|＝12，则△ABC 是( ) A ．等边三角形 B ．直角三角形 C ．等腰非等边三角形 D ．三边均不相等的三角形【答案】 A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确答案填在题中横线上)13．已知向量a ＝(m,4)，b ＝(3，－2)，且a ∥b ，则m ＝________.【答案】 －614．已知向量a ＝(2,1)，b ＝(1，－2)，若m a ＋n b ＝(9，－8)(m ，n ∈R )，则m －n 的值为________．【答案】 －315．已知向量a ＝(1，－1)，b ＝(6，－4)．若a ⊥(t a ＋b )，则实数t 的值为________．【答案】 －516．在△ABC 中，点M ，N 满足AM →＝2MC →，BN →＝NC →.若MN →＝xAB →＋yAC →，则x ＝________；y ＝________.【答案】 12 －16三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)不共线向量a ，b 的夹角为小于120°的角，且|a|＝1，|b|＝2，已知向量c ＝a ＋2b ，求|c|的取值范围．【解】 |c|2＝|a ＋2b|2＝|a|2＋4a·b ＋4|b|2＝17＋8cos θ(其中θ为a 与b 的夹角)．因为0°<θ<120°，所以－12<cos θ<1，所以13<|c|<5，所以|c |的取值范围为(13，5)．18．(本小题满分12分)设OA →＝(2，－1)，OB →＝(3,0)，OC →＝(m,3)．(1)当m ＝8时，将OC →用OA →和OB →表示； (2)若A ，B ，C 三点能构成三角形，求实数m 应满足的条件．【解】 (1)m ＝8时，OC →＝(8,3)，设OC →＝λ1OA →＋λ2OB →，∴(8,3)＝λ1(2，－1)＋λ2(3,0)＝(2λ1＋3λ2，－λ1)，∴⎩⎨⎧ 2λ1＋3λ2＝8，－λ1＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧ λ1＝－3，λ2＝143，∴OC →＝－3OA →＋143OB →. (2)若A ，B ，C 三点能构成三角形，则有AB →与AC →不共线，又AB →＝OB →－OA →＝(3,0)－(2，－1)＝(1,1)，AC →＝OC →－OA →＝(m,3)－(2，－1)＝(m －2,4)，则有1×4－(m －2)×1≠0，∴m ≠6.19．(本小题满分12分)设i ，j 是平面直角坐标系中x 轴和y 轴正方向上的单位向量，AB →＝4i －2j ，AC →＝7i ＋4j ，AD →＝3i ＋6j ，求四边形ABCD 的面积．【解】 因为AB →·AD →＝(4i －2j )·(3i ＋6j )＝3×4－2×6＝0，所以AB →⊥AD →.又因为AC →＝7i ＋4j ＝4i －2j ＋3i ＋6j ＝AB →＋AD →，所以四边形ABCD 为平行四边形，又AB →⊥AD →，所以四边形ABCD 为矩形，所以S 四边形ABCD ＝|AB →|×|AD →|＝16＋4×9＋36＝30.20．(本小题满分12分)已知a ，b ，c 在同一平面内，且a ＝(1,2)．(1)若|c |＝25，且c ∥a ，求c ； (2)若|b |＝52，且(a ＋2b )⊥(2a －b )，求a 与b 的夹角． 【解】 (1)∵c ∥a ，∴设c ＝λa ，则c ＝(λ，2λ)．又|c |＝25，∴λ＝±2，∴c ＝(2,4)或(－2，－4)．(2)∵(a ＋2b )⊥(2a －b )，∴(a ＋2b )·(2a －b )＝0.∵|a |＝5，|b |＝52，∴a ·b ＝－52，∴cos θ＝a ·b |a ||b |＝－1，又θ∈[0°，180°]，∴θ＝180°.21．(本小题满分12分)已知a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，0＜β＜α＜π.(1)若|a －b |＝2，求证：a ⊥b ；(2)设c ＝(0,1)，若a ＋b ＝c ，求α，β的值．【解】 (1)证明：由题意得|a －b |2＝2，即(a －b )2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝2.又因为a 2＝b 2＝|a |2＝|b |2＝1，所以2－2a ·b ＝2，即a ·b ＝0，故a ⊥b .(2)因为a ＋b ＝(cos α＋cos β，sin α＋sin β)＝(0,1)，所以⎩⎨⎧cos α＋cos β＝0， ①sin α＋sin β＝1， ②由①得，cos α＝cos(π－β)，由0＜β＜π，得0＜π－β＜π.又0＜α＜π，故α＝π－β.代入sin α＋sin β＝1，得sin α＝sin β＝12，而α＞β，所以α＝5π6，β＝π6.22．(本小题满分12分)已知⊙O 的直径为10，AB 是⊙O 的一条直径，长为20的线段MN 的中点P 在⊙O 上运动(异于A ，B 两点)．(1)求证：AM →·BN →与点P 在⊙O 上的位置无关；(2)当MN →与AB →的夹角θ取何值时，AM →·BN →有最大值？【解】 (1)证明：∵AB 为⊙O 的直径，P 为圆上一点，∴AP ⊥BP ，∴AP →⊥BP →，即AP →·BP →＝0.∵P 为MN 的中点，且|MN →|＝20，∴MP →＝PN →，|MP →|＝|PN →|＝10，∴AM →·BN →＝(AP →＋PM →)·(BP →＋PN →)＝(AP →－PN →)·(BP →＋PN →)＝AP →·BP →＋AP →·PN →－PN →·BP →－PN →·PN →＝PN →·(AP →－BP →)－100＝12MN →·AB →－100，∴AM →·BN →仅与MN →，AB →的夹角有关，而与点P 在⊙O 上的位置无关．(2)由(1)得，AM →·BN →＝12MN →·AB →－100＝100cos θ－100. ∵0≤θ≤π，∴当θ＝0时，AM →·BN →取得最大值0.。

第二章测试(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．有下列四个表达式： ①|a ＋b |＝|a |＋|b |； ②|a －b |＝±(|a |－|b |)； ③a 2>|a |2； ④|a ·b |＝|a |·|b |.其中正确的个数为( ) A ．0 B ．2 C ．3 D ．42．下列命题中，正确的是( ) A ．a ＝(－2,5)与b ＝(4，－10)方向相同 B ．a ＝(4,10)与b ＝(－2，－5)方向相反 C ．a ＝(－3,1)与b ＝(－2，－5)方向相反 D ．a ＝(2,4)与b ＝(－3,1)的夹角为锐角3．已知a ，b 均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|a ＋3b |＝( )A.7B.10C.13D ．4 4．已知向量a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫8＋12x ，x ，b ＝(x ＋1,2)，其中x >0，若a ∥b ，则x 的值为( )A ．8B ．4C ．2D ．05．在△ABC 中，M 是BC 的中点，AM ＝1，点P 在AM 上且满足AP →＝2PM →，则AP →·(PB →＋PC →)等于( )A.49 B.43 C ．－43D ．－496．若向量a ＝(1,1)，b ＝(2,5)，c ＝(3，x )，满足条件(8a －b )·c ＝30，则x ＝( )A ．6B ．5C ．4D ．37．向量a ＝(－1,1)，且a 与a ＋2b 方向相同，则a ·b 的取值范围是( )A ．(－1,1)B ．(－1，＋∞)C ．(1，＋∞)D ．(－∞，1)8．设单位向量e 1，e 2的夹角为60°，则向量3e 1＋4e 2与向量e 1的夹角的余弦值为( )A.34B.537C.2537D.537379．在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 为线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F ，若AC →＝a ，BD →＝b ，则AF →＝( )A.14a ＋12bB.23a ＋13bC.12a ＋14bD.13a ＋23b10．已知点B 为线段AC 的中点，且A 点坐标为(－3,1)，B 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，则C 点坐标为( )A ．(1，－3) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－54，54 C ．(4,2)D ．(－2,4)11．已知|a |＝2|b |≠0，且关于x 的方程x 2＋|a |x ＋a ·b ＝0有实根，则a 与b 夹角的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，2π3 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π 12．在△ABC 所在平面内有一点P ，如果P A →＋PB →＋PC →＝AB →，则△P AB 与△ABC 的面积之比是( )A.13B.12C.23D.34二、填空题(本大题共4小题，每题5分，共20分．将答案填在题中横线上)13．已知a ＝(2cos θ，2sin θ)，b ＝(3，3)，且a 与b 共线，θ∈[0,2π)，则θ＝________.14．假设|a |＝25，b ＝(－1,3)，若a ⊥b ，则a ＝________. 15．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若AB →·AC →＝BA →·BC →＝2，那么c ＝__________.16．关于平面向量a ，b ，c ，有下列三个命题：①若a ·b ＝a ·c ，则b ＝c ；②若a ＝(1，k )，b ＝(－2,6)，a ∥b ，则k ＝－3；③非零向量a 和b 满足|a |＝|b |＝|a －b |，则a 与a ＋b 的夹角为60°.其中真命题的序号为________．(写出所有真命题的序号) 三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)已知|a |＝3，|b |＝2，a 与b 的夹角为60°，c ＝3a ＋5b ，d ＝m a －3b .(1)当m 为何值时，c 与d 垂直？ (2)当m 为何值时，c 与d 共线？18．(12分)如图所示，在△ABC 中，∠C 为直角，CA ＝CB ，D 是CB 的中点，E 是AB 上的点，且AE ＝2EB ，求证：AD ⊥CE .19．(12分)已知在△ABC 中，A (2，－1)，B (3,2)，C (－3，－1)，AD 为BC 边上的高，求|AD →|与点D 的坐标．20．(12分)在直角坐标系中，已知OA →＝(4，－4)，OB →＝(5,1)，OB →在OA →方向上的射影数量为|OM →|，求MB →的坐标．21．(12分)如图，在平面斜坐标系xOy 中．∠xOy ＝60°，平面上任一点P 关于斜坐标系的坐标是这样定义的；若OP →＝x e 1＋y e 2(其中e 1，e 2分别为与x 轴，y 轴同方向的单位向量)，则点P 的斜坐标为(x ，y )．(1)若点P 的斜坐标为(2，－2)，求点P 到O 的距离|OP |； (2)求以O 为圆心，以1为半径的圆在斜坐标系xOy 中的方程． 22．(12分)如图，在四边形ABCD 中，BC →＝λAD →(λ∈R )，|AB →|＝|AD →|＝2，|CB →－CD →|＝23，且△BCD 是以BC 为斜边的直角三角形．(1)求λ的值；(2)求CB →·BA →的值．1.解析 对于①仅当a 与b 同向时成立．对于②左边|a －b |≥0，而右边可能≤0，∴不成立．对于③∵a 2＝|a |2，∴a 2>|a |2不成立．对于④当a ⊥b 时不成立，综上知，四个式子都是错误的．答案 A2.解析 在B 中，a ＝(4,10)＝－2(－2，－5)＝－2b ， ∴a 与b 方向相反． 答案 B3.解析 ∵|a ＋3b |2＝(a ＋3b )2＝a 2＋9b 2＋6a·b ＝1＋9＋6|a ||b |cos60°＝13，∴|a ＋3b |＝13.答案 C4.解析 ∵a ∥b ，∴(8＋12x )×2－x (x ＋1)＝0，即x 2＝16，又x >0，∴x ＝4.答案 B5.解析 M 为BC 的中点，得PB →＋PC →＝2PM →＝AP →， ∴AP →·(PB →＋PC →)＝AP →2.又∵AP →＝2PM →，∴|AP →|＝23|AM →|＝23. ∴AP →2＝|AP →|2＝49.答案 A6.解析8a －b ＝8(1,1)－(2,5)＝(6,3)，c ＝(3，x )，∴(8a －b )·c ＝(6,3)·(3，x )＝18＋3x . 又(8a －b )·c ＝30，∴18＋3x ＝30，x ＝4. 答案 C7.解析 依题意可设a ＋2b ＝λa (λ>0)， 则b ＝12(λ－1)a ，∴a ·b ＝12(λ－1)a 2＝12(λ－1)×2＝λ－1>－1. 答案 B8.解析 ∵(3e 1＋4e 2)·e 1＝3e 21＋4e 1·e 2＝3×12＋4×1×1×cos60°＝5，|3e 1＋4e 2|2＝9e 21＋16e 22＋24e 1·e 2＝9×12＋16×12＋24×1×1×cos60°＝37.∴|3e 1＋4e 2|＝37.设3e 1＋4e 2与e 1的夹角为θ，则 cos θ＝537×1＝537.答案 D9.解析 如图所示，AF →＝AD →＋DF →，由题意知，DE ：BE ＝DF ：BA ＝1：3. ∴DF →＝13AB →.∴AF →＝12a ＋12b ＋13(12a －12b )＝23a ＋13b . 答案 B10.解析 设a 与b 的夹角为θ， ∵Δ＝|a |2－4a ·b ≥0，∴a ·b ≤|a |24，∴cos θ＝a ·b |a ||b |≤|a |24|a ||b |＝12.∵θ∈[0，π]，∴θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π.答案 B11.解析 设C (x ，y )，则由AB →＝BC →，得 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－(－3)，32－1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，y －32，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －12＝72，y －32＝12，⇒⎩⎨⎧x ＝4，y ＝2，∴C (4,2)．答案 C12.解析 因为P A →＋PB →＋PC →＝AB →＝PB →－P A →，所以2P A →＋PC →＝0，PC →＝－2P A →＝2AP →，所以点P 是线段AC 的三等分点(如图所示)．所以△P AB 与△ABC 的面积之比是13.答案 A13.解析 由a ∥b ，得23cos θ＝6sin θ，∵cos θ≠0， ∴tan θ＝33，又θ∈[0,2π)，∴θ＝π6或7π6. 答案 π6或76π14.解析 设a ＝(x ，y )，则有x 2＋y 2＝20.① 又a ⊥b ，∴a ·b ＝0，∴－x ＋3y ＝0.② 由①②解得x ＝32，y ＝2，或x ＝－32， y ＝－2，∴a ＝(32，2)，或a ＝(－32，－2)． 答案 (32，2)或(－32，－2) 15.解析 由题知 AB →·AC →＋BA →·BC →＝2，即AB →·AC →－AB →·BC →＝AB →·(AC →＋CB →)＝AB →2＝2⇒c ＝|AB →|＝ 2. 答案216.解析当a ＝0时，①不成立；对于②，若a ∥b ，则－2k ＝6，∴k ＝－3，②成立；对于③，由于|a |＝|b |＝|a －b |，则以|a |，|b |为邻边的平行四边形为菱形，如图．∠BAD ＝60°，AC →＝a ＋b ，由菱形的性质可知，a 与a ＋b 的夹角为∠BAC ＝30°.答案 ②17.解 (1)令c ·d ＝0，则(3a ＋5b )·(m a －3b )＝0， 即3m |a |2－15|b |2＋(5m －9)a ·b ＝0， 解得m ＝2914. 故当m ＝2914时，c ⊥d .(2)令c ＝λd ，则3a ＋5b ＝λ(m a －3b ) 即(3－λm )a ＋(5＋3λ)b ＝0， ∵a ，b 不共线，∴⎩⎨⎧3－λm ＝0，5＋3λ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－53，m ＝－95.故当m ＝－95时，c 与d 共线．18.证明 设此等腰直角三角形的直角边长为a ，则 AD →·CE →＝(AC →＋CD →)·(CA →＋AE →)＝AC →·CA →＋CD →·CA →＋AC →·AE →＋CD →·AE →＝－a 2＋0＋a ·223a ·22＋a 2·223a ·22 ＝－a 2＋23a 2＋13a 2＝0， ∴AD →⊥CE →，∴AD ⊥CE .19.解 设D 点坐标为(x ，y )，则AD →＝(x －2，y ＋1)， BC →＝(－6，－3)，BD →＝(x －3，y －2)，∵D 在直线BC 上，即BD →与BC →共线，∴存在实数λ，使BD →＝λBC →，即(x －3，y －2)＝λ(－6，－3)．∴⎩⎨⎧ x －3＝－6λ，y －2＝－3λ，∴x －3＝2(y －2)，即x －2y ＋1＝0.①又∵AD ⊥BC ，∴AD →·BC →＝0，即(x －2，y ＋1)·(－6，－3)＝0.∴－6(x －2)－3(y ＋1)＝0.②由①②可得⎩⎨⎧ x ＝1，y ＝1.∴|AD →|＝ (1－2)2＋22＝5，即|AD →|＝5，D (1,1)．20.解 设点M 的坐标为M (x ，y )． ∵OB →在OA →方向上的射影数量为|OM →|， ∴OM →⊥MB →，∴OM →·MB →＝0.又OM →＝(x ，y )，MB →＝(5－x,1－y )，∴x (5－x )＋y (1－y )＝0.又点O ，M ，A 三点共线，∴OM →∥OA →.∴x 4＝y －4. ∴⎩⎪⎨⎪⎧ x (5－x )＋y (1－y )＝0，x 4＝y －4，解得⎩⎨⎧ x ＝2，y ＝－2. ∴MB →＝OB →－OM →＝(5－2,1＋2)＝(3,3)．21.解 (1)因为点P 的斜坐标为(2，－2)，故OP →＝2e 1－2e 2，|OP →|2＝(2e 1－2e 2)2＝8－8e 1·e 2＝8－8cos60°＝4，∴|OP →|＝2，即|OP |＝2.(2)设圆上动点M 的坐标为(x ，y )，则OM →＝x e 1＋y e 2， 又|OM →|＝1.故(x e 1＋y e 2)2＝1.∴x 2＋y 2＋2xy e 1·e 2＝1.即x 2＋y 2＋xy ＝1. 故所求方程为x 2＋y 2＋xy －1＝0.22.解 (1)因为BC →＝λAD →，所以BC ∥AD ，且|BC →|＝λ|AD →|.因为|AB →|＝|AD →|＝2，所以|BC →|＝2λ.又|CB →－CD →|＝23，所以|BD →|＝2 3.作AH ⊥BD 交BD 于H ，则H 为BD 的中点．在Rt △AHB 中，有cos ∠ABH ＝BH AB ＝32，于是∠ABH ＝30°，所以∠ADB ＝∠DBC ＝30°. 而∠BDC ＝90°，所以BD ＝BC ·cos30°，即23＝2λ·32，解得λ＝2.(2)由(1)知，∠ABC ＝60°，|CB →|＝4，所以CB →与BA →的夹角为120°， 故CB →·BA →＝|CB →|·|BA →|cos120°＝－4.。