常微分方程差分解法、入门、多解法

毕业论文题目抛物型方程的差分解法学院数学科学学院专业信息与计算科学班级计算0802学生王丹丹学号20080901045指导教师王宣欣二〇一二年五月二十五日摘要偏微分方程的数值解法在数值分析中占有重要的地位，很多科学技术问题的数值计算包括了偏微分方程的数值解问题【1】。

近三十多年来，数值解法的理论和方法都有了很大的发展，而且在各个科学技术的领域中应用也愈来愈广泛。

本文的研究主要集中在依赖于时间的问题，借助于简单的常系数扩散方程，介绍抛物型方程的差分解法。

本文以基本概念和基本方法为主，同时结合算例实现算法。

第一部分介绍偏微分方程及差分解法的基本概念，引入本文的研究对象——常系数扩散方程：22,,0 u ua x R tt x∂∂=∈>∂∂第二部分介绍上述方程的几种差分格式及每种格式的相容性、收敛性与稳定性。

第三部分通过算例检验每种差分格式的可行性。

关键词：偏微分方程；抛物型；差分格式；收敛性；稳定性；算例ABSTRACTThe numerical solution of partial differential equation holds an important role in numerical analysis .Many problems of compution in the field of science and techology include the numerical solution of partial differential equation. For more than 30 years, the theory and method of the numerical computation made a great development and its applications in various fields of science and technology are more and more widely. This paper focuses on the problems based on time. I will use object-constant diffusion equation to introduces the finite difference method of parabolic equation. This paper mainly focus on the basic concept ,basic method and simple numerical example.The first part of this paper introduces partial differential equations and basic concepts of finite difference method.I will introduce the object-constant diffusion equation for thefirst time.22,,0 u ua x R tt x∂∂=∈>∂∂The second part of this paper introduces several difference schemes of the above equation and their compatibility ,convergence and stability.The third part tests the accuracy of each scheme.Key words:partial differential equation；parabolic；difference scheme；convergence；stability；application目录摘要 (I)ABSTRACT (II)目录 (III)1前言 (1)2基本概念和定理 (2)2.1抛物型方程的基本概念 (2)2.1.1偏微分方程的定义 (2)2.1.2抛物型方程的定义 (2)2.1.3初边值条件的定义 (3)2.2 差分方法的基本思想 (3)2.3网格剖分 (4)2.4截断误差的基本概念 (5)2.5相容性的基本概念 (7)2.6收敛性的基本概念 (7)2.7稳定性的基本概念 (8)2.7.1判断稳定性的直接法 (8)2.7.2判断稳定性的Fourier方法 (9)3常系数扩散方程的差分格式及其相容性、收敛性和稳定性分析 (12)3.1向前差分格式 (12)3.2向后差分格式 (13)3.3 Crank-Nicolson格式 (14)3.4 Richardson格式 (16)4差分解法的应用 (18)结论 (25)参考文献..................................................... .................. .. (26)致谢 (27)附录 (28)1前言微积分方程这门学科产生于十八世纪，欧拉在他的著作中最早提出了弦振动的二阶方程，随后不久，法国数学家达朗贝尔也在他的著作《论动力学》中提出了特殊的偏微分方程[2]。

偏微分方程得到迅速发展是在十九世纪，那时候，数学物理问题的研究繁荣起来了，许多数学家都对数学物理问题的解决做出了贡献。

对于偏微分方程的求解，虽然具有明确表达式的解析解是很好的结果，但是能求出解析解的情况却十分有限，即使是最简单的双变量二阶线性常系数偏微分方程，也往往难以得到解析解。

这是因为方程的解除了取决于方程本身的复杂度外，还要考虑到边界条件的复杂性[3]。

很复杂的二阶偏微分方程，也许因为边界条件的简单性存在很简单的解析解，但是如果边界条件稍微复杂，就算是二阶常微分方程也没有解析解。

从目前的研究现状来看，偏微分方程数值解的理论和方法都日趋成熟，很多学术论文都在力求寻找更为精确且性质良好的求解方法。

而且在实际问题中常会遇到多个自变量，非线性的方程或方程组；它们还可能是混合型的偏微分方程（如机翼的跨声速绕流），其解包含着各种间断（如激波间断、按触间断等）[4]。

非线性问题的差分法求解是十分困难的。

抛物型方程的数值解法目前有傅里叶算法(SSPE)、有限差分法(FDM)、有限元法(FEM)等，每种方法都有自己的适用范围，虽然SSPE 的效率高，但本文将选择使用更容易处理阻抗边界条件的FDM。

由于FDM对网格间距要求足够小，计算效率很依赖计算机硬件速度，21 世纪前，大多是FDM的理论推导和误差分析，直到2007 年国际上才出现公开发表的使用FDM求解抛物型方程的实验并得出简单模型的计算结果。

随着电子计算机的发展，在解决各种非线性问题中，FDM法得到了很快的发展，并且出现了许多新的思想和方法，如守恒差分格式，时间相关法、分步法等。

本文将从基本概念和基本方法入手，通过简单的常系数扩散方程，介绍抛物型方程的差分解法及其简单的实际应用，起到初步介绍偏微分方程数值解法的目的，希望有助于初学者了解相关基本知识，培养进一步学习的兴趣。

2基本概念和定理2.1抛物型方程的基本概念2.1.1偏微分方程的定义偏微分方程在科学研究和工程技术中常常会出现，比如核反应和核爆炸过程的数学模型、飞行器设计过程中的空气动力学问题等等。

定义2.1 含有未知函数12(,,,)n u x x x t …,的偏导数的方程称为偏微分方程。

如果方程中对于未知函数和它的所有偏导数都是线性的，这样的方程称为线性偏微分方程，否则称它为非线性偏微分方程。

方程中出现的偏导数的最高阶是方程的阶。

下面举出几个典型的偏微分方程：（1）Laplace 方程[5]222222120nu u u x x x ∂∂∂++=∂∂∂…+ 其中()u u x =，该方程称为调和方程。

在力学、电学常常遇到的势函数满足这个方程。

（2）对流扩散方程222222()u u u u u u a b F k x y t x y t∂∂∂∂∂∂++=+++∂∂∂∂∂∂ 其中(,,)u u x y t =表示流场中某种物质的浓度，(,)a b 是流速。

（3）波动方程22222222212()(,)nu u u u a F x t t x x x ∂∂∂∂=+++∂∂∂∂…+ 其中()u u x =，而(,)F x t 给定。

在一些声学、光学和力学的波动问题中常常出现这类方程。

2.1.2抛物型方程的定义定义2.2 设12(,,)n u u x x x =…,，其中n x 可以是时间变量t ，二阶拟线性方程指2,11nn ij i i j i i j i u u a b cu f x x x ==∂∂++=∂∂∂∑∑，其中ij a ，b ，c 和f 可以与12,,n x x x …,有关，也可以与u 和iu x ∂∂有关。

定义2.3 对于二阶拟线性方程2,11nn ij i i j i i j i u u a b cu f x x x ==∂∂++=∂∂∂∑∑，设矩阵[]ij A a =是一个n n ⨯的矩阵，如果A 的特征值至少有一个为零，则该方程称为抛物型方程。

考虑常系数扩散方程 22,,0u u a x R t t x ∂∂=∈>∂∂ （2.1）其中u 是扩散过程中某种物质的浓度，a 是扩散系数。

显然它是二阶线性方程，其中11122122,0a a a a a ====，它的矩阵为000a A ⎛⎫= ⎪⎝⎭，A 的特征值为121,0a λλ==，所以方程（2.1）是一个抛物型方程。

在下文中我们将以该方程为基本模型讨论适用于抛物型方程定解问题的几种差分格式。

2.1.3初边值条件的定义定义2.4 对于偏微分方程我们都是在一些特定条件下求方程的解，这样的条件称为定解条件。

如果在nR 的某个区域Ω内求解方程，在Ω的边界∂Ω上给出u 的条件称为边界条件。

在超平面0t t =给出的条件称为初始条件。

给出了方程和定解条件，就构成了一个定解问题。

按照定解条件的不同给法，可将方程（2.1）的定解问题分为两类。

第一类，初值问题：空间变量x 的变化范围是x -∞<<∞。

求具有所需次数偏微分的函数(,)u x y ，满足（2.1）和初始条件(,0)(),u x x x ϕ=-∞<<∞第二类，初边值问题：空间变量x 的变化范围是a x b <<。

求具有所需次数偏微分的函数(,)u x y ，满足（2.1）和初始条件(,0)(),u x g x x =-∞<<∞及边界条件12(,)(),(,)()u a t t u b t t ϕϕ==2.2 差分方法的基本思想差分方法又称为有限差分方法或网格法，是求偏微分方程定解问题的数值解中应用最广泛的方法之一。