湖南省湘阴县一中2015-2016学年高一上学期第三次月考数学试卷
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湘阴一中2015年下学期高一年级第二次单元测试试卷数 学命题人:刘恒志 审题人: 周建山 考试时量：120分钟. 满分：120分.一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填写在答题卡的相应位置）。
1. 已知{}0,1,2,3,4A =,{}1,3,5B =,则A B ⋂为( )A.{}0,2B.{}1,3C.{}0,1,3D.{}2 2．若直线l 经过点)2,4(A ，)3,6(B ，则直线l 的斜率为( ) A ．12-B ．12C ．-2D ．23．若两个平面互相平行，则分别在这两个平行平面内的直线( )A ．平行B 异面C ．相交D ．平行或异面 4．函数2()log f x x =的图象( )A ．关于直线y x =-对称B ．关于原点对称C ．关于y 轴对称D ．关于直线y x =对称5.函数12x y a-=+（0a >且1a ≠）图象一定过点( )A.（1,1）B.（1,3）C.（2,0）D.（4,0） 6.函数()ln |1|f x x =-的图象大致是( )7. 如图⑴、⑵、⑶、⑷为四个几何体的三视图，根据三视图可以判断这四个几何体依次分别为( )A ．三棱台、三棱柱、圆锥、圆台B ．三棱台、三棱锥、圆锥、圆台C ．三棱柱、正四棱锥、圆锥、圆台D ．三棱柱、三棱台、圆锥、圆台 8．下面命题正确的是( )A ．已知直线l ，点A l ∈，直线,m A m α⊂∉，则l 与m 异面B ．已知直线m α⊂，直线m l //，则α//lC ．已知平面αβ、，直线n α⊥，直线n β⊥，则βα//D ．若直线a b 、与α所成的角相等，则b a //9．根据表格中的数据，可以判定方程60x e x --=的一个根所在的区间为( )A ． (-1,0)B ． (0,1)C ．(1,2)D ． (2,3) 10．设,m n 是两条不同的直线，,,αβγ是三个不同的平面，给出下列四个命题：①m ⊥α，n ∥α，则m ⊥n ；②若α⋂γ=m ，β⋂γ=n ，m ∥n ，则α∥β； ③若α∥β，β∥γ， m ⊥α，则m ⊥γ； ④若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β． 其中正确命题的序号是( )A ．①和③B ．②和③C ．③和④D ．①和④ 11．如图，三棱柱111A B C ABC -中，侧棱1AA ⊥底面ABC ，底面三角形ABC 是正三角形，E 是BC 中点，则下列叙述正确的是( ) A ．AC ⊥平面11ABB A B ．1CC 与1B E 是异面直线 C ．111//AC B E D ．1AE BB ⊥12. 已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且对任意x 都有(2)()f x f x +=．当[)0,1x ∈时，()21x f x =-，则12log 6f ⎛⎫⎪⎝⎭的值为( )A ．52- B ．－5C ．12-D ．－6二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分．请将答案填写在答题卡的相应位置）. 13. 已知幂函数()f x x α=的图像过点()4,2，则α=_________.14．已知球的直径是6，则该球的体积是________.15．如图，AB 是圆O 的直径，C 是圆周上不同于,A B 的任意一点，PA ⊥平面ABC ，则四面体P ABC -的四个面中，直角三角形的个数有 个.16．如图，已知长方体AC 1的长、宽、高分别为5、4、3，ABE C 1B 1C 1A CAD现有一甲壳虫从A 点出发沿长方体表面爬到C 1处获取 食物，它爬行路线的路程最小值为_________.三、解答题（本大题共6小题，共56分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）. 17. （本小题满分8分）已知实数集R ，集合{23}A x x =-<<，集合{0}B x x a =->. （Ⅰ）当1a =时，求()R A B ð；（Ⅱ）设A B ⊆，求实数a 的取值范围.18．（本小题满分8分）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，,E F 分别为棱,AD AB 的中点．（Ⅰ）求证：EF ∥平面11CB D ； （Ⅱ）求异面直线EF 与1CD 所成角．19．（本题满分8分）已知()f x 是定义在(0,)+∞上的增函数，且()()()xf f x f y y=-． （Ⅰ）求(1)f 的值；（Ⅱ）若(6)1f =，解不等式1(3)()2f x f x++≤.A 120. （本题满分8分）如图，四棱锥P ABCD -的底面是正方形，PD ABCD ⊥底面，点E 在棱PB 上（Ⅰ）求证：AC ⊥平面PDB .（Ⅱ）当PD =且E 为PB 的中点时，求AE 与平面PDB 所成的角的大小.21.（本小题满分10分）如图,四棱锥S ABCD -的底面是正方形,倍,P 为侧棱SD 上的点.（1）求证：AC SD ⊥.（2）若SD ⊥平面PAC ,求二面角P AC D --的大小.(3)在(2)的条件下,侧棱SC 上是否存在一点E, 使得BE∥平面PAC?若存在,求SE∶EC 的值;若不存在,试说明理由.22．（本小题满分12分）若函数()f x 在[],x a b ∈时,函数值y 的取值区间恰为[ab 1,1]，就称区间[],a b 为()f x 的一个“倒域区间”.定义在[]2,2-上的奇函数()g x ，当[]0,2x ∈时，2()2g x x x =-+.（Ⅰ）求()g x 的解析式；（Ⅱ）求函数()g x 在[]1,2内的“倒域区间”；（Ⅲ）若函数()g x 在定义域内所有“倒域区间”上的图像作为函数y =()h x 的图像，是否存在实数m ,使集合()()()2{,}{,}x y y h x x y y x m ==+恰含有2个元素.参考答案：1、B2、B3、D4、C5、B6、B7、C8、C9、D 10．A. 11、D12、C ．解：()()1222222433log 6log 62log 6log log log 622f f f f f f⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-==-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭因为230log 12<<，所以23log 22331log 211222f ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭所以12log 6f ⎛⎫⎪⎝⎭＝12- 13、1214、36∏ 15、4 1617. 解：（Ⅰ）当1a =时，{1}B x x =>. ∵{23}A x x =-<<∴{2R A x x =≤-ð或3}x ≥ 故(){2R A B x x =≤-ð或1}x > ……… 4分（Ⅱ）∵{23}A x x =-<<，{}B x x a =>，A B ⊆，∴2a ≤-故实数a 的取值范围为(,2]-∞- … 8分 18、（Ⅱ）连接D A B A 11, BC AD //,11//D A AD∴11//D A BC ∴四边形11A BCD 是平行四边形∴11//CD BA 又 EF ∥BD ∴BD A 1∠就是异面直线EF 与1CD 所成角在正方体1AC 中BD D A B A ==11∴ 601=∠BD A 即异面直线EF 与1CD 所成角为 60 …………………8分19、解： (1)令x ＝y ＝1，得f(1)＝0………3分. (2)∵f(x＋3)＋f(1x )≤f(6)＋f(6)，∴f(x＋3)－f(6)≤f(6)－f(1x)．∵f(x y )＝f(x)－f(y)，∴f(x ＋36)≤f(6x)．∵f(x)在(0，＋∞)上单调递增， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3>0，x>0，x ＋36≤6x，得x≥335.……… 8分20、解：（1）∵四边形ABCD 是正方形，∴AC ⊥BD ，∵PD ABCD ⊥底面，∴PD ⊥AC ，又BD ∩PD=D ∴AC ⊥平面PDB ， 4分 （2）设AC ∩BD=O ，连接OE ， 由（Ⅰ）知AC ⊥平面PDB 于O ，∴∠AEO 为AE 与平面PDB 所的角， 5分又O ，E 分别为DB 、PB 的中点，∴OE//PD ，12OE PD =，在Rt △AOE中，12OE PD AB AO ===，∴45AOE ︒∠=，即AE 与平面PDB 所成的角的大小为45︒. 10分21、 (1)证明：连BD,设AC 交BD 于O,由题意SO⊥AC.在正方形ABCD 中,AC⊥BD,所以AC⊥平面SBD,得AC⊥SD ………3分 (2)设正方形边长a,则a SD 2=.又aOD 22=,所以∠SDO＝60°.连OP,由(1)知AC⊥平面SBD,所以AC⊥OP,且AC⊥OD.所以∠POD 是二面角P －AC －D 的平面角.由SD⊥平面PAC,知SD⊥OP,所以∠POD＝30°,即二面角P －AC －D 的大小为30° (6)(3)在棱SC 上存在一点E,使BE∥平面PAC.由(2)可得aPD 42=,故可在SP 上取一点N,使PN ＝PD.过N 作PC 的平行线与SC 的交点即为E.连BN,在△BDN 中知BN∥PO.又由于NE∥PC,故平面BEN∥平面PAC,得BE∥平面PAC. 由于SN∶NP＝2∶1,故SE∶EC＝2∶1 …………10分22．解：(Ⅰ)当[)2,0x ∈-时，()()()()2222g x g x x x x x ⎡⎤=--=---+-=+⎣⎦()[][)222,0,2;2,2,0.x x x g x x x x ⎧-+∈⎪=⎨+∈-⎪⎩ ……………3分(Ⅱ)设1≤a ＜b ≤2，∵)(x g 在[]1,2x ∈上递减，∴⎪⎩⎪⎨⎧+-==+-==aa a g ab b b g b 2)(12)(122整理得⎩⎨⎧=---=---0)1)(1(0)1)(1(22b b b a a a ，解得⎪⎩⎪⎨⎧+==251 1b a ． ∴()g x 在[]1,2内的“倒域区间”为⎡⎢⎣. ……………7分 (Ⅲ)∵()g x 在[],x a b ∈时,函数值y 的取值区间恰为[a b 1,1]，其中a ≠b ,a 、b ≠0，∴⎪⎩⎪⎨⎧<<a b b a 11，∴a 、b 同号．只考虑0＜a ＜b ≤2或－2≤a ＜b ＜0当0＜a ＜b ≤2时，根据()g x 的图像知，()g x 最大值为1，[)11,1,2a a ≤∈，∴1≤a ＜b ≤2，由(Ⅱ)知()g x 在[]1,2内的“倒域区间”为⎡⎢⎣； 当－2≤a ＜b ＜0时间，()g x 最小值为-1，(]11,2,1b b ≥-∈--，∴21a b -≤<≤-,同理知()g x 在[]2,1--内的“倒域区间”为1⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. ()222,;2,1.x x x h x x x x ⎧⎡-+∈⎪⎢⎪⎣=⎨⎡⎤⎪+∈-⎢⎥⎪⎣⎦⎩依题意：抛物线与函数()h x 的图象有两个交点时，一个交点在第一象限，一个交点在第三象限．因此，m 应当使方程x x m x 222+-=+，在[1，251+]内恰有一个实数根，并且使方程x x m x 222+=+，在[1,251---]内恰有一个实数由方程m x x =-222在]251,1[+内恰有一根知02≤≤-m ；由方程x x m x 222+=+在[1,251---]内恰有一根知251-≤≤--m ，综上：m ＝－2． ……………12分。
