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广州大学学生实验报告开课学院及实验室：2015年03月17 日学院数学与信息科学学院年级、专业、班数学122 姓名方正学号12151000001实验课程名称数学实验成绩实验项目名称预备实验－MATLAB使用指导老师一、实验目的初步掌握MATLAB的基本使用。
二、使用仪器、材料计算机、matlab软件三、实验步骤四、实验过程原始记录（数据、图标、计算等）五、实验结果及分析1、直接输入矩阵a=[1,2,3;4,5,6;7,8,9];得到3*3矩阵a程序：a1=[1,2,3;4,5,6;7,8,9];a1结果：a1 =1 2 34 5 67 8 92、分别建立3×3、3×2和与矩阵A同样大小的零矩阵。
(1) 建立一个3×3零矩阵。
zeros(3)程序：b2=zeros(3,3);b2结果：b2 =0 0 00 0 00 0 0(2) 建立一个3×2零矩阵。
zeros(3,2)程序：c2=zeros(3,2);c2结果：c2 =0 00 00 0(3) 设A为2×3矩阵，则可以用zeros(size(A))建立一个与矩阵A同样大小零矩阵。
A=[1 2 3;4 5 6]; %产生一个2×3阶矩阵Azeros(size(A)) %产生一个与矩阵A同样大小的零矩阵程序：A=[1,2,3;4,5,6];B=zeros(size(A));AB结果：A =1 2 34 5 6B =0 0 00 0 03、建立随机矩阵：(1) 在区间[20,50]内均匀分布的5阶随机矩阵。
程序：x3=20+(50-20)*rand(5);x3结果：x3 =25.9741 21.9434 30.0185 35.8947 40.425428.9617 49.6500 32.9872 39.2158 33.832939.8433 37.4838 26.7785 26.2721 37.034928.5323 32.7049 37.3942 31.3946 43.826334.0767 35.4654 42.8110 43.4999 21.7755(2) 均值为0.6、方差为0.1的5阶正态分布随机矩阵。
实验课题一基础编程第一大题：编程完成下列计算1. 当x = 3, x =2π 时，求1sin()xy x e =+ 的值。
%第一大题 %1x=[3,2*pi];y1=sin(x)+exp(x) %{ y1 =1517/75 31594/59 %}2. 用冒号法作等差数列x = 2,4,6,8,10求对应的函数22y x =+%2x=2:2:10;y2=x.^2+sqrt(2*x) %{ y2 =6 3841/204 7143/181 68 3761/36 %}3. 已知：22,35,a b c e π===计算：31sin cos();532tan()cot .3a y b c a y b ⎛⎫=+⨯ ⎪⎝⎭⎛⎫= ⎪⎝⎭%3a=2*pi,b=35,c=exp(2); y31=sin(a/5)+cos(b)*c y32=tan(b)*cot(a/3) %{ y31 =-4060/709y32 =-1019/3725 %}4. 将数据格式转换成有理格式后，清屏后重新输出a ,b ,c ,y 31,y 32（提示：参数选项或format rational ，清屏clc ） %4format rationalclc5.查看工作空间已有变量及信息。
(提示：打开变量信息窗口或whos)%5whos%{Name Size Bytes Class AttributesA 3x3 72 doubleA1 3x3 72 doubleA2 1x1 8 doubleA3 3x3 72 doubleS 21x2 336 doubleX 1x21 168 doubleY 1x21 168 doublea 1x1 8 doublea1 1x1 8 doublea11 1x1 8 doublea2 1x1 8 doublea21 1x1 8 doublea3 1x1 8 doublea31 1x1 8 doubleb 1x1 8 doublec 1x1 8 doubles 1x1 8 doublex 1x2 16 doubley1 1x2 16 doubley2 1x5 40 doubley31 1x1 8 doubley32 1x1 8 doubley71 1x1 8 doubley72 1x1 8 double%}6.a1=-6.28 a2=7.46 a3=5.37将a1,a2,a3分别向零取整后赋给a11,a21,a31。
大学数学实验一、问题提出：3、问题提出 3.已知方程组Ax=b，其中A∈R20×20，定义为试通过迭代法求解此方程组，认识迭代法收敛的含义以及迭代初值和方程组系数矩阵性质对收敛速度的影响。
实验要求：1）选取不同的初始向量x(0)和不同的方程组右端项向量b，给定迭代误差要求，用Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法计算，观测得到的迭代向量序列是否均收敛？若收敛，记录迭代次数，分析计算结果并得出你的结论；2）取定右端向量b和初始向量x(0)，将A的主对角线元素成倍增长若干次，非主对角线元素不变，每次用Jacobi迭代法计算，要求迭代误差满足，比较收敛速度，分析现象并得出你的结论。
二、问题分析（原理）根据Jacobi迭代法，公式：及Gauss-Seidel迭代法，公式：向量形式为：迭代法的收敛性：上面的两种迭代法将它表为等价形式：f=，再得到迭代形式：x+Bxf Bx x k k +=+)()1(， )1....(..............................,.........2,1,0=k 设*x 是原线性方程组的解，即)2...(......................................................................**f Bx x += （1）（2）相减后再由k=0递推可得：)(*)0(*)(x x B x x k k -=-由此可知， ∞→k 时序列}{)(x k 收敛于k B 趋于0，而k B 趋于0等价于B 的所有特征值小于1.这时迭代公式收敛。
三、模型建立与求解：求解矩阵A ：n=20;b=[1:20]';a1=sparse(1:n,1:n,3,n,n);a2=sparse(2:n,1:n-1,-1/2,n,n);a3=sparse(3:n,1:n-2,-1/4,n,n);a=a1+a2+a2'+a3+a3';tic;x=a\b;t1=tocaa=full(a);tic;xx=aa\b;t2=tocy=sum(x)yy=sum(xx)输出矩阵A 见附录。
大学数学实验教学的方法作者：顾海燕来源：《教书育人·高教论坛》2008年第11期数学实验在教学过程中的作用数学实验引入数学教学，补充了传统的数学教学模式，使对数学规律的认识走向了多元化，使数学技术更直接的被学生接受并转化为适应社会和未来工作需要的能力和素质。
数学实验的内容1.数值计算实验简单的计算可以以简单的方式来完成，但复杂的工程和科学计算必须使用计算机，尤其是大型计算机，设计一定的算法，按照一定的步骤，编制相应的程序来完成。
由于计算过程的复杂性及精度要求，这个过程带有典型的实验特征而需要反复进行。
数值计算技术已逐渐成为科学工程师的必备素质，这部分实验应该在大学生和研究生中广泛应用。
2.数据处理实验现实中存在大量杂乱无章的数据，如：生产数据，经济数据，科学研究数据，涉及工业、农业、军事及各个行业和部门。
如何在这些数据中依据一定的方法寻找其规律，作出合理的决策，这就是数据处理的任务。
数据处理是一个提出假设进行分析抽象的过程，同时又是一个实验的过程。
理论上的传授是—个方面，对这门技术的掌握又是一个方面，必须靠实验的途径来完成。
在教学中，该方面的实验需要一定的设备产生数据，一定的设备处理现实数据并以直观的形式如图形图像表现出来。
3.数学建模实验数学建模是综合运用数学知识创造性地解决实际问题的过程，体现了观察、假设、抽象，建模及求解的综合。
而数学建模实验则是对这个过程的再现，对培养学生的创新能力具有重要作用。
但这个概念是一个相当泛泛的代名词，缺乏统一规范的实验内容，边界极不明确，需要在实验教材的编写中作出合理的调整，总结起来，以案例的形式进行演示比较适宜。
数学实验的工具数学实验以计算机为实验工具，实际上是计算机数学实验。
计算机最直接和最明显的功能就是能够高速度地进行大量的重复计算。
计算机仿真实验可将所要研究的问题的数学模型转换为输入计算机进行运算的形式，或将所研究的问题设计成实验，将图形显示在计算机屏幕上，由计算机进行大量计算、推导与证明，得出某种新的结论或新的发现。
《数学实验》实验指导书龚劬重庆大学数学实验教学示范中心目录预备实验——桥梁分析 (3)实验1 MATLAB软件入门 (8)实验2 方程模型及其求解算法 (25)实验3 收敛与混沌——迭代 (30)实验4 微分方程模型、求解及稳定性分析 (33)实验5 插值方法 (36)实验6 数据拟合及参数辨识方法 (39)实验7 回归分析模型、求解及检验 (42)实验8 连续系统与离散系统的计算机模拟 (45)实验9 线性规划模型、求解及灵敏度分析 (47)实验10 非线性规划与多目标规划模型及其求解 (51)实验11 如何表示二元关系—图的模型及矩阵表示 (54)实验12 改进技术的最佳实施问题——综合实验 (57)实验13 人口增长模型及其数量预测——综合实验 (59)实验14 River-bay系统水污染问题_____综合实验 (61)实验15 炮弹发射角的确定———综合实验 (63)实验16 探究实验 (64)实验17 开采沙子——综合实验 (65)实验18 海水中提取淡水——综合实验 (69)实验19 警惕氯仿污染——综合实验 (73)实验20 机动车尾气排放——综合实验 (83)实验21 计算机断层扫描图像——综合实验 (91)预备实验——桥梁分析教学目的和要求：通过桥梁分析问题，使学生：1.了解线性代数在土木工程中的应用；2.了解如何通过做一些使问题简化的假设，建立实际问题的数学模型；3.体会学好线性代数知识的重要性；4.激发学习线性代数的兴趣。
知识点：线性方程组向量分解必备技能：1. 力的平衡分析；2. 向量分解；3. 求解线性方程组。
主要内容1．应用场景2．问题分析3．建立数学模型4．实验任务1．应用场景解方程组在许多领域都有应用。
下面给出一个在土木工程中的应用例子，虽然加入了一些幽默元素，但类似的情形土木工程师会经常遇到。
图1：一个危险的情况一位货运司机正驾着卡车为一个数学家聚会运送物资，但他的卡车超载了。
Contents差分方程和数值微分实验 (3)1.1 差分方程的基本定义 (3)1.2 一阶线性常系数差分方程 (4)1.3高阶线性常系数差分方程 (4)1.4 线性常系数差分方程组 (4)1.5 非线性差分方程 (5) (5)1 插值与拟合 (6)1.1 插值与拟合的基本概念 (6)1.2 三种插值方法 (6)2 数值积分 (8)2.1 数值积分的基本思路 (8) (8) (9)常微分方程的初值问题 (10)2.初值问题的数值解法 (10)2.1 欧拉方法 (10)2.2 龙格-库塔方法 (10)常微分方程组和高阶方程初值问题的数值方法 (11)2.3 龙格-库塔方法的MATLAB实现 (11)2.4 算法的收敛性、稳定性分析 (12)刚性现象与刚性方程 (12) (12)线性代数方程组的一般形式和解法 (12)2.求解线性代数方程组的直接法 (13)2.1 高斯消元法 (13)2.2 LU分解 (13)2.3 解的误差分析P95 (14)3.求解线性代数方程组的迭代法 (14)3.1 雅可比迭代法 (14)3.2 高斯-赛德尔迭代法 (15)3.3 迭代法的收敛性和收敛速度 (15)3.4 超松弛迭代 (15)4.超定线性代数方程组的最小二乘解 (15)4.1 超定线性方程组的概念 (15)4.2 最小二乘准则 (16)4.3 最小二乘解 (16)4.4 基函数的选取 (16) (16) (17)1 非线性方程(组)的定义及特点 (17)2 非线性方程的基本解法 (17)2.1 图形法和二分法 (17)2.2 迭代法 (18)3 非线性方程组的牛顿法、拟牛顿法 (19)4 用MATLAB工具箱解非线性方程(组) (20)4.1 fzero的基本用法 (20)4.2 fsolve的基本用法 (21)的基本用法 (22) (22)1．无约束优化的基本原理、解法 (22)1.1 无约束优化的一般形式 (22)1.2 最优性条件 (22)1.3 下降法的基本思想 (22)1.4 用MATLAB优化工具箱解无约束优化问题 (23)2．非线性最小二乘拟合的基本原理、解法 (24)2.1 非线性最小二乘拟合问题 (24)2.2 非线性最小二乘拟合问题的解法 (25)用MATLAB优化工具箱解非线性最小二乘拟合问题 (25) (27)11.线性规划的基本原理、解法 (27)1.1 线性规划的图解法 (27)1.2 线性规划的标准形 (27)1.3基本可行解 (27)1.4 线性规划的基本性质 (27)1.5 单纯形法的基本思路 (28)1.6 线性规划解的几种可能 (28)1.7 用MATLAB优化工具包解线性规划 (28)2.非线性规划的基本原理、解法 (30)2.1 非线性规划的一般形式 (30)2.2 可行方向与下降方向 (30)2.3 最优解的必要条件 (30)2.4 二次规划的一般形式 (31)2.5 二次规划的有效集方法 (31)2.6 用MATLAB优化工具包解二次规划 (32)2.7 非线性规划的解法 (32)优化工具包解非线性规划 (33) (35)1 统计的基本概念 (35)2 频数表和直方图 (35)3 统计量 (35)4 统计中几个重要的概率分布 (36)4.1 分布函数、密度函数和分位数 (36)4.2 统计中几个重要的概率分布 (36)4.3 MATLAB统计工具箱(Toolbox\Stats)中的概率分布P246 (37)5 正态总体统计量的分布 (37)6. 用随机模拟计算数值积分 (38)6.1两种方法 (38)6.2重积分的计算 (39)6.3MATLAB实现 (39)统计推断 (39)1、参数估计 (39)1.1 点估计 (39)1.2 点估计的评价标准 (40)1.3 总体均值的区间估计 (41)1.4 总体方差的区间估计 (42)1.5 参数估计的MATLAB实现 (43)2、假设检验 (43)概述 (43)2.1 均值的假设检验 (43)2.2 方差（或标准差）的假设检验 (44)2.3 两总体的假设检验 (44)2.4 0-1分布总体均值的假设检验 (45)2.5 总体分布正态性检验 (45)2.6 假设检验与Matlab命令汇总 (47)差分方程和数值微分实验1.1 差分方程的基本定义差分方程是在离散时段上描述现实世界中变化过程的数学模型。
现实中的问题通常是连续变化的，但我们常常只能在离散的时间点上对其进行观测和描述。
为了表述这一类的数学模型，我们引入了差分方程的方法。
1.2 一阶线性常系数差分方程一阶线性常系数差分方程的一般形式差分方程的平衡点差分方程的解平衡点稳定的条件1.3高阶线性常系数差分方程高阶线性常系数差分方程的一般形式特征方程特征根平衡点差分方程的解平衡点稳定的条件所有特征值的模均小于1 (用roots(c)---c:多项式的系数（降幂）P125)1.4 线性常系数差分方程组当我们研究的对象是若干变量构成的一个向量的离散动态过程时，就需要引入差分方程组来描述，详见前面对一阶或高阶线性常系数差分方程的描述。
平衡点——X=Ax+b稳定条件：A的所有特征根小于1（eig）1.5 非线性差分方程2 数值微分数值微分是用离散方法近似地计算函数y=f(x)在某点x=a的导数值。
常用公式有：前差公式后差公式中点公式三点公式插值与数值积分1 插值与拟合1.1 插值与拟合的基本概念插值与插值函数：已知由(可能未知或非常复杂)产生的一批离散数据，且个互异插值节点，在插值区间内寻找一个相对简单的函数，使其满足下列插值条件：再利用已求得的计算任一非插值节点的近似值，这就是插值。
其中称为插值函数，称为被插函数。
最小二乘拟合：已知一批离散的数据，互不相同，寻求一个拟合函数，使与的误差平方和在最小二乘意义下最小。
在最小二乘意义下确定的称为最小二乘拟合函数。
1.2 三种插值方法1）Lagrange插值法a．待定系数法：假设插值多项式，利用待定系数法即可求得满足插值条件的插值函数。
关键在于确定待定系数。
b．利用基函数的构造方法首先构造个满足条件：的次插值基函数，再将其线性组合即可得如下的Lagrange插值多项式：其中c．Lagrange插值余项注：上述两种构造方法所得的Lagrange插值多项式是一样的，即满足插值条件的Lagrange插值多项式是唯一的。
Lagrange插值会发生Runge现象。
2）分段线性插值作分段线性插值的目的在于克服Lagrange插值方法可能发生的不收敛性缺点。
所谓分段线性插值就是利用每两个相邻插值节点作线性插值，即可得如下分段线性插值函数：其中特点：插值函数序列具有一致收敛性，克服了高次Lagrange插值方法的缺点，故可通过增加插值节点的方法提高其插值精度。
但存在于节点处不光滑、插值精度低的缺点。
3）三次样条插值三次样条插值的目的在于克服Lagrange插值的不收敛性和提高分段线性插值函数在节点处的光滑性。
所谓三次样条插值方法就是在满足下列条件：a．b．在每个子区间上是三次多项式的三次样条函数中寻找满足如下插值条件：一及形如等边界条件的插值函数的方法。
特点：三次样条插值函数序列一致收敛于被插函数，因此可通过增加节点的方法提高插值的精度。
4）插值方法的Matlab实现a．对于Lagrange插值必须自编程序b．低次插值的Matlab命令分段线性插值：y=interp1(x0, y0, x)，其中输入离散数据x0、y0、x，输出对应x的插值y。
三次样条插值：y=interp1(x0, y0, 'spline')或y=spline(x0, y0, x)其中，x0、y0、x和y的意义同上。
2 数值积分2.1 数值积分的基本思路2.2 三种常用数值积分方法1) 梯形公式2) 辛普森公式3) 高斯求积公式Gauss-Lobatto公式P604）数值积分的Matlab实现trapz(x)用梯形公式计算(h=1)，输入数组x为各区间端点的函数值。
trapz(x,y)用梯形公式计算，输入x,y为同长度的数组，输出y对x的积分(步长可不相等)。
quad('fun',a,b,tol)用自适应辛普森公式计算，输入被积函数fun可以自定义如exp(-x.^2)，也可以是fun.m命名的函数M文件，积分区间(a,b)，绝对误差tol，输出积分值。
quadl('fun',a,b,tol)用自适应的Gauss-Lobatto公式计算，其余同上。
常微分方程数值解常微分方程的初值问题2.初值问题的数值解法2.1 欧拉方法欧拉方法的基本思想向前欧拉公式向后欧拉公式改进的欧拉公式精度归纳：向前1阶向后1阶梯形2阶改进欧拉2阶O（h^p+1）——p阶精度2.2 龙格-库塔方法龙格-库塔方法的基本思想龙格-库塔方法一般形式经典的龙格-库塔方法常微分方程组和高阶方程初值问题的数值方法P73\74高阶方程，需要先降阶化为一阶常微分方程组2.3 龙格-库塔方法的MATLAB实现2.4 算法的收敛性、稳定性分析收敛性分析P81稳定性分析P81向后欧拉公式无条件稳定刚性现象与刚性方程精度——慢稳态解的特征根决定步长——快稳态解快慢稳态解衰减速度（两个特征根）相差悬殊——刚性现象——刚性方程求解ode23s,ode15s线性代数方程组数值解法线性代数方程组的一般形式和解法2.求解线性代数方程组的直接法2.1 高斯消元法高斯消元法列主元消去法2.2 LU分解LU分解和Cholesky分解求解三对角线性方程组的追赶法2.3 解的误差分析P95病态是解的固有性质，与解法无关。
向量范数和矩阵范数P96 相容性条件3.求解线性代数方程组的迭代法3.1 雅可比迭代法3.2 高斯-赛德尔迭代法高斯赛德尔收敛快于雅可比3.3 迭代法的收敛性和收敛速度迭代公式收敛——B的谱半径ρ（B）<1。
谱半径不超过任一种范数ρ（B）<||B||3.4 超松弛迭代4.超定线性代数方程组的最小二乘解4.1 超定线性方程组的概念方程个数超过了未知数个数的方程组称为超定线性方程组。
一般来说，超定线性方程组在普通意义下是无解的，只能在新设定的准则下定义它的解。
求解超定线性方程组的一个重要实际应用背景是数据拟合,我们下面的讨论也将就这个问题展开.4.2 最小二乘准则4.3 最小二乘解4.4 基函数的选取MATLAB实现x=A\b;%求解方程Ax=b。
若A为可逆方阵，输出原方程组的解；若A列多于行，输出最小二乘解n=norm(x,1);n=norm(x);n=norm(x,inf);%输出x的1、2、无穷范数c=cond(x,1);c=cond(x);c=cond(x,inf);%输出x的1、2、无穷条件数r=rank(x);%输出向量x的秩e=eig(x);%输出矩阵x的全部特征值v=diag(x);v=diag(diag(x)); %提取对角矩阵v=triu(x);v=tril(x);%输出矩阵x的上三角阵、下三角阵v=triu(x,1);v=tril(x,-1);%输出矩阵x的上三角阵、下三角阵，对角元素为0h=hilb(n);p=pascal(n);%n阶希尔伯特矩阵、Pascal矩阵S=sparse(i,j,s,m,n)%稀疏矩阵，在第i行，第j列输入s，矩阵共m行，n列SS=full(S);%输出S的满矩阵tic;x=a\b;t1=toc;%计算求解时间a=eye(3)%矩阵Ia=inv(b)%矩阵求逆a=polyfit(x,y,m);%完全多项式拟合，x，y要拟合的数据，m多项式的次数,a为拟合系数（降幂排列）y=polyval(a,x);%计算上述多项式在x处的值关键是列出Ax=b的式子，其中x为包含要求量的矩阵，即列出方程后把包含要求量的项挪到一边，把其系数整理成A，剩下的部分就是b。
