所以 ������-4 ≤ 1, ������ + 4 ≥ 3,
解得-1≤a≤5, 即a的取值范围是[-1,5].
题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
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方法技巧利用充分条件、必要条件、充分必要条件的关系求参 数范围
(1)化简p、q; (2)根据p与q的关系(充分、必要、充要条件)转化为集合间的关 系; (3)利用集合间的关系建立不等关系; (4)求解参数范围.
集合与常用逻辑用语
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题型三
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题型一、集合的基本概念
例1(1)已知集合A={0,1,2},则集合B={x-y|x∈A,y∈A}中元素的个 数是( )
A.1 B.3 C.5 D.9
(2)已知集合A={0,m,m2-3m+2},且2∈A,则实数m为( )
题型三
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题型二、集合间的基本关系 例2已知集合A={x|-2≤x≤5},若A⊆B,且B={x|m-6≤x≤2m-1},求 实数m的取值范围. 解:若 A⊆B,则由题意可知 ������-6 ≤ -2,
2������-1 ≥ 5, 解得3≤m≤4,即m的取值范围是{m|3≤m≤4}. 方法技巧集合间的基本关系的关键点 (1)∅:空集是任何集合的子集,在涉及集合关系时必须优先考虑空 集的情况,否则会造成漏解. (2)端点值:已知两集合间的关系求参数的取值范围时,关键是将 条件转化为元素或区间端点间的关系,进而转化为参数所满足的条 件,常用数轴解决此类问题.
(2)①若 B=⌀,则 m+1>2m-1,即 m<2,此时满足 B⊆A. ������ + 1 ≤ 2������-1,
②若 B≠⌀,则 -2 ≤ ������ + 1, 解得 2≤m≤3.
2������-1 ≤ 5, 由①②得,m 的取值范围是{m|m≤3}.
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题型三、集合的基本运算
例3设U=R,A={x|1≤x≤3},B={x|2<x<4},C={x|a≤x≤a+1},a为 实数,
(1)分别求A∩B,A∪(∁UB). (2)若B∩C=C,求a的取值范围. 解:(1)因为A={x|1≤x≤3},B={x|2<x<4}, 所以∁UB={x|x≤2或x≥4}, 所以A∩B={x|2<x≤3},A∪(∁UB)={x|x≤3或x≥4}. (2)因为B∩C=C,所以C⊆B,因为B={x|2<x<4},C={x|a≤x≤a+1}, 若C=⌀,则a+1<a,无解,所以C≠⌀,所以2<a,a+1<4,所以2<a<3.
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方法技巧充分条件与必要条件的判断方法 (1)定义法
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(2)等价法:将命题转化为另一个等价的又便于判断真假的命题.
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(3)逆否法:这是等价法的一种特殊情况. 若������p⇒������q,则 p 是 q 的必要条件,q 是 p 的充分条件;
“a>b”, 所以“a>b”是“a2>b2”的既不充分也不必要条件.故选D. 答案:D
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题型五、充要关系的应用 例5已知P={x|a-4<x<a+4},Q={x|1<x<3},“x∈P”是“x∈Q”的必 要条件,求实数a的取值范围. 解:因为“x∈P”是x∈Q的必要条件,所以Q⊆P.
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变式训练 3已知集合A={x|4≤x<8},B={x|5<x<10},C={x|x>a}.
(1)求A∪B,(∁RA)∩B; (2)若A∩C≠⌀,求a的取值范围. 解:(1)∵A={x|4≤x<8},B={x|5<x<10}. ∴A∪B={x|4≤x<10}. 又∁RA={x|x<4或x≥8}, ∴(∁RA)∩B={x|8≤x<10}. (2)如图.
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方法技巧集合基本运算的关键点 (1)看元素组成.集合是由元素组成的,从研究集合中元素的构成 入手是解决集合运算问题的前提. (2)有些集合是可以化简的,先化简再研究其关系并进行运算,可 使问题简单明了,易于解决. (3)注意数形结合思想的应用,常用的数形结合形式有数轴、坐标 系和维恩图.
所以 p 是 q 的充分不必要条件. (3)由(a-2)(a-3)=0 可以推出 a=2 或 a=3,不一定有 a=3; 由 a=3 可以得出(a-2)(a-3)=0.因此,p 是 q 的必要不充分条件. (当 当 当4)由baa>><于000,,时bba><<,00������b������,,<,������������������������当1<<,11故b时 时<若0,,可 可时a<以 以,b������������>推 推,不1出 出;一aa定<>有bb;. ������������<1; 因此 p 是 q 的既不充分也不必要条件.
A.2
B.3
C.0或3
D.0,2,3均可
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解析:(1)逐个列举可得x=0,y=0,1,2时,x-y=0,-1,-2; x=1,y=0,1,2时,x-y=1,0,-1; x=2,y=0,1,2时,x-y=2,1,0. 根据集合中元素的互异性可知集合B中的元素为-2,-1,0,1,2,共5 个.故选C. (2)由2∈A可知:若m=2,则m2-3m+2=0,这与m2-3m+2≠0相矛盾; 若m2-3m+2=2,则m=0或m=3,当m=0时,与m≠0相矛盾, 当m=3时,此时集合A={0,3,2},符合题意.故选B. 答案:(1)C (2)B
A.0个 B.1个 C.2个D.3个
解析:由题意得,①不满足集合的确定性,故错误;
②两个集合,一个是数集,一个是点集,故错误; ③中 -12 =0.5,出现了重复,不满足集合的互异性,故错误; ④不仅仅表示的是第二,四象限的点,还可表示坐标轴上的点,故
错误.
故选A.
答案:A
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(3)p:(a-2)(a-3)=0,q:a=3; (4)p:a<b,q:������������<1.
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解:(1)在△ABC 中,显然有∠A>∠B⇔BC>AC,所以 p 是 q 的充要条件. (2)因为 x=2 且 y=6⇒x+y=8,即������q⇒������p,但������p ������q,
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变式训练 4设a,b是实数,则“a>b”是“a2>b2”的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 解析:令a=1,b=-1,满足a>b,但不满足a2>b2,即“a>b”不能推出 “a2>b2”; 再令a=-1,b=0,满足a2>b2,但不满足a>b,即“a2>b2”不能推出
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变式训练 5若“x<m”是“(x-1)(x-2)>0”的充分不必要条件,则m的取
值范围是
.
解析:由(x-1)(x-2)>0
可得x>2或x<1,
由已知条件,知{x|x<m}⫋{x|x>2或x<1},
∴m≤1.
答案: (-∞,1]
若������p⇒������q,且������q ������p,则 p 是 q 的必要不充分条件;
若������p⇔������q,则 p 与 q 互为充要条件;
若������p ������q,且������q ������p,则 p 是 q 的既不充分也不必要条件.
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方法技巧解决集合的概念问题应关注两点 (1)研究一个集合,首先要看集合中的代表元素,然后再看元素的 限制条件,当集合用描述法表示时,注意弄清其元素表示的意义是 什么.如本例(1)中集合B中的元素为实数,而有的是数对(点集). (2)对于含有字母的集合,在求出字母的值后,要注意检验集合元 素是否满足互异性.
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变式训练 2(1)把本例条件“A⊆B”改为“A=B”,求实数m的取值范 围.
(2)把本例条件“A⊆B,B={x|m-6≤x≤2m-1}”改为 “B⊆A,B={m+1≤x≤2m-1}”,求实数m的取值范围.
解:(1)由 A=B 可知 ������-6 = -2,无解,即不存在 m 使得 A=B. 2������-1 = 5
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