甘肃省2018届高三第一次高考诊断性考试数学(理)试题含答案

甘肃省张掖市2018届高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）若集合M={x|4＜x＜8}，N={x|x2﹣6x＜0}，则M∩N=（）A．{x|0＜x＜4} B．{x|6＜x＜8}C．{x|4＜x＜6} D．{x|4＜x＜8}2．（5分）若（2﹣i）2=a+b i3（a，b∈R），则a+b=（）A．7 B．﹣7C．1 D．﹣13．（5分）如表是我国某城市在2017年1月份至10月份各月最低温与最高温（°C）的数据一览表．已知该城市的各月最低温与最高温具有相关关系，根据该一览表，则下列结论错误的是（）A．最低温与最高温为正相关B．每月最高温与最低温的平均值在前8个月逐月增加C．月温差（最高温减最低温）的最大值出现在1月D．1月至4月的月温差（最高温减最低温）相对于7月至10月，波动性更大4．（5分）已知tan（﹣θ）=4cos（2π﹣θ），|θ|＜，则tan2θ=（）A．﹣B．C．﹣D．5．（5分）已知双曲线的实轴长为8，则该双曲线的渐近线的斜率为（）A．B．C．D．6．（5分）如图所示的程序框图，运行程序后，输出的结果等于（）A．2 B．3 C．4 D．57．（5分）若实数x，y满足约束条件，则z=4x﹣y的最大值为（）A．3 B．﹣1 C．﹣4 D．128．（5分）设A，B是椭圆的两个焦点，点P是椭圆C与圆M：x2+y2=10的一个交点，则||P A|﹣|PB||=（）A．B．C．D．9．（5分）设w＞0，函数的图象向右平移个单位后与原图象重合，则w的最小值是（）A．B．C．D．10．（5分）f（x）=的部分图象大致是（）A．B．C．D．11．（5分）如图，网格纸上的小正方形的边长为，粗实线画出的某多面体的三视图，则该多面体外接球的表面积为（）A．52πB．45πC．41πD．34π12．（5分）已知函数，若f（m）=g（n）成立，则n﹣m 的最小值为（）A．B．C．D．二、填空题：每题5分，满分20分13．（5分）已知向量，，且，则=．14．（5分）若（1﹣3x）6=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+a6x6，则=．15．（5分）如图，E是正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱C1D1上的一点，且BD1∥平面B1CE，则异面直线BD1与CE所成成角的余弦值为．16．（5分）在△ABC中，AC=3，CB=4，边AB的中点为D，则=．三、解答题：本大题共7小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（12分）已知等比数列{a n}的前n项和为S n，S n=2a n﹣2，{b n}为等差数列，b3=a2，b2+b6=10．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）求数列{a n（2b n﹣3）}的前n项和T n．18．（12分）“扶贫帮困”是中华民族的传统美德，某校为帮扶困难同学，采用如下方式进行一次募捐：在不透明的箱子中放入大小均相同的白球七个，红球三个，每位献爱心的参与这投币20元有一次摸奖机会，一次性从箱中摸球三个（摸完球后将球放回），若有一个红球，奖金10元，两个红球奖金20元，三个全为红球奖金100元．（1）求献爱心参与者中奖的概率；（2）若该次募捐有900为献爱心参与者，求此次募捐所得善款的数学期望．19．（12分）如图，四边形ABCD是矩形，AB=3，BC=3，=2，PE⊥平面ABCD，PE=．（1）证明：平面P AC⊥平面PBE；（2）求二面角A﹣PB﹣C的余弦值．20．（12分）设直线l的方程为x=m（y+2）+5，该直线交抛物线C：y2=4x于P，Q两个不同的点．（1）若点A（5，﹣2）为线段PQ的中点，求直线l的方程；（2）证明：以线段PQ为直径的圆M恒过点B（1，2）．21．（12分）已知函数f（x）=ax2﹣e x（a∈R）．（1）若曲线y=f（x）在x=1处的切线与y轴垂直，求y=f'（x）的最大值；（2）若对任意0≤x1＜x2都有f（x2）+x2（2﹣2ln2）＜f（x1）+x1（2﹣2ln2），求a的取值范围．22．（10分）已知曲线C1的极坐标方程为ρ2cos2θ=8，曲线C2的极坐标方程为，曲线C1、C2相交于A、B两点．（p∈R）（Ⅰ）求A、B两点的极坐标；（Ⅱ）曲线C1与直线（t为参数）分别相交于M，N两点，求线段MN的长度．23．已知函数f（x）=|x﹣a|﹣|x+3|，a∈R．（1）当a=﹣1时，解不等式f（x）≤1；（2）若x∈[0，3]时，f（x）≤4，求a的取值范围．【参考答案】一、选择题1．C【解析】∵集合M={x|4＜x＜8}，N={x|x2﹣6x＜0}={x|0＜x＜6}，∴M∩N={x|4＜x＜6}．故选：C．2．A【解析】∵（2﹣i）2=3﹣4i=a+b i3=a﹣b i，∴a=3，b=4．∴a+b=7．故选：A．3．B【解析】根据题意，依次分析选项：对于A，知该城市的各月最低温与最高温具有相关关系，由数据分析可得最低温与最高温为正相关，则A正确；对于B，由表中数据，每月最高温与最低温的平均值依次为：﹣3.5，3，5，4.5，12，20.5，23，26.5，28，15.5，在前8个月不是逐月增加，则B错误；对于C，由表中数据，月温差依次为：17，12，8，13，10，7，8，7，6，11；月温差的最大值出现在1月，C正确；对于D，有C的结论，分析可得1月至4月的月温差相对于7月至10月，波动性更大，V 正确；故选：B．4．B【解析】∵tan（﹣θ）=4cos（2π﹣θ），∴=4cosθ，又∵|θ|＜，cosθ≠0，∴sin，cosθ==，tanθ==，∴tan2θ===．故选：B．5．C【解析】双曲线的实轴长为8，可得：m2+12=16，解得m=2，m=﹣2（舍去）．所以，双曲线的渐近线方程为：．则该双曲线的渐近线的斜率：．故选：C．6．B【解析】模拟程序的运行，可得：a=2，s=0，n=1，s=2，a=，满足条件s＜3，执行循环体，n=2，s=2+=，a=，满足条件s＜3，执行循环体，n=3，s=+=，a=，此时，不满足条件s＜3，退出循环，输出n的值为3．故选：B．7．D【解析】实数x，y满足约束条件，表示的平面区域如图所示，当直线z=4x﹣y过点A时，目标函数取得最大值，由解得A（3，0），在y轴上截距最小，此时z取得最大值：12．故选：D．8．C【解析】A，B是椭圆的两个焦点，可知：A（﹣，0）、B（，0），圆M：x2+y2=10恰好经过AB两点，点P是椭圆C与圆M：x2+y2=10的一个交点，可得P A⊥PB，所以，可得：2|P A||PB|=8，||P A|﹣|PB||2=32，||P A|﹣|PB||=4．故选：C．9．A【解析】∵函数的图象向右平移个单位后与原图象重合，∴=，则ω=，故选：A．10．D【解析】∵f（﹣x）=f（x）∴函数f（x）为奇函数，排除A，∵x∈（0，1）时，x＞sin x，x2+x﹣2＜0，故f（x）＜0，故排除B；当x→+∞时，f（x）→0，故排除C；故选：D11．A【解析】由三视图可知：该几何体为一个四棱锥，底面ABCD是矩形，其中AB=4，AD=6，侧面PBC⊥底面垂ABCD．设AC∩BD=O，则OA=OB=OC=OD=，OP=，∴O该多面体外接球的球心，半径R=，∴该多面体外接球的表面积为S=4πR2=52π．故选：A12．C【解析】不妨设f（m）=g（n）=t，∴e4m﹣1=+ln（2n）=t，（t＞0）∴4m﹣1=ln t，即m=（1+ln t），n=e，故n﹣m=e﹣（1+ln t），（t＞0）令h（t）=e﹣（1+ln t），（t＞0），∴h′（t）=e﹣，易知h′（t）在（0，+∞）上是增函数，且h′（）=0，当t＞时，h′（t）＞0，当0＜t＜时，h′（t）＜0，即当t=时，h（t）取得极小值同时也是最小值，此时h（）=﹣（1+ln）=，即n﹣m的最小值为；故选：C．二、填空题13．【解析】∵，∴=6﹣2m=0，解得m=3．∴=（6，﹣2）﹣2（1，3）=（4，8）．∴==4．故答案为：．14．﹣4【解析】若（1﹣3x）6=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+a6x6，则（1﹣3x）6的通项公式为T r+1=（﹣3x）r，r=0，1，2， (6)可得a2=9=135，a3=﹣27=﹣540，可得=﹣4．故答案为：﹣4．15．【解析】连结BC1，交B1C于点O，连结OE，∵E是正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱C1D1上的一点，∴BCC1B1是正方形，∴O是BC1中点，∵BD1∥平面B1CE，∴BD1∥OE，∴E是正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱C1D1的中点，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，设正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，则B（2，2，0），D1（0，0，2），C（0，2，0），E（0，1，2），=（﹣2，﹣2，2），=（0，﹣1，2），设异面直线BD1与CE所成成角为θ，cosθ===．∴异面直线BD1与CE所成成角的余弦值为．故答案为：．16．【解析】△ABC中，AC=3，CB=4，边AB的中点为D，则：S△ACD=S△BCD，所以：=，整理得：．故答案为：．三、解答题17．解：（1）根据题意，等比数列{a n}中S n=2a n﹣2，当n=1时，有S1=2a1﹣2=a1，解可得a1=2，当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=（2a n﹣2）﹣（2a n﹣1﹣2），变形可得a n=2a n﹣1，则等比数列{a n}的a1=2，公比q=2，则数列{a n}的通项公式a n=2×2n﹣1=2n，对于{b n}，b3=a2=4，b2+b6=2b4=10，即b4=5，则其公差d=b4﹣b3=1，则其通项公式b n=b3+（n﹣3）×d=n+1，（2）由（1）的结论：a n=2n，b n=n+1，a n（2b n﹣3）=（2n﹣1）•2n，则有T n=1×2+3×22+5×23+…+（2n﹣1）×2n，①则有2T n=1×22+3×23+5×24+…+（2n﹣1）×2n+1，②①﹣②可得：﹣T n=2+2（22+23+…+2n）﹣（2n﹣1）×2n+1，变形可得：T n=（2n﹣3）•2n+1+6．18．解：（1）设“献爱心参与者中奖”为事件A，则献爱心参与者中奖的概率．（2）设一个献爱心参与者参加活动，学校所得善款为X，则X=20，10，0，﹣80，则，，，，∴X的分布列为：若只有一个参与者募捐，学校所得善款的数学期望为元，所以，此次募捐所得善款的数学期望为元．19．（1）证明：连接BE交AC于F，∵四边形ABCD是矩形，AB=，BC=1，，∴CE=，则，∵∠ABC=∠BCD=，∴△ABC∽△BCE，则∠BEC=∠ACB，∵∠BEC+∠ACE=∠ACB+∠ACE=，∴AC⊥BE，∵PE⊥平面ABCD，∴AC⊥PE，∵PE∩BE=E，∴AC⊥平面PBE，∵AC⊂平面P AC，∴平面P AC⊥平面PBE；（2）解：取PB中点G，连接FG，AG，CG，∵PE⊥平面ABCD，∴PE⊥DC，∵PE=，∴PC=3=BC，得CG⊥PB，∵CG∩AC=C，∴PB⊥平面ACG，则AG⊥PB，∴∠AGC是二面角A﹣PB﹣C的平面角，∵AB∥CD，AB=CD，DE=2EC，∴，∵CE=，AC=6，∴CF=，AF=，∵BC⊥CD，BC⊥PE，∴BC⊥平面PCD，∴BC⊥PC，∴PB=，则CG=，∵FG⊥AC，∴FG=FC=，在Rt△AFG和Rt△CFG中，求得tan∠AGF=3，tan∠CGF=1．∴tan∠AGC=tan（∠AGF+∠CGF）=．∴cos∠AGC=．∴二面角A﹣PB﹣C的余弦值为﹣．20．解：（1）联立方程组，消去x得y2﹣4my﹣4（2m+5）=0 设P（x1，y1），Q（x2，y2），则y1+y2=4m，y1y2=﹣8m﹣20因为A为线段PQ的中点，所以，解得m=﹣1，所以直线l的方程为x+y﹣3=0．（2）证明：因为，，所以，即所以，因此BP⊥BQ，即以线段PQ为直径的圆恒过点B（1，2）．21．解：（1）由f'（x）=2ax﹣e x，得，，令g（x）=f'（x）=e x﹣e x，则g'（x）=e﹣e x，可知函数g（x）在（﹣∞，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，所以g'（x）max=g'（1）=0．（2）由题意得可知函数h（x）=f（x）+x（2﹣2ln2）=ax2+x（2﹣ln2）﹣e x在[0，+∞）上单调递减，从而h'（x）=2ax+（2﹣2ln2）﹣e x≤0在[0，+∞）上恒成立，令F（x）=2ax+（2﹣2ln2）﹣e x，则F'（x）=2a﹣e x，当时，F'（x）≤0，所以函数F（x）在[0，+∞）上单调递减，则F（x）max=F（0）=1﹣2ln2＜0，当时，F'（x）=2a﹣e x=0，得x=ln2a，所以函数F（x）在[0，ln2a）上单调递增，在[ln2a，+∞）上单调递减，则F（x）max=F（ln2a）=2alo2a+2﹣2ln2﹣2a≤0，即2a ln2a﹣2a≤2ln2﹣2，通过求函数y=x ln x﹣x的导数可知它在[1，+∞）上单调递增，故，综上，实数a的取值范围是（﹣∞，1]．22．解：（Ⅰ）由得：，∴ρ2=16，即ρ=±4．∴A、B两点的极坐标为：或．（Ⅱ）由曲线C1的极坐标方程ρ2cos2θ=8化为ρ2（cos2θ﹣sin2θ）=8，得到普通方程为x2﹣y2=8．将直线代入x2﹣y2=8，整理得．∴|MN|==．23．解：（1）当a=﹣1时，不等式为|x+1|﹣|x+3|≤1；当x≤﹣3时，不等式转化为﹣（x+1）+（x+3）≤1，不等式解集为空集；当﹣3＜x＜﹣1时，不等式转化为﹣（x+1）﹣（x+3）≤1，解之得；当x≥﹣1时，不等式转化为（x+1）﹣（x+3）≤1，恒成立；综上所求不等式的解集为．（2）若x∈[0，3]时，f（x）≤4恒成立，即|x﹣a|≤x+7，亦即﹣7≤a≤2x+7恒成立，又因为x∈[0，3]，所以﹣7≤a≤7，所以a的取值范围为[﹣7，7]．。

2018届甘肃省高三第一次诊断性考试数学（理科）试题一、单选题1．设全集，集合，，则集合（）A. B. C. D.【答案】C【解析】全集，集合，，.故选C.2．在复平面内复数、 (是虚数单位)对应的点在（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D【解析】复数，对应的点为(4,-3)位于第四象限.故选D.3．向量，，则“”是“”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】向量，，若，则，解得.所以“”是“”的充分不必要条件.故选A.4．若实数，满足则的最大值是（）A. -1B. 1C. 2D. 3【答案】C【解析】作出不等式的可行域，如图所示.即为，平移该直线至点A时最大.，解得，即A(0,1)，此时.故选C.5．某几何体挖去两个半球体后的三视图如图所示，若剩余几何体的体积为，则的值为（）A. 1B. 2C.D.【答案】B【解析】有三视图可知，该几何体为高为，底面半径为的圆柱，上下个挖去一个半径为的球而得的几何体.剩余几何体的体积为，解得：.故选B.6．已知是各项均为正数的等比数列，为其前项和，若，，则（）A. 65B. 64C. 63D. 62【答案】C【解析】是各项均为正数的等比数列，设公比为.,，解得..故选C.7．中国古代三国时期的数学家赵爽,创作了一幅“勾股弦方图”，通过数形结合，给出了勾股定理的详细证明.如图所示,在“勾股弦方图”中，以弦为边长得到的正方形是由4个全等的直角三角形和中间的小正方形组成，这一图形被称作“赵爽弦图”.若，则在正方形内随机取一点，该点恰好在正方形内的概率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】如图所示，正方形的边长为：，正方形的边长为：.由题意知，解得，即.该点恰好在正方形内的概率为.故选D.点睛：(1)当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积等时，应考虑使用几何概型求解．(2)利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域．（3）几何概型有两个特点：一是无限性，二是等可能性．基本事件可以抽象为点，尽管这些点是无限的，但它们所占据的区域都是有限的，因此可用“比例解法”求解几何概型的概率．8．过直线上的点作圆的切线，则切线长的最小值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】直线上上任取一点. 作圆的切线，设切点为A.圆，即，圆心为，半径为.切线长为..所以切线长的最小值为.故选A.9．如图所示，若程序框图输出的所有实数对所对应的点都在函数的图象上，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】执行程序框图：，是，输出(1,1)；，是，输出(2,2)；，是，输出(3,4)；，否，结束循环.根据题意函数经过点(1,1)，(2,2)，(3,4).所以：,解得：..故选B.10．过双曲线（，）的右焦点作两条渐近线的垂线，垂足分别为，点为坐标原点，若四边形的面积为4，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】双曲线（，）的渐近线为：.焦点到的距离为：，则.四边形的面积为，所以，又.解得：，所以双曲线的离心率为.故选D.点睛：本题考查了双曲线的几何性质——离心率的求解，其中根据条件转化为圆锥曲线的离心率的方程，得到的关系式是解得的关键，对于双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，转化为的齐次式，然后转化为关于的方程(不等式)，解方程(不等式)，即可得(的取值范围)．11．如图，四棱锥的底面是边长为2的正方形，平面，且，是上的一个动点，过点作平面平面，截棱锥所得图形面积为，若平面与平面之间的距离为，则函数的图象是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】过点作交AB于点N，点作交PC于点F,过点作交CD于点E，连接EF.则面平面，.由平面，可得平面，平面与平面之间的距离为，且为直角梯形.由，得，所以..故选D.12．对于任意，，不等式恒成立，则实数的最大值为（）A. B. 2 C. D. 3【答案】B【解析】不等式左侧的最小值的几何意义是函数上的点与函数上的点之间距离的最小值的平方，与直线平行且与函数相切的直线为，两直线之间距离的最下值为，所以，解得，所以的最大值为2.故选B.点睛：不等式的恒成立问题，往往是转化为研究最值问题，本题中涉及的变量较多，但是从代数式的结构不难发现，类似于两点的距离公式，从而可利用数形结合的思想求最值，即为曲线上的点与直线上的点的距离最小，平移直线与曲线相切时即为最小值.二、填空题13．二项式的展开式中的常数项是__________．(用数字作答)【答案】-160【解析】二项式的展开式通项为：令，得，.故答案为：-160.点睛：求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第r＋1项，再由特定项的特点求出r值即可.(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第r＋1项，由特定项得出r值，最后求出其参数.14．已知数列满足，，则的最小值为__________．【答案】【解析】由,得，∵，∴.∴，令,得，∴当n取1,2,3时,减小,当n取大于等于4的自然数时的值增大。

甘肃省高三第一次高考诊断考试
理科综合能力试题
考生注意：
1．本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选
涂其他答案标号框。

写在本试卷上无效。

3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上：写在本试卷上无效。

4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

可能用到的相对原子质量：
H—l; N-14; O-16; Cl-35.5; Ca-40
第I卷（选择题共126分）
一、选择题：本题共13小题，每小题6分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．关于细胞结构和功能的说法中，正确的是
A．所有细胞中核糖体的形成都与核仁密切相关
B．神经细胞有细胞周期，其化学成分在不断更新
C．葡萄糖、RNA、蛋白质都可以在叶绿体中合成
D．线粒体分解葡萄糖产生CO2和H2O
2．下列有关ATP的叙述，正确的是。

2018年甘肃省第一次高考诊断考试理科数学试卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.1.设全集U R =，集合{}2A x x =≥，{}06B x x =≤<，则集合()U （）A．{}02x x <<B．{}02x x <≤C．{}02x x ≤<D．{}02x x ≤≤2.在复平面内复数34iz i+=、(i 是虚数单位)对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3.向量(,1)a m =，(1,)b m =，则“1m =”是“//a b ”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4.若实数x ，y 满足10,10,0,x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩则2z x y =+的最大值是（）A．-1B．1C.2D．35.某几何体挖去两个半球体后的三视图如图所示，若剩余几何体的体积为23π，则a 的值为（）A．1B．2 C.22D．326.已知{}n a 是各项均为正数的等比数列，n S 为其前n 项和，若11a =，3564a a ⋅=，则6S =（）A．65B．64C.63D．627.中国古代三国时期的数学家赵爽,创作了一幅“勾股弦方图”，通过数形结合，给出了勾股定理的详细证明.如图所示,在“勾股弦方图”中，以弦为边长得到的正方形ABCD 是由4个全等的直角三角形和中间的小正方形组成，这一图形被称作“赵爽弦图”.若7cos 225BAE ∠=，则在正方形ABCD 内随机取一点，该点恰好在正方形EFGH 内的概率为（）A．2425B．45C.35D．1258.过直线23y x =+上的点作圆2246120x y x y +-++=的切线，则切线长的最小值为（）A．19B．25C.21D．5559.如图所示，若程序框图输出的所有实数对(,)x y 所对应的点都在函数2()f x ax bx c =++的图象上，则1()0f x dx =⎰（）A．1011B．1112C.1312D．121110.过双曲线2222:1x y C a b-=（0a >，0b >）的右焦点(22,0)F 作两条渐近线的垂线，垂足分别为,A B ，点O 为坐标原点，若四边形OAFB 的面积为4，则双曲线的离心率为（）A．22B．2+1C.3D．211.如图，四棱锥P ABCD -的底面是边长为2的正方形，PA ⊥平面ABCD ，且4PA =，M 是PB 上的一个动点，过点M 作平面//α平面PAD ，截棱锥所得图形面积为y ，若平面α与平面PAD 之间的距离为x ，则函数()y f x =的图象是（）A．B． C.D．12.对于任意0b >，a R ∈，不等式[][]222(2)ln (1)b a b a m m --+--≥-恒成立，则实数m 的最大值为（）A．eB．2 C.eD．3第Ⅱ卷（共90分）二、填空题：本题共4小题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.二项式62()x x-的展开式中的常数项是．(用数字作答)14.已知数列{}n a 满足115a =，12()n n a a n N n *+-=∈，则n an的最小值为．15.在某班举行的成人典礼上，甲、乙、丙三名同学中的一人获得了礼物.甲说：“礼物不在我这”；乙说：“礼物在我这”；丙说：“礼物不在乙处”.如果三人中只有一人说的是真的，请问(填“甲”、“乙”或“丙”)获得了礼物.16.抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过准线上一点N 作NF 的垂线交y 轴于点M ，若抛物线C 上存在点E ，满足2NE NM NF =+，则MNF ∆的面积为．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.ABC ∆中，三个内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若(cos ,cos )m B C =，(2,)n a c b =+，且m n ⊥.（Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）若6b =，求ABC ∆周长的取值范围.18.四棱台被过点11,,A C D 的平面截去一部分后得到如图所示的几何体，其下底面四边形ABCD 是边长为2的菱形，60BAD ∠=︒，1BB ⊥平面ABCD ，12BB =.（Ⅰ）求证：平面1AB C ⊥平面1BB D ；（Ⅱ）若1AA 与底面ABCD 所成角的正切值为2，求二面角11A BD C --的余弦值.19.2017年12月，针对国内天然气供应紧张的问题，某市政府及时安排部署，加气站采取了紧急限气措施，全市居民打响了节约能源的攻坚战.某研究人员为了了解天然气的需求状况，对该地区某些年份天然气需求量进行了统计，并绘制了相应的折线图.（Ⅰ）由折线图可以看出，可用线性回归模型拟合年度天然气需示量y (单位：千万立方米)与年份x (单位：年)之间的关系.并且已知y 关于x 的线性回归方程是ˆˆ6.5yx a =+，试确定ˆa 的值，并预测2018年该地区的天然气需求量；（Ⅱ）政府部门为节约能源出台了《购置新能源汽车补贴方案》，该方案对新能源汽车的续航里程做出了严格规定，根据续航里程的不同，将补贴金额划分为三类，A 类：每车补贴1万元，B 类：每车补贴2.5万元，C 类：每车补贴3.4万元.某出租车公司对该公司60辆新能源汽车的补贴情况进行了统计，结果如下表：类型A 类B 类C 类车辆数目102030为了制定更合理的补贴方案，政府部门决定利用分层抽样的方式了解出租车公司新能源汽车的补贴情况，在该出租车公司的60辆车中抽取6辆车作为样本，再从6辆车中抽取2辆车进一步跟踪调查.若抽取的2辆车享受的补贴金额之和记为“ξ”，求ξ的分布列及期望.20.椭圆2222:1x y E a b+=（0a b >>）的左、右焦点分别为1F ，2F ，过2F 作垂直于x 轴的直线l 与椭圆E在第一象限交于点P ，若15PF =，且23a b =.（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）A ，B 是椭圆C 上位于直线l 两侧的两点.若直线AB 过点(1,1)-，且22APF BPF ∠=∠，求直线AB 的方程.21.已知函数()ln f x a x =，a R ∈.（Ⅰ）若曲线()y f x =与曲线()g x x =在公共点处有共同的切线，求实数a 的值；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，试问函数1()()12x xe F x xf x -=-+是否有零点？如果有，求出该零点；若没有，请说明理由.(二)选考题：共10分.请考生在第22、23题中选定一题作答，并用2B 铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑.按所涂题号进行评分不涂、多涂均按所答第一题评分；多答按所答第一题评分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，曲线221:(3)(1)4C x y -+-=，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，将曲线1C 绕极点逆时针旋转6π后得到的曲线记为2C .（Ⅰ）求曲线1C ，2C 的极坐标方程；（Ⅱ）射线3πθ=（0p >）与曲线1C ，2C 分别交于异于极点O 的A ，B 两点，求AB .23.选修4-5：不等式选讲已知函数()2f x m x =--，m R ∈，且(1)0f x +≥的解集为[]0,2.（Ⅰ）求m 的值；（Ⅱ）若a ，b ，c R ∈，且11123m a b c++=，求证：239a b c ++≥.2018年甘肃省第一次高考诊断理科数学考试参考答案及评分标准一、选择题1-5:CDACB 6-10:CDABD11、12：DB二、填空题13.-16014.27415.甲16.322三、解答题17.解:（Ⅰ）∵m n ⊥，则有cos (2)cos 0B a c C b ⋅++⋅=，∴cos (2sin sin )cos sin 0B AC C B ⋅++⋅=∴2cos sin (sin cos cos sin )sin()sin B A C B C B B C A =-⋅+⋅=-+=-，∴1cos 2B =-，∴23B π=.（Ⅱ）根据余弦定理可知2222cos b a c ac B =+-，∴2236a c ac =++，又∵236()a c ac =+-，∴22()36()2a c a c ac ++-=≤，∴643a c <+≤，则ABC ∆周长的取值范围是(12,643⎤+⎦.18.解：（Ⅰ）∵1BB ⊥平面ABCD ，∴1BB AC ⊥.在菱形ABCD 中，BD AC ⊥，又1BD BB B ⋂=，∴AC ⊥平面1BB D ，∵AC ⊂平面1AB C ，∴平面1AB C ⊥平面1BB D .（Ⅱ）∵1BB ⊥平面ABCD∴1AA 与底面ABCD 所成角为1A AB ∠，∴1tan 2A AB ∠=，∴111A B =设BD ,AC 交于点O ，以O 为坐标原点，如图建立空间直角坐标系.则(0,1,0)B -，(0,1,0)D ，1(0,1,2)B -,(3,0,0)A .111131(,,2)222B A BA A =⇒- ，同理131(,,2)22C --，131(,,2)22BA = ，(0,2,0)BD = ，131(,,2)22BC =- .设平面1A BD 的法向量(,,)n x y z =，∴10,0,BA n BD n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 则(4,0,3)n =-，设平面1C BD 的法向量(,,)m x y z '''=，10,0,BD m BC m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩则(4,0,3)m =，设二面角11A BD C --为θ，13cos 19m n m n θ⋅==.19.解：（Ⅰ）如折线图数据可知2008201020122014201620125x ++++==236246257276286260.25y ++++==代入线性回归方程ˆˆ6.5yx a =+可得ˆ12817.8a =-.将2018x =代入方程可得ˆ299.2y=千万立方米.（Ⅱ）根据分层抽样可知A 类，B 类，C 类抽取人数分别为1辆，2辆，3辆则当A 类抽1辆，B 类抽1辆时，=3.5ξ，此时1112262( 3.5)15C C P C ξ===；当A 类抽1辆，C 类抽1辆时， 4.4ξ=，此时1113263( 4.4)15C C P C ξ===；当B 类抽1辆，C 类抽1辆时， 5.9ξ=，此时11232662( 5.9)155C C P C ξ====；当B 类抽2辆时，=5ξ，此时22261(5)15C P C ξ===；当C 类抽2辆时， 6.8ξ=，此时232631( 6.8)155C P C ξ====.所以ξ的分布列为：ξ3.54.45.956.8p2153152511515∴23211273.5 4.4 5.95 6.8151551555E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（万元）20.解：（Ⅰ）由题可得223b PF a==，因为15PF =，由椭圆的定义得4a =，所以212b =，所以椭圆E 方程为2211612x y +=.（Ⅱ）易知点P 的坐标为(2,3).因为22APF BPF ∠=∠，所以直线PA ，PB 的斜率之和为0.设直线PA 的斜率为k ，则直线PB 的斜率为k -，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则直线PA 的方程为3(2)y k x -=-，由223(2)11612y k x x y -=-⎧⎪⎨+=⎪⎩可得222(3+4)8(32)4(32)480k x k k x k +-+--=，∴128(23)234k k x k ++=+同理直线PB 的方程为3(2)y k x -=--，可得2228(23)8(23)23434k k k k x k k---++==++，∴2122161234k x x k -+=+，1224834k x x k--=+，121212121212(2)3(2)3()412AB yy k x k x k x x k k x x x x x x --++--+-====---，∴满足条件的直线AB 的方程为11(1)2y x +=-，即为230x y --=.21.解：（Ⅰ）函数()ln f x a x =的定义域为(0)+∞,，()af x x '=，1()2g x x'=设曲线()y f x =与曲线()g x x =公共点为00(,)x y 由于在公共点处有共同的切线，所以0012a x x =，解得204x a =，0a >.由00()()f x g x =可得00ln a x x =.联立20004,ln ,x a a x x ⎧=⎪⎨=⎪⎩解得2ea =.（Ⅱ）函数1()()12xxe F x xf x -=-+是否有零点，转化为函数()()ln 2eH x xf x x x==与函数1()12xxe G x -=-在区间(0,)x ∈+∞是否有交点，()()ln 2eH x xf x x x ==，可得()ln (1ln )222eeeH x x x '=+=+，令()0H x '>，解得1(,)x e ∈+∞，此时函数()H x 单调递增；令()0H x '<，解得1(0,)x e ∈，此时函数()H x 单调递减.∴当1x e =-时，函数()H x 取得极小值即最小值，11()2H e =-.1()12xxe G x -=-可得11()(1)2xG x x e -'=-，令()0G x '>，解得01x <<，此时函数()G x 单调递增；令()0G x '<，解得1x >，此时函数()G x 单调递减.∴当1x =时，函数()G x 取得极大值即最大值，1(1)2G =-.因此两个函数无交点.即函数1()()12xxe F x xf x -=-+无零点.22.解：曲线221:(3)(1)4C x y -+-=化为极坐标方程是23cos 2sin ρθθ=+设曲线2C 上的点(,)Q ρθ绕极点顺时针旋转6π后得到(,)6P πρθ-在1C 上，代入可得2C 的极坐标方程是2cos 23sin ρθθ=+.（Ⅱ）将3πθ=（0ρ>）分别代入1C ，2C 的极坐标方程，得到123ρ=，24ρ=12423AB ρρ=-=-.23.（Ⅰ）()01011f x m x m x m≥⇒--≥⇒-≤≤+由(+1)0f x ≥的解集为[]02，可知1m =.（Ⅱ）111123a b c++=则111233223(22)()111232233b c a c a b a b c a b c a b c a a b b c c++=++++=++++++++233233692323b a c a c b a b a c b c=++++++≥+=当且仅当23a b c ==时等号成立，即3a =，32b =，1c =时等号成立.。