因式分解三种方法

略施小计轻松分解一、整体着眼进行分解例1因式分解：(x2－1)2+6(1－x2)+9．分析：把(x2－1)看成一个整体，利用完全平方公式进行分解，再利用平方差公式分解．解：原式＝(x2－1)2－6(x2-1)+9＝[(x2－1)－3]2＝(x2－4)2＝[(x+2)(x－2)]2＝(x+2)2(x-2)2．二、符号变换后分解例2因式分解：3n(2m－n)2+(n－2m)3．分析：考虑(n－2m)3＝－(2m－n)3，则多项式的公因式是(2m－n)2．解：原式＝3n(2m－n)2－(2m－n)3＝(2m－n)2［3n－(2m－n)］＝(2m－n)2(4n－2m) ＝2(2n－m) (2m－n)2．三、整理后分解例3因式分解：x(x－1)－3x+4＝．分析：观察发现，多项式不能直接分解，需先去括号、合并同类项后，再利用完全平方公式因式分解．解：原式＝x2－x－3x+4＝x2－4x+4＝(x－2)2．四、指数变换后分解例4因式分解：(m+2n)m4－(m+2n)n4＝________．分析：提出公因式(m+2n)后，剩余因式为m4－n4，而(m2)2＝m4，(n2)2＝n4，故m4－n4可继续分解．解：原式＝(m+2n)(m4－n4)＝(m+2n) [(m2)2－(n2)2]＝(m+2n) (m2＋n2)(m2－n2)＝(m+2n) (m2＋n2)(m＋n)(m－n)．完全平方公式显身手一、平方求值例1 已知12x x+=，则代数式221x x +的值是 . 分析：根据已知条件，知12x x +=，两边平方，得22124x x++=，即可得出答案. 解：将12x x +=两边平方，得22124x x ++=，所以221422x x +=-=. 二、拆项求值例2 用乘法公式计算10052．分析：把1005拆成1000+5的形式，再根据完全平方公式计算.解：10052=（1000+5）2=1 000 000+2×1000×5+25=1 010 025.三、逆用求值例3 已知x=y+4，则代数式x 2-2xy+y 2-25的值为 .分析：由已知x=y+4可得x-y=4，而x 2-2xy+y 2=（x-y ）2，将x-y=4代入即可求出解：因为x=y+4，所以x-y=4，所以x 2-2xy+y 2-25=（x-y ）2-25=42-25=-9.四、变形求值例4 已知x+y=-5，xy=6，则x 2+y 2= .分析：完全平方公式的常见变形有：①a 2+b 2=（a+b ）2-2ab=（a-b ）2+2ab ；②ab=2221()()2a b a b ⎡⎤+-+⎣⎦ =221()()4a b a b ⎡⎤+--⎣⎦；③（a+b ）2+（a-b ）2=2a 2+2b 2. 解：由两数和（差）的平方公式的变形①，得x 2+y 2=（x+y ）2-2xy=（-5）2-2×6=25-12=13.五、数形结合例5如图，有三种卡片，其中边长为a 的正方形卡片1张，边长分别为a 、b 的长方形卡片6张，边长为b 的正方形卡片9张．用这16张卡片拼成一个正方形，则这个正方形的边长为____分析：先求出16张卡片拼成一个正方形的总面积，然后再用完全平方公式确定正方形的边长.解：由题可知16张卡片总面积为a 2+6ab+9b 2，因为a 2+6ab+9b 2=（a+3b ）2，所以新正方形边长为a+3b ．因式分解生活“秀”一、超市中的因式分解例1 某种纯鲜牛奶的包装袋上注明所含的营养成分中，蛋白质为4%，脂肪为5%，碳水化合物为1%，请你计算一包223 ml （约230克）的牛奶中，蛋白质和脂肪的含量约为多少克？分析：牛奶的质量乘以蛋白质的百分含量+牛奶的质量乘以脂肪的百分含量=一包牛奶中蛋白质和脂肪的含量．解：2304%2305%230(4%5%)20.7⨯+⨯=⨯+=（克）．所以一包223 ml 的牛奶中，蛋白质和脂肪的含量约为20.7克．二、工厂里的因式分解例2 如图1，在一个边长为a 的正方形零件上挖去四个边长为b 的小正方形，请你计算当a 为18分米、b 为6分米时剩余部分的面积．分析：剩余部分的面积=大正方形的面积－4个小正方形的面积．解：剩余部分的面积为224(2)(2)a b a b a b -=+-．当18a =分米，6b =分米时，a 2-4b 2=(1812)(1812)306180+-=⨯=（平方分米）． 所以剩余部分的面积为180平方分米．三、绿化中的因式分解例3 某市在“为促进节能减排，倡导生态文明，建设和谐社会”的活动中，在人口居住密集的地区打算修建一块边长a 为61.5米的正方形绿地.为了便于游人通行，决定修两条宽度相同且互相垂直的小路，如图2所示，小路宽b 为1.5米.若每平方米的绿地造价为530元，那么该市需要投资多少元？分析：建造绿地的投资=每平方米的绿地造价⨯绿地的面积，绿地的面积=正方形的面积-小路的面积．解：绿地的面积为22222(2)2()a ab b a ab b a b --=-+=+．当61.5a =米， 1.5b =米时，绿地的面积为： 222(2)(61.5 1.5)3600a ab b --=-=（平方米）．所以建造绿地的投资为53036001908000⨯=（元）．所以该市需要投资1 908 000元．。

3次方的因式分解的方法
因式分解是将一个数写成几个因数的乘积的形式。

对于3次方的因式
分解，可以使用以下几种方法。

1.直接分解法：
直接分解法是根据计算3次方根的方法将数进行分解。

对于一个整数n，找到一个整数m，使得m³≤n<(m+1)³。

那么，n可以分解为(m+1)³与
n-m³的乘积。

以此方法迭代，直到无法再进行3次方根的计算。

2.公式法：
根据公式(a+b)³=a³+3a²b+3ab²+b³，可以进行反向应用。

先观察待分
解的整数n是否可以通过两个数的和或差的3次方的形式来分解。

如果是，则可将n分解为(a+b)³或(a-b)³的形式。

3.分解质因数法：
分解质因数法是将一个数分解为其质因数的乘积，再将每个质因数依
次展开。

对于3次方的数，首先找到其所有的质因数。

例如，对于120，
可以分解为2³*3*5、然后，依次将每个质因数展开。

以上是三种常见的3次方因式分解的方法。

这些方法可以应用于各种
不同的数字，但是可能需要根据具体情况选择最适合的方法。

以下是一个
例子，展示了如何使用这些方法进行3次方因式分解。

直接分解法：
公式法：
分解质因数法：
总结起来，三次方的因式分解可以采用直接分解法、公式法和分解质因数法等方法。

根据具体情况选择合适的方法，可以快速有效地进行因式分解。

教育教学讲义
学员姓名：年级：学科教师：
上课时间：辅导科目：数学课时数：2
课题因式分解
教学目标讲解因式分解的三种方法 1 提取公因式法2用乘法公式因式分解3特殊的因式分解
教学内容
课前检测
知识梳理
6.1因式分解
谁能以最快速度求：当a=101，b=99时，a2－b2的值?
概念．像这样，把一个多项式化成几个整式的积的形式叫因式分解，有时，也把这一过程叫分解因式．
①左边是多项式，右边是整式；②右边是整式的乘积的形式．
1．填空(整式乘法，因式分解)
2．这两种运算是什么关系?(互逆)
图示表示：。

第4讲 一元二次方程的解法(四)----因式分解法知识要点梳理:1.分解因式的方法有：提公因式法、利用平方差公式分解因式、利用完全平方公式分解因式、十字相乘法、分组分解法等2.因式分解法解一元二次方程的原理：000==⇔=b a ab 或预习引入：将下列各式分解因式（1）y y 22-（2）942-x （3）2222+-x x（4）862+-x x（5）y y x x 2422--+经典例题例1：用因式分解法解下列方程：(1) t (2t －1)＝3(2t －1)；(2) y 2＋7y ＋6＝0(3)(2x －1)(x －1)＝1．（4）0)34()43(22=---x x例2：用适当方法解下列方程： (1)3(1－x )2＝27； (2)x 2－6x －19＝0；(3)3x 2＝4x ＋1； (4)y 2－15＝2y ；(5)5x (x －3)－(x －3)(x ＋1)＝0； (6)4(3x ＋1)2＝25(x －2)2．例3．解关于x 的方程：(1)x 2－4ax ＋3a 2＝1－2a ； (2)x 2＋5x ＋k 2＝2kx ＋5k ＋6；(3)x 2－2mx －8m 2＝0； (4)x 2＋(2m ＋1)x ＋m 2＋m ＝0．经典练习：一．选择题(1)方程(x －16)(x ＋8)＝0的根是( )A ．x 1＝－16，x 2＝8B ．x 1＝16，x 2＝－8C ．x 1＝16，x 2＝8D ．x 1＝－16，x 2＝－8(2)下列方程4x 2－3x －1＝0，5x 2－7x ＋2＝0，13x 2－15x ＋2＝0中，有一个公共解是( )A ．．x ＝21B ．x ＝2C ．x ＝1D ．x ＝－1(3)方程5x (x ＋3)＝3(x ＋3)解为( )A ．x 1＝53，x 2＝3 B ．x ＝53C ．x 1＝－53，x 2＝－3 D ．x 1＝53，x 2＝－3(4)方程(y －5)(y ＋2)＝1的根为( )A ．y 1＝5，y 2＝－2B ．y ＝5C ．y ＝－2D ．以上答案都不对(5)方程(x －1)2－4(x ＋2)2＝0的根为( )A ．x 1＝1，x 2＝－5B ．x 1＝－1，x 2＝－5C ．x 1＝1，x 2＝5D ．x 1＝－1，x 2＝5(6)一元二次方程x 2＋5x ＝0的较大的一个根设为m ，x 2－3x ＋2＝0较小的根设为n ，则m ＋n 的值为( )A ．1B ．2C ．－4D ．4(7)已知三角形两边长为4和7，第三边的长是方程x 2－16x ＋55＝0的一个根，则第三边长是( )A ．5B ．5或11C ．6D ．11 *(8)方程x 2－3|x －1|＝1的不同解的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3二．填空题(1)方程(2x ＋1)2＋3(2x ＋1)＝0的解为__________．(2)方程t (t ＋3)＝28的解为_______．(3)方程(2y ＋1)2＋3(2y ＋1)＋2＝0的解为__________．(4)关于x 的方程x 2＋(m ＋n )x ＋mn ＝0的解为__________．(5)方程x (x －5)＝5 －x 的解为__________．三．用因式分解法解下列方程：(1)x 2＋12x ＝0； (2)4x 2－1＝0； (3)x 2＝7x ；(4)x 2－4x －21＝0； (5)(x －1)(x ＋3)＝12； (6)3x 2＋2x －1＝0；(7)10x2－x－3＝0；(8)(x－1)2－4(x－1)－21＝0．4．用适当方法解下列方程：(1)x2－4x＋3＝0； (2)(x－2)2＝256； (3)x2－3x＋1＝0；(4)x2－2x－3＝0； (5)(2t＋3)2＝3(2t＋3)；(6)(3－y)2＋y2＝9； (7)(1＋2)x2－(1－2)x＝0；(8)5x2－(52＋1)x＋10＝0； (9)2x2－8x＝7(10)(x＋5)2－2(x＋5)－8＝0．拓展练习1．已知x 2＋3xy －4y 2＝0(y ≠0)，试求y x yx +-的值．2．已知(x 2＋y 2)(x 2－1＋y 2)－12＝0．求x 2＋y 2的值．3．为解方程(x 2－1)2－5(x 2－1)＋4＝0，我们可以将x 2－1视为一个整体，然后设x 2－1＝y ，则y 2＝(x 2－1)2，原方程化为y 2－5y ＋4＝0，解此方程，得y 1＝1，y 2＝4．当y ＝1时，x 2－1＝1，x 2＝2，∴x ＝±2．当y ＝4时，x 2－1＝4，x 2＝5，∴x ＝±5．∴原方程的解为x 1＝－2，x 2＝2，x 3＝－5，x 4＝5．以上方法就叫换元法，达到了降次的目的，体现了转化的思想．(1)运用上述方法解方程：x 4－3x 2－4＝0．(2)既然可以将x 2－1看作一个整体，你能直接运用因式分解法解这个方程吗巩固作业：1．分别用三种方法来解以下方程（1）x2-2x-8=0 (2)3x2-24x=0用因式分解法：用配方法：用公式法：用因式分解法：用配方法：用公式法：2．已知x2＋3x＋5的值为9，试求3x2＋9x－2的值．3.当x取何值时，能满足下列要求？（1）3x2－6的值等于21；（2）3x2－6的值与x－2的值相等.4.一跳水运动员从10米高台上跳水，他跳下的高度h(单位：米)与所用的时间t(单位：秒)的关系式h＝－5(t－2)(t＋1)．求运动员起跳到入水所用的时间．。

因式分解公式法
因式分解，即将一个复杂的多项式拆分成若干更为简单的几项式的过程，它使多项式在运算时可以简化许多问题。

因式分解公式是最常用的一
种解决方法，它通过多项式整体的运算，从而达到多项式拆分的目的。

因式分解公式主要使用三种方法，即带因式分解、最高幂次因子分解
和指数公式法。

首先，带因式分解，这种方法可以将一个多项式分解成该
多项式中出现的各个因子的乘积，如2x^2-6x+4=2(x-2)(x-2)；其次，最
高幂次因子分解，可以将多项式拆分成相乘的最高幂次因子之乘积，如
3x^2+6x+3=3(x+1)^2；最后，指数公式法，主要用来将多项式分解成该多
项式的常数项外，其他元素的积的形式。

因式分解公式可以将多个复杂的多项式简化为若干更为简单的几项式，有助于简化一些复杂的运算，使计算更加方便，更加高效。

因此，在计算
数学和科学问题时，因式分解公式是一个很有用的工具。

一元二次方程的解方程的方法
一元二次方程是数学中常见的一类方程，其一般形式为 ax^2 + bx + c = 0，其中 a、b、c 是常数，且a ≠ 0。

解一元二次方程的方法有很多种，这里介绍其中三种常用的方法：配方法、公式法和因式分解法。

1. 配方法：
配方法是通过将方程两边同时加上或减去一个常数，使方程左边成为完全平方的形式，从而求解方程的方法。

步骤如下：
(1) 将方程移项，使等号右边为0；
(2) 将左边转化为一个完全平方项；
(3) 开方求解。

2. 公式法：
公式法是通过一元二次方程的根的公式直接求解的方法。

根的公式为 x = [-
b ± √(b^2 - 4ac)] / (2a)。

步骤如下：
(1) 将方程化为一般形式 ax^2 + bx + c = 0；
(2) 计算判别式Δ = b^2 - 4ac；
(3) 根据Δ 的值判断方程的根的情况；
(4) 将方程的系数代入根的公式求解。

3. 因式分解法：
因式分解法是通过将方程左边分解为两个因式的乘积，从而求解方程的方法。

步骤如下：
(1) 观察方程，尝试将其左边分解为两个因式的乘积；
(2) 将等号右边也化为0；
(3) 解出每个因式中的未知数。

以上三种方法各有优缺点，适用范围也不同。

在实际应用中，可以根据具体情况选择合适的方法来求解一元二次方程。

一元二次方程的解法(四)----因式分解法知识要点梳理:1.分解因式的方法有：提公因式法、利用平方差公式分解因式、利用完全平方公式分解因式、十字相乘法、分组分解法等2.因式分解法解一元二次方程的原理：000==⇔=b a ab 或预习引入：将下列各式分解因式（1）y y 22-（2）942-x （3）2222+-x x（4）862+-x x（5）y y x x 2422--+经典例题例1：用因式分解法解下列方程：(1) t (2t －1)＝3(2t －1)；(2) y 2＋7y ＋6＝0(3)(2x －1)(x －1)＝1．（4）0)34()43(22=---x x例2：用适当方法解下列方程： (1)3(1－x )2＝27； (2)x 2－6x －19＝0；(3)3x 2＝4x ＋1； (4)y 2－15＝2y ；(5)5x (x －3)－(x －3)(x ＋1)＝0； (6)4(3x ＋1)2＝25(x －2)2．例3．解关于x 的方程：(1)x 2－4ax ＋3a 2＝1－2a ； (2)x 2＋5x ＋k 2＝2kx ＋5k ＋6；(3)x 2－2mx －8m 2＝0； (4)x 2＋(2m ＋1)x ＋m 2＋m ＝0．经典练习：一．选择题(1)方程(x －16)(x ＋8)＝0的根是( )A ．x 1＝－16，x 2＝8B ．x 1＝16，x 2＝－8C ．x 1＝16，x 2＝8D ．x 1＝－16，x 2＝－8(2)下列方程4x 2－3x －1＝0，5x 2－7x ＋2＝0，13x 2－15x ＋2＝0中，有一个公共解是( )A ．．x ＝21B ．x ＝2C ．x ＝1D ．x ＝－1(3)方程5x (x ＋3)＝3(x ＋3)解为( )A ．x 1＝53，x 2＝3 B ．x ＝53C ．x 1＝－53，x 2＝－3 D ．x 1＝53，x 2＝－3(4)方程(y －5)(y ＋2)＝1的根为( )A ．y 1＝5，y 2＝－2B ．y ＝5C ．y ＝－2D ．以上答案都不对(5)方程(x －1)2－4(x ＋2)2＝0的根为( )A ．x 1＝1，x 2＝－5B ．x 1＝－1，x 2＝－5C ．x 1＝1，x 2＝5D ．x 1＝－1，x 2＝5(6)一元二次方程x 2＋5x ＝0的较大的一个根设为m ，x 2－3x ＋2＝0较小的根设为n ，则m ＋n 的值为( )A ．1B ．2C ．－4D ．4(7)已知三角形两边长为4和7，第三边的长是方程x 2－16x ＋55＝0的一个根，则第三边长是( )A ．5B ．5或11C ．6D ．11 *(8)方程x 2－3|x －1|＝1的不同解的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3二．填空题(1)方程(2x ＋1)2＋3(2x ＋1)＝0的解为__________．(2)方程t (t ＋3)＝28的解为_______．(3)方程(2y ＋1)2＋3(2y ＋1)＋2＝0的解为__________．(4)关于x 的方程x 2＋(m ＋n )x ＋mn ＝0的解为__________．(5)方程x (x －5)＝5 －x 的解为__________．三．用因式分解法解下列方程：(1)x 2＋12x ＝0； (2)4x 2－1＝0； (3)x 2＝7x ；(4)x 2－4x －21＝0； (5)(x －1)(x ＋3)＝12； (6)3x 2＋2x －1＝0；(7)10x2－x－3＝0；(8)(x－1)2－4(x－1)－21＝0．4．用适当方法解下列方程：(1)x2－4x＋3＝0； (2)(x－2)2＝256； (3)x2－3x＋1＝0；(4)x2－2x－3＝0； (5)(2t＋3)2＝3(2t＋3)；(6)(3－y)2＋y2＝9； (7)(1＋2)x2－(1－2)x＝0；(8)5x2－(52＋1)x＋10＝0； (9)2x2－8x＝7(10)(x＋5)2－2(x＋5)－8＝0．拓展练习1．已知x 2＋3xy －4y 2＝0(y ≠0)，试求y x yx +-的值．2．已知(x 2＋y 2)(x 2－1＋y 2)－12＝0．求x 2＋y 2的值．3．为解方程(x 2－1)2－5(x 2－1)＋4＝0，我们可以将x 2－1视为一个整体，然后设x 2－1＝y ， 则y 2＝(x 2－1)2，原方程化为y 2－5y ＋4＝0，解此方程，得y 1＝1，y 2＝4．当y ＝1时，x 2－1＝1，x 2＝2，∴x ＝±2．当y ＝4时，x 2－1＝4，x 2＝5，∴x ＝±5．∴原方程的解为x 1＝－2，x 2＝2，x 3＝－5，x 4＝5．以上方法就叫换元法，达到了降次的目的，体现了转化的思想．(1)运用上述方法解方程：x 4－3x 2－4＝0．(2)既然可以将x 2－1看作一个整体，你能直接运用因式分解法解这个方程吗巩固作业：1．分别用三种方法来解以下方程（1）x2-2x-8=0 (2)3x2-24x=0用因式分解法：用配方法：用公式法：用因式分解法：用配方法：用公式法：2．已知x2＋3x＋5的值为9，试求3x2＋9x－2的值．3.当x取何值时，能满足下列要求？（1）3x2－6的值等于21；（2）3x2－6的值与x－2的值相等.4.一跳水运动员从10米高台上跳水，他跳下的高度h(单位：米)与所用的时间t(单位：秒)的关系式h＝－5(t－2)(t＋1)．求运动员起跳到入水所用的时间．。

数学篇解题指南因式分解是指将一个多项式分解成两个或者多个整式乘积的形式.它不仅可用于代数式的化简、求值以及解方程和不等式等代数问题中，而且在判定三角形或四边形的形状等几何问题中也扮演着重要角色.所以，掌握因式分解的方法和技巧是很重要的.因式分解的常用方法有公式法、提公因式法、分组分解法等.除了这些方法以外，我们还应掌握一些特殊技巧，如拆（添）项法、换元法、主元法等.同学们应根据多项式的具体结构特征，灵活选用不同的方法和技巧.一、拆、添项法因式分解是多项式乘法的逆运算，在进行多项式乘法运算时，通过对多项式的各项进行整理和化简，将几个同类项合并为一项，或者将两个仅符号相反的同类项相互抵消后，就会造成多项式的“缺项”.对这一类多项式进行因式分解时，就要先恢复那些被合并或者被抵消的项，即将多项式的某一个项拆成两项或者多项，或者在多项式当中添加两个仅符号相反的项.前者称为拆项，后者称为添项.拆项、添项的目的是在对多项式进行因式分解时，方便运用提公因式法或分组分解法.例1分解因式：x 3-3x 2+4.分析：这个多项式无法直接提取公因式，也不能运用公式法.由于多项式当中缺少一次项，所以可以灵活运用拆项法来解题.解法1：将常数4拆分为1和3.原式=(x 3+1)-(3x 2-3)=(x 3+1)-3(x 2-1)=(x +1)(x 2-x +1)-3(x +1)(x -1)=(x +1)[(x 2-x +1)-3(x -1)]=(x +1)(x 2-4x +4)=(x +1)(x -2)2.解法2：将-3x 2拆分成-4x 2和x 2.原式=x 3+x 2-4x 2+4=x 2(x +1)-4(x 2-1)=x 2(x +1)-4(x +1)(x -1)=(x +1)[x 2-4(x -1)]=(x +1)(x -2)2.解法3：将x 3拆分成4x 3-3x 3.原式=4x 3-3x 3-3x 2+4=4x 3+4-3x 2(x +1)=4(x 3+1)-3x 2(x +1)=4(x +1)(x 2-x +1)-3x 2(x +1)=(x +1)[4(x 2-x +1)-3x 2]=(x +1)(x 2-4x +4)=(x +1)(x -2)2.点评：从以上三种解法可以看出，使用拆项法进行因式分解，并没有严格规定要拆分哪一项，因此，同学们在做题的时候要仔细观察多项式中每一项的特点，通过灵活的变化来化繁为简，解答疑难问题.例2分解因式：a 4+a 2b 2+b 4.分析：观察式子的形式，和完全平方式的展开式看起来较为相似，所以在进行因式分解的时候可以进行联想，通过添项后利用平方差公式来完成因式分解.解：原式=a 4+a 2b 2+b 4+a 2b 2-a 2b 2=(a 4+2a 2b 2+b 4)-a 2b 2=(a 2+b 2)2-(ab )2=(a 2+b 2+ab )⋅(a 2+b 2-ab ).例3分解因式：bc (b +c )+ca (c -a )-ab (a +b ).分析：遇到这类题目时，要仔细分析各项的特点，并根据b +c =c -a +a +b 考虑添项.解：原式=bc (b +c +a -a )+ca (c -a )-ab (a +b )=bc [(c -a )+(a +b )]+ca (c -a )-ab (a +b )=bc (c -a )+bc (a +b )+ca (c -a )-ab (a +b )=c (c -a )(b +a )+b (a +b )(c -a )=(a +b )(c -a )(c +b ).点评：使用添项法分解因式时，关键是要根据多项式的特点进行恰当的添项，让添项后的多项式可以更好地用提取公因式法、公式法等其他常用方法来进行分解.因式分解的三个技巧江苏省靖江市滨江学校徐星19数学篇解题指南二、换元法对于比较复杂的多项式进行因式分解，可以考虑运用换元法，将其中某一部分看作一个整体，然后用一个新的辅助元来代替.将含有新元的多项式进行因式分解之后，再将新元所替换的部分代入因式分解后的多项式，就能得到原多项式因式分解的结果.换元法可减少因式的项数或降低因式的次数，使多项式简化.在具体运用换元法时，可根据情况进行部分换元、整体换元或平均换元等.例4分解因式：(x 2-3x )2-2(x 2-3x )-8.分析：这道题涉及多项式的平方，如果正常展开后分解，数据的计算量很大.在经过仔细观察之后，可以将x 2-3x 这一项看作一个整体，从而简化因式分解的过程.解法1：设a =x 2-3x ，则原式=a 2-2a -8=(a -4)(a +2).将a =x 2-3x 代入上式得：原式=(x 2-3x -4)(x 2-3x +2)=(x -4)(x +1)(x -1)(x -2).解法2：设a =x 2-3x ，则原式=a 2-2a -8=(a 2-2a +1)-9=(a -1)2-9=(a -1+3)(a -1-3)=(a +2)(a -4).将a =x 2-3x 代入上式则原式=(x 2-3x -4)(x 2-3x +2)=(x -4)(x +1)(x -1)(x -2).例5分解因式(xy -1)2+(x +y -2)(x +y -2xy )分析：在对二元因式进行分解时直接去括号非常复杂，所以可以考虑运用换元法，分别将x 和y 的和与积视为整体来进行换元.解：设x +y =m ，xy =n ，则原式=(n -1)2+(m -2)(m -2n )=(m 2-2mn +n 2)-(2m -2n )+1=(m -n )2-2(m -n )+1=(m -n -1)2点评：整体替换可以让复杂的题目变得简单.但当遇到复杂的多项式，无法用一个辅助元完成整体换元时，可根据题目中多项式具备多元性的特征，用两个辅助元分别代换原多项式中的代数式，使因式分解简单化.三、主元法对含有多个字母的代数式进行因式分解是比较复杂的一种题型.这时可以考虑运用主元法，即选择一个字母作为主元，将其他字母都看作常数，然后将整个多项式按照以主元为主的方式进行升幂或者降幂排列，最后再尝试因式分解.运用主元法解题的关键就是选择合适的主元，一般选择次数较低的字母为主元，将多项式变成熟悉的形式，这样就能让分解因式的过程变得简单.例6分解因式：x 3-ax -2ax +a 2-1.分析：式子中有两个字母，可以考虑运用主元法，其中字母a 的次数更低，所以可以选择字母a 作为主元来进行因式分解.解：原式=a 2-(x 2+2x )a +x 3-1=a 2-(x 2+2x )a +[(x 3-x 2)+(x 2-1)]=a 2-(x 2+2x )a +x 2(x -1)+(x -1)(x +1)=a 2-[(x -1)+(x 2+x +1)]a +(x -1)(x 2+x +1)=[a -(x -1)]·[a -(x 2+x +1)]=(x -a -1)(x 2+x -a +1).例7分解因式：2a 2b 2+10a 2b +12a 2-3ab 2-15ab -18a -b 2-5b -6分析：当两个字母最高同为2次幂的时候，可以随便选择一个字母作为主元，得到的结果是一样的.解：设原式中的b 为主元，则原式=2a 2b 2+10a 2b +12a 2-3ab 2-15ab -18a -b 2-5b -6=(2a 2-3a -1)b 2+5(2a 2-3a -1)b +6(2a 2-3a -1)=(2a 2-3a -1)(b 2+5b +6)=(b +2)(b +3)(2a 2-3a -1).点评：以上两道题如果不使用主元法，很难进行因式分解.在选择主元时，一般选择次数更低的作为主元，这样可以达到降幂的效数学篇数苑纵横在解答几何问题时，作辅助线可以构造新的图形，形成新的关系，使分散的条件集中，并建立起已知与未知的“桥梁”.平行四边形具有两组对边分别平行且相等，对角相等，对角线互相平分等性质.结合上述性质添加辅助线，就是在平行四边形中作出平行或垂直的线段，构成三角形的全等或相似，把平行四边形问题转化成常见的三角形、矩形等问题来解答.一、平移对角线，把平行四边形转化为梯形平移是一种只改变图形的位置而不改变图形大小及形状的变换.在平行四边形中求线段的长度或证明线段的不等关系时，首先考虑将要求的线段与三角形结合起来，运用三角形三边的不等关系来解答.若要求解或证明的线段与已知线段不在同一个三角形内，则可通过平移将线段集中到同一个三角形内.平移对角线可以构造一个以两对角线为边的三角形，建立待求线段与已知线段之间的关系，从而找到解题的突破口，使问题得以顺利解答.例1如图1，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 和BD 相交于点O ，如果AC ＝12，BD ＝10，AB =m ，那么m 的取值范围是（）.A.1＜m ＜11B.2＜m ＜22C.10＜m ＜12D.5＜m ＜6图1图2解析：要求AB 的取值范围，需把AC 、BD 、AB 集中在一个三角形中.过C 作CE ∥DB 交AB 的延长线于点E ，形成梯形ADCE ，如图2，然后由图易知，四边形CDBE 为平行四边形.在△ACE 中，AC =12，CE =BD =10，AE =2AB =2m ，说明：本题通过作辅助线，利用平行四边形的性质，将两条已知线段与未知线段集中到了一个三角形中.解题主要运用了三角形的三边关系定理，即任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．二、过一边两端点作对边的垂线，把平行四边形转化为直角三角形作垂线即过平行四边形一边的一个或两个端点向下底作高，将平行四边形分割成矩形和直角三角形.由于直角三角形的全等判定定理比较多，且可利用勾股定理得到边长间的数量关系，所以，作垂线段可为证明直角三角形全等创造条件，同时方便我们利用直角三角形相关性质定理解题.例2如图3，已知ABCD 为平行四边形，求证：2(AB 2+AD 2)＝AC 2+BD 2．图3图4证明：作AE ⊥BC 于点E ，作DF ⊥BC 交BC 的延长线于F ，如图4，则∠AEB ＝∠DFC ＝90°．∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ＝DC ，AB ∥CD ，∴∠ABE ＝∠DCF ，在△ABE 和△DCF 中ìíîïï∠AEB =∠DFC ,∠ABE =∠DCF ,AB =DC ,∴△ABE ≌△DCF （AAS ），∴AE ＝DF ，BE ＝CF ．在Rt△ACE 和Rt△BDF 中，由勾股定理，得AC 2＝AE 2+EC 2＝AE 2+(BC -BE )2，BD 2＝DF 2+BF 2＝DF 2+(BC +CF )2=AE 2+(BC +BE )2，∴AC 2+BD 2＝2AE 2+2BC 2+2BE 2＝2(AE 2+22平行四边形中的辅助线的作法江西婺源兰萍数学篇数苑纵横∴AC 2+BD 2＝2(AB 2+BC 2)，∵ABCD 为平行四边形，且BC =AD ，即2(AB 2+AD 2)＝AC 2+BD 2.说明：本题考查了平行四边形的性质、勾股定理的运用、全等三角形的判定和性质.正确作出辅助线将平行四边形转化为两个直角三角形，并证明两个三角形全等是解题的关键.三、延长顶点与对边上一点的连线，把平行四边形转化为相似三角形证明线段的等积式或求线段的比值，常常要根据题目条件和结论的特征，巧妙地构造相似三角形.平行四边形对角相等，对边平行，连接顶点与对边上一点的连线可以为我们创造内错角相等的条件，这样就有助于找到线段所涉及的两个三角形中相等的两对角，从而证明两个三角形相似，由此便可证明线段的等积式或求得线段的比值.例3如图5，在平行四边形ABCD 中，E 、F 分别是边BC 、CD 上的点，BF 和DE 相交于点G ，且AB ＝kAD ，∠DAG ＝∠BAC ，求出DFBE的值（用含k 的式子表示）.图5图6解：延长AG 交DC 于M ，延长DE 交AB 的延长线于N ，如图6.设AD ＝a ，GM ＝b ，BE ＝x ，GA ＝mb ，则AB ＝ka ，CE ＝a -x ，∵∠DAG ＝∠BAC ，∠ADM ＝∠ABC ，∴△ADM ∽△ABC ，∴BC DM =AD AB =1k，即DM ＝a k ，∵DC ∥AB ，∴△FGD ∽△BGN ，△FGM ∽△BGA ，△DEC ∽△NEB ，∴FM ＝ka m，∴DF ＝a k -ka m =ma -k 2a km，∴BN ＝ma -k 2a k，∵△DEC ∽△NEB ，∴DC BN =CE BE ，即ka ma -k 2ak=a -x x ，解得，x ＝ma -k 2a m，∴DF BE =1k ．说明：求两条线段的比值就要考虑相似，因为相似三角形对应边的比相等，所以本题添加辅助线就将平行四边形中的两个线段转化到了两个相似三角形中.解题中巧妙添加辅助线，可以构造多个相等的角，这就为我们证明相似创造了条件.四、连接对角线交点与一边的中点，构造三角形中位线在涉及三角形及平行四边形的证明和计算题中，经常会用到中位线定理.若题目以线段相等或中点为条件，结合平行四边形的对角线互相平分，就可以尝试连接对角线交点与一边的中点，构造中位线.利用三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半来解题，使线段在位置上的平行关系和数量上的比例关系在推理论证中发挥作用.例4如图7，在平行四边形ABCD 中，AN =BN ，BE =13BC ，NE 交BD 于F ，求BF∶BD .图7解：连接AC 交BD 于点O ，连接ON ，因为四边形ABCD 为平行四边形，所以OA =OC ，OB =OD =12BD ，因为AN =BN ，所以ON ∥BC 且ON =12BC ，所以BE ON =BF FO ,因为BE =13BC ，所以BF FO =23，所以BF BO =25，所以BF :BD =1:5.说明：平行四边形的性质比较多，其边、角、对角线等都存在一定的数量关系或位置关系.如果条件中给出的中点不止一个，解题时应有意识地寻找是否存在中位线；若条件中只有一个中点，可以利用对角线互相平分得到中点进而造中位线解题.22。

解一元二次方程的各种方法一元二次方程是指形如ax^2 + bx + c = 0的方程，其中a、b、c为已知系数，且a不等于0。

解一元二次方程的方法有多种，下面将介绍常见的三种方法：因式分解法、配方法和求根公式法。

一、因式分解法因式分解法是解一元二次方程的最简单直观方法之一，它基于一个数学原理：若两个数的乘积等于0，则其中至少一个数为0。

1. 将方程化为标准形式：ax^2 + bx + c = 0。

2. 尝试将方程因式分解为一个一次因式和一个一元二次式的乘积。

即将方程的左边分解为两个乘积，形如(ax + m)(x + n)，其中m和n为待确定的数。

3. 比较方程两边的系数，得到两个等式：a(m + n) = b和mn = c。

4. 根据上述两个等式求解m和n的值。

5. 将m和n的值代入方程(ax + m)(x + n) = 0，得到方程的解。

二、配方法配方法是解一元二次方程的一种常用方法，通过将方程进行配方，将一元二次方程转化为完全平方的形式，从而求得方程的解。

1. 将方程化为标准形式：ax^2 + bx + c = 0。

2. 若a不等于1，可以通过除以a将一元二次方程化为a(x^2 +(b/a)x + c/a) = 0。

3. 将方程的中间项(b/a)x进行配方，即加减一个常数d，并在方程两边同时加减同样的值，得到a(x^2 + (b/a)x + d^2) = d^2 - c。

4. 将方程的左边进行平方运算，并使用求平方根的性质将方程转化为完全平方的形式：(x + m)^2 = n，其中m为(b/2a)(b/2a) + d，n为(d^2 - c)。

5. 对完全平方形式的方程求解，得到方程的解。

三、求根公式法求根公式法是解一元二次方程的一种通用方法，通过使用一元二次方程的求根公式来求解方程。

一元二次方程的求根公式为：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a。

1. 将方程化为标准形式：ax^2 + bx + c = 0。

1．定义：把一个多项式化成几个既约整式的乘积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也可称为将这个多项式分解因式．2．因式分解结果的要求：因式分解结果的标准形式 常见典型错误或者不规范形式符合定义，结果一定是乘积的形式 ()()()x x x +1+2+3+7既约整式，不能含有中括号 []()()x x +12+3-1 最后的因式的不能再次分解 ()()x x 2-1-1单项式因式写在多项式因式的前面()()x x x -1+1 相同的因式写成幂的形式 ()()()x x x x -1+1-1 每个因式第一项系数一般不为负数 ()()x x x -+1+1 每个因式第一项系数一般不为分数x x x 12⎛⎫⎛⎫-+1+1 ⎪⎪33⎝⎭⎝⎭因式中不能含有分式 x x x 21⎛⎫+ ⎪⎝⎭因式中不能含有无理数()()()x x x +1+2-23．因式分解基本解法：“一提二代三分解”是因式分解的三种常见基本解法，“提”指的是提取公因式法，“代”指的是公式法（完全平方公式，平方差公式，立方差和立方和公式，三项完全平方公式），“分解”指的是分组分解的方法．①提取公因式法几个整式都含有的因式称为它们的公因式． 例如：()ma mb mc m a b c 2+4+6=2+2+3把每项的公因式，包括数和字母全部提出，当然有的时候把一个式子看成一个整体． ②公式法因为因式分解和整式的乘法是互逆的，所以说常见的乘法公式要特别熟悉． 平方差公式()()a b a b a b 22+-=- 完全平方公式：()a b a ab b 222+=+2+()a b a ab b 222-=-2+立方差公式：()()a b a ab b a b 2233-++=- 立方和公式：()()a b a ab b a b 2233+-+=+三项完全平方公式：()a b c a b c ab ac bc 2222++=+++2+2+2 完全立方公式：()a b a a b ab b 33223+=+3+3+()a b a a b ab b 33223-=-3+3-大立方公式：()()a b c abc a b c a b c ab ac bc 333222++-3=++++---（1）下列各式从左边到右边的变形中，是因式分解的是（ ）A ．()ab a b a b ab 223+=3+3B ．x x x x 222⎛⎫2+4=21+ ⎪⎝⎭C ．()()a b a b a b 22-4=+2-2D ．()x xy x x x y 23-6+3=3-2（2）如果下列式子是因式分解的结果，请判断下列式子形式是否正确，如果错误，请说明理由．①()x y x y 224-3+7；②()m m 23-4；③()()a b a b -4+2-2；④()[()]y x 22+1-1-3；⑤x x x 1⎛⎫+ ⎪⎝⎭；⑥()x x x 1⎛⎫+1-2 ⎪2⎝⎭；⑦()()y x x 2-+3-+3；⑧()()()()x y x y x y x y 2244++++．（1）C ；（2）③正确，①②④⑤⑥⑦⑧错误．【教师备课提示】这道题主要讲解因式分解的概念：（1）因式分解是一种恒等变形．（2）因式分解的结果必须是乘积的形式，每一个因式必须是整式，且不可再分解．（1）多项式x y x y x y 3222236-3+12的公因式是___________．（2）多项式()()()x y z a b x y z a b x y z a b 23433232545-24-+20-+8-公因式是_________．（3）观察下列各式：①a b 2+和a b +；②()m a b 5-和a b -+；③()a b 3+和a b --；④x y 22-和x y 22+，其中有公因式的是___________．（1）x y 223；（2）()x y z a b 223-4-；（3）②③．【教师备课提示】这道题主要讲解怎么找公因式，数和式子单独来看，数找公因数，式子找公因式．模块二 提取公因式法模块一 因式分解的概念因式分解：（1）a x abx y acx 232212+6-15（2）()()()()a b x y b c a b x y b c 223322++-6++（3）()()()x y x y x y 322+-2++2+ （4）abx acx ax 43-3+-（5）()()()()x y x y y x x y 2-33-2+2-32+3（6）a b a b ab 3223273-6+4这6道小题反映了提取公因式法的6大原则：（1）一次提净：应当先检查数字系数，然后再一个个字母逐个检查，将各项的公因式提出来，使留下的式子没有公因式可以提取． 原式()ax ax by c 2=34+2-5（2）视“多”为一：把多项式（如x y +，b c +等）分别整个看成是一个字母．原式2322()()(33)a b x y b c x y ab ab c =+++--（3）切勿漏“1”：当多项式的某一项恰好是所提取公因式时，剩下的式子里应当留下“1”，千万不要忽略掉．原式2(2)[(2)(2)1]x y x y x y =++-++22(2)(4421)x y x xy y x y =+++--+ （4）提负数：原式32(31)ax bx cx =--+（5）提相反数：原式(32)[(23)(23)]x y x y x y =---+6(32y x y =--）（6）化“分”为整：在提出一个分数因数（它的分母是各项系数的公分母）后，我们总可以使各项系数都化为整数（这个过程实质上就是通分）．并且，还可以假定第一项系数是正整数，否则可用前面说过的方法，把1-作为公因数提出，使第一项系数称为正整数．原式32231(122427)4a b a b ab =-+223(489)4ab a b ab =-+．因式分解（随堂练习）：（1）x y xyz xy 25-10+5（2）()()()a x a b a x x a -+--- （3）()()()x x a x x -2+1++1++1（4）()()()()x m x m y m m x m y -----（5）n n b b 3-12-131+26（n 是正整数）（6）()()()p x p x p x 32226-1-8-1-21-（1）=()xy x z 5-2+1原式；（2）=()()()a x a b x a x a -----原式()()x a a b =---1； （3）()()x x a =+1-2++1原式()()x x a =-+12--1；（4）()()m x m y 2=---原式；（5）()n n b b 2-11=9+16原式；（6）()[()]p x x p 2=2-13-1-4-1原式()()p x x p 2=2-13-4-4． 【教师备课提示】例3和例4主要考查提取公因式因式分解．因式分解：（1）()x 2-1-9 （2）()()m n m n 229--4+（3）()()a b a b 22-4-+16+ （4）()()a b a b 222222-3-5+5-3 （5）x xy y 229-24+16 （6）a a 28-4-4 （7）()c a b a b 222222---4（1）()()x x +2-4；（2）[()()][()()]m n m n m n m n =3-+2+3--2+原式()()m n m n m n m n =3-3+2+23-3-2-2 ()()m n m n =5--5；（3）原式()()a b a b 43++3=；（4）()()a b a b a b a b 22222222=5-3+3-55-3-3+5原式()()a b a b 2222=8-82+2 ()()()a b a b a b 22=16+-+；（5）()x y 2=3-4原式；（6）()a a 2=-4-2+1原式()a 2=-4-1；（7）原式()()()()c a b c a b c a b c a b +--+++--=．因式分解（随堂练习）：（1）()a b 216-3+2 （2）x y x y 62575-12（3）a b c 444-81+16 （4）()()a b a b 2222223---3（5）()()x y z x y z 22+-6++9 （6）()x y x y 22222+-4（7）m m 4216-72+81模块三 公式法（1）()()a b a b =4+3+24-3-2原式；（2）()x y x y 244=325-4原式()()x y x y x y 22222=35+25-2；（3）()()c a b c a b 222222=4-94+9原式()()()c ab c ab c a b 222=2+32-34+9； （4）()()a b a b a b a b 22222222=3-+-33--+3原式()()a b a b 2222=4-42+2()()()a b a b a b 22=8+-+；（5）原式()x y z 2+-3=； （6）原式()()x y x y 22=+-；（7）()()m m 2222=4-2⋅4⋅9+9原式()m 22=4-9()()m m 22=2-32+3． 【教师备课提示】例5和例6主要考查平方差公式和完全平方公式因式分解．因式分解：（1）x 38+27 （2）y 3-+64（3）x x y 5239-72 （4）a b 66+ （5）a b 66-（1）()()x x x 2=2+34-6+9原式； （2）()()y y y 2=4-+4+16原式；（3）()x x y 233=9-8原式()()x x y x xy y 222=9-2+2+4； （4）()()a b 2323=+原式()()a b a a b b 224224=+-+； （5）()()a b 3232=-原式()()a b a b 3333=+-()()()()a b a b a ab b a ab b 2222=+--+++另解：()()a b 2323=-原式()()a b a a b b 224224=-++()()()a b a b a a b b a b 422422=+-+2+- ()()()()a b a b a ab b a ab b 2222=+--+++；【教师备课提示】这道题主要考查立方差和立方和公式． 因式分解：（1）a b c bc ca ab 2224+9+9-18-12+12（2）x x y xy y 32238-36+54-27（1）()a b c 2=2+3-3原式；（2）()x y 3=2-3原式．【教师备课提示】这道题主要考查三项完全平方和完全立方公式．下列因式分解正确的是（ ）A ．()()()a b a b a b a b 2222-4+4=-4-4=-4+2-2B ．()m m m m 323-12=3-4C ．()x y x y x y x y 422224-12+7=4-3+7D ．()()m m m 24-9=2+32-3D ．因式分解：（1）abc a b a b 2336-14+12 （2）a a a 324-6+15-12 （3）()x a x a x 22224+--（4）()()p q p 22-1-4-1（5）()()()(a b m p a b m p 5-22+3-2-72+3） （6）()()()x y x y x y 232++6+-4+（1）()ab a c ab 22=26+3-7原式； （2）()a a a 22-34+2-5=原式； （3）()()a x x 22=+4-1原式； （4）原式()()p p q =2-1-2-1； （5）=()()m p a b 2+33+5原式；（6）()[()()]x y x y x y 2=2+1+3+-2+原式()()x y x y x y xy 22=2+1+3+3-2-2-4．模块二 提取公因式法模块一 因式分解的概念已知b c a +-=-2，求()()a a b c b c a b c b c a 22221⎛⎫--+-++2+2-2 ⎪33333⎝⎭的值．()()a b c a b c 2=----3原式()a b c 22=--3．∵b c a +-=-2，∴a b c --=2，则原式8=3．因式分解：（1）()y z x 224-2-（2）(m x y mn 2232--3）（3）x y 88-（4）x x 516-（5）()()x x x x 22225+2-3--2-3 （6）()()x x x x 2222+4+8+4+16（7）n n n a a a +2-2+8+16（1）=()()y z x y z x 2+2-2-2+原式；（2）原式=()()m x y n x y n 32-+2--；（3）=()()x y x y 4444-+原式()()()x y x y x y 222244=-++()()()()x y x y x y x y 2244=+-++；（4）()()()x x x x x 422=16-1=4-14+1原式()()()x x x x 2=2-12+14+1； （5）()()x x x 22=6-64+4原式()()()x x x x =24+1-1⋅⋅+1()()x x x 2=24-1+1； （6）()x x 22=+4+4原式()x 4=+2；（7）()n a a a -242=+8+16原式()n a a -222=+4．因式分解：（1）a b c 3338-1（2）a b b 33932-4（3）x y y 631564+（1）()()abc a b c abc 222=2-14+2+1原式；（2）=原式()b a b 33648-()()b a b a ab b 32224=42-4+2+； （3）()y x y 3612=64+原式()()y x y x x y y 3244248=4+16-4+．模块三 公式法。